tiểu luận đại số đại cương tác động của nhóm lên một tập hợp

Đại số là một trong những lĩnh vực rất quan trọng của Toán học. Trong quá trình nghiên cứu học phần đại số đại cương trong chương trình học đại học, em nhận thấy lý thuyết nhóm là một phần có thể gọi là nền tảng của đại số, tạo tiền đề để xây dựng một số cấu trúc trong đại số như vành, trường, môđun… Trong các nội dung đã được học em đã được giới thiệu về tác động của một nhóm lên một tập hợp và nhận thấy đây là phần khá mới có thể đi sâu vào nghiên cứu nên em quyết định chọn đề tài “Tác động của nhóm lên một tập hợp”.

GVHD: Th.S Võ Văn Minh SVTH: Huỳnh Minh Tú MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đại số lĩnh vực quan trọng Toán học Trong trình nghiên cứu học phần đại số đại cương chương trình học đại học, em nhận thấy lý thuyết nhóm phần gọi tảng đại số, tạo tiền đề để xây dựng số cấu trúc đại số vành, trường, môđun… Trong nội dung học em giới thiệu tác động nhóm lên tập hợp nhận thấy phần sâu vào nghiên cứu nên em định chọn đề tài “Tác động nhóm lên tập hợp” Mục đích nghiên cứu Nhằm mục đích sâu vào nghiên cứu tác động nhóm lên tập hợp xây dựng cách có hệ thống, trình bày lý thuyết đến tập áp dụng kiến thức có kết hợp với tài liệu tham khảo Phương pháp nghiên cứu Trong trình thực đề tài này, em sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: Tổng kết lại số kiến thức học Sưu tầm tài liệu từ sách tham khảo, tài liệu mạng Tự nghiên cứu có trao đổi với giáo viên hướng dẫn Nội dung nghiên cứu Nội dung gồm ba chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Tác động nhóm lên tập hợp Chương 3: Bài tập áp dụng GVHD: Th.S Võ Văn Minh SVTH: Huỳnh Minh Tú NỘI DUNG Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhóm 1.1.1 Khái niệm nhóm nhóm 1.1.1.1 Định nghĩa Một nhóm cặp  G, không rỗng  G tập hợp luật hợp thành G, thỏa mãn ba điều kiện sau đây: i) Tính chất kết hợp, với x, y, z  G  x y  z  x y z  ii) Có phần tử e  G , gọi phần tử trung lập, có tính chất với x  G x e  e x  x iii) Với x  G , ta có phần tử x '  G , gọi nghịch đảo x, cho x x '  x' x  e Nếu luật hợp thành rõ không sợ nhầm lẫn gì, người ta nói G nhóm 1.1.1.2 Định nghĩa Nhóm  G,  gọi nhóm giao hoán ( hay abel) x y  y x với x, y  G 1.1.1.3 Định nghĩa Cho nhóm  G,  H tập khác rỗng ổn định với phép toán G Tập H gọi nhóm G H với phép toán cảm sinh H lập thành nhóm, kí hiệu H  G 1.1.1.4 Định lý Cho H tập khác rỗng nhóm G với phép toán nhân Khi phát biểu sau tương đương: i) H nhóm G ii) Với x, y  H ta có xy  H x 1  H iii) Với x, y  H , ta có xy 1  H 1.1.2 Nhóm chuẩn tắc 1.1.2.1 Định nghĩa Nhóm H G gọi nhóm chuẩn tắc G với g  G gH = Hg, kí hiệu H G Trong gH Hg lớp ghép phải lớp ghép trái phần tử g  G nhóm H GVHD: Th.S Võ Văn Minh SVTH: Huỳnh Minh Tú 1.1.2.2 Định lý Một nhóm H nhóm G gọi nhóm chuẩn tắc nhóm G với g  G , với h  H g 1hg  H (hoặc ghg 1  H ) 1.1.3 Cấp nhóm 1.1.3.1 Định nghĩa Cho G nhóm g  G Nếu nhóm G có hữu hạn ta nói G nhóm hữu hạn số phần tử nhóm G gọi cấp nhóm G, kí hiệu G Ngược lại ta nói G có cấp vô hạn Cấp gọi cấp phần tử g kí hiệu |g| Nếu g   ta nói g có cấp hữu hạn, ngược lại ta nói g có cấp vô hạn 1.1.3.2 Định lý cho G nhóm g  G Khi đó: i) Phần tử g có cấp hữu hạn tồn m, n  , m  n cho g m  g n   ii) Nếu g có cấp hữu hạn d  g  e, g , g , , g d 1 iii) Nếu phần tử g có cấp hữu hạn d d số nguyên dương nhỏ cho g d  e iv) Nếu g có cấp hữu hạn d g n  e d ước n v) Nếu g có cấp n g m  n ,m  m, n  1.2 Nhóm hữu hạn 1.2.1 Một số định lý 1.2.1.1 Định lý đẳng cấu a Mệnh đề Nếu ánh xạ f : X  Y đồng cấu nhóm X biệt f toàn cấu X Kerf Kerf  Im f Đặc  Y b Định lý đẳng cấu thứ Cho G nhóm, H nhóm G K nhóm chuẩn tắc G Khi HK K H H K GVHD: Th.S Võ Văn Minh SVTH: Huỳnh Minh Tú c Định lý đẳng cấu thứ hai Giả sử H K nhóm chuẩn tắc nhóm G cho H  K Khi X K   X / H  K / H 1.2.1.2 Định lý Lagrange Giả sử H nhóm nhóm hữu hạn G, cấp (số phần tử) G chia hết cho cấp H 1.2.1.3 Định lý Cayley Mọi nhóm hữu hạn G cấp n đẳng cấu với nhóm nhóm Sn Chứng minh Với g  G Xét ánh xạ g : G  G x gx Giả sử gx  gx ' x  x ' Do g đơn ánh Với y  G tồn   phần tử x  g 1 y , ta có g  x   g g 1 y  gg 1 y  y Vậy g song ánh nên g  SG Xét ánh xạ: f : G  SG g g Ta chứng minh f đồng cấu nhóm Do theo mệnh đề 1.2.1.1 G Kerf  Im f   Mặt khác ta có Ker f  g  G | g    g  G | gx, x  G  1 Vậy G  Im f Do Imf nhóm nhóm S G nên ta có điều phải chứng minh 1.2.2 Nhóm đối xứng Nhắc lại với tập X, tập S  X  song ánh từ X đến X với phép hợp thành ánh xạ nhóm Nhóm S  X  gọi nhóm đối xứng X hay nhóm phép X Khi X có n phần tử nhóm đối xứng X kí hiệu S n Chú ý cấp S n n! Và phần tử S n đồng với song ánh từ tập 1, 2, , n đến Với s  S n s  i   với i  1, , n ta viết GVHD: Th.S Võ Văn Minh SVTH: Huỳnh Minh Tú 1 s  a1 n  an  a2 Định lý sau cho ta ý nghĩa nhóm đối xứng lý thuyết nhóm tổng quát 1.2.2.1 Định lý (Cayley, 1878) Mọi nhóm nhúng vào nhóm đối xứng Chứng minh Cho G nhóm, gọi S  G  nhóm đối xứng G Với X  G , kí hiệu g x ánh xạ từ G đến G xác định g x  y   xy, y  G Vì x quy nên g x đơn ánh.Với y  G , ta có g x  x 1 y   y Do g x toàn ánh.Vì ta có ánh xạ  : G  S  G  cho   x   g x , x  G Với x1 , x2  G ta có g x x  y    x1 x2  y  x1  x2 y   g x  x2 y   g x  g x  y    g x g x  y  1 2 Với y  G Vì g x x  g x g x , tức   x1 x2     x1    x2  Do 2  đồng cấu nhóm Giả sử x1 , x2  G thỏa mãn   x1     x2  Khi g x  g x Suy g x  e   g x  e  Do x1e  x2 e , hay x1  x2 Vậy  đơn 1 2 cấu, tức G nhúng vào S(G) Phần trình bày tính chất nhóm đối xứng S n 1.2.2.2 Định nghĩa Phép s  S n gọi chu trình độ dài k (hay xích độ dài k) có số a1 , , ak  1, 2, , n cho s  a1   a2 , , s  ak 1   ak , s  ak   a1 s  a   a với a  a1 , , ak  Khi ta viết s   a1 , a2 , , ak  Tập a1 , , ak  gọi tập xích s Hai xích s, s '  Sn gọi độc lập tập chúng rời Ta kí hiệu ánh xạ đồng e quy ước e xích có độ dài với tập gồm phần tử tùy ý 1.2.2.3 Định lý Mỗi phép s  S n viết thành tích xích độc lập GVHD: Th.S Võ Văn Minh SVTH: Huỳnh Minh Tú Chứng minh (quy nạp theo n) Rõ ràng định lý n = Cho n > s  S n Trường hợp s  e hiển nhiên Cho s  e Gọi a1 số bé cho s  a1   a1 Đặt a2  s  a1  Giả sử a1 , , ak số phân biệt cho s  a1   a2 ,s  a2   a3 , ,s  ak 1   ak s  ak   a1 , , ak 1  Do s song ánh nên s  ak   a1 Kí hiệu S xích  a , , a   S k n Đặt X  1, 2, , n / a1 , , ak  Vì s song ánh nên s  a   X với a  X Vì ánh xạ r : X  X xác định r  a   s  a  phép X Khi đó, theo giả thiết quy nạp, r  r1 rt , ri  S  X  xích độc lập Với i  1, , t , kí hiệu si  S n xác định si  a   ri  a  với a  X si  a   a với a  X si  a   a với a  X Khi xích s0 , s1 , , st độc lập s  s0 s1 st 1.2.2.4 Chú ý Cho s  S n Giả sử s  s1 st phân tích s thành tích xích độc lập Nếu ta yêu cầu phân tích có tính chất a1  a2   at , phần tử bé tập si với i = 1, ,t rõ ràng phân tích s không kể đến nhân tử xích độ dài 1.2.2.5 Ví dụ Dưới ta viết phần tử nhóm đối xứng S dạng tích xích độc lập: S = {e, (1, 2, 3, 4), (1, 2, 4, 3), (1, 3, 2, 4), (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (1, 4, 3, 2), (12)(34), (13)(24), (14)(23), (1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 2, 4), (1, 4, 2), (1, 3, 4), (1, 4, 3), (2, 3, 4), (2, 4, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 3), (1, 4), (2, 4), (3, 4)} 1.2.2.6 Ví dụ Trong nhóm đối xứng S8 , ta có  12345678   25671348   125 36  47    Nhận xét rằng, nhóm đối xứng S n , xích độ dài k có cấp k Vì ta có kết sau GVHD: Th.S Võ Văn Minh SVTH: Huỳnh Minh Tú 1.2.2.7 Hệ Cho s  S n Giả sử s  s1 st biểu diễn s thành tích xích độc lập Khi cấp s bội chung nhỏ độ dài xích s1 , , st 1.2.2.8 Định nghĩa Mỗi xích độ dài nhóm đối xứng S n gọi chuyển trí hay phép đối xứng sơ cấp 1.2.2.9 Mệnh đề Mỗi phép s  S n tích chuyển trí Vì S n sinh chuyển trí Chứng minh Theo định lý 1.2.2.3, phép S n tích vong xích độc lập Do ta cần chứng minh xích S n tích chuyển trí Giả sử  a1 , a2 , , ak   Sn xích Khi ta có phân tích  a , a , , a    a , a  a , a   a k 2 k 1 , ak  , tức  a1 , a2 , , ak  tích chuyển trí Xét nhóm đối xứng S n Với s  S n ta đặt sgn  S   Trong  n  s  n  , n   j  i 1 i  j  n s   n     s  j   s  i   Với ( i, j ) i i  j  n cho  i  j  n , thừa số j – i phải xuất lần tích  n Vì s song ánh nên tồn cặp k , t  1, 2, , n cho s  k   i, s  t   j Do j  i  s  t   s  k  t > k   j  i   s  k   s  t  k > t Vì có thừa số j – i – (j – i) xuất lần tích s   n  Suy sgn  s   sgn  s   1 1.2.2.10 Định nghĩa Nếu sgn  s   s gọi phép chẵn Nếu sgn  s   1 s gọi phép lẻ Ta gọi sgn  s  dấu s 1.2.2.11 Bổ đề Xét nhóm {1,- 1} với phép nhân thông thường Khi ánh xạ  : Sn  1, 1 xác định   s   sgn  s  đồng cấu nhóm Chứng minh Cho s, r  Sn Ta có GVHD: Th.S Võ Văn Minh SVTH: Huỳnh Minh Tú r  s  j   r  s i  rs  j   rs  i  s  j   s i      j i s  j   s  i  i i  j  n j i i i  j  n i i  j  n Vì sgn  rs   sgn  r  sgn  s  , tức   rs     r    s  Gọi An tập phép chẵn S n Khi An  Ker ,  đồng cấu nhóm xác định bổ đề 1.2.2.11 Vì An nhóm chuẩn tắc S n Nhóm An gọi nhóm thay phiên n phần tử 1.2.2.12 Mệnh đề Cho n  Khi nhóm thay phiên An nhóm chuẩn tắc S n với số cấp n!/ Chứng minh Rõ ràng An  An e lớp ghép trái An Lấy s  S n phép lẻ (chẳng hạn s  12  ) Ta chứng minh lớp ghép An s tập phép lẻ Cho xs  An s , x  An Theo bổ đề 1.2.2.11, sgn  xs   sgn  x  sgn  s   1 1  1 Vì xs phép lẻ Ngược lại giả sử x  S n phép lẻ Vì s phép lẻ nên ta có  sgn  e   sgn  s 1s   sgn  s 1  sgn  s    sgn  s 1  Suy sgn  s 1   1 Do sgn  xs 1    1 1  1, tức xs 1  An Suy x   xs 1  s  An s Vậy An có lớp ghép trái (lớp ghép An e gồm tất ghép chẵn, lớp ghép An s gồm tất phép lẻ) Do An có số có cấp n!/ Cho s  S n Một nghịch s cặp i, j  1, 2, , n cho i < j s  i   s  j  1.2.2.13 Mệnh đề Cho s  S n Nếu số nghịch s chẵn (lẻ) s phép chẵn (lẻ) Chưng minh Cho i, j  1, 2, , n , i  j Nếu i, j nghịch thừa số s  j   s  i  s   n  khác đấu với thừa số  n , số i, j không nghịch s  j   s  i  thừa số tương ứng  n , i, j không GVHD: Th.S Võ Văn Minh SVTH: Huỳnh Minh Tú nghịch s  j   s  i  thừa số tương ứng  n Vì s phép chẵn (lẻ) s chẵn (lẻ) Theo định lý 1.2.2.3, phép tích xích độc lập Vì việc kiểm tra tính chẵn, lẻ xích điều cần thiết 1.2.2.14 Mệnh đề Cho s   a1 , a2 , ,a k   Sn xích độ dài k Nếu k số lẻ (chẵn) s phép chẵn (lẻ) Chứng minh Chú ý s   a1 , a2  a2 , a3   ak 1 , ak  Do đo s tích k – phép chuyển trí Ta chứng minh chuyển trí phép lẻ Giả sử r   a, b   Sn chuyển trí Cho i, j  1, 2, , n , i  j Nếu i  a j  b i, j không nghịch r Do nghịch r a, a  t với t  1, , b  a , a  t, b với t  1, , b  a  Vì r có  b  a   nghịch Theo bổ đề 1.2.2.13, r phép lẻ Sử dụng bổ đề 1.2.2.11, ta có sgn  s    sgn   , 1     1 k 1 Vì ta có kết 1.2.2.15 Ví dụ Trong nhóm đối xứng S8 , xét phép s,  12345678  s   25671348  Ta có s  1, 2,5 3,6  4,7  Theo mệnh đề 1.2.2.14, 1, 2,5 phép chẵn  3,   4,  phép lẻ Do đó, theo bổ đề 1.2.2.11, sgn  s   1 1 1  Vì s phép chẵn GVHD: Th.S Võ Văn Minh SVTH: Huỳnh Minh Tú Chương TÁC ĐỘNG CỦA NHÓM LÊN TẬP HỢP 2.1 Cái khái niệm mệnh đề 2.1.1 Định nghĩa Cho X tập hợp khác rỗng G nhóm Một tác động trái nhóm G lên tập X ánh xạ *: G  S  S  g, x  g*x Ta kí hiệu  g , x   G  X g*x ta có i) g1 *  g * x    g1 g  * x với g1 , g  G, x  X ii) e * x  e với x  X , e đơn vị G Hoàn toàn tương tự, có khái niệm tác động phải Khi có tác động trái từ G lên X ta nói X G-tập, ảnh phần tử  g, x  G  X qua tác động kí hiệu g*x Từ trở xét tác động trái, để thuận tiện ta gọi chúng tác động 2.1.2 Ví dụ i) Cho G = R*, nhóm phép nhân với số thực thông thường, X tập hợp vectơ không gian ba chiều Với g  G , x  X Khi ánh xạ *: G  X  X  g, x g * x  gx tác động nhóm G lên tập X ii) Cho G nhóm X tập khác rỗng Với g  G, x  X Khi ánh xạ: *: G  X  X  g, x  g *x  x Xác định tác động nhóm G lên tập X ta gọi tác động tầm thường iii) Cho G nhóm Với g , a  G Khi ánh xạ *: G  G  G  g, a  g * a  gag 1 tác động G lên với gag 1 liên hợp a g 10 GVHD: Th.S Võ Văn Minh SVTH: Huỳnh Minh Tú Chương BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 3.1 Cho G nhóm đơn có nhóm H có số n G Chứng minh G nhóm hữu hạn |G|| n! Giải Đặt X  xH x  G Khi X  G : H  n Với g  G ta xét g:X X tương ứng: xH g  xH   gxH Ta dễ dàng kiểm tra g song ánh Suy g  S X Xét đồng cấu f : G  SX g Ta có Kerf g G Theo giả thiết G nhóm đơn nên suy Kerf={1} Kerf = G Nếu Kerf = G g  1X g  G Suy gH = H, g  G  x  G, g  G  G  H Điều mâu thuẫn theo giả thiết [G:H] = n > Vậy Kerf = {1} hay f đơn cấu Suy G  f  G   S X Suy |G|| n! Bài 3.2 Chứng minh nhóm cấp p n (n > 1) cấp pq với p  q không nhóm đơn Giải Lấy G nhóm có cấp p n (n > 1) Giả sử G nhóm đơn Theo định lý Sylow tồn p- nhóm H G có cấp p n 1 Khi [G: H] = p > Theo |G| | p! hay pn | p! Điều vô lý với p > Lấy G nhóm có cấp pq với p, q số nguyên tố khác Không tính tổng quát ta giả sử p < q Gọi nq số q- nhóm Sylow G Theo định lý Sylow ta có: nq | p  Suy n p   n  mod q   p  20 GVHD: Th.S Võ Văn Minh SVTH: Huỳnh Minh Tú Gọi H q- nhóm Sylow G Theo hệ 2.4.6 H nhóm chuẩn tắc thực G Do G không nhóm đơn.(đpcm) Bài 3.3 Chứng minh nhóm cấp p2 q không nhóm đơn, với p, q hai số nguyên tố khác Giải Lấy G nhóm có cấp p2 q Giả sử G nhóm đơn Gợi n p , nq số p- nhóm Sylow q nhóm Sylow G Nếu np nq ta có điều phải chứng minh Xét trường hợp n p , nq lớn Khi theo định lý Sylow ta có: np | q  n p  q    n p  1 mod p   q  p nq | q   nq  p  nq  1 mod q  Nếu Q1 Q2 có cấp q Q1  Q2 Q1  Q2  1 Suy số phần tử G có cấp q p  q  1  p q  p Suy số phần tử G cấp q p Do np = mâu thuẫn Vậy G không nhóm đơn (đpcm) Bài 3.4.Chứng minh nhóm cấp pqr không nhóm đơn, với p, q, r số nguyên tố đôi khác Giải Lấy G nhóm cấp pqr, giả sử G nhóm đơn Không tính tổng quát ta giả sử p < q < r Gọi n p , nq , nr số p- nhóm Sylow, q- nhóm Sylow, r- nhóm Sylow G Tương tự ta xét trường hợp n p , nq , nr lớn Theo định lý Sylow ta có:  nr | pq  nr  pq  nr  q (mod r ) n p | pr  nq  pr   nq  r  n p  1 mod q   nq  r n p | qr  n p  qr   np  q  n  mod p n  q    p  p 21 GVHD: Th.S Võ Văn Minh Suy ra: Số phần tử cấp r pq( r – 1) SVTH: Huỳnh Minh Tú Số phần tử cấp q r( q – 1) Số phần tử cấp p q( p – 1) Vậy số phần tử G phải là: pq( r – 1) + r( q – 1) + q( p – 1) = pqr + ( r – 1)( q – 1) – > pqr Điều mâu thuẫn với giả thiết |G| = pqr Vậy G không nhóm đơn.(đpcm) Bài 3.5 Chứng minh nhóm cấp 24, 36 không nhóm đơn Giải Lấy G nhóm cấp 24  233 Giả sử G nhóm đơn Gọi n2 , n3 số 2- nhóm Sylow 3- nhóm Sylow G, n2 n3 lớn Theo định lý Sylow ta có: n3 |   n2   n  mod    Gọi K – nhóm Sylow G Khi đó: G : NG  K   n3  Cũng theo |G| | 4! ( vô lí) Vậy G không nhóm đơn.(đpcm) Bài 3.6 Chứng minh nhóm cấp 56 không nhóm đơn Giải Lấy G nhóm cấp 56  237 Giả sử G nhóm đơn Gọi n2 , n7 số – nhóm Sylow 7– nhóm Sylow G, n2 n7 lớn Theo định lý Sylow ta có: n7 |   n7   n  mod    Suy : Số phần tử cấp 8( – 1) = 48 Số phần tử cấp khác 56  48   23 Suy n2  ( mâu thuẫn với n2  ) Vậy G không nhóm đơn (đpcm) Bài 3.7 Chứng minh nhóm cấp 72, 80, 96, 108, 150, 154, 160 không nhóm đơn Giải 22 GVHD: Th.S Võ Văn Minh SVTH: Huỳnh Minh Tú * Lấy G nhóm cấp 72  2332 Giả sử G nhóm đơn Gọi n3 số – nhóm Sylow G, n3  Theo định lý Sylow ta có: n3 |   n3   n3  1 mod 3 Gọi H 3– nhóm Sylow G Khi đó: G : NG  H   n3  Theo |G| | 4! ( vô lí) Vậy G không nhóm đơn * Lấy G nhóm cấp 80  245 Giả sử G nhóm đơn Gọi n2 , n5 số – nhóm Sylow – nhóm Sylow G, n2 n5 lớn Theo định lý Sylow ta có: n5 |16   n5  16  n  mod    Suy ra: Số phần tử cấp G 16( – 1) = 64 Số phần tử cấp khác 80  245 Suy n2  Điều mâu thuẫn với n2  Vậy G không nhóm đơn * Lấy G nhóm cấp 96  253 Giả sử G nhóm đơn Gọi n2 số 2– nhóm Sylow G, n2  Theo định lý Sylow thì: n2 |   n2   n2  1 mod  Gọi H – nhóm Sylow G Khi đó: G : NG  H   n2  Theo |G| = 96 | 3! ( vô lí) Vậy G không nhóm đơn Tương tự ta có nhóm cấp 108, 150 160 không nhóm đơn * Lấy G nhóm cấp 154 = 2.7.11 Giả sử G nhóm đơn Gọi n11 số 11 – nhóm Sylow G Khi theo định lý Sylow thì: n11 |14   n11  Vậy G có 11 – nhóm Sylow  n  mod11    11 23 GVHD: Th.S Võ Văn Minh SVTH: Huỳnh Minh Tú Theo hệ 2.4.6 G có nhóm chuẩn tắc thật Điều mâu thuẫn với giả thiết G nhóm đơn Vậy G không nhóm đơn.(đpcm) Bài 3.8 Chứng minh nhóm cấp 132 không nhóm đơn Giải Lấy G nhóm cấp 132  223.11 Giả sử G nhóm đơn Gọi n2 , n3 , n11 số 2– nhóm Sylow, 3– nhóm Sylow 11– nhóm Sylow G Ta xét trường hợp n2 , n3 , n11 lớn Theo định lý Sylow thì: n11 |12   n11  12  n  mod11   11  Suy ra: Số phần tử cấp 11 12( 11 – 1) = 120 Số phần tử cấp khác 11 132 – 120 = 12 Mặt khác: n3 | 44   n3  n3  22  n3  1 mod 3 Nếu n3  22 số phần tử cấp 22( – 1) = 44 > 12 Vậy n3  Suy số phần tử cấp 4(3–1)=8 Do số phần tử cấp khác 11 132 – 120  8   22 Từ ta n2  Điều mâu thuẫn với n2  Vậy G không nhóm đơn.(đpcm) Bài 3.9 Chứng minh nhóm cấp 144 không nhóm đơn Giải Lấy G nhóm cấp144  2432 Giả sử G nhóm đơn Gọi n2 , n3 số – nhóm Sylow – nhóm Sylow G, n2 , n3 lớn Theo định lý Sylow ta có n3 |16   n3  16 n3   n  mod    Nếu n3  Gọi H – nhóm Sylow G Khi đó: [G : NG  H ]  n3  Theo |G| = 144 | 4! ( vô lí) 24 GVHD: Th.S Võ Văn Minh Nếu n3  16 ta xét trường hợp sau: SVTH: Huỳnh Minh Tú a) Hai 3– nhóm Sylow giao {1} Khi số phần tử có cấp là 16( – 1) = 128 Suy số phần tử có cấp khác khác 144 – 128 = 16 Vậy ta phải có n2  Mâu thuẫn với n2  b) Tồn hai – nhóm Sylow P Q cho P  Q  T , với |T| = Khi ta có: Q  P  32 Ta có P Q nhóm Abel Do nhóm nhóm Abel nhóm chuẩn tắc nên T Q T P Ta có P, Q nhóm NG T  suy NG T   18 NG T   P  NG T   Q , trái với giả thiết P  Q Ta lại có NG T  nhóm G nên | NG T  ||| G | 144 Vậy NG T  18,36,72,144 Nếu NG T   18  2.32 Ta chứng minh NG T  có 3-nhóm Sylow Điều mâu thuẫn P Q nhóm Sylow phân biệt NG T  Nếu NG T   36  2232 G : NG T   Theo |G| | 4! Vô lí Nếu NG T   72  2332 G : NG T   Theo |G| = 144 | 2! Vô lí Nếu NG T   144 NG T   G Khi H nhóm chuẩn tắc thật NG T  nhóm chuẩn tắc thật G Mâu thuẫn với G nhóm đơn Vậy G không nhóm đơn.(đpcm) Bài 3.10 Tìm tất 2- nhóm Sylow nhóm S Giải Gọi P – nhóm Sylow nhóm S Do S4  4!  24  23.3 nên P  23  Ta chọn P = < (1, 2, 3, 4), (1, 4)(2, 3)> Các – nhóm Sylow lại liên hợp với P Gọi n2 số – nhóm Sylow S Theo định lý Sylow thì: 25 GVHD: Th.S Võ Văn Minh SVTH: Huỳnh Minh Tú n2 |   n2  n2   n2  1 mod  Nếu n2  P nhóm chuẩn tắc S Điều không Vậy n2  Khi – nhóm Sylow S là: P, (1, 2, 3)P(1, 2, 3)-1, (1, 2, 3)2P(1, 2, 3)-2.(đpcm) Bài 3.11 Cho G nhóm G  p n q , với p, q số nguyên tố phân biệt Giả sử Q q- nhóm Sylow G cho NG  Q   Q Chứng minh P p- nhóm Sylow G P nhóm chuẩn tắc G Giải Gọi nq số q – nhóm Sylow G, nq số p – nhóm Sylow G Khi nq  [G : N G  Q   G : Q ]  p n Suy số phần tử cấp q G n p  q – 1  p n  q – 1  p n q – p n Vậy số phần tử có cấp khác q p n Do n p  hay P nhóm Sylow G Theo hệ 2.4.6 P nhóm chuẩn tắc G.(đpcm) Bài 3.12 Chứng minh nhóm cấp 42 có nhóm chuẩn tắc cấp Giải Lấy G nhóm có cấp 42 = 2.3.7 Gọi n7 số – nhóm Sylow G Theo định lý Sylow n7 |   n7   n  mod    Vậy G có – nhóm Sylow Gọi P – nhóm Sylow nhóm G Theo hệ 2.4.6 P nhóm chuẩn tắc cấp G.(đpcm) 26 GVHD: Th.S Võ Văn Minh SVTH: Huỳnh Minh Tú Bài 3.13 Giả sử P p- nhóm Sylow G Chứng minh P p- nhóm Sylow NG  P  Hơn NG  NG  P    NG  P  Giải Ta có P nhóm NG  P  Theo giả thiết P p- nhóm Sylow G nên P P nhóm Sylow G Suy P nhóm chuẩn tắc NG  P  Theo hệ 2.4.6 ta suy P nhóm Sylow NG  P  Ta chứng minh NG  NG  P    NG  P  Hiển nhiên NG  P   NG  NG  P   Giả sử x  NG  NG  P   Khi xPx1 p- nhóm Sylow NG  P  Theo chứng minh P p- nhóm Sylow NG  P  Vậy xPx1  P hay x  NG  P  Vậy NG  NG  P    NG  P  Suy NG  NG  P    NG  P  Bài 3.14 Cho G nhóm đơn |G| = 60 Chứng minh G  A5 Tương tự với G nhóm cấp 12 Giải Ta có 60  223.5 Gọi n2 số 2- nhóm Sylow G Khi theo định lý Sylow thì: n2 |15   n2  3,5,15  n2  1 mod  Nếu n2  Gọi P – nhóm Sylow G Khi G : NG  P   n2  Theo |G| = 60| 3! Vô lí Nếu n2  Đặt H  NG  P  Với g  G xét ánh xạ: g :G / H G / H xH gxH Ta chứng minh g song ánh 27 GVHD: Th.S Võ Văn Minh SVTH: Huỳnh Minh Tú Vậy g  SG / H Xét tiếp ánh xạ: f : G  SG / H g g Ta có Kerf  { g  G | g  1}  1 Vậy f đơn ánh Suy G  f  G   SG / H  S5 Mặt khác theo giả thiết |G| = 60 nên G  A5 Nếu n2  15 số phần tử cấp G 15(4 – 1) = 15 Suy số phần tử cấp khác G 60 – 45 = 15 Gọi n5 số 5- nhóm Sylow G Theo định lý Sylow thì: n5 |12   n5  n5   n  mod    Nếu n5  số phần tử cấp G 6(5 – 1) = 24 > 15 Vậy n5  Gọi Q nhóm Sylow G Q nhóm chuẩn tắc thật G Mâu thuẫn với G nhóm đơn Vậy G  A5 (đpcm) Bài 3.15 Cho tác động nhóm G lên tập X Với g  G x  X Chứng minh fix  ghg 1   gfix  h  , với h  G Giải Giả sử x  gfix  h   g 1 * x  fix  h   h * ( g 1 * x)  g 1 * x  ( ghg 1 ) * x  x  x  fix( ghg 1 ) Ngược lại giả sử x  fix( ghg 1 )  ( ghg 1 ) * x  x  h * ( g 1 * x)  g 1 * x  g 1 * x  fix  h   x  gfix  h  Vậy fix( ghg 1 )  gfix  h  (đpcm) Bài 3.16 Cho tác động nhóm G lên tập X H nhóm G Chứng minh với x  X G*x = H*x G  HGx Với : H * x  { h * x | h  H } 28 GVHD: Th.S Võ Văn Minh Giải SVTH: Huỳnh Minh Tú Giả sử G  HGx Khi đó: G * x  ( HGx ) * x  H * (Gx * x) Mặt khác ta có: Gx * x  {g * x | g  Gx }   g*x| g * x  x  x Vậy H * (GX * x)  H * x Suy G*x = H*x Ngược lại giả sử G*x = H*x Lấy g  G g * x  G * x  H * x Suy tồn h  H cho g * x  h * x Suy (h1 g ) * x  x hay h1 g  Gx Suy G  HGx Hiển nhiên HGx  G Vậy G  HGx Suy điều phải chứng minh Bài 3.17 Cho G nhóm, H nhóm G Đặt X tập hợp tất lớp ghép trái G theo nhóm H Với g  G lập ánh xạ: g:X X xH Xét gxH Ta chứng minh g  S X  : G  SX g g Chứng minh Ker  gHg 1 Hơn Ker nhóm chuẩn g G tắc lớn G chứa H Giải Giả sử g  Ker suy g  1S X  gxH  xH , x  G  g  xHx1 , x  G  g  gHg 1 g G Ker nhóm chuẩn tắc lớn G chứa H suy gHg 1 g G nhóm chuẩn tắc lớn G chứa H Suy điều phải chứng minh Bài 3.18 Cho G nhóm có cấp n X tập hợp gồm k phần tử  k   cho n không ước k! Xét tác động G lên nhóm X (không phải 29 GVHD: Th.S Võ Văn Minh SVTH: Huỳnh Minh Tú tác động bình thường) Chứng minh G có nhóm chuẩn rắc thật nói khác G nhóm đơn Giải Xét tác động nhóm G lên tập X thông qua đồng cấu  với:  : G  SX Ta có Ker nhóm chuẩn tắc G Theo định lý đẳng cấu G / Ker  Im Nếu Ker  1 G  Im   S X Do n | G ||| S X | k ! Điều mâu thuẫn với giả thiết n không ước k! Vậy Ker  1 hay Ker nhóm chuẩn tắc thực G hay G không nhóm đơn Bài 3.19 Cho G nhóm cấp p r với p số nguyên tố Xét tác động G lên nhóm X Đặt: S  {x  X | g * x  x với g  G} Hay ta gọi S tập hợp tất phần tử X cố định G Chứng minh rằng: X  S  mod p  Giải Với x  S G * x   g * x | g  G  x Vậy S  G * x với G * x  Do theo công thức khai triển thành quỹ đạo x X X ta được: X S  G*x x1  X i , với G * xi  Mặt khác ta lại có | G * x ||| G | hay G * x  p i với i  r Suy ra:  G * x   mod p  x X Vậy X  S  mod p  Suy điều phải chứng minh Bài 3.20 cho G nhóm cấp 275 X tập hợp gồm 18 phần tử Xét tác động nhóm G lên tập X Hỏi có quỹ đạo có độ dài 30 GVHD: Th.S Võ Văn Minh Giải SVTH: Huỳnh Minh Tú Ta có 275  52.11 Ta có: X a  G*x xi  X Suy a  X   G*x xi  X với G * xi  1, a số quỹ đạo có độ dài i i  18   bi i Với bi | 275  bi  X  18 Suy bi  5,11 Do a  18    11  Vậy có quỹ đạo có độ dài 31 GVHD: Th.S Võ Văn Minh SVTH: Huỳnh Minh Tú KẾT LUẬN Đề tài phần trình bày lý thuyết tập áp dụng tác động nhóm lên tập hợp Em hi vọng tiểu luận giúp bạn hiểu sâu tác động nhóm lên tập hợp trở thành tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn sinh viên Em xin trân thành cảm ơn 32 GVHD: Th.S Võ Văn Minh SVTH: Huỳnh Minh Tú TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999) , Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục [2] Hoàng Xuân Sính (1997) , Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục [3] Jean- Marie Monier (2006) , Giáo trình toán – Tập 6, đại số 2, Nhà xuất giáo dục 33 GVHD: Th.S Võ Văn Minh SVTH: Huỳnh Minh Tú MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Nội dung nghiên cứu NỘI DUNG Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhóm 1.1.1 Khái niệm nhóm nhóm 1.1.2 Nhóm chuẩn tắc 1.1.3 Cấp nhóm 1.2 Nhóm hữu hạn 1.2.1 Một số định lý 1.2.1.1 Định lý đẳng cấu 1.2.1.2 Định lý Lagrange 1.2.1.3 Định lý Cayley 1.2.2 Nhóm đối xứng Chương TÁC ĐỘNG CỦA NHÓM LÊN TẬP HỢP 10 2.1 Cái khái niệm mệnh đề 10 2.2 Công thức lớp 12 2.3 Một số tác động đặc biệt khác 15 2.3.1 Tác động trung thành 15 2.3.2 Tác động bắc cầu 16 2.3.3 Tác động nguyên thủy 17 2.4 Nhóm Sylow 18 Chương BÀI TẬP ÁP DỤNG 20 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 [...]... Vậy * là một tác động bắc cầu của N lên tập X ii) Cho H là nhóm con của nhóm G, khi đó ánh xạ *: H  G  G  h, g  h * g  hg Là một tác động trung thành của H lên G Thậy vậy: Nếu g  G, h * g  g  g  G, hg  g  g  1 Vậy * là tác động trung thành của H lên G 2.3.2 Tác động bắc cầu 2.3.2.1 Định nghĩa Cho * là tác động của nhóm G lên tập X Khi đó tác động của G lên X được gọi là tác động bắc cầu... LUẬN Đề tài đã phần nào trình bày được các lý thuyết và bài tập áp dụng tác động của nhóm lên một tập hợp Em hi vọng bài tiểu luận này sẽ giúp các bạn hiểu sâu hơn về tác động của nhóm lên tập hợp cũng như trở thành tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn sinh viên Em xin trân thành cảm ơn 32 GVHD: Th.S Võ Văn Minh SVTH: Huỳnh Minh Tú TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999) , Đại số đại cương, ... kết của g là đồng cấu từ G đến nhóm đối xứng của X, tuy nhiên nó không nhất thiết là đơn cấu Hạt nhân tác ddonhj này là hạt nhân của đồng cấu nhóm từ G đến nhóm đối xứng X ( ứng với tác động đó) Như chúng ta vừa thấy, mỗi tác động của nhóm G lên tập X cho ta một đồng cấu từ G đến nhóm các phép thế của X Mệnh đề sau đây chỉ ra điều ngược lại cũng đúng 2.1.4 Mệnh đề Cho X là một tập hợp và S X là nhóm. .. 2.4 Nhóm con Sylow Trong phần này ta sẽ sử dụng lý thuyết về tác động nhóm lên tập hợp để chứng minh định lý có rất nhiếu ứng dụng là định lý Sylow Từ định lý Lagrange nếu H  G G hữu hạn thì H là ước của G 2.4.1 Định nghĩa Giả sử p là một số nguyên tố Nhóm H được gọi là p- nhóm nếu cấp của nó là một lũy thừa của p Nhóm H được gọi là p- nhóm con của G nếu H  G , H là p- nhóm Nhóm H được gọi là p- nhóm. .. Cho * là tác động của nhóm G lên tập X Tác động * được gọi là tác động trung thành nếu x  X , g * x  x thì g = 1 15 GVHD: Th.S Võ Văn Minh 2.3.1.2 Ví dụ SVTH: Huỳnh Minh Tú i) Mỗi nhóm con của nhóm Sn tác động trung thành lên X  1, 2,, n Thật vậy: Giả sử N là một nhóm con của Sn Xét ánh xạ: *: N  X  X  f , x f * x  f  x Dễ dàng chứng minh được * là một tác động của N lên X Khi đó Với f... 1 xH )  x ' H iii) Đặt G là nhóm các phép quay đối với một đa giác đều Gọi X là tập hợp tất cả các đỉnh, Y là tập hợp tất cả các cạnh của đa giác đều Khi đó G tác động bắc cầu lên X và Y hay ta nói X và Y là các G- tập iv) Đặt G là nhóm các phép quay đối với hình lập phương Gọi X là tập hợp tất cả các đỉnh, Y là tập hợp tất cả các cạnh, Z là tập hợp tất cả các mặt của hình lập phương Khi đó ta cũng...  , với mọi g  G 2.3.3.3 Định nghĩa Tác động của nhóm G lên tập X được gọi là tác động nguyên thủy nếu G chỉ ổn định 2 phân hoạch tầm thường  1 và  2 của X 2.3.3.4 Mệnh đề Cho tác động của nhóm G lên tập X Khi đó tác động của G lên tập X không phải là tác động nguyên thủy khi và chỉ khi tồn tại một tập con A thật sự của X chứa ít nhất 2 phần tử sao cho: Với mỗi g  G thì g * A  A hoặc g * A  A... Trong định lý 1.2.2.1 của Cayley, nhóm G tác động lên chính nó theo nghĩa mỗi x  G , có một ánh xạ g x : G  G cho ứng phần tử xy Chú ý rằng g x là một phép thế của G và ánh xạ cho ứng x với phép thế g x là một đơn cấu từ G đến nhóm đối xứng S(G) Cũng giống như định lý Cayley, cho * là tác động của nhóm G lên tập X nào đó với mọi g  G , ánh xạ liên kết của g vẫn là một phép thế của X Hơn nữa ánh xạ...  g  G | g * x  x  G iii) Xét tác động của G lên chính nó bằng phép liên hợp: g* a  gag 1 với mọi g , a  G Với a  G , quỹ đạo của a là Ga  g* a | g  G   gag 1 | g  G Nhóm con đẳng hướng ứng với a là Ga   g  G | gag 1  a   g  G | ga  ag  iv) Kí hiệu X là tập các nhóm con của một nhóm G Xét tác động của nhóm G lên tập X bằng phép liên hợp: g * H  gHg 1 với mọi g  G và... y = g*x Khi đó X được gọi là một G- tập thuần nhất 2.3.2.2 Ví dụ i) Nhóm Sn tác động bắc cầu lên tập X   1, 2,, n Thật vậy: Với i, j  X thì luôn tồn tại f  Sn sao cho f(i) = j Hay X là một Sn -tập ii) Cho H là nhóm con của G, khi đó G tác động bắc cầu lên G/H Thật vậy: Xét ánh xạ: * : GG / H G / H  g , xH  g * xH  gxH Ta chứng minh được * là tác động của G lên G/H 16 GVHD: Th.S Võ Văn ... Minh SVTH: Huỳnh Minh Tú Chương TÁC ĐỘNG CỦA NHÓM LÊN TẬP HỢP 2.1 Cái khái niệm mệnh đề 2.1.1 Định nghĩa Cho X tập hợp khác rỗng G nhóm Một tác động trái nhóm G lên tập X ánh xạ *: G  S  S  g,... nghĩa Cho * tác động nhóm G lên tập X Khi tác động G lên X gọi tác động bắc cầu với x, y  X tồn phần tử g  G cho y = g*x Khi X gọi G- tập 2.3.2.2 Ví dụ i) Nhóm Sn tác động bắc cầu lên tập X  ... Minh Tú KẾT LUẬN Đề tài phần trình bày lý thuyết tập áp dụng tác động nhóm lên tập hợp Em hi vọng tiểu luận giúp bạn hiểu sâu tác động nhóm lên tập hợp trở thành tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn