MỤC LỤC V Kế hoạch thực hiện: MỘT SỐ KINH NGHIỆM TRONG DẠY HỌC NGUN HÀM- TÍCH PHÂN KHỐI GIÁO DỤC THƯỜNG XUN A.PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài : Trong chương trình giảng dạy tốn THPT, phép tính tích phân giới thiệu cho em học sinh lớp 12, phổ biến tất trường Đại học cho khối sinh viên năm thứ năm thứ hai chương trình học đại cương Hơn kỳ thi Tốt nghiệp THPT kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng, phép tính tích phân ln có đề thi mơn tốn khối thi Với tầm quan trọng phép tính tích phân muốn học sinh học tốt Ngun hàm Tích phân người Giáo viên khơng phải truyền đạt, giảng dạy theo tài liệu có sẵn Sách giáo khoa, sách hướng dẫn thiết kế giảng cách rập khn, máy móc, làm cho học sinh học tập cách thụ động Nếu dạy học việc học tập học sinh diễn thật đơn điệu, tẻ nhạt kết học tập khơng cao Nó ngun nhân gây cản trở việc đào tạo em thành người động, tự tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứng với đổi diễn hàng ngày u cầu giáo dục đòi hỏi phải đổi phương pháp dạy học mơn tốn theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh Vì người giáo viên phải gây hứng thú học tập cho em cách tinh giản kiến thức, thiết kế giảng khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tế Các kiến thức khơng mang nặng tính hàn lâm, phải phù hợp với việc nhận thức em Thơng qua kiến thức mà người giáo viên tinh lọc, qua ứng dụng, thực hành em lĩnh hội tri thức tốn học cách dễ dàng, củng cố, khắc sâu kiến thức cách vững chắc, tạo cho em niềm say mê, hứng thú học tập, việc làm Khi tinh lọc kiến thức cách gọn gàng, ứng dụng thực tế cách thường xun, khoa học chắn chất lượng dạy học mơn tốn ngày nâng cao Riêng phần đạo hàm tích phân khơng nằm ngồi quy luật Chính lý nêu mà tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “MỘT SỐ KINH NGHIỆM TRONG DẠY HỌC NGUN HÀM- TÍCH PHÂN KHỐI GIÁO DỤC THƯỜNG XUN” Cơ sở lý luận 1.1 Vị trí mơn Tốn nhà trường : Mơn tốn mơn học khác cung cấp tri thức khoa học, nhận thức giới xung quanh nhằm phát triển lực nhận thức, hoạt động tư bồi dưỡng tình cảm đạo đức tốt đẹp người Mơn tốn trường THPT mơn độc lập, chiếm phần lớn thời gian chương trình học học sinh Mơn tốn có tầm quan trọng to lớn Nó mơn khoa học nghiên cứu có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiên người Mơn tốn có khả giáo dục lớn việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận lơgíc, thao tác tư cần thiết để người phát triển tồn diện, hình thành nhân cách tốt đẹp cho người lao động thời đại 1.2 Đặc điểm tâm sinh lý học sinh TTGDTX - Ở lứa tuổi THPT thể em thời kỳ phát triển hay nói cụ thể hệ quan gần hồn thiện, sức dẻo dai thể cao nên em hiếu động, thích hoạt động để chứng tỏ - Học sinh TTGDTX khả tư mơn tự nhiên yếu học Ngun hàm - Tích phân thường thấy khó hiểu khó tiếp thu Vì người giáo viên phải tạo hứng thú học tập phải thường xun luyện tập 1.3 Nhu cầu đổi phương pháp dạy học : - Học sinh TTGDTX bị rỗng kiến thức khả tư lơgic mơn tốn chậm, thiếu tính sáng tạo, dễ bị phân tán, rối trí bị áp đặt, căng thẳng, q tài Chính nội dung chương trình, phương pháp giảng dạy, hình thức chuyển tải, nghệ thuật truyền đạt người giáo viên phải phù hợp với tâm sinh lý lứa tuổi điều khơng thể xem nhẹ Đặc biệt học sinh lớp 12, lớp mà em vừa vượt qua mẻ ban đầu để trở thành người lớn, chuyển từ hoạt động vui chơi chủ đạo sang hoạt động học tập chủ đạo Lên đến lớp 10, 11 u cầu đặt thường xun em tất mơn học Do học trở nên nặng nề, khơng trì khả ý em người giáo viên cho em nghe làm theo có sách giáo khoa Muốn học có hiệu đòi hỏi người giáo viên phải đổi phương pháp dạy học tức kiểu dạy học “Lấy học sinh làm trung tâm” hướng tập trung vào học sinh, sở hoạt động em Kiểu dạy người giáo viên phải thật người “đạo diễn” đầy nghệ thuật, người định hướng, tổ chức tình học tập kích thích óc tò mò tư độc lập, phải biết thiết kế giảng cho hợp lý, gọn nhẹ Muốn em học trước hết giáo viên phải nắm nội dung lựa chọn, vận dụng phương pháp cho phù hợp Người giáo viên phải đúc kết kinh nghiệm thân người qua tiết dạy, ngày tháng miệt mài khơng quan trọng, vừa giúp cho có kinh nghiệm vững vàng hơn, vừa giúp cho hệ giáo viên sau có sở để học tập, học tập nâng cao tay nghề, góp phần vào nghiệp giáo dục nước nhà Cơ sở thực tiễn: Bên cạnh học sinh hiếu động, ham hiểu biết mới, thích tự tìm tòi, khám phá, sáng tạo lại có phận khơng nhỏ học sinh lại học yếu, lười suy nghĩ nên đòi hỏi người giáo viên phải tâm huyết, có lực thật sự, đa dạng phương pháp, biết tổ chức, thiết kế trân trọng qua tiết dạy Theo chúng tơi, dạy đối tượng học sinh GDTX nay, người giáo viên phải thật đọng lý thuyết, xếp lại bố cục dạy, định hướng phương pháp, tăng cường ví dụ tập từ đơn giản đến nâng cao theo dạng chun đề phù hợp với đối tượng học sinh II Mục đích nghiên cứu đề tài: - Góp phần đổi phương pháp dạy học mơn tốn nói chung mơn Giải tích 12 nói riêng theo phương hướng tinh giản kiến thức, phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp học sinh có phương pháp học tốt thích ứng với xu hướng - Góp phần gây hứng thú học tập mơn Tốn cho học sinh, mơn học coi khơ khan, hóc búa, khơng giúp, giáo viên lên lớp tự tin, nhẹ nhàng, học sinh lĩnh hội tri thức cách đầy đủ, khoa học mà giúp em củng cố khắc sâu tri thức III Nhiệm vụ phạm vi nghiên cứu : Nhiệm vụ : - Ơn tập quy tắc tính đạo hàm học lớp 11 - Tìm hiểu khái niệm ngun hàm tích phân mơn giải tích 12 - Tìm hiểu thực trạng học sinh lớp 12 Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu : - Đối tượng : Chương III: Ngun hàm Tích phân Giải tích lớp 12 - Tài liệu : Sách giáo khoa Giải tích lớp 12, sách hướng dẫn giáo viên IV Phương pháp nghiên cứu : Để thực đề tài này, tơi sử dụng phương pháp sau : Nghiên cứu tài liệu : - Đọc tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung đề tài - Đọc SGK, sách giáo viên, loại sách tham khảo Nghiên cứu thực tế : - Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp nội dung ngun hàm tích phân - Tổng kết rút kinh nghiệm q trình dạy học - Tổ chức tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án thơng qua tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi đề tài V Kế hoạch thực hiện: Sẽ sử dụng phần đạo hàm dạy ơn tập học kỳ lớp 11 Dùng ơn tập dạy ngun hàm tích phân lớp 12 3 Dùng ơn tập ơn thi tốt ghiệp B NỘI DUNG I Thực trạng mâu thuẫn: - Học sinh TTGDTX khả tư mơn tự nhiên yếu học vè ngun hàm, tích phân thường thấy khó hiểu, khó tiếp thu dẫn đến việc học sinh chán nản khơng muốn học Mà phép tính tích phân ln có đề thi Tốt nghiệp THPT kì thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng II Các biện pháp giải vấn đề: - Đổi phương pháp dạy học mơn tốn theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh, gây hứng thú học tập cho em cách tinh giản kiến thức, thiết kế giảng khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tế Các kiến thức khơng mang nặng tính hàn lâm, phải phù hợp với việc nhận thức em Thơng qua kiến thức mà người giáo viên tinh lọc, qua ứng dụng, thực hành em lĩnh hội tri thức tốn học cách dễ dàng, củng cố, khắc sâu kiến thức cách vững chắc, tạo cho em niềm say mê, hứng thú học tập, việc làm III Hiệu áp dụng: - Góp phần gây hứng thú học tập mơn Tốn cho học sinh, mơn học coi khơ khan, hóc búa, khơng giúp, giáo viên lên lớp tự tin, nhẹ nhàng, học sinh lĩnh hội tri thức cách đầy đủ, khoa học mà giúp em củng cố khắc sâu tri thức PHẦN I ĐẠO HÀM I ƠN TẬP ĐẠO HÀM Đạo hàm số hàm số thường gặp *BẢNG TĨM TẮT CƠNG THỨC ĐẠO HÀM: Đạo hàm HSSC Đạo hàm hàm số hợp 1.(C )' = (C: số) 2.( x)' = 3.( x α )' = α x α −1 1 4.( )' = − x x 5.( x )' = x 3.(u α )' = α u α −1 u ' 1 4.( )' = − u ' u u 5.( u )' = u u ' 6.(sin x)' = cos x 6.(sin u )' = cos u.u ' 7.(cos x)' = − sin x 7.(cos u )' = − sin u.u ' = + tan x cos x 8.(tan x) ' = 9.(cot x) ' = − 8.(tan u ) ' = = −(1 + cot x) sin x u ' = (1 + tan x).u ' cos u 9.(cot u ) ' = − u ' = −(1 + cot x).u ' sin u 10.(e x )' = e x 10.(e u )' = e u u ' 11.(a x )' = a x ln a 11.(a u )' = a u ln a.u ' 12.(ln x )' = x 13.(log a x )' = 12.(ln u )' = x ln a u ' u 13.(log a u )' = u ' u ln a II BÀI TẬP ĐẠO HÀM 1-Tính đạo hàm cơng thức: Để tính đạo hàm hàm số y = f(x) cơng thức ta sử dụng qui tắc tính đạo hàm Chú ý qui tắc tính đạo hàm hàm số hợp Bài 1: Tìm đạo hàm hàm số sau: a) y= x3-x4+ x +x b) y = x (x-x3) 6x2 d) y = 4x Lời giải: e) y = c) y = 2x − 1+ 4x a)y’ = (x3-x4+ x +x)’= (x3)’-(x4)’+( x )’+(x)’ = 3x2- 4x3+ x +1 b)y’ = ( x (x - x3))’ =( x )’(x+x3) - x (x+x3)’ = x (x+x3) - x (1+3x2) c) y’= (6x2)’= 6(x2)’= 12x (4x ) ' 24 x d) y’= ( )’=3 ( )’= - =− =− 2 4x 4x (4x ) 16 x 2x (2 x − 3) '(1 + x) − (2 x − 3)(1 + x) ' + x − x + 12 14 2x − = e) y’=( )’ = = 2 (1 + x) (1 + x) (1 + x ) 1+ 4x Bài 2: Tìm đạo hàm hàm số sau a) y = x − x + x − b) y = x x3 x + − + 3x − c) y = −3 x (8 + x ) d) y = ( x + 1)(5 − x ) e) y = Lời giải: 3x f) y = x2 + b) y ' = x + x − x + 3(1 − x ) e) y ' = ( x + 1)2 a) y ' = 10 x − 15 x + d) y ' = −4 x (3 x − 1) x2 − x + − 5x c) y ' = −63 x − 120 x f) y ' = 5x + x + (3 − x )2 Bài 3: Tìm đạo hàm hàm số sau a) y = sin x − cos x sin x + cos x c) y = co s + x b) y = + cot x d) y = tan x + cot x e) y = cos x +1 x Lời giải: a) y ' = d) y ' = b) y ' = (sin x + cos x )2 tan x cos2 x − 2x sin2 x + cot x e) y ' = − sin2 x c) y ' = − x2 sin x sin x + x2 + x +1 x Bài 4: Tìm đạo hàm hàm số sau a) y=(x2+1)3 b) y = 3x + Lời giải: a) Đặt u=x2+1 ⇒ y = u3; u’x= 2x ; y’u=3u2 = 3(x2+1)2 y’x =3(x2+1)2.2x = 6x(x2+1)2 b) Đặt u = 3x2+2 ⇒ u’x=6x ⇒ y’x= 2 3x +2 6x = , y= u ⇒ y’u= u = 3x +2 3x 3x +2 Bài 5: Tìm đạo hàm hàm số sau a) y = co s 3x + Lời giải: π ÷ 5 b) y = sin( x − 1) c) y = co t(3 x + 5) d) y = tan3 (3 x − 1) a) y = cosu, u = 3x + π ⇒ y′ = -3 sin x + π ÷ 5 b) y = sinu, u = x3 – ⇒ y ' = x cos( x − 1) c) y = cotu, u = 3x2 + ⇒ y' = − d) y = u , ⇒ y' = u = tan(3x – 1) 6x sin (3 x + 5) tan2 (3x − 1)2 co s2 (3 x − 1) Bài 6: Tìm đạo hàm hàm số sau a) y = sin 3x + π ÷ 5 b) y = cos( x − 1) c) y = tan(3 x + 5) d) y = cot (3 x − 1) Lời giải: a) y = sinu, u = 3x + π ⇒ y′ = cos x + ÷ π 5 b) y = cosu, u = x – ⇒ y ' = −3x sin( x − 1) c) y = tanu, u = 3x2 + ⇒ y' = 6x cos2 (3 x + 5) d) y = u3, u = cot(3x – 1) ⇒ y ' = − 3cot (3 x − 1) sin (3 x − 1) Bài 7: Tìm đạo hàm hàm số sau 4x + a) y = sinx + 5x - 10 b) y = x −3 x+5 d) y = cosx + 3x - e) y = 2x − Lời giải: a) y = sinx + 5x - 10 ⇒ y ' = cosx+15x b) y = 4x + x −3 ⇒ y' = c) y = tan ( x + ) f ) y = cot ( x + ) −17 ( x − 3) c) y = tan ( x + ) ⇒ y = tan ( x + ) tan ( x + ) = ' ' tan ( x + ) cos2 ( x + ) d) y = cosx + 3x - ⇒ y' = − s inx +12x x+5 −13 e) y = ⇒ y' = 2x − (2 x − 3)2 f ) y = cot ( 3x + 5) ⇒ y = cot ( x + ) cot ( 3x + ) = − ' 12 cot ( x + 5) sin ( x + 5) Bài 8: Tìm đạo hàm hàm số sau 1− 2x x4 x2 3) y = 2) y = − − 4x − sin x 6) y = 7) y = sin(2 x + 8)3 cos x x3 1) y = − x + 3x − 5) y = x cot x x + 3x − 4) y = x −1 8) y = ( x − ) tan x Lời giải: 1) y ' = x − x + 2) y ' = x − x ( − x ) ( x − 5) − ( − x ) ( x − 5) = ( x − 5) ' 3) y 4) y ' ( 2x = ' ' = ( x − 5) + x − ) ( x − 1) − ( x + x − ) ( x − 1) ' ( x − 1) ' ( sin x ) cos 3x − sin y = ' 6) ' ( cos 3x ) x ( cos x ) = ( x − 1) sin x ' x2 − x + ' 5) y ' = x ' cot x + x ( cot x ) = cot x − x cot x cos x cos3 x + 3sin x sin x =2 x ( cos 3x ) 3 3 7) y ' = (2 x + 8) ' cos(2 x + 8) = 3(2 x + 8) '(2 x + 8) cos(2 x + 8) = 6(2 x + 8) cos(2 x + 8) 8) y ' = x.tan x + ( x3 − ) cos x Bài 9: Tìm đạo hàm hàm số sau 1) y = sin x − x − 2) y = cos ( x − 3) 4) y = cot ( x − x − ) 5) y = − Lời giải: 1) y = ' ( 2x − 2x = ) ' x − x − cos x − x − x − 2x − ( 2) y ' = − ( x − 3) 3) y = tan ÷ x − 3x + cos x + cot x 3sin x = (x − x − 3) ' x − x − cos x − x − cos x − x − ) sin ( x − 3) ' = −5 ( x − 3) ( x − 3) sin ( x − 3) = −10 ( x − 3) sin ( x − 3) ' 5 ' ÷ 3) y ' = x − x + cos 2 x − 3x + (x − (x = ( cos 4) y ' = cot ( x − x − ) =− ( 5x4 − x2 − 4) ) − 3x + 5) − 3x + ) ' =− x − 3x + 2x − (x 2 2 ( = cot ( x − x − ) cot ( x − x − ) ' ' sin ( x − x − ) x − 3x + − x + ) cos cot ( x − x − ) =− 120 x − 12 x sin ( x − x − ) ) ' cot ( x − x − ) ' cos x ' ( cos x ) ( 3sin x ) − cos x ( 4sin x ) + cot x ) 5) y = (− = − − 3sin x 9sin x sin x 2 3sin x + 12 cos x.sin x = − 9sin x 3sin x ' ' Bài 10: Tìm đạo hàm hàm số sau a) y = x cot x b) y = sin x cos x c) y = ( sin x + ) d) y = ( x − 5) tan x Bài 11: Tìm đạo hàm hàm số sau a) y = 2x − x3 + x − b) y = − x + x x c) y = (x3 − 2)(1 − x ) 3 x d) y = (x − 1)(x2 − 4)(x − 9) g) y= k) y= f) y= 2x + 1 − 3x i) y= 2x2 − 4x + x−3 m) e) y = (x + 3x)(2 − x) 2x + h) y= x2 − 3x + x −1 l) y= ( ) x +1 − 1÷ x + x − x2 − x + x2 y= 2x x2 − 2x − Bài 12: Tìm đạo hàm hàm số sau a) y = (x + x + 1) d) y= (x + 1)2 (x − 1) b) y = (1 − 2x ) e) y= (x − 2x + 5) Bài 13: Tìm đạo hàm hàm số sau a) y = 2x2 − 5x + b) y = x3 − x + d) y = (x − 2) x + e) y= 4x + x +2 c) 2x + y= ÷ x −1 f) y = ( − 2x ) c) y = x+ x f) y= + x2 x g) y= x3 x −1 h) y = (x − 2)3 i) y = ( + − 2x ) Bài 14: Tìm đạo hàm hàm số sau sin x a) y = ÷ + cos x b) y = x.cos x c) y = sin3 (2x + 1) e) y = sin + x d) y = cot 2x g) y = tan2x + tan 2x + tan 2x f) y = sin x + 2x h) y = 2sin2 4x − 3cos3 5x PHẦN II NGUN HÀM I Khái niệm ngun hàm • Cho hàm số f xác định K Hàm số F đgl ngun hàm f K nếu: F '( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ K • Nếu F(x) ngun hàm f(x) K họ ngun hàm f(x) K là: ∫ f ( x )dx = F ( x ) + C , C ∈ R • Mọi hàm số f(x) liên tục K có ngun hàm K II Tính chất • ∫ f '( x )dx = f ( x ) + C • ∫ [ f ( x ) ± g( x )]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx • ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx (k ≠ 0) III Ngun hàm số hàm số thường gặp (Ta tạm hiểu hssc mở rộng từ hssc ta thay biến x ax + b) Ngun hàm hssc Ngun hàm hssc mở rộng Ngun hàm hàm thường gặp thường gặp số hợp (với u = u(x) ) ∫ du = u + C ∫ 0dx = C ∫ dx = x + C α ∫ x dx = x α +1 +C α +1 ∫ x dx = ln x + C ∫e x α ∫ (ax + b) dx = 1 ( ax + b) α +1 +C a α +1 ∫ (ax + b) dx = a ln ax + b + C ∫x ax + b ∫a px + q dx = dx = e x + C ax +b e +C a a px + q dx = +C p ln a 10 α ∫ u du = u α +1 +C α +1 ∫ u du = ln u + C ∫e u du = e u + C au ∫ a du = ln a + C u d) ∫ dx x − x + 10 x dx g) ∫ ( x + 1)(2 x + 1) e) ∫ h) ∫ Bài 2.Tính ngun hàm sau: a) ∫ sin x sin 5xdx d) dx x2 − 6x + x x − 3x − dx cos x e) ∫ i) ∫ dx x2 − x3 x − 3x + dx c) ∫ (tan x + tan x )dx b) ∫ cos x sin xdx ∫ + sin x cos x dx f) dx ∫ 2sin x + f) dx ∫ cos x dx π cos x cos x + ÷ 4 − sin x dx g) ∫ cos x sin3 x h) ∫ dx cos x i) ∫ k) ∫ cos x cos x cos3 xdx l) ∫ cos3 xdx m) ∫ sin xdx PHẦN III TÍCH PHÂN I Định nghĩa: b b ∫ f ( x ) dx = F ( x ) a = F ( b ) − F ( a ) a II Các tính chất: a TC1: b TC2: b a a b ∫ f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx b b a a ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx b c TC3: b e TC5: f TC6: b ∫ f ( x ) ± g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx a d TC4: ( k ≠ 0) a a b c b a a c ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx Nếu f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ] b ∫ f ( x ) dx ≥ a Nếu f ( x ) ≥ g ( x ) , ∀x ∈ [ a; b ] 16 b b a a ∫ f ( x ) dx ≥ ∫ g ( x ) dx b Nếu m ≤ f ( x ) ≤ M , ∀ x ∈ [ a; b ] m ( b − a ) ≤ f ( x ) dx ≤ M ( b − a ) ∫ g TC7: a III Các phương pháp tính tích phân: Phương pháp 1: Tính tích phân phương pháp sử dụng tính chất ngun hàm 1)ví dụ: Tính tích phân sau π e 1 b) ∫ ( x + + + x )dx x x a) ∫ ( x + x + 1)dx x d) ∫ (e + x)dx c) (2sin x + 3cosx + x)dx ∫ 0 Giải: 1 x4 x2 a) ∫ ( x + x + 1)dx = ( + + x ) = 4 e 1 x2 x e 2e4 + 3e3 + 7e − b) ∫ ( x + + + x )dx = ( + ln x − + ) = x x x 6e π 2 c) ∫ (2sin x + 3cosx + x)dx = (−2 cos x + 3sin x + x ) π =5+ π x2 e2 d) ∫ (e + x )dx = (e + ) = e + − 2 x x 2)Bài tập áp dụng: Tính tích phân sau 1, ∫ ( x + x x )dx x 4, ∫ (e + x + 1)dx 3 7, ∫ ( x + 1).dx −1 10, ∫ x( x − 3)dx −2 π 2 3, ∫ (3sin x + 2cosx + ) dx x π 2, ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx 2 ∫ ( x + x x + x )dx ∫ ( x − 1)( x + x + 1)dx 1 −1 12, ∫ + dx x 1 x 11, ∫ ( x − 4)dx −3 Phương pháp 2: Tính tích phân phương pháp vi phân: * Nhắc lại vi phân 3 9, ∫ (2 x − x − )dx 8, ∫ (2 x + x + 1)dx d(f(x)) = f’(x)dx VD:Tính vi phân hàm số sau d(3x-1)=3dx d(sinx) =cosxdx 17 x − 2x dx 13, ∫ x 1 x d(lnx)= dx 4., d(5-2x)=-2dx 1)ví dụ: Tính tích phân sau 1 1) ∫ (2 x + 1)3 dx = ∫ (2 x + 1)3 d (2 x + 1) = e e ln x ln x dx = ln xd (ln x ) = ∫1 x ∫1 2) e = (2 x + 1) = 10 (§Ị thi TN THPT 2007(1) 3x d ( x + 1) = ln( x + 1) 10 = ln 3) ∫ dx = ∫ x +1 x +1 0 π π 4) cos x sin xdx = sin xd (sin x) = sin x ∫ ∫ π = (§Ị thi TN THPT 2007(2)) (§Ị thi TN BTTH 2008 ) 2)Bài tập áp dụng: Tính tích phân sau π 1, sin x cos xdx ∫ (§Ị thi TN THPT 2005 + HKII 2008 ) dx ∫ 3x − dx 2, 1 ∫ 3, 3x + 1dx (§Ị thi TN THPT 2008(2)) π 4 ∫ cot xdx π π ∫ ∫x ∫x x + 1dx ∫x − x dx 0 7, 6, + 4sin xcosxdx x + 1dx ∫ x π 2 x +1 dx 10, ∫ sin xcos xdx π Phương pháp 3: Tính tích phân phương pháp ®ỉi biÕn sè: β Cơng thức tổng qt: b ∫α f ϕ ( x ) .ϕ′ ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt a Cơng thức trên, tích phân cần tính tích phân vế trái Hàm số dấu tích phân có dạng tích f ϕ ( x ) (hàm số theo biến ϕ ( x ) ) với đạo hàm hàm ϕ ( x ) Áp dụng cơng thức vào trường hợp thường gặp, ta có cách đặt cụ thể sau: 18 b Cơ thĨ: Khi tÝnh ∫ f ( x ) dx : (1) a B1: §Ỉt t= ϕ (x) , ϕ (x) lµ hµm sè mµ ta chän thÝch hỵp B2: TÝnh dt= ϕ ' ( x)dx , nÕu ϕ (x) n»m c¨n bËc n th× ta nªn l thõa vÕ mò n råi lÊy vi ph©n vÕ B3: BiĨu thÞ f(x), dx theo t vµ dt, gi¶ sư f(x)dx=g(t)dt B4: §ỉi cËn: x a b α t β b B5: β ∫ f ( x ) dx = α∫ g ( t ) dt (2) a * Lu ý: +) Sau ®ỉi biÕn tÝch ph©n (2) tÝnh dƠ h¬n tÝch ph©n (1) +) Mét sè dÊu hiƯu th«ng thêng dÉn tíi viƯc lùa chän t DÊu hiƯu Hµm sè cã chøa mÉu sè Hµm sè cã chøa c¨n thøc Hµm sè cã chøa dÊu ngc kÌm theo l thõa Hµm sè cã chøa dx x Hµm sè cã chøa exdx Hµm sè cã chøa cosxdx Hµm sè cã chøa sinxdx Hµm sè cã chøa dx cos x Hµm sè cã chøa dx sin x Cã thĨ chän t = mÉu sè t= c¨n thøc hc phÇn c¨n thøc t= phÇn dÊu ngo¨c nµo cã l thõa cao nhÊt t=lnx t=ex t=sinx t=cosx t=tanx t=cotx … 1)Ví dụ: Tính tích phân sau 1) ∫ (2 x + 1) dx =A Đặt x + = t ⇒ 2dx = dt Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 3 Vậy t4 A = ∫ t dt = = 10 81 19 3x dx =B x3 + 2, ∫ (§Ị thi TN THPT 2007(2) ) Đặt x3 + = t ⇒ 3x dx = dt Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 2 dt = ln t = ln t B=∫ Vậy π 3, sin x cos xdx =C ∫ (§Ị thi TN THPT 2005 + HKII 2008 ) Đặt sinx = t ⇒ cos xdx = dt Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = C = ∫ t dt = Vậy π ⇒ t =1 t3 1 = 3 2)Bài tập áp dụng: Tính tích phân sau a) ∫ 3x + 1dx (§Ị thi TN THPT 2008(2) §s: 14/9 ) b) 13 ∫ x c) + x dx e2 dx e) ∫ x ln x e ( §s: 8( − (B-2004) dx k) ∫ x ( ln x + ) ∫ ( §s: ln 2e + e ) 2e + dx ( §s: x ln x + 3 ( −3 4) cos x + sin xdx π e h) ∫ j) e x dx ∫ x =1 + e −1 ) 2005.2004 e + )) 17 25 π e + 3ln x ln x dx i) ∫ x x dx (§s: 0 d) f) ∫ x( x − 1) 2003 dx ( §s: ln2) ∫ sin x ∫0 + cos x dx g) ∫ x − x dx π l) ∫ x x + 1dx m) 40 e ∫ 3 1 + ln x dx x x +1 n) ∫ x x + 5dx o) 46 dx ( ĐS : I= ( ĐS : I= ) p) ∫ ) 15 3x + x +1 Phương pháp 4: Tính tích phân phương pháp T.P.T.P 20 b ∫ uv′dx = ( uv ) A Cơng thức tổng qt: a b b a b − ∫ vu′dx a b b ∫ udv = ( uv ) a − ∫ vdu (1) hay a a B Các bước thực hiện: u = u( x ) du = u′( x )dx ( Đạo hàm ) ⇒ • Bước 1: Đặt dv = v′( x )dx v = v( x ) (nguyên hàm) • Bước 2: Thế vào cơng thức (1) b b • Bước 3: Tính ( uv ) a suy nghĩ tìm cách tính tiếp vdu ∫ a Ghi nhớ: Khi lùa chän PP TPTP ®Ĩ tÝnh tÝch ph©n cÇn tu©n thđ theo nguyªn t¾c sau: Lùa chän phÐp ®Ỉt dv cho v ®ỵc x¸c ®Þnh dƠ dµng b b a a ∫ vdu tÝnh dƠ h¬n so víi ∫ udv C¸c d¹ng tÝch ph©n T.P c¬ b¶n vµ c¸ch chän u, dv 1)ví dụ: Tính tích phân sau: a,Tính I = ∫ ( x − 1) e dx x đặt 1 1 u = x − du = 2dx x e dx ⇒ x x suy : I = (2x-1)ex - ∫0 = (2x-1)ex - 2ex = -e+3 dv = e dx v = e x b, ∫ x.e dx =H đặt u = x du = dx ⇒ x x suy : H = xex dv = e dx v = e ∫0 e dx = e-ex = 1 x π c, A = ∫ x sin xdx đặt 21 u = x du = dx ⇒ dv = s inxdx v = − cos x π π π s inx = + cos xdx ∫ suy :A = -xcosx 0 = 2)Bài tập áp dụng: Tính tích phân sau π 1, ∫ ( x + 1) sin xdx π 2, 4, π 0 x 3, ∫ x cos 8, ∫ ( x + 1) 6, I = e x cosxdx ∫ 2x e dx ∫ x 9, ( x − 3)2 dx 13, U = ∫ x e dx x 0 e e ln x dx x2 11, P = ∫ x ln xdx 12, R = ∫ π 1 xdx π x ∫ ( x + e ) dx 1 10, + x ) cos xdx 3x − dx 5, ∫ ex x 7, K = ∫ xe dx xdx ∫ cos ∫( x π 14, A = ∫ ( x + 1) sin xdx x 15, ∫ (1 + e ) xdx 0 PHẦN IV ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I.Tính diện tích hình phẳng 1/ Dạng toán1: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong đường thẳng Công thức: Cho hàm số y=f(x) liên tục đoạn [a;b] diện tích hình phẳng giới hạn b đường cong (C) :y=f(x) đường thẳng x= a; x=b; y= : S = ∫ f ( x ) dx a 2/ Dạng toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong đường thẳng Công thức: Cho hàm số y=f(x) có đồ thò (C) y=g(x) có đồ thò (C’) liên tục đoạn [a;b] diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C), (C’) đường thẳng x= a; b x=b : S =∫ f ( x ) −g ( x) dx a Phương pháp giải toán: B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm (C) (C’) B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm: 22 TH1: Nếu phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm (a;b) Khi diện tích hình phẳng cần tìm b là: S =∫[ f ( x) −g ( x )]dx a TH2:Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm x 1∈ (a;b) Khi diện tích hình phẳng cần tìm là: b x1 b a a x1 S =∫ f ( x ) −g ( x ) dx = ∫[ f ( x ) −g ( x )]dx + ∫[ f ( x ) −g ( x )]dx TH3:Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm x 1; x2∈ (a;b) Khi diện tích hình phẳng cần tìm là: x1 x1 x2 a x2 b S = ∫[ f ( x ) −g ( x ) ] dx + ∫[ f ( x ) −g ( x ) ] dx + ∫[ f ( x ) −g ( x ) ] dx Chú ý: * Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nhiều nghiệm làm tương tự trường hợp * Dạng toán trường hợp đặc biệt dạng toán đường cong g(x)=0 Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = sinx đoạn [0;2 π ] trục hồnh Giải : Ta có: sinx = có nghiệm x= π ∈ ( 0;2π ) diện tích hình phẳng cần tìm S= 2π π 0 2π ∫ sin x dx = ∫ sin xdx + π∫ sin xdx 2π π = cos x + cos x π =4 Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = ln x, x = 1, x = e trục Ox Giải e Do lnx liên tục [1;e] nên S = Giải phương trình: lnx=0 ⇔ x=1 ∫ ln x dx e e u = ln x du = dx e e S = ∫ ln xdx , Đặt ⇒ x ⇔ ∫ ln xdx = x ln x − ∫ dx = e ln e − x = e − (e − 1) = 1 1 dv = dx v = x Vậy S = (đvdt) Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = - x2 + 4x - 3, x = 0, x = e trục Ox Giải x =1 vv x = PT: − x + x − = ⇔ ⇒ S = ∫ − x + x − dx Bảng xét dấu: x y – 23 + 3 S = − ∫ (− x + x − 3)dx + ∫ (− x + x − 3)dx 0 x x3 = − + x − x ÷ 10 + − + x − x ÷ 13 = Vậy S = (đvdt) 3 Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x3 + 11x - 6, y = 6x2 , x = 0, x = Giải Đặt h(x) = (x3 + 11x - 6) - 6x2 = x3 - 6x2 + 11x - H(x) = x =1 ; x =2 ; x=3 (loại) S = ∫ x − x + 11x − dx Bảng xét dấu x h(x) – + 2 S = − ∫ ( x − x + 11x − ) dx + ∫ ( x − x + 11x − ) dx x x4 2 11x 11x = − − x3 + − x ÷ + − x3 + − 6x ÷ = 2 0 1 Vậy S = (đvdt) Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x3 + 11x - 6, y = 6x2 Giải Đặt h(x) = (x3 + 11x - 6) - 6x2 = x3 - 6x2 + 11x - h(x) = x = 1; x = ; x = S = ∫ x3 − x + 11x − dx Bảng xét dấu x h(x) + – 3 S = ∫ ( x − x + 11x − ) dx − ∫ ( x − x + 11x − ) dx x x4 3 11x 11x = − x3 + − x ÷ − − 2x3 + − 6x ÷ = 2 1 2 24 Vậy S = (đvdt) Bài tập nhà: 1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (P): y= x - 2x trục hoành 2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (H): y = x +1 đường x thẳng có phương trình x=1, x=2 y=0 3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C): y= x - 4x2+5 đường thẳng (d): y=5 4/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C): y = x3 –3 x , y = x 5/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x2 + 1, x = - 1, x = trục hồnh II Thể tích khối tròn xoay Kiến thức bản: Thể tích vật thể tròn xoay Thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong (C) có phương trình y= f(x) đường thẳng x= a, x=b , y= quay vòng b xung quanh trục ox là: V = π ∫ f ( x )dx a Ví dụ 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay, sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = ; y = ; y = x2–2x Giải: Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là: 2 18π x5 2 S = π ∫ ( x − x ) dx = π ∫ ( x − x + x )dx = π ( − x + x ) = (đvtt) −1 −1 −1 Ví dụ 2: Cho hình phẳng giới hạn đường cong y = sinx, trục hồnh hai đường thẳng x=0, x= π Tính thể tích khối tròn xoay thu hình quay quanh Ox Giải: Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm : π π π2 ππ π V = π ∫ sin xdx = ∫ (1 − cos2 x )dx = x − sin x ÷ = 2 Bài tập gợi ý giải lớp: Bài 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay, sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh trục Ox: π a/ y = cosx ; y = ; x = ; x = b/ y = x ex , x = -2 , y = c ) y = − x2 , y=0 d/ y = − x + x + 3, Bài tập giao nhà: 25 y= 1 x+ 2 Bài 2: Cho hình phẳng (H) giới hạn đường x = 0, x = 1, y = 0, y = x Tính thể tích vật thể tròn xoay cho (H) quay quanh Ox Bài 3: Cho hình phẳng (H) giới hạn đường x = 1, x = 2, y = 0, y = − x Tính thể tích vật thể tròn xoay cho (H) quay quanh Ox Bài 4: Tính thể tìch khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: a) y = , y = , x =1 , x = x Kq: 12p 23p 14 625p Kq: b) y = x3 +1 , y = , x = , x = Kq: c) y = 5x - x , y = d) y = lnx, y = 0, x = 1, x = PHẦN V Sai lÇm tÝnh tÝch ph©n – Kiểm tra máy tính cầm tay I Sai lầm thường gặp §ỉi biÕn sè nhng kh«ng ®ỉi cËn π VD1: tÝnh tÝch ph©n I = − x dx ∫ Gi¶i: Lêi gi¶i sai: ®Ỉt x = sin t suy dx = costdt π π 0 π + cos 2t π dt = + I = ∫ − sin t cos t.dt = ∫ cos t.dt = ∫ Lêi gi¶i ®óng: ĐỈt x = sint suy dx = costdt x = ⇒ t = π π x = ⇒ t = arc sin arcsin I= ∫ π arcsin − sin t cos t.dt = = ∫ π arcsin cos t.dt = ∫ π π arcsin + sin arcsin ÷ 4 4 Khi ®ỉi biÕn kh«ng tÝnh vi ph©n dx (2 x + 1) VD2: tÝnh I = ∫ Gi¶i: Lêi gi¶i sai: ®Ỉt t = 2x + 26 π + cos 2t dt x = ⇒ t = ⇒ x = ⇒ t = dt t −4 1 20 I =∫ =− = − − 1÷ = t 43 81 Lêi gi¶i ®óng: ®Ỉt t= 2x+1 suy dt = 2dx x = ⇒ t = ⇒ x = ⇒ t = dt t −4 1 10 I =∫ =− = − − 1÷ = 2t 83 81 TÝnh nguyªn hµm sai, hiĨu sai b¶n chÊt c«ng thøc VD3: TÝnh I = ∫ x.e x dx Gi¶i: * lêi gi¶i sai: u = x u ' = ⇒ x x v ' = e v = e x ⇒ I = ( xe ) − ∫ e x dx = e + 0 ®Ỉt *Lêi gi¶i ®óng: u = x du = dx ⇒ x x dv = e v = e x ⇒ I = xe − ∫ e x dx = e + 0 ®Ỉt ( ) BiÕn ®ỉi kh«ng t¬ng ®¬ng VD4 : TÝnh I = ∫ x − 6x + dx * Lêi gi¶i sai: I= ∫ x − 6x + dx = ∫ ( x − 3) dx = ∫ ( x − 3) ( x − 3) d ( x − 3) = = − = −4 2 * Nguyªn nh©n sai lÇm: PhÐp biÕn ®ỉi ( x − 3) = x − víi x ∈ [ 0;4] lµ kh«ng t¬ng ®¬ng * Lêi gi¶i ®óng: I= ∫ x − 6x + dx 27 4 0 = ∫ ( x − 3) dx = ∫ x − d ( x − 3) = ∫ − ( x − 3) d ( x − 3) + ∫ ( x − 3) d ( x − 3) = - ( x − 3) + ( x − 3) 2 = + =5 2 * Chó ý ®èi víi häc sinh: 2n ( f ( x ) ) 2n b I= ( n ≥ 1, n ∈ N ) = f ( x) ∫ ( f ( x) ) 2n a 2n b = ∫ f ( x ) dx ta ph¶i xÐt dÊu hµm sè f(x) trªn [ a; b] råi dïng tÝnh chÊt tÝch a ph©n t¸ch I thµnh tỉng c¸c ph©n kh«ng chøa dÊu gi¸ trÞ tut ®èi Mét sè bµi tËp t¬ng tù: 1/ I = π ∫ − sin x dx ; 2/ I = ∫ x − x + x dx 3/ I = 4/ I = ∫ π ∫ π x + − dx x tg x + cot g x − dx II Kiểm tra kết giải tính tích phân máy tính CASIOfx 570 ms Trong số trường hợp số tích phân phức tạp giải kết chưa đánh giá độ xác kết hay sai, ta sử dụng máy tính cầm tay CASIO- fx 570 ms để kiểm tra kết Ví dụ với đề thi khối A năm π 2005: I = sin x + sin x dx ta sử dụng máy tính sau: ∫ + 3cos x + Với kết giải tay 34 ta chuyển sang số thập phân ≈ 1, 259259 27 + Đối với tích phân lượng giác trước hết chuyển sang chế độ Rad Quy trình bấm máy tính CASIO- fx 570 ms sau: 28 Và kết máy tính 1.2593 so với kết gần đồng nghĩa với đáp số giải tay C KẾT LUẬN Ý nghĩa đề tài cơng tác: Trong phần nội dung chun đề trên, chúng tơi nêu số tập minh họa Từ việc ơn tập Đạo hàm, đến tính Ngun hàm - Tích phân xếp ví dụ, tập từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp cho học sinh có kiến thức nhận thức cách lơgic dễ tiếp thu gây hứng thú học tập Các tập đề nghị đề thi Tốt nghiệp THPT đề thi tuyển sinh Đại học - Cao đẳng năm trước để em học sinh rèn luyện kỹ tính tích phân, bên cạnh hướng dẫn học sinh kiểm tra kết giải có kết hay sai máy tính cầm tay CASIO- fx 570 ms Để phần củng cố, nâng cao cho em học sinh khối 12 để em đạt kết cao kỳ thi Tốt nghiệp THPT kỳ thi tuyển sinh Đại học giúp cho em có tảng năm học Đại cương Đại học Bài học kinh nghiệm, hướng phát triển: Giáo viên phải gây hứng thú học tập cho em cách tinh giản kiến thức, thiết kế giảng khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tế Các kiến thức khơng mang nặng tính hàn lâm, phải phù hợp với việc nhận thức em Thơng qua kiến thức mà người giáo viên tinh lọc, qua ứng dụng, thực hành em lĩnh hội tri thức tốn học cách dễ dàng, củng cố, khắc sâu kiến thức cách vững chắc, tạo cho em niềm say mê, hứng thú học tập, việc làm Đề xuất: Tài liệu tham khảo: a) Sách giáo khoa giải tích 12 b) Sách giáo viên giải tích 12 c) Tuyển tập chun đề kỹ thuật tính tích phân – Trần Phương d) Đạo hàm tích phân – Võ Đại Mau & Võ Đại Hồi Đức e) Các dạng tốn giải tích 12 – Nguyễn Ngọc Khoa Nhận xét: Với kinh nghiệm hạn chế, chúng tơi có nhiều cố gắng trao đổi kinh nghiệm giảng dạy phần, trình bày chun đề khơng tránh khỏi thiếu 29 sót, mong góp ý chân tình q thầy Hội đồng Khoa học trung tâm GDTX Tỉnh Một lần chúng tơi xin cảm ơn Ban Giám đốc trung tâm GDTX Tỉnh tạo điều kiện tốt cho chúng tơi Những người thực hiện: 123456- phần I – Đ/c: Đồn Ngọc Hà Phần II –Đ/c: Nguyễn Bích Huệ Phần III – Đ/c: Vũ Hồi Hưng Phần IV – Đ/c: Nguyễn Hoa Lựu Phần V – Đ/c: Mai Phụ trách máy tính – Đ/c: Nguyễn Phương Nam 30 [...]... ®ỉi biÕn sè: β Cơng thức tổng qt: b ∫α f ϕ ( x ) .ϕ′ ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt a Cơng thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái Hàm số dưới dấu tích phân có dạng tích của f ϕ ( x ) (hàm số theo biến là ϕ ( x ) ) với đạo hàm của hàm ϕ ( x ) Áp dụng cơng thức trên vào các trường hợp thường gặp, ta có cách đặt cụ thể như sau: 18 b Cơ thĨ: Khi tÝnh ∫ f ( x ) dx : (1) a B1: §Ỉt t= ϕ (x)... người giáo viên đã tinh lọc, qua ứng dụng, thực hành các em sẽ lĩnh hội những tri thức tốn học một cách dễ dàng, củng cố, khắc sâu kiến thức một cách vững chắc, tạo cho các em niềm say mê, hứng thú trong học tập, trong việc làm 3 Đề xuất: 4 Tài liệu tham khảo: a) Sách giáo khoa giải tích 12 b) Sách giáo viên giải tích 12 c) Tuyển tập các chun đề và kỹ thuật tính tích phân – Trần Phương d) Đạo hàm và tích. .. ( x ) dx ≥ ∫ g ( x ) dx b Nếu m ≤ f ( x ) ≤ M , ∀ x ∈ [ a; b ] thì m ( b − a ) ≤ f ( x ) dx ≤ M ( b − a ) ∫ g TC7: a III Các phương pháp tính tích phân: Phương pháp 1: Tính tích phân bằng phương pháp sử dụng tính chất và ngun hàm cơ bản 1)ví dụ: Tính các tích phân sau 1 π 2 e 1 1 2 b) ∫ ( x + + 2 + x )dx x x 1 a) ∫ ( x + x + 1)dx 3 0 1 x d) ∫ (e + x)dx c) (2sin x + 3cosx + x)dx ∫ 0 0 Giải: 1 1 7 x4... + e ) xdx 0 0 PHẦN IV ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I.Tính diện tích hình phẳng 1/ Dạng toán1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và 3 đường thẳng Công thức: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích hình phẳng giới hạn b bởi đường cong (C) :y=f(x) và các đường thẳng x= a; x=b; y= 0 là : S = ∫ f ( x ) dx a 2/ Dạng toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường... Tính các tích phân sau 1 3 1, ∫ ( x + x x )dx 0 1 x 2 4, ∫ (e + x + 1)dx 0 3 3 7, ∫ ( x + 1).dx −1 2 10, ∫ x( x − 3)dx −2 π 2 2 1 3, ∫ (3sin x + 2cosx + ) dx x π 2, ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx 1 3 2 2 2 3 5 ∫ ( x + x x + x )dx 6 ∫ ( x − 1)( x + x + 1)dx 1 1 2 1 −1 0 4 2 1 1 12, ∫ 2 + 3 dx x 1 x 2 11, ∫ ( x − 4)dx −3 Phương pháp 2: Tính tích phân bằng phương pháp vi phân: * Nhắc lại vi phân 2 3... 1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (P): y= x 2 - 2x và trục hoành 2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (H): y = x +1 và các đường x thẳng có phương trình x=1, x=2 và y=0 3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (C): y= x 4 - 4x2+5 và đường thẳng (d): y=5 4/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y = x3 –3 x , và y = x 5/ Tính diện tích hình phẳng... đường y = x2 + 1, x = - 1, x = 2 và trục hồnh II Thể tích khối tròn xoay Kiến thức cơ bản: Thể tích của một vật thể tròn xoay Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) có phương trình y= f(x) và các đường thẳng x= a, x=b , y= 0 quay một vòng b xung quanh trục ox là: V = π ∫ f 2 ( x )dx a Ví dụ 1: Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng... + cot g 2 x − 2 dx 6 II Kiểm tra kết quả của một bài giải tính tích phân bằng máy tính CASIOfx 570 ms Trong một số trường hợp một số bài tích phân phức tạp đã giải được kết quả nhưng chưa đánh giá được độ chính xác của kết quả là đúng hay sai, khi đó ta có thể sử dụng máy tính cầm tay CASIO- fx 570 ms để kiểm tra kết quả Ví dụ với đề thi khối A năm π 2 2005: I = sin 2 x + sin x dx ta sử dụng máy tính... o) ∫ x 2 cos2 xdx p) ∫ x 2 cos 2 xdx 2 VẤN ĐỀ 4: Tính ngun hàm của một số hàm số thường gặp 1 f(x) là hàm hữu tỉ: f ( x ) = P( x ) Q( x ) – Nếu bậc của P(x) ≥ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức – Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định) Chẳng hạn: 1 A B = + ( x − a)( x − b)... BTTH 2008 ) 2)Bài tập áp dụng: Tính các tích phân sau π 2 1, sin 2 x cos xdx ∫ (§Ị thi TN THPT 2005 + HKII 2008 ) 0 2 dx ∫ 3x − 1 dx 2, 1 1 ∫ 3, 3x + 1dx (§Ị thi TN THPT 2008(2)) 0 π 4 4 ∫ cot xdx π 6 5 π 6 ∫ 1 ∫x 0 ∫x 1 x 2 + 1dx 8 ∫x 1 3 1 − x 2 dx 0 0 1 7, 6, 1 + 4sin xcosxdx x 2 + 1dx 9 0 ∫ 0 x π 2 2 x +1 3 dx 5 10, ∫ sin xcos xdx π 3 Phương pháp 3: Tính tích phân bằng phương pháp ®ỉi biÕn sè: β Cơng ... Tính tích phân phương pháp ®ỉi biÕn sè: β Cơng thức tổng qt: b ∫α f ϕ ( x ) .ϕ′ ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt a Cơng thức trên, tích phân cần tính tích phân vế trái Hàm số dấu tích phân có dạng tích. .. Sách giáo khoa giải tích 12 b) Sách giáo viên giải tích 12 c) Tuyển tập chun đề kỹ thuật tính tích phân – Trần Phương d) Đạo hàm tích phân – Võ Đại Mau & Võ Đại Hồi Đức e) Các dạng tốn giải tích. .. nêu mà tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “MỘT SỐ KINH NGHIỆM TRONG DẠY HỌC NGUN HÀM- TÍCH PHÂN KHỐI GIÁO DỤC THƯỜNG XUN” Cơ sở lý luận 1.1 Vị trí mơn Tốn nhà trường : Mơn tốn mơn học khác cung