Phần 3 gồm 2 chuyên đề: CHUYÊN ĐỀ 8: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHUYÊN ĐỀ 9: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ........................................................................................................ ........................................................................................................
Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 CHUYÊN ĐỀ 8: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Biên soạn sưu tầm: Nguyễn Minh Nhiên – Sở GD&ĐT THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 1.1 Kiến thức liên quan 1.1.1 Tỉ số lượng giác góc nhọn MH • sin α = OM • cos α = OH OM • tan α = MH OH OH MH 1.1.2 Hệ thức lượng tam giác vuông Cho ∆ABC vuông A 2 • Định lý Pitago: BC = AB + AC hay a = b + c 2 • BA = BH BC ; CA = CH CB hay b = a.b ', c = a.c ' • AB AC = BC AH hay bc = ah 1 1 1 = + = 2+ • 2 hay AH AB AC h b c BC = AM • 1.1.3 Hệ thức lượng tam giác thường • Định lý hàm số Côsin: a = b + c − 2bc.cos A a b c = = = 2R • Định lý hàm số Sin: sin A sin B sin C 1.1.4 Các công thức tính diện tích a Công thức tính diện tích tam giác 1 • S = a.ha = bhb = chc 2 1 • S = ab sin C = bc sin A = ca sin B 2 • cot α = • VABC A′B′C ′ = S ABC AA′ = a 183 S = pr • • S= p ( p − a )( p − b)( p − c ) với p = a+b+c (Công thức Hê-rông) 108 Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Đặc biệt: • ∆ABC vuông A: S = AB AC a2 ∆ ABC • cạnh a: S = b Diện tích hình vuông cạnh a: S = a (H.1) c Diện tích hình chữ nhật: S = a.b (H.2) d Diện tích hình thoi: S = m.n (H.3) e Diện tích hình thang: S = h ( a + b ) (H.4) 1.1.5 Một số tính chất đặc biệt thường sử dụng • Đường chéo hình vuông cạnh a d = a (H.5) a (H.6) • Đường cao tam giác cạnh a h = • Điểm G trọng tâm tam giác ABC AG = 1.1.6 Thể tích khối đa diện a Thể tích khối lăng trụ • Thể tích khối lăng trụ: AM (H.7) V = Bh , với B diện tích đáy ; h chiều cao •Thể tích khối hộp chữ nhật: V = abc , với a, b, c chiều dài, rộng, cao •Thể tích khối lập phương: V = a với a cạnh 109 Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 b.Thể tích khối chóp •Thể tích khối chóp: V = Bh , với B diện tích đáy, h chiều cao 1.2.Phương pháp tính thể tích khối đa diện 1.2.1.Phương pháp tính trực tiếp việc sử dụng công thức thể tích Khi tính thể tích khối đa diện cần quan tâm hai yếu tố quan trọng xác định thể tích là: chiều cao diện tích đáy dựa công cụ học hệ thức lượng tam giác thường, hệ thức lượng tam giác vuông,… a Thể tích khối chóp Ví dụ (Đề thi TSĐH Khối A năm 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM theo a Lời giải Vì SH ⊥ ( ABCD ) nên 1 VS CDMN = SH SCDMN = SH ( S ABCD − S BCM − S AMN ) 3 5 3 = a a2 = a 24 *Nhận xét: Trong nhiều toán yếu tố quan trọng chiều cao Với khối chóp cần xác hóa đường cao (chân đường cao) hình chóp Ở ta liệt kê số trường hợp thường gặp sau: Ví dụ Tính thể tích khối chóp tứ giác S.ABCD có độ dài tất cạnh a Lời giải Gọi H tâm hình vuông Vì S ABCD hình chóp nên SH ⊥ ( ABCD ) Do đó, VS ABCD = SH S ABCD 110 Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Vì ABCD hình vuông nên S ABCD = AB = a (đvdt) Ta có SA2 + SC = AB + BC = AC = 2a nên ∆SAC vuông S, mà H trung điểm AC nên SH = AC a = 2 1 a 2 ⇒ VS ABCD = SH S ABCD = a = a (đvtt) 3 *Nhận xét: Với khối chóp đều, chiều cao đoạn thẳng nối đỉnh tâm đáy Ví dụ Tính thể tích khối chóp tam giác S.ABC, biết cạnh đáy a cạnh bên hợp đáy góc 600 Lời giải Gọi H tâm tam giác ABC , M trung điểm BC Vì S ABC hình chóp nên SH ⊥ ( ABC ) Do đó, VS ABC = SH S ABC Vì ABC tam giác nên AM ⊥ BC Trong tam giác vuông ACM , AM = AC − CM = a − a 3a = ⇒ AM = a (1) 4 AM BC = a (đvdt) (2) Mà ta lại có AM ⊥ BC , SH ⊥ BC nên SM ⊥ BC Do đó, Góc mặt phẳng ( SBC ) mặt ⇒ S ABC = · phẳng ( ABC ) góc SM AM hay góc SMA = 600 AM = a SH a · = ⇒ SH = HM tan 600 = Trong tam giác vuông SHM , tan SMH HM Do H trọng tâm tam giác ABC nên HM = 1 a 3 ⇒ VS ABC = SH S ABC = a = a (đvtt) 3 24 *Ghi nhớ: + Cách xác định góc đt d mặt phẳng ( α ) : -Nếu d ⊥ ( α ) góc d ( α ) 900 -Nếu d ⊥ ( α ) góc d ( α ) góc d d’ hình chiếu d ( α ) +Cách xác định góc hai mặt phẳng ( α ) ( β ) 111 Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 -Cách 1: Xác định hai đt A, B cho a ⊥ ( α ) , b ⊥ ( β ) góc ( α ) ( β ) góc a b -Cách 2: Nếu giao tuyến ( α ) ( β ) d xác định hai đt A, B nằm ( α ) ( β ) cho a ⊥ d , b ⊥ d thì góc ( α ) ( β ) góc a b Ví dụ Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác cạnh a, BCD tam giác vuông cân D, mặt phẳng π r Tính thể tích khối tứ diện ABCD Lời giải Gọi H trung điểm BC AH ⊥ BC Ta có tam giác ABC nên mà ( ABC ) ⊥ ( BCD ) , ( ABC ) ∩ ( BCD ) = BC ⇒ AH ⊥ ( BCD) Ta có ∆ABC tam giác cạnh a nên AH = a Mà ∆BCD tam giác vuông cân nên a BC = ⇒ BD = DH = a 2 a2 ⇒ S BCD = BD = (đvdt) DH = 1 a2 3 ⇒ VABCD = AH S BCD = a= a (đvtt) 3 24 *Nhận xét: Hình chóp có mặt bên mặt chéo vuông góc với đáy góc chân đường cao thuộc giao tuyến mặt với đáy, đường cao nằm mặt bên mặt chéo ( α ) ⊥ ( β ) *Ghi nhớ: ( α ) ∩ ( β ) = d ⇒ a ⊥ ( β ) a ⊂ ( α ) , a ⊥ d Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a Hai mặt bên 112 Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 (SAB) (SAD) vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Lời giải ( SAB) ⊥ ( ABCD ) Ta có: ( SAD ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ ( ABCD ) ( SAB ) ∩ ( SAD ) = SA Do đó, VS ABCD = SA.S ABCD Diện tích đáy ABCD là: S ABCD = AB.BC = 2a Do AC hình chiếu SC mặt phẳng ( ABCD ) nên góc SC mặt phẳng ( ABCD ) · góc SCA = 600 · Ta có: AC = AB + BC = a ⇒ SA = AC.tan SCA = a 5.tan 600 = a 15 Vậy thể tích khối chóp là: VS ABCD 2a 15 (đvtt) = *Nhận xét: Hình chóp có hai mặt bên kề vuông góc với đáy đường cao giao tuyến hai mặt Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, BC = 2a Các cạnh bên SA = SB = SC = 2a Tính thể tích khối chóp S ABC Lời giải Gọi H hình chiếu S mặt phẳng ( ABC ) đường xiên SA = SB = SC nên hình chiếu tương ứng HA = HB = HC Do đó, H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC mà tam giác ABC vuông A nên H trung điểm BC Vì SBC tam giác cạnh 2a nên đường cao SH = 2a =a Theo định lí Pitago, AC = BC − AB = 3a ⇒ AC = a ⇒ S ABC 2 a2 (đvdt) = AB AC = 2 a3 Nên thể tích khối chóp là: VS ABC = SH S ABC = (đvtt) *Nhận xét: Hình chóp có cạnh bên (hoặc hợp đáy góc nhau) chân đường cao tâm đường tròn ngoại tiếp đáy 113 Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Ví dụ (Đề TSĐH khối A năm 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A,D; AB=AD=2a, CD=a, góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 gọi I trung điểm AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính VS ABCD Lời giải Gọi H hình chiếu I BC Từ giả thiết suy SI vuông góc với mặt đáy Ta dễ dàng tính được: IC = a 2, IB = BC = a , S ABCD = Ta có AD ( AB + CD ) = 3a 2 IH BC = S IBC = S ABCD − S ABI − SCDI a 3a = 3a − a − = 2 nên IH = S BCI 3 = a BC Từ tìm VS ABCD = 15 a (đvtt) Ví dụ 10 Hai cạnh đối diện tứ diện có độ dài x, cạnh khác có độ dài Với giá trị x thể tích tứ diện đạt giá trị lớn ? Lời giải Giả sử SA = BC = x, cạnh khác tứ diện có độ dài Gọi I, D trung điểm BC & SA S Ta có: SA ⊥ (BCD) Do đó: 1 V = dt ∆BCD.SA = BC.ID.SA D C A mà ID = CD2 – CI2 = SC2 – SD2 – CI2 = – x H B x2 Suy ra, V = x − = x2 − 2x 12 2 Vì vậy, MaxV = đạt x = 3 114 I Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 b Thể tích khối lăng trụ Với thể tích khối lăng trụ ta sử dụng hướng để làm tìm cách xác định đường cao diện tích đáy Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB = 4a, AC = 5a mặt phẳng ( ABC ' D ') hợp đáy góc 450 Tính thể tích khối hộp chữ nhật Lời giải Theo ĐL Pitago ta có: BC = AC − AB = 3a ⇒ S ABCD = AB.BC = 12a (đvdt) ( ABCD ) ∩ ( ABC ' D ') = AB Do BC ⊂ ( ABCD ) , BC ⊥ AB BC ' ⊂ ( ABC ' D ') , BC ' ⊥ AB · Nên góc mặt phẳng ( ABC ' D ') đáy góc CBC ' = 450 Suy ra, tam giác vuông cân nên CC ' = BC = 3a Vậy thể tích khối hộp chữ nhật VABCD A ' B ' C ' D ' = CC '.S ABCD = 36a (đvtt) *Nhận xét:Với khối lăng trụ khối đa diện khác ta sử dụng số hướng sau: +Sử dụng trực tiếp công thức biết thể tích khối lăng trụ +Quy tính thể tích khối chóp đặc biệt + Chia nhỏ thành nhiều khối chóp để tính +Bù thêm vào khối đa diện phức tạp để khối đa diện dễ tính thể tích Ví dụ Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A ' B ' C ' , đáy tam giác cạnh a diện tích tam giác A ' BC 2a Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải Gọi I trung điểm BC a Ta có ∆ABC nên AI = AB = 2 Vì AI hình chiếu A’I mặt phẳng ( ABC ) , AI ⊥ BC ⇒ A′I ⊥ BC (ĐL ba đường vuông góc) 2S S A′BC = BC A′I ⇒ A′I = A′BC = 4a BC Do tam giác AIA’ vuông A nên AA′ = A′I − AI = VABC A′B′C ′ = S ABC AA′ = a 183 (đvtt) 115 61 a Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Ví dụ Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A với AC = a, ·ACB = 600 , biết BC' hợp với ( AA ' C ' C ) góc 300 Tính AC' thể tích khối lăng trụ Lời giải Ta có ABC tam giác vuông A với AC = a, ·ACB = 600 ⇒ AB = AC.tan 60o = a Ta có: AB ⊥ AC ; AB ⊥ AA′ ⇒ AB ⊥ ( AA′C ′C ) nên AC' hình chiếu BC' ( AA ' C ' C ) Vậy góc BC’ mặt phẳng ( AA ' C ' C ) góc ·AC ' B = 300 AB ⇒ AC ′ = = 3a tan 30o Trong tam giác vuông AC ' A ' , AA ' = AC '2 − A ' C '2 = 8a = 2a Trong tam giác vuông ABC , AB tan ·ACB = = ⇒ AB = a AC ⇒ S ABC = a2 (đvdt) AB AC = 2 Vậy VABC A ' B ' C ' = AA '.S ABC = a (đvtt) Ví dụ · Cho hình hộp đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD = 600 , biết AB' hợp với đáy ( ABCD ) góc 300 Tính thể tích khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Lời giải Vì ∆ABD cạnh a nên a2 a2 ⇒ S ABCD = S ABD = ∆ABB′ vuông B ⇒ BB′ = AB tan 30o = a S ABD = Vậy VABCD A ' B ' C ' D ' 3a = S ABCD BB′ = (đvtt) Ví dụ Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a, biết cạnh bên a hợp với đáy ABC góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải Ta có C ′H ⊥ ( ABC ) ⇒ CH hình chiếu CC' (ABC) 3a ⇒ C ′H = CC ′.sin 600 = Nên góc CC’ mặt phẳng ( ABC ) 600 116 Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 a2 S ABC = 3a 3 Vậy V = S ABC C H = ′ Ví dụ Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D có đáy hình chữ nhật với AB = a 3, AD = a Hai mặt bên ( ABB’ A’) ( ADD’ A’) tạo với đáy góc 450 ,600 Tính thể tích khối hộp biết cạnh bên a Lời giải Gọi H hình chiếu A’ mặt phẳng ( ABCD ) , M,N hình chiếu AD,AB Dễ thấy, góc mặt ( ABB’ A’) ( ADD’ A’) đáy ·ANH = 450 , ·AMH = 600 Đặt A’H = x ta có: NH = A ' H cot ·ANH = x x MH = A ' H cot ·AMH = Vì AMHN hình chữ nhật nên x2 4x2 AH = AM + AN = x + = 3 4x2 x2 = ⇒x=a mà AA ' = AH + A ' H ⇒ a = x + 3 2 2 Vậy VABCD A ' B ' C ' D = S ABCD A ' H = a 3.a 7.a = 3a (đvtt) Ví dụ a Mặt phẳng (α) qua A,K song song với BD chia khối lập phương trình hai phần Tính tỷ số thể tích hai phần Lời giải Gọi O,O’ tâm hình vuông ABCD,A’B’C’D’, M = AK ∩ OO′ Qua M kẻ đường thẳng song song với BD cắt BB’,DD’ E,F Khi đó, thiết diện tạo (α) hình lập phương hình bình hành AEKF a Có OM đường trung bình tam giác ACK nên OM = CK = Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, K ∈ CC ′ cho CK = 117 Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Đ/S: B(2;4);C(-1;3) 31) Hình vuông ABCD, A(1;2), BD: x-2y+1=0 Viết phương trình cạnh hình vuông Đ/S: x+3y-7=0; 3x-y-1=0; x+3y-3=0; 3x-y-5=0 32) Cho hình vuông ABCD, AC: x+2y-3=0, D ∈ d : x − y − = , đường thẳng BC qua M(7;-7) Tìm tọa độ tâm hình vuông Đ/S: TH1: I(1;1); TH2:I(5;-1) BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN 2.1 Dạng Bài toán tâm bán kính Bài 1: Xác định tâm bán kính đường tròn sau a) x + y − x + y − = b) x + y + x − y − = c) x + y + x − y + = d) x + y + x − y + = Bài 2: Cho đường (C): x + y − 2mx + 2(m − 1) y + 3m − = a) Tìm m để (C) đường tròn b) Tìm quỹ tích tâm Bài 3: Cho đường ( Ca ): x + y − 2(a + 1) x − 4(a − 1) y + − a = a) Tìm a để ( Ca ) đường tròn b) Tìm a để ( Ca ) tiếp xúc với đường thẳng y=x Bài 4: Cho ( Cm ): x + y + 2(m − 1) x − 2(m − 2) y + m − 8m + 13 = c) Tìm m để (C m ) đường tròn d) Tìm quỹ tích tâm Bài 5: Cho ( Cm ): x + y + 2mx − y + − m = a) Chứng minh ( Cm ) đường tròn với m b) Tìm quỹ tích tâm m thay đổi Bài 6: Cho ( Cm ): x + y − 2mx − 2(m + 1) y + 2m − = a) Chứng minh ( Cm ) đường tròn với m b) Tìm quỹ tích tâm m thay đổi c) Tìm đường tròn có bán kính nhỏ d) Tìm điểm cố định mà đường tròn qua Bài 7: Cho ( Cm ): x + y + (m + 2) x − (m + 4) y + m + = a) Chứng minh ( Cm ) đường tròn với m b) Tìm quỹ tích tâm m thay đổi c) Tìm đường tròn có bán kính nhỏ d) Tìm điểm cố định mà đường tròn qua 171 Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Bài 8: Yêu cầu giống Ví dụ với đường tròn sau ( Cm ): x + y − 2(m + 1) x − 2(m + 2) y + 6m + = ( Cm ): x + y − 2(m − 1) x + 4my + m + = ( Cm ): x + y − (m − 2) x + m = 2.2 Dạng 2: Viết phương trình đường tròn Bài 1: Viết phương trình đường tròn (C) biết 1) Qua A(2;4) tâm I(-1;3) 2) Đường kính AB với: A(1;-3); B(3;1) A(1;1); B(7;5) x = + 4t 3) Tâm I(5;6) tiếp xúc với đường thẳng d y = 3t 4) Tiếp xúc với d: x-y-2=0 M(1;-1) có bán kính R=3 5) Tiếp xúc với d: 3x-4y-31=0 M(1;-7) có bán kính R=5 6) Tiếp xúc với đường thẳng d: x-y-2=0 M(3;1) tâm I thuộc d ' : 2x-y-2=0 Tiếp xúc với đường thẳng d: x-y-1=0 A(2;1) tâm I thuộc d ' : x-2y-6=0 7) Qua A(-1;3);B(1;-5) tâm I thuộc trục tung 8) Qua A(3;1);B(-1;3) tâm I thuộc d: 3x-y-2=0 9) Qua A(1;0) tiếp xúc với d1 : x + y − = 0; d : x + y + = 10) Qua A(1;1);B(3;3) tiếp xúc với d: y=5 11) Qua A(1;2);B(3;4) tiếp xúc với d: y=3(1-x) 12) Tiếp xúc với d1 : x − y + = M(0;1), tiếp xúc với d : x + y + = Tiếp xúc với d1 : x − y − = A(1;2), tiếp xúc với d : x + y + 13 = 13) Tiếp xúc với d1 : x + y − 35 = 0; d : x − y − 35 = 0; d : x − = 14) Tâm I thuộc d: 3x-5y-8=0; tiếp xúc với Ox,oy Tâm I thuộc d: 2x-y-4=0; tiếp xúc với Ox,oy Tâm I thuộc d: 4x-5y-3=0; tiếp xúc với d1 : x − y − 10 = 0; d : x − y + = Tâm I thuộc d: x-6y-10=0; tiếp xúc với d1 : x + y + = 0; d : x − y − = 15) Qua A(3;2) tiếp xúc với Ox B(-1;0) Qua A(3;3) tiếp xúc với d: 2x+y-3=0 B(1;1) 16) Bán kính R=1, tiếp xúc với Ox, tâm I thuộc d: x+y-3=0 17) Tiếp xúc với d1 : x − y + = 0; d : x − y + = tâm I thuộc d : x = 18) Cho A(2;0); B(6;4) Viết phương trình đường tròn C tiếp xúc với Ox A, khoảng cách từ tâm I đến B 19) Qua điểm A(5;0);B(1;4) tâm I thuộc ∆ : x + y − = Qua điểm A(1;0);B(0;1) tâm I thuộc ∆ : x + y + = Qua điểm A(-1;2);B(3;0) tâm I thuộc ∆ : x + y − = Qua điểm A(0;1);B(2;5) tâm I thuộc ∆ : Ox 172 Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Qua điểm A(1;2);B(4;1) tâm I thuộc ∆ : x − y − = 20) Qua A(2;-1) tiếp xúc với Ox,Oy Qua A(4;2) tiếp xúc với Ox,Oy 21) Tâm I thuộc đường tròn (C): ( x − 2)2 + y = tiếp xúc với hai đường thẳng d1 : x − y = 0; d : x − y = 22) Tâm I thuộc đường thẳng d: x-y-1=0; tiếp xúc với d1 : x + y − = 0; d : x − y + = 23) Tâm I thuộc d: 3x+5y-8=0; tiếp xúc với Ox;Oy 24) Tâm I thuộc Ox; tiếp xúc với d1 : x + y + = 0; d : x + y − = 25) Tâm I thuộc d: 2x+y=0 tiếp xúc với d: x-7y+10=0 A(4;2) 26) Qua A(3;2) tiếp xúc với Ox B(-1;0) 27) Cho d: 2x-2y+1=0; (C): x + y − x = ; CMR d cắt (C) điểm phân biệt Lập phương trình đường tròn (C ' ) qua giao điểm tiếp xúc với x+y=0 28) Qua A(1;1) tiếp xúc với d1 : x + y − = 0; d : x + y − = Bài 2: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp 1) Qua điểm a) A(-2;0); B( 0;4); C(0;0) d) A(1;4); B(-4;0); C(-2;-2) b) A(-1;2); B(2;3); C(2;-1) d) A(1;1); B(3;-2); C(4;3) c) A(1;2); B(5;2); C(1;-3) d) A(4;1); B(4;-7); C(-5;2) x 2) Ngoại tiếp tam giác ABC có cạnh: y = − ; y = x + 2; y = − x 5 3) A(1;0); B(0;2) Tìm điểm M đối xứng với O qua AB,Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM 4) Tam giác ABC nhọn, A(5;4); B(2;7), AE, BF đường cao Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ABEF 5) Đường tròn qua A(3;5) cắt Oy B(0;4); C(0;-2) Bài 3: Đường tròn nội tiếp 1) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC: a) A(0;0); B(8;0); C(0;6) b)A(-1;7); B(4;-3); C(-4;1) 2) d1 : x − y − 12 = 0; d : x + y − 12 = Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác có cạnh thuộc Oy; d1; d Bài 4: Trục đẳng phương Qua điểm giao điểm đường tròn 1) Qua M(-1;-2) giao điểm d: x+7y+10=0 (C): x + y + x − 20 = 2) Qua M(1;-2) giao điểm d: x-7y+10=0 (C): x + y − x + y − 20 = 3) Qua giao điểm (C): x + y − 10 x = (C ' ): x + y + x − y − 20 = tâm I thuộc d: x+6y-6=0 173 Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 4) Qua giao điểm (C): ( x − 3) + ( y − 2) = (C ' ): ( x − 4)2 + y = tâm I thuộc d: y=x+2 5) Cho đường tròn (C): x + y − x + y − = (C ' ): x + y + x − y − 14 = a) Xác định giao điểm (C) (C ' ) b) Viết phương trình đường tròn qua A(0;1) giao điểm (C) (C ' ) c) Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với d: x+5=0 giao điểm (C) (C ' ) 6) Qua A(1;1); B(0;2) tiếp xúc với (C): x + y − 10 x − 10 y + 34 = 7) (C): x + y − x − y + 12 = (C ' ): x + y − x − y + 12 = Viết phươn trình đường tròn qua giao điểm (C) (C ' ) có bán kính R= 13 2.3 Tiếp tuyến đường tròn 2.3.1 Tiếp tuyến điểm Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y + x − y − = A(0;-1) Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y + x + y − = A(2;3) Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x − y − 25 = A(3;-2) Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x − y = giao điểm (C) d: 3x+4y-3=0 Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến (C): ( x − 2)2 + ( y − 1) = điểm có hoành độ Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến (C): ( x − 1) + ( y − 1) = điểm có tung độ Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x + y = giao điểm (C) Ox; Oy 2.3.2 Tiếp tuyến biết hệ số góc Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x + y + = biết tiếp tuyến // d: 5x+12y6=0 Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến (C): ( x − 1) + ( y − 2) = biết tiếp tuyến // d: 2x-y=0 Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x − y − = biết tiếp tuyến // d: 3x4y+1=0 Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x + y = biết tiếp tuyến ⊥ d: 3x-y+6=0 Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y + x − y − 20 = biết tiếp tuyến ⊥ d: x+y=0 Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y = tiếp tuyến tạo với Ox góc 450 Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x − y + = biết tiếp tuyến tạo với d: x+y+3=0 góc 45 2.3.3 Tiếp tuyến qua điểm 174 Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Bài 1: a) Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x − y − 12 = biết tiếp tuyến qua A(-2;-1) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x − y = biết tiếp tuyến qua O(0;0) c) Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x − y = biết tiếp tuyến qua A(3;-2) d) Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x − y − = biết tiếp tuyến qua A(-4;-6) Bài 2: A(2;-1);(C): ( x + 1) + ( y − 2) = CMR vẽ tiếp tuyến đến (C) Viết phương trình tiếp tuyến Bài 3: A(3;5);(C): x + y + x − y − = tiếp tuyến kẻ từ A đến (C) tiếp điểm M, N Viết phương trình đường thẳng qua MN Bài 4: M(-3;1); );(C): x + y − x − y + = Viết phương trình qua tiếp điểm tiếp tuyến qua M Bài 5: A(2;5); );(C): x + y + x − y − = a) Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ A đến (C) b) Gọi tiếp điểm I, J Tính độ dài đoạn IJ Bài 6: A(2;1) ; );(C): x + y − x + y + = Gọi tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ A đến (C) I, J Viết phương trình qua I, J Bài 7: Yêu cầu giống Ví dụ với a) A(0;-1) ; (C): x + y + x − y − = b) A(0;0) ; (C): x + y + 12 x − y + 44 = Bài 8: A(8;-1);(C): x + y − x − y + = Tính IJ, S AIJ với I, J tiếp điểm tiếp tuyến qua A đến (C) Bài 9: Yêu cầu giống Ví dụ với a)A(4;0);(C): x + y − x − y − = b)A(-2;2);(C): x + y − x − y − = c)A(1;0);(C): x + y − x − y + = Bài 10: A(5;4);(C): x + y + 2my = Tìm m để độ dài tiếp điểm Bài 11: (C): x + y − x − y + = ; d: x-y-1=0 Tìm m thuộc d kẻ tiếp tuyến, CMR pt qua tiếp điểm I, J qua điểm cố định Bài 12: (C): ( x + 2) + ( y − 1) = Tìm quỹ tích điểm qua kẻ tiếp tuyến vuông góc Bài 13: I(-2;1); d: 3x-4y=0 a) Viết phương trình đường tròn (C) tâm I tiếp xúc với d b) Tìm quỹ tích điểm mà vẽ tiếp tuyến vuông góc tới (C) Bài 14: Cho d: x-y+1=0; (C): x + y + x − y = Xác định M thuộc d để từ kẻ tiếp tuyến đến (C) tiếp tuyến tạo với góc 600 175 Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Bài 15: Cho (C): x + y − x + = Tìm M thuộc Oy cho tiếp tuyến từ M tới C tạo với góc 600 ĐS: M(0; ± ) Bài 16: (C): x + y − x − y − = ; d: x+y+1=0 Tìm M thuộc d cho từ M kẻ tiếp tuyến vuông góc tới (C) Bài 17: (C): x + y = ; d: y=m; Tìm m để d có điểm kẻ tiếp tuyến tạo góc 450 Bài 18: Cho đường tròn (C): ( x − 1) + ( y + 2) = d: 3x-4y+m=0 a) Tìm quỹ tích điểm P cho tam giác PAB tron PA, PB tiếp tuyến b) Tìm m để tồn P thuộc d kẻ tiếp tuyến PA, PB cho tam giác PAB 2.3.4 Phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn Bài 1: (C): x + y − x − y − = (C ' ): x + y − x + y + 11 = Bài 2: (C): x + y = (C ' ): x + y − y − = Bài 3: (C): x + y + x + = (C ' ): x + y − x + 12 = Bài 4: (C): x + y − x = (C ' ): x + y − x + 12 = Bài 5: (C): x + y − x + y − = (C ' ): x + y − x − y + = Bài 6: (C): x + y − x + = (C ' ): x + y − 12 x − y + 44 = Bài 7: (C): x + y − x + y − = (C ' ): x + y + x − y − 56 = 2.4 Dạng 4: Vị trí tương đối hai đường Bài 1: Xét vị trí tương đối đường tròn: a) (C): x + y − x − y = (C ' ): x + y − 32 x − 24 y + 300 = b) (C): x + y = 16 (C ' ): x + ( y − 3) = c) (C): x + y = (C ' ): ( x − 1) + ( y − 2) = Bài 2: (C): x + y − x − y + = ; d: x-y+3=0 Tìm M thuộc d để đường tròn tâm M có bán kính gấp đôi đường tròn (C) tiếp xúc với (C) 2.5 Dạng 5: Cát tuyến, độ dài dây cung Bài 1: (C): x + y − x − y + = ; M(2;4) Lập phương trình đường thẳng qua M cắt (C) A, B cho M trung điểm AB Bài 2:Lập phương trình đường thẳng qua O(0;0) cắt (C): ( x − 1) + ( y − 3) = 25 thành dây cung có độ dài Bài 3: (C ) : x + y + x − y = Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với ∆ : x − y + 10 = cắt (C ) điểm A, B thỏa mãn AB=6 Bài 4: (C ) : x + y + x − y = Viết phương trình đường thẳng d // ∆ : x − y + 10 = cắt (C ) điểm A, B thỏa mãn AB=2 176 Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Bài 5: K(0;2); (C ) : x + y − x − y − = đường thẳng d qua K cắt (C ) M, N Viết phương trình đường thẳng d trường hợp MN ngắn Bài 6: A(1;2); (C ) : x + y = Lập phương trình đường thẳng qua A cắt (C ) theo dây cung ngắn Bài 7: (C ) : x + y − x − y + 11 = a) Tìm M thuộc (C ) để khoảng cách từ M đến A đạt GTNN, GTLN với *) A(3;2) *) A(0;1) b) Tìm M thuộc (C ) để khoảng cách từ M đến d đạt GTNN, GTLN với *) d: x-y-2=0 *) d: x+y-7=0 *) d : y-1=0 2 Bài : (C ) : ( x − 3) + ( y − 2) = Tìm E thuộc (C ) để tam giác OEF vuông E với O gốc tọa độ, F(4 ;-2) Bài : d : x+y-2=0 ; (C ) : x + y − x − y + = a) Tìm tọa độ giao điểm d (C ) b) Tìm C thuộc (C ) để *) S ABC = *) S ABC đạt GTLN *) ∆ABC cân *) ∆ABC có chu vi lớn *) ∆ABC vuông Bài 10 : d1 : x + y − = 0; d : x − y − = Viết phương trình đường tròn (C ) qua M(1 ;-1), tâm I thuộc d1 cắt d điểm A, B cho AB= Bài 11 : (C ) : x + y − x − y = Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với (C ) M cắt trục tọa độ A, B cho M trung điểm AB Bài 12 : (C ) : x + y = ; d : x+y+m=0 Tìm m để d cắt (C ) điểm A, B cho SOAB đạt GTLN ĐS : m= ±1 BÀI ĐỌC THÊM Sủ dụng phép biến hình toán tọa độ hình học phẳng 3.1 Kiến thức liên quan 3.1.1 Phép tịnh tiến Tvr r Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép tịnh tiến Tvr theo Vectơ v = ( a; b ) biến điểm M(x;y) thành điểm M’(x+a;y+b) 3.1.2 Phép đối xứng tâm Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép đối xứng tâm I(a;b) biến điểm M(x;y) thành điểm M’(2a-x;2b-y) 3.1.3 Phép đối xứng trục Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép đối xứng trục ∆ biến điểm M(x;y) thành điểm M’sao cho ∆ đường trung trực MM’ +) Nếu ∆ trục Ox M’(x;-y) 177 Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 +) Nếu ∆ trục Oy M’(-x;y) +) Nếu ∆ đường phân giác góc phần tư thứ I thứ III M’(y;x) +) Nếu ∆ đường phân giác góc phần tư thứ II thứ IV M’(-y;-x) +) Nếu ∆ đường thẳng ax+by+c=0, đặt c0 =ax + by0 với M ( x0 ; y0 ) tọa độ M’ 2a ( c + c0 ) xM ' = x0 − a + b2 là: y = y − 2b ( c + c0 ) M a + b2 3.1.4 Phép quay Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép quay tâm I(a;b) góc quay ϕ biến điểm M thành điểm M’(x’;y’) +) Nếu tâm quay gốc tọa độ góc quay 900 M’(-y;x) +) Nếu tâm quay gốc tọa độ góc quay - 900 M’(y;-x) +) Nếu tâm quay gốc tọa độ góc quay ϕ tọa độ M’ thỏa mãn: x ' = x cos ϕ − y sin ϕ y ' = x sin ϕ + y cos ϕ 3.1.5 Phép vị tự Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép vị tự tâm I(a;b), tỉ số k biến điểm M(x;y) thành uuuu r uuur M’(x’;y’) thỏa mãn: IM ' = k IM Tọa độ M’ thỏa mãn x ' = a + k ( x − a ) y' = b + k ( y − a ) 3.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho đường tròn (T): ( x − 1) + ( y + 3) = hai điểm A(-1;1); B(2;-2) Tìm tọa độ 2 điểm C; D đường tròn (T) cho tứ giác ABCD hình bình hành Lời giải Cách 1: Đường tròn (T) có tâm I(1;-3) bán kính R=3 uuu r r Phương trình CD có VTCP AB = ( 3; −3) = ( 1; −1) ⇒ VTPT n = ( 1;1) ⇒ CD : x + y + m = Tứ giác ABCD hình bình hành ⇒ AB = CD = CD 18 ⇒ d ( I ; CD ) = IH = R − = 9− = 4 2 Mà d ( I ; CD ) = 1− + m = +)m=5 ⇒ CD : x + y + = m−2 = m = ⇔ m = −1 178 Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 x + y + = Tọa độ C, D thỏa mãn hệ phương trình: 2 ( x − 1) + ( y + 3) = x = ⇒ y = −6 2 ⇒ y = − x − ⇒ ( x − 1) + ( − x − ) = ⇔ x + x − = ⇔ x = −2 ⇒ y = −3 C(1;-6); D(-2;-3) +)m=-1 ⇒ CD : x + y − = x + y − = Tọa độ C, D thỏa mãn hệ phương trình: 2 ( x − 1) + ( y + 3) = x = ⇒ y = 2 ⇒ y = − x ⇒ ( x − 1) + ( − x ) = ⇔ x − 10 x + = ⇔ x = ⇒ y = −3 C(1;0); D(4;-3) Cách 2: Sử dụng tịnh tiến: uuu r uur : D → C Ta có AB = (3; −3) Phép TuAB (I) → (I') x = +1 = ⇒ I' ⇒ I '(4; −6);R' = R = y = − − = − I' Phương trình đường tròn (T’): ( x − ) + ( y + ) = 2 2 ( x − ) + ( y + ) = ( x − ) + ( y + ) ⇔ Tọa độ C = (T) ∩ (T') ⇒ 2 x = y + ( x − 1) + ( y + 3) = 2 uuu r uuur +) C(4;-3) ⇒ AB = DC ⇒ D ( 1;0 ) uuu r uuur +) C(1;-6) ⇒ AB = DC ⇒ D ( −2; −3) x = = y = −3 ⇒ x = y = −6 Vậy cặp điểm C(4;-3); D(1;0) C(1;-6); D(-2;-3) Ví dụ 2: Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết tâm I(1;1), điểm J(-2;2) thuộc đường thẳng AB điểm K(2;-2) thuộc đường thẳng CD Lời giải Vì I(1;1) tâm đối xứng hình vuông Đ I : J → J ' ⇒ J'(2.1 + 2;2.1 − 2) ⇒ J'(4;0) ∈ CD ⇒ CD : qua K(2;-2) có VTCP uuuur 1−1− J ' K = ( −2; −2 ) = −2 ( 1;1) ⇒ CD : x − y − = ⇒ d ( I ; CD ) = =2 2 ⇒ IC = 2 = uur 2 ⊕ Mà C(t;t-4) ⇒ IC = ( t − 1; t − ) ⇒ ( t − 1) + ( t − ) = 16 ⇔ 2t − 12t + 10 = 179 Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 t = ⇔ t = t = ⇒ C ( 1; −3) ⇒ A ( 1;5 ) a = Do D ∈ CD ⇒ D ( a; a − ) ⇒ a = ⇒ Vai trò A, B A ( 1;5 ) ⇒ B ( −3;1) ⊕ với ngược lại C ( 1; −3) ⇒ D ( 5;1) Ví dụ 3: (Trích đề thi khối A năm 2009) Cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ : x + y − = Viết phương trình đường thẳng AB Lời giải Do điểm I(6;2) tâm đối xứng hình chữ nhật Xét phép đối xứng: Đ I : M → M ' ⇒ M '(2.6 − 1;2.2 − 5) ⇒ M '(11; −1) ∈ CD uur uuuur Mà E ∈ ∆ ⇒ E ( t ;5 − t ) ⇒ IE = ( t − 6;3 − t ) ; M 'E = ( t − 11;6 − t ) uur uuuuu r Vì M ' E ⊥ IE ⇒ IE.M ' E = t = ⇒ ( t − ) ( t − 11) + ( − t ) ( − t ) = ⇔ ( t − ) ( 2t − 17 ) = ⇔ 17 t = 1 Ví dụ 4: Tìm tọa độ đỉnh hình bình hành ABCD biết tâm I ;2 ÷ điểm M(-1;2); 2 N(5;2); P(1;1); Q(4;-2) nằm đường thẳng AB, BC, CD, DA Lời giải Vì tứ giác ABCD hình bình hành, I tâm đối xứng nên Đ I : M → M ' ⇒ M '(2;2) ∈ CD Do CD ≡ M ' P ⇒ CD : x − y = Vì AB//CD ⇒ AB : x − y + = Xét Đ I : N → N ' ⇒ N '( −4; 2) ∈ A D ⇒ AD ≡ QN' : x + y = Mặt khác: BC//AD ⇒ BC : x + y − = Từ phương trình cạnh hình bình hành ABCD ta xác định tọa độ đỉnh A(1;4); B(3;3); C(0;0); D(-2;1) 1 Ví dụ 5: Cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) AC=2BD Điểm M 0; ÷ thuộc đường thẳng B, 3 điểm N(0;7) thuộc đường thẳng CD Tìm tọa độ điểm B, biết hoành độ điểm B dương Lời giải 180 Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Vì I tâm đối xứng hình thoi Đ I : N → N ' ⇒ N '(4 − 0;2 − 7) ⇒ N' ( 4; −5 ) ∈ AB ⇒ AB ≡ M N' : x + y− = 4.2 + 3.1 − = = IH Theo đề AC=2BD ⇒ IA = IB 1 1 1 = 2+ ⇔ = + ⇔ IB = Mà tam giác vuông ABI có 2 IH IA IB 4 IB IB ⇒ d ( I ; AB ) = 2 − 4b 4b + Do B ∈ AB ⇒ B b; ÷, b > ⇒ IB = ( b − ) + ÷ = ⇒ b = ⇒ B ( 1; −1) Nhận xét: Các hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông giả thiết cho biết tọa độ giao điểm hai đường chéo biết tọa độ tâm đối xứng nên ta sử dụng phép đối xứng tâm Ví dụ 6: (Trích đề thi khối B năm 2008) Xác định tọa độ đỉnh C tam giác ABC biết hình chiếu vuông góc C đường thẳng AB điểm H(-1;-1), đường phân giác góc A có phương trình: x-y+2=0 đường cao qua B là: 4x+3y-1=0 Lời giải Xét phép đối xứng trục AD: Đ AD : H → H ' Kẻ HK vuông góc với đường phân giác góc A cắt phân giác góc A I, K thuộc BC ⇒ ∆AKH cân A HK có phương trình: x + y + m = ⇒ −1 − + m = ⇔ m = x + y + = x = −2 ⇔ ⇒ I ( −2;0 ) ⇒ K ( −3;1) Toạ độ I : x − y + = y = Gọi BE ⊥ AC ; E ∈ AC ; AK ⊥ BE ⇒ phương trình AK có dạng: x − y + n = ⇒ −3.3 − 4.1 + n = ⇒ n = 13 ⇒ AK : x − y + 13 = ⇒ toạ độ đỉnh A là: uuur 3 x + y + 13 = x = ⇔ ⇒ A 5;7 ⇒ ( ) AH = ( −6; −8 ) = −2 ( 3; ) x − y + = y = −3t − 13 −3t − 17 3t + 13 uuur C ∈ AK ⇒ C t ; − ÷ = −1 − t ; ÷ ⇒ CH = −1 − t ; ÷ 4 uuur uuur 10 10 AH CH ⇔ ( + t ) + 3t + 17 = ⇔ t = − ⇒ C − ; ÷ 4 Ví dụ 7: (Trích đề thi khối B năm 2007) Cho A ( 2;2 ) đường thẳng ∆1 : x + y − = 0; ∆ : x + y − = Tìm toạ độ B C thuộc ∆1 ; ∆ cho ∆ABC vuông cân A Lời giải: Cách 1: B ∈ ∆1 ⇒ B ( b;2 − b ) C ∈ ∆ ⇒ C ( c;8 − c ) 181 Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 uuu r uuur ⇒ AB = ( b − 2; −b ) ; AC = ( c − 2;6 − c ) uuu r uuur AB AC = ( b − ) ( c − ) + ( − c ) ( −b ) = ⇔ ⇔ ∆ABC vuông cân A 2 2 ( b − ) + b = ( c − ) + ( − c ) AB = AC Giải hệ phương trình khó! học sinh uuu r Cách 2: Ta có AB = ( b − 2; −b ) Điều kiện cần đủ để ∆ABC vuông cân A uuur AC = ( b; b − ) uuur AC = ( −b;2 − b ) uuur xC − = b xC = b + ⇔ ⇒ C ( b + 2; b ) ∈ ∆ AC = ( b; b − ) ⇒ yC − = b − yC = b ⇒ b + + b − = ⇒ b = ⇒ B ( 3; −1) ; C ( 5;3) ( 1) uuur xC = − b ⇒ C ( − b;4 − b ) ∈ ∆ AC = ( −b;2 − b ) ⇒ yC = − b ⇒ − b + − b − = ⇒ b = −1 ⇒ B ( −1;3) ; C ( 3;5 ) uuu r r Lưu ý Với phép quay ta có kết quan trọng sau: Cho ∆ABC với AB ≠ uuur b) Điều kiện cần đủ để ∆ABC vuông cân A AC = ( y0 ; − x0 ) uuur AC = ( − y0 ; x0 ) uuur x0 3 x0 y0 y0 ; + ÷ AC = − 2 2÷ c) Điều kiện cần đủ để ∆ABC uur x 3x0 y0 u AC = + y0 ; − + ÷ 2 2÷ Chứng minh: Suy trực tiếp từ công thức: x′ = x cos α − y sin α y′ = x sin α + y cos α Ví dụ Cho A ( 2;2 ) Tìm điểm B thuộc đường thẳng d : y = điểm C thuộc trục 0x cho ∆ABC Lời giải: uuu r Cách 1: Do B ∈ y = ⇒ B ( b;3) ⇒ AB = ( b − 1;2 ) uuur uuur C ∈ x ⇒ C ( c;0 ) ⇒ AC = ( c − 1; −1) ; BC = ( c − b; −3 ) 182 Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 2 AB = AC ( b − 1) + = ( c − 1) + ⇔ ∆ABC ⇔ 2 2 AB = BC ( b − 1) + = ( c − b ) + Giải hệ phương trình khó! học sinh uuu r Cách 2: Gọi B ( b;3) Ta có AB = ( b − 1;2 ) Mà ∆ABC ⇔ ( 1) uuur b − ( b − 1) − 3; + 1÷ AC = ÷ ( b − 1) uuur b − AC = + 3; − + ÷ ÷ b +1 b +1 ( b − 1) ( b − 1) ⇒ C − 3; + ÷ C + 3; − + 2÷ ÷ ÷ 2 b +1 ( b − 1) ( b − 1) −4 − 3; + ÷∈ x ⇒ +2=0⇔b= +1 Với C ÷ 2 −4 ⇒ B + 1;3 ÷; C 1 − ;0 ÷ b +1 ( b − 1) ( b − 1) + 3; − + ÷∈ x ⇒ − +2=0⇔b= +1 Với C ÷ 2 ⇒ B + 1;3 ÷; C 1 + ;0 ÷ 3 2 Ví dụ 9: (Trích đề thi khối D năm 2011) Cho đường tròn ( C ) : x + y − x + y − = điểm A ( 1;0 ) Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt ( C ) điểm M ; N cho ∆AMN vuông cân A Lời giải: Cách 1: Đáp án giáo dục đào tạo Đường tròn ( C ) có tâm I ( 1; −2 ) , bán kính 10 Ta có: IM = IN AM = AN ⇒ AI ⊥ MN ⇒ phương trình ∆ có dạng: y = m Hoành độ M ; N nghiệm phương trình: x − x + m + 4m − = ( 1) ( 1) có nghiệm x1; x2 ⇔ m2 + 4m − < ( *) Khi ta có: M ( x1 ; m ) ; N ( x2 ; m ) uuuu r uuur AM ⊥ AN ⇔ AM AN = ⇔ ( x1 − 1) ( x2 − 1) + m = ⇔ x1 x2 − ( x1 + x2 ) + m + = 183 Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 m = ( t / m *) áp dụng định lí viét ( 1) ⇒ 2m + 4m − = ⇔ m = − Vậy phương trình ∆ y = y = −3 Cách 2: Do vai trò M; N nên ta giả sử góc lượng giác: ( AM;AN ) = 90 2 Gọi M ( x ; y ) ∈ ( C ) ⇒ x + y − 2x + 4y − = ( 1) uuuu r uuur Ta có: AM = ( x − 1; y ) ⇒ AN = ( − y ; x − 1) ⇒ N ( − y ; x − 1) mà N ∈ ( C ) ⇒ ( − y ) + ( x − 1) − ( − y ) + ( x − 1) − = ⇔ x 02 + y 02 + 2x − = 2 x x 02 + y 02 − 2x + 4y − = x − y0 − = y0 ⇔ ⇔ Ta có hệ phương trình: 2 x x + y + 2x − = x + y + 2x − = y =2 =1 = −2 = −3 x0 = ⇒ M ( 2;1) ; N ( 0;1) ⇒ ∆ : y = Nếu y = x = −2 ⇒ M ( −2; −3) ; N ( 4; −3) ⇒ ∆ : y = −3 Nếu y = −3 KL: ∆ : y = y = −3 Ví dụ 10: (Trích đề thi khối D năm 2009) Cho ( C ) : ( x − 1) + y = Gọi I tâm, xác định toạ · độ điểm M ∈ ( C ) cho IM0 = 300 Lời giải: Cách 1: Đáp án giáo dục đào tạo Gọi M ( a;b ) ∈ ( C ) ⇒ ( a − 1) + b = 1; ∈ ( C ) ⇒ I0 = IM = · ∆IM0 có 0IM = 1200 ⇒ 0M = I0 + IM − 2I0.IM.cos120 ⇔ a + b = 3 a = 2 3 3 ( a − 1) + b = M = ;± ⇔ Toạ độ M nghiệm hệ: Vậy ÷ 2 a + b = b = ± Cách 2: Đường tròn ( C ) có tâm I ( 1;0 ) , bán kính R = · = 300 ⇔ MI0 · Dễ thấy ∈ ( C ) ∆ 0MI cân I nên IM = 1200 184 Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 uuu r uu r 1 3 3 3 0 Do I0 = ( −1;0 ) nên IM = ( − cos120 ; − sin120 ) = ; − ÷⇒ M ; − ÷ 2 2 uuu r 1 3 3 3 0 Hoặc IM = − cos ( −120 ) ; − sin ( −120 ) = ; ÷⇒ M ; ÷ 2 2 ( ) 3 3 3 3 KL: M ; − ÷ M ; ÷ 2 2 Ví dụ 11: (Trích đề thi khối A năm 2005) Cho hai đường thẳng d1 : x − y = 0; d : 2x + y − = Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD , biết A;C thuộc d1 ;d B;D thuộc Ox Lời giải: Cách 1: Đáp án Bộ giáo dục đào tạo Vì A ∈ d1 ⇒ A ( t; t ) Vì A C đối xứng qua BD B; D ∈ 0x ⇒ C ( t; − t ) Vì C ∈ d ⇒ 2t − t − = ⇒ t = ⇒ A ( 1;1) ;C ( 1; −1) IB = IA = Trung điểm AC I ( 1;0 ) Vì I tâm hình vuông nên ID = IA = B ( b;0 ) B ∈ 0x b − = b = 0;b = ⇔ ⇒ ⇔ ⇒ B ( 0;0 ) ; D ( 2;0 ) B ( 2;0 ) ;D ( 0;0 ) D ∈ 0x D ( d;0 ) d − = d = 0;d = Vậy bốn đỉnh hình vuông A ( 1;1) ;B ( 0;0 ) ;C ( 1; −1) ;D ( 2;0 ) A ( 1;1) ;B ( 2;0 ) ;C ( 1; −1) ;D ( 0;0 ) uuur AD = ( a;b − a ) uuur Cách 2: A ( a;a ) ;B ( b;0 ) ⇒ AB = ( b − a; −a ) ⇒ uuur AD = ( −a; − b + a ) uuur +) AD = ( a;b − a ) ⇒ D ( 2a; b ) ∈ 0x ⇒ b = 0; D ( 2a;0 ) ⇒ B ( 0;0 ) ; D ( 2a;0 ) ⇒ I ( a;0 ) ⇒ C ( a; −a ) ∈ d ⇒ 2a − a − = ⇔ a = ⇒ A ( 1;1) ;D ( 2;0 ) ;C ( 1; −1) 185 [...]... BDMN = 16 3 3 2 2 2 8 Bài tập tự luyện Bài 1 (Đề TN -THPT PB 2007 Lần 2) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = AC Tính thể tích khối chóp S ABCD 119 Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 2 3 a 3 Bài 2 (Đề thi TN THPT 2009) Cho hình chóp S ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy... 4 3 Bài tập tự luyện Bài 1 (Trích đề thi khối A – 2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm h thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB Góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60 o Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a 132 Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Đáp số: d(BC;... (2) Từ (1) và (2) suy ra: BP ⊥ ( SHC ) (3) Do HC // AN, MN // SC ⇒ ( SHC ) / / ( MAN ) (4) 127 B A N H D P C Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Từ (3) và (4) suy ra: BP ⊥ ( MAN ) ⇒ AM ⊥ BP (đpcm) Ví dụ 2 (ĐH khối B năm 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a Gọi E là điểm đối xứng của điểm D qua trung điểm của SA Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE, BC... đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2 , SA = a và SA ⊥ (ABCD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC Tính thể tích khối tứ diện ANIB 125 Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Đáp số: VABIN = a3 2 72 Bài 3 (Trích đề khối A - 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC)... ra d(MN,A'C) = 1 a 2 AI = 2 4 D' D (2) 2 4 Ví dụ 2 Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh a = 6 2 cm Hãy xác định và tính độ dài đoạn A vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD Lời giải: M Gọi M và N tương ứng là các trung điểm của AB và CD B D 133 N C Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Do ABCD là tứ diện đều, nên ta có CM ⊥ AB và DM ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (MCD) ⇒ MN Lý luận tương tự... mặt phẳng (ABCD) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SC và AB Đáp số: d(SA, BM) = 134 Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 CHUYÊN ĐỀ 9: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Biên soạn và sưu tầm: Đào Văn Thái – GV trường THPT Nguyễn Đăng Đạo 1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG 1.1 Lý Thuyết 1.1.1 Phương trình đường thẳng a.Vectơ chỉ phương và... thẳng d qua M cắt d1 , d 2 lần lượt tại A, B sao cho MA = MB Bài 4: Cho tam giác ABC, A(2;2), B(-1;6), C(-5 ;3) a) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC b) CMR tam giác ABC vuông cân 137 Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Bài 5: Cho tam giác ABC, M(2;1).N(5 ;3), P(3;-4) lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA của tam giác ABC a) Viết phương trình các cạnh của tam giác... t>0 thì M, N nằm cùng một phía với (d) 138 Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 1.3.2 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: x = 3t a) Tìm góc giữa 2 đường thẳng d1 : và d 2 : x − 2 y − 4 = 0 y = 2 −t x = 3 − 2t b) Tính khoảng cách từ M(-2 ;3) đến d : y = 1+ t Lời giải ur r a) d1 có VTCP u = (3; −1) ⇒ VTPT n1 = (1 ;3) uu r d 2 VTPT n2 = (1; −2) ur uu r n1.n2 1.1+3.(-2) 5 1 cos(d1... trình đường thẳng qua P(2;-1), d cắt d1; d 2 tạo thành 1 tam giác cân tại giao điểm d1 và d 2 139 Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Lời giải r Giả sử d có VTPT n =(A;B), A 2 +B2 ≠ 0 qua P(2; −1) r ⇒ d : A( x − 2) + B( y + 1) = 0 d là đường thẳng VTPT n =(A;B), A 2 +B2 ≠ 0 Tam giác cân tại giao điểm của d1 và d 2 nên (d ; d1 ) = (d ; d 2 ) cos(d , d1 ) = cos(d ,... BD ⇒ B ( −1;1) 1 9 D = AD ∩ BD ⇒ D ( 0;8 ) ⇒ Tâm I( − ; ) 2 2 140 Sở GD&ĐT Bắc Ninh Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 1 xC = 2 − 2 ÷− ( −4 ) = 3 ⇒ C ( 3;4 ) I là trung điểm của AC nên: y = 2 9 − 5 = 4 C 2 qua C(3;4) qua C(3;4) r ⇒ CD : CD: / / AB VTPT n = (4 ;3) CD: 4 ( x − 3) + 3 ( y − 4 ) = 0 ⇔ 4 x + 3 y − 24 = 0 BC: 3x-4y+7=0 Vậy phương trình các cạnh: ... học 201 4-2 015 C (3. 6-1 -3 ; 3. (-1 )-4 -5 ) ⇒ C(14 ;-1 2) AC: 16 x + 13 y − 68 = ; BC: 17 x + 11 y − 106 = Ví dụ Cho tam giác ABC, trọng tâm G, đỉnh A (3; 9), hai đường trung tuyến BM:3x-4y+9=0; CN: y-6=0... 15 − + = ⇔ 3c + − 60 + 18 = ⇔ 3c = 33 ⇔ c = 11 2 C(11;6);B (3. 5 -3 -1 1 ;3. 6-9 -6 ) ⇒ B(1 ;3) Ví dụ Cho tam giác A(4 ;3) , đường cao BH:3x-y+11=0, đường trung tuyến CM:x+y-1=0 Viết phương trình cạnh tam... − 3B = ⇔ ( A − 3B) (3 A + B ) = A = 3B ⇔ 3 A = − B *) A=3B: chọn A =3 ⇒ B=1 ⇒ ∆ : 3( x − 0) + 1( y − 1) = ⇔ x + y − = *) 3A=-B: chọn A=1 ⇒ B = -3 ⇒ ∆ :1( x − 0) − 3( y − 1) = ⇔ x − y + = 3 x