pp tìm cực trị

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn -41- CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Khái niệm cực trị hàm số : Giả sử hàm số fxác ñịnh trên tập hợp ( )D D⊂ℝ và 0x D∈ 0)a x ñược gọi là một ñiểm cực ñại của hàm số fnếu tồn tại một khoảng ( );a bchứa ñiểm 0xsao cho ( );a b D⊂ và ( ) ( )0f x f x< với mọi ( ) { }0; \x a b x∈ . Khi ñó ( )0f xñược gọi là giá trị cực ñại của hàm số f. 0)b x ñược gọi là một ñiểm cực tiểu của hàm số fnếu tồn tại một khoảng ( );a bchứa ñiểm 0xsao cho ( );a b D⊂ và ( ) ( )0f x f x> với mọi ( ) { }0; \x a b x∈ . Khi ñó ( )0f xñược gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f. Giá trị cực ñại và giá trị cực tiểu ñược gọi chung là cực trị Nếu 0xlà một ñiểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số fñạt cực trị tại ñiểm 0x. Như vậy : ñiểm cực trị phải là một ñiểm trong của tập hợp ( )D D⊂ℝ 2. ðiều kiện cần ñể hàm số ñạt cực trị: ðịnh lý 1: Giả sử hàm số fñạt cực trị tại ñiểm 0x. Khi ñó , nếu fcó ñạo hàm tại ñiểm 0xthì ( )0' 0f x= Chú ý : • ðạo hàm 'fcó thể bằng 0tại ñiểm 0x nhưng hàm số f không ñạt cực trị tại ñiểm 0x. • Hàm số có thể ñạt cực trị tại một ñiểm mà tại ñó hàm số không có ñạo hàm . • Hàm số chỉ có thể ñạt cực trị tại một ñiểm mà tại ñó ñạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại ñó hàm số không có ñạo hàm . 3. ðiều kiện ñủ ñể hàm số ñạt cực trị: ðịnh lý 2: Giả sử hàm số fliên tục trên khoảng ( );a bchứa ñiểm 0xvà có ñạo hàm trên các khoảng ( )0;a x và ( )0;x b. Khi ñó : )a Nếu ( ) ( )( ) ( )0 00 0' 0, ;' 0, ;f x x a xf x x x b< ∈> ∈thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm 0x. Nói một cách khác , nếu ( )'f xñổi dấu từ âm sang dương khi xqua ñiểm 0xthì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm 0x. x a 0x b ( )'f x − + ( )f x ( )f a ( )f b ( )0f x )b Nếu ( ) ( )( ) ( )0 00 0' 0, ;' 0, ;f x x a xf x x x b> ∈< ∈thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm 0x. Nói một cách khác , nếu ( )'f xñổi dấu từ dương sang âm khi xqua ñiểm 0xthì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm 0x. Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn -42- x a 0x b ( )'f x + − ( )f x ( )0f x ( )f a ( )f b ðịnh lý 3: Giả sử hàm số fcó ñạo hàm cấp một trên khoảng ( );a bchứa ñiểm 0x,( )0' 0f x=và fcó ñạo hàm cấp hai khác 0tại ñiểm 0x. )a Nếu ( )0'' 0f x<thì hàm số f ñạt cực ñại tại ñiểm 0x. )b Nếu ( )0'' 0f x>thì hàm số f ñạt cực tiểu tại ñiểm 0x. 4. Quy tắc tìm cực trị: Quy tắc 1: Áp dụng ñịnh lý 2 • Tìm ( )'f x • Tìm các ñiểm ( )1,2, 3 .ix i=tại ñó ñạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có ñạo hàm. • Xét dấu của ( )'f x. Nếu ( )'f xñổi dấu khi xqua ñiểm 0xthì hàm số có cực trị tại ñiểm 0x. Quy tắc 2: Áp dụng ñịnh lý 3 • Tìm ( )'f x • Tìm các nghiệm ( )1,2, 3 .ix i=của phương trình ( )' 0f x=. • Với mỗi ix tính ( )'' .if x − Nếu ( Bi tho lun nhúm Ch : Phng phỏp tỡm cc tr a phng v cc tr cú iu kin Thnh viờn nhúm: Nguyn Th Ngc Tỳ Phi Th Ti Bựi Th Uyờn Nguyn Kim Xuyn Nguyn Ngc Yn Bựi Vn Hựng V Th Thy Lờ Th Ninh Vn Th Thu Giang Cc tr a phng Cc tr cú iu kin Cc tr a phng nh ngha Cho hm s z = f(x,y) xỏc nh trờn D Ta núi rng hm s t cc i a phng(cc tiu a phng) ti im M (x0;y0) D, nu tn ti mt lõn cn U ca im M0 (x0;y0) cho vi mi (x;y) Ta cú: U, (x,y)(x0;y0) f (x,y) < f (x0;y0) hoc f (x,y) > f (x0;y0) im M0 (x0;y0) c gi l im cc i a phng (cc tiu a phng) ca hm s z = f (x;y) v f (x 0;y0) c gi l giỏ tr cc i a phng (giỏ tr cc tiu a phng) gi tt l CP (CTP) gi chung l cc tr a phng Cc tr a phng im dng im M0 (x0;y0) c gi l im dng ca hm s z = f (x;y) nu: B : Nu hm s z = f (x;y) kh vi D, cú cc tr a phng ti im P bng D thỡ ti im cỏc o hm riờng Nhn xột: Mt hm s cú th khụng cú o hm riờng ti cỏc im cc tr a phng ca nú Cc tr a phng VD: Z = Z0 x,y R Z=0 Hm s t cc tiu a phng ti O(0,0), zCT = z (0,0) = x (0,0) z = = y z == (0,0) => khụng xỏc nh => khụng xỏc nh Cc tr a phng 3.Phng phỏp tỡm cc tr a phng ca mt hm s kh vi D Z = f (x;y) kh vi (D) Tỡm im dng ca hm s t vic gii hpt Gi s P (a,b) A= x (a,b)2 .x = AC - B B= 2z (a,b); x y hm s cú cc tiu a phng ti P(a,b) hm s cú cc i a phng ti P(a,b) C= 2z (a,b) y Cc tr a phng < Khụng t cc tr ti P = Cha kt lun c Khi ú ta xột s gia (x0 + x, y0 + y ) = f (x0 + x, y0 + y ) f (x0;y0) Nu Cc tr a phng 2 VD: Tỡm cc tr ca hm s z = x xy + y 2x + y Hm s kh vi trờn R A= x (1,0)2 = .x z (1,0) = -1 x y 2z (1,0) = y 2 B= C= => im dng P (1,0) = AC - B = 2.2 = > A=2>0 Hm s t cc tiu a phng ti P (1,0) Cc tr a phng VD: Tỡm cc tr a phng ca hm s 4 f(x,y) = x + y 2(x-y) TX: D = R z ' x = x 4( x y ) ' z y = y + 4( x y ) z x = ' z y = ' x 4( x y ) = y + 4( x y ) = z ' x z ' y = 4[( x y ) 2( x y )] = 4( x y )( x + y + xy 2) = ' z y + z ' x = 4( x + y ) 2 x y = hay x + y + xy = 3 y = x = ( x ) Cc tr a phng x = y y = x x = y = hay hay x + y + xy = y = x x = x = hay y = y = im dng P1 (0,0), P2 (, -, P3(- ) z = 4; x y 2x = 12 x 4; .x 2z = 12 y y a im dng P1 (0,0) A= x (0,0)2 = -4 .x B= 2z (0,0) = x y C= 2z (0,0) = -4 y Cc tr a phng 2 = AC - B = (-4).(-4) = Xột 1 X n ( , ) (n R) n n r > 0, n Khi ú: ln f(X n ) f(X ) = X n B (X , r) 1 + + = >0 4 n n n Do ú f (X0) khụng l cc i a phng ca f Xột Xm ( ,0) (m R) m r > 0, m Khi ú: ln X m B (X , r) f(X m ) f(X ) = Ta chn c m ln 1 = 4 m m m 0 Ta li cú: A=20>0 => f (X0) l cc tiu a phng ca f B= 2z () = x y Cc tr cú iu kin Bi toỏn tỡm cc tr cú iu kin l bi toỏn tỡm cc tr thụng thng ca hm s u = f (x 1,x2,,xn) vi cỏc iu kin rng buc Fi (x1,x2,,xn) ( x, y ) = i = 1m , m dy = Thay vo 'x ' y d F ( x, y ) = G ( x, y, )dx dx Cc tr cú iu kin Nu G ( x,> 0y , => ) dx Nu G ( x ) dx l im cc i M ( x0 , y0 ) l im cc tiu M ( x0 , y0 ) Cc tr cú iu kin 2 VD: Tỡm cc tr ca hm s z = 4x 3y vi dx: x + y = Hm (x, y) = x + y F(x, y) = f(x, y) + (x, y) = - 4x - 3y + (x + y 1) F ' x = ' F y = ( x, y ) = x = (1) (2) y = x + y = + x = + y = x2 + y = Th (1),(2) vo (3) (3) Cc tr cú iu kin (3) = = -5 2 ( ) +( ) = + = 2 25 = 42 = = x = ; y = => 5 x= -4 ; y= 5 25 = 4 M1 ( , ) 5 => M2 ( -4 , ) 5 Cc tr cú iu kin 2x = 2. .x 2z =0 x y 2z = 2. y 2 F F F d F = dx + + = (dx + dy ) x x.y y = => d F(M1) > => => d F(M1) < => = im M1( ,) l im cc tiu M2( ,) l im cc i Cảm ơn cô bạn lắng nghe Sở giáo dục và đào tạo hảI dơng Kinh nghiệm một số phơng pháp tìm cực trị Môn Toán Năm 2005 2006 1 Phòng giáo dục cẩm giàng trờng t.h.c.s cẩm Định --------------------------- Kinh nghiệm một số phơng pháp tìm cực trị Môn Toán Họ và tên: Nguyễn Thị Thuý đánh giá của nhà trờng (Nhận xét, xếp loại) 2 Số phách Kinh nghiệm một số phơng pháp tìm cực trị Môn Toán đánh giá của phòng giáo dục & đào tạo (Nhận xét, xếp loại) Tên tác giả : Đơn vị : phần I : đặt vấn đề 3 Số phách I. cơ sở lý thuyết. Trong giảng dạy bộ môn toán, việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, biết cách khai thác kiến thức, áp dụng kiến thức giải đợc nhiều loại toán, nhiều dạng bài tập là hết sức quan trọng, bởi đó là một phơng tiện tốt giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t duy hình thành kĩ năng kĩ xảo trong quá trình giải toán. Môn toán có nhiều dạng bài tập, trong đó dạng toán tìm cực trị (giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất) là những bài toán đi tìm cái lớn nhất, nhỏ nhất, rẻ nhất, đắt nhất, ngắn nhất, dài nhất . Qua những bài toán dẫn dắt học sinh có thói quen đi tìm một giải pháp tối u cho một công việc cụ thể trong cuộc sống thực tế. Điều đó cho thấy rằng toán cực trị là loại toán rất gần gũi với thực tế và có nhiều ứng dụng trong thực tế hàng ngày. Nó giúp học sinh rèn luyện nếp nghĩ khoa học, luôn mong muốn làm những công việc đạt hiệu quả cao nhất, tốt nhất. Vì vậy, nó góp phần không nhỏ vào việc phát triển trí tuệ, thúc đẩy niềm say mê học toán cho học sinh, đặc biệt là các em học sinh khá giỏi. Toán cực trị đợc đề cập nhiều trong các loại sách tham khảo, do vậy giáo viên rất khó khăn trong việc su tầm và tuyển chọn, và một vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để học sinh nắm đ ợc phơng pháp, t duy suy luận một cách có lô gíc khi giải toán cực trị ? Để góp phần vào việc giải quyết các vấn đề trên, bản thân là giáo viên thờng xuyên giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi môn toán lớp 8 và lớp 9, tôi mạnh dạn su tầm, tuyển chọn một số dạng bài toán cực trị và một số phơng pháp giải áp dụng cho từng dạng, hy vọng đem lại một phần thuận lợi cho giáo viên khi thực hiện chuyên đề này trong quá trình giảng dạy cho học sinh cấp trung học cơ sở nói chung và bồi dỡng học sinh giỏi lớp 8, lớp 9 nói riêng. II. những yêu cầu cần thiết. 1. Đối với giáo viên. 4 - Su tầm tài liệu, đọc, nghiên cứu để hệ thống hoá kiến thức, hệ thống các dạng bài tập về cực trị. - Tìm hiểu sâu về các bài toán cực trị trong nội dung chơng trình toán ở bậc trung học cơ sở. - Xây dựng đợc cơ sở lý thuyết để giải các bài toán cực trị. - Tuyển chọn, phân loại đợc các dạng bài tập cơ bản và nêu lên các ph- ơng pháp chính giải từng dạng bài tập cực trị. - Dự đoán đợc một số sai sót của học sinh có thể mắc phải và nêu đợc những điểm cần chú ý khi giải các bài toán cực trị. 2. Đối với học sinh. - Hiểu đợc bản chất của khái niệm cực trị và nắm đợc các bớc giải của bài toán cực trị. - Có kĩ năng nhận dạng đợc từng loại toán cực trị, vận dụng linh hoạt và sáng tạo các phơng pháp giải toán cực trị vào từng bài tập cụ thể từ đơn giản đến phức tạp. - Thấy đợc những ứng dụng của toán cực trị trong thực tế. Phần II : Nội dung A. Một số dạng toán cực trị trong đại số. 5 I. Định nghĩa và chú ý. 1. Cho biểu thức f(x). - Giá trị M đợc gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x) nếu thoả mãn hai điều kiện : +Với mọi x để f(x) xác định thì f(x) M (M là hằng số) (1) + Tồn tại x 0 sao cho f(x 0 ) = M (2) - Giá trị m đợc gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x) nếu thoả mãn sử dụng phơng pháp tham biến để tìm cực tri của một biểu thức I.Phơng pháp Giả sử cần tìm cực tri của một biểu thức Q (x) . Để đơn giản ta chỉ xét biểu thức Q (x) luôn xác định trên tập hợp số thực, nghĩa là nếu Q (x) có mẫu thức thì mẫu thức luôn d- ơng. Ta đa thêm tham biến t để xét biểu thức f (x) =Q (x) .- t. Nếu f (x) 0 (hoặc f (x) 0) với mọi x thuộc tập xác định của Q (x) và tồn tại giá trị t 0 để có f (x) =0 (tức là có Q (x) =t 0 ) thì t 0 chínhlà giá trị nhỏ nhất hoặc là giá trị lớn nhất của biểu thức Q (x) . II. Ví dụ cụ thể Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức Q= Lời giải: Xét f (x) =Q (x) t = vì x 2 +1>0 x R nên dấu của f (x) chính là dấu của tử thức g (x) = x 2 +8x+7- t(x 2 +1) hay g (x) = (1-t)x 2 +8x+7-t (1) xét tam thức g (x) = ax 2 +bx+c=a(x+ ) 2 + với =b 2 -4ac (*) Nếu a=0 thì g (x) = bx+c luôn cùng dấu với c khi b=0 và g (x) =0 khi c=0 Nếu a>0 thì g (x) 0 x khi 0 và g (x) =0 =0 Nếu a<0 thì g (x) 0 x khi 0 và g (x) =0 =0 áp dụng vào (1) ta có: =16 - (1- t)(7- t)=-t 2 +8t+9. =0 khi t=-1 hoặc t=9 Với t=-1 thì a=1-t=2>0 thì a=2>0 nên g (x) 0 f (x) 0 Q (x) có GTNN là-1 và xẩy ra khi f (x) =0 g (x) =0 2(x+2) 2 =0 x=-2. Với t=9 thì a=1-t=-8<0 nên g (x) 0 f (x) 0Q (x) có GTLN là 9 và xẩy ra khi f (x) =0 g (x) =0 2(2x-1) 2 =0 x= Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức Q= 22 2 43 yx xyy + với (x,y) 0 Lời giải: Vì x 2 +y 2 luôn dơng với (x,y) 0 nên dấu của f (x,y) chính là dấu của tử thức g (x,y) =3y 2 -4xy-t(x 2 +y 2 ) hay g (x,y) = (3- t)y 2 - 4xy- tx 2 (2) Nếu t=3 thì g (x,y) = -3x 2 -4yx. vì =4y 2 0 nên g (x,y) = 0 y=0 ,x=0 (đã loại trừ). Xét (2) theo biến y ta có y =4x 2 +t(3-t)x 2 =(4+3t-t 2 )x 2 ; y =0 x khi t=-1 hoặc t=4. Với t=-1 thì a=3-t=4>0 nên g (x,y) 0 f (x,y) 0 Q (x,y) có GTNN là -1và xẩy ra khi f (x,y) =0 g (x,y) =0 (2y-x) 2 =0 x=2y( 0). Với t=4 thì a=3-t=-1<0 nên g (x,y) 0 f (x,y) 0 Q (x,y) có GTLN là 4 và xẩy ra khi f (x,y) =0 g (x,y) =0 -(y+2x) 2 =0 y=2x ( 0) Ví dụ 3. Tìm u,v đểbiểu thức Q= đạt GTLN bằng 4 và GTNN bằng -1 Lời giải: Đặt f (X) =Q (X) t = vì x 2 +1>0 x R nên dấu của f (x) chính là dấu của tử thức g (x) = ux +v- t(x 2 +1) hay g (x) = -tx 2 +ux+v-t. Để GTLN Q (X) = 4 khi t 1 =4 (lúđó a 1 =-4<0) và GTNN Q (X) = -1 khi t 2 =-1 (lúc đó a 2 =1>0) xảy ra đồng thời thì dựa vào (*) ta có = = 0 1 2 1 hay =+ =+ 0)1(4 0)4(16 2 2 vu vu = = 16 3 2 u v Nghĩa là (u,v) bằng (4,3) hoặc (-4,3) Bài tập làm thêm Tìm giá trị nhỏ nhất, Mục lục Trang: A. Mở đầu 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 1 3. Nhiệm vụ đề tài 1 5. Đối tợng nghiên cứu 2 6. Phơng pháp tiến hành 2 4. Phạm vi đề tài 2 7. Dự kiến kết quả đề tài 2 B. Nội dung 3 Phần 1: Bài toán cực trị và phơng pháp giải trong đại số 3 I. Kiến thức cơ bản 3 1. Định nghĩa bài toán cực trị 3 2. Các bớc cơ bản tiến hành giải toán cực trị 3 !!. Phơng pháp cơ bản và ví dụ 3 1. Phơng pháp dùng bất đẳng thức 3 2. Phơng pháp dựa vào tính chất lũy thừa bậc chẵn 8 3. Phơng pháp miền giá trị 10 4. phơng pháp đồ thị hàm số 12 Phần II. Bài toán cực trị trong hình học 17 I. Kiến thức cơ bản 17 II. Một số dạng toán thờng gặp 19 C. Thực nghiệm s phạm 29 D. Kết quả thực hiện 35 E. Tài liệu tham khảo 36 `` Th viện SKKN của Quang Hiệu http://quanghieu030778.violet.vn/ 1 a. mở đầu 1. Lý do chọn đề tài - Hai yếu tố đã góp phần đổi mới phơng pháp giảng dạy nói chung và phơng pháp giảng dạy môn toán cấp THCS nói riêng, muốn thực hiện đợc điều đó thì vi trò của ngời thầy hết sức quan trọng. Để góp phần vào công cuộc đổi mới phơng pháp giảng dạy thì bản thân tôi đã trăn trở rất nhiều về việc truyền thụ kiến thức cho học sinh, không chỉ những kiến thức trong SGK mà còn phải làm sao đó từ những kiến thức cơ bản ấy phát triển và tìm ra những kiến thức mới giúp HS lĩnh hội một cách chủ động và có hệ thống. - Trong chơng trình toán phổ thông cấp THCS nhiều mảng kiến thức trong SGK đề cập đến rất ít nhng trong quá trình học lại gặp rất nhiều, ngay những em HS nắm rất vững kiến thức SGK nhng khi gặp dạng toán này cũng lúng túng vì vậy với phạm vi đề tài này tôi muốn đề cập đến một vấn đề mà không ít chúng ta - những ngời thầy đang trăn trở và băn khoăn vậy trong chơng trình toán phổ thông dạng kiến thức về cực trị là một trong những mảng kiến thức khó mà ứng dụng của nó lai khá rộng rãi nó không những có mặt trong phân môn đại số mà còn đóng góp một vai trò quan trọng trong phân môn hình học, nó không chỉ dừng ở chơng trình THCS mà còn là một phần quan trọng trong chơng trình THPT. Vì vậy dạng toán cực trị là phần gây cho HS ngay cả HS giỏi nhiều bối rối tuy nhiên đây cũng là phần quyến rũ HS say mê môn toán và học giỏi toán vì nó đòi hỏi phải t duy, tìm tòi sáng tạo. - Để giải đợc một bài toán cực trị cấp THCS yêu cầu phải nắm vững đợc các kiến thức cơ bản phổ thông phải biến đổi thành thạo các biểu thức đại số và sử dụng khá nhiều hằng đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp và điều đặc biệt là thông qua các bài tập cực trị hHS có thể vận dụng linh hoạt vào các loại toán khác nh giải phơng trình, hệ phơng trình, bất đẳng thức, chứng minh một yếu tố hình học Tóm lại: Qua nghiên cứu kỹ nội dung kiến thức , đọc nhiều tài liệu và qua những năm dạy toán ở trờng THCS , tôi đã rút ra đợc vài kinh nghiệm . Đặc biệt là những bài học rút ra sau những năm đơc đào tạo tại trờng s phạm , tôi mạnh dạn lấy đề tài nghiên cứu tựa đề là: Một số ph ơng pháp tìm cực trị trong trờng phổ 2 thông cấp THCS . Nếu có thể chúng ta cùng nghiên cứu và bổ sung cho hoàn chỉnh hơn. 2. Mục đích nghiên cứu - Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học tập môn Toán nói chung và việc giải toán cực trị nói riêng đợc tháo gỡ phần nào những khó khăn. Trang bị cho học sinh một số kiến thức cơ bản nhằm nâng cao rèn luyện khả năng t duy và học tập bộ môn một cách chủ động. - Tạo thêm hứng thú cho học sinh trong học tập môn Toán cũng nh kích thích sự đam mê tự học và tự tìm tòi nghiên cứu. - Giúp bản thân những tri thức và kinh nghiệm phục vụ cho quá trình giảng dạy góp phần nâng cao chất lợng dạy và học của nền giáo dục nớc nhà. 3. Nhiệm vụ đề tài - Đề tài đa ra một số kiến thức cơ bản về bài toán cực trị phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh THCS. - Thông qua đề tài