Đang tải... (xem toàn văn)
Mục lục TrangMục lục………………………………………………………………………. 1Mở đầu …………………………………………………………………….... 21. Một số kiến thức chuẩn bị…………………………………………... 51.1. Chiều Krull của môđun……………………………………………….. 51.2.1.3.Địa phương hóa và giá của môđun…………………………………….Một số mở rộng đã biết của dãy chính quy…………………………....681.4. Môđun đối đồng điều địa phương…………………………………….. 121.5. k – dãy chính quy……………………………………………………... 162. k – độ sâu và áp dụng nghiên cứu môđun đối đồng điều địaphương.................................................................................................. 172.1. k – độ sâu…………………………………………………………….... 172.2. Tính không triệt tiêu và tính hữu hạn của môđun đối đồng điều địaphương…………………………………………………………………212.3. Giá của môđun đối đồng điều địa phương……………………………. 26Kết luận……………………………………………………………………… 29Tài liệu tham khảo………………………………………………………….. 30
Mc lc Trang Mc lc M u Mt s kin thc chun b 1.1 Chiu Krull ca mụun 1.2 a phng húa v giỏ ca mụun 1.3 Mt s m rng ó bit ca dóy chớnh quy 1.4 Mụun i ng iu a phng 12 1.5 k dóy chớnh quy 16 k sõu v ỏp dng nghiờn cu mụun i ng iu a phng 17 2.1 k sõu 17 2.2 Tớnh khụng trit tiờu v tớnh hu hn ca mụun i ng iu a phng21 2.3 Giỏ ca mụun i ng iu a phng 26 Kt lun 29 Ti liu tham kho 30 M u Dóy chớnh quy l mt khỏi nim c in lý thuyt vnh giao hoỏn v mụun trờn vnh giao hoỏn, nú l mt cụng c khụng th thiu nhiu lnh vc ca i s giao hoỏn, i s ng iu, Hỡnh hc i s Cho (R,m) l mt vnh giao hoỏn a phng Noether vi iờan cc i nht m, M l mt R mụun Cho I l mt iờan ca vnh R Khi ú mi dóy chớnh quy ca M I u cựng di di chung ny c gi l sõu ca M i vi iờan I, kớ hiu l depth(I;M) Khi I = m thỡ depth(m;M) c vit gn l depth(M) v gi l sõu ca mụun M Khỏi nim sõu ca mụun c dựng c trng mụun CohenMacaulay l lp quen thuc nht i s giao hoỏn C th l mụun M c gi l mụun Cohen-Macaulay nu depthM = dimM, ú dimM l chiu Krull ca mụun M (trong trng hp tng quỏt thỡ depthM Ê dimM) Ngoi khỏi nim sõu l mt bt bin cũn c s dng rng rói i s giao hoỏn, i s ng iu, ó cú nhiu m rng ca khỏi nim dóy chớnh quy nh dóy chớnh quy lc c a bi N T Cng, P Schenzel v N V Trung [5], dóy chớnh quy suy rng c a bi L T Nhn [9] Trong [6], N Q Chinh v L T Nhn ó a khỏi nim k-dóy chớnh quy Khỏi nim ny l mt m rng ca khỏi nim dóy chớnh quy núi trờn Khi k = -1 thỡ cỏc k-dóy chớnh quy l cỏc k-dóy chớnh quy thụng thng Khi k = thỡ cỏc k-dóy chớnh quy chớnh l cỏc dóy chớnh quy lc v k = thỡ cỏc k-dóy chớnh quy chớnh l cỏc dóy chớnh quy suy rng Cho I l mt iờan ca vnh R v M l mt R mụun Cn trờn ca cỏc di ca cỏc k-dóy chớnh quy ca M I c gi l k- sõu ca M I v c kớ hiu bi k-depth(I;M) Gi s dim(M/IM) k Khi ú mi k-dóy chớnh quy ca M I u cú di hu hn v cỏc k-dóy chớnh quy ti i ca M I cú chung di di chung ny chớnh l k - sõu ca M I Nh ta ó bit vi I l mt iờan tu ý ca vnh R thỡ cu trỳc ca mụun i ng iu a phng H Ii ( M ) núi chung c bit rt ớt S dng khỏi nim k - sõu, N Q Chinh v L T Nhn [6] ó nghiờn cu c mt s kt qu v tớnh khụng trit tiờu, tớnh hu hn ca iờan nguyờn t liờn kt v xỏc nh chiu ca giỏ ca mụun i ng iu a phng Mc ớch ca Lun l trỡnh by v k - sõu v nhng ỏp dng vic nghiờn cu cỏc iờan nguyờn t liờn kt v giỏ ca mụun i ng iu a phng õy l mt phn ca kt qu bi bỏo [6] ca N Q Chinh v L T Nhn Ngoi phn M u, Kt lun v Ti liu tham kho, Lun c chia lm chng Chng 1: Kin thc chun b Trong chng ny chỳng tụi trỡnh by mt s kin thc c s ca i s giao hoỏn cú s dng lun Ngoi chỳng tụi cũn trỡnh by mt s kt qu ó cú nhm phc v cho cỏc chng minh phn sau Chng 2: k sõu v ỏp dng nghiờn cu mụun i ng iu a phng Chng ny l ni dung chớnh ca Lun Trong chng ny chỳng tụi trỡnh by khỏi nim v tớnh cht ca k sõu, ỏp dng cỏc tớnh cht ny nghiờn cu tớnh khụng trit tiờu v tớnh hu hn ca cỏc iờan nguyờn t liờn kt Ass c bit dựng mt s tớnh cht ca k sõu nghiờn cu giỏ ca mụun i ng iu a phng Lun c hon thnh vo thỏng 06 nm 2011 ti trng i hc Vinh di s hng dn tn tỡnh ca cụ giỏo TS Nguyn Th Hng Loan Nhõn dp ny tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc n cụ, ngi ó hng dn tn tỡnh, chu ỏo v nghiờm khc sut thi gian hc v nghiờn cu Cng nhõn dp ny tỏc gi xin chõn thnh cm n sõu sc n thy PGS TS Ngụ S Tựng; thy PGS.TS Lờ Quc Hỏn; thy PGS TS Nguyn Thnh Quang; cỏc thy cụ giỏo khoa Toỏn, trng i hc Vinh, cỏc bn bố lp cao hc Toỏn 16 Chuyờn ngnh i s v lý thuyt s ó cú nhng ý kin úng gúp quý bỏu tỏc gi hon thnh lun ny Mc dự ht sc c gng nhng lun khụng trỏnh nhng sai sút Tỏc gi rt mong c s úng gúp ý kin ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn hc viờn Vinh, nm 2011 Tỏc gi Chng Mt s kin thc chun b Trong sut chng ny, luụn gi thit R l vnh giao hoỏn, cú n v v M l mt R mụun Tit 1.1 trỡnh by chiu Krull ca mụun Tit 1.2 trỡnh by v a phng húa v giỏ ca mụun Tit 1.3 dnh trỡnh by khỏi nim v tớnh cht ca dóy chớnh quy, sõu v cỏc m rng ó bit ca dóy chớnh quy nh khỏi nim dóy lc chớnh quy gii thiu bi Nguyn T Cng, Peter Schenzel v Ngụ Vit Trung nm 1978, khỏi nim sõu lc gii thiu bi Z Tang nm 2001, khỏi nim dóy chớnh quy suy rng v sõu suy rng gii thiu bi Lờ Thanh Nhn nm 2005 Tit 1.4 trỡnh by mt s chun b v mụun i ng iu a phng Tit 1.5 trỡnh by khỏi nim k dóy chớnh quy nhm mc ớch trỡnh by khỏi nim k sõu chng sau 1.1 Chiu Krull ca mụun Mt dóy gim cỏc iờan nguyờn t ca vnh R: p0 ẫ p1 ẫẫ pn c gi l mt xớch nguyờn t cú di n Kớ hiu Spec R l cỏc iờan nguyờn t ca R Khi ú SpecR c gi l ph ca vnh R Cho p ẻ Spec R, cn trờn ca tt c cỏc di ca cỏc xớch nguyờn t vi p0 = p c gi l cao ca p, kớ hiu l ht(p) Cho I l mt iờan ca R Khi ú cao ca I c xỏc nh bi ht(I) = inf {ht (p) p ẻSpec R, p ấ I } Cn trờn ca tt c cỏc di ca xớch nguyờn t R c gi l chiu Krull ca vnh R, kớ hiu l dim R Cho M l mt R mụun Khi ú dim ( R / AnnR M ) c gi l chiu Krull ca mụun M, kớ hiu l dim M 1.2 a phng húa v giỏ ca mụun 1.2.1 nh ngha Cho p l iờan nguyờn t ca R t S = R \ p v X = RS Trờn X, xột quan h ( a, s ) : ( b, t ) nu v ch nu tn ti u ẻ S cho u(ta sb) = D thy ~ l mt quan h tng ng trờn X Vi (a,s) ẻ X ta kớ hiu a / s l lp tng ng ca (a,s) Gi Rp l cỏc lp tng ng a / s vi a ẻ R v s ẻ S Trờn Rp ta nh ngha quy tc cng v nhõn nh sau a b at + bs a b ab + = ; = s t st s t st D thy quy tc cng v nhõn trờn khụng ph thuc vo cỏch chn phn t i din ca cỏc phn t Rp , vỡ th nú l phộp toỏn trờn Rp Cựng vi hai phộp toỏn ny, d thy Rp l mt vnh giao hoỏn, phn t l / 1, phn t n v l / Vnh Rp c gi l vnh cỏc thng ca R theo p hay a phng húa ca R ti p Chỳ ý rng khỏi nim vnh cỏc thng Rp l m rng ca khỏi nim trng cỏc thng ca mt nguyờn Khi R l nguyờn thỡ l iờan nguyờn t, v vnh a phng húa ti iờan nguyờn t chớnh l trng cỏc thng ca R Vi R khụng l nguyờn, vi mi iờan nguyờn t p ta cng cú mt ng cu f : R ắắ đ Rp cho bi f(a) = a / ng cu f c gi l ng cu t nhiờn, v phn t f(a) = a / c gi l nh ca phn t a ẻ R Rp Tuy nhiờn, khỏc vi phộp nhỳng chớnh tc t mt nguyờn vo trng cỏc thng ca nú luụn l n cu, ng cu f nh ngha trờn khụng nht thit l n cu Hon ton tng t ta cú khỏi nim mụun a phng húa Vi S nh trờn, t X = MS Trờn X, xột quan h ( x, s ) : ( y, t ) nu v ch nu tn ti u ẻ S cho u(tx sy) = D thy ~ l mt quan h tng ng trờn X Vi ( s, x ) ẻ X ta kớ hiu x / s l lp tng ng ca (x,s) Gi Mp l cỏc lp tng ng x / s vi x ẻ M v s ẻ S Trờn Mp ta nh ngha quy tc cng v nhõn vi vụ hng nh sau: x y xt + ys a x ax + = ; = s t st s t st D thy quy tc cng v nhõn vi vụ hng trờn khụng ph thuc vo cỏch chn phn t i din ca cỏc phn t Rp v Mp, vỡ th nú l phộp cng trờn Mp v tớch vi vụ hng t Rp vo Mp Cựng vi chỳng, d thy Mp l mt Rp mụun Mụun ny l mụun cỏc thng ca M theo p hay a phng húa ca M ti p 1.2.2 nh ngha Kớ hiu Supp M l cỏc iờan nguyờn t p ca R cho Mp Tp Supp M c gi l giỏ ca M Vi mi iờan I ca R ta kớ hiu V ( I ) = {p ẻ SpecR p ấ I } 1.2.3 nh ngha Vi mi x ẻ M , ta kớ hiu AnnR ( x) = {a ẻ R ax = 0} ; AnnR M = {a ẻ R aM = 0} = {a ẻ R ax = 0, "x ẻ R} Ta cú AnnR ( x ) v AnnR M l nhng iờan ca R; AnnR M gi l linh húa t ca M Hn na nu M l R mụun hu hn sinh thỡ SuppM = V ( AnnR M ) 1.2.4 Mnh Supp M l cỏc iờan nguyờn t cha Ann M 1.3 Mt s m rng ó bit ca dóy chớnh quy Mt phn t a ẻ R c gi l c ca vnh R nu a v tn ti phn t b ẻ R cho ab = Mt phn t a ẻ R c gi l chớnh quy vnh R nu nú khụng l c ca 0, trng hp ny lut gin c c thc hin i vi phn t a Khỏi nim c ca c m rng cho mụun Tng quỏt hn, vi M l mt R- mụun, ta cú khỏi nim M dóy chớnh quy, khỏi nim ny c s dng nh mt cụng c rt hu ớch i s giao hoỏn v Hỡnh hc i s 1.3.1 nh ngha (i) Mt phn t a ẻ R c gi l c ca i vi M nu tn ti mt phn t m ẻ M , m cho am = (ii) Phn t a ẻ R c gi l M chớnh quy nu M aM v a khụng l c ca i vi M (iii) Mt dóy a1 , , -1 ẻ R c gi l mt M dóy chớnh quy nu M ( a1 , , -1 ) M v l M / ( a1 , , -1 ) M - chớnh quy vi mi i = 1, , n Nhc li rng vnh R c gi l vnh Noether nu mi dóy tng nhng iờan R u dng, tc l nu I I1 I n l mt dóy tng nhng iờan R thỡ tn ti s t nhiờn n0 cho I n = I n vi mi n n0 Mt R mụun M c gi l mụun Noether nu mi dóy tng nhng mụun ca M u dng Mụun M c gi l hu hn sinh nu tn ti mt h S gm hu hn phn t m1 , , mn ẻ M cho mi phn t m ẻ M u l mt t hp tuyn tớnh ca h S (tc l m = a1m1 + + an mn vi a1 , , an ẻ R ) Trong trng hp ny ta vit M = (m1 , , mn ) Mt s tớnh cht ca mụun Noether v mi quan h gia mụun Noether v mụun hu hn sinh c cho bi mnh sau 1.3.2 Mnh Cỏc phỏt biu sau l ỳng (i) Nu M l Noether thỡ mi mụun con, mụun thng ca M cng l Noether (ii) Nu M Noether thỡ M l hu hn sinh v mi mụun ca M l hu hn sinh (iii) Nu M l hu hn sinh v R l vnh Noether thỡ M l mụun Noether Mt vnh Noether R c gi l vnh a phng nu R cú nht mt iờan ti i Khi vit (R, m) l vnh Noether a phng thỡ ta hiu m l iờan nht ca R Chỳ ý rng nu (R , m) l vnh a phng v M l R mụun hu hn sinh thỡ M IM vi mi iờan I m T v sau, luụn gi thit R l vnh Noether v M l R mụun hu hn sinh Sau õy l mt s tớnh cht ca dóy chớnh quy 1.3.3 Mnh Cỏc phỏt biu sau õy l ỳng (i) Nu a1 , , an l mt M dóy chớnh quy thỡ a1k , , ank cng l M dóy chớnh quy vi mi s t nhiờn k1 , , kn n (ii) Nu (R, m) l vnh a phng v khụng l c ca i vi M / (a1 , , -1 ) M vi mi i thỡ a1 , , an l M dóy chớnh quy (iii) Nu ( R, m ) l vnh a phng thỡ mi hoỏn v ca M dóy chớnh quy l M dóy chớnh quy 1.3.4 Mnh Cho I l mt iờan ca R Khi ú mi dóy chớnh quy ca M I cú th m rng thnh mt dóy chớnh quy ti i, v cỏc dóy chớnh quy ti i ca M I cú chung di di chung ny c gi l sõu ca M I v c kớ hiu l depth (I, M) Khi (R, m) l vnh a phng thỡ sõu ca M m c kớ hiu l depth M v c gi l sõu ca M 1.3.5 nh ngha Mt iờan nguyờn t p ca R c gi l iờan nguyờn t liờn kt ca M nu tn ti mt phn t m ẻ M cho p = Ann R (m) Tp cỏc iờan nguyờn t liờn kt ca M c kớ hiu l AssR M hay Ass M 1.3.6 Mnh Cho (R, m) l vnh a phng Khi ú phn t a ẻ m l phn t M chớnh quy nu v ch nu a ẽ p vi mi p ẻ Ass M c bit, M cú phn t chớnh quy m nu v ch nu m ẽ Ass M Gi thit (R, m) l vnh a phng v M l R mụun hu hn sinh Khỏi nim dóy lc chớnh quy c nh ngha nm 1978 bi Nguyn T Cng, P Schenzel v N V Trung [5] l mt m rng ca khỏi nim dóy chớnh quy 1.3.7 nh ngha Mt phn t a ẻ m c gi l phn t lc chớnh quy i vi M nu a ẽ p vi mi p ẻ AssM\{m} Mt dóy cỏc phn t a1 , , an ca R c gi l M dóy lc chớnh quy nu l phn t lc chớnh quy ca M / (a1 , , an ) M vi mi i = 1, , n 10 1.4.10 Mnh f-depth( I , M ) = inf {i H Ii ( M ) khụng Artin} Cho L l mt R mụun tựy ý (khụng nht thit hu hn sinh) Chiu ca giỏ ca L, kớ hiu l dim Supp L, c nh ngha l s n nu cú mt dóy tng nhng iờan nguyờn t Supp L cú di ln hn n Mnh di õy ch rng sõu lc c c trng thụng qua chiu ca giỏ ca mụun i ng iu a phng 1.4.11 Mnh f-depth ( I , M ) = inf {i dimSupp H Ii ( M ) > 0} Mnh di õy ch rng sõu suy rng c c trng thụng qua tớnh hu hn ca giỏ ca mụun i ng iu a phng 1.4.12 Mnh gdepth ( I , M ) = inf { i Supp H Ii ( M ) l vụ hn } 1.5 k dóy chớnh quy 1.5.1 nh ngha (i) Cho k l mt s t nhiờn Mt dóy x1 , , xn cỏc phn t ca m c gi l mt k dóy chớnh quy i vi M nu xi ẽ p vi mi p ẻ Ass M / ( x1 , , xi -1 ) M tha tớnh cht dim R/p k , vi mi i = 1,,n (ii) Mt phn t x ẻ m c gi l k chớnh quy i vi M nu x ẽ p i vi M nu x ẽ p vi mi p ẻ Ass M tha iu kin dim R/p k 1.5.2 Nhn xột Khỏi nim k dóy chớnh quy l m rng ca cỏc khỏi nim dóy chớnh quy, dóy lc chớnh quy v dóy chớnh quy suy rng Khi k = -1 thỡ k dóy chớnh quy l cỏc dóy chớnh quy thụng thng Khi k = thỡ cỏc dóy chớnh quy l cỏc dóy lc chớnh quy, v k = thỡ cỏc k dóy chớnh quy l cỏc dóy chớnh quy suy rng 16 Chng k sõu v ỏp dng nghiờn cu mụun i ng iu a phng Chng ny gii thiu khỏi nim k sõu v nhng ng dng ca nú vic nghiờn cu mụun i ng iu a phng Cỏc kt qu ca chng ny c tham kho t mt phn bi bỏo nm 2008 ca Nụng Quc Chinh v Lờ Thanh Nhn [6] 2.1 k sõu Trong tit ny, ta luụn gi thit (R, m) l vnh Noether a phng v M l R mụun hu hn sinh vi dim M = d Cho I l iờan ca R v k - l mt s nguyờn 2.1.1 nh ngha Cn trờn ca cỏc di ca cỏc k dóy chớnh quy ca M I c gi l k sõu ca M I v c kớ hiu bi k depth(I; M) 17 Trc trỡnh by mt s tớnh cht v k sõu ta cn nhc li khỏi nim h tham s ca M Ta ó bit rng di l(M / m n M ) l mt a thc vi h s hu t vi n ln v d = deg(l( M / m n M )) = inf {t $x1 , , xt ẻ m, l( M / ( x1 , , xt ) M ) < Ơ} Vỡ th luụn tn ti mt h gm d phn t ( x1 , , xd ) cho di l(M / (x 1, , xd )M ) l hu hn Mt h nh th c gi l h tham s ca M Mt h ( x1 , , xr ) vi r Ê d c gi l mt phn h tham s ca M nu cú th b sung thờm d r phn t c mt h tham s ca M 2.1.2 B Gi s dim(M / IM) = d r Khi ú (i) k depth (I;M) Ê r vi mi k = 0, 1,, d r (ii) k depth (I;M) = Ơ vi mi k > d r Chng minh (i) Cho k Ê d r Khi ú mi dóy k chớnh quy ca M I l mt phn h tham s ca M Chỳ ý rng mi phn h tham s ca M I u cú di khụng quỏ r Vỡ th k depth(I;M) Ê r (ii) Cho k > d r Gi thit rng k depth(I;M) = n < Ơ Cho x1 , , xn l mt k dóy chớnh quy ca M I Nu I p vi p ẻ Ass ( M / ( x1 , , xn ) M ) no ú tha dim R / p k thỡ d r = dim M/IM dim (M/ pM) = dim R/ p k > d r , iu ny l vụ lớ Vỡ th I p vi mi p ẻ Ass ( M / ( x1 , , xn ) M ) tha dim R /p k Suy ra, tn ti mt phn t xn+1 ẻ I cho x1 , , xn+1 l mt k dóy chớnh quy ca M Suy k depth(I ; M) n + iu ny l vụ lớ 18 2.1.3 nh ngha Mt k dóy chớnh quy x1 , , xn ca M I c gi l ti i nu khụng tn ti mt phn t y ẻ I cho x1 , , xr , y l k dóy chớnh quy ca M Theo B 2.1.2 v nhng tớnh cht v dóy chớnh quy ó trỡnh by chng I ta cú kt qu sau 2.1.4 H qu Gi s dim( M / IM ) k Khi ú ta cú (i) Mi k dóy chớnh quy ca M I cú di hu hn, cỏc k dóy chớnh quy ti i ca M I cú chung di di chung ny chớnh l k sõu ca M I (ii) Nu x1 ẻ I l mt phn t k chớnh quy i vi M thỡ k - depth( I ; M ) = k - depth( I ; M / x1M ) + Kt qu tip theo l mt s c trng ca k sõu 2.1.5 Mnh Cho k l mt s nguyờn v I l iờan nguyờn t ca R Gi s rng dim( M / IM ) k Khi ú ta cú k- depth(I ; M) = min{depth(IRp ; Mp) : p ẻ Supp (M/IM), dim R / p k} = min{i : dim (Exti (R/I ; M )) k } Chng minh t r = k - depth (I;M) Gi s x1 , x2 , , xr l mt k - dóy chớnh quy ti i ca M I Khi ú vi mi i < r, ta cú dim( Ext Ri ( R / I ; M )) Ê k v dim( Ext Rr ( R / I ; M )) > k Vỡ th r = {i : dim ( ExtRi ( R / I ; M ) ) k } Hn na, nu i < r thỡ Ext Ri ( Rp / IRp ; M p ) = vi mi iờan nguyờn t pẻ Supp M/IM vi dim R/p > k v luụn tn ti mt iờan nguyờn t liờn kt pẻ Supp M/IM cho dim R/p > k v Ext Rr ( Rp / IRp ; M p ) Vỡ th r = {depth( IRp ; M p ) : p ẻ SuppM / IM ,dim R / p k} 19 Cho I l iờan ca R vi dim M / IM = d r Theo B 2.1.2, ta cú depth (I;M) Ê depth (I;M) Ê Ê ( d r) depth (I; M) Ê r, v k depth(I; M) = Ơ vi k > d r Cõu hi t l liu vi mi b s nguyờn dng cho trc, luụn tn ti mt mụun hu hn sinh M, mt iờan I cho cỏc k sõu vi k = -1 , , r l nhng s nguyờn dng cho trc ú Di õy l cõu tr li khng nh cho cõu hi ny 2.1.6 Mnh Cho Ê r Ê d l cỏc s nguyờn Cho n0 , n1 , , nd -r l cỏc s nguyờn cho Ê n0 Ê n1 Ê Ê nd -r Ê r Khi ú tn ti mt vnh a phng R, mt R mụun hu hn sinh M v mt iờan I ca R cho dim M = d, dim M / IM = d r v k depth(I ; M) = nk vi mi k = 0, 1, 2, ., d r Chng minh Cho S = k [ x1 , , xd +2 ] l vnh a thc d +2 bin vi h s trờn trng k Cho m = ( x1 , , xd +2 ) S , l iờan ti i thun nht nht ca S t R = Sm, vnh a phng húa ca S ti iờan ti i m Cho I = ( x1 , , xr ) R v t s = d r t J = ( xn +1 , , xr +1 , xrs++22 , xr +3 , , xd +2 ) S , J1 = ( xn +1 , , xr +1 , xrs++22 , xr +3 , , xd +1 ) S , J s = ( xn +1 , , xr +1 , xr2+2 ) S , s J = J ầ J1 ầ J ầ ầ J s ầ ( xd +1 , xd +2 ) S Gi s M = R / JR Khi ú M l mụun hu hn sinh trờn vnh R Chỳ ý rng J = J ầ J1 ầ J ầ ầ J s ầ ( xd +1 , xd +2 ) S l phõn tớch nguyờn s ti thiu ca J S Vỡ th dim M = d Vỡ Ji l iờan n thc nờn vi mi i = 0, 1, ,s , ta tớnh c cỏc iờan 20 nguyờn t liờn kt ca M / ( x1 , , x j ) vi mi j = 1, 2, , r Do ú theo H qu 2.1.4, ta cú th ch rng dim M / IM = d r v x1 / 1, , xn / l mt k k - dóy chớnh quy ti i ca M I Vỡ th k - depth ( I ; M ) = n k vi mi k = 0, 1, 2, , s 2.2 Tớnh khụng trit tiờu v tớnh hu hn ca mụun i ng iu a phng Gi s dim (M / IM) = s t nk = k - depth( I ; M ) vi k = 0, 1, , s Chỳ ý rng k - depth( I ; M ) = Ơ vi k > s Trong tit ny, chỳng ta s trỡnh by mt s kt qu v tớnh hu hn ca ca iờan nguyờn t liờn kt ca mụun i ng iu a phng H In ( M ) Hn na chỳng ta s k miờu t c th hu hn AssH In ( M ) 2.2.1 nh lý Cho dim (M/IM ) = s t Hk = { p ẻ Ass ( H In ( M ) : dim R / p k } k vi k = 0, 1, 2, , s Khi ú /0 H k = { p ẻ Ass ( Ext Rn ( R / I ; M )) : dim R / p k} k c bit, Hk l mt hu hn vi mi k = 0, 1, ., s Chng minh Cho k ẻ { 0, 1, ., s} Chỳ ý rng nk < Ơ Theo Mnh 2.1.5 ta cú nk = { depth (I Rp ; Mp) : p ẻ Supp( M / I M ), dim R / p k } Vỡ th tn ti mt iờan nguyờn t p ẻ Supp ( M / I M ) vi dim R / p k v depth (I Rp ; Mp) = nk Suy ( H In ( M ))p = H IRn ( M p ) k k p 21 Vỡ th p ẻ Supp(H In ( M )) Cho p' l mt iờan nguyờn t ti thiu ca k Supp(H In ( M )) cho p' p Khi ú p ' ẻ AssH In ( M ) v k k dim R / p' dim R / p k Do ú p' ẻ H k , v vỡ th H k /0 Gi s p ẻ Ass H In ( M ) cho dim R / p k Khi ú k pRp ẻ Ass ( H In ( M ))p = Ass ( H IRn ( M p )) k k p Vỡ th H IRn ( M p ) Ta khng nh rng depth( IRp ; M p ) = nk Tht vy, k p cho x1 , , xn k l mt k dóy chớnh quy ca M I Khi ú x1 /1, , xn /1 l mt dóy chớnh quy i vi Mp iờan I Rp Suy k depth ( I Rp ; Mp) nk Vỡ H IRn ( M p ) , nờn ta cú depth( I Rp ; Mp) Ê nk , k p khng nh c chng minh T khng nh trờn, ta cú Ass( H IRn ( M p )) = Ass( ExtRn ( Rp / IRp ; M p )) k k p p Vỡ th p ẻ AssH In ( M ) nu v ch nu pRp ẻ Ass( H IRn ( M p )) , nu v ch k k p nu pRp ẻ Ass ( Ext Rn ( Rp / IRp ; M p )) Suy p ẻ AssH In ( M ) nu v ch nu k k p p ẻ Ass ( Ext Rn ( R / I ; M )) k p Vi mi s nguyờn i 0, ta khụng bit no H Ii ( M ) l trit tiờu, ta cng khụng bit no giỏ ca nú l úng ph nguyờn t ca R Tuy nhiờn, ta cn chỳ ý rng Supp ( H Ii ( M )) l úng Spec R nu v ch nu H Ii ( M ) ch cú hu hn iờan nguyờn t liờn kt ti thiu Vỡ th, cõu hi t l no iờan nguyờn t liờn kt ti thiu ca H Ii ( M ) l hu hn Tip theo, chỳng ta s cú mt phn cõu tr li cho cõu 22 hi trờn, t ú s cú mt s kt qu v tớnh khụng trit tiờu ca mụun i ng iu a phng Kt qu sau õy l h qu trc tip ca nh lý trờn, ch mt kt qu khụng trit tiờu ca mụun i ng iu a phng 2.2.2 H qu Cho I l iờan ca R Gi s rng dim (M / IM) = s Cho nk = k depth (I ; M) vi k = 0, 1, ,s Khi ú H In ( M ) vi mi k = 0, k 1, , s t nk = k depth (I ; M) vi k = 0, 1, , dim (M / IM) Khi ú Ass ( H In ( M )) = Ass ( Ext Rn ( R / I ; M )) 0 v vỡ th Ass ( H In ( M )) l hu hn Kt qu tip theo, l mt h qu tc khc ca nh lý 2.2.1 ch tớnh hu hn ca H In ( M ) 2.2.3 H qu Cho I l iờan ca R vi dim M / I M > t n1 = depth ( I ; M ) Khi ú Ass( H In ( M )) ẩ {m} = Ass( Ext Rn ( R / I ; M )) ẩ {m} 1 c bit, Ass ( H In ( M )) l hu hn Phn tip theo mụ t hp Ass( H In ( M )) Trc trỡnh by kt qu ny, chỳng ta cn b sau 2.2.4 B Vi mi R mụun K v mi mụun T ca K ta cú Ass K ẩ Supp T = Ass( K / T ) ẩ SuppT Hn na, nu Supp T hu hn thỡ AssK / T AssK ẩ {m} Chng minh Rừ rng Ass K Ass ( K / T ) ẩ Supp T Cho p ẻ Ass ( K / T ) \ Supp T Khi ú p = T :R m vi mt phn t m ẻ K no ú Suy pm T Vỡ p ẽ Supp T, nờn ta cú Tp = Vỡ th, (pm)p = Do pm l hu hn sinh nờn ta 23 cú th vit pm = ( m1, ,mt)R, mi ẻ M, i = 1, ,t Kớ hiu mi/1, i = 1, , t , l nh ca mi (pm)p Vi mi i = 1, , t, vỡ mi/1 = 0, nờn tn ti ri ẽ p cho rimi = Cho r = r1 rt Khi ú r ẽ p v r(pm) = Suy p Ann (r m) Cho a ẻ Ann ( r m ) Khi ú a rm = v ú ar ẻ Ann m T :R m = p Vỡ r ẽ p nờn ta cú a ẻ p Do ú p = Ann (r m) Suy p ẻ Ass K Gi thit rng Supp T l hu hn Cho p m cho p ẻ Supp T Khi ú p l phn t ti thiu ca Supp T Vỡ th p ẻ Ass T Suy p ẻ Ass K Do ú, Supp T Ass K ẩ {m} Suy Ass ( K / T ) Ass K ẩ {m} 2.2.5 nh lý Cho I l iờan ca R Gi s dim (M /I M ) >1 t n2 = depth (I;M) Gi thit rng n2 Gi x1 , ., xn -1 l - dóy chớnh quy ca M I Gi M = M / ( x1 , , xn -1 ) M t n2 -1 P = U Supp( H Ii ( M )) t =1 Khi ú Ass ( H In ( M ) ) ẩ P = Ass( ExtR1 ( R / I ; M / H I0 ( M ))) ẩ P (* ) c bit, AssH In ( M ) l mt hu hn Chng minh Cho n2 = Ta cú Ass ( H I1 ( M ) ) = Ass ( H I1 ( M / H I0 ( M )) ) = Ass( Ext R1 ( R / I ; M / H I0 ( M ))) v (* ) l ỳng trng hp ny Cho n2 > t M = M / x1 M Vỡ x1 l phn t chớnh quy ca M nờn ta cú dim(0 :M x1 ) Ê Vỡ th H Ij ( M ) @ H Ij ( M / (0 :M x1 )) vi mi j Do ú t dóy khp x ắắ đ M / (0 :M x1 ) ắắ đ ắắ đ M ắắ đ M ắắ đ0 ta cú dóy khp 24 x H Ij -1 ( M ) ắắ đ H Ij -1 ( M ) ắắ đ H Ij ( M ) ắắ đ ắắ đ H Ij ( M ) (1) vi j Kớ hiu T l nh ca ng cu H In -1 ( M ) ắắ đ H In -1 ( M ) 2 dóy khp trờn Vỡ n2 , nờn ta cú :H x1 @ H In -1 ( M ) / T n2 I (M ) Vỡ T l mụun thng ca H In -1 ( M ) , nờn ta cú Supp T Supp H In -1 ( M ) P Vỡ th theo B 2.2.4 ta cú AssH In ( M ) ẩ P = Ass(0 :H ( = ( Ass( H = Ass ( H n2 I (M ) x1 ) ẩ P ) = Ass( H In -1 ( M ) / T ) ẩ SuppT ẩ P n2 -1 I n2 -1 I ) ( M )) ẩ SuppT ẩ P (2) ) ( M ) ẩ P Chỳ ý rng depth ( I ; M1) = n2 Cho P1 = U i =1 Supp H Ii ( M ) n2 - Theo ( ) ta cú Supp ( H Ii -1 ( M ) ) Supp ( H Ii -1 ( M ) ) ẩ Supp ( H Ii ( M ) ) vi mi i Do ú P1 P Bng quy np theo n2 v theo gi thit ta suy ( ) Ass ( H In -1 ( M ) ) ẩ P1 = Ass Ext R1 ( R / I ; M / H I0 ( M )) ẩ P1 T ( ) ta cú Ass H In ( M ) ẩ P = Ass ( H In -1 ( M ) ) ẩ P 2 = ( Ass( H In -1 ( M )) ẩ P1 ) ẩ P ( ) = Ass( Ext 1R ( R / I ; M / H I0 ( M ))) ẩ P1 ẩ P ( ) = Ass Ext 1R ( R / I ; M / H I0 ( M )) ẩ P 25 v ú ( * ) c chng minh Chỳ ý rng P l hu hn theo [9, 5.2] Do ú nh lớ c chng minh hon ton 2.3 Giỏ ca mụun i ng iu a phng Cho I l iờan ca R v i l mt s nguyờn Nhỡn chung H Ii ( M ) khụng l hu hn sinh v cng khụng l Artin Thm chớ, nh ó trỡnh by tit trờn, ta cũn khụng bit Supp H Ii ( M ) l úng hay khụng Tuy nhiờn, Supp H Ii ( M ) l úng vi phộp ly c bit húa, tc l nu p q v p ẻ Supp H Ii ( M ) thỡ q ẻ Supp H Ii ( M ) Vỡ th Supp H Ii ( M ) l hp ca cỏc iờan nguyờn t cha p v q chy trờn cỏc iờan nguyờn t ti thiu ca H Ii ( M ) Cho I l iờan ca R v i l mt s nguyờn Kớ hiu dim ( Supp( H Ii ( M )) ) l cn trờn ca cỏc s dim R/p, ú cn trờn ly trờn nhng iờan nguyờn t p giỏ ca H Ii ( M ) Nu H Ii ( M ) l hu hn sinh thỡ dim ( Supp( H Ii ( M )) ) = dim ( R / Ann( H Ii ( M )) ) Nu H Ii ( M ) l Artin thỡ Supp( H Ii ( M )) {m} v ú dim Supp( H Ii ( M )) Ê 2.3.1 nh lý Cho I l iờan ca R, vi dim(M/IM) = s t nk = k depth (I;M) vi k = 0, 1,.,s Gi thit rng n0 = = nk0 < nk0 +1 = = nk1 < nk1 +1 = = nk1 < nkt +1 = = ns Khi ú (i) dim ( Supp( H In ( M )) ) = s s 26 ( ) (ii) dim Supp( H I ( M )) = k j vi mi j = 0, 1, ., t nk j (iii) dim ( Supp( H Ii ( M )) ) < k j vi mi j = 0, 1, ., t v mi i < nk j (iv) H Ii ( M ) = vi mi i < nk Chng minh (i) Vỡ dim (M / IM) = s v Supp ( H In ( M ) ) Supp( M / IM ) s nờn ta cú dim ( Supp( H In ( M )) ) Ê s Chỳ ý rng hp s {p ẻ Ass H ns I ( M ) : dim R / p s} l khỏc rng Vỡ th dim ( Supp( H In ( M )) ) s s (iii) Cho k, i l cỏc s nguyờn vi Ê k Ê s v i < nk Khi ú I cha mt k dóy chớnh quy ti i ca M cú di nk Gi thit rng p l mt iờan nguyờn t ca R cho p ẻ Supp(M / IM ) v dim R / p k Khi ú IRp cha mt dóy chớnh quy di nk Vỡ th ta cú (H i I ( M ) )p @ H IRi ( M p ) = p v ú p ẽ Supp( H Ii ( M ) , vi i < nk Suy Supp( H Ii ( M )) {p ẻ SuppM / IM , dim R / p < k } (3) vỡ th dim ( Supp( H Ii ( M )) ) < k j vi mi j = 1, ,t v mi i < nk j (ii) Cho j Ê t Khi ú nk < nk +1 Ê ns < Ơ T (3) ta cú j ( j ) Supp H I ( M ) {p ẻ Supp M / IM ,dim R / p Ê (k j + 1) - 1} ( nk j ) Suy dim Supp( H I ( M )) Ê k j Hn na hp nk j {p ẻ Ass H khỏc rng Suy dim ( Supp( H nk j I nk j I ( M ) : dim R / p k j ) ( M )) k j 27 } (iv) l hin nhiờn Chỳ ý rng nu dim M = d > v H Id ( M ) thỡ H Id ( M ) khụng hu hn sinh Kt qu sau õy, l mt h qu tc khc ca nh lý trờn, cho ta mt tớnh cht i ngu 2.3.2 H qu Cho I l mt iờan ca R, v dim M / IM = s t ns = s depth(I;M) Khi ú ns l s dng i nht cho dim ( Supp( H Ii ( M )) ) = s c bit, nu s > thỡ H In ( M ) khụng l mụun s Artin 28 Kt lun Bi bỏo [6] ca N Q Chinh v L T Nhn gm phn Phn th nht trỡnh by v k dóy chớnh qui Khỏi nim ny c a ln u tiờn [6] v nú l m rng cựa cỏc khỏi nim ó bit nh dóy chớnh qui, dóy chớnh qui lc, dóy chớnh qui suy rng Phn th hai trỡnh by v k sõu Khỏi nim ny c xõy dng da vo khỏi nim k dóy chớnh qui Mc ớch ca Lun l trỡnh by ni dung th hai bi bỏo [6] ca N Q Chinh v L T Nhn C th l da vo [6] lun ó hon thnh c nhng vic sau Trỡnh by nh ngha v chng minh mt s tớnh cht ca k sõu Dựng khỏi nim k sõu nghiờn cu tớnh khụng trit tiờu v tớnh hu hn ca mụun i ng iu a phng Da vo khỏi nim k sõu nghiờn cu chiu giỏ ca mụun i ng iu a phng 29 Ti liu tham kho Ting Vit [1] Lờ Quang Bo (2009), Mt s tớnh cht ca dóy chớnh quy v sõu, Lun thc s Toỏn hc, Trng i hc Vinh [2] Nguyn T Cng (2003), Giỏo trỡnh i s hin i, Nh xut bn i hc Quc gia H Ni [3] Nguyn Th Phng (2009), Dóy chớnh quy lc, Lun thc s Toỏn hc, Trng i hc Vinh Ting Anh [4] M Brodmann and R Y Sharp (1998), Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press [5] N T Cuong, P Schenzel and N V Trung (1978), Verallgemeinerte Cohen Macaulay Moduln, Math Nachr, 85 , 57 73 [6] N Q Chinh, L T Nhan (2008), On the Associated Primes and the Support of Local Cohomology Modules , Algebra Colloguium 15(4), 599 608 [7] R Lu and Z Tang (2002), the f depth or an ideal on a module, Proc AMS, 130 , 1905 1912 [8] H Matsumura (1986), Commutative ring theory, Cambridge University Press [9] L T Nhan (2005), On generralized regular sequences and the finiteness for associated primes of local cohomology modules, Comm Algebra, 33, 793 806 30