bất đẳng thức cổ điển

CHƢƠNG : BẤT PHƢƠNG TRÌNH - HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH 2.1 Bất đẳng thức tính chất : Tính chất 1: A  ; A  A A  B Tính chất 2:   AC B  C Tính chất 3: A  B  A  C  B  C Tính chất 4:  C  : A  B  AC  BC  C  : A  B  AC  BD Tính chất 5: A  B   1  a b A  B  AC  B D Tính chất 6:  C  D  Tính chất 7: A  B   AC  BD  C  D   Tính chất 8: A  B  0, n  *  An  B n A  B  0, n  , n   n A  n B Tính chất 9:  A   Ax  A y x  y 0  x y 0  a   A  A Tính chất 10: A  B, n  *  A2 n1  B n1 A  B, n  *  n1 A  n1 B 2.2 Các bất đẳng thức bản: 2.2.1 Bất đẳng thức dấu trị tuyệt đối Cho a, b, , i  1,2, , n số thực a  b  a  b (a ) a  b  a  b (b) a1  a2   an  a1  a2   an (c) Dấu “=” (a) (b) xảy ra, a.b  Dấu “=” (c) số   0, i  1,2, , n 2.2.2 Bất đẳng thức liên quan đến hàm số mũ logarit a  0  a   ax  a y;  ax  a y x  y x  y  a  0  a   log a x  log a y;   log a x  log a y x  y  x  y     2.2.3 Bất đẳng thức AM-GM  Cho hai số không âm  ab  ab  ab  a  b  ab , ab   Nếu a  0, b     2     Đẳng thức xảy a  b  Cho n số không âm Nếu a1  0, a2  0, , an  a1  a2   an n  a1.a2 an n Đẳng thức xảy a1  a2   an 2.2.4 Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ki + Cho số  a1 , a2 , , an  ,  b1 , b2 , , bn  Ta có : a b  a b 1 2     an bn   a12  a22   an b12  b22   bn Dấu "  " xảy  a1 a2 a3 a      n b1 b2 b3 bn 2.3 Một số phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức Phương pháp 1: sử dụng phép biến đổi tương đương, tính chất bất đăng thức Kiến thức cần nhớ a) Khái niệm bất đẳng thức: Các mệnh đề dạng “ A  B ”, “ A  B ”, “ A  B ”, “ A  B ”, gọi bất đẳng thức với A gọi vế trái, B gọi vế phải A, B hai biểu thức đại số Ta có:  A  B  A  B  0; A  B  A  B   A  B  A  B  0; A  B  A  B  b)Phương pháp: Để chứng minh A  B ta chứng minh A  B  (nghĩa ta sử dụng định nghĩa, tính chất bản…để biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh đến bất đẳng thức hay tính chất sử dụng bất đẳng thức biến đổi dẫn đến bất đẳng thức cần chứng minh) Ví dụ : Ví dụ1: Cho a, b, c độ dài ba cạnh ABC với a  b  c Chứng minh: (a  b  c)2  9bc.(*) Giải Vì a  b  (a  b  c)2  (b  b  c)2  (2b  c)2 Để chứng minh (*) ta chứng minh : (2b  c)2  9bc(1) Thật vậy: (1)  4b2  4ab  c2  9bc  (2b  c)2  bc 2 b  c  b  b  b Ta có    2b  c   bc (đpcm) 2b  c  2c  c  c Ví dụ : Cho x, y  thỏa mãn xy  Tìm giá trị lớn A  (Đề chuyên Toán Tin- ĐHSP hà Nội năm 1997-1998) Giải  Ta có: x  y     x  y2  2x y x x   (1) x y 2x y Tương tự : y  (2) x y Cộng (1),(2) theo vế, ta được: A  Đẳng thức xảy x  y  Vậy : maxA=1 Ví dụ 3: Chứng minh : a 3 b c  b 3 c a  c 3 a b Trong a, b, c l độ dại ba cạnh tam giác (trích đề tạp chí Toán học & tuổi trẻ 5/2004) Giải Ta có: b3  c3   b  c  (1) Thật vậy:   (1)  b3  c3  b3  c3  3b2c  3bc  b3  c3  b2c  bc   b2 (b  c)  c (b  c)      b  c  b2  c    b  c   b  c   0(2) (2)  (1)  (*) x y  2 x y x  y4 Tương tự : c3  a3  c  a ,  a3  b3  (a  b)3 Do : a b3  c Mà  b c  a3  c  a b c   4    (3) 3 bc ca ab a  b3 a b c 2a 2b 2c      b  c c  a a  b  b  c c  a  a  b  2a 2b 2c    2(4) bca cab abc ( : a  b  c; b  c  a; c  a  b ) Từ (3),(4)  đpcm Bài tập Bài tập : Chứng minh x  x   x  x  a  13 Giải Ta chứng minh: a2  b2  c2  d  (a  c)2   b  d  (1) Thật vậy: (1)  a2  b2  c2  d   a    b2 c  d  a2  b2  c  d  2ac  2bd   (a2  b2 ) c2  d  ac  bd    Nếu ac  bd  (2) thỏa  Nếu ac  bd   2  a b 2  a2 d  b2c2  b2 d  a2c2  b2d  2abcd   ad  bc   (đúng) 2   1 3  Sử dụng (1), ta có: VT(*)   x         2 2  1  x      13   Bài tập 2: Cho a  0, b  0, c  Chứng minh : a3  b3  c3  a2 cb  b2 ca  c2 ab Giải Sử dụng bất đẳng thức x  y3  xy  x  y  , x, y  (tự chứng minh) Ta có: a3  b3  ab  a  b 1 b3  c3  bc  b  c   c3  a3  ca  b  a  3 Cộng (1),(2),(3) theo vế, ta được:   a3  b3  c3  a2  b  c   b2  c  a   c2 (a  b)  2a2 bc  2b2 ca  2c2 ab (áp dụng ví dụ 1a) Bài tập 3: Cho x  0, y  Chứng minh:  x  y   xy  x y  2y x Giải  1 Ta có:  x     x  x   1 2  Tương tự: y  y   2 Cộng (1),(2) theo vế, ta được: x  y    x  y  xy   x  y    x y  0  x  y  3 Mà: x  y  xy Nên :  3   x  y   xy  x y  y x (đpcm) Phương pháp 2: phương pháp quy nạp Kiến thức cần nhớ Để chứng minh bất đẳng thức (*) với n  p (với (*) phụ thuộc vào số tự nhiên n, p số p  * ) ta tiến hành bước sau: Bước 1: Kiểm tra (*) với n  p Bước 2: Giả sử (*) với n  k  p, k  * Bước 3: Ta chứng minh (*) với n  k  Bước 4: Kết luận bất đẳng thức (*) với n  p Ví dụ n  a  b  an  bn (*), n  Ví dụ 1: Cho a  0, b  Chứng minh:      * Giải Với n  1: ab ab  Vậy: (*) với n  2 k Giả sử (*) với n  k  1, k  *  a  b  ak  bk , tức là:      Chứng minh (*) với n  k  , nghĩa ta chứng minh: ab     k 1  a k 1  b k 1 ab Thật vậy:      k 1 ab     k  a  b  ak  bk  a  b          ak 1  abk  ak b  bk 1 ak 1  b k 1 ab k  a k b  a k 1  b k 1   4   k k ak 1  bk 1  a  b  a  b a k 1  b k 1    (  a  b  ak  bk  )   Vậy : Bất đẳng thức (*) chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh:   2n  1  (*), n  2n 2n  * Giải Với n  1: 1  Vậy : (*) với n  Giả sử (*) với n  k  1, k    * , tức là: 2k  1  2k 2k  Chứng minh (*) với n  k  ,nghĩa ta chứng minh:   2k  2k  1   (1) 2k 2k 2k  Thật vậy: VT(1)  2k  2k  2(k  1) Ta cần chứng minh : (2)   2k  1  (2) 2k  2(k  1) 2k    2k  1 2k  3  2(k  1)  4k  8k   a(k  2k  1)   (đúng) Vậy: Bất đẳng thức (*) chứng minh Bài tập : Bài tập 1: Chứng minh: Với số tự nhiên n  có 2n  2n  Giải Kiểm tra : n  thấy bất đẳng thức Giả sử bất đẳng thức với n  k  3, k  * , tức 2k  2k  Chứng minh bất đẳng thức với n  k  , nghĩa ta chứng minh: 2k 1   k  1  Thật vậy: 2k 1  2.2k   2k  1  2k    k  1  Suy ra: đpcm Bài tập 2: Chứng minh: Với n nguyên dương số thực   1 Ta có 1      n (Bất đẳng thức Bec-nu-li) n Đẳng thức xảy   n  Giải Kiểm tra: n    thấy bất đẳng thức Chứng minh: 1      n , n  n * , n  2,    1;   \ 0 + Với n  : Bất đẳng thức + Giả sử bất đẳng thức với n  k , tức là: 1      k k + Chứng minh bất đẳng thức với n  k  , nghĩa ta chứng minh: 1    k 1   (k  1) ,    1;   \ 0 Thật vậy: 1    k 1  1    1     1  k 1    k   1  k   k   1  k  Suy ra: đpcm Phương pháp 3: phương pháp phản chứng Kiến thức cần nhớ Để chứng minh toán có dạng A  B Ta tiến hành sau: Giả sử điều trái với B, biến đổi dẫn đến điều mâu thuẫn với A hay dẫn đến điều vô lí Ví dụ a  b  c   Ví dụ : Cho ba số a, b, c thỏa ab  bc  ca  abc   (1) (2) (3) Chứng minh: a  0, b  0, c  Giải Vì vai trò a, b, c nên ta cần chứng minh a  Giả sử: a  Trường hợp a  xảy (3) Do đó: a  , từ (3)  bc  (2)  a  b  c   bc   b  c   a  b  c  ( vô lý (1)) Vậy a  Bài tập Bài tập 1: Chứng minh: Nếu a1a2   b1  b2  hai phương trình x  a1 x  b1  0, x  a2 x  b2  có nghiệm Giải Giả sử hai phương trình cho vô nghiệm, ta có: 1  a12  4b1  0, 2  a22  4b2    a1  a2   (vô lý)  đpcm Bài tập 2: Cho x, y  x  y3  x  y (1) Chứng minh: x  y3  x  y  x  y  (2) Giải Chứng minh : x  y3  x  y Giả sử: x  y3  x  y (3) x Nhận thấy y    hàm số mũ số   , nên 3 3 1 x 1 y    hàm số giảm 3 Do đó: 1 a b b a  b )   a  b  a  b (1) a 3 3 3 1 a c c a a, c : (a  c)( a  c )   a  c  a  c (2) 3 3 3 1 b c b c b, c : (b  c)( b  c )   b  c  c  b (3) 3 3 3 a, b : (a  b)( Cộng (1),(2),(3) theo vế, ta được: a b c bc ca a b  b  c) a  b  c a 3 3 3 a b c a bc a bc a bc  3( a  b  c )    3 3a 3b 3c a b c 1  3( a  b  c )  a  b  c 3 3 3 2( 2.4 Bất phƣơng trình hệ bất phƣơng trình bậc bậc 2.4.1 Bất phương trình Định nghĩa: Cho hàm số f ( x), g ( x) với x  R n f ( x), g ( x) có miền xác định D1 , D2 Hai hàm số f ( x), g ( x) xét D  D1  D2 Bất phương trình f ( x)  g ( x)(1) kí hiệu hàm mệnh đề “ Gía trị x hàm số f lớn giá trị x hàm số g “ Giải bất phương trình tìm giá trị x0  D cho f ( x0 )  g ( x0 ) bất đẳng thức Giá trị x0 gọi nghiệm bất phương trình (1) Chú ý: Nếu n  ta có bất phương trình ẩn x R Nếu n  ta xem x  ( x1 , x2 , , xn )  R n Khi ta có bất phương trình n ẩn x1 , x2 , , xn Hoàn toàn tương tự ta định nghĩa khái niệm bất phương trình f ( x), g ( x); f ( x)  g ( x); f ( x)  g ( x) Sự tương đương bất phương trình: Khái niệm bất phương trình tương đương, bất phương trình hệ định nghĩa tương tự phương trình Sau ta đưa số định lý bất phương trình tương đương Ta kí hiệu vế bất phương trình f , g , , không ghi tên ẩn gọn, hiểu ẩn n ẩn 2.1 Định lý: f  g  g  f 2.2 Định lý : f  g  f  h  g  h ( h có nghĩa miền xác định bất phương trình cho) 2.3 Định lý:   fh  gh   h0 f g   fh  gh    h  2.4 Định lý: f g   f 0 g Chú ý: nhiên, với hệ phương trình định lý làm sở cho phương pháp phương pháp khử lý thuyết hệ phương trình không Chẳng hạn, hệ bất phương trình  F 0 F  (I )  ( II )  không tương đương  F1  F2   F2  Thật vậy, ( II ) hệ ( I ) , song ( I ) lại kho6g phải hệ ( II ) Ứng dụng giá trị lớn giá trị nhỏ vào việc giả phương trình bất phương trình Cho hàm số y  f ( x) có tập xác đình D , giả sử hàm số y  f ( x) có giá trị lớn giá trị nhỏ D , ta có:  Bất phương trình f ( x)   có nghiệm x  D Max f ( x)   xD  Bất phương trình f ( x)   có nghiệm với x  D Min f ( x)   xD  Bất phương trình f ( x)   có nghiệm x  D Min f ( x)   xD  Bất phương trình f ( x)   có nghiệm với x  D Max f ( x)   xD  Nếu hàm số y  f ( x) liên tục D phương trình f ( x)   có nghiệm x  D Min f ( x)    Max f ( x) xD xD 2.4.2Bất phương trình bậc ẩn: 1.Bất phương trình bậc ẩn Định nghĩa: bất phương trình bậc ẩn bất phương trình có dạng ax  b  (1), ax  b  0; ax  b  0; ax  b  (a, b  R,a  0) Các trường hợp nghiệm bất phương trình bậc ax  b  (1) Nếu a  0, (1) có tập nghiệm S   x  R / x  Nếu a  0, (1) có tập nghiệm S   x  R / x  1.1 b a  b } a Giải biện biện luận bất phương trình ax  b  Nếu a  (1)  x   b b tập nghiệm (1) S  ( ; ); a a Nếu a  (1)  x   b b tập nghiệm (1) S  (;  ); a a Nếu a  (1) trở thành x  b (1) Vô nghiệm b  0; (1) Đúng với x  R b  Ví dụ 1: Giải biện luận phương trình : 2( x  m)  m    mx (1) Giải: (1)  (m  2) x  3m   m    m  2 3m  m2 m    m  2 (1)  x  3m  m2  m    m  2 (1)  x  (1) Trở thành x  2 : vô nghiệm Kết luận: m  2 : tập nghiệm bất phương trình S  (; m  2 : tập nghiệm bất phương trình S  ( 3m  ) m2 3m  ; ) m2 m  2 : tập nghiệm bất phương trình S   1.2 Đặt x0   Định lý dấu nhị thức bậc f ( x)  ax  b; a  b nghiệm f ( x) đó, ta có: a b ; a i) f ( x) dấu với hệ số a x0   ii) b f ( x) trái dấu với hệ số a x0   a Kết định lý tóm tắt bảng sau: x   f ( x)  ax  b Trái dấu với a b a  Cùng dấu với a Chú ý : 1) Sử dụng định lý dấu nhị thức bậc ta giải bất phương trình dạng P( x) P( x) P( x) P( x)  0;  0;  0; 0 Q( x ) Q( x ) Q( x ) Q( x ) Trong đó, P( x) Q( x) tích nhị thức bậc 2) Để giải bất phương trình chứa dấu gái trị tuyệt đối, ta khử dấu giá trị tuyệt đối định nghĩa tính chất sau  f ( x)  g ( x) f ( x)  g ( x)    f ( x)   g ( x)  f ( x)  g ( x) f ( x)  g ( x)    f ( x)   g ( x) f ( x)  g ( x)   f ( x)    g ( x)  2 f ( x)  g ( x)   f ( x)    g ( x)  2 Ví dụ: giải bất phương trình 2x  1 x 3 Giải:  2x   2x   x  1 0   2x  x 3 x 3 1   x 3  x   1  x   x    x   x 3  x2 x   x    x 3   x  2  x        x3  3x    x3    x    x  2  x  Vậy tập nghiệm phương trình   x3 Bất phương tirnh2 bậc hai ẩn 2.1 Định lý dấu tam thức bậc hai f ( x)  ax2  bx  c; a  Định lý: Cho tam thức bậc hai f ( x)  ax2  bx  c  Nếu   f ( x) dấu với hệ số a với x  R  Nếu   f ( x) dấu với hệ số a với x  b ; 2a  Nếu   f ( x) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ,(x1  x2 ) Khi f ( x) trái dấu với hệ số a x nằm khoảng ( x1 , x ), f ( x) dấu với hệ số a x nằm đoạn [ x1 , x2 ] Chứng minh: Ta có b c x ) a a b b c b2  a( x  x    ) a 4a a 4a  b  b  4ac   a  x     2a  4a   f ( x)  ax  bx  c  a ( x    b   a  x     2a  4a    b Trường hợp 1:   x     a  f ( x)  2a  4a  ngược lại hay mói cách khác tam thức f ( x) dấu với hệ số a với xR b ) dấu với hệ số a với 2a Trường hợp 3:  tam thức f ( x) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 f ( x)  Trường hợp 2:  f ( x)  a( x   viết dạng f ( x)  a(x  x1 )( x  x2 ) giả sử x1  x2 Lập bảng xét dấu biểu thức ( x  x1 )( x  x2 ) ta  x  x1 ( x  x1 )( x  x2 )     x  x2 ( x  x1 )( x  x2 )   x1  x  x2 Suy f ( x) trái dấu với hệ số a với x nằm khoảng ( x1 , x ), f ( x) dấu với hệ số a x nằm đoạn [ x1 , x2 ] 2.2 Bất phương trình bậc hai ẩn Định nghĩa: bất phương trình bậc hai ẩn x x bất phương trình có dạng ax2  bx  c  (hoặc ax2  bx  c  0; ax2  bx  c  0; ax  bx  c  0) với a, b, c  R a  Cách giải: Để giải bất phương trình bậc hai ta áp dụng định lý dấu tam thức bậc hai Chú ý: Cũng trường hợp bất phương trình bậc nhất, ta giải bất phương trình dạng P( x) P( x) P( x) P( x)  0;  0;  0; 0 Q( x ) Q( x ) Q( x ) Q( x ) Trong P( x), Q( x) tích tam thức bậc hai x  16 x  27 Ví dụ : giải bất phương trình 2 x  x  10 Giải Bất phương trình cho tương đương với x  16 x  27 20 x  x  10 x  16 x  27  2( x  x  10)  0 x  x  10 2 x   0 x  x  10 Lập bảng xét dấu vế trái bất phương trình ta nghiệm bất phương trình cho  7 x   2,    5;    2 Ví dụ 3: Tìm m để f ( x)  mx2  x  m  0, x  R Giải Xét m  f ( x)  x   x  đo m  không chấp nhận m0  am0   m2     m  m  2  m  Xét m  0, f ( x)  0, x  R   Vậy giá trị m cần tìm m  Định lý dấu tam thức bậc hai Theo định lý dấu tam thức hai hai trường hợp f ( x) có nghiệm x1 , x2 af ( x)  x2  x  x1 , ta có định lý đảo định lý dấu tam thức bậc hai sau Định lý: Cho tam thức bậc hai f ( x)  ax2  bx  c , tồn số thực a cho af (a)  f ( x) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ( x1  x2 ) a nằm khoảng ( x1 ; x2 ) Từ định lý đảo dấu tam thức f ( x) ta có phép so sánh nghiệm f ( x) với số a sau  Nếu f (a)  a nghiệm f ( x) ;  Nếu af (a)  a nằm hai nghiệm x1 , x2 f ( x) ;  Nếu af (a)  f ( x) có hai nghiệm x1 , x2 a nằm đoạn [ x1; x2 ] s a; s  x1  x2  a  a  a  x1  x2 Hệ quả: Điều kiện để tam thức bậc hai f ( x)  ax2  bx  c có hai nghiệm, có nghiệm nằm khoảng ( ;  ) , nghiệm nằm đoạn [ ;  ] f ( ) f ( )  Chứng minh: Thật vậy, theo giả thiết ta có f (a) f (b)  suy a f (a) f (b)   af ( )   af (  )    x1    x2  Hay [af ( )][af (  )]       af ( )   x1    x2     af (  )  Vậy, ta có điều phải chứng minh Ví dụ Cho a,b,c ba số dương phân biệt Chứng minh phương trình a( x  b)( x  c)  b( x  a)( x  c)  c( x  b)( x  a)  có hai nghiệm phân biệt Giải Không tính tổng quát, giả sử a  b  c đặt f ( x)  a( x  b)( x  c)  b( x  a)( x  c)  c( x  b)( x  a)  Ta có f (b)  b(b  a)(b  c)  hệ số x tam thức f ( x) a  b  c  Vậy, phương trình cho có hai nghiệm phân biệt Ví dụ 2.Cho phương trình x2  6mx  (2  2m  9m2 )  (1) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thõa điều kiện a) x1   x2 b)  x1  x2 Giải Đặt f ( x)  x2  6mx  (2  2m  9m2 ) a) x1   x2  af (4)   9m2  26m  18   13  17 13  17 m 9    '  2m    11  b)  x1  x2  af (3)  9m2  20m  11   m   s    3m   Ví dụ Cho hai phương trình f ( x)  x  3x  2m  (1) g ( x)  x  x  5m  (2) Tìm m để phương trình cho có nghiệm phân biệt nghiệm phương trình (1) (2) xen kẽ Giải Giả sử x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1), Khi f   8m    8m  Ycbt   g ( x ) g ( x )   [ f ( x )  3( x  m)][ f ( x )  3( x  m)]   1 2    8m     m  9m(m  1)  Ví dụ Chứng minh phương trình f ( x)  ab( x  a)( x  b)  bc( x  b)( x  c)  ca( x  c)( x  a)  có nghiệm với a, b, c  Giải 2 2 2 Ta có: f (a) f (b) f (c)  a b c (a  b) (b  c) (c  a)  Như vậy, ba giá trị f (a), f (b), f (c) chắn phải có gía trị không dương, chẳng hạn f (a)  Mặt khác, ta có f (0)  a b  b c  c a   f (0) f (a)  Mà y  f ( x) hàm số liên tục toàn trục số nên chắn phương trình y  f ( x)  có nghiệm x0 [0; a] 2 2 2 Ví dụ 5.Tìm a để phương trình (1  a)tg x    3a  (1) cos x  có nhiều nghiệm thuộc khoảng (0; ) Giải (1)  (1  a)    4a  Đặt t  , x  (0; ) nên t  2 cos x cos x cos x 2 Yêu cầu toán thõa f (t )  (1  a)t  2t  4a  Có hai nghiệm t1 , t2 thõa mãn điều kiện  t1  t2  1  '    a    (1  a) f (1)      a1 s  1   Ví dụ 6.Với giá trị m bất phương trình mx  x  m  nghiệm với x  ? Giải Ta có mx  x  m  với x  Như vậy, m  4x với x  x 1 m  4x x 1 Maxf ( x)  m Ta có  x  4(1  3x ) f '( x)  , f '( x)    (1  x )  x    Bảng biến thiên x   4    f '( x) f ( x)  27  27 Dựa vào bảng biến thiên, ta nhận Maxf ( x)  27 (khi x  ) Vậy, m  27 giá trị cần tìm thõa đề 4 Ví dụ 7.Cho bất phương trình sin x  cos x  cos x  sin x  a  (1) Với giá trị a bất phương trình cho nghiệm với x  Giải 2 Ta có (1)   sin x  cos x  sin x  a (1  cos 2 x)  cos x   a  cos 2 x  cos x   4a(2)  Đặt t  cos 2x , với x  1  t  Bất phương trình (2) trở thành t  4t   4a  4a  t  4t  (3) Xét hàm số f (t )  t  4t  đoạn [-1;1], ta có (1) với x  (3) Đúng với t [1;1] , Minf  t   4a t 1,1 f '(t )  2t  f '(t )   t   [1;1] f (1)  8; f (1)  Nên Minf  t   8 Vậy ta có 4a  8  a  2 t 1,1 Giá trị cần tìm a  2 Ví dụ Tìm p để phương trình 4x2 px    p  có nghiệm  x  x  x2 Giải Đặt t  2x  [1;1]  ycbt  tìm p để f (t )  t  pt   p  có nghiệm thuộc 1 x [1;1] a) f (1)   p  1; 2 b) f (1)   p  1;2  2  p  1  1 p  c) f (1) f (1)     2   0 1  p    d) Cả hai nghiệm thuộc (1;1)   f (1)  0, f (1)      s   p 1  1     2 Vậy giá trị cần tìm  p 1 Ví dụ Tìm a để phương trình (a  1) x2  (8a  1) x  6a  Có nghiệm thuộc (0;1) Giải  Xét a   , phương trình trở thành x    x   (0;1)  a  1 (nhận)  Xét a   , để ý f (0) f (1)  6a  Do Nếu a  , phương trình trở thành x2  x  có nghiệm x  0, x  (loại) Nếu a   f (0) f (1)   phương trình có nghiệm thuộc (0;1) Vậy, giá trị cần tìm a  Ví dụ 10 Cho phương trình f ( x)  x2  2(m  1) x  m2  4m   (1) 1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm lớn 2) Gọi x1 , x2 nghiệm cùa phương trình (1) Tìm giá trị lớn biểu thức A  x1 x2  2( x1  x2 ) Giải 1) Yêu cầu toán thõa mãn          1  f (1)   m  6m    3   m  3   5  m  3       5  m  1  5  m  3   m  3  s m 1    2 '  f (1)  2) Vì x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1) nên theo hệ thức viet ta có  m  4m  3 Do ta có 1 A  m2  8m    m  1 m    m  8m  2  9   m      2 Vậy, MaxA  , đạt dược m  x1  x2    m  1 ; x1.x2    Ví dụ 11 Cho hệ bất phương trình   x  x  a  1    x  x  6a    1) Tìm a để hệ bất phương trình có nghiệm 2) Tìm a để hệ bất phương trình có nghiệm Giải 1) Ta có (1)  x1  1   a  x  1   a  x2 (a  1) (2)  x3   6a   x   6a   x4 (a  Với 2 ) a 2  a  ta có a để [ x1; x2 ]  [ x3 ; x4 ]   (*) Vì x1  x4 nên  x3  x2   a  6a   (*)  (1  a)(4  6a)   5a   a 1      2   a 1 a    49 a  48 a 0  2) khả để hệ bất phương trình có nghiệm x1  x2   '1   a  (thõa mãn) x3  x4   '2   a  2 (loại) x2  x3  a  a  Vậy, giá trị cần tìm để hệ bất phương trình cho có nghiệm  a 1 Bài tập Bài tập1: Giải bất phương trình sau: 2x  1  x3 Giải: Điều kiện: x  3  x3  x   x3    x  x       1  0  x   x   x    x   x2   x  2x        1    x3 x3    x   x  3     x   x3   x   x2  2  x  1  0    3 x   x  x2  x  3 Vậy, nghiệm bất phương trình cho  Bài tập 2: giải bất phương trình sau  3x 1 1 x Giải:   3x  1   x Bất phương trình cho tương đương với    3x  1   x     1  x  3  2x    x      x  1   Với x  hệ   trở thành   1  4x      x  x    Với 1  x  hệ   trở thành   x  1   3x 3  4x     x  1   x   x   3        x   3x  1   x     x   x 1  x    4 Vậy, nghiệm bât phương trình   x     x  [...]... y, z nào đồng thời thỏa mãn ba bất đẳng thức sau : x  y  z , y  z  x , z  x  y Giải Giả sử tồn tại ba số x, y, z thỏa đồng thời các bất đẳng thức trên   y  z   x 2  0,  z  x   y 2  0,  x  y   z2  0 2 2 2    x  y  z   x  z  y   y  z  x   0 (vô lý) 2 2 2  đpcm Phương pháp 4 : Sử dụng bất đẳng thức cauchy 1 Kiến thức cần nhớ  Bất đẳng thức Cauchy cho hai số không... thì    2 2      Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm Nếu a1  0, a2  0, , an  0 thì a1  a2   an n  a1.a2 an n Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1  a2   an 2 Ví dụ Ví dụ 1 : Chứng minh : 1 1 a)  a  b      4, a, b  0 a b  1 1 1 b)  x  y  z       9, x, y, z  0  x y z Giải a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 1 1... b 2 (2)  2a (3)  2b (4)  2c (5) Cộng (3),(4),(5) theo vế: a logbc b logc a c logab  a  b  c  3 3 abc ( bất đẳng thức Cauchy) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c 3 Bài tập: Bài tập 1: Chứng minh : a2 b2 c 2 a b c      , abc  0 b2 c 2 a2 b a b Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a2 b2 a2 b2 a 2a  2 2 2  2 2  (1) 2 c c b c b c Tương tự: b 2 c 2 2b   (2) a c2 a2 c2... 4a  b  c Bất phương trình viết lại : 4A  3x   y  z  x  3y   z  x  y  3z   x  y  z x y  z x  z y  9       y x x z y z Sử dụng bất đẳng thức A B   2 , với A, B  0 Suy ra: đpcm B A Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c Bài tập 6: Cho x, y, z  0 và tích xyz  1 Chứng minh: 1  x 3  y3 1  y 3  z3 1  z3  x 3   3 3 xy yz zx Khi nào đẳng thức xảy ra?... (2)  3  3  33 3  3  3  3 abc a b c a b c Nhân (1) và (2) theo vế  đpcm Đẳng thức xảy ea khi và chỉ khi a  b  c Phương pháp 5 : sử dụng bất đẳng thức bu-nhi-a-cop-xki 1 Kiến thức cần nhớ + Cho 2 bộ số  a1 , a2  ,  b1 , b2  Ta luôn có : a b  a b   a 2 1 1 2 2 2 1   a22 b12  b22   b  tai (i  1,2) Đẳng thức chỉ xảy ra khi tồn tại t :  i  ai  tbi (i  1,2) + Cho 2 bộ số  a1... n  1 Cộng các đẳng thức trên lại vế theo vế, được : S  1  1  1, n  n 1 Vậy : Bất đẳng thức đã được chứng minh Ví dụ 2 : Chứng minh : Giải : Gọi S  1 1 1  2    2 2 2 3 n 1 1 1  2    2  1, n  , n  2 2 2 3 n Với k  , k  2 , ta có : 1 1 1 1    2 k k (k  1) k  1 k Cho k=2,3,…,n : 1 1  1 2 2 2 1 1 1   32 2 3 1 1 1   2 n n 1 n Cộng các bất đẳng thức trên lại vế... x        3 4 5  5  4  3  Khi nào đẳng thức xảy ra? Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: x x  12   15   12       2    5  4  5 x x x  15      2.3x (1)  4 x  15   20  Tương tự:       2.5x (2)  4  3  x x  20   12  x       2.4 (3)  3   5 Cộng (1),(2),(3) theo vế  đpcm Đẳng thức xảy ra khi x  0 Bài tập 3: Cho x, y, z  0 và... Cauchy, ta có: 1 1 1 1 a  b  2 ab ,   2  a b a b 1 1 11   a  b      4 ab 4 ab a b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 1 1 1 x  y  z  3 3 xyz ,    x y z 3 1 xyz  1 1 1 1 Suy ra:  x  y  z       9 3 xyz 3 9 xyz  x y z Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y  z Ví dụ 2: Cho a, b, c  0 và a  b  c  4 Chứng minh: ab bc ca... học khối D năm 2005) Giải 1  x 3  y3 1  y 3  z3 1  z3  x 3 Gọi A    xy yz zx Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: Tương tự: 1  y 3  z3  yz 3 yz (2) 3 3 x 3 y3 1  x 3  y3   xy xy 3 xy (1) 1  z3  x 3 3 (3)  zx zx Cộng (1),(2),(3) theo vế, ta được: A 3 xy  3 yz  3 zx  3 33 1  3 3 (đpcm) xyz Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y  z  1 Bài tập 7 : Cho a, b, c  0 và thỏa mãn abc  1 Chứng... c2b  1  3  2  a  b  c  (*) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a2 b  a2c  1  3a 3 abc  3a (1) Tương tự: b2 a  b2c  1  3b (2) c2 a  c2b  1  3c (3) Cộng (1),(2),(3) theo vế, ta được: VT(*)  3  a  b  c  Bây giờ ta chứng minh : 3  a  b  c   3  2  a  b  c  hay a  b  c  3 Thật vậy : a  b  c  3 3 abc  3 3 1  3 (BĐT Cauchy) Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 Bài tập 8: ... dụng định nghĩa, tính chất bản…để biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh đến bất đẳng thức hay tính chất sử dụng bất đẳng thức biến đổi dẫn đến bất đẳng thức cần chứng minh) Ví dụ : Ví dụ1: Cho... dụng bất đẳng thức cauchy Kiến thức cần nhớ  Bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm  ab  ab  ab  a  b  ab , ab   Nếu a  0, b     2      Đẳng thức xảy a  b  Bất đẳng thức. .. n (Bất đẳng thức Bec-nu-li) n Đẳng thức xảy   n  Giải Kiểm tra: n    thấy bất đẳng thức Chứng minh: 1      n , n  n * , n  2,    1;   0 + Với n  : Bất đẳng thức