Hình học giải tích 9

Chuyên đề tọa độ phẳng

CHUYÊN ĐỀ 1 TỌA ĐỘ PHẲNG Trong các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng thường gặp các yêu cầu như tìm tọa độ một điểm, một vectơ, tính độ dài một đoạn thẳng, số đo góc giữa hai vectơ, quan hệ cùng phương hoặc vuông góc giữa hai vectơ, 3 điểm thẳng hàng. Ta vận dụng các kiến thức cơ bản sau đây: Cho a = (, = ta có: GbG)GGGG)1 2a, a(1 2b, b a = GbG⇔1212a = ba = b⎧⎨⎩ a + = ( , ) b1 1a + b2 2a + b a – = ( , ) b1 1a - b2 2a - b ka = (k , k ) (k G1a2a∈ R) α + = ( + aGβbGα1aβ1b , α2a + β2b ) a . = + GGb1a1b2a2b . Với các quan hệ về độ dài ta có: a = ( , ) G1a2a ⇒aG = 221 2a + a ()()AABBA x, yBx, y⎧⎪⎨⎪⎩ ⇒ABJJJG = ( – , – ) BxAxByAy và AB = ()()22BA BAx - x y - y+ . Với quan hệ cùng phương hoặc vuông góc ta có: a + = 0 GGGG⊥b⇔1a1b2a2b cùng phương a b⇔GGsin( a, b) = 0 ⇔ – = 0 1a2b2a1b ⇔ 11ab = 22ab ( , 1b2b≠ 0) A, B, C thẳng hàng ⇔ABJJJG cùng phương ACJJJG ⇔ BABACACAx - x y - yx - x y - y = 0 . Với việc tìm góc của hai vectơ ta có: - Góc hình học tạo bởi hai vectơ aG, bG được suy từ công thức: cos(na, bGG) = 11 22ab + a ba.bGG (1) - Số đo góc đònh hướng của hai vectơ aG, bG ngoài (1) còn được suy thêm từ một trong hai công thức: GGsin( a, b) = 12 1GG2a b - a ba.b GGtg( a , b) = 12 111 222a b - a bab + a b Ngoài ra trong các bài toán về tọa độ phẳng ta có thể áp dụng các kết quả sau đây: . M( , ) là trung điểm của đoạn thẳng AB MxMy ⇔ 22ABMABMx + xx = y + yy = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ . G( , ) là trọng tâm của GxGyΔABC ⇔ 33⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ABGABGx + x + xx = y + y + yy = CC . I( , ) và J( , ) là chân đường phân giác trong và ngoài của góc A trong ABC thì: IxIyJxJyΔ IBICJJGJJG = −JJJGJBJCJJJG = −ABAC . Với A( , ), B( , ), C( , ) thì diện tích tam giác ABC là: AxAyBxByCxCy S = 12Δ với Δ = BABACACAx - x y - yx - x y - y Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(2, –1), B(0, 3), C(4, 2). a) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với A qua B. b) Tìm tọa độ điểm M để 2 + 3AMJJJJGBMJJJJG - 4CMJJJJG = 0G c) Tìm tọa độ điểm E để ABCE là hình thang có một cạnh đáy là AB và E nằm trên Ox. d) Tìm tọa độ trực tâm H, trọng tâm G và tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC. Δe) Chứng tỏ H, G, I thẳng hàng. Giải a) D là điểm đối xứng của A qua B B là trung điểm của AD ⇔ ⇔ADBADBx + xx = 2y + yy = 2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ hay D(–2, 7) ⇔()()−−⎧⎪⎨−⎪⎩DBADBAx = 2x x = 2 0 2 = 2y = 2y y = 2 3 + 1 = 7−JJJJG JJJJGb) Ta có: 2 + 3BM – 4CMAMJJJJG = 0G = ( 0, 0 ) ⇔ ()()( )()()()−−−−⎧⎪⎨−− −⎪⎩MMMMMM2x 2 + 3x 0 4x 4 = 02 y + 1 + 3 y 3 4 y 2 = 0 ⇔ hay M(–12, –1) −⎧⎨−⎩MMx =12y =1c) ABCE là hình thang có đáy AB và E nằm trên Ox. ⇔ Ey = 0CE ⎧⎪⎨ ΑΒ⎪⎩JJJG JJJG//⇔ EEEy = 0x - 4 y - 2 = 0 - 2 3 + 1⎧⎪⎨⎪⎩ ⇔ hay E(5, 0) EEy = 0x = 5⎧⎨⎩d) H là trực tâm của ABC Δ⇔ AH BCBH AC⊥⎧⎨⊥⎩ ⇔ AH.BC = 0BH.AC = 0⎧⎪⎨⎪⎩JJJJG JJJGJJJJG JJJG ⇔ ()()()( )()()()()41242 321 0−−++−=⎧⎪⎨−−+−+=⎪⎩HHHHx2 0 yx0 y30239HHHHxyxy−−=⎧⎨+−=⎩ ⇔ 4900⇔ 18797HHxy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ hay H1879,7⎛⎞⎜⎟⎝⎠ G là trọng tâm ABC ta có: Δ 204233132 433ABCGABCGxxxxyyyy++++⎧==⎪⎪⎨++−+ +⎪==⎪⎩3== hay G423,⎛⎞⎜⎟⎝⎠ + I là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC ⇔ IA = IB = IC ⇔ 2222IA IBIA IC⎧=⎪⎨=⎪⎩⇔ ()( )()(()( )()(22222221032142IIIIIIxyxxyx⎧−+−−=−+−⎪⎨−+−−=−+−⎪⎩))22IIyy00⇔ 4844615IIIIxyxy−+ −=⎧⎨+−=⎩⇔ 24 1214 71914IIxy⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ hay I12 19714,⎛⎞⎜⎟⎝⎠ e) Ta có : = HGJJJJG41721,⎛⎞−⎜⎟⎝⎠ và HIJJJG = 61714,⎛⎞−⎜⎟⎝⎠ ⇒ 4767−− = 121114 = 23 ⇒ cùng phương với HGJJJJGHIJJJG ⇒ H, I, G thẳng hàng. Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho A(2, 2 3 ), B(1, 3 3 ), C (-1, 3 ) . Tính cos (AOJJJG, ABJJJG) và diện tích tam giác ABC. Giải Ta có: AOJJJG = (–2, –2 3 ), ABJJJG = (–1, 3 ) = ( a1;a2 ) cos(AOJJJG,ABJJJG) = 2641213.−+ + = 12− JJJGAC = (–3, – 3 ) = = ( b1; b2 ) ⇒12 2112=−ABCSabab = 113332− −−−()( ) () = 2 3 * * * . )()()()()41242 321 0−−++−=⎧⎪⎨−−+−+=⎪⎩HHHHx2 0 yx0 y30239HHHHxyxy−−=⎧⎨+−=⎩ ⇔ 490 0⇔ 18 797 HHxy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ hay H18 79, 7⎛⎞⎜⎟⎝⎠ G là trọng tâm ABC ta có: Δ 204233132. - yx - x y - y = 0 . Với việc tìm góc của hai vectơ ta có: - Góc hình học tạo bởi hai vectơ aG, bG được suy từ công thức: cos(na, bGG) = 11 22ab