Hệ thống bài tập hạng ma trận (giải chi tiết) Toán A3C3

Định nghĩa: Cho A là ma trận cấp mxn khác không. Hạng của ma trận A là số tự nhiên r, thỏa mãn các điều kiện sau:Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r của ma trận A khác 0.Mọi định thức con cấp lớn hơn r (nếu có) của ma trận A đều bằng 0.Nói cách khác hạng của ma trận chính là cấp cao nhất của các định thức con khác không của ma trận A. Hạng của ma trận A, ký hiệu là r(A) và rank(A).Quy ước: Hạng của ma trận 0 bằng 0.2. Ví dụ: Tìm hạng của ma trận A sau: Ma trận A có duy nhất một định thức cấp 4 và nó bằng 0. Tồn tại một định thức con cấp 3 của A là . Vậy rank(A)=3

_HCM, Tháng 2/2014_

Hạng của ma trận, cách tính hạng của ma trận

Định nghĩa: Cho A là ma trận cấp mxn khác không Hạng của ma trận A là số tự nhiên

r,

1 ≤ ≤r min{ , }m n

thỏa mãn các điều kiện sau:

 Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r của ma trận A khác 0.

 Mọi định thức con cấp lớn hơn r (nếu có) của ma trận A đều bằng 0.

Nói cách khác hạng của ma trận

0

chính là cấp cao nhất của các định thức con khác

không của ma trận A Hạng của ma trận A, ký hiệu là r(A) và rank(A).

Quy ước: Hạng của ma trận 0 bằng 0.

2 Ví dụ:

Tìm hạng của ma trận A sau:

1 2 3 0

3 2 1 0

0 0 5 0

4 4 4 0

Ma trận A có duy nhất một định thức cấp 4 và nó bằng 0 Tồn tại một định thức con cấp

3 của A là

1 2 3

0 0 5

= − ≠

Vậy rank(A)=3

3 Các tính chất:

3.1 Tính chất 1: Hạng của ma trận không đổi qua các phép biến đổi sau:

 Phép chuyển vị ma trận Tức là

( ) ( T)

 Các phép biến đổi sơ cấp dòng hoặc cột

 Bỏ đi các dòng hoặc các cột gồm toàn số 0

 Bỏ đi các dòng hoặc các cột là tổ hợp tuyến tính của các dòng hay các cột khác

3.2 Tính chất 2: Nếu A là ma trận vuông cấp n thì:



( ) det 0

rank A = ⇔n A≠



( ) det 0

rank A < ⇔n A=

Nếu xảy ra trường hợp đầu thì ta nói ma trận vuông A không suy biến

Nếu xảy ra trường hợp hai thì ta nói ma trận vuông A suy biến.

3.3 Tính chất 3:

 Nếu A, B là các ma trận cùng cấp thì

( )

rank A B+ ≤rankA rankB+

 Cho A, B là các ma trận sao cho tồn tại tích AB Khi đó,

rank AB( ) min{ ≤ rankA rankB, }

 Nếu A tương đương dòng (cột) với B thì rank (A ) = rank (B )

4 Cách tính hạng của ma trận:

4.1 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp định thức

Từ định nghĩa hạng của ma trận ta có thể suy ra thuật toán sau để tính hạng của ma

trận A cấp mxn

(A≠ 0)

Bước 1:

Tìm một định thức con cấp k khác 0 Số k càng lớn càng tốt Giả sử định thức con cấp k khác không là

k

D

Bước 2:

Xét tất cả các định thức con cấp k+1 của A chứa định thức

k

D

Xảy ra 3 khả năng sau:

1 Không có một định thức con cấp k+1 nào của A Khả năng này xảy ra khi k =min{m,

n} Khi đó rankA = k Thuật toán kết thúc

2 Tất cả các định thức con cấp k+ 1 chứa định thức

k

D

đều bằng 0 Khi đó rankA = k và thuật toán kết thúc

3 Nếu tồn tại ,một định thức con cấp k+1 của A là

1

k

chứa định thức con

k

D

khác 0 Khi đó ta lập lại bước 2 với

1

k

thay cho vị trí của

k

D

Tiếp tục như vậy đến khi xảy ra trường hợp 1 hoặc 2 thì thuật toán kết thúc

Ví dụ: Tính hạng của ma trận sau:

1 1 1 1 3

A

− 

=

Giải:

Xét ma trận tạo bởi hai dòng đầu

1 1

= − 

 

có định thức detA = 3

Ta xét tiếp ma trận tạo bởi các cột 1, 2, 4 và dòng 1, 2, 3 ta có ma trận

1 1 1

B

 

 

= − 

 

 

chứa ma trận A và có detB = 1

Tiếp tục xét các ma trận con cấp 4 chứa ma trận B thì có hai ma trận B1 và B2

1

1 1 1 1

B

 

− 

 

=

 

 

 

2

1 1 1 3

B

 

− 

 

=

 

 

 

Vậy detB1 và detB2 đều bằng 0 Cả hai định thức này đều bằng 0 Do đó rankA = 3.■

Nhận xét:

Việc tính hạng ma trận bằng sử dụng định thức khá phức tạp nên trong thực tế ta thường ít sử dụng phương pháp này, mà người ta thường sử dụng phương pháp tìm hạng ma trận bằng cách sử dụng các phép biến đổi tương đương trên ma trận

4.2 Tìm hạng của ma trận bằng cách sử dụng các phép biến đổi sơ cấp (PP Gauss)

4.2.1 Nhận xét: Ma trận A cấp mxn khác không được gọi là ma trận bậc thang nếu tồn

tại một số tự nhiên r thỏa

1 ≤ ≤r min{ , }m n

thỏa các điều kiện sau:

(1) r dòng đầu khác 0 Các dòng thứ r +1 trở đi (nếu có) đều bằng 0

(2) Xét dòng thứ k với

1 k r≤ ≤

Nếu

k

ki

a

là phần tử đầu tiên bên trái (tính từ trái sang phải) khác không của dòng k thì ta phải có

i < < <i i

Các phần tử

k

ki

a

được gọi là các phần tử đánh dấu của ma trận A Các cột chứa các

phần tử được đánh dấu

{ , , , }i i i r

gọi là cột đánh dấu của ma trận A

Điều kiện (2) có thể phát biểu lại: Nếu đi từ trên xuống thì các phần tử được đánh dấu phải lùi dần về bên phải Do đó, ma trận bậc thang có dạng như sau:

2

1 2

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

r

i i

ri

a a

4.2.2 Nhận xét:

Nếu A là ma trận bậc thang thì số r các dòng khác 0 trong định nghĩa chính là rankA Hay rankA = r

Thật vậy chỉ có định thức con cấp r của A khác 0 chính là định thức

r

D

tạo ra bởi r dòng đầu và r cột đánh dấu bởi các cột

{ , , , }i i i r

Ngoài ra, các định thức con cấp r +1 của A đều tạo bởi r + 1 dòng nào đó nên có ít nhất

một dòng bằng không Do đó, chúng đều bằng 0

4.2.3 Ví dụ: Các ma trận bậc thang

1 3 2 8

0 3 8 0

0 0 0 1

0 0 0 0

A

 

 

 

=

 

 

 

Khi đó rankA = 3 (bằng số dòng khác 0 của A)

B

= −

Khi đó rank B = 4 (Bằng số dòng khác 0 của B).

4.2.4 Nhắc lại các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

Ba phép biến đổi sau đây được gọi là phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận:

 Đổi chổ hai dòng cho nhau;

 Nhân một dòng cho một số khác 0;

 Nhân một dòng cho một số bất kỳ rồi cộng vào dòng khác

 Nếu thay từ dòng bằng từ cột, ta có các phép biến đổi sơ cấp trên cột

4.2 5 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp sử dụng các phép biến đổi sơ cấp

Nội dung của phương pháp này được dựa trên 2 nhận xét sau:

 Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận;

 Một ma trận khác ma trận 0 bất kỳ đều có thể đưa về dạng ma trận bậc thang sau một

số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng

Vậy muốn tìm hạng của ma trận A, ta sẽ lung các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận A

về dạng bậc thang, từ đó suy ra hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận bậc thang

và bằng lung số dòng khác 0 của nó

Tìm điều kiện của m để hạng ma trận sau bằng 1

2 6

3 9 12

 

 

=  

 

 

Giải

Nhận thấy ma trận A có hai dòng 1 và 3 tỉ lệ với nhau, do đó để ma trận có hạng bằng 1

thì

m = 8

Nhận xét: Do

nên ta có thể thay thế các phép biến đổi trên dòng bởi

các phép biến đổi trên cột để đưa ma trận A về dạng bậc thang từ đó suy ra hạng của

ma trận A

Dạng 1: Tính hạng của ma trận dựa trên phép biến đổi sơ cấp

Nhận xét: Ma trận A cấp mxn khác không được gọi là ma trận bậc thang nếu tồn tại

một số tự nhiên r thỏa

1 ≤ ≤r min{ , }m n

thỏa các điều kiện sau:

(1) r dòng đầu khác 0 Các dòng thứ r +1 trở đi (nếu có) đều bằng 0

(2) Xét dòng thứ k với

1 k r≤ ≤

Nếu

k

ki

a

là phần tử đầu tiên bên trái (tính từ trái sang phải) khác không của dòng k thì ta phải có

i < < <i i

Các phần tử

k

ki

a

được gọi là các phần tử đánh dấu của ma trận A Các cột chứa các

phần tử được đánh dấu

{ , , , }i i i r

gọi là cột đánh dấu của ma trận A

Điều kiện (2) có thể phát biểu lại: Nếu đi từ trên xuống thì các phần tử được đánh dấu phải lùi dần về bên phải Do đó, ma trận bậc thang có dạng như sau:

1

2

1 2

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

r

i i

ri

a

a

4.2.2 Nhận xét:

Nếu A là ma trận bậc thang thì số r các dòng khác 0 trong định nghĩa chính là rankA Hay rankA = r

Thật vậy chỉ có định thức con cấp r của A khác 0 chính là định thức

r

D

tạo ra bởi r dòng đầu và r cột đánh dấu bởi các cột

{ , , , }i i i r

Ngoài ra, các định thức con cấp r +1 của A đều tạo bởi r + 1 dòng nào đó nên có ít nhất

một dòng bằng không Do đó, chúng đều bằng 0

4.2.3 Ví dụ: Các ma trận bậc thang

1 3 2 8

0 3 8 0

0 0 0 1

0 0 0 0

A

 

 

 

=

 

 

 

Khi đó rankA = 3 (bằng số dòng khác 0 của A)

B

= −

Khi đó rank B = 4 (Bằng số dòng khác 0 của B).

B

à i 1: Tính hạng của ma trận:

b) B =

c) C =

d) D =

e) E =

Bài Giải:

a)

A=

= A’

 Ma trận bậc thang A’ có bốn dòng khác 0 nên rank (A) =4

b) B =

= B’

 Ma trận bậc thang B’ có hai dòng khác 0 nên rank (B) = 2

c) C =

= C’

 Ma trận bậc thang C’ có hai dòng khác 0 nên rank C = 2

d) D =

= D’

 Ma trận bậc thang D’ có bốn dòng khác 0 nên rank (D) =4

e) E =

= E’

 Ma trận bậc thang E’ có bốn dòng khác 0 nên rankE=4

= F’

 Ma trận bậc thang F’ có bốn dòng khác 0 nên rank (F) =4

Bài 2: Tính hạng của ma trận:

h)

i)

j)

k)

l)

d)

m) n) e) o) p) q) r) s)

y)

z)

aa)

ab)

 Ma trận bậc thang A’ có bốn dòng khác 0 nên rank (A) =4 ac)

ad)

ae)

af)

ag)

ah)

 Ma trận bậc thang B’ có ba dòng khác 0 nên rank (B) = 3 ai)

aj) C=

ak)

al)

am)

 Ma trận bậc thang C’ có hai dòng khác 0 nên rank € = 2 an)

ao)

ap)

aq)

 Ma trận bậc thang D’ có hai dòng khác 0 nên rank (D) = 2 ar)

as)

at)

au)

av)

 Ma trận bậc thang A’ có ba dòng khác 0 nên rank € = 3 aw)

ax)

ay)

az)

ba)

bb)

bc)

bd)

bl) bm) bn) bo) bp) bq) br) bs) bt) bu) bv) bw) bx) by) bz) ca) cb) cc)

cd) Dạng 2: Biện luận theo tham số m hạng của ma trận

ce) + Phương pháp:

cf) Dùng các phép biến đổi sơ cấp, để đưa ma trận về dạng bậc thang

cg) + Nhắc lại các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

ch) Ba phép biến đổi sau đây được gọi là phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận:

ci) Đổi chổ hai dòng cho nhau;

cj) ● Nhân một dòng cho một số khác 0;

ck) ● Nhân một dòng cho một số bất kỳ rồi cộng vào dòng khác

cl) ● Nếu thay từ dòng bằng từ cột, ta có các phép biến đổi sơ cấp trên cột

cm)

cn) Bài tập:

co)

cp) Bài 1: Tìm m để hạng của A là 3: A =

cq)

cr) Giải:

cs)

ct) A =

cu)

 r(A) = 3  22 -2m ≠ 0  m ≠ 1

cv)

Bài 2: Tìm hạng của B = tùy theo m.

dc) Biện Luận:

 r(B) = 2  4 -2m =0  m =2

 r(B) = 3  4 -2m ≠ 0  m ≠ 2

dd)

de)Bài 3: Biện luận theo tham số m hạng của ma trận A =

df)

dg) Giải:

dh)

di) A =

dj)

dk)

dl)

dm)Vậy r(A) = 3

dn)

do)Bài 4: Biện luận theo tham số m hạng của ma trận B =

dp)

dq) Giải:

dr)

ds) B =

dt)

du)

dv)

dw)

dx) Vậy:

 Nếu m ≠ 1 thì r(A) = 4

 Nếu m = 1 thì r(A) = 3

dy)

dz)

ea)Bài 5: Biện luận theo tham số m hạng của ma trận A =

eb)

ec) Giải:

ed)

ef)

eg)

eh)

ej)

ek)

el) Bài 6: Cho ma trận A = Tìm giá của m để hạng của ma trận là nhỏ nhất em)

 Nếu m = 7 => r(A) = 2

es) Vậy để r(A) nhỏ nhất thì m= 7

et)

eu)Bài 7: Biện luận theo tham số m hạng của ma trận A =

ev)

ew) Giải:

ex)

ey) A =

ez)

fb)

fc)

  m - 5 =0  m =5

  m – 5 ≠ 0  m ≠ 5

fd)

fe) Bài 8: Biện luận theo tham số m hạng của ma trận B =

ff)

fg) Giải:

fh)

fi) B =

fj)

fk)

fl)

 Nếu  =>

fm)

 Nếu ≠ 3  

fn)

fo) Bài 9: Tìm điều kiện của m để ma trận A= có hạng bằng 1

fp) Giải:

fq) Theo suy luận:

fr) Ma trận trên có hạng bằng 1 khi có duy nhất một dòng khác 0 sau khi thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Suy ra hai dòng còn lại của ma trận phải tỉ lệ với dòng thứ 1 suy ra m = 0

fs)

ft) Theo toán học:

fu)

fv) A=

fw)

fx) Để hạng ma trận r(A) = 1 thì –m = 0  m = 0

 Vậy với m=0 thì ma trận A có hặng bằng 1

fy)

fz) Bài 10: Biện luận theo tham số m hạng của ma trận B =

gg)

gh)Biện luận:

gi)

 Nếu m = 0 thì r(A) = 2

 Nếu m + 80 = 0  m = -80 thì r(A) = 2

gj)

gk)

gm)

gn)Giải:

go)

gp)Với E =

gq)

 DetE = -m3 + m2 + m -1

gr) Biện luận:

 Nếu detE 0  thì r(E) =3

 Nếu detE = 0 

gs)

gu)

gw)

 Hạng ma trận r(E) =3

gx)

gz)

hb)

 Hạng ma trận r(E) = 2

hc)

he)

hf) Giải:

hg)

hh)F =

hi)

hj)

hk)

hl) Biện luận:

hq) Giải:

hr)

hs) A =

ht)

hu)Biện luận:

 Nếu r(A) = 3  

hv)

 Nếu r(A) = 4  

hw)

hx) Bài 14: Với giá trị nào của m thì ma trận A = có hạng nhỏ nhất hy)

ia)

ic)

ie)

if) Để ma trận A có hạng nhỏ nhất, tương đương với:

ig) r(A)min = 2  m + 38 =0  m = -38

ih)

ii) Bài 15: Với giá trị nào của m thì ma trận C = có hạng nhỏ nhất

ij)

ik) Giải:

il)

im) C =

in)

io) Vậy r(A)min = 1  m =15

ip)

iq) Bài 16: Biện luận theo tham số m hạng của ma trận A=

ir)

is) Giải:

it)

iu) A=

iv)

iw)

ix)

iy)

iz)

ja)Vậy:

 Khi m+ 6 = 0  m = -6 thì r(A) = 2

 Khi m+ 6 ≠ 0  m ≠ -6 thì r(A) ≠ 3

ji)

jj)

jk)

jl)

jm)

jn) Vậy :

 Nếu m = 0 thì r(A) = 2

 Nếu m ≠

0 thì r(A) = 3

jo)

jp)

jq)

jr)

js)

jt) Dạng 3: Biện luận, tìm hạng của ma trận vuông cấp n ju)

jv) Bài 18: Biện luận theo tham số a hạng của ma trận B =

jw)

jx) Giải:

jy)

jz) B =

ka)

kb) = B’

kc)

kd) Nếu a (1 - n), a C là ma trận bậc thang Khi đó, rankB = rankB’ =n ke)

 Nếu a =1 thì ma trận bậc thang Khi đó rankB = rankB’ =1

 Nếu a =1 –n thì, khi đó:

kf)

kg) B’ = Khi đó C là ma trận bậc thang có định thức cấp n - 1

kh)

ki) khác 0, đó là định thức = (-n)n-1 0 và detB’ = 0

kj)

kk) Do đó, rankB = rank B’ = n -1

kl)

km)Bài 19:Biện luận theo tham số m hạng của ma trận C =

kn)

ko) Giải:

kp)

kx) Vì có định thức con cấp n -1 gồm n -1 dòng cuối, cột cuối

ky)

kz) Dn-1 = 1 ≠ 0

la)

lb) Định thức cấp n bằng 0

lc)

ld) Bài 20: Tìm hạng của ma trận ( n ≥ 2) A =

le)

lf) Giải:

lg)

 Nếu x ≠ 0

lh) A =

li)

lj)

lk)

ll) Vậy r(A) = n

 Nếu x =0 => A =

lm) Vậy:

 r(A) = n nếu x ≠ 0

 r(A) = 2 nếu x = 0

ln)

lo) Bài 21: Tìm và biện luận hạng của ma trận theo tham số m,n: A = (m,n thuộc R)

lp)

lq) Giải:

lr)

 Trường hợp 1: nếu m = n = 0 => r (A) = 0

 Trường hợp 2 : nếu n= 0, m ≠ 0 => A trở thành: A’ =

ls)

lt) A là ma trận bậc thang có 4 hàng khác 0 nên hạng của ma trận này r(A) = 4 + Nếu n khác 0 M=0 : Ma trận trở thành :

lu) A’ =

lv)

lw) Đổi hàng 1 xuống cuối, ma trận trở thành :

Tương tự như trên hạng của ma trận này là 4

+ Nếu n khác 0 và m khác 0 : Dùng các phép biến đổi sơ cấp đưa về dạng bậc thang ta được ma trận cuối dạng bậc thang :

 Hạng của ma trận bằng 0 khi n và m đồng thời là 0

 Hạng của ma trận bằng 4 trong các trường hợp còn lại

ma)

mb)Bài 22: Tìm hạng của ma trận vuông cấp n: A =

mc)

md)Giải:

me)

mf)A =

mg)

mh)

mi)

 Nếu a ≠ ( 1 - n)b, a ≠ b thì rankA = n

 Nếu a = b ≠ 0 thì rank A =1

mj) a = b = 0 thì rank A =0

 Nếu a = ( n-1)b =0 thì rankA = n -1

mk)

ml) Vì có định thức con cấp n – 1( bỏ dòng đầu, cột đầu)

mn)

mo)Định thức cấp n bằng 0

mp)