Một trong những mục tiêu quan trọng của môn toán ở trường Trung họ c cơ sở (THCS) là rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và lôgíc, b ồi dưỡng các phẩm chất của tư duy linh hoạt độ c lập và sáng tạo của họ c sinh. Hơn nữa, việc sử dụng suy luận lôgíc trong giải toán kích thích tư duy, gây hứng thú và phát triển năng lực sáng tạo ở họ c s inh. Tuy nhiên, hiện nay việc dùng s uy luận lôgíc trong giải toán ở bậc THCS còn rất hạn chế. Bài viết Ứng dụng suy luận Lôgic vào giải toán Trung học cơ sở được thực hiện không ngoài mục đích hình thành và nâng cao khả năng suy luận của học sinh THCS thông qua việc giải các bài toán. Bài viết được trình bày theo 3 phần chính: phần đầu dành cho việc hệ thống lại một số kiến thức về lôgic mệnh đề, lôgic tập hợp; phần thứ hai trình bày các phương pháp chứng minh sử dụng lôgic (quy nạp, phản chứng); phần cuối cùng trình bày các bài toán ứng dụng phương pháp suy luận lôgic tác giả: Ngô Thị Thanh Trang
ỨNG DỤNG SUY LUẬN LƠGIC TRONG GIẢI TỐN TRUNG HỌC CƠ SỞ Ngơ Thị Thanh Trang∗ 28/ 3/2016 Tóm tắt Một mục tiêu quan trọng mơn tốn trường Trung học sở (THCS) rèn luyện khả suy luận hợp lý lơgíc, bồi dưỡng phẩm chất tư linh hoạt độc lập sáng tạo học sinh Hơn nữa, việc sử dụng suy luận lơgíc giải tốn kích thích tư duy, gây hứng thú phát triển lực sáng tạo học sinh Tuy nhiên, việc dùng suy luận lơgíc giải tốn bậc THCS cịn hạn chế Bài viết "Ứng dụng suy luận Lôgic vào giải toán Trung học sở" thực khơng ngồi mục đích hình thành nâng cao khả suy luận học sinh THCS thông qua việc giải tốn Bài viết trình bày theo phần chính: phần đầu dành cho việc hệ thống lại số kiến thức lôgic mệnh đề, lôgic tập hợp; phần thứ hai trình bày phương pháp chứng minh sử dụng lôgic (quy nạp, phản chứng); phần cuối trình bày tốn ứng dụng phương pháp suy luận lôgic Cơ sở lý thuyết 1.1 Mệnh đề Định nghĩa 1.1 Mệnh đề phát biểu hay khẳng định có giá trị sai, mệnh đề vừa vừa sai Giá trị "đúng" (1) "sai" (0) mệnh đề gọi giá trị chân lý mệnh đề Mệnh đề thường ký hiệu chữ in hoa, như: A, B, C, v.v Ví dụ 1.1 Ta xem xét số ví dụ: • “ số nguyên tố” mệnh đề đúng, có giá trị chân lý • “Số tự nhiên n chia hết cho 5” không mệnh đề chưa phản ánh tính sai • "Tháng 12 có 28 ngày" mệnh đề sai, có giá trị chân lý • "Anh có u cô không?" mệnh đề ∗ Sinh viên lớp Sư phạm Toán K39 - Khoa Khoa học Tự nhiên Công nghệ 102 Chú ý 1.1 Trong thực tế có mệnh đề mà tính sai gắn với thời gian địa điểm cụ thể: thời gian địa điểm sai thơì gian địa điểm khác Nhưng thời điểm nào, địa điểm ln có giá trị chân lý sai Chẳng hạn: -Trời mưa -Giá vàng hôm giảm -Ngày mai trường cho học sinh nghỉ học -Năm nay, 18 tuổi Để ký hiệu a mệnh đề "10 số chẵn" ta viết: a="10 số chẵn." Nói chung câu nghi vấn, câu cảm thán, câu cầu khiến đêù mệnh đề Ta thừa nhận luật sau logic mệnh đề: a)Mỗi mệnh đề phải sai; khơng có mệnh đề khơng khơng sai b)Luật mâu thuẫn: Khơng có mệnh đề vừa lại vừa sai 1.2 Các phép toán lôgic a Phủ định mệnh đề Định nghĩa 1.2 Phủ định mệnh đề P mệnh đề ký hiệu P , đọc "không P"; mệnh đề P P sai P P P 1 Ví dụ 1.2 Nếu P mệnh đề: Tơi học Thì mệnh đề P là: Tơi khơng học b Hội hai mệnh đề Định nghĩa 1.3 Giả sử P Q hai mệnh đề, ta gọi hội hai mệnh đề mệnh đề ký hiệu P ∧ Q hay "P Q", đọc P Q; P ∧ Q hai mệnh đề P Q P Q P ∧Q 0 0 1 0 1 c Phép tuyển hai mệnh đề Định nghĩa 1.4 Giả sử P Q hai mệnh đề, ta gọi tuyển hai mệnh đề mệnh đề ký hiệu P ∨ Q hay "P Q" đọc P Q; P ∨ Q mệnh đề P Q 103 P Q P ∨Q 0 0 1 1 1 d Phép kéo theo Định nghĩa 1.5 Giả sử P Q hai mệnh đề, kéo theo P → Q, đọc "P kéo theo Q" Mệnh đề sai P Q sai P Q P P →Q 0 1 1 1 0 1 e Phép tương đương Định nghĩa 1.6 Mệnh đề P tương đương với mệnh đề Q, ký hiệu P ↔ Q, đọc "P tương đương Q" Mệnh đề hai trường hợp mà P Q hay sai P Q P →Q Q→P P ↔Q 0 1 1 0 0 1 1 1 Chú ý 1.2 Hai mệnh đề P, Q tương đương với hồn tồn khơng có nghĩa nơị dung chúng nhau, mà nói lên chúng có giá trị chân lý f Một số cơng thức Với mệnh đề A, B, ta có A≡A (1) A∧B ≡A∨B (2) A∨B ≡A∧B (3) Công thức (??) (??) gọi Luật De-Morgan 1.3 Một số tính chất a Tính chất kết hợp phép logic (A ∧ B) ∧ C ≡ A ∧ (B ∧ C) (A ∨ B) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C) 104 b Tính chất giao hốn phép logic A∧B ≡B∧A A∨B ≡B∨A A↔B≡B↔A c Tính chất phân phối A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (B ∧ C) A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (B ∨ C) d Tính lũy đẳng A∧A≡A A∨A≡A e Một số đẳng thức với phép kéo theo A→B ≡A∨B A→B ≡A∧B A→B≡B→A 1.4 Mệnh đề chứa biến, lượng từ "Tồn cho" "Với " Ví dụ 1.3 Số tự nhiên n chia hết cho Câu chưa phản ánh tính sai nên chưa phải mệnh đề Nhưng ta thay n số tự nhiên cụ thể, chẳng hạn: -Thay n = 10 ta mệnh đề đúng: "Số 10 chia hết cho 2" -Thay n = 15 ta mệnh đề sai: "Số 15 chia hết cho 2" Từ ví dụ ta đến định nghĩa sau: Định nghĩa 1.7 Những phát biểu, khẳng định chứa biến mà thân chưa phải mệnh đề ta thay biến phần tử thuộc tập xác định X trở thành mệnh đề (đúng sai), ta gọi mệnh đề Tập X gọi miền xác định mệnh đề Ta dùng kí hiệu F (x), T (u), v.v để mệnh đề chứa biên Cho T (x) mệnh đề chứa biến xác định miên X Nếu ta đặt thêm cụm từ "Tồn x ∈ X cho " vào trước mệnh đề T (x), ta mệnh đề: "Tồn x ∈ X cho T (x) " Ta gọi mệnh đề có cấu trúc mệnh đề tồn tại, ký hiệu: ∃x ∈ X : T (x) Ký hiệu ∃ gọi lượng từ tồn Cho T (x) mệnh đề chứa biến xác định miên X Nếu ta đặt thêm cụm từ "Với x ∈ X ta có " vào trước mệnh đề T (x), ta mệnh đề: 105 "Với x ∈ X ta có T (x) " Ta gọi mệnh đề có cấu trúc mệnh đề với mọi, ký hiệu: ∀x ∈ X, T (x) Ký hiệu ∀ gọi lượng từ với Phủ định mệnh đề "Tồn tại" "Với mọi" tiến hành theo quy tắc đây: ∃x ∈ X : T (x) ↔ ∀x ∈ X, T (x) ∀x ∈ X, T (x) ↔ ∃x ∈ X : T (x) Các phương pháp chứng minh 2.1 Phương pháp chứng minh trực tiếp Để chứng minh: "nếu S T" nghĩa S T đúng, phương pháp trực tiếp (dựa A A → B B đúng), ta xây dựng chuỗi kéo theo: S, S → A1 A1 A1 , A1 → A2 A2 An , An → T T Tức từ S đúng, suy T Ví dụ 2.4 Chứng minh: Nếu n số nguyên tố lớn n2 − chia hết cho 24 Chứng minh n số nguyên tố n>5 kéo theo n − n + số chẵn n − n + hai số chẵn liên tiếp kéo theo tích chúng chia hết cho n − 1, n, n + ba số tự nhiên liên tiếp kéo theo tích chúng chia hết cho n số nguyên tố lớn kéo theo n không chia hết cho Từ ta có (n − 1)(n + 1) chia hết cho n2 − = (n − 1)(n + 1) chia hết cho hai số nguyên tố nhau, n2 − chia hết cho tích 3.8=24 2.2 Phương pháp chứng minh phản chứng Phương pháp chứng minh phản chứng dùng phổ biến, dựa nguyên tắc logic phi mâu thuẫn: Công thức P ∧ P luôn sai Để chứng minh S ⇒ T (ta nhớ lại S ⇒ T có nghĩa S → T ), ta giả sử có S T Nếu với giả thiết ta đến mâu thuẫn kiểu: R R đúng, ta suy giả thiết S kéo theo kết luận T , nghĩa S ⇒ T Ví dụ 2.5 Chứng minh Chứng minh Giả sử √ √ số vô tỉ số hữu tỉ Vâỵ tồn hai số nguyên a b cho 106 a √ = b √ a Như vậy, viết dạng phân số tơí giản với a, b hai số nguyên tố b a =2 b a2 Từ suy = a2 = 2b2 Khi a2 số chẵn b Từ suy a số chẵn a2 số phương chẵn Vì a số chẵn nên tồn số k thỏa mãn a=2k Thay vào ta có (2k)2 = 2b2 ⇔ 4k = 2b2 ⇔ 2k = b2 Từ ta có a b số chẵn, mâu thuẫn với giả thiết a b nguyên tố √ Vậy số vô tỉ 2.3 Phương pháp chứng minh quy nạp Người ta thường dùng chứng minh quy nạp để chứng minh tính chất có dạng: ∀n ∈ N, S(n) (nghĩa S(n) thỏa mãn với số tự nhiên n) Sơ đồ chứng minh sau: Kiểm tra với vài giá trị n ta thấy mệnh đề cần chứng minh Ta giả sử S(n) đúng, chứng minh S(n + 1) Kết luận S(n) với số tự nhiên n Ví dụ 2.6 Cho n số nguyên dương, chứng minh rằng: A = (n3 + 3n2 + 5n) (∗) Chứng minh Xét với n=1 ta có A = Suy (??) với n = Giả sử (??) với n = k, tức A = (k + 3k + 5k) (∗∗) Ta chứng minh (??) với n = k+1, tức phải chứng minh A = (k + 1)3 +3(k + 1)2 +5(k+1) Thật vậy, A = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1) = k + 3k + 3k + + 3k + 6k + + 5k + = (k + 3k + 5k) + 3k + 9k + = (k + 3k + 5k) + 3(k + 3k + 3) Vì theo (??) nên (k + 3k + 5k) 3(k + 3k + 3) Vâỵ (??) với n = k + Vậy A = (n3 + 3n2 + 5n) với n số nguyên dương 107 Các toán ứng dụng suy luận logic 3.1 Các toán giải phương pháp lập bảng a Phương pháp lập bảng Người ta thường dùng phương pháp lập bảng để giải toán xuất hai nhóm đối tượng như: -Tên người nghề nghiệp -Vận động viên giải thưởng -Tên sách màu bìa -Học sinh điểm Sơ đồ chứng minh sau: Thiết lập bảng gồm hàng cột Liệt kê đối tượng nhóm vào cột, đối tượng nhóm vào hàng Theo điều kiện đề bài, ta loại bỏ dần ô (là giao cột hàng) Những cịn lại kết tốn b Các ví dụ minh họa Ví dụ 3.7 Ba người thợ hàn, thợ tiện thợ điện nói chuyện với Người thợ hàn nói: - Ba làm nghề trùng với tên ba không làm nghề trùng với tên Bác Điện hưởng ứng: - Bác nói Bạn cho biết tên nghề nghiệp người thợ Chứng minh hàn tiện điện Hàn 0 x Tiện x 0 Điện x -Theo giả thiết, không trùng tên với nghề cuả nên ta ghi số vào 1, Bác Điện hưởng ứng lời bác thợ hàn nên bác Điện không làm nghề hàn Ta ghi số vào -Nhìn vào cột ta thấy bác thợ hàn không tên Hàn, không tên Điện nên bác thợ hàn tên Tiện Ta đánh dấu x vào số -Nhìn vào hàng ta thấy bác Điện không làm nghề hàn không làm nghề điện nên bác Điện làm nghề tiện Ta đánh dấu x vào số -Nhìn hàng ô ta thấy bác Hàn không làm nghề hàn khơng làm nghề tiện Do đó, bác Hàn làm nghề điện Ta đánh dấu x vào ô số 108 Vậy bác Hàn làm nghề điện, bác Tiện làm nghề hàn bác Điện làm nghề tiện Ví dụ 3.8 Trên bàn có hộp kín đánh số thứ tự 1, 2, Trong hộp đựng bốn loại quả: đào, mận, bưởi cam Ba bạn Lộc, Đạt Thanh tham gia trị chơi sau: Mỗi bạn đốn mơĩ hộp đựng gì, đốn hộp phần thưởng Lộc đoán trước: -Hộp thứ đựng cam, hộp thứ hai đựng mận, hộp thứ ba đựng bưởi hộp thứ tư đựng đào Đạt đoán tiếp: -Hộp thứ đựng đào, hộp thứ hai đựng bưởi, hộp thứ ba đựng cam hộp thứ tư đựng mận Cuối Thanh đoán: -Hộp thứ đựng mận, hộp thứ hai đựng cam, hộp thứ ba đựng đào hộp thứ tư đựng bưởi Kết thúc chơi, ban giám khảo công bố ba bạn không đạt phần thưởng Hãy cho biết hộp đựng gì? c Bài tập áp dụng Bài 3.1 Năm người thợ tên là: Da, Điện, Hàn, Tiện Sơn làm nghề khác trùng với tên tên người khơng có tên trùng với nghề mình.Bác thợ da lấy em gái bác Da Tên bác thợ da trùng với nghề anh vợ vợ bác có anh em Bác tiện không làm thợ sơn mà lại em rể bác thợ hàn Bác thợ sơn bác thợ da anh em họ Em cho biết bác da bác tiện làm nghề gì? Bài 3.2 Trong đêm hội ngoại ngữ, cô giáo dạy tiếng Nga, tiếng Anh tiếng Nhật giao phụ trách Cơ Nga nói với em: “Ba dạy thứ tiếng trùng với tên cô, có có tên trùng với thứ tiếng dạy” Cơ dạy tiếng Nhật nói thêm: “Cơ Nga nói đúng” vào Nga nói tiếp: “Rất tiếc cô tên Nga mà lại không dạy tiếng Nga” Em cho biết cô giáo dạy tiếng gì? Bài 3.3 Tại trại hè thiếu nhi quốc tế, có nhóm người gồm ba thiếu niên: người Anh, người Pháp người Nga Mỗi người số ba bạn học ba ngoại ngữ: tiếng Anh, tiếng Pháp tiếng Nga Biết bạn học tiếng Anh lớn bạn người Pháp tuổi Hãy xác định bạn học ngoại ngữ gì? 3.2 Các tốn giải phương pháp biểu đồ Ven a Các ví dụ Ví dụ 3.9 Có số có ba chữ số số chẵn chia hết cho 3? Ví dụ 3.10 Lớp 9A có 30 em tham gia hội tiếng Anh tiếng Trung, có 25 em nói tiếng Anh 18 em nói tiếng Trung Hỏi có bạn nói hai thứ tiếng? 109 Ví dụ 3.11 Trong hội khỏe Phù Đổng có 100 vận động viên đăng ký dự thi.Mỗi vận động viên đăng ký dự thi hai môn: Ném tạ, bơi lội đấu cờ vua Kết có 30 vận động viên thi đấu cờ vua, 53 người đăng ký thi ném tạ 45 người đăng ký thi bơi Hỏi có người đăng ký thi đấu hai môn: Ném tạ bơi lội? Ví dụ 3.12 Trong hội nghị có 500 đại biểu tham dự, đại biểu sử dụng ba thứ tiếng: Nga, Anh Pháp Theo thống kê Ban tổ chức, có 60 đại biểu nói thứ tiếng, 180 đại biểu nói hai thứ tiếng Anh Pháp, 150 đại biêủ nói tiếng Anh tiếng Nga, 170 đại biểu nói tiếng Nga tiếng Pháp Hỏi có đại biểu nói ba thứ tiếng? b Bài tập áp dụng Bài 3.4 Người ta điều tra lớp học có 40 học sinh thấy có 30 học sinh thích Tốn, 25 học sinh thích Văn, học sinh khơng thích Tốn lẫn Văn Hỏi có học sinh thích hai mơn Văn Toán? Bài 3.5 Để phục vụ cho hội nghị quốc tế, ban tổ chức huy động 30 cán phiên dịch tiếng Anh, 25 cán phiên dịch tiếng Pháp, 12 cán phiên dịch thứ tiếng Anh Pháp Hỏi: a, Ban tổ chức huy động tất cán phiên dịch cho hội nghị b, Có cán dịch tiếng Anh, dịch tiếng Pháp? Bài 3.6 Lớp 5A có 35 học sinh làm kiểm tra Toán Đề gồm có tốn Sau kiểm tra, giáo tổng hợp kết sau: Có 20 em giải toán thứ nhất, 14 em giải toán thứ hai, 10 em giải toán thứ ba, em giải toán thứ hai thứ ba, em giải toán thứ thứ hai,6 em làm toán thứ thứ ba, có học sinh đạt điểm 10 giải Hỏi lớp học có học sinh khơng giải toán nào? 3.3 Các toán giải phương pháp suy luận đơn giản a Các ví dụ Ví dụ 3.13 Một người có bình chứa 12 lít rượu hai can rỗng, can A có dung tích lít can B có dung tích lít Làm để lấy lít rượu để bán cho khách hàng? Chứng minh Quy trình lí luận tóm tắt bảng sau: Các bước Can A (8 lít) 3 Can B (5 lít) 0 3 Ví dụ 3.14 Thời cổ Hy Lạp có ba vị thần tiếng sắc đẹp Hera, Athena Aphrodite Một hôm ba vị nữ thần đến tìm chàng Paris để nhờ chàng phân định xem người đẹp ba vị thần 110 Gặp Paris, vị thần nói sau: a)Aphrodite: "Tôi người đẹp nhất!" b)Hera: "Tôi người đẹp nhất!" c)Athena: "Aphrodite người đẹp nhất." d)Aphrodite: "Hera người đẹp nhất." e)Athena: "Tôi người đẹp nhất!" Paris suy nghĩ lúc nói điêù nói đây, có điều vị nữ thần đẹp nói đúng, cịn điêù hai người cịn lại nói sai Ta thừa nhận phán Paris Vậy nữ thần đẹp nhất? b Các tập áp dụng Bài 3.7 Ở ngơi đền có vị thần: thần Thật Thà ln nói thật, thần Dối Trá ln nói dối thần Khơn Ngoan nói thật, nói dối Hình dáng ba vị thần giống hệt nên người ta phân biệt Một hôm, học giả từ phương xa đến đền để thỉnh cầu Bước vào miếu, học giả hỏi thần ngồi bên phải: -Ai ngồi cạnh ngài? -Đó thần Dối Trá Tiếp học giả hỏi thần ngồi giữa: - Ngài thần gì? - Tơi thần Khơn Ngoan Cuối học giả quay sang hỏi thần ngồi bên trái: - Ai ngồi cạnh ngài? - Đó thần thật Thà Nghe xong học giả khẳng định vị thần thần Bạn cho biết học giả suy luận nào? Bài 3.8 Một người mang hai can, có dung tích lít, có dung tích lít vịi nước cơng cộng để lấy nước Ở chỗ vịi nước để sẵn thùng rỗng Người muốn lấy lít nước Vậy phải làm nào? Bài 3.9 a) Có thể dùng hai bình rỗng, dung tích 12 lít lít để múc từ sơng lên lít nước khơng? b) Giả sử ta có hai bình có dung tích a lít b lít Làm để sử dụng hai bình múc nước lên c lít nước từ sơng, với c ≤ a; c ≤ b Bài 3.10 Có bốn đồng xu, bề ngồi khơng phân biệt thật, giả; có ba đồng xu thật, có khối lượng đồng xua giả, nặng đồng xu thật Làm để tìm đồng xu giả cách cân hai lần cân Rô- béc- van mà không dùng đến cân Liệu tìm đồng xu giả mà cần lần cân? 111 Kết luận Qua viết chúng tơi trình bày số phương pháp giải toán giúp học sinh làm quen với cách giải tốn suy luận lơgic Nghiên cứu ứng dụng lơgic giải tốn THCS, giúp học sinh thấy tầm quan trọng lôgic, suy luận lôgic Từ đó, học sinh có thêm phương pháp vận dụng q trình giải tốn Xuất phát từ yêu cầu thực tiễn, thực đề tài, chắn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong q thầy, giáo bạn đóng góp ý kiến để đề tài hồn thiện Xin chân thành cảm ơn! Tài liệu [1] Hồng Xn Sính, Trần Phương Dung Nhập mơn Tốn cao cấp NXB Đại học Sư phạm, 2004 [2] Trần Diên Hiển, Các toán suy luận logic NXB Giáo dục, 2000 [3] Nguyễn Vĩnh Cận, Toán số học nâng cao NXB Giáo dục, 2006 [4] Đặng Đức Trọng, Chuyên đề bồi dưỡng số học NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2014 [5] Các báo: Logic suy luận toán học, toán suy luận logic, mathematical logic and sets 112 ... phương pháp giải toán giúp học sinh làm quen với cách giải tốn suy luận lơgic Nghiên cứu ứng dụng lơgic giải tốn THCS, giúp học sinh thấy tầm quan trọng lôgic, suy luận lơgic Từ đó, học sinh có... thứ ba, em giải toán thứ thứ hai,6 em làm tốn thứ thứ ba, có học sinh đạt điểm 10 giải Hỏi lớp học có học sinh khơng giải tốn nào? 3.3 Các toán giải phương pháp suy luận đơn giản a Các ví dụ... 35 học sinh làm kiểm tra Tốn Đề gồm có tốn Sau kiểm tra, cô giáo tổng hợp kết sau: Có 20 em giải tốn thứ nhất, 14 em giải toán thứ hai, 10 em giải toán thứ ba, em giải toán thứ hai thứ ba, em giải