I. MỞ ĐẦU Quan điểm chung về đổi mới phương pháp dạy học môn toán hiện nay ở trường trung học phổ thông là phải tổ chức cho học sinh được học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo. Nhiệm vụ của người giáo viên là mở rộng trí tuệ của học sinh chứ không phải làm đầy trí tuệ các em bằng cách truyền thụ các tri thức đã có. Ý nghĩa của việc học không chỉ là tiếp nhận thông tin mà phải bao gồm sự suy xét, phê phán có ý thức và việc học phải được thực hiện chính bởi học sinh. Học sinh phải tự mình tích cực kiến tạo tri thức toán học cho bản thân, tham gia vào các quá trình: nghi vấn, thảo luận, giải thích, bác bỏ... qua đó phát triển tư duy của bản thân. Như vậy điều quan trọng trong giáo dục Toán là nâng cao tư duy của học sinh. Đặc biệt là đối với học sinh có năng khiếu toán học thì yêu cầu đó lại càng đòi hỏi cao hơn. Bởi vì các học sinh có năng khiếu đòi hỏi những cơ hội được suy nghĩ theo nhiều hướng khác nhau, những vấn đề mở, mà thách thức các em và khuyến khích phát triển tư duy bậc cao. Các em cũng cần một môi trường mà có thể thúc đẩy tự nghiên cứu sáng tạo toán học. Một trong những cách để phát triển tư duy cho học sinh đó là sử dụng câu hỏi kết thúc mở. Những câu hỏi có kết thúc mở tạo cơ hội cho học sinh bày tỏ sự hiểu biết của mình về toán học, cho phép nhiều câu trả lời đúng và khuyến khích một cách suy nghĩ khác của học sinh, cho phép các em thể hiện các cách giải toán riêng của bản thân. Qua đó giúp các em phát triển khả năng tư duy toán học của chính mình, làm cho các em trở nên năng động, sáng tạo, biết tự suy nghĩ để giải quyết các vấn đề mà các em gặp phải trong quá trình học và cuộc sống. II. NỘI DUNG 1. Câu hỏi kết thúc mở: 1.1. Phân biệt câu hỏi kết thúc đóng câu hỏi kết thúc mở: • Câu hỏi kết thúc đóng là dạng câu có cấu trúc hoàn chỉnh, khi đó một câu trả lời đúng luôn được xác định rõ ràng theo một cách cố định nào đó từ những giả thiết được cho trong bài toán • Câu hỏi kết thúc mở là dạng câu hỏi mà GV đưa ra một tình huống mở và yêu cầu học sinh phải hoàn thành câu trả lời. Vấn đề kết thúc mở cho phép HS trả lời một cách phù hợp tùy theo mức độ tư duy của HS và có thể có nhiều lời giải đúng cho một câu hỏi. Ví dụ: • Viết ba số tiếp theo của dãy số sau: 1, 4, 7, 10, 13, ..., ..., .... Đây là câu hỏi kết thúc đóng. • Xét dãy số sau: 1, 4, 7, 10, 13, .... Số 106 có thuộc dãy này không. Giải thích tại sao? Đây là câu hỏi kết thúc mở.
Chuyên đề Toán Phương pháp giảng dạy Trường THPT Đông Hà SỬ DỤNG CÂU HỎI KẾT THÚC MỞ TRONG PHÁT TRIỂN TƯ DUY CỦA HỌC SINH CÓ NĂNG KHIẾU TOÁN I MỞ ĐẦU Quan điểm chung đổi phương pháp dạy học môn toán trường trung học phổ thông phải tổ chức cho học sinh học tập hoạt động hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo Nhiệm vụ người giáo viên mở rộng trí tuệ học sinh làm đầy trí tuệ em cách truyền thụ tri thức có Ý nghĩa việc học không tiếp nhận thông tin mà phải bao gồm suy xét, phê phán có ý thức việc học phải thực học sinh Học sinh phải tự tích cực kiến tạo tri thức toán học cho thân, tham gia vào trình: nghi vấn, thảo luận, giải thích, bác bỏ qua phát triển tư thân Như điều quan trọng giáo dục Toán nâng cao tư học sinh Đặc biệt học sinh có khiếu toán học yêu cầu lại đòi hỏi cao Bởi học sinh có khiếu đòi hỏi hội suy nghĩ theo nhiều hướng khác nhau, vấn đề mở, mà thách thức em khuyến khích phát triển tư bậc cao Các em cần môi trường mà thúc đẩy tự nghiên cứu sáng tạo toán học Một cách để phát triển tư cho học sinh sử dụng câu hỏi kết thúc mở Những câu hỏi có kết thúc mở tạo hội cho học sinh bày tỏ hiểu biết toán học, cho phép nhiều câu trả lời khuyến khích cách suy nghĩ khác học sinh, cho phép em thể cách giải toán riêng thân Qua giúp em phát triển khả tư toán học mình, làm cho em trở nên động, sáng tạo, biết tự suy nghĩ để giải vấn đề mà em gặp phải trình học sống II NỘI DUNG Câu hỏi kết thúc mở: 1.1 Phân biệt câu hỏi kết thúc đóng - câu hỏi kết thúc mở: • Câu hỏi kết thúc đóng dạng câu có cấu trúc hoàn chỉnh, câu trả lời xác định rõ ràng theo cách cố định từ giả thiết cho toán • Câu hỏi kết thúc mở dạng câu hỏi mà GV đưa tình mở yêu cầu học sinh phải hoàn thành câu trả lời Vấn đề kết thúc mở cho phép HS trả lời cách phù hợp tùy theo mức độ tư HS có nhiều lời giải cho câu hỏi Ví dụ: • Viết ba số dãy số sau: 1, 4, 7, 10, 13, , , Đây câu hỏi kết thúc đóng • Xét dãy số sau: 1, 4, 7, 10, 13, Số 106 có thuộc dãy không Giải thích sao? Đây câu hỏi kết thúc mở ThS Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà Chuyên đề Toán Phương pháp giảng dạy Trường THPT Đông Hà 1.2 Đặc trưng câu hỏi kết thúc mở: • Không có phương pháp cố định Ví dụ: Hãy đưa hình ảnh liên tục? Các em đưa ví dụ trời mưa suốt ngày (không lúc ngừng mưa), hình ảnh đường ray gắn liên tục vào cho tàu chạy, em vẽ đồ thị hàm số liên tục • Không có lời giải cố định, có nhiều lời giải Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số đa thức biết đồ thị qua hai điểm (-3;0) (1;0) Với câu hỏi em vẽ nhiều đồ thị, chẳng hạn y = x + x − , y = x + x − x + y = −3x − x + x + • Được giải theo nhiều cách khác nhiều mức độ khác Ví dụ: Một kiến bò từ đỉnh A đến đỉnh đối diện B hình lập phương có cạnh Hỏi kiến nên theo đường lợi nhất? Với câu hỏi tùy theo mức độ cuả em mà có câu trả lời khác nhau: Mức 1: Con kiến theo cạnh hình lập phương hình vẽ Khi độ dài đường 2+2+2=6 Mức 2: Con kiến theo đường chéo mặt cạnh Độ dài đường trường hợp là: 2+2 Mức 3: Nếu ta tưởng tượng trải hình lập phương đoạn thẳng nối hai điểm A B hành trình kiến, độ dài đường Đây cách ngắn A Møc B B B A Møc A Møc • Tạo cho HS hội tự định cách suy nghĩ toán học cách tự nhiên • Phát triển kĩ giao tiếp Ưu điểm, hạn chế câu hỏi kết thúc mở: 2.1 Ưu điểm câu hỏi kết thúc mở: • Vấn đề kết thúc mở thường đòi hỏi học sinh phải giải thích tư mình, cung cấp cho học sinh hội để bày tỏ hiểu biết Ví dụ 1: Cho đồ thị hai hàm số sau, xét xem hàm số liên tục, sao? Các em trả lời rằng: y Cả hai hàm số f(x) y g(x) liên tục chúng cho công thức (1) g(x) không liên tục x không xác định (2) x f(x)=x2 2 -2 g(x)= (x≠0) x -2 ThS Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà Chuyên đề Toán Phương pháp giảng dạy Trường THPT Đông Hà g(x) không liên tục đạt vô cực (3) g(x) không liên tục đồ thị mảnh (4) Các câu trả lời học sinh cho thấy hiểu biết em tính liên tục hàm số đến mức độ Câu trả lời (1) mà “đúng lập luận sai” em nghĩ hàm số cho công thức liên tục Còn câu trả lời (2), (3), (4) sai lập luận • Những câu hỏi kết thúc mở giúp trọng đến nhu cầu khác Thông thường quan tâm nhiều đến việc thực quy trình có tính thuật toán dùng chúng Do nhiều học sinh biết dùng quy trình toán dùng Ví dụ 2: Em tính log −2 (−8) không? Giải thích có hay không có? Có học sinh dùng định nghĩa lôgarit: (−2) = −8 , nên theo định nghĩa ta có: log −2 (−8) = , em không để ý định nghĩa a c = b ⇔ c = log a b a, b phải số dương • Những câu hỏi kết thúc mở cho phép giáo viên có cách nhìn tốt việc hiểu học sinh chủ đề toán, từ để thiết kế cách dạy bắt đầu với học sinh biết làm điều Ví dụ 3: Khi yêu cầu giải hệ phương trình tuyến tính, học sinh thành thạo giải phương pháp đồ thị, thế, khử Nhưng yêu cầu: Hãy tạo hệ phương trình tuyến tính mà nghiệm (-2, ) nhiều học sinh gặp lúng túng Như học sinh có hiểu biết máy móc, thuộc lòng quy trình để đưa câu trả lời mà không hiểu ý nghĩa thực hệ phương trình tuyến tính • Những câu hỏi kết thúc mở cho phép học sinh thảo luận trước lớp cách giải, phát triển kỹ lập luận toán học kỹ giao tiếp Từ giúp em phát triển tự tin khả để làm toán, giúp cho em khám phá khả toán học tiềm tàng họ • Cho phép học sinh có lời giải lạ, đặc biệt, sáng tạo theo cách riêng Cho phép học sinh tiếp cận giải vấn đề theo cách mà em chọn Không dừng lại việc “có câu trả lời đúng” em thảo luận xem lời giải tốt yếu tố làm cho lời giải tốt • Mở rộng suy nghĩ sáng tạo trí tưởng tượng học sinh 2.2 Hạn chế: • Việc soạn câu hỏi kết thúc mở khó thời gian, đòi hỏi người biên soạn phải có khả toán tay nghề sư phạm cao biên soạn tốt • Nếu sử dụng câu hỏi kết thúc mở không phù hợp với trình độ học sinh không phát huy tư em mà làm cho em không hiểu • Nếu giáo viên léo sử dụng dạy nhiều thời gian, không cung cấp đủ kiến thức cho học sinh tiết học Các cách tạo câu hỏi kết thúc mở: ThS Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà Chuyên đề Toán Phương pháp giảng dạy Trường THPT Đông Hà Thông thường từ câu hỏi kết thúc đóng ta chuyển sang câu hỏi kết thúc mở Ví dụ 4: • Vẽ đồ thị hàm số: y=-2x+5 Với câu hỏi kết thúc đóng học sinh thường lấy hai điểm, chẳng hạn (0;5) (1;3) vẽ đường thẳng qua hai điểm • Vẽ đồ thị phương trình đường thẳng với hệ số góc âm cắt Ox điểm có tung độ dương Giải thích đồ thị thỏa mãn điều kiện đó? Đây câu hỏi kết thúc mở, đòi hỏi học sinh phải biết hệ số góc, “cắt Ox” mối quan hệ chúng mặt phẳng tọa độ Với câu hỏi học sinh có nhiều cách vẽ thỏa mãn Ví dụ 5: • Tìm đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số: y = x−5 x+2 Đây câu hỏi kết thúc đóng Học sinh cần cho mẫu số x+2 để có x=-2 tiệm cận đứng • Đưa phương trình hàm hữu tỉ mà đồ thị có tiệm cận đứng x=-2 Giải thích phương trình mà em vẽ thỏa mãn tiêu chuẩn đó? Với câu hỏi kết thúc mở học sinh phải biết hàm hữu tỉ phải biết ý nghĩa có tiệm cận đứng Các em đưa nhiều hàm số: y= 2x + x − 4x + y = , , x+2 2+ x 3.1 Yêu cầu học sinh tạo tình hay cho ví dụ thỏa mãn vài điều kiện xác định: Các câu hỏi thuộc loại đòi hỏi học sinh nhận nét đặc trưng khái niệm Ví dụ 6: Cho ví dụ biến cố có xác suất Tại có xác suất có biến cố thỏa mãn điều kiện Với câu hỏi học sinh phải biết biến cố, xác suất biến cố, đồng thời em phải biết dùng lập luận để giải thích Có thể nhiều em nói biến cố có xác suất không, lâu em quen với kết tính xác suất biến cố số khác 3.2 Yêu cầu học sinh giải thích đúng, sai sao: Các câu hỏi thuộc loại đưa hai hay nhiều mệnh đề yêu cầu học sinh phải lựa chọn giải thích Ví dụ 7: A nói nghiệm đa thức x + ax + x − x + 10 , B nói nghiệm đa thức, điều phụ thuộc vào tham số a Ai đúng, sai, sao? Qua giúp cho em phát triển tư phê phán việc xét tính có lý lời giải thu 3.3 Yêu cầu học sinh giải hay giải thích toán nhiều cách khác nhau: Ví dụ 8: Nêu phép dời hình khác biến hình vuông ABCD thành Học sinh phải vận dụng tổng hợp kiến thức phép dời hình học phép tịnh tiến, phép quay, đối xứng trục, đối xứng tâm, cao tích phép để nhiều cách giải ThS Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà Chuyên đề Toán Phương pháp giảng dạy Trường THPT Đông Hà 3.4 Yêu cầu học sinh giải toán với liệu bị mất, ẩn giả thiết: Ví dụ 9: Phương trình sau có nghiệm không Giải thích Nếu có nghiệm nó: x + = (1) Với câu hỏi này, có học sinh khẳng định (1) vô nghiệm, có em nhận thiếu giả thiết cần xét tập số cho thêm giả thiết x thuộc tập số thực vô nghiệm, x thuộc tập số phức (1) có nghiệm x = ± 2i 3.5 Yêu cầu học sinh đặt đề cho toán phù hợp với liệu cho Ví dụ 10: Đặt đề toán thích hợp cho hình vẽ sau: Học sinh tự cho đơn vị hệ trục tọa độ, đặt nhiều dạng đề toán khác Chẳng hạn: Với y( ) x (tính giây) y (tính m) ta có C toán: A B Có vận động viên tham gia thi chạy 200m Hỏi: • Ai thắng? Ai hoàn thành đua? (A thắng, ba đích) • Chuyện xảy với B? (B ngã sau tiếp x( ) tục chạy) 3.6 Yêu cầu học sinh giải toán có liên hệ với thực tế Ví dụ 11: Có học sinh A, B, C, D, E, F khám sức khỏe, kết thể sơ đồ sau: Qua sơ đồ cho em biết thông tin họ? Cần chọn người có hình dáng cân đối nhất, theo em nên chọn ai? Giải chiÒu A C thích cách chọn em? cao D B Bài toán đòi hỏi học sinh phải biết làm sáng tỏ F thông tin từ đồ thị phải biết liên hệ với E thực tế: người gọi cân đối, có nhiều tiêu chuẩn, với giả thiết toán “cân đối” phải hiểu cân đối chiều cao cân nặng Học sinh phải thể kiến thức mối quan hệ hàm số chiều cao khối lượng Học sinh có cúng c©n nÆng chiều cao, cân nặng nhau, vẽ đường thẳng từ gốc tọa độ qua điểm có tỷ số chiều cao/cân nặng để tìm cân đối Vai trò câu hỏi kết thúc mở việc phát triển tư học sinh: Sử dụng câu hỏi kết thúc mở dạy học có khả phát triển tư học sinh, đặc biệt tư phê phán tư sáng tạo 4.1 Câu hỏi kết thúc mở giúp học sinh phát triển tư phê phán: Tư phê phán tư xem xét, liên hệ đánh giá tất khía cạnh toán Nó bao gồm khả như: khả đọc để hiểu, việc nhận hỏi, nhận có điều kiện không đủ, điều kiện mâu thuẩn, việc xem xét tính có lý lời giải thu ThS Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà Chuyên đề Toán Phương pháp giảng dạy Trường THPT Đông Hà Ví dụ 12: Bạn Nam nói “f(x)=mx(x+3)+(x+2)(x-5) có hai nghiệm f(0).f(-3)=-800, b>0 Hãy so sánh a + b a+b Giải thích lập luận em Kết thu có liên quan đến tính chất hình học nào? Với câu hỏi này, trước hết học sinh phải nhận thấy a + b > a + b (1), học sinh chứng minh theo cách sau: Cách 1: Học sinh sử dụng tính chất: Với A>0, B>0; A>B ⇔ A > B (1) ⇔ ( a + b ) > ( a + b ) ⇔ a + b + ab > a + b ⇔ ab > Đúng Cách 2: Dùng tính chất: Với A>0, B>0 ta có: A>B ⇔ (1) ⇔ a a+b tương tự + b a+b >1⇔ b b > Vậy a+b a+b a b a + > Vì 1 B a a > a+b a+b a b + > a+b a+b Cách 3: Dùng phương pháp hình học: Các em phải thấy mối liên hệ giá trị a , b a + b Vì a,b>0 nên a > 0, b > Dựng tam giác ABC có A= 90 , AB= a , AC= b Theo định lý Pitago: BC= a + b Theo bất đẳng thức tam giác AB+AC>BC Vậy a + b > a + b Ta mở rộng nào? • Cho a>0, b>0, c>0 so sánh: a + b + c với a + b + c B a+b a A b C • Chứng minh: | a | + | b | + | c |≥ a + b + c , ∀ a, b, c Giải hoàn toàn tương tự Ở học sinh phải thấy mối liên hệ cạnh hình hộp đường chéo Xét hình hộp chữ nhật với cạnh |a|, |b|, |c| đường chéo a2 + b2 + c2 Như qua việc giải toán theo nhiều cách đòi hỏi học sinh phải biết tổng hợp kiến thức học chứng minh bất đẳng thức, biết chuyển đổi từ ngôn ngữ đại số sang hình học, biết mở rộng áp dụng ý tưởng chứng minh, qua phát triển tư sáng tạo cho em ThS Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà Chuyên đề Toán Phương pháp giảng dạy Trường THPT Đông Hà Ví dụ 14: Vẽ giấy kẻ ô hình vuông cạnh đơn vị dài Nối trung điểm cạnh để tạo nên hình vuông Lặp lại trình tương tự a) Vẽ hình vuông bên b) Viết dãy số biểu diễn diện tích hình vuông c) Tìm diện tích hình vuông thứ n bên thể nào? Các câu trả lời tùy thuộc vào mức độ học sinh: Một số học sinh chuyển xác ngôn ngữ lời thành ngôn ngữ hình học để vẽ xác, đầy đủ, lồng hình vuông bên Các em thực đến việc tính diện tích theo cách sau: • Cách 1: Sử dụng định lý Pitago, tính chiều dài cạnh diện tích • Cách 2: Đếm ô vuông phần giấy kẻ ô phía sau hình vẽ • Cách 3: Ghép góc hình vuông lớn phía hướng vào phía trong, kích thước hình vuông bên Lưu ý trình không chứng minh, suy nghĩ thể khiếu toán học sinh, việc thực theo cách đưa đến lời giải cho c) Những học sinh sau vẽ hình xác, dự đoán công thức tổng quát cho diện tích hình vuông thứ n sử dụng 1 hai cách sau: 1 • Cách 1: Dùng biểu thức đại số cho số hạng thứ n cấp số nhân: 1 3 An = 22− n = Cách 2: = n−2 n 2 Dùng công thức truy hồi: 6 10 10 15 20 15 A 1 A1 = 2, A2 = 1, A3 = , A4 = , A5 = ⇒ An = n −1 Một số em không vẽ hình Một số không hiểu thuật ngữ đề vẽ hình sai, chẳng hạn sau: Qua ví dụ trước hết rèn luyện cho học sinh kỹ đọc toán để hiểu, từ biết vẽ hình xác, sau phát triển tư sáng tạo việc học sinh tìm nhiều cách tiếp cận để giải toán ThS Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà Chuyên đề Toán Phương pháp giảng dạy Trường THPT Đông Hà Thiết kế hoạt động có sử dụng câu hỏi kết thúc mở: Tam giác Pascal Em vẽ tiếp hình sau không? Giải thích em vẽ vậy? Số tam giác: 1, 3, 6, 10, ??? 10 Số lục giác: 1, 6, 15, 28, ??? 28 15 Số tứ diện: 1, 4, 10, 20, ??? 10 20 Xem hình vẽ sau (được gọi tam giác Pascal) Em viết dòng hay không? Giải thích cách viết em Liệu có quy tắc để tính tổng số hạng dòng không? Có loại số mà em biết tìm thấy tam giác Pascal? Em tìm quy luật số hàng đường chéo? Hãy tìm nhiều tốt (quy ước: thứ tự hàng tính từ xuống, 0) Học sinh tìm nhiều quy luật: • Số tự nhiên: xuất đường chéo thứ hai tam giác • Số mũ 2: 20 = 1 21 = + 1 22 = + + 1 3 23 = + + + 1 24 = = + + + Từ học sinh rút công thức tính tổng số hàng thứ n 2n • Số mũ 11: 110 1 111 112 3 113 ThS Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà Chuyên đề Toán Phương pháp giảng dạy Trường THPT Đông Hà 114 Sự phát thể học sinh có khiếu toán thực Mặc dù có thê em chưa biết định lý nhị thức, có lẽ “Pascal trẻ” Kết giải thích sau: = 110 = (10 + 1)0 1 = 111 = (10 + 1)1 = 112 = (10 + 1) =1.102 + 2.101 + 1 = 113 = (10 + 1)3 = 1.103 + 3.102 + 3.101 + 1 = 114 = (10 + 1) = 1.104 + 4.103 + 6.102 + 4.101 + • Số tam giác: Số tam giác tìm thấy đường chéo thứ ba: 1, 3, 6, 10, 15, • Số tứ diện: tìm thấy đường chéo thứ tư: 1, 4, 10, 20, 35 • Số lục giác: tìm thấy đường chéo thứ ba (nhưng cách số): 1, 6, 15, 28, 45, • Số Fibonacci: Xét xem số 144 có thuộc dãy số sau không? Giải thích sao? 1 13 21 34 Để trả lời câu hỏi này, học sinh phải phát tính chất dãy số là: hai số hạng 1, kể từ số hạng thứ trở đi, số hạng tổng hai số hạng liền trước F(n+1)=F(n-1)+F(n), n>1, F(1)=1, F(2)=1 Các số gọi số Fibonacci Số Fibonacci tìm thấy tam giác Pascal nào? Hãy tìm nhiều cách tốt Học sinh phát huy tập trung sáng tạo để tìm nhiều cách xuất số Fibonacci tam giác Cách 1: Bằng cách cộng số theo đường chéo vẽ sau: 13 1 1 13 1 1 1 3 1 1 10 10 1 15 20 16 Cách 2: Gấp đôi cột tam giác Pascal xếp lại sau, cộng số theo hàng: 1 1 1 1 1 ThS Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà Chuyên đề Toán Phương pháp giảng dạy Trường THPT Đông Hà 1 3 13 1 21 Cách 3: Trình bày lại tam giác Pascal (viết lùi cột xuống hàng) tính tổng hàng 1 1 1 2 3 13 Cách 4: Viết gấp đôi dòng tam giác xếp lại, sau tính tổng cột : 1 1 1 1 1 3 1 3 1 1 Từ học sinh phát mối liên hệ thú vị các số Fibonacci tam giác Pascal F(n+1) = 1.F(n) +1.F(n-1) F(n+2) = 1.F(n) +2.F(n-1) +1.F(n-2) F(n+3) = 1.F(n) +3.F(n-1) +3.F(n-2) +1.F(n-3) F(n+4) = 1.F(n) +4.F(n-1) +6.F(n-2) +4.F(n-3) +1.F(n-4) F(n+5) = 1.F(n) +5.F(n-1) +10.F(n-2)+10.F(n-3) +5.F(n-4) +1.F(n-5) • Số Catalan: Có thể chia tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác thành tam giác cho đường chéo chúng không cắt nào? Có cách chia tất cả? Học sinh vẽ hình tìm cách chia sau: Tam giác có cách chia, tứ giác có cách, ngũ giác có cách, lục giác có 14 cách (có em không tìm kết vậy!) Các số gọi số Catalan 10 ThS Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà Chuyên đề Toán Phương pháp giảng dạy Trường THPT Đông Hà 14 Hãy dùng tam giác Pascal để tìm số cách chia bát giác thành tam giác trên? Học sinh phải tìm xuất số 1, 2, 5, 14, tam giác Pascal để tim số hạng dãy số 1 1 1 3 1 1 10 10 1 15 20 15 1 21 35 35 21 1 28 56 70 56 28 1 36 84 126 126 84 36 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 Cách 1: Lấy số cột trừ số kề bên chúng (trái phải) 1 Cách 2: Lấy số cột 1 2 20 70 15 56 14 252 210 42 trừ số cách số 20 14 252 120 132 10 70 28 42 Cách 3: - 35 21 126 84 11 ThS Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà Chuyên đề Toán Phương pháp giảng dạy Trường THPT Đông Hà 14 42 Cách 4: Trừ theo đường chéo, tính từ số cột 1=1 1=1 1=2-1 2=3-1 2=6-3-1 5=10-4-1 5=20-10-4-1 14=35-15-5-1 14=70-35-15-5-1 42=126-56-21-6-1 42=252-126-56-21-6-1 1 • Tam giác Sierpinski: 1 3 Từ tam giác Pascal có cách để vẽ tam giác 1 10 10 Sierpinski không? 15 20 15 1 21 35 35 21 Nếu ta tô màu hình tam giác nhỏ xung quanh 1 số lẻ phần lại không tô ta nhận hình vẽ thú vị tam giác Sierpinski • Số hành trình ngắn nhất: Cho mạng lưới đường phố mà khu phố xem hình vuông Có cách nhanh để từ ngã tư (A) tới ngã tư (B) Trong cách có cách nhanh không? Đây vận dụng tam giác Pascal: 1(A) 1 1 3 1 1 10 10 15 20 15 21 35 35 21 56 70 56 126 126 252(B) A B Qua câu hỏi kết thúc mở tạo cho học sinh có hội khám phá nhiều tính chất thú vị tam giác Pascal, rèn luyện cho em có mắt phê phán biết xếp số nhìn tam giác dạng khác nhau, từ đọc quy luật thú vị số, phát triển tư sáng tạo cho phép em có nhiều cách tiếp cận giải vấn đề, áp dụng ý tưởng trước để tạo cách tiếp cận Đồng thời 12 ThS Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà Chuyên đề Toán Phương pháp giảng dạy Trường THPT Đông Hà đưa đến cho em khái niệm liên quan số Fibonacci, số Catalan, số tam giác, số lục giác, số tứ diện III KẾT LUẬN Việc sử dụng câu hỏi kết thúc mở có tác dụng lớn phát triển tư học sinh nói chung học sinh có khiếu toán nói riêng Câu hỏi kết thúc mở cho phép có nhiều câu trả lời giải theo nhiều cách Hơn để có câu trả lời, học sinh phải trình tư em, trình lập luận, từ phát triển kỹ giải toán, kỹ giao tiếp, phát triển tư cho học sinh, đặc biệt tư phê phán tư sáng tạo Do thời gian kinh nghiệm hạn chế, nên viết không tránh khỏi nhiều thiếu sót Bản thân tự nhận thấy có nhiều cố gắng tìm nghiên cứu tài liệu song mức độ nghiên cứu để khai thác câu hỏi kết thúc mở nhằm phát triển tư cho học sinh có khiếu toán chưa sâu Kính mong nhận xét góp ý đồng nghiệp Đề nghị:(ThS Lê Văn Cả) 1) Vận dụng linh hoạt câu hỏi kết thúc đóng câu hỏi kết thúc mở trình hướng dẫn giải toán cho học sinh THPT 2) Vận dụng linh hoạt câu hỏi kết thúc đóng câu hỏi kết thúc mở trình dạy khái niệm, định lý 3) Vận dụng linh hoạt câu hỏi kết thúc đóng câu hỏi kết thúc mở trình hướng dẫn học sinh sáng tạo toán 13 ThS Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà [...]... thác câu hỏi kết thúc mở nhằm phát triển tư duy cho học sinh có năng khiếu toán còn chưa sâu Kính mong các nhận xét và góp ý của đồng nghiệp Đề nghị:(ThS Lê Văn Cả) 1) Vận dụng linh hoạt câu hỏi kết thúc đóng và câu hỏi kết thúc mở trong quá trình hướng dẫn giải bài toán cho học sinh THPT 2) Vận dụng linh hoạt câu hỏi kết thúc đóng và câu hỏi kết thúc mở trong quá trình dạy khái niệm, định lý 3) Vận dụng. .. Hà Chuyên đề Toán Phương pháp giảng dạy Trường THPT Đông Hà đưa đến cho các em những khái niệm liên quan như số Fibonacci, số Catalan, số tam giác, số lục giác, số tứ diện III KẾT LUẬN Việc sử dụng câu hỏi kết thúc mở có tác dụng rất lớn trong phát triển tư duy của học sinh nói chung và là học sinh có năng khiếu toán nói riêng Câu hỏi kết thúc mở cho phép có nhiều hơn một câu trả lời và có thể giải... theo nhiều cách Hơn nữa để có được một câu trả lời, học sinh phải chỉ ra quá trình tư duy của các em, quá trình lập luận, từ đó phát triển các kỹ năng giải toán, kỹ năng giao tiếp, phát triển tư duy cho học sinh, đặc biệt là tư duy phê phán và tư duy sáng tạo Do thời gian và kinh nghiệm hạn chế, nên bài viết không tránh khỏi nhiều thiếu sót Bản thân tự nhận thấy mặc dù đã có nhiều cố gắng tìm và nghiên... những hình vuông Có bao nhiêu cách nhanh nhất để đi từ một ngã tư này (A) tới một ngã tư kia (B) Trong các cách đó có cách nào nhanh hơn cả không? Đây là một sự vận dụng tam giác Pascal: 1(A) 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 6 15 20 15 6 21 35 35 21 56 70 56 126 126 252(B) A B Qua các câu hỏi kết thúc mở này đã tạo cho học sinh có cơ hội khám phá ra nhiều tính chất thú vị của tam giác Pascal,... linh hoạt câu hỏi kết thúc đóng và câu hỏi kết thúc mở trong quá trình dạy khái niệm, định lý 3) Vận dụng linh hoạt câu hỏi kết thúc đóng và câu hỏi kết thúc mở trong quá trình hướng dẫn học sinh sáng tạo các bài toán 13 ThS Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà ...Chuyên đề Toán Phương pháp giảng dạy Trường THPT Đông Hà 2 1 5 14 Hãy dùng tam giác Pascal để tìm số các cách chia một bát giác thành các tam giác như trên? Học sinh phải tìm ra sự xuất hiện của số 1, 2, 5, 14, trong tam giác Pascal để tim ra số hạng tiếp theo của dãy số trên 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6... cho các em có con mắt phê phán khi biết sắp xếp các số và nhìn tam giác dưới các dạng khác nhau, từ đó đọc được những quy luật thú vị giữa các con số, phát triển tư duy sáng tạo khi cho phép các em có nhiều cách tiếp cận mỗi khi giải quyết một vấn đề, khi áp dụng những ý tư ng trước đó để tạo ra các cách tiếp cận mới Đồng thời 12 ThS Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT... 11 ThS Nguyễn Văn Phú – Tổ Toán –THPT Đông Hà Chuyên đề Toán Phương pháp giảng dạy Trường THPT Đông Hà 1 2 5 14 42 Cách 4: Trừ theo đường chéo, tính từ số ở cột chính giữa 1=1 1=1 1=2-1 2=3-1 2=6-3-1 5=10-4-1 5=20-10-4-1 14=35-15-5-1 14=70-35-15-5-1 42=126-56-21-6-1 42=252-126-56-21-6-1 1 1 1 • Tam giác Sierpinski: 1 2 1 1 3 3 1 Từ tam giác Pascal có cách nào để vẽ tam giác 1 4 6 4 1