hướng dẫn giải bài tập về tích phân đường tích phân mặt

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2... Công thức Green Giả sử D là miền liên thông bị chặn với biên trơn từng khúc L có thể gồm nhiều đường cong kín rời nhau... Do đó mặt phẳng đã cho nằm trên đĩa D

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 4

1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1

a Công thức:

TH1 Đường cong C có PT tham số: x = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b

b

   

    

   

TH2: Đường cong C có PT: y = y(x); a ≤ x ≤ b

b

2

f (x, y)ds  f (x, y(x)) 1 y ' (x)dx 

Ví dụ 1:Tính 2

C (2  x y)ds

 , trong đó C là nửa trên đường tròn đơn vị x2 + y2 = 1 Phương trình tham số của C là: x = cost, y = sint, 0  t (do lấy nửa trên đường tròn)

Áp dụng công thức, ta được:

2 0

(2 x y)ds (2 cos t sin t) sin t cos tdt

2 (2 cos t sin t)dt 2

3







Giờ ta giả sử C là đường cong trơn từng khúc, nghĩa là C gồm một số hữu hạn cung trơn

C1, C2, …, Cn, khi đó:

f (x, y)ds  f (x, y)ds  f (x, y)ds   f (x, y)ds

Ví dụ 2: Tính

C 2xds

 trong đó C gồm cung C1 của parabol y = x2 từ (0,0) tới (1,1) và cung C2 là đoạn thẳng nối (1,1) tới (1,2)

Ta có:

2xds  2xds  2xds

Phương trình tham số của C1: x = x, y = x2, x [0,1]

Do đó:

1

2

5 5 1 2xds 2x 1 4x dx

6



Với C2, ta coi y là tham số: x = 1, y=y, 1   y 2, do vậy :

2

2xds  2.1 0 1dy   2

Vậy ta có :

C

5 5 1

6





b Tích phân đường trong không gian:

Công thức

Giả sử C là đường cong trơn trong không gian có phương trình tham số:

x  x(t), y  y(t), z  z(t),a   t b

Ví dụ 1: Tính

C

y sin zds

 trong đó C là đường: xcos t, ysin t, zt,0   t 2 Lời giải:

y sin zds sin t.sin t sin t cos t 1dt 2 sin tdt 2

Ví dụ 2: Tính

C ydx  zdy  xdz

 trong đó C gồm đoạn thẳng C1 từ (2,0,0) tới (3,4,5) và đoạn thẳng C2 từ (3,4,5) tới (3,4,0)

Lời giải:

Phương trình tham số của C1: x 2 t, y4t, z5t,0 t 1

Do đó :

1

ydx  zdy  xdz  (4t)dt  (5t)4dt   (2 t)5dt  24, 5

C2: x3, y4, z 5 5t,0 t 1

Nên

1

ydx  zdy  xdz   15dt   15

Vậy:

C

ydx  zdy  xdz  24, 5 15   9, 5



c Ứng dụng của tích phân đường loại 1:

Nếu khối lượng riêng tại M(x, y, z) của cung AB là (x,y,z) thì

+ Khối lượng của cung AB là:

AB

m    (x, y, z)ds

x   xds, y   yds, z   zds;

với là độ dài cung AB:

AB

ds

 

2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2

a Công thức:

TH1: Đường cong AB có PT: y = y(x); x: a → b

a AB

P(x, y)dxQ(x, y)dy P(x, y(x)) Q(x, y(x))y '(x) dx

TH2: Đường cong AB có PT tham số: x = x(t), y = y(t), t: α→β

AB

P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x(t), y(t))x '(t) Q(x(t), y(t))y '(t) dt





z

y

x

D

S1

S2

Ví dụ: Tính 2

C

y dx  xdy

(a) C = C1 là đoạn thẳng từ (-5,-3) tới (0,2)

(b) C = C2 là cung parabol x = 4-y2 từ (-5,-3) tới (0,2)

Lời giải :

(a) Phương trình tham số của đường thẳng là : x 5t 5, y 5t 3, 0 t 1

Do vậy :

5

y dx xdy (5t 3) (5dt) (5t 5)(5dt) 5 (25t 25t 4)dt

6

(b) Phương trình của parabol là: 2

x   4 y , y     y, 3 y 2 Vậy dx = -2ydy nên

5

y dx xdy y ( 2y)dy (4 y )dy ( 2y y 4)dy 40

6

b Công thức Green

Giả sử D là miền liên thông bị chặn với biên trơn từng khúc L (có thể gồm nhiều đường cong kín rời nhau) Nếu các đạo hàm riêng cấp một của P(x, y) và Q(x, y) liên tục trong D thì

  

Ví dụ Tính I = 2

L

[ (x)   y ]dx [x   2xy   (y)]dx

còn (x) và (y) là các hàm khả tích bất kỳ xác định với x và y trong hình tròn đó

Ta có: P(x, y) = (x) + y2 P

y



 = 2y,

Q(x, y) = x + 2xy + (y)  Q

x



 = 1 + 2y

AD công thức Green ta có I =

D

dxdy

  

  

D

dxdy

 =  (diện tích hình tròn)

3 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1

a Công thức:

Giả sử S = {(x, y, z): (x, y)  D, z = z(x, y)}

f (x, y, z)dS f (x, y, z(x, y)) 1 z ' (x, y) z ' (x, y)dxdy  

Ví dụ Tính I = 2 2 2

S

z (x y )dS

 với S là một phần tư mặt cầu

x2 + y2 + z2 = a2, x  0, y  0

Từ x2

+ y2 + z2 = a2 ta có z.z’x = x, z.z’y = y

 2 ' 2 ' 2

z (z  z ) = x2 + y2  ' 2 ' 2

1 z   z =

2 2

a

z Chia S thành hai phần là S1 và S2 tương ứng với z  0 và z < 0

Trên S1 thì z = a2 x2 y2 , z2(x2 + y2) 1 z  ' 2x  z' 2y = a a2 x2 y2 (x2 + y2);

dxdy

dS 1 z z dxdy

  Trên S2 thì z = – a2 x2 y2 , z2(x2 + y2) 1 z  ' 2x  z' 2y = a a2 x2 y2 (x2 + y2);

dxdy

dS 1 z z dxdy

Vậy I1 =

1

S

z (x  y )dS

2

S

z (x  y )dS

Chuyển sang toạ độ cực, D’ = {(r, ) : 0 /2, 0  r  a} 

D

a  x  y (x  y )dxdy

/ 2 a

d a r r dr



Đặt r = asint, 0  t /2  a 2 2 3

0

a r r dr

/ 2

0

sin t cos tdt



15a5

 I = 2a

2

 2

15a5 = 2

15a6

b Ứng dụng của tích phân mặt loại 1

a) Tính khối lượng của mặt cong

Nếu mặt S có khối lượng riêng tại M(x, y, z) là (x, y, z) thì khối lượng của mặt S là

m =

S

(x, y, z)dS



Đặc biệt, diện tích của mặt S là

S

dS



b) Trọng tâm của mặt

Các toạ độ trọng tâm G của mặt S có khối lượng riêng tại M là (M) được tính theo công thức:

x G =

S

1

x (M)dS

m  , y G =

S

1

y (M)dS

m  , z G =

S

1

z (M)dS

m  , m =

S

(M)dS



Ví dụ 1 Tính diện tích phần của paraboloid z = x2

+ y2 nằm phía dưới mặt phẳng z = 9

Lời giải

Mặt phẳng giao với paraboloid theo đường tròn x2 + y2 = 9, z = 9 Do đó mặt phẳng

đã cho nằm trên đĩa D với tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 3 (Xem Hình 4.)

Do đó ta có

∬ √ (

) (

) ∬ √ ( )

Chuyển sang tọa độ cực ta được

∫ ∫ √

∫

∫ √

( ) ( ) | ( √ )

Ví dụ 2: Xác định tọa độ trọng tâm của mặt paraboloid , biết khối lượng riêng ( )

√

Lời giải:

Hình chiếu D:

Khối lượng:

∬

√ ∬ √ √ Gọi G là trọng tâm, ta có:

∬

∬

√ √

∬( ) =…

Tương tự với x G , y G

Hình 3

4 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2

a Cách tính: I =

S

P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dzdxR(x, y, z)dxdy

Xét tích phân

S

R(x, y, z)dxdy

 Giả sử mặt S = {(x, y, z): (x, y)  D, z = f(x, y)}

S

R(x, y, z)dxdy

S

R(x, y, f (x, y))dxdy

S

R(x, y, z)dxdy

S

R(x, y, f (x, y))dxdy

 nếu (n, Oz) là góc tù

Các tích phân

S

P( x, y,z )dydz

S

Q( x, y, z )dzdx

 cũng được tính tương tự

Chú ý:

Tích phân (1) là thông lượng của trường vectơ FP(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k 

qua mặt cong S.

Ví dụ 1: Tính I =

S

x dydz

S

y dzdx

S

z dxdy

 = Ix + Iy + Iz, với S là mặt phía ngoài của mặt cầu x2

+ y2 + z2 = R2

Lời giải

Dễ thấy rằng, Ix = Iy = Iz, do đó ta chỉ cần tính Iz

Ta phân S thành hai phần, S1 ứng với z  0, còn S2 ứng với z < 0

Cả hai phần đều có chung miền hình chiếu D = {(x, y): x2 + y2 R2}

Trên S1 thì z = R2 x2 y2 và véc tơ pháp tuyến làm với trục Oz một góc nhọn nên

I1 = 2 2 2

D

R x y dxdy

Trên S2 thì z = – R2 x2 y2 và véc tơ pháp tuyến làm với trục Oz một góc tù nên

D

( R x y )dxdy

Chuyển sang toạ độ cực ta có

D

R x y dxdy



3R3 I = 62

3R3 = 4R3

b Công thức Ostrogradsky

Giả sử V là miền giới nội trong R 3

với biên là mặt kín S trơn từng mảnh Khi đó ta có công thức Ostrogradsky, ở đây tích phân mặt lấy theo phía ngoài của S

Ví dụ Tính thông lượng  của  2 xz 2

F  xyi  y  e j sin(xy)k  qua biên S hướng ra ngoài của vật thể V giới hạn bởi mặt trụ z = 1 – x2

và các mặt phẳng y = 0, z = 0, y + z = 2

Tính trực tiếp  =

a

S

Fn dS

 rất phức tạp

Áp dụng công thức Ostrogradsky ta có

 =

2

divF dxdydz 3y dxdydz 3 dx dz ydy



=

2

dx (2 z) dz [(x 1) 8]dx



y

z

z = 1 – x2

y = 2 – z