SKKN phát triển tư duy giải phương trình lượng giác

MỤC LỤC MỤC LỤC……………………………………………………………… Trang PHẦN I MỞ ĐẦU…………………………………………………………… …2 I Lý chọn đề tài …………………………………………………………… …2 II Mục đích nghiên cứu……………………………………………………….… III Đối tượng nghiên cứu……………………………………………………….…3 IV Đối tượng khảo sát thực nghiệm………………………………………….… V Phương pháp nghiên cứu…………….……………………………………… VI Phạm vi kế hoạch nghiên cứu………………………………………….… PHẦN II NỘI DUNG……………… ………………………………………….… I Những sở lý luận, thực tiễn…………………………………… ……….… II Thực trạng vấn đề…………………………………………………………… III Một số giải pháp…………………………………………………………… IV Kết thực hiện…………………………………………………… 23 PHẦN III KẾT LUẬN – KHUYẾN NGHỊ………………………………… 25 I Kết luận……………………………………… 25 II Khuyến nghị……………………………………… 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………… 28 PHẦN I MỞ ĐẦU I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong công tác giảng dạy, việc phải đảm bảo chất lượng học tập học sinh thật tốt, đạt chuẩn bên cạnh công tác bồi dưỡng học sinh giỏi nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Được tín nhiệm BGH trường THPT Tiến Thịnh, năm gần phân công trực tiếp giảng dạy lớp 11A1, lớp có chất lượng học sinh đầu vào tốt Vì bên cạnh việc giảng dạy trọng đến việc đào tạo học sinh mũi nhọn, học sinh có lực tư toán học tốt để tham dự kì thi HSG cấp trường, liên trường chuẩn bị cho kì thi HSG lớp 12 cấp thành phố Tuy nhiên nói lớp có chất lượng học sinh tốt thực trạng trường THPT Tiến Thịnh “so bó đũa để chọn cột cờ” chất lượng tuyển sinh vào 10 trường thấp Vì để có học sinh mũi nhọn điều không dễ dàng Nhiệm vụ đặt người giáo viên cần có chuẩn bị thật tốt kiến thức, nắm lực học em học sinh để bồi dưỡng, phát triển tư duy, lực nhận thức em cho phù hợp bước một, không nóng vội, đốt cháy giai đoạn, từ giúp em tiếp cận đến đề thi HSG cấp trường, liên trường, cấp thành phố Trong suốt năm qua, thường xuyên tham gia vào việc bồi dưỡng đội tuyển HSG toán lớp 11, qua trình tham gia vào việc giảng dạy nghiên cứu thấy mảng kiến thức trọng tâm Đại số Giải tích 11 “Phương trình lượng giác” mảng kiến thức khó em học sinh mảng kiến thức thường xuyên xuất đề thi học sinh giỏi lớp 11, 12, đề thi tuyển sinh Đại học- Cao đẳng năm gần Trong học phương trình lượng giác cách nghiên cứu tập sách giáo khoa sách tập chưa đủ để em phát triển tư duy, nâng cao lực nhận thức vươn tới tập phương trình lượng giác đề thi học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh Chính vậy, từ sở thực tiễn giảng dạy chuyên đề phương trình lượng giác cho em học sinh khối 11 trường THPT Tiến Thịnh, với kinh nghiệm thời gian giảng dạy, nghiên cứu, khai thác, tổng hợp hệ thống hoá lại kiến thức thành chuyên đề “PHÁT TRIỂN TƯ DUY, BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 THÔNG QUA CHUYÊN ĐỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC” II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho em học sinh số phương pháp tổng quát số kỹ bản, giải phương trình lượng giác Cùng với việc rèn kĩ phát triển tư duy, nhận thức, nâng cao lực phân tích, tổng hợp em toán giải phương trình lượng giác nói riêng môn Toán nói chung Giúp em làm quen tiếp cận đến toán giải phương trình lượng giác đề thi học sinh giỏi lớp 11, 12 cấp trường, cấp thành phố đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Giới thiệu lớp toán giải phương pháp lượng giác hóa để mở rộng kiến thức cho em học sinh, đặc biệt em học sinh khá, giỏi Hy vọng đề tài nhỏ đời giúp em học sinh có nhìn sâu sắc toán giải phương trình lượng giác, nâng cao lực tư duy, sáng tạo cách nghĩ cách giải lớp toán phương trình lượng giác III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Phương trình lượng giác (Đại số giải tích 11) IV ĐỐI TƯỢNG KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM Học sinh lớp 11A1 niên khóa 2012- 2013 2013- 2014 V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp: - Nghiên cứu lý luận chung - Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học - Nghiên cứu, tham khảo đề thi HSG cấp trường, cấp tỉnh, cấp thành phố năm, đề thi tuyển sinh đại học- cao đẳng để tổng hợp nên dạng toán - Tổng hợp so sánh, kiểm tra, đánh giá đúc rút kinh nghiệm Cách thực hiện: - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên môn - Liên hệ thực tế nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua trình giảng dạy - Thông qua việc bồi dưỡng HSG trực tiếp lớp khối 11 năm học từ 2012- 2013 2013- 2014 VI PHẠM VI VÀ KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU Phạm vi nghiên cứu: Phương pháp giải phương trình lượng giác chương trình toán THPT, đề thi học sinh giỏi lớp 11, 12 cấp, đề thi tuyển sinh đại học- cao đẳng năm gần Kế hoạch nghiên cứu: Để phục vụ cho trình thực đề tài, nghiên cứu tài liệu phương trình lượng giác chương trình toán THPT; phương pháp lượng giác hóa sách tham khảo; số đề thi học sinh giỏi lớp 11, 12 trường THPT; đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố Hà nội số tỉnh thành nước đề thi tuyển sinh đại học- cao đẳng năm gần Tôi thường xuyên trao đổi chuyên môn với đồng nghiệp tổ, tiến hành tìm hiểu đối tượng học sinh, kiểm tra khả nhận thức em để đưa phương pháp giảng dạy phù hợp Tôi trực tiếp thực nội dung sáng kiến kinh nghiệm với học sinh lớp khối 11, chủ yếu lớp 11A1 niên khóa 2012- 2013 2013- 2014 PHẦN II NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN, THỰC TIẾN Cơ sở lí luận “Phương trình lượng giác” mảng kiến thức mới, lạ khó em học sinh bắt đầu làm quen từ chương VI Sách giáo khoa Đại số 10 chương Sách giáo khoa Đại số giải tích 11 Để làm tốt giải phương trình lượng giác em cần kết hợp tốt công thức lượng giác học cuối lớp 10 với phương pháp giải phương trình lượng giác lớp 11, với tích cực tư duy, chủ động, sáng tạo tiếp cận phương trình lượng giác Do mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đích giúp em học sinh lớp 11 hiểu sâu phương trình lượng giác, rèn luyện kỹ năng, nâng cao lực nhận thức, vận dụng tìm phương pháp giải gặp toán dạng Trong Sách giáo khoa Đại số giải tích 11 nêu số phương pháp giải phương trình lượng giác nhất( phương trình bậc bậc hai hàm số lượng giác, phương trình bậc sinx cosx,) cộng với số lượng tập ứng dụng Tuy nhiên gặp toán giải phương trình lượng giác, đặc biệt toán đề thi học sinh giỏi đề thi tuyển sinh có nhiều toán đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức kĩ năng, phân tích biến đổi để đưa phương trình từ dạng phức tạp dạng đơn giản Trong giới hạn sáng kiến kinh nghiệm này, không sâu vào việc trình bày phương pháp giải phương trình lượng giác mà hướng dẫn học sinh hai dạng tập hay gặp nhất, giải phương trình lượng giác cách sử dụng công thức lượng giác hướng dẫn loại nghiệm giải phương trình lượng giác có điều kiện Bên cạnh giới thiệu cho em phương pháp lượng giác hóa giải toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức đại số, toán giải phương trình chứa Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cách sử dụng công thức lượng giác Khi giải phương trình lượng giác nên quan tâm đến công thức lượng giác học cách vận dụng để biến đổi phương trình theo hướng sau: +) Đưa phương trình bậc sin cos dạng a sin x + b cos x +) Đưa phương trình chứa loại hàm số lượng giác +) Đưa phương trình tích: ý cần tạo thừa số chung Dạng 2: Phương trình lượng giác có điều kiện +) Phương trình lượng giác có điều kiện (chủ yếu phương trình có chứa ẩn mẫu số chứa ẩn hàm số tang, cotang) dạng toán bản, hay phức tạp, thường xuyên đề cập đến đề thi học sinh giỏi đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm gần +) Một số phương pháp đối chiếu điều kiện để kết luận nghiệm phương trình lượng giác có điều kiện Phương pháp biểu diễn điều kiện nghiệm thông qua hàm số lượng giác Phương pháp thử trực tiếp Phương pháp biểu diễn đường tròn lượng giác Dạng 3: Giúp học sinh làm quen với phương pháp lượng giác hóa Phương pháp lượng giác hóa áp dụng để giải nhiều dạng toán Đại số Giải tích khác như: giải phương trình, hệ phương trình, tìm miền giá trị hàm số, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức đại số Nội dung phương pháp tìm cách đổi biến lượng giác phù hợp với yêu cầu giả thiết toán để đưa biểu thức đại số hàm số đại số phức tạp biểu thức lượng giác đơn giản từ sử dụng công thức biến đổi lượng giác quen thuộc để tìm lời giải cho toán Một áp dụng phương pháp lượng giác hóa hay gặp đề thi học sinh giỏi đề thi đại học cao đẳng dùng phương pháp để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức đại số hay giải toán giải phương trình chứa Cơ sở thực tiễn Trong chương trình toán THPT, nói toán giải phương trình lượng giác học lớp 11 toán quan trọng, thường xuyên xuất đề thi học sinh giỏi lớp 11, 12 cấp đề thi tuyển sinh Trong học sinh nói chung học sinh trường THPT Tiến Thịnh nói riêng, kể học sinh đánh giá khá, giỏi kĩ giải phương trình lượng giác yếu dẫn đến tâm lí chung em cảm thấy ngại, không muốn làm gặp phải dạng toán II THỰC TRẠNG Thuận lợi Học sinh trường THPT Tiến Thịnh ngoan, chịu khó tìm hiểu tiếp thu kiến thức Ý thức học em tốt, đặc biệt em học sinh khá, giỏi có ý chí vươn lên học tập Đội ngũ giáo viên trường tích cực nghiên cứu, tự bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ để nâng cao chất lượng giảng dạy Và quan trọng nhà trường quan tâm sát đến chất lượng dạy học thầy trò đặc biệt công tác đào tạo học sinh mũi nhọn Khó khăn Học sinh trường THPT Tiến Thịnh có chất lượng tuyển sinh đầu vào lớp 10 tương đối thấp, lực tiếp thu em hạn chế Năm học 2012- 2013, điểm tuyển sinh vào 10 trường 29,5 có khoảng 20 em học sinh giỏi cấp dự thi vào trường học sinh có điểm tuyển sinh vào trường 60 điểm Năm học 2013- 2014, điểm tuyển sinh vào 10 trường 31,5 có khoảng 15 em học sinh giỏi cấp dự thi vào trường Chính vậy, tiếp cận với kiến thức lượng giác đa phần em thấy choáng ngợp trước hệ thống công thức lượng giác vừa khó nhớ, vừa khó vận dụng Kể em học vất vả để ghi nhớ hết tất công thức Khi gặp phương trình lượng giác đơn giản, dạng em giải toán gặp phương trình đòi hỏi kỹ tổng hợp, phân tích công thức để giải hầu hết em thụ động mắc lỗi trình giải toán Do nắm vững kiến thức sách giáo khoa chưa đủ mà cần rèn luyện kỹ thật tốt để làm chủ kiến thức vận dụng vào tập Đối với em học sinh có tư lực nhận thức tốt học bị thụ động, chưa tích cực, sáng tạo để giải toán giải phương trình lượng giác theo hướng tích cực Đặc biệt em lúng túng gặp toán giải phương trình lượng giác có sử dụng nhiều công thức lượng giác kết hợp hay phương trình lượng giác có điều kiện (còn yếu khâu loại nghiệm) Do vậy, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đính giúp cho em học sinh khá, giỏi lớp 11 vận dụng rèn kỹ gặp toán giải phương trình lượng giác, nâng cao lực nhận thức, tư sáng tạo cho em III MỘT SỐ GIẢI PHÁP Qua nghiên cứu trao đổi đúc rút kinh nghiệm từ thực tế ý kiến đồng nghiệp mạnh dạn đưa số giải pháp giúp học sinh hình thành kĩ biến đổi giải phương trình lượng giác Xây dựng bảng công thức lượng giác Hệ thống tất kiến thức lượng giác quan trọng lớp 10 thành bảng ghi nhớ để giúp em khắc sâu lí thuyết làm tảng để vận dụng vào giải tập Bảng công thức lượng giác giúp em ghi nhớ công thức hình thành óc quan sát, định hướng công thức sử dụng Quan trọng hết chọn công thức áp dụng công thức giúp em hướng giải cho toán Các em sử dụng bảng công thức lượng giác cẩm nang công thức toán học Đối với công thức có nhiều cách vận dụng khác nhấn mạnh cách sử dụng khác công thức, phát triển tư cho em, giúp em linh hoạt, sáng tạo giải toán CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ I Các hệ thức hệ quả: 1/ sin a + cos a = ⇒ sin a = − cos a ; cos a = − sin a 1 ⇒ cos a = cos a + tan a 1 3/ + cot a = ⇒ sin a = sin a + cot a kπ 1 , k ∈ Z ⇒ cot a = ; tan a = 4/ tan a cot a = ; a ≠ tan a cot a 2/ + tan a = II Công thức cộng 1/ cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b 2/ cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b 3/ sin(a + b) = sin a cos b + co s a sin b 4/ sin(a − b) = sin a cos b − co s a sin b tan a + tan b − tan a tan b tan a − tan b 6/ tan(a − b) = + tan a tan b 5/ tan(a + b) = III Công thức góc nhân đôi: 1/ cos 2a = cos a − sin a = cos a − = − sin a 2/ sin 2a = sin a cos a ⇒ sin a cos a = sin 2a 3/ tan 2a = tan a − tan a SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề giải phương trình lượng giác IV Công thức hạ bậc hai: 1/ sin a = 1- cos2a tg2a = 1+ tg2a 2/ cos a = 1+ cos2a cot g2a = 1+ cot g2a 3/ tg2a = 1- cos2a 1+ cos2a V Công thức biến đổi tích thành tổng: 1/ cos a cos b = [ cos( a − b ) + cos( a + b ) ] 3/ sin a cos b = [ sin ( a + b ) + sin ( a − b ) ] 2/ sin a sin b = [ cos( a − b ) − cos( a + b ) ] VI Công thức biến đổi tổng thành tích: a+b a- b cos 2 a+b a- b cosa - cosb = - 2sin sin 2 a+b a- b sina + sinb = 2sin cos 2 a+b a- b sina - sinb = 2cos sin 2 sin ( a + b) tga + tgb = cosa.cosb sin ( a - b) tga - tgb = cosa.cosb 1/ cosa + cosb = 2cos 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ VII Công thức liên hệ góc (cung) liên quan đặc biệt: Hai cung đối nhau: α ; −α Hai cung bù (tổng = π ): co s(−α ) = co s α co s(π − α ) = −co s α sin(−α ) = − sin α sin(π − α ) = sin α tan(−α ) = − tan α tan(π − α ) = − tan α cot(−α ) = − cot α cot(π − α ) = − cot α Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh α ;π − α Trang SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề giải phương trình lượng giác Hai cung π : α ;α + π π co s(α + π ) = −co s α Hai cung phụ ( tổng = ) : sin(α + π ) = − sin α ; tan(α + π ) = tan α cot(α + π ) = cot α π  co s  − α ÷ = sin α 2  π  tan  − α ÷ = cot α 2  ; α; π −α π  sin  − α ÷ = co s α 2  π  cot  − α ÷ = tan α 2  Hướng dẫn học sinh tự học nhà Tự học khâu quan trọng trình học tập học sinh, tạo hứng thú cho học sinh học lớp thành mà em lao động nhà phát huy tích cực đến lớp thông qua tập, trắc nghiệm mang tính đánh giá nhạy bén học sinh, kết đạt thường khuyến khích thông qua điểm số thông qua lời khen ngợi giáo viên Tôi thường đưa phương pháp chung để giải với dạng phương trình lượng giác đưa tập cho em nhà nghiên cứu trước , qua nâng cao lực làm việc, phát giải vấn đề, gợi mở tính sáng tạo học sinh giải phương trình lượng giác Giúp học sinh ghi nhớ công thức nghiệm phương trình lượng giác 3.1 Công thức: Công thức nghiệm phương trình lượng giác yếu tố quan trọng để giúp em hoàn thành giải xác • •  u = v + k 2π sin u = sin v ⇔  , k∈Z u = π − v + k 2π  u = v + k 2π cos u = cos v ⇔  , k∈Z u = −v + k 2π tan u = tan v ⇔ u = v + kπ , k ∈ Z cot u = cot v ⇔ u = v + kπ , k ∈ Z • • 3.2 Ví dụ: Một số ví dụ phương trình lượng giác phương trình lượng giác thường gặp Ví dụ 1: Giải phương trình sau: c, tan( x − 60 ) = a, s inx = − Hướng dẫn: π d, s in3x = cos2 x b, 3cos(2 x + ) = Học sinh tự giải so sánh kết Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh Trang 10 SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề giải phương trình lượng giác π π Phương trình có nghiệm x = − + kπ , x = k 2π , x = − + k 2π , k ∈ Z Ví dụ 10: Giải phương trình sin x cos x + sin x cos x − sin x − cos x − cos x + = (HSG lớp 11 Bắc Giang năm 2012- 2013) Hướng dẫn: Chú ý công thức góc nhân đôi, cần sử dụng khéo léo công thức để tạo thừa số chung Lời giải: sin x cos x + sin x cos x − sin x − cos x − cos x + = ( ) ⇔ sin x cos x − + sin x cos x − sin x − cos x + − cos x + = ( ) ( ) ⇔ sin x cos x − cos x + sin x cos x − cos x − ( sin x − 4) = ⇔ ( sin x − 1).2 cos x + ( sin x − 1).2 cos x − 4( sin x − 1) = ( ) ⇔ ( sin x − 1) cos x + cos x − =  π  sin x = ⇔ x = + kπ   sin x − = ⇔ ⇔  cos x = ⇔ x =4k 2π 2 cos x + cos x − =     cos x = −2(vn) π Phương trình có nghiệm x = + kπ , x = k 2π , k ∈ Z ,k ∈ Z 4.3 Bài tập tự luyện: + sin x + cos x + sin x + cos x = Bài 1: Giải phương trình Bài 2: Giải phương trình sin x + cos x = sin x sin x − cos x = sin x + cos x − Bài 3: Giải phương trình Bài 4: Giải phương trình cos 2 x + cos x sin x + sin 2 x = Phương trình lượng giác có điều kiện 5.1 Phương pháp: • Phương trình lượng giác có điều kiện (chủ yếu phương trình có chứa ẩn mẫu số chứa ẩn hàm số tang, cotang) dạng toán bản, hay phức tạp, thường xuyên đề cập đến đề thi học sinh giỏi đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm gần • Một số phương pháp đối chiếu điều kiện để kết luận nghiệm phương trình lượng giác có điều kiện a Phương pháp biểu diễn điều kiện nghiệm thông qua hàm số lượng giác Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh Trang 16 SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề giải phương trình lượng giác Ta biến đổi điều kiện nghiệm tìm thông qua hàm số lượng giác Từ chuyển việc đối chiếu điều kiện x đối chiếu điều kiện y đơn giản nhiều(giống đại số) b Phương pháp thử trực tiếp Đối với phương trình mà điều kiện nghiệm tìm khó đưa hàm số lượng giác, ta tìm nghiệm cụ thể thay vào điều kiện để kiểm tra lại c Phương pháp biểu diễn đường tròn lượng giác Ta biểu diễn đường tròn lượng giác điểm không thỏa mãn điều kiện (đánh dấu x) điểm nghiệm tìm (đánh dấu o) Những điểm đánh dấu o mà không trùng với điểm đánh dấu x điểm thỏa mãn điều kiện Phương pháp có hiệu số điểm không thỏa mãn điều kiện vị trí đặc biệt, đồng thời phương pháp tỏ không hiệu Chú ý: Mỗi cung(hoặc góc) lượng giác biểu diễn điểm đường tròn lượng giác(quy định gọi tắt đường tròn) i) x = α + k 2π , k ∈ Z biểu diễn đường tròn điểm ii) x = α + kπ , k ∈ Z biểu diễn đường tròn hai điểm đối xứng với qua gốc O iii) x = α + k 2π , k ∈ Z biểu diễn đường tròn ba điểm cách nhau, tạo thành ba đỉnh tam giác nội tiếp đường tròn Tổng quát: x = α + k 2π , k , n ∈ Z , n ≥ biểu diễn đường tròn n n điểm cách nhau, tạo thành n đỉnh đa giác nội tiếp đường tròn 5.2 Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình cos x − tan x = cos x − cos x − cos x Hướng dẫn: Ta biến đổi điều kiện nghiệm tìm phương trình thông qua hàm số y = cos x Lời giải: Điều kiện cos x ≠ (*) Ta có phương trình (1) ⇔ cos x − − tan x = − cos x − − tan x cos x = −1 ⇔ cos x + cos x − = ⇔   cos x = Đối chiếu điều kiện (*) ta thấy giá trị cosx thỏa mãn π Phương trình có nghiệm x = π + k 2π , x = ± + k 2π , k ∈ Z Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh Trang 17 SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề giải phương trình lượng giác Nhận xét: Trong phương trình ví dụ này, ta biến đổi điều kiện nghiệm tìm thông qua hàm số y = cos x Từ chuyển việc đối chiếu điều kiện x đối chiếu điều kiện y đơn giản nhiều Ví dụ 2: Giải phương trình 1 + = cos x sin x sin x Lời giải:   sin x ≠  sin x ≠ cos x ≠  ⇔  sin x ≠ ±1 Điều kiện  (*) Khi ta có phương trình sin x ≠   sin x ≠ ±  sin x cos x + cos x = ⇔ sin x sin x + sin x − = ( )   sin x = ⇔ sin x = −1   sin x =  2 π 5π Phương trình có nghiệm x = + k 2π , x = + k 2π , k ∈ Z 6 Ví dụ 3: Giải phương trình cos 3x tan x = sin x Đối chiếu điều kiện (*) ta chọn sin x = Hướng dẫn: Lời giải: Điều kiện cos x ≠ (*) Ta có phương trình kπ   x= 2 sin x cos x = sin x cos x ⇔ sin x = sin 12 x ⇔  π kπ x = + 20 10  kπ 5kπ kπ ⇒ cos x = cos = cos ≠ ⇔ k = 2m ( m ∈ Z ) Với x = 2 π kπ  π kπ  Với x = + ⇒ cos x = cos +  ≠ 20 10  4 π kπ , k, m ∈ Z Phương trình có nghiệm x = mπ , x = + 20 10 π  Ví dụ 4: Giải phương trình tan − x  = sin x + 4  ,k ∈ Z Hướng dẫn: Chú ý điều kiện phương trình Biến đổi π  − tan x cos x − sin x tan − x  = = 4  + tan x cos x + sin x Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh Trang 18 SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề giải phương trình lượng giác π Lời giải: Điều kiện x ≠ − + kπ , k ∈ Z (*) Khi ta có phương trình cos x − sin x = sin x + ⇔ sin x + sin x cos x + sin x = cos x + sin x  sin x = ⇔ x = kπ , k ∈ Z ⇔ sin x sin x + sin x cos x + = ⇔  5 sin x + sin x cos x + = (vn) ( ) y 3π O − π x π Trên đường tròn lượng giác ; biểu diễn x = − + kπ , k ∈ Z điểm (đánh dấu x); biểu diễn x = kπ , k ∈ Z điểm (đánh dấu o) Ta thấy điểm đánh dấu o không trùng với điểm đánh dấu x Phương trình có nghiệm x = kπ , k ∈ Z tan x + tan x  π = sin  x +  Ví dụ 5: Giải phương trình 2 4 tan x +  (HSG lớp 11 Vĩnh Phúc năm 2011- 2012) Hướng dẫn: Quan sát mẫu ta áp dụng công thức + tan x = tạo thừa số chung sin x + cos x cos x π + kπ (*) 2 Phương trình cho tương đương với: cos x(tan x + tan x) = sin x + cos x Lời giải: Điều kiện: cos x ≠ ⇔ x ≠ ⇔ 2sin x + 2sin x.cos x = sin x + cos x ⇔ 2sin x(sin x + cos x) = sin x + cos x ⇔ (sin x + cos x)(2sin x − 1) = Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh Trang 19 SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề giải phương trình lượng giác π +) Với sin x + cos x = ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − + kπ +) Với 2sin x − = ⇔ sin x = ⇔ x = π 5π + k 2π ; x = + k 2π 6 Đối chiếu điều kiện (*), suy nghiệm phương trình cho : π π 5π + kπ , x = + k 2π , x = + k 2π , k ∈ Z 6 x  Ví dụ 6: Giải phương trình cot x + sin x1 + tan x tan  = 2  x=− Lời giải:  sin x ≠ cos x ≠ kπ ⇔x≠ Điều kiện  x cos ≠  ,k ∈ Z (*) Phương trình cho tương đương với: cot x + tan x = ⇔ tan x − tan x + =  tan x = − ⇔ x = arctan(2 − ) + kπ ⇔ ,k ∈ Z  tan x = + ⇔ x = arctan(2 + ) + kπ Đối chiếu điều kiện (*), suy nghiệm phương trình cho : x = arctan(2 − ) + kπ , x = arctan(2 + ) + kπ , k ∈ Z (1 − sin x ) cos x Ví dụ 7: Giải phương trình (1 + sin x ) (1 − sin x) = Lời giải:  π    x ≠ + k 2π  sin x ≠  π ⇔ Điều kiện sin x ≠ −  x ≠ − + m2π , k , m ∈ Z (*)     x ≠ 7π + m2π   Khi ta có phương trình: cos x − sin x = + sin x + sin x ( ) ⇔ cos x − sin x = sin x + cos x ⇔ cos x − sin x = sin x + cos x π  x = + l 2π  π π     ⇔ cos x +  = cos x −  ⇔  π l 2π 3 6   x = − + 18  ,l ∈ Z Đối chiếu điều kiện (*), suy nghiệm phương trình cho : x=− π l 2π + ,l ∈ Z 18 Ví dụ 8: Giải phương trình cos x(cos x − 1) = 2(1 + sin x ) sin x + cos x Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh Trang 20 SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề giải phương trình lượng giác Lời giải: π Điều kiện sin x + cos x ≠ ⇔ x ≠ − + kπ , k ∈ Z (*) Khi ta có phương trình: (1 − sin x )( cos x − 1) = 2(1 + sin x )( sin x + cos x ) ( sin x + 1) [ (1 − sin x )( cos x − 1) − 2( sin x + cos x ) ] = π  sin x + = ⇔ sin x = −1 ⇔ x = − + l 2π , l ∈ Z ⇔  sin x + cos x + sin x cos x + = (**)  Giải (**) phép đặt ẩn phụ sin x + cos x = t , t ≤ ta có phương trình: t −1 + = ⇔ t + 2t + = ⇔ t = −1 (t / m) π π   Với t = −1 ⇒ sin x + cos x = −1 ⇔ sin x +  = −1 ⇔ sin  x +  = − 4 4    x = π + m2π π ⇔ ,m∈ Z  x = − + m2π t+ Đối chiếu điều kiện (*), suy nghiệm phương trình cho : x=− π + m2π , x = π + m2π , m ∈ Z x π (2 − ) cos x − sin  −  Ví dụ 9: Giải phương trình   =1 cos x (HSG lớp 11 Vĩnh Phúc năm 2010- 2011) Lời giải: Điều kiện cos x ≠ ⇔ x ≠ π + kπ , k ∈ Z (*)  π   Khi ta có phương trình: ( − ) cos x − 1 − cos x −  = cos x 2   ⇔ − cos x − + sin x = ⇔ sin x − cos x = π   x = + l 2π π  ⇔ sin  x −  = ⇔  7π 3  x = + l 2π   ,l ∈ Z Đối chiếu điều kiện (*), suy nghiệm phương trình cho : Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh Trang 21 SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề giải phương trình lượng giác x= 7π + l 2π , l ∈ Z Ví dụ 10: Giải phương trình sin x ( + cos x ) − cos x.sin 2sin x − x −3 =0 (HSG lớp 11 Hà Tĩnh năm 2012- 2013) Lời giải: π  x ≠ + k 2π  sin x ≠ ⇔ , k,l ∈ Z Điều kiện:  5π x ≠ + l 2π  (*) Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: x −3 = ⇔ sin x + sin x.cos x − cos x ( − cos x ) − = sin x ( + cos x ) − cos x.sin ⇔2 ( ) ( ) sin x − cos x − 3sin x − sin x.cos x + cos x =  sin x − cos x = sin x − cos x − = ⇔   sin x − cos x = π TH1: sin x − cos x = ⇔ cot x = ⇔ x = + kπ , k ∈ Z π π π   TH2: sin x − cos x = ⇔  sin x cos − cos x sin ÷ = ⇔ sin  x − ÷ = 6 6   π π 2π ⇔ x − = + k 2π ⇔ x = + k 2π , k ∈ Z ⇔ ( sin x − cos x )( ) Đối chiếu điều kiện (*) ta thấy phương trình cho có nghiệm x= 7π 2π + k 2π , x = + k 2π , k ∈ Z 5.3 Bài tập tự luyện tan x + cot x + Bài 1: Giải phương trình =3 sin x Bài 2: Giải phương trình ( sin x + cos x ) − sin x = + cot x Bài 3: Giải phương trình Bài 4: Giải phương trình  π  π   sin  − x  − sin  − x    4  4  ( sin x − cos x ) = tan x + cot x cot x − sin x + sin x + sin 3x = cos x + cos x + cos x Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh Trang 22 SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề giải phương trình lượng giác 3( sin x + tan x ) − cos x = tan x − sin x Bài 5: Giải phương trình Bài 6: Giải phương trình tan x − tan x + 3(1 + sin x ) π x  − cos  −  = cos x  2 Phương pháp lượng giác hóa Phương pháp lượng giác hóa toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đại số toán giải phương trình chứa 6.1 Phương pháp: Ta nhận biết dạng gặp biểu thức lượng giác dạng sin x + cos x = ; + tan x = sau: ; Từ nghĩ đến hướng đặt cos x +) x ≤ a đặt x = a cos t , y = a sin t , t ∈ [ ; 2π ] (hoặc x = a sin t , y = a cos t , t ∈ [ ; 2π ] ) đặt x = a cos t , t ∈ [ ; π ] +) x ∈ R  đặt x = tan t , t ∈  − +) x + y = a π π ;   2 Khi toán đưa việc tìm giá trị nhỏ nhất, lớn hàm số lượng giác đơn giản sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc sinnx cosnx; toán giải phương trình chứa phương trình lượng giác với biến đơn giản 6.2 Ví dụ: Ví dụ 1: Cho số thực x, y thay đổi thỏa mãn hệ thức x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = ( ) x + xy + xy + y (ĐH khối B năm 2008) Lời giải: Do x + y = nên tồn góc α cho x = cos α , y = sin α Lúc đó: ( ) cos α + cos α sin α + cos 2α + sin 2α P= = 2 + sin 2α − cos 2α + cos α sin α + sin α ⇔ (1 + P ) cos 2α + ( − P ) sin 2α = P − (*) Phương trình (*) có nghiệm theo α (1 + P ) + ( − P ) ≥ ( P − 1) ⇔ −6 ≤ P ≤ 5 • Với P=3 từ (*) suy cos 2α + sin 2α = ⇔ cos 2α + sin 2α = (1) Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh Trang 23 SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề giải phương trình lượng giác π , sin ϕ = (0 < ϕ < ) Từ (1) suy 5 ϕ cos( 2α − ϕ ) = ⇔ α = + kπ Do đó:     ϕ  ;  k = 2m x = cos + k π    ( x ; y ) =   2 ⇔  10 10       y = sin  ϕ + kπ  ( x ; y ) =  − ;−  k = 2m +   2  10 10    Đặt cos ϕ = m, k ∈ Z • Với P=-6 từ (*) suy 12 cos 2α − sin 2α = (2) 13 13 π (0 < φ < ) Từ (2) suy − cos 2α + 12 sin 2α = −13 ⇔ 12 , sin φ = 13 13 φ cos( 2α + φ ) = ⇔ α = − + kπ , k ∈ Z Do đó:      φ  ;−  k = 2m  ( x ; y ) =   x = cos − + kπ  13   ⇔  13    y = sin  − φ + kπ  ( x ; y ) =  − ;  k = 2m +     13 13    Đặt cos φ = m, k ∈ Z Từ kết suy minP=-6 maxP=3 Ví dụ 2: Giải phương trình: + − x = x Hướng dẫn: Với toán này, học sinh giải phương pháp bình phương đặt ẩn phụ Hai phương pháp khác mục đích làm thức Tuy nhiên, gợi ý từ ĐK xác định phương trình −1 ≤ x ≤ phải biến đổi − x = a gợi ý cho nghĩ đến công thức lượng giác sin cosin.Vậy ta có cách giải sau: Lời giải: ĐK: x ≤ Đặt x = cos t , t ∈ [0; π ] Khi phương trình trở thành: + − cos t = cos t ⇔ 2sin t + sin t − = ⇔ sin t = Vậy: x = cos t = ± − sin t = ± (do sin t ≥ 0) nghiệm phương trình cho Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh Trang 24 SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề giải phương trình lượng giác Ví dụ 3: Cho x, y số thực không âm thay đổi Tìm giá trị lớn ( x − y )(1 − xy ) giá trị nhỏ biểu thức P = (1 + x ) (1 + y ) (ĐH khối D năm 2008) Lời giải: π  Đặt x = tan α y = tan β  ≤ α , β <  Khi ta có: P=  ( tan α − tan β )(1 − tan α tan β ) (1 + tan α ) (1 + tan β ) = 2 ( sin α cos β − cos α sin β )( cos α cos β − sin α sin β ) ( sin α + cos α ) ( sin β + cos β )  sin(α − β ) cos(α + β ) sin 2α − sin 2β 1 1  = =  − (1 + sin 2α )(1 + sin 2β ) (1 + sin 2α )(1 + sin 2β )  + sin 2β + sin 2α  1 Do ≤ 2α , 2β ≤ π nên ≤ sin 2α ≤ , ≤ sin 2β ≤ suy − ≤ P ≤ 4  sin 2α = π  x =1  α= P = ⇔ ⇔   • Với ⇒ y = sin β =  β = sin 2α =  α = x = • Với P = − ⇔  sin 2β = ⇔ β = π ⇒  y =    1 Từ kết suy P = − , max P = 4 = Ví dụ 4: Giải phương trình: + x − x = x + − x (1) Hướng dẫn: Ngoài cách đặt ẩn phụ thông thường để đưa phương trình không biểu thức chứa căn, ta thấy mối quan hệ khác biểu thức tham gia phương trình: ( x) +( 1− x ) = x + − x = (*) Đẳng thức giúp ta liên tưởng đến hệ thức mà biết? Chắc hẳn học sinh dễ dàng trả lời đẳng thức lượng giác: sin α + cos α = Điều dẫn đến cách giải sau: Lời giải: ĐK: ≤ x ≤  π Đặt: x = sin t , t ∈ 0;  (Điều hoàn toàn hợp lí x ∈ [ 0;1] )  2 Khi phương trình cho trở thành: Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh Trang 25 SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề giải phương trình lượng giác + sin t.cos t = sin t + cos t ⇔ ( − sin t ) + ( − sin t ) ( + sin t ) ( 2sin t − ) = sin t = ⇒ x = x =1   x =1 ⇔ ⇔ ⇔ 3 − sin t = (3 − sin t ) + sin t sin t (4 sin t − sin t + 8) = x = Vậy phương trình có nghiệm x=0 x=1 Ví dụ 5: Giải phương trình: ) ( + − x  (1 + x ) −  (1 − x )  = x  (HSG lớp 12 Hà Nội 2008-2009) Hướng dẫn: Điều kiện x − ≤ x ≤ giúp ta liên tưởng đến giá trị lượng giác sin cosin mà biết Điều dẫn đến cách giải sau: Lời giải: ĐK: − ≤ x ≤ Đặt: x = cos t , t ∈ [ ;π ] ⇒ sin t ≥ (Điều hoàn toàn hợp lí x ∈ [ − 1;1] ) Khi phương trình cho trở thành: ( ) 3 + − cos t  (1 + cos t ) − (1 − cos t )  = cos t   t t  ⇔ 2(1 + sin t ) 2 cos3 − 2 sin  = cos t 2  t t  t t  t t  ⇔ 4 sin + cos  cos − sin 1 + sin cos  = cos t  2  2  ⇔ cos t.( + sin t ) = cos t  cos t = ⇒ x = ⇔ cos t.( sin t − 1) = ⇔  sin t = ⇒ x = ±  2 Vậy phương trình có nghiệm x=0 x = ± 6.3 Bài tập tự luyện Bài 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh + x6 (1 + x ) Trang 26 SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề giải phương trình lượng giác Bài 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P= x + + 1− x +1 x + + 1− x +1 IV KẾT QUẢ THỰC HIỆN Học sinh biết vận dụng phương pháp để giải phương trình lượng giác Trong trình giảng dạy, việc áp dụng đề tài mang lại hiệu qủa rõ rệt Sự nhận thức học sinh phương hướng giải khẳng định Từ chỗ học sinh lúng túng gặp toán, không định hướng phương hướng giải toán phải vận dụng công thức lượng giác vào toán cụ thể Đến nay, sau trình áp dụng đề tài vào giảng dạy, học sinh có định hướng rõ ràng gặp toán Biết phương pháp giải dạng cụ thể Định hướng lựa chọn công thức lượng giác phù hợp, nhanh hướng Học sinh có kĩ biết tìm điều kiện phương trình lượng giác theo hướng kết hợp với giải để loại nghiệm cách nhanh chóng xác Học sinh biết đến phương pháp lượng giác hóa để giải nhiều lớp toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số, biểu thức, hay thêm phép đặt ẩn phụ cho toán giải phương trình chứa từ mở rộng tư cho em giúp em tiếp cận dần đến đề thi học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh đại học- cao đẳng Học sinh hứng thú học tập Việc áp dụng đề tài giảng dạy mang lại hứng thú học toán phát huy kỹ năng, sáng tạo giải toán học sinh Từ chỗ gặp toán giải phương trình lượng giác đòi hỏi nhiều kĩ năng, hay phương trình lượng giác có điều kiện mà học sinh khó, học sinh thường tỏ bi quan, chán nản, không hào hứng tìm cách giải chí bỏ qua không làm Đến học sinh có hứng thú tìm lời giải, biết tìm tòi nghiên cứu sâu hơn, sáng tạo cách nghĩ tìm lời giải ngắn xác theo tư chủ quan em Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh Trang 27 SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề giải phương trình lượng giác Qua sáng kiến kinh nghiệm này, khả em học sinh phát huy, từ giúp giáo viên sàng lọc em có tư chất tốt để tiếp tục bồi dưỡng thêm qua chuyên đề khác chương trình toán THPT Kết : Trước thực đề tài kiểm tra lực nhận thức kiến thức em phương trình lượng giác Sau triển khai đề tài học sinh lớp 11A1 niên khóa 2012- 2013 2013- 2014 lại kiểm tra đánh giá kiến thức em thu kết sau: Kết kiểm tra Lớp 11A1 Lớp 11A1 (2011- 2012) (2013- 2014) Trước Sau Trước Sau thực thực thực thực Điểm 8-10 18,6 0 77,5 0 21,3% 81,1 0 Điểm 5-7,75 67,2 0 22,5 70 0 18,9 0 8,7 0 00 Điểm 0- 14,2 0 0% Như thấy phương pháp đưa sáng kiến kinh nghiệm có hiệu tương đối Kết đạt không em có nhận thức, tiến rõ rệt mảng toán giải phương trình lượng giác mà có thành tích đáng ghi nhận Kì thi học sinh giỏi toán cấp trường khối lớp 11 năm học 2012- 2013 đạt giải khuyến khích, kì thi học sinh giỏi toán cấp trường khối lớp 11 năm học 2013- 2014 đạt giải nhì Đó kết tốt mà áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tiễn giảng dạy niềm động viên để có động lực tiếp tục nghiên cứu chuyên đề khác nhằm phục vụ tốt cho công tác dạy, học, bồi dưỡng học sinh giỏi trường THPT Tiến Thịnh Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh Trang 28 SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề giải phương trình lượng giác PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ I KẾT LUẬN: Trên kinh nghiệm mà đúc rút suốt trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 11 trường THPT Tiến Thịnh Sáng kiến kinh nghiệm không tài liệu giúp cho em tự học, tự nghiên cứu mà tài liệu tham khảo hữu ích thầy cô giáo trình giảng dạy Sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào công tác giảng dạy, nhận phản hồi tích cực em học sinh, không lo lắng ngại ngùng gặp toán giải phương trình lượng giác mà thay vào tự tin, hào hứng học tập Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắn sáng kiến kinh nghiệm có nhiều thiếu sót hạn chế Tôi mong quan tâm tất bạn đồng nghiệp bổ sung góp ý cho Tôi xin chân thành cảm ơn II KHUYẾN NGHỊ: Học sinh cần phải chủ động, tích cực nhận thức, phải biết tổng hợp kiến thức, tư sáng tạo áp dụng kiến thức phù hợp với toán cụ thể Học sinh biết vận dụng kiến thức học cách sáng tạo để giải toán khác Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập Giáo viên cần tích cực, chủ động, sáng tạo trình giảng dạy, giúp học sinh có hứng thú, say mê học tập Bên cạnh không ngừng trau dồi kiến thức chuyên môn, nâng cao trình độ đáp ứng yêu cầu ngày cao nghiệp trồng người Nhà trường cần tổ chức buổi trao đổi phương pháp giảng dạy Phát động phong trào nghiên cứu khoa học, viết sáng kiến kinh nghiệm, từ lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh Trang 29 SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề giải phương trình lượng giác TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa đại số 10 - Nhà xuất giáo dục Sách giáo khoa đại số giải tích 11 - Nhà xuất giáo dục Sách tập Đại số giải tích 11 - Nhà xuất giáo dục Tuyển tập tạp chí Toán Học Tuổi Trẻ năm 2009 - Nhà xuất Giáo Dục Tuyển tập tạp chí Toán Học Tuổi Trẻ năm 2010 - Nhà xuất Giáo Dục Đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 cấp trường trường THPT Tiến Thịnh năm 2011- 2012, 2012- 2013, 2013- 2014 Đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 cấp tỉnh số tỉnh, thành: Hà Nội, Vĩnh Phúc, Hà Tĩnh,…các năm 2012- 2013, 2013- 2014 XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2014 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, không chép nội dung người khác Dương Thu Hoài Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh Trang 30 [...]... 2 x − 3 = 0 4 Giải phương trình lượng giác bằng cách sử dụng các công thức lượng giác 4.1 Phương pháp: Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh Trang 11 SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề giải phương trình lượng giác Khi giải các phương trình lượng giác nên quan tâm đến các công thức lượng giác đã học và cách vận dụng nó để có thể biến đổi phương trình theo một... Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh Trang 22 SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề giải phương trình lượng giác 3( sin x + tan x ) − 2 cos x = 2 tan x − sin x Bài 5: Giải phương trình Bài 6: Giải phương trình 3 tan 3 x − tan x + 3(1 + sin x ) π x  − 8 cos 2  −  = 0 2 cos x  4 2 6 Phương pháp lượng giác hóa Phương pháp lượng giác hóa trong bài toán tìm giá trị lớn... −2(vn) π Phương trình có nghiệm x = + kπ , x = k 2π , k ∈ Z 4 ,k ∈ Z 4.3 Bài tập tự luyện: 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0 Bài 1: Giải phương trình Bài 2: Giải phương trình sin 6 x + cos 6 x = sin 2 x 2 sin 2 x − cos 2 x = 7 sin x + 2 cos x − 4 Bài 3: Giải phương trình Bài 4: Giải phương trình 2 cos 2 2 x + cos 2 x sin 3 x + 3 sin 2 2 x = 3 5 Phương trình lượng giác có điều kiện 5.1 Phương. .. suy ra nghiệm của phương trình đã cho là : x=− π l 2π + ,l ∈ Z 18 3 Ví dụ 8: Giải phương trình cos 2 x(cos x − 1) = 2(1 + sin x ) sin x + cos x Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh Trang 20 SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề giải phương trình lượng giác Lời giải: π 4 Điều kiện sin x + cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ − + kπ , k ∈ Z (*) Khi đó ta có phương trình: (1 − sin x... 2 − 1 π 4 Phương trình có nghiệm là x = − + kπ , k ∈ Z d, Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx Phương trình có nghiệm là x= π  2 + kπ , x = arctan −  + kπ , k ∈ Z 4  5 3.3 Bài tập tự luyện Bài 1: Giải phương trình 3 − 4 tan x − 2 = 0 cos 2 x 3.sin x − cosx + 2 = 0 (2s inx-1)(2s in2x+1) = 3 − 4 cos 2 x Bài 2: Giải phương trình Bài 3: Giải phương trình Bài 4: Giải phương trình sin... ∈ Z Phương trình có nghiệm là x = mπ , x = + 20 10 π  2 Ví dụ 4: Giải phương trình tan − x  = 5 sin x + 1 4  ,k ∈ Z Hướng dẫn: Chú ý điều kiện của phương trình Biến đổi π  1 − tan x cos x − sin x tan − x  = = 4  1 + tan x cos x + sin x Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh Trang 18 SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề giải phương trình lượng giác. .. Tiến Thịnh 1 + x6 (1 + x ) 2 3 Trang 26 SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề giải phương trình lượng giác Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= 3 x + 3 + 4 1− x +1 4 x + 3 + 3 1− x +1 IV KẾT QUẢ THỰC HIỆN 1 Học sinh biết vận dụng các phương pháp trên để giải các phương trình lượng giác Trong quá trình giảng dạy, việc áp dụng đề tài này... được đó là đẳng thức lượng giác: sin 2 α + cos 2 α = 1 Điều này dẫn đến cách giải sau: Lời giải: ĐK: 0 ≤ x ≤ 1  π 2 Đặt: x = sin t , t ∈ 0;  (Điều này hoàn toàn hợp lí vì x ∈ [ 0;1] )  2 Khi đó phương trình đã cho trở thành: Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh Trang 25 SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề giải phương trình lượng giác 2 1 + sin t.cos... Thịnh Trang 13 SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề giải phương trình lượng giác ⇔ (sin x + cos x)(−4 sin x − 2 cos x + 5) = 0 π  sin x + cos x = 0 ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − + kπ ⇔ ,k ∈ Z 4  4 sin x + 2 cos x − 5 = 0(vn)  π KL: Phương trình có nghiệm là x = − + kπ , k ∈ Z 4 Ví dụ 5: Giải phương trình 3 cos 5 x − 2 sin 3x cos 2 x − sin x = 0 Lời giải: 3 cos 5 x... Thịnh Trang 19 SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề giải phương trình lượng giác π 4 +) Với sin x + cos x = 0 ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − + kπ 1 2 +) Với 2sin x − 1 = 0 ⇔ sin x = ⇔ x = π 5π + k 2π ; x = + k 2π 6 6 Đối chiếu điều kiện (*), suy ra nghiệm của phương trình đã cho là : π π 5π + kπ , x = + k 2π , x = + k 2π , k ∈ Z 4 6 6 x  Ví dụ 6: Giải phương trình cot x