Chuẩn hóa tọa độ NGUYỄN TIẾN CHINH

NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN - DEMO CHUẨN HÓA TỌA ĐỘ NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CHUẨN HÓA TỌA ĐỘ KỸ THUẬT I: CHUẨN HÓA TỌA ĐỘ CÁC BƯỚC GIẢI TOÁN: Đọc đề, phân tích kiện - Tìm điểm tập trung Phán đoán mối quan hệ điểm (góc có tìm không? Có vuông góc ?) Tìm giải pháp chứng minh phán đoán ( nhớ loại bỏ bớt phán đoán) Trình bày tìm “ đầu mối ” toán Tìm yếu tố lại: Chú Ý: bước - phán đoán chứng minh phán đoán vô quan trọng,nó định em giải toán hay không?muốn làm điều tốt em cần phải rèn luyện nhiều toán để có nhiều kinh nghiệm nhé: - Để CM phán đoán dùng phương pháp sau: CM hình học túy - thường nhanh hợp với em vững kiến thức Phương pháp véc tơ Phương pháp tọa độ - phương pháp phù hợp với nhiều đối tượng ( khuyên dùng) nhiên để làm phương pháp phải tính toán nhiều cẩn thận Phương pháp gán độ dài cho cạnh hình lớn Trong khóa học ta bàn với phương pháp 1,3,4 Phương pháp 1: Cần nắm vững kỹ hình học - thường cấp tam giác đặc biệt, tính chất hình, đường tròn ngoại tiếp,tứ giác nội tiếp … Phương Pháp 3: - Chọn hệ trục tọa độ Oxy đẹp (dễ tìm tọa độ điểm nhất) - Tìm tọa độ điểm cần làm sáng tỏ ( điểm tập trung) - Sử dụng công thức liên quan tới phán đoán như: tích vô hướng,góc… - CM dựa vào kết Phương pháp 4: thường dùng phán đoán liên quan tới góc - Gán độ dài cho cạnh hình lớn,tìm độ dài cạnh lại - Sử dụng hệ thức tam giác vuông sin,cos,tan… tam giác không vuông dùng định lý hàm số sin,cos Phương pháp CHUẨN HÓA TỌA ĐỘ Các bước : Chọn hệ trục tọa độ - thương chọn gốc chân góc vuông Chọn cạnh hình lớn để chuẩn hóa độ dài (tham khảo vài dạng hình vẽ chuẩn hóa dưới) Đối với toán có tứ giác như: hình vuông, hình chữ nhật, tam giác vuông Đối với ta chọn hệ trục tọa độ có gốc nằm đỉnh vuông, có hai trục Ox Oy chứa cạnh tương ứng góc vuông Và chọn đơn vị trục độ dài hai cạnh góc vuông Bằng cách chọn vậy, tham số giảm tối đa Và dạng hình dạng áp dụng thuận lợi phương pháp tọa độ mặt phẳng y B(0;1) A y y B(0;b) C(1;1) D(1;0) x A C(0;c) C(1;b) D(1;0) x A B(1;0) x Đối với toán có chứa tam giác đều, tam giác cân, tam giác thường Ta xây dựng hệ trục cách dựa vào đường cao Cụ thể, ta dựng đường cao từ đỉnh NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CHUẨN HÓA TỌA ĐỘ (đối với tam giác cân ta nên dựng đường cao từ đỉnh cân) Chân đường cao góc tọa độ, cạnh đáy đường cao vừa dựng nằm hai trục tọa độ y y B(0; 3) C(0;h) A(-1;0) H C(1;0) x A(1-a;0) O B(1;0) x Đối với toán có chứa đường tròn ta chọn góc tọa độ nằm tâm đường tròn đơn vị hệ tọa độ bán kính đường tròn, hai trục chứa bán kính, đường kính đường tròn y A(1;0) x O BT Mẫu 1:(trích ĐH 2013A):Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD,có điểm C thuộc đường thẳng d: 2x + y + = điểm A ( - 4;8).Gọi M điểm đối xứng B qua C,N hình chiếu vuông góc B đường thẳng MD.Tìm tọa độ điểm B,C biết N ( 5; -4) Phân tích & Giải: 1.Nhận thấy kiện tập trung vào ba điểm A,N,C trực quan vẽ hình ta phán đoán chúng có mối quan hệ vuông góc,cụ thể: AN  CN Tìm phương pháp chứng minh Phương pháp 1: Hình học túy Ta có: Tứ giác DBCN nội tiếp nên   BNC   ABCN nội tiếp CAB Y   BNC  mà BDC   CAB  nên BDC  ANC  900 Hay AN vuông góc CN Phương pháp 2: Gán trục tọa độ Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ - D (0 ; 0), A( ; a), C(b; 0) B(b ; a), M(b; -a) Y NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CHUẨN HÓA TỌA ĐỘ  DM  : bx  ay  - Pt đường:   BN  : ax  by  2ab  A B  2a b 2ab  - Lúc N  BN  DM  N  ; 2   a b a b    2a b ab  a    a 2b  b3 2ab  - Lại có: AN   ; ; CN   ; 2 2  X  a b a b   a b a b    D C - Vậy ta có AN CN   AN  CN N Phương pháp 3: Gán độ dài cho cạnh hình lớn     BDM   2 Đặt AD = a, DC = b , DMC a b M - Xét DMC ta có: sin   ; cos   2 2 a b a b DN b2  a 2 - Xét BDN ta có: cos 2   DN  BD  cos   sin    BD a  b2 ADN  AN  DN  AD  AD.DN cos   900   a - Xét CN  DC  DN  DC.DN cos   b - Vậy ta có: AN  CN  AC  ACN vuông N Nhận xét : Qua ba phương pháp ta thấy rõ ưu điểm nhược điểm phương pháp - Với hình học túy - nhanh làm ko nhớ tính chất hình học - Với Gán hệ trục gán độ dài cho cạnh hình lớn - thích hợp với nhiều đối tượng học lực,tuy nhiên nhược điểm hai phương pháp tính toán nhiều chọn hai phương pháp làm em nhớ tính toán cẩn thận Gợi ý giải -Ta có AN  CN (các em trình bày lại ba cách nhé) - Gọi C ( a ; - 2a - 5) thuộc d   - Từ ĐK: AN  CN ta có AN CN   C 1; 7  lại có AC : 3x + y + = - AC //DM , BN  DM  BN  AC  pt  BN  : x  y  17    - Tham số hóa B ( 3b+17;b) mà AB  BC nên AB.BC   B  4; 7  BT Mẫu 2: Trong mặt phẳng Oxy , cho hình thang vuông ABCD ( vuông A B) có BC = AD.Điểm H  13   ;  hình chiếu vuông góc điểm B lên cạnh CD.Xác định tọa độ điểm B D hình  5 thang,biết A ( -3 ; 1) trung điểm M cạnh BC nằm đường thẳng x + 2y - = Phân tích: Dựa vào giả thiết toán,ta nhận định điểm tập trung toán gần A,H,M.Tới cố gắng phán đoán mối liên hệ chúng phương pháp trình bày mẫu trên.Bằng trực quan ta suy đoán có mối quan hệ vuông góc H điểm Phương pháp : Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ Đặt AB = a; BC = b ta có - B ( ; ),M( b/2 ; 0), C(0 ; b) ; D ( b/2 ; a) - Lại có pt DC : 2bx + ay - 2ab = - BH  DC nên có pt: ax - 2by =  4b a 2bx  ay  2ab  2b a  - Mà H = DC  BH   H ; 2  ax  2by   4b  a 4a  c    - Tương tự ta có AH HM  nên AH vuông HM NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CHUẨN HÓA TỌA ĐỘ Điều nghĩa suy đoán ta xác Note: - Bài em chuẩn hóa theo cách khác dễ hơn,đó cho cạnh hình vuông hết Bài sử dụng phương pháp gán độ dài cho cạnh hình lớn - Tuy nhiên việc tính toán gặp nhiều khó khăn nên ta ko nên dùng,tới gần chắn tọa độ hóa có sức mạnh ghê gớm việc chinh phục “ chìa khóa” giải toán Oxy.( Bài em tự chuẩn hóa nhé) Gợi ý giải Chứng minh AH vuông góc MH , Tìm tọa độ điểm M sau - Tham số hóa M ( 2a - 1;a)   - Sử dụng điều kiện AH HM  tìm M  Lập pt DC qua H song song AM   Tham số hóa D thỏa mãn pt DC dùng Đk AD.DM  tìm D 2  BA  DM dùng Đk  B 2  BM  AD   Chú Ý tìm B thông qua điểm C sau : MC  AD ,M trung điểm BC BT Mẫu 3: (ĐH 2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD.Gọi M trung điểm cạnh BC,N  11  điểm CD cho CN = ND.Giả sử M  ;  đường thẳng AN có phương trình 2x - y - =  2 0.Tìm tọa độ điểm A Phân tích :Nhìn nhận vấn đề ta thấy toán cho kiện,như Một cách tự nhiên ta nghĩ tới việc thiết lập thêm kiện cho toán Và phải thông qua việc tính toán yếu tố hình vẽ - Bài toán cho kiện xoay quanh ba điểm A,M,N Pt đường AN biết , điểm M biết nên ta nghĩ tới việc tìm kiện cho A có lẽ việc xác định góc a lúc hợp lý yếu tố liên quan mật thiết cạnh với - Ở dùng phương pháp có lợi gán trục tọa độ hình vẽ : Điểm A ( ; 0), B(0 ;a), C(a ; a) D ( a ; ), M ( a/2 ; a) ; N (a ; a/3)   a    a  - Ta có AM   ; a  , AN   a;  2   3 a2 a2    AM AN    450 tới có lẽ việc xong - Ta có cos MAN      ta có MAN AM AN 50a 36 toán yêu cầu tìm điểm A mà ta giải tiếp sau   AM u AN     - Tham số hóa tọa độ điểm A ( a; 2a - 3) ta có cos MAN   a  1 a  AM u AN BT Mẫu 4: Cho tam giác ABC vuông B có BC = BA,điểm M ( 7/4; 1) trung điểm AC Điểm N thuộc BC cho BN = ¼ BC,điểm H (2; 2/3) giao điểm AN BM.Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết N nằm đường thẳng  : x  y   PHÂN TÍCH Dữ kiện toán tập trung vào A,H,M,N Sau vẽ hình ta phán đoán Sẽ dung A,H,M A,N,M NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CHUẨN HÓA TỌA ĐỘ Ta tìm mối liên hệ phương pháp gán trục tọa độ xem - Chọn hệ trục hình vẽ - B ( ; ), A (0 ; a ) , C ( 2a; 0), N ( a/2 ; ), M ( a, a/2)   a    a  - AN   ; a  , BM   a;  2   2   Vậy AN BM   AN vuông BM H     2 - Tham số hóa N ( - 2a; a)  HN    2a; a   dùng ĐK HN HM   H  ?  3    - Lập pt HM , B nằm HM nên tham số hóa B,tiếp tục dùng HB.HN   B   - Lập pt HN, tham số hóa điểm A dùng Đk: AB.BN   A   - Dùng Đk : BN  BC  B Lưu Ý: Do cạnh AB BC tỉ lệ với em chuẩn hóa tọa độ sau: B (0; ),A (0,1) , C ( 0; 2), M ( 1; ½) N (4 ; 0) BT Mẫu 5: Trong mặt phẳng tọa độ với hệ tọa đô Oxy, cho tam giác ABC cân A ( -1 ; 3).Gọi D điểm cạnh AB cho AB = 3AD H hình chiếu vuông góc B CD.Điểm M(1/2 ; - 3/2) trung điểm đoạn HC Xác định tọa độ điểm C, biết điểm B nằm đường thẳng x + y + =0 PHÂN TÍCH VÀ GỢI Ý GIẢI: Đọc kiện nhận thấy toán có nhiều điểm thuận lợi việc gán hệ trục tọa độ tam giác cân , trung điểm, tỷ lệ đoạn thẳng …do ta tiến hành vẽ hình xây dựng hệ trục tọa độ sau: dự đoán A,B,M cho mối quan hệ đặc biệt kiện tập trung vào ba điểm nhiều Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ với O ( 0; ) C ( ; 0), B ( -1 ; ), A ( 0; a )     2a  2a AD  AB  D( ; )  CD    ;     2; a  3 3  3  Ta có pt CD: ax - 2y - a = BH : 2x + ay + = ( BH  CD)  a  4a  Giải hệ gồm hai đường ta H  ;   a 4 4a  M( a2 2a ; )  a  a2   a 2a  a    2a  2a    Từ tìm AM   ; ,  AM BM   AM  BM  ; BM   2   a2   4a  a 4 4a      Tham số hóa điểm B (a; -a - 7) dung Đk AM BM   B (?) có B ta tìm D theo ĐK: AD  AB Có D ta tìm C dễ dàng có M trung điểm CD BT Mẫu 6: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy,cho hình thang vuông ABCD, vuông B C, có AB = BC = CD,đỉnh A ( 1; 5/2 ) Gọi M trung điểm BC.Đường thẳng AM BD giao H ( 2; 2/3),biết điểm D nằm đường thẳng có phương trình 2x - 4y + =0 NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CHUẨN HÓA TỌA ĐỘ PHÂN TÍCH VÀ GỢI Ý GIẢI TOÁN - Khi vẽ hình ta thấy hình vẽ có AM BD cắt nhau,nếu hai đường chéo phải hoài nghi hết cả, nhiên ta thấy rõ ràng chúng phải có mối quan hệ đó,có thể  ABM vuông B.Từ suy luận ta tìm hiểu thử H ( vuông góc),có thể BAM mối quan hệ chúng phương pháp GÁN TRỤC TỌA ĐỘ hình vẽ - Đặt AB = 2a BC = 2a,CD = a ta có: A ( 2a ; ), B(0;0), C(0;2a), M(0 ; a), D (a; 2a)     - Ta có: BD   a; 2a  , AM   2a;a   BD AM   BD  AM  H Như không cần kiểm tra thêm việc rõ ràng tới nút thắt toán tháo bỏ ( em nhớ thử kiểm tra A xem , có lại có thêm cách giải khác) CÁC BƯỚC GIẢI TIẾP THEO:   - Tham số hóa tọa độ điểm D (2b - 5/2 ; b) dùng ĐK: DH AH   D - Lập phương trình DH, B nằm DH nên tham số hóa B,lại có …   - Tìm C dễ dùng ĐK: BA  2CD xong! BT Mẫu 7: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD coa C ( ; -3 ) đỉnh A thuộc đường thẳng d: x + 2y - = Gọi E điểm thuộc cạnh BC, Điểm F giao điểm đường thẳng 89 7 AE CD, I ( ; ) giao điểm đường thẳng ED BF.Tìm tọa độ điểm B,D biết M ( 4/3; 0) 19 19 thuộc đường AF ( Đề thi thử trường THPT Thành Nhân) Chọn trục tọa độ chuẩn hóa tọa độ Cạnh hình vuông 1: ta có D ( 0; 0), C ( 1; ) ,B(1 ;1) , A(0; 1) E ( 1; a) - Ta có: pt: DC y = - Pt đt AE : (1 - a)x + y - =   - Lại có F = AE  DC  F  ;0  1 a  - PT đường DE : ax - y =0 - Pt đường BF : (1 - a)x + ay - = a   - I  DE  BF ta có I  ;   a  a 1 a  a 1  Chú ý kiện toán tập trung vào A,C,I,E nên ta nghi chúng có mối quan hệ với   nhau… Đến việc coi sáng tỏ,ta cần tìm véc tơ AE , CI     a 1 1 + AE  1; a  1 , IC  ( ; )  AE CI  AE vuông góc với CI đến “Nút thắt a  a  a  a 1 “của toán gỡ bỏ hoàn toàn bước làm sau: - lập AF qua M vuông góc CI: pt AF 3x + 5y - = - A = d  AF  A  2;  - O tâm hình vuông trung điểm AC ta có O ( ½ ; - ½) - Lập pt đường BD qua O vuông góc AC,cuối dùng ĐK AB vuông BC ta có B !!!! NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CHUẨN HÓA TỌA ĐỘ Mẫu :( ĐH 2012 A) :Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD.Gọi M trung điểm BC, N CD cho CN = 2DN, điểm M ( 11/2 ; 1/2) đường AN có phương trình : 2x - y - = 0.Tìm tọa độ điểm A Hướng dẫn giải Bài toán thực chất khó có nhiều cách giải thầy cô nước, nhiên trình bày cách giải đẹp dựa vào công cụ chuẩn hóa tọa độ sau Ta thấy toán yêu cầu tìm tọa độ điểm A cho sẵn ta đữ kiện A AN,ta đặt câu hỏi liệu M biết mà đề cho tham gia vào toán ? có mối liên hệ với A,M,N Các em theo dõi lời giải : Chọn trục tọa độ hình vẽ Chuẩn hóa cạnh hình vuông ta có : B ( ; ), C ( ; 0) ; D ( ;1) A ( ; 1) M ( 1/2 ; ) ; N (1 ; 2/3)      1  Có : AM   ; 1 , AN   1;  2   3   AM AN    450 cosMAN    MAN AM AN 10 Đến công việc coi hoàn tất nhiệm vụ tìm xác điểm A mà ta làm sau : - Tham số hóa A ( a ; 2a - 3) thuộc AN   AM u AN  - Có cos MAN   a  ?  A  ?  Xong !!! AM u AN BT Mẫu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, có điểm C thuộc đường x + 2y - = Điểm M ( 1; ) thuộc canh BD.Hình chiếu M lên AB, AD nằm đường thẳng x + y - = 0.Tìm tọa độ điểm C Hướng dẫn giải: Gọi F, G hình chiếu M lên AB,AD - Chon hệ trục tọa độ hình vẽ với D (0; 0) - Không tính tổng quát ta chọn cạnh hình vuông Có độ dài ta có: C ( 1; 0), M(a ; a), F (a; 1) , G ( 0; a)   Ta có CM   a  1; a  , GF   a;1  a    Vậy CM GF  o  CM  GF Tham số hóa C ( - 2a ; a)     dùng ĐK CM GF  o  CM ud   C  ? BT Mẫu 10: Cho hình chữ nhật ABCD có A ( -1 ; 3),M N trung điểm cạnh BC AD.H hình chiếu B lên CN, H ( 43/17 ; 19/17) Biết trung điểm M cạnh BC nằm đường thẳng có phương trình x + y - =0 Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật HƯỚNG DẪN GIẢI Qua kiện thấy toán tập trung kiện vào ba điểm A,M,H,bằng trực quan hình vẽ ta đề xuất khả có quan hệ vuông góc ba điểm Giải pháp: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ A ( 0; ) ,B(1; 0) , C (1; b) , D ( 0; b) , M(1; b/2), N(b/2; 0) Pt đường NC: 2bx + (b - 2)y - b =0 NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CHUẨN HÓA TỌA ĐỘ Pt BH : ( - b)x -2by + b - = Giải HPT gồm hai đường ta tìm thấy điểm H Nhiên thấy việc tìm điểm H hệ trục vất vả ta tìm hệ trục khác : CHỌN HỆ TRỤC NHƯ HÌNH VẼ : B ( ; ), A ( ; a), C(0 ; 1) , D (1 ; a), N (1/2 ; a), M (1/2 ;0) Pt NC : 2ax + y - 2a = Pt BH : x - 2ay = Tọa độ H nghiệm HPT gồm NC BH  4a 2a  Giải hệ ta có H  ;   4a  4a     4a a  4a    2a  / 2a  AH   ; ;   , MH    4a  4a    a  4a     Vậy AH MH   AH  MH Tới nút thắt giải :   - Tham số hóa M ( a,5 - a) dùng ĐK vuông góc AH MH   M - Lập pt AM,ta suy pt CN ( song song AM qua H ) - Có pt CN ta có pt BH,tham số hóa B,dùng ĐK AB vuông BM tìm B,do M trung điểm BC nên tìm C ……….Xong!!! Nhận xét: Qua ví dụ em thấy việc đặt hệ trục tọa độ vô quan trọng,nó định 80% khả thành -bại toán.ở chọn B xác hợp lý ta cần tìm tọa độ điểm H, Khi liên quan tới pt đường BH,như B ( 0; 0) giảm tối đa việc tính toán cho em BT Mẫu 11: Cho tam giác ABC cân A với A ( 0; 2) gọi D thuộc AB cho AB = AD,H hình chiếu B lên CD.M trung điểm HC M ( ¾ ; - 57 / 100).Tìm tọa độ điểm C biết C nằm đường thẳng có phương trình: x + y + = ... pháp 2: Gán trục tọa độ Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ - D (0 ; 0), A( ; a), C(b; 0) B(b ; a), M(b; -a) Y NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CHUẨN HÓA TỌA ĐỘ  DM  : bx  ay  - Pt đường:  ... trục tọa độ hình vẽ A ( 0; ) ,B(1; 0) , C (1; b) , D ( 0; b) , M(1; b/2), N(b/2; 0) Pt đường NC: 2bx + (b - 2)y - b =0 NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CHUẨN HÓA TỌA ĐỘ Pt BH : ( - b)x -2 by + b -. ..NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CHUẨN HÓA TỌA ĐỘ KỸ THUẬT I: CHUẨN HÓA TỌA ĐỘ CÁC BƯỚC GIẢI TOÁN: Đọc đề, phân tích kiện - Tìm điểm tập trung Phán đoán mối