TRƯờNG ĐạI HọC GIAO THÔNG VậN TảI Biên soạn : TS Đỗ Văn Bình Bài giảng ổn định công trình Mở đầu ý nghĩa việc nghiên cứu ổn định công trình Khi thiết kế kết cấu công trình, kiểm tra điều kiện bền điều kiện cứng không cha đủ để phán đoán khả làm việc công trình Trong nhiều trờng hợp, đặc biệt kết cấu chịu nén nén với uốn, tải trọng cha đạt đến giá trị phá hoại có nhỏ giá trị cho phép điều kiện bền điều kiện cứng nhng kết cấu khả bảo toàn hình dạng ban đầu trạng thái biến dạng mà chuyển sang dạng cân khác Nội lực dạng cân phát triển nhanh làm cho công trình bị phá hoại Đó tợng kết cấu bị ổn định Bài toán ổn định đợc quan tâm từ đầu kỷ XViii, khởi đầu từ công trình nghiên cứu thực nghiệm Piter van Musschenbroek công bố năm 1729, đến kết luận đúng: "lực tới hạn tỷ lệ nghịch với bình phơng chiều dài thanh" Ngời đặt móng cho việc nghiên cứu lý thuyết toán ổn định L euler qua công trình công bố vào năm 1744 Tuy nhiên, cho đến cuối kỷ XiX vấn đề ổn định công trình đợc phát triển mạnh mẽ qua cống hiến nhà khoa học nh: Giáo s F S iaxinski, Viện sỹ a N Đinnik, Viện sỹ V G Galerkin Cho đến nay, có nhiều công trình nghiên cứu lĩnh vực giải tốt yêu cầu thực tế Trong phạm vi giảng ta nghiên cứu phơng pháp tính ổn định hệ làm việc giới hạn đàn hồi chịu tải trọng tác dụng tĩnh chủ yếu Khái niệm ổn định ổn định a Định nghĩa Định nghĩa toán học a M Liapunov ổn định chuyển động đợc xem tổng quát bao chùm cho lĩnh vực [7] Trong lĩnh vực công trình, ổn định tính chất công trình có khả giữ đợc vị trí ban đầu giữ đợc dạng cân ban đầu trạng thái biến dạng tơng ứng với tải trọng tác dụng Tính chất ổn định công trình thờng vô hạn tăng giá trị tải trọng tác dụng công trình Khi tính chất công trình không khả chịu tải trọng, lúc công trình đợc gọi không ổn định Nh vậy, vị trí công trình dạng cân ban đầu trạng thái biến dạng công trình có khả ổn định không ổn định Vị trí công trình hay dạng cân ban đầu trạng thái biến dạng công trình đợc gọi ổn định dới tác dụng tải trọng nh sau gây cho công trình độ lệch nhỏ khỏi vị trí ban đầu dạng cân ban đầu nguyên nhân tải trọng có (còn đợc gọi nhiễu) bỏ nguyên nhân công trình có khuynh hớng quay trở trạng thái ban đầu Vị trí công trình hay dạng cân ban đầu trạng thái biến dạng công trình đợc gọi không ổn định dới tác dụng tải trọng nh sau gây cho công trình độ lệch nhỏ khỏi vị trí ban đầu dạng cân ban đầu nguyên nhân tải trọng có bỏ nguyên nhân công trình không quay trở trạng thái ban đầu Lúc này, độ lệch công trình khuynh hớng giảm dần mà tiếp tục phát triển công trình có vị trí dạng cân Bớc độ công trình từ trạng thái ổn định sang trạng thái không ổn định gọi ổn định Giới hạn đầu bớc độ gọi trạng thái tới hạn công trình Tải trọng tơng ứng với trạng thái tới hạn gọi tải trọng tới hạn Từ khái niệm ổn định ta cần phân biệt hai trờng hợp: ổn định vị trí ổn định dạng cân trạng thái biến dạng Mất ổn định vị trí Hiện tợng ổn định vị trí xảy toàn công trình đợc xem tuyệt đối cứng, không giữ nguyên đợc vị trí ban đầu mà buộc phải chuyển sang vị trí khác Đó trờng hợp ổn định lật trợt công trình tờng chắn, mố cầu, trụ cầu, tháp nớc Trong trờng hợp này, ngoại lực tác dụng công trình cân vị trí ban đầu công trình mà cân vị trí khác vị trí ban đầu Vị trí vật thể tuyệt đối cứng ổn định, không ổn định phiếm định Một ví dụ đơn giản tợng ổn định ổn định vị trí trờng hợp viên bi vị trí khác nh hình Mặc dù viên bi cân ba vị trí, song có khác ba trờng hợp có nguyên nhân đa viên bi lệch khỏi vị trí cân ban đầu với lợng vô bé thả ra, ta thấy: Trờng hợp thứ nhất, viên bi đặt mặt cầu lõm (hình 1.a): viên bi dao động quanh vị trí ban đầu cuối trở vị trí cũ Vị trí vị trí cân ổn định Hình Khi lệch khỏi vị trí cân ổn định, viên bi tăng lên Do đó, vị trí viên bi dới đáy mặt cầu lõm hay vị trí cân ổn định tơng ứng với viên bi cực tiểu Trờng hợp thứ hai, viên bi đặt mặt cầu lồi (hình 1.b): viên bi không trở vị trí ban đầu mà tiếp tục lăn xuống phía dới Vị trí vị trí cân không ổn định Khi lệch khỏi vị trí cân không ổn định, viên bi giảm Do đó, vị trí cân không ổn định tơng ứng với viên bi cực đại Trờng hợp thứ ba, viên bi đặt mặt phẳng (hình 1c): viên bi không quay vị trí ban đầu không chuyển động tiếp tục Vị trí vị trí cân phiếm định Vị trí cân phiếm định tơng ứng với viên bi không đổi Mất ổn định dạng cân Hiện tợng ổn định dạng cân trạng thái biến dạng xảy dạng biến dạng ban đầu vật thể biến dạng tơng ứng với tải trọng nhỏ, buộc phải chuyển sang dạng biến dạng khác trớc tính chất tải trọng đạt đến giá trị xảy biến dạng vật thể phát triển nhanh mà không xuất dạng biến dạng khác trớc tính chất tải trọng đạt đến giá trị Trong trờng hợp này, cân ngoại lực nội lực thực đợc tơng ứng với dạng biến dạng ban đầu mà thực đợc tơng ứng với dạng biến dạng khác dạng ban đầu tính chất thực đợc giảm tải trọng Hiện tợng khác với tợng ổn định vị trí điểm sau: đối tợng nghiên cứu vật thể biến dạng, tuyệt đối cứng; cân cần đợc xét với ngoại lực nội lực Bài toán ổn định vị trí thờng đơn giản, sở vận dụng điều kiện cân biết Cơ học sở đủ để giải toán Trong giảng xét toán ổn định dạng cân trạng thái biến dạng B Phân loại Xuất phát từ hai quan niệm khác trạng thái tới hạn euler Poincarré, chia thành hai loại ổn định với đặc trng nh sau: Mất ổn định loại Các đặc trng tợng ổn định loại hay ổn định euler: Dạng cân có khả phân nhánh Phát sinh dạng cân khác dạng cân ban đầu tính chất Trớc trạng thái tới hạn dạng cân ban đầu ổn định; sau trạng thái tới hạn dạng cân ban đầu không ổn định Để minh họa ta xét ví dụ đơn giản trờng hợp thẳng chịu nén tâm nh hình 2a: Khi lực P nhỏ, thẳng, trạng thái chịu nén trạng thái ban đầu Nếu đa hệ khỏi dạng ban đầu nguyên nhân bỏ nguyên nhân hệ dao động trở dạng ban đầu nh cũ Do đó, dạng cân ổn định Hình Trạng thái cân ổn định đợc mô tả đoạn oa đồ thị liên hệ chuyển vị tải trọng P (hình 2c) Khi tăng lực P đến giá trị gọi lực tới hạn Pth, trạng thái tới hạn Lúc này, trạng thái cân chịu nén có khả phát sinh đồng thời trạng thái cân uốn dọc, nghĩa trạng thái cân phiếm định Nh vậy, dạng cân bị phân nhánh thành hai dạng biến dạng Trạng thái tơng ứng với điểm phân nhánh a đồ thị (hình 2c) Khi P > Pth, trạng thái cân chịu nén có khả tiếp tục tồn song không ổn định đa hệ khỏi dạng ban đầu nguyên nhân bỏ nguyên nhân hệ khả trở dạng thẳng ban đầu Dạng cân không ổn định tơng ứng với nhánh aB đồ thị (nhánh có điểm thêm dấu chấm hình 2c) Trong hệ phát sinh đồng thời trạng thái cân uốn dọc biến dạng hữu hạn (hình 2b) Dạng cân ổn định đợc mô tả nhánh aC aD đồ thị (hình 2c) Nếu tiếp tục tăng lực P mặt lý thuyết phát sinh dạng cân dới dạng uốn dọc tơng ứng với lực tới hạn bậc cao Tuy nhiên, dạng cân thứ tơng ứng với lực tới hạn nhỏ nhất, dạng cân tơng ứng với lực tới hạn bậc cao không ổn định, xảy ý nghĩa thực tế Bởi thực tế ta cần tìm lực tới hạn nhỏ Hiện tợng ổn định loại xảy tơng ứng với dạng sau: Mất ổn định dạng nén tâm Ngoài ví dụ vừa xét, hình giới thiệu số ví dụ khác ổn định dạng nén tâm nh: vành tròn kín (hình 3a) chịu áp lực phân bố hớng tâm (áp lực thủy tĩnh); vòm parabol chịu tải trọng phân bố theo phơng ngang (hinh 3b) Đó hệ chịu nén tâm bỏ qua ảnh hởng biến dạng nén đàn hồi hệ ổn định Nếu tải trọng q vợt giá trị qth hệ phát sinh dạng cân theo đờng đứt nét Trong trờng hợp khung chịu tải trọng nh hình 3c: P < Pth, khung có dạng cân chịu nén; P > Pth, dạng cân chịu nén không ổn định khung có dạng cân chịu nén với uốn theo đờng đứt nét hình vẽ Hình Mất ổn định dạng biến dạng đối xứng Ví dụ, ta xét khung đối xứng chịu tải trọng tác dụng đối xứng nh hình Hình Hình Khi P < Pth, khung có dạng cân ổn định dạng đối xứng (đờng liền nét); P > Pth, dạng cân đối xứng không ổn định khung có dạng cân không đối xứng (đờng đứt nét) Mất ổn định dạng uốn phẳng Ví dụ, ta xét dầm chữ i chịu uốn phẳng tải trọng P (hình 5) Khi P < Pth, dầm có dạng cân ổn định dạng uốn phẳng; P > Pth, dạng uốn phẳng không ổn định dầm có dạng cân dạng uốn với xoắn (đờng đứt nét) Mất ổn định loại hai Các đặc trng tợng ổn định loại hai nh sau: Dạng cân không phân nhánh Biến dạng dạng cân hệ không thay đổi tính chất Hình Để minh họa ta xét ví dụ đơn giản: trờng hợp dàn Mises có ba khớp a, B, C chịu lực P đặt khớp C nh hình 6a Đồ thị liên hệ lực P chuyển vị thẳng đứng f C nh hình 6b Để dựng đồ thị ta cần tìm tọa độ điểm đờng cong P = P(f), ứng với điểm ta thực nh sau: tơng ứng với giá trị chuyển vị f1 ta dễ dàng tìm đợc biến dạng dọc trục aC, BC; tiếp từ biến dạng biết tìm đợc giá trị lực dọc N1 suy giá trị P1 tơng ứng theo tổng hình học lực N1 Ta nhận thấy giai đoạn đầu lực P tăng lên với độ võng f nhng f = h tức ba khớp a, B, C nằm đờng thẳng P = Sự liên hệ lực P chuyển vị f liên tục nên đờng cong P = P(f) phải có dạng nh hình 6b Giá trị lực P tơng ứng với độ võng tăng mà không cần tăng tải trọng gọi lực tới hạn Khi P = Pth, cân nội lực ngoại lực đạt đến trạng thái giới hạn Khi P > Pth, cân xảy giảm tải trọng P Trạng thái giới hạn đợc xác định từ điều kiện: dP/df = Đó tợng ổn định loại hai hay tợng khả chịu lực theo trạng thái giới hạn thứ Trong trờng hợp ta thấy biến dạng hệ phát triển nhng không thay đổi tính chất, không phân nhánh Trong thực tế, cấu kiện công trình thờng không đơn chịu nén mà chịu uốn với nén nên cấu kiện thờng bị ổn định loại hai với tải trọng nhỏ tải trọng tới hạn loại Tuy vậy, xác định khả chịu lực cấu kiện chịu uốn với nén ta cần biết giá trị tới hạn lực dọc cấu kiện tơng ứng với ổn định loại (xem mục 3.1, chơng 3) Do đó, nghiên cứu tợng ổn định loại có ý nghĩa lý thuyết mà có ý nghĩa thực tế C Phạm vi nhiệm vụ nghiên cứu Trong phạm vi giảng ta nghiên cứu toán ổn định loại dạng cân trạng thái biến dạng loại hệ làm việc giới hạn đàn hồi chịu tải trọng tác dụng tĩnh Nhiệm vụ nghiên cứu phơng pháp xác định tải trọng tới hạn để đánh giá khả chịu lực công trình Hình Trong trờng hợp hệ chịu nhiều lực tác dụng đồng thời nh hình 7, thay cho tải trọng tới hạn ta dùng khái niệm thông số tới hạn để đánh giá khả ổn định Hình Thông số tới hạn độ an toàn mặt ổn định công trình nhóm lực định Chẳng hạn, cần xác định độ an toàn khung hình ba lực P1, P2 P4 số bốn lực tác dụng hệ Muốn ta nhân ba lực với thông số tìm giá trị tới hạn th thông số để cho hệ chịu tác dụng đồng thời lực th P1, th P2 , P3 th P4 (nghĩa tăng lực P1, P2 P4 lên th lần lực P3 không tăng) khung đạt tới trạng thái tới hạn Khái niệm bậc tự Bậc tự hệ số thông số hình học độc lập đủ để xác định vị trí tất điểm hệ hệ ổn định Ví dụ, hệ gồm hai tuyệt đối cứng đợc liên kết nh hình có bậc toàn dạng ổn định (đờng đứt nét) hệ đợc xác định theo thông số (chuyển vị y1 khớp hay góc xoay đó) Hệ gồm bốn tuyêt đối cứng đợc liên kết nh hình có bậc tự hai Thật vậy, sau xác định vị trí 1', 2' khớp hai thông số ta dễ dàng tìm đợc vị trí 3' khớp giao điểm đờng tròn có tâm 2' bán kính l với đờng tròn có tâm b bán kính h Hình Hình Với hệ có bậc tự n ta có n giá trị lực tới hạn Ngoài lực tới hạn nhỏ tơng ứng với dạng cân ổn định lực tới hạn khác tơng ứng với dạng cân không ổn định Các hệ biến dạng đàn hồi có bậc tự vô nên có vô số giá trị lực tới hạn song có lực tới hạn nhỏ có ý nghĩa thực tế Ví dụ với có hai đầu khớp hình 10a, từ Sức bền vật liệu ta biết lực tới hạn dợc xác định theo công thức: Pn,th = (n )2 EI l2 , với n - số nguyên Lần lợt cho n = 1, 2, 3, ta đợc vô số giá trị lực tới hạn: Hình 10 P1,th = EI l ; P2,th = 42 EI l ; P3,th = 92 EI l2 , Trên hình 10a, b, c dạng biến dạng tơng ứng với giá trị thứ nhất, thứ hai thứ ba lực tới hạn Chỉ có lực tới hạn thứ tơng ứng với giá trị nhỏ có ý nghĩa thực tế Các lực tới hạn thứ hai, thứ ba có ý nghĩa lý luận dạng biến dạng tơng ứng không ổn định Khái niệm phơng pháp nghiên cứu a Phơng pháp tĩnh học Nội dung: Tạo cho hệ nghiên cứu dạng cân lệch khỏi dạng cân ban đầu; xác định giá trị lực (lực tới hạn) có khả giữ cho hệ trạng thái cân lệch khỏi dạng cân ban đầu Lực tới hạn đợc xác định từ phơng trình đặc trng hay gọi phơng trình ổn định biểu thị điều kiện tồn dạng cân Có thể vận dụng nội dung nói dới nhiều hình thức khác nhau, tồn nhiều thể loại phơng pháp tĩnh học: 1) Phơng pháp thiết lập giải phơng trình vi phân 2) Phơng pháp thông số ban đầu 3) Phơng pháp lực 4) Phơng pháp chuyển vị 5) Phơng pháp hỗn hợp 6) Phơng pháp phần tử hữu hạn 7) Phơng pháp thiết lập giải hệ phơng trình đại số 8) Phơng pháp sai phân hữu hạn 9) Phơng pháp dây xích 10) Phơng pháp nghiệm điểm 11) Phơng pháp Bubnov-Galerkin 12) Phơng pháp giải dần Các phơng pháp từ đến đợc xem "chính xác"; phơng pháp từ đến 12 đợc xem gần Trong thực hành, phơng pháp cho phép giải dễ dàng toán đơn giản Đối với hệ thanh, giải xác ta thờng áp dụng phơng pháp 2, 3, 4, 5, Đối với phức tạp, có tiết diện thay đổi, phơng pháp gần (7 ữ 12) thờng đợc áp dụng có hiệu mà đảm bảo đợc sai số phạm vi cho phép Trong phạm vi giảng đề cập đến phơng pháp 1; 7; 8; 11 (chong 1); (chơng 2); 4; (chơng 3) B Phơng pháp lợng Nội dung: Giả thiết cho trớc dạng biến dạng hệ trạng thái lệch khỏi dạng cân ban đầu; vào dạng biến dạng giả thiết, lập biểu thức biến dạng công ngoại lực để viết điều kiện tới hạn hệ theo tiêu chí dới dạng lợng; từ điều kiện tới hạn xác định đợc giá trị lực tới hạn Nếu dạng biến dạng giả thiết chọn kết tìm đợc xác Trong thực hành nói chung ta cha biết đợc xác dạng biến dạng hệ nên kết tìm đợc theo phơng pháp lợng thờng gần cho giá trị lực tới hạn lớn giá trị xác (xem 1.8) Nh vậy, mức độ xác kết tìm đợc theo phơng pháp lợng phụ thuộc khả phán đoán dạng biến dạng hệ trạng thái lệch Các phơng pháp lợng thờng áp dụng : 1) Phơng pháp áp dụng trực tiếp nguyên lý Lejeune - Đirichlet 2) Phơng pháp Rayleigh - Ritz 3) Phơng pháp Timoshenko C Phơng pháp động lực học Nội dung: Lập giải phơng trình dao động riêng hệ chịu lực; xác định giá trị lực tới hạn cách biện luận tính chất nghiệm chuyển động