LUẬN VĂN MỘT SỐ TÀI LIỆU VỀ DÃY SỐ

Dãy số chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng trong Giải tích toán học: dãy số không chỉ là một đối tượng để nghiên cứu mà nó còn đóng vai trò là một công cụ đắc lực trong các mô hình rời rạc của giải tích, trong lý thuyết vi phân hàm, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn... Các vấn đề liên quan đến dãy số là rất phong phú. Có thể kể ra đây một số chủ đề thường gặp: giới hạn dãy số, công thức tìm số hạng tổng quát, tính đơn điệu và tính bị chặn của dãy số, tính chất của dãy số nguyên... Trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán học quốc tế, hay những kì thi giải toán của nhiều tạp chí toán học thì các bài toán về dãy số xuất hiện khá nhiều và được xem như những dạng toán loại khó ở bậc Trung học phổ thông. Một trong các nội dung thường gặp trong các bài toán về dãy số là xác định số hạng tổng quát và tìm giới hạn của dãy số. Hiện nay đã có nhiều tài liệu đề cập đến các khía cạnh khác nhau của dãy số. Tuy nhiên, các tài liệu được hệ thống theo dạng toán cũng như phương pháp giải thì chưa có nhiều và tôi mong muốn cung cấp cho các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh giỏi hoặc yêu thích toán, thêm một tài liệu tham khảo về dãy số. Tôi cố gắng hệ thống các phương pháp giải bài toán tìm số hạng tổng quát và bài toán về giới hạn của dãy số. Với những lý do trên và qua khả năng tìm hiểu, nghiên cứu, tôi chọn “Một số vấn đề chọn lọc về dãy số” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp bậc cao học của mình.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  NGUYỄN THỊ THÙY NHI MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC VỀ DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  NGUYỄN THỊ THÙY NHI MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC VỀ DÃY SỐ Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN DUY THÁI SƠN Đà Nẵng – Năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Những nội dung trình bày luận văn thực hướng dẫn TS Nguyễn Duy Thái Sơn Mọi tài liệu luận văn trích dẫn rõ ràng trung thực tên tác giả, tên công trình, thời gian địa điểm công bố Nếu có chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Tác giả luận văn Nguyễn Thị Thùy Nhi MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết đề tài Mục tiêu nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Bố cục đề tài Tổng quan tài liệu nghiên cứu……………………………………… CHƢƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 DÃY SỐ 1.2 DÃY SỐ BỊ CHẶN 1.3 DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU 1.4 CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN 1.5 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ CÁC ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN CHƢƠNG II: XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ12 2.1 SỬ DỤNG CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN ĐỂ TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ 12 2.2 DÙNG PHÉP THẾ LƢỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ 16 2.3 ỨNG DỤNG PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ 20 2.4 ỨNG DỤNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỂ XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ 29 2.5 PHƢƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM SINH TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ 36 CHƢƠNG III: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI HOẶC TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 45 3.1 SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ BỊ CHẶN 45 3.2 DÙNG HÀM CO VÀ ĐỊNH LÝ LAGRANGE 50 3.3 PHƢƠNG PHÁP DÃY PHỤ 52 3.4 DÙNG GIỚI HẠN HÀM SỐ 56 3.5 SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN KẸP 58 3.6 DÙNG ĐỊNH LÝ STOLZ – CESARO 61 3.7 SỬ DỤNG TỔNG TÍCH PHÂN 65 3.8 PHƢƠNG PHÁP LẤY TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 70 KẾT LUẬN 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO 71 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (Bản sao) MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Dãy số chiếm vị trí đặc biệt quan trọng Giải tích toán học: dãy số không đối tƣợng để nghiên cứu mà đóng vai trò công cụ đắc lực mô hình rời rạc giải tích, lý thuyết vi phân hàm, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn Các vấn đề liên quan đến dãy số phong phú Có thể kể số chủ đề thƣờng gặp: giới hạn dãy số, công thức tìm số hạng tổng quát, tính đơn điệu tính bị chặn dãy số, tính chất dãy số nguyên Trong kì thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán học quốc tế, hay kì thi giải toán nhiều tạp chí toán học toán dãy số xuất nhiều đƣợc xem nhƣ dạng toán loại khó bậc Trung học phổ thông Một nội dung thƣờng gặp toán dãy số xác định số hạng tổng quát tìm giới hạn dãy số Hiện có nhiều tài liệu đề cập đến khía cạnh khác dãy số Tuy nhiên, tài liệu đƣợc hệ thống theo dạng toán nhƣ phƣơng pháp giải chƣa có nhiều mong muốn cung cấp cho em học sinh, đặc biệt em học sinh giỏi yêu thích toán, thêm tài liệu tham khảo dãy số Tôi cố gắng hệ thống phƣơng pháp giải toán tìm số hạng tổng quát toán giới hạn dãy số Với lý qua khả tìm hiểu, nghiên cứu, chọn “Một số vấn đề chọn lọc dãy số” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp bậc cao học Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu đề tài nhằm hệ thống lại số phƣơng pháp hiệu để giải toán xác định công thức tổng quát chứng minh tồn tìm giới hạn dãy số Đồng thời tìm hiểu thêm số ứng dụng toán cao cấp vào việc giải toán có liên quan bậc THPT Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu đề tài dãy số Ngoài tổng quan giới hạn dãy số, nghiên cứu số dạng phƣơng trình sai phân tuyến tính, sử dụng kiến thức đại số tuyến tính, hàm sinh việc xác định công thức tổng quát dãy số Phạm vi nghiên cứu: Đề tài chủ yếu đề cập đến phƣơng pháp xác định công thức tổng quát dãy số chứng minh tồn tìm giới hạn dãy số Phƣơng pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu viết dãy số, đặc biệt tài liệu xác định công thức tổng quát giới hạn dãy số, sau hệ thống lại kiến thức Trao đổi, tham khảo ý kiến giáo viên hƣớng dẫn để trình bày nội dung vấn đề luận văn cách phù hợp Bố cục đề tài Luận văn đƣợc chia thành ba chƣơng: Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Chƣơng 2: Xác định công thức tổng quát dãy số Chƣơng 3: Một số phƣơng pháp chứng minh tồn tìm giới hạn dãy số Tổng quan tài liệu nghiên cứu Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến Dãy số ứng dụng thực tế qua ví dụ, tập áp dụng, nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu Dãy số Đƣa số toán, nhƣ số ví dụ minh họa nhằm làm cho ngƣời đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề đƣợc đề cập CHƢƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 DÃY SỐ Định nghĩa 1.1.1.[3] Một hàm số u xác định tập hợp số nguyên dƣơng * đƣợc gọi dãy số vô hạn (hay gọi tắt dãy số) Mỗi giá trị hàm số u đƣợc gọi số hạng dãy số; u (1) đƣợc gọi số hạng thứ (hay số hạng đầu); u (2) đƣợc gọi số hạng thứ 2; … Ngƣời ta thƣờng kí hiệu giá trị u(1), u(2), tƣơng ứng u1 , u2 , Dãy số với số hạng un thƣờng đƣợc kí hiệu un n1  un  ,   u1, u2 , , un ,  gọi un số hạng tổng quát dãy số đó; số n đƣợc gọi số (số hiệu) Trong luận văn này, thích riêng biệt dãy số đƣợc xét dãy số thực Chú ý: Theo định nghĩa, dãy số luôn chứa vô số số hạng (có thể không hoàn toàn phân biệt) Tuy nhiên, ngƣời ta gọi hàm số u xác định tập hợp gồm m số nguyên dƣơng (m tùy ý thuộc *) dãy số Rõ ràng, dãy số trƣờng hợp có hữu hạn số hạng (m số hạng u1, u2 , , um ), ngƣời ta gọi dãy số hữu hạn; u1 đƣợc gọi số hạng đầu um số hạng cuối dãy số Ta xây dựng phép toán dãy số nhƣ sau: Giả sử cho   cho hai dãy số:  an    a1, a2 , , an ,  ;  bn    b1, b2 , , bn ,  ; Định nghĩa 1.1.2 [3] a Dãy  cn  :  an  bn    a1  b1, a2  b2 , , an  bn ,  đƣợc gọi tổng dãy  an   bn  ; b Dãy  dn  :  an  bn    a1  b1, a2  b2 , , an  bn ,  đƣợc gọi hiệu dãy  an   bn  ; c Dãy  bn    b1, b2 , , bn ,  đƣợc gọi tích số  dãy  bn  Nhƣ tập hợp dãy số lập thành không gian vectơ 1.2 DÃY SỐ BỊ CHẶN Dãy số  un  đƣợc gọi dãy số bị chặn tồn số M cho: n  *, un  M Dãy số  un  đƣợc gọi dãy số bị chặn dƣới tồn số m cho: n  *, un  m Dãy số  un  đƣợc gọi dãy số bị chặn vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dƣới Nghĩa là, tồn số M số m cho: n  *, m  un  M Rõ ràng dãy số  un  bị chặn tồn số dƣơng k cho: n  *, un  k Ví dụ Xét tính bị chặn dãy số sau: un  (1)n  cos n, n  * Giải Với n * ta có: 1  cos n   2  (1)n  cos n  Vậy dãy  un  bị chặn 1.3 DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU Dãy số  un  đƣợc gọi dãy số tăng (tƣơng ứng tăng nghiêm ngặt) với n * ta có: un  un1 (tƣơng ứng un  un1 ) Dãy số  un  đƣợc gọi dãy số giảm (tƣơng ứng giảm nghiêm ngặt) với n * ta có: un  un1 (tƣơng ứng un  un1 ) Dãy số tăng hay giảm đƣợc gọi dãy số đơn điệu Ví dụ Xét tính đơn điệu dãy số sau: n 1 un  n    , n  * 2 Giải n  * ta có: 1  un1  un  1  n   n1  ;   Vậy  un  dãy tăng (nghiêm ngặt) Chú ý: Mọi dãy số  un  giảm bị chặn u1 Mọi dãy số  un  tăng bị chặn dƣới u1 1.4 CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Định nghĩa 1.4.1.[3] Dãy  un  đƣợc gọi cấp số cộng kể từ số hạng thứ hai trở số hạng số hạng đứng trƣớc cộng với số không đổi Số không đổi đƣợc gọi công sai cấp số cộng Vậy  un  cấp số cộng  un1  un  d , n  * , đó: u1 số hạng đầu tiên, un số hạng thứ n (số hạng tổng quát), d công sai Nhận xét 1.4.1.[3] a d  u2  u1  u3  u2   un1  un  59 Ví dụ 3.5.2 n   Tính lim      n n  n 2 n n  Giải Ta có : n    n n(n  1)       ; n2  n2  n2  n n2  n 2(n  n) Mặt khác Vậy n n n(n  1)         n 1 n  n  n n 1 n 1 n  2(n2  1) 1 n n(n  1)      n 1 n  n  n 2(n2  1) n(n  1)  ; n 2( n  1) mà lim n      Suy lim   n n  n 2 n n  Ví dụ 3.5.3 Cho dãy số  xk  đƣợc xác định xk  k    ; 2! 3! (k  1)! n Tính lim n x1n  x2n   x1999 n (Olympic 30-4 lần V, năm 1999) Giải Ta có xk 1  xk  k 1   xk 1  xk  0, k  (k  2)! n n n  x1n  x2n   x1999  1999.x1999 Do x1999 ; n  x1999  n x1n  x2n   x1999  n 1999 x1999 (*) Mặt khác ta có k (k  1)  1    ; (k  1)! (k  1)! k ! (k  1)! 1 1 1 1    xk  1              ( k  1)!  2!   2! 3!   k ! (k  1)!  60 Vậy x1999   1 Thay vào (*) ta đƣợc: 2000! 1   n  n x1n  x2n   x1999  n 1999 1   2000!  2000!       Mà lim 1  ;  lim  n 1999 1  1    n 2000!  2000!  n   2000!   n Vậy theo nguyên lý kẹp ta có lim n x1n  x2n   x1999 1 n Ví dụ 3.5.4 Cho dãy số  un  2000! u0  2000  đƣợc xác định nhƣ sau  ,n  u  u  n  n  un2  un3 Tính lim n n (Olympic 30-4 lần VI, năm 2000) Giải Ta có un1  un  , n  ; un2  un31  un3     un3  3, n  (do un  0, n  ); un un  un3  un31   un32  2.3   u03  3n, n  (1) Ta lại có: un31  un3  3 1    un3     un3    , n  1; un un u0  3n  u  3n  n 9n n 1 1 n1  u  u  3(n  1)     , n  k 1 k k 1 k n Mặt khác ta có: (2) 61 n 1 k k 1 1 1     1.2 2.3 (n  2)(n  1)   1 1 1    1             2 n  n        (3) n 1  n1  Và     (n  1)  2(n  1), n  (sử dụng bất đẳng thức B.C.S); k 1 k  k 1 k  n 1    2(n  1) k 1 k (4) Từ (1), (2), (3) (4) suy ra: 3n  u03  un3  u13  3(n  1)  2(n  1)  2, n  ; 3 2(n  1) u03 un3 u13 3(n  1)      n n n n n n  u13 3(n  1)  2(n  1)  u03  Mà ta có: lim     lim       n n  n n n n n     un3 Theo nguyên lý kẹp ta có: lim  n n Nhận xét Ở ví dụ này, (2) ta không đánh giá đến u03 mà đánh giá đến u13 k  nên nghĩa k 3.6 DÙNG ĐỊNH LÝ STOLZ – CESARO Định lý trung bình Cesaro Nếu dãy số  un  có giới hạn hữu hạn a dãy số trung bình cộng  u1  u2   un    có giới hạn a n   Định lý phát biểu dƣới dạng tƣơng đƣơng sau: Nếu nlim  un1  un   a nlim   un  a n 62 Ta cần chứng minh cho trƣờng hợp a = Vì nlim  un1  un   a nên với  > tồn N0 cho với  n  N0, ta có un1  u n   Khi đó, với n > N0 ta có : un 1   uN  uN 1  uN   un  un1  uN   n  N  n n n n  0  Giữ N0 cố định, ta tìm đƣợc N1>N0 cho: Khi với n>N1 ta có: uN N1  un u  2 Vậy nên lim n  n  n n Định lý Stolz Cho dãy  un  ,   thỏa mãn: i/   tăng thực đến  ; ii/ lim n  un  un1 a;  vn1 Khi lim n  un  a Định lý trung bình Cesaro định lý Stolz có nhiều ứng dụng việc tìm giới hạn dãy số, đặc biệt dãy số có dạng un1  un   un  có  thể phát biểu cho trung bình khác nhƣ trung bình nhân, trung bình điều hòa…Ta xét vài ví dụ sau: x  x Chứng minh rằng: Ví dụ 3.6.1 Cho dãy số dƣơng  xn  có nlim  n n x x x  x a nlim ; n  b nlim  Giải n 1    x1 x2 xn  x 63 a Ta có: lim(ln xn )  ln x n Theo định lý trung bình Cesaro, ta đƣợc: ln x1  ln x2   ln xn  ln x ; n  n lim n x x x )  ln x;  nlim(ln n   lim n x1.x2 xn  x n  b Ta có: lim n  1  xn x Theo định lý trung bình Cesaro, ta đƣợc: 1    x x2 xn lim  ; n  n x  nlim  n 1    x1 x2 xn  x Ví dụ 3.6.2 Cho dãy số  an  thỏa mãn a1   0;1 an1  an  an2 , n  1,2,3 nan  Chứng minh rằng: nlim  Giải Ta có: an1  an  an2  0, n nên suy  an  dãy giảm Đồng thời a  a , ta có: bị chặn dƣới nên có giới hạn Giả sử nlim  n a  a  a2  a  a  Vậy nlim  n Đặt cn  Ta thấy: an  1 an  an1 an2 lim(cn1  cn )  lim     lim  lim  lim  n  n  n  n  n  a a a a a (1  a )  a  n1 n  n n 1 n n n Theo định lý trung bình Cesaro, ta đƣợc: 64 cn   lim   lim nan  n  n n n nan lim Nhận xét nan ta tính lim Trong ví dụ này, thay tính nlim  n  nhằm áp dụng nan định lý trung bình Cesaro Ta tổng quát thành dạng toán: để tìm   an    sử dụng định lý lim n an ta chuyển qua tính lim   nlim n  n   n  n.an Cesaro Tuy nhiên số toán việc tính giới hạn gặp khó khăn ta phải nâng mũ an Khi định lý Stolz tỏ hữu hiệu Ví dụ 3.6.3 (Xét lại ví dụ 3.5.4) Cho dãy số  un  u0  2000  đƣợc xác định nhƣ sau  ,n  u  u  n  n1 un2  un3 n n Tính lim (Olympic 30-4 lần VI, năm 2000) Giải Ta có: un1  un   0, n  un2 nên  un  dãy số tăng Giả sử  un  bị chặn Khi dãy  un  có giới hạn hữu hạn Đặt lim un  a  2000 Từ hệ thức truy hồi, chuyển qua giới hạn ta đƣợc phƣơng n trình a  a  Phƣơng trình vô nghiệm nên  un  không bị chặn a2  n u n Vậy lim un    lim n 65 an  un3 Đặt  b  n  n Khi  bn  tăng thực đến  Và  an1  an un31  un3 1 lim  lim  lim  un31  un3   lim      n  n  bn1  bn n (n  1)  n n un un   Do theo định lý Stolz ta có: lim n  Ví dụ 3.6.4 Tính nlim  an un3  nlim  bn  n  1    1   n n 1     xn   n , n  Giải Đặt  y  n  n Khi  yn  tăng thực đến  Và: x x n   lim n   n  lim n1 n  lim n  yn1  yn n n   n n n 1 Theo định lý Stolz ta có lim n  xn  yn 3.7 SỬ DỤNG TỔNG TÍCH PHÂN [4] Để tìm giới hạn tổng phụ thuộc vào n , nhiều trƣờng hợp ta gặp khó khăn việc phân tích để tính tổng Tuy nhiên, ta lại phân tích tổng dạng tổng tích phân, chuyển toán tính giới hạn toán tính tích phân tƣơng ứng Theo định nghĩa tích phân xác định ta có : Nếu hàm f ( x) khả tích đoạn  a; b với phép phân hoạch  đoạn  a; b cách chọn 66 b điểm i  xi 1; xi , i  1,2, , n ta có  n f ( x)dx  lim  f (i )( xi  xi 1 ) d 0 a i 1 Trong d  max( xi  xi 1 ) 1i  n Nhƣ vậy, để tính giới hạn tổng dựa vào định nghĩa tích phân ta làm nhƣ sau: Xét hàm f ( x) xác định đoạn  a; b Chia đoạn  a; b thành n đoạn nhau, giới hạn (n  1) điểm chia   xi i  0, n nhƣ sau: x0  a  x1  x2   xn  b Hay xi  a  i Lấy i  xi  a  i ba , i  0, n n ba [xi 1; xi ],i=1, n ; n ba   f (i )  f  a  i  n   n Ta lập tổng: Sn   f (i )( xi  xi 1 )  i 1 ba n f n i 1 ba  a  i  n   b Nếu f ( x) khả tích  a; b lim Sn   f ( x)dx n  a Nhƣ vậy, ta trình bày toán tìm giới hạn tổng S n phƣơng pháp sử dụng tổng tích phân theo bƣớc sau: - Biến đổi tổng S n dạng Sn  ba n  ba f a i  ; n i 1  n  - Chỉ đƣợc hàm f ( x) khả tích  a; b ; b S   f ( x)dx - Kết luận nlim  n a Sau ta xét vài ví dụ minh họa: 67 1  2  n  1  Ví dụ 3.7.1 Tính lim cos  cos   cos n  n n n n  1  2  n  1   n1 cos i Giải Đặt Sn  cos  cos   cos  n n n n n  n n1 Xét hàm số f ( x)  cos  x liên tục đoạn  0;1 nên khả tích đoạn Chia  0;1 thành n đoạn nhỏ điểm chia: i xi  , n  0,1,2, , n n i i Chọn i  xi    xi 1; xi   f (i )  cos n n Do ta có: lim Sn   cos  xdx  n   sin  x     1 1 Ví dụ 3.7.2 Tính lim     n  n  n 1  sin   sin 2   sin 2n 2n 2n   Giải    n 1 1 1 Đặt Sn         n i n 1  sin   sin 2 n i 1   sin  sin 2n 2n 2n  2n  Xét hàm số f ( x)  1  sin  liên tục đoạn  0;1 nên khả tích x đoạn Chia  0;1 thành n đoạn nhỏ điểm chia: i xi  , n  0,1,2, , n n i Chọn i  xi    xi 1; xi   f (i )  n  i   sin    2n  68 1 dx  I    sin  x  2  Do ta có nlim S   n 4dt  dx   x  (1  t )  Đặt t  tan ;   x t sin   1 t2 41 dt  Khi I      t  1 3 t  3 n     n   Ví dụ 3.7.3 Tính lim 1  1   1    n   n  n   n   Giải Đặt:     n   n Sn  1  1   1    ;  n  n   n   1  1 i  2  n  n   ln Sn  ln 1    ln 1     ln 1      ln 1   n  n  n  n   n i 1  n  Xét hàm số f ( x)  ln 1  x  liên tục đoạn  0;1 nên khả tích đoạn Chia  0;1 thành n đoạn nhỏ điểm chia: i xi  , n  0,1,2, , n n i i  Chọn i  xi    xi 1; xi   f (i )  ln 1   n  n Do ta có nlim ln Sn   ln 1  x  dx  K  dx  u  ln(1  x)dx du  Đặt   1 x ; dv  dx  v  x 69 x dx  2ln  1 x Suy K  x ln(1  x)   2ln 1 Vậy nlim S  e n  Nhận xét Ở ví dụ trên, tổng ta xét dạng đơn giản Sn  n i  f   nên ta n i 1  n  dễ dàng nhận thấy khoảng lấy tích phân đoạn  0;1 xác định đƣợc hàm f ( x) Sau ta xét thêm ví dụ mà đoạn lấy tích phân không đoạn  0;1  2 n  sin 2sin n sin   n  n   n Ví dụ 3.7.4 Tính lim  n    n n 1  cos  cos  cos n n n       Giải Đặt:  2 n  sin 2sin n sin   n  n   n Sn   n n 1  cos   cos 2  cos n n n   2 2 n n    sin sin sin  n  n n   n n    n  n 1  cos   cos 2 n   cos n n n   Xét hàm số f ( x)  Chia đoạn xi  i (i  0, n) n 0;       x sin x liên tục  0;   cos x thành n phần điểm chia 70 i i sin i n Chọn i  xi    xi 1 ; xi   f (i )  n i n  cos n Ta có: Sn   n n  f ( ) i i 1  x sin xdx J  cos x Suy lim Sn   n    sintdt t sin tdt   2  cos t  cos t Đặt x    t  dx  dt Khi đó: J    Do tích phân không phụ thuộc biến nên ta có: sin xdx 2 2  2J      arctan(cos x)  J  2  cos x   2 n  sin 2sin n sin   n  n   n Vậy lim  n  n n 1  cos   cos 2  cos n n n    2    3.8 PHƢƠNG PHÁP LẤY TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN [4] Nội dung phƣơng pháp lựa chọn dãy phù hợp nhằm áp dụng công thức tích phân phần để tìm quy luật dãy Từ tính giới hạn theo yêu cầu đề  Ví dụ 3.8.1 Cho un   cos n xdx, n  Xét dãy số  xn  đƣợc xác định nhƣ sau: xn  (n  1)unun1 , n  x Tính nlim  n Giải u  cos n1 x du  (n  1)cos n2 x.sinxdx Đặt:   dv  cos xdx v  sinx   71 Sử dụng công thức tích phân phần, ta đƣợc:    un   cos n xdx   cos n 1 x.sin x  02  (n  1)  cos n 2 x.sin xdx 2 0   (n  1)  cos n2 x(1  cos x)dx  (n  1)(un2  un ) Từ suy un  n 1 un , n  n2 Do đó: xn1  (n  2)un1un  (n  2)un1   2  Và ta có: x0  u0u1   dx  cos xdx  x  Suy nlim  n  n 1 un  (n  1)unun1  xn n2 Nên xn  x0   Ví dụ 3.8.2 Cho un   x ne x dx, n  Xét dãy số  xn  đƣợc xác định nhƣ n2 n 1 i  i 1 x sau: xn  un  (1)  (n  k )e   (n  k )  , n  Tính nlim  n   i 0 k 0 k 0 Giải u  x n du  nx n1 dx Đặt:   x x dv  e dx  v  e Sử dụng công thức tích phân phần, ta đƣợc: un   x e n x  1  n  x n 1e x dx  e  nun1 n 1 n2  e  n  e  (n  1)un2    e  (1)i 1  (n  k )e   (n  k )u1 i i 0 k 0 Mà ta có u1   xe x dx  Nên xn  e x  e Suy nlim  n k 0 72 KẾT LUẬN Nội dung luận văn tập trung chƣơng II chƣơng III Các kết cụ thể luận văn gồm : Hệ thống đƣợc phƣơng pháp thƣờng gặp toán tìm công thức tổng quát dãy số toán chứng minh tồn tìm giới hạn dãy số, bao gồm số phƣơng pháp sử dụng kiến thức Toán cao cấp Trong phần xác định công thức tổng quát dãy số chƣơng II, luận văn đƣa đƣợc số toán dạng tổng quát phƣơng pháp giải chung cho dạng Chọn lọc đƣợc toán thi để làm ví dụ minh họa cụ thể cho vấn đề đƣợc đề cập luận văn Một số ví dụ sau tham khảo cách giải tài liệu, luận văn đƣợc điểm chƣa logic chỉnh sửa lại chẳng hạn nhƣ ví dụ 2.1.2, toán 2.2.3 ví dụ tƣơng ứng Trong chƣơng III, sau đƣa ví dụ minh họa cho phƣơng pháp luận văn cố gắng nêu nhận xét, điểm cần lƣu ý cho Tuy nhiên, hạn chế định trình độ khoa học, thời gian thực kinh nghiệm nghiên cứu nên luận văn hạn chế định, chẳng hạn nhƣ tìm hiểu ứng dụng phƣơng trình sai phân tuyến tính để xác định công thức tổng quát dãy số, luận văn chủ yếu tập trung vào ứng dụng phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp cấp hai số dạng toán mà không mở rộng thêm 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Nam Dũng, Nguyễn Văn Mậu (2007), Dãy số - Giới hạn, NXBGD [2] Nguyễn Hữu Việt Hƣng (2001), Đại số tuyến tính, NXB ĐHQG Hà Nội [3] Nguyễn Văn Mậu (2003), Một số toán chọn lọc dãy số, NXBGD [4] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thủy Thanh (2002), Giới hạn dãy số hàm số, NXBGD [...]... ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ 2.1 SỬ DỤNG CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN ĐỂ TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ Nội dung chủ yếu của phần này là giới thiệu một số kỹ thuật biến đổi để qui về dãy số quen thuộc trong chƣơng trình toán THPT là cấp số cộng và cấp số nhân Ta xét một số bài toán và ví dụ minh họa sau: Bài toán 2.1.1.[1] Xác định số hạng tổng quát của dãy số  un  đƣợc cho u  c... CỦA DÃY SỐ VÀ CÁC ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN Định nghĩa.[4] Dãy số  un    u1, u2 , , un ,  có giới hạn là số a nếu bắt đầu từ một chỉ số nào đó, mọi số hạng un đều nằm trong  -lân cận bất kì U  a,   của điểm a , tức là nếu có số hạng ở ngoài U  a,   thì chỉ có một số hữu hạn số hạng 9 Kí hiệu: lim un  a hay un  a khi n   n Định nghĩa vừa phát biểu có thể diễn đạt dƣới dạng tƣơng đƣơng sau: Dãy. .. nhân với một số không đổi Số không đổi đƣợc gọi là công bội của cấp số nhân Vậy dãy  un  là cấp số nhân  un1  un q, n  * , trong đó: u1 là số hạng đầu tiên, un là số hạng thứ n (số hạng tổng quát), q là công bội Nhận xét 1.4.2.[3] a q  u2 u3 u    n1  (un  0, n  *) ; u1 u2 un u  a b Dãy  un  đƣợc xác định bởi  1 , (trong đó a, q là các số u  u q n  n1 thực) là một cấp số nhân...  1 thì dãy  un  là một cấp số cộng với công sai b Dựa vào tính chất của cấp số cộng ta tìm đƣợc số hạng tổng quát của dãy là: un  u1  (n  1)b  c  (n  1)b Trƣờng hợp 2: Nếu a  1, ta qui dãy  un  về dãy  vn  bằng cách đặt vn  un  k , k  ; trong đó số k đƣợc xác định sao cho thỏa mãn vn  avn1 (ta sẽ xác định đƣợc k  b ) Với cách đặt nhƣ trên ta đƣợc  vn  là một cấp a 1 số nhân,... Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng Dãy  un  là cấp số cộng thì ta có: Sn  u1  u2   un  Chứng minh Ta có: n(u1  un ) n  2u1   n  1 d   2 2 7 Sn  u1  u2   un1  un ; Sn  un  un1   u2  u1;  2Sn  n(u1  un );  Sn  n(u1  un ) 2 Định nghĩa 1.4.2.[3] Dãy số  un  đƣợc gọi là một cấp số nhân khi và chỉ khi kể từ số hạng thứ hai trở đi mỗi số hạng đều bằng số hạng... đạt dƣới dạng tƣơng đƣơng sau: Dãy số  un  có giới hạn là a nếu :   0, N  N ( )  *: n  N , un  a   Định lí 1.5.1.[4] Nếu dãy  un  có giới hạn thì nó bị chặn Dãy có giới hạn đƣợc gọi là dãy hội tụ; dãy không hội tụ gọi là dãy phân kì Ta nêu (không chứng minh) một số tính chất thông dụng cơ bản nhất của dãy hội tụ Định lí 1.5.2.[4] Dãy hội tụ chỉ có một giới hạn Nhận xét.[4] a Nếu un... c Tổng của n số hạng đầu tiên Dãy  un  là một cấp số nhân, ta có: 1  qn Sn  u1  u2   un  u1 (q  1) 1 q Chứng minh Ta có: Sn  u1  u2   un1  un  u1  u1q   u1q n2  u1q n1  u1 (1  q   q n2  q n1 )  u1 1  qn 1 q d Tổng các số hạng của cấp số nhân lùi vô hạn Một cấp số nhân đƣợc gọi là lùi vô hạn khi và chỉ khi công bội q thỏa q  1 Dãy  un  là cấp số nhân lùi vô... un1  1 1 1  3un  1   3(u n  )  3vn nên dãy  vn  là 2 2 2 một cấp số nhân với công bội 3 và v1  u1  Vậy un  vn  1 5 5  Do đó vn  3n1 , n  1 2 2 2 1 5 n1 1  3  , n  1 2 2 2 Ví dụ 2.1.2 Xác định số hạng tổng quát của dãy  un  đƣợc xác định bởi: u1  3  un  un1  u  1 , n  1 n  Giải Ta có lời giải tham khảo ở một số tài liệu trên mạng nhƣ sau: Ta có u1  0 , qui nạp... Đồng nhất hệ số ta đƣợc: a  1, b  6 ;  g (n)  n  6, un*  n2  6n Vậy số hạng tổng quát của dãy là: un  c1  c2 2n1  n2  6n 1  c1  c2  1 c1  9 Từ giả thiết u0  1, u1  4 ta có  ;  2 c  20  2 c1  c2  11  un  5.2n1  n2  6n  9 2.4 ỨNG DỤNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỂ XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ Ta xét một số bài toán sau: Bài toán 2.4.1 Xác định số hạng tổng... ứng dụng của phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp một và cấp hai trong một số dạng bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số (chỉ nêu phƣơng pháp giải mà không chứng minh) Định nghĩa 2.3.1.[3] Phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp một là phƣơng trình dạng: u1   , aun1  bun  f n , n  *; 1 trong đó a, b, là các hằng số, a  0 và f n là một biểu thức phụ thuộc vào n Phƣơng pháp giải Bƣớc