Nguyên hàm và tích phân

Tài liệu học, tài liệu ôn thi, bài tập sử dụng công thức nguyên hàm và tích phân

Bài 1. Bài t p s d ng công th c nguyên hàm, tích phânậ ử ụ ứCH NG II. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂNƯƠBÀI 1. BÀI T P Ậ S D NG CÔNG TH C NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN Ử Ụ ỨI. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN B T Ấ Đ NHỊ1. Đ nh nghĩa:ị• Giả sử y = f(x) liên t c trên kho ng (ụ ả a, b), khi đó hàm s ố y = F(x) là m tộ nguyên hàm c a hàm s ủ ố y = f(x) khi và ch khi Fỉ ′ (x) = f(x), ∀x∈(a, b).• N u ế y = F(x) là m t nguyên hàm c a hàm s ộ ủ ố y = f(x) thì t p h p t t c cácậ ợ ấ ả nguyên hàm c a hàm s ủ ố y = f(x) là t p h p I ậ ợ ={ }+ ∈F( x ) c c R và tập hợp này còn đ c kí hi u d i d u tích phân b t đ nh ượ ệ ướ ấ ấ ị= = +∫I f ( x )dx F( x ) c2. Vi phân:2.1 Giả sử y = f(x) xác đ nh trên kho ng (ị ả a, b) và có đ o hàmạ t i đi m ạ ể x∈(a,b). Cho x m t s gia ộ ố ∆x sao cho (x + ∆ x) ∈ (a,b), khi đó ta có:• Công thức vi phân theo s giaố : ( )( ) ( )′= ∆′= ∆dy y x xdf x f x x• Công th c bi n đ i vi phân: ứ ế ổCh n hàm s ọ ố y = x ⇒ dy = dx = x’.∆x = ∆x ⇒ dx = ∆x.V y ta có: ậ( )( ) ( )′= ∆′= ∆dy y x xdf x f x x ⇔ ( )( ) ( )′=′=dy y x dxdf x f x dx • N u hàm s ế ố f(x) có vi phân t i đi m ạ ể x thì ta nói f(x) kh vi t i đi m ả ạ ể x.Do ( ) ( )df x f x x′= ∆ nên f(x) kh vi t i đi m ả ạ ể x ⇔ f(x) có đ o hàm t i đi m ạ ạ ể x2.2. Tính chất: Gi s u và v là 2 hàm s cùng kh vi t i đi m ả ử ố ả ạ ể x. Khi đó: ( ) ( )()−± = ± = + =2udv vduud u v du dv ; d uv udv vdu ; dvv2.3 Vi phân của hàm hợpNếu ==y f ( u )u g( x ) và f, g kh vi thì ả( ) ( ) ( )′′= =dy f u du f u u x dx1 Ch ng II. Nguyên hàm và tích ươ phân − Tr n Ph ngầ ươ3. Quan h gi a đ o hàm ệ ữ ạ − nguyên hàm và vi phân:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )′= + ⇔ = ⇔ =∫f x dx F x c F x f x dF x f x dx4. Các tính ch t c a nguyên hàm và tích phânấ ủ4.1. N u ế f(x) là hàm s có nguyên hàm thì ố( )( )( )′=∫f x dx f x ; ( )( )( )=∫d f x dx f x dx4.2. N u F(ế x) có đ o hàm thì: ạ ( )( )( )= +∫d F x F x c4.3. Phép cộng: N u ế f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:( ) ( ) ( ) ( ) + = + ∫ ∫ ∫f x g x dx f x dx g x dx4.4. Phép trừ: N u ế f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:( ) ( ) ( ) ( ) − = − ∫ ∫ ∫f x g x dx f x dx g x dx4.5. Phép nhân với một hằng số thực khác 0: ( ) ( )=∫ ∫kf x dx k f x dx, ∀k ≠ 04.6. Công thức đổi biến số: Cho y = f(u) và u = g(x). N u ế( ) ( )= +∫f x dx F x c thì ( )( )( ) ( ) ( )′= = +∫ ∫f g x g x dx f u du F u c5. Nh n xét:ậ N u ế( ) ( )= +∫f x dx F x c v i F(ớ x) là hàm s c p thì ta nói tíchơ ấ phân b t đ nh ấ ị( )∫f x dx bi u di n đ c d i d ng h u h n. Ta có nh n xét:ể ễ ượ ướ ạ ữ ạ ậ N u m t tích phân b t đ nh bi u di n đ c d i d ng h u h n thì hàm sế ộ ấ ị ể ễ ượ ướ ạ ữ ạ ố d i d u tích phân là hàm s c p và đi u ng c l i không đúng, t c là cóướ ấ ơ ấ ề ượ ạ ứ nhi u hàm s d i d u tích phân là hàm s c p nh ng tích phân b t đ nhề ố ướ ấ ơ ấ ư ấ ị không bi u di n đ c d i d ng h u h n m c dù nó t n t i. Ch ng h nể ễ ượ ướ ạ ữ ạ ặ ồ ạ ẳ ạ các tích phân b t đ nh sau t n t iấ ị ồ ạ 2 Bài 1. Bài t p s d ng công th c nguyên hàm, tích phânậ ử ụ ứ−∫ ∫ ∫ ∫ ∫2xdx sin x cos xe dx ; ; sin x dx ; dx ; dxln x x x nh ng chúng không th bi u di n đ c d i d ng h u h n.ư ể ể ễ ượ ướ ạ ữ ạ3 Ch ng II. Nguyên hàm và tích ươ phân − Tr n Ph ngầ ươII. TÍCH PHÂN XÁC Đ NHỊ1. Đ nh nghĩa:ịGi s hàm s ả ử ố f(x) xác đ nh và b ch n trên đo n [ị ị ặ ạ a, b]. Xét m t phân ho chộ ạ π b t kì c a đo n [ấ ủ ạ a, b], t c là chia đo n [ứ ạ a, b] thành n ph n tuỳ ý b i cácầ ở đi m chia: ể−= < < < < =0 1 n 1 na x x . x x b . Trên m i đo n ỗ ạ[ ]−k 1 kx ,x l y b t kìấ ấ đi m ể[ ]1k k kx , x−ξ ∈ và g i ọ1k k kx x−∆ = − là đ dài c a ộ ủ[ ]1k kx , x−. Khi đó: ( )( ) ( )( )== + + +∑nk k 1 1 2 2 n nk 1f f f . fξ ∆ ξ ∆ ξ ∆ ξ ∆ g i là t ng tích phân c a hàmọ ổ ủ f(x) trên đo n [ạ a, b]. T ng tích phân này ph thu c vào phân ho ch ổ ụ ộ ạ π, số kho ng chia n và ph thu c vào cách ch n đi m ả ụ ộ ọ ể ξk.N u t n t i ế ồ ạ( )→=∑knk kMax 0k 1lim f∆ξ ∆ (là m t s xác đ nh) thì gi i h n này g i làộ ố ị ớ ạ ọ tích phân xác đ nh c a hàm s ị ủ ố f(x) trên đo n [ạ a, b] và kí hi u là: ệ( )∫baf x dx Khi đó hàm s ố y = f(x) đ c g i là kh tích trên đo n [ượ ọ ả ạ a, b]2. Đi u ki n kh tích:ề ệ ảCác hàm liên t c trên [ụ a, b], các hàm b ch n có h u h n đi m gián đo n trênị ặ ữ ạ ể ạ [a, b] và các hàm đ n đi u b ch n trên [ơ ệ ị ặ a, b] đ u kh tích trên [ề ả a, b].3. Ý nghĩa hình h c:ọN u ế f(x) > 0 trên đo n [ạ a, b] thì ( )∫baf x dx là di n tích c a hình thang congệ ủ gi i h n b i các đ ng: ớ ạ ở ườ y = f(x), x = a, x = b, y = 04Oyx0a=x1ξ1x2ξx2 k­1x xkxnxn­1=b . .k­1ξ ξk n­1ξ ξnC12C3Ck­1NkNn­1CnCnNN1CkB12BBkBnBk+1 Bài 1. Bài t p s d ng công th c nguyên hàm, tích phânậ ử ụ ứ4. Các đ nh lý, tính ch t và công th c c a tích phân xác đ nh:ị ấ ứ ủ ị4.1. Định lý 1: N u ế f(x) liên t c trên đo n [ụ ạ a, b] thì nó kh tích trên đo n [ả ạ a, b]4.2. Định lý 2: N u ế f(x), g(x) liên t c trên ụ đo n [ạ a, b] và f(x) ≤ g(x),∀x∈[a, b] thì ( ) ( )≤∫ ∫b ba af x dx g x dx. D u b ng x y ra ấ ằ ả ⇔ f(x) ≡ g(x), ∀x∈[a, b]4.3. Công thức Newton ­ Leipnitz:N u ế( ) ( )= +∫f x dx F x c thì ( ) ( ) ( ) ( )= = −∫bbaaf x dx F x F b F a4.4. Phép cộng: ( ) ( ) ( ) ( ) + = + ∫ ∫ ∫b b ba a af x g x dx f x dx g x dx4.5. Phép trừ: ( ) ( ) ( ) ( ) − = − ∫ ∫ ∫b b ba a af x g x dx f x dx g x dx4.6. Phép nhân với một hằng số khác 0: ( ) ( )=∫ ∫b ba akf x dx k f x dx , ∀k ≠ 04.7. Công thức đảo cận tích phân:  ( ) ( )= −∫ ∫b aa bf x dx f x dx ; ( )=∫aaf x dx 04.8. Công thức tách cận tích phân: ( ) ( ) ( )= +∫ ∫ ∫b c ba a cf x dx f x dx f x dx4.9. Công thức đổi biến số:Cho y = f(x) liên t c trên đo n [ụ ạ a, b] và hàm x = ϕ(t) kh vi, liên t c trênả ụ đo n [ạ m, M] và [ ]( )[ ]( )∈ ∈= =t m ,M t m,MMin t a; Max t bϕ ϕ; ( )( )= =m a; M bϕ ϕ. Khi đó ta có: ( ) ( )[ ]( )′=∫ ∫b Ma mf x dx f t t dtϕ ϕ4.10. Công thức tích phân từng phần:Gi s hàm s ả ử ố u(x), v(x) kh vi, liên t c trên [ả ụ a, b], khi đó:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )′ ′= −∫ ∫b bbaa au x v x dx u x v x v x u x dx5 Ch ng II. Nguyờn hm v tớch phõn Tr n Ph ng Iii. Bảng công thức nguyên hàm mở rộng( )1111ax bax b dx c ,a++ + = + + ( ) ( )1cos ax b dx sin ax ba+ = + + c1dxln ax b cax b a= + ++ + c( ) ( )1sin ax b dx cos ax b ca+ = + +1ax b ax be dx e ca+ += +( ) ( )1tg ax b dx ln cos ax b ca+ = + +1ax b ax bm dx m ca ln m+ += +( ) ( )1cotg ax b dx ln sin ax b ca+ = + +2 21dx xarctg ca aa x= ++( )( )21dxcotg ax b casin ax b= + ++2 212dx a xln ca a xa x+= +( )( )21dxtg ax b cacos ax b= + ++( )2 22 2dxln x x a cx a= + + ++2 2x xarcsin dx x arcsin a x ca a= + +2 2dx xarcsin caa x= +2 2x xarccos dx x arccos a x ca a= +2 21dx xarccos ca ax x a= +( )2 22x x aarctg dx x arctg ln a x ca a= + +2 22 21dx a x aln ca xx x a+ += ++( )2 22x x aarc cotg dx x arc cotg ln a x ca a= + + +( ) ( )bln ax b dx x ln ax b x ca + = + + + ( )12dx ax bln tg csin ax b a+= ++2 2 22 22 2x a x a xa x dx arcsin ca = + +( )12dx ax bln tg csin ax b a+= ++( )2 2axaxe a sin bx b cos bxe sin bx dx ca b= ++( )2 2axaxe a cos bx b sin bxe cos bx dx ca b+= ++6 Bài 1. Bài t p s d ng công th c nguyên hàm, tích phânậ ử ụ ứIV. NHỮNG CHÚ Ý KHI S D NG CÔNG TH C KHÔNG CÓ TRONG SGK 12Ử Ụ ỨCác công th c có m t trong II. mà không có trong SGK 12 khi s d ng ph iứ ặ ử ụ ả ch ng minh l i b ng cách trình bày d i d ng b đ . Có nhi u cách ch ngứ ạ ằ ướ ạ ổ ề ề ứ minh b đ nh ng cách đ n gi n nh t là ch ng minh b ng cách l y đ o hàmổ ề ư ơ ả ấ ứ ằ ấ ạ1. Ví dụ 1: Ch ng minh: ứ2 2dx 1 x aln c2a x ax a−= ++−∫; 2 2dx 1 a xln c2a a xa x+= +−−∫Chứng minh: 2 2dx 1 1 1 1 dx dx 1 x adx ln c2a x a x a 2a x a x a 2a x ax a−   = − = − = +   − + − + +   −∫ ∫ ∫ ∫( )2 2dx 1 1 1 1 dx d a x 1 a xdx ln c2a a x a x 2a a x a x 2a a xa x − + = + = − = +   + − + − −   −∫ ∫ ∫ ∫2. Ví dụ 2: Ch ng minh r ng: ứ ằ( )2 22 2dxln x x ax a= + ++∫ + cChứng minh: L y đ o hàm ta có: ấ ạ( )( )2 22 22 21 x aln x x a cx x a′′+ + + + + = + + = 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 21 x 1 x x a 11x x a x a x x a x a x a+ + = + = ⋅ = + + + + + + + 3. Ví dụ 3: Ch ng minh r ng:ứ ằ2 2dx 1u caa x= ++∫ (v i ớxtg ua= )Đ t ặxtg ua=, ()u ,2 2π π∈ − ⇒ ( )( )2 22 2d a tg udx 1 1du u ca aa xa 1 tg u= = = +++∫ ∫ ∫4. Ví dụ 4: Ch ng minh r ng: ứ ằ2 2dxu ca x= +−∫ (v i ớxsin ua=, a > 0)Đ t ặxsin ua=,u∈,2 2π π −   ⇒ ( )( )2 22 2dx d a sin udu u ca xa 1 sin u= = = +−−∫ ∫ ∫Bình luận: Tr c năm 2001, SGK12 có cho s d ng công th c nguyên hàm ướ ử ụ ứ2 2dx 1 xarctg ca aa x= ++∫ và 2 2dx xarcsin caa x= +−∫ (a > 0) nh ng sau đó khôngư gi ng b t c n c nào trên th gi i, h l i c m không cho s d ng khái ni mố ấ ứ ướ ế ớ ọ ạ ấ ử ụ ệ hàm ng c arctg ượ x, arcsin x. Cách trình bày trên đ kh cể ắ ph c l nh c m này.ụ ệ ấ7 Ch ng II. Nguyên hàm và tích ươ phân − Tr n Ph ngầ ươV. CÁC D NG TÍCH PHÂN Đ N GI NẠ Ơ ẢV.1. CÁC K NĂNG C B N:Ỹ Ơ Ả1. Bi u di n lu th a d ng chính t c: ể ễ ỹ ừ ạ ắ=1nnx x ; = =m mnn km mn nkx x ; x x−−= =1nnnn1 1x ; xxx ; −=mnnm1xx ; −=mnknkm1xx2. Bi n đ i vi phân: ế ổdx = d(x ± 1) = d(x ± 2) = … = d(x ± p)adx = d(ax ± 1) = d(ax ± 2) = … = d(ax ± p)()()x p1x 1 x 2dx d d da a aa± ± ±= = = =  LV.2. CÁC BÀI T P M U MINH HOẬ Ẫ Ạ1. 3dx1xx −∫( )321 1 1dx 1 dx1 1xx xx x− + = = + + + − − ∫ ∫ =( )( )2 3 211 11 dx ln 11 3 2d xx x x x x x cx−+ + + = + + + − +−∫ ∫2. ( )14 7 dx = 4 7 7 4 7 dx4x x x x+  + −  + ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 5 312 2 2 21 1 2 24 7 7 4 7 4 7 4 7 7 4 716 16 5 3x x d x x x c  = + − + + = + − ⋅ + +   ∫3. ( )( )( )172 2 2d 2d 12 522 5xxIxx= =++∫ ∫1 10arctg510x c = +  4. ( )( )( )xdx 1 2 1 1 1 1 22 lnln 2 5ln 2 5ln 22 + 5 2 2 5 2 52 2 5x xxx x xx xdd c = = − = + + + +∫ ∫ ∫5. ( )( )53 2 3coscos 1 sin 1 sin cos cos sin dx1 sinxdx x x dx x x x xx = + = − + −∫ ∫ ∫( )( ) ( )3 42 3sin cos1 sin sin cos cos sin3 4x xx d x xd x x c= − − = − − +∫ ∫8 Bài 1. Bài t p s d ng công th c nguyên hàm, tích phânậ ử ụ ứV.3. CÁC BÀI T P DÀNH CHO B N Đ C T GI IẬ Ạ Ọ Ự Ả( ) ( ) ( ) ( )1x 1 x 2 x 3 x 4J dxx x+ + + +=∫ ; 27x 3J dx2x 5−=+∫ ; 233x 7x 5J dxx 2− +=−∫( )3 2 2 24 5 6102x 5x 7x 10 4x 9x 10 2x 3x 9J dx ; J dx ; J dxx 1 2x 1x 1− + − − + − += = =− −−∫ ∫ ∫( ) ( )3 2 3 27 815 30x 3x 4x 9 2x 5x 11x 4J dx ; J dxx 2 x 1− + − + − += =− +∫ ∫( ) ( ) ( ) ( )( )( )∫∫∫−−+=+−=−+=dx1x25x3xJ;dx2x51xJ;dx1x3xJ332111521031009( )( )( )( )2432 4 55912 13 1447x 3x 5J 2x 3 . x 1 dx ; J dx ; J x . 2x 3 dx2x 1− += + − = = ++∫ ∫ ∫( )9 315 16 174 2 2105x x xJ dx ; J dx ; J dxx x 1 x x 12 3x= = =+ − − −−∫ ∫ ∫( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )18 19 202 2 2 2dx dx dxJ ; J ; Jx 2 x 5x 2 x 6 x 2 x 3= = =− ++ + − +∫ ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 22 232 2 2 2 2 2x dx dx dxJ ; J ; Jx 3 x 7 3x 7 x 2 2x 5 x 3= = =− − + + + −∫ ∫ ∫ln 2 ln 2 ln 2 ln 22x xx24 25 26 27xx x1 0 0 0dx e dx 1 eJ ; J ; J e 1 dx ; J dx1 ee 1 e 1−= = = + =+− +∫ ∫ ∫ ∫( ) ( )2 2x x1 1 1 1x28 29 30 31x 2x 2x x 3x0 0 0 01 e dx 1 ee dx dxJ ; J ; J ; J dx1 e 1 e e e e−−+ += = = =+ + +∫ ∫ ∫ ∫ln 2 ln 4 1 e3x32 33 34 35x 3 x x x0 0 0 1dx dx e dx 1 ln xJ ; J ; J ; J dxxe e 4e 1 e−+ − −+= = = =− +∫ ∫ ∫ ∫( )3 1 165 2 5 3 3 236 37 380 0 0J x 1 x dx ; J x 1 x dx ; J x 1 x dx= + = − = −∫ ∫ ∫( )2x1 1 1 12x x39 40 41 42x x x x0 0 0 02 1 dxdx dxJ ; J ; J ; J e 1 e dx4 3 4 2 4− −+= = = = ++ +∫ ∫ ∫ ∫9 . nguyên hàm, tích phân ử ụ ứCH NG II. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂNƯƠBÀI 1. BÀI T P Ậ S D NG CÔNG TH C NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN Ử Ụ ỨI. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN. đ o hàm ệ ữ ạ − nguyên hàm và vi phân: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )′= + ⇔ = ⇔ =∫f x dx F x c F x f x dF x f x dx4. Các tính ch t c a nguyên hàm và tích phân