hướng dẫn giải bài tập về tích phân đường tích phân mặt

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI a Công thức: TH1 Đường cong C có PT tham số: x = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b 2 2  dx   dy   dx   dy  C f (x, y)ds  a f (x, y)  dt    dt  dt đó: ds   dt    dt  dt b TH2: Đường cong C có PT: y = y(x); a ≤ x ≤ b b  f (x, y)ds   f (x, y(x))  y ' (x)dx C a Ví dụ 1:Tính  (2  x y)ds , C nửa đường tròn đơn vị x2 + y2 = C Phương trình tham số C là: x = cost, y = sint,  t   (do lấy nửa đường tròn) Áp dụng công thức, ta được:   (2  x y)ds   (2  cos C t sin t) sin t  cos tdt    (2  cos t sin t)dt  2  Giờ ta giả sử C đường cong trơn khúc, nghĩa C gồm số hữu hạn cung trơn C1, C2, …, Cn, đó:  f (x, y)ds   f (x, y)ds   f (x, y)ds    f (x, y)ds C C1 C2 Cn Ví dụ 2: Tính  2xds C gồm cung C1 parabol y = x2 từ (0,0) tới (1,1) C cung C2 đoạn thẳng nối (1,1) tới (1,2) Ta có:  2xds   2xds   2xds C C1 C2 Phương trình tham số C1: x = x, y = x2, x [0,1] Do đó:  2xds   2x  4x dx  C1 5 1 Với C2, ta coi y tham số: x = 1, y=y,  y  , :  2xds   2.1  1dy  C2 Vậy ta có :  2xds  C 5 1 2 b Tích phân đường không gian: Công thức Giả sử C đường cong trơn không gian có phương trình tham số: x  x(t), y  y(t), z  z(t),a  t  b 2  dx   dy   dz  C f (x, y, z)ds  a f (x, y, z)  dt    dt    dt  dt b Ví dụ 1: Tính  y sin zds C đường: x  cos t, y  sin t, z  t,0  t  2 C 2 2 Lời giải:  y sin zds   sin t.sin t sin t  cos t  1dt   sin tdt  2 C 0 Ví dụ 2: Tính  ydx  zdy  xdz C gồm đoạn thẳng C1 từ (2,0,0) tới (3,4,5) C đoạn thẳng C2 từ (3,4,5) tới (3,4,0) Lời giải: Phương trình tham số C1: x   t, y  4t, z  5t,0  t  1 Do :  ydx  zdy  xdz   (4t)dt  (5t)4dt  (2  t)5dt  24,5 C C2: x  3, y  4, z   5t,0  t  1 Nên  ydx  zdy  xdz   15dt  15 C Vậy:  ydx  zdy  xdz  24,5  15  9,5 C c Ứng dụng tích phân đường loại 1: Nếu khối lượng riêng M(x, y, z) cung AB (x,y,z) + Khối lượng cung AB là: m   (x, y, z)ds AB + Toạ độ trọng tâm G: x G  1  x(M)ds, yG   y(M)ds, z G   z(M)ds m AB m AB m AB Chú ý: Nếu AB đồng chất thì: x G   xds, yG  AB với độ dài cung AB:  yds, z G  AB  zds; AB   ds AB TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI a Công thức: TH1: Đường cong AB có PT: y = y(x); x: a → b b  P(x, y)dx  Q(x, y)dy    P(x, y(x))  Q(x, y(x))y '(x)  dx AB a TH2: Đường cong AB có PT tham số: x = x(t), y = y(t), t: α→β   P(x, y)dx  Q(x, y)dy   P(x(t), y(t))x '(t)  Q(x(t), y(t))y '(t)  dt AB  Ví dụ: Tính  y dx  xdy đó: C (a) C = C1 đoạn thẳng từ (-5,-3) tới (0,2) (b) C = C2 cung parabol x = 4-y2 từ (-5,-3) tới (0,2) Lời giải : (a) Phương trình tham số đường thẳng : x  5t  5, y  5t  3,  t  1 2  y dx  xdy   (5t  3) (5dt)  (5t  5)(5dt)  5 (25t  25t  4)dt   Do : C1 0 (b) Phương trình parabol là: x   y , y  y, 3  y  2 2  y dx  xdy   y (2y)dy  (4  y )dy   (2y Vậy dx = -2ydy nên 2 3 C2  y  4)dy  40 3 b Công thức Green Giả sử D miền liên thông bị chặn với biên trơn khúc L (có thể gồm nhiều đường cong kín rời nhau) Nếu đạo hàm riêng cấp P(x, y) Q(x, y) liên tục D  Q P    dxdy y  D  x  P(x, y)dx  Q(x, y)dy    L Ví dụ Tính I =  [(x)  y ]dx  [x  2xy  (y)]dx , L đường tròn x2 + y2 = 2y, L (x) (y) hàm khả tích xác định với x y hình tròn P(x, y) = (x) + y2  Ta có: P = 2y, y Q(x, y) = x + 2xy + (y)  Q = + 2y x  Q P    dxdy =  dxdy =  (diện tích hình tròn) y  D  x D AD công thức Green ta có I =   TÍCH PHÂN MẶT LOẠI a Công thức: Giả sử S = {(x, y, z): (x, y)  D, z = z(x, y)} 2  f (x, y, z)dS   f (x, y, z(x, y))  z x ' (x, y)  z y ' (x, y)dxdy S D Ví dụ Tính I =  z (x  y2 )dS với S phần tư mặt cầu S x2 + y2 + z2 = a2, x  0, y  2 z S1 Từ x + y + z = a ta có z.z’x = x, z.z’y = y D x y S2 a2 z2  z (z '2x  z '2y ) = x2 + y2   z '2x  z '2y = Chia S thành hai phần S1 S2 tương ứng với z  z < Trên S1 z = a  x  y , z2(x2 + y2)  z '2  z '2 = a a  x  y (x2 + y2); x y dxdy dS   z'2  z'2 dxdy  x y a  x  y2 Trên S2 z = – a  x  y , z2(x2 + y2)  z '2x  z '2y = a a  x  y (x2 + y2); dxdy dS   z'2  z'2 dxdy  x y a  x  y2 Vậy I1 =  z (x  y2 )dS =  z (x  y2 )dS = I2 S1 S2 Chuyển sang toạ độ cực, D’ = {(r, ) :    /2,  r  a}  /2 a 0 I = 2a  a  x  y2 (x  y2 )dxdy = 2a  d  a  r r 3dr D a /2 0 Đặt r = asint,  t  /2   a  r r 3dr = a5  sin t cos tdt =  I = 2a a 15  a = a 15 15 b Ứng dụng tích phân mặt loại a) Tính khối lượng mặt cong Nếu mặt S có khối lượng riêng M(x, y, z) (x, y, z) khối lượng mặt S m =  (x, y, z)dS S Đặc biệt, diện tích mặt S  dS S b) Trọng tâm mặt Các toạ độ trọng tâm G mặt S có khối lượng riêng M (M) tính theo công thức: xG = 1  x(M)dS , yG =  y(M)dS , zG =  z(M)dS , m =  (M)dS mS mS mS S Ví dụ Tính diện tích phần paraboloid z = x2 + y2 nằm phía mặt phẳng z = Lời giải Hình Mặt phẳng giao với paraboloid theo đường tròn x2 + y2 = 9, z = Do mặt phẳng cho nằm đĩa D với tâm gốc tọa độ bán kính (Xem Hình 4.) Do ta có ∬ √ ( ) ( ( ∬ √ ) ) Chuyển sang tọa độ cực ta ∫ ∫ √ ∫ √ ∫ ( ) ( ) | ( ) √ Ví dụ 2: Xác định tọa độ trọng tâm mặt paraboloid ) khối lượng riêng ( , biết √ Lời giải: Hình chiếu D: Khối lượng: ∬ ∬ √ Gọi G trọng tâm, ta có: ∬ ∬ ∬( =… Tương tự với xG, yG √ √ √ ) √ TÍCH PHÂN MẶT LOẠI a Cách tính: I =  P(x, y, z)dydz  Q(x, y, z)dzdx  R(x, y, z)dxdy (1) S Xét tích phân  R(x, y, z)dxdy Giả sử mặt S = {(x, y, z): (x, y)  D, z = f(x, y)} S  R(x, y, z)dxdy =  R(x, y, f (x, y))dxdy ( n , Oz) góc nhọn S S  R(x, y, z)dxdy = –  R(x, y, f (x, y))dxdy ( n , Oz) góc tù S S Các tích phân  P( x, y,z )dydz  Q( x, y,z )dzdx tính tương tự S S Chú ý: Tích phân (1) thông lượng trường vectơ F  P(x, y, z)i  Q(x, y, z) j  R(x, y, z)k qua mặt cong S Ví dụ 1: Tính I =  x dydz +  y dzdx +  z dxdy = Ix + Iy + Iz, với S mặt phía S 2 S S mặt cầu x + y + z = R Lời giải Dễ thấy rằng, Ix = Iy = Iz, ta cần tính Iz Ta phân S thành hai phần, S1 ứng với z  0, S2 ứng với z < Cả hai phần có chung miền hình chiếu D = {(x, y): x2 + y2  R2} Trên S1 z = R  x  y véc tơ pháp tuyến làm với trục Oz góc nhọn nên I1 =  R  x  y2 dxdy D Trên S2 z = – R  x  y2 véc tơ pháp tuyến làm với trục Oz góc tù nên I2 = –  ( R  x  y2 )dxdy = I1 D Chuyển sang toạ độ cực ta có 2 R 0 2 2  R  x  y dxdy =  d  R  r rdr = D 2 R3  I = R3 = 4R3 3 b Công thức Ostrogradsky Giả sử V miền giới nội R3 với biên mặt kín S trơn mảnh Khi ta có công thức Ostrogradsky, tích phân mặt lấy theo phía S  ( V P Q R   )dxdydz   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy x y z S  Ví dụ Tính thông lượng  F  xyi  y  e xz  j  sin(xy)k qua biên S hướng vật thể V giới hạn mặt trụ z = – x2 mặt phẳng y = 0, z = 0, y + z = Tính trực tiếp  =  Fn dS phức tạp z Sa y=2–z Áp dụng công thức Ostrogradsky ta có 1x 2 z 1 0  =  divF dxdydz   3y dxdydz   dx  dz  ydy = V V y = 1x 11 184 dx (2  z) dz     [(x 1)  8]dx  1 1 35 x z = – x2