Giải hệ pt hay thần tốc

http://edufly.edu.vn Chuyên đề hpt lớp 10 BÀI GIẢNG SỐ 06: CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Dạng 1: Giải hệ phương trình bậc hai phương pháp phân tích thành nhân tử Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:  xy  x    2 2 x  x y  x  y  xy  y  ( x, y  R ) Giải:  xy  x   Hệ cho tương đương với  (2 x  y  1)( x  y )  (1) (2) + x  y    y  x  Thay vào (1) ta x  x    x  1   y  1    1   ;  ;  ;       Do ta nghiệm  x; y    + x  y   y  x Thay vào (1) ta x  x     x  1  x  x     x  Do ta có nghiệm  x; y   1;1  1    1   ;  ;  ;   ; (1; 1)     Vậy hệ cho có nghiệm  x; y    Ví dụ 2*: Giải hệ phương trình  x  y    4( x  y )  3( x  y ) (4a )  (4b)  x   y  x  (4) Giải: Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Page http://edufly.edu.vn Chuyên đề hpt lớp 10 Điều kiện x  y  Phương trình (4a) tương đương với 4( x  y )2   3( x  y )  x  y   2( x  y )  0 3( x  y )  x  y    2( x  y )  1 2( x  y )  1  2 x  y    y   x   2( x  y )    ( Loai)  3( x  y )  x  y  Thay vào phương trình (4b), ta có x3    x  x       x3    5( x3  1) x3      2x   x 1  2( x  1)   2x  5( x  x  1)  ( x  1)    x3    x 1   5( x  x  1)   x3      x 1    2x    1   x   x        2x  1   2x    Vậy nghiệm hệ phương trình 1;  1  2 Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Page http://edufly.edu.vn Chuyên đề hpt lớp 10 Dạng 2: Giải hệ phương trình phương pháp biến đổi tương đương Ví dụ 3: Giải hệ phương trình  x  y   x  y     2  x  y   x  y   15 (I) Giải:   x  y 2  xy   x  y   (*)  x  y 2  x  y     Hệ (I)     2  x  y   x  y   xy   15  x  y   x  y   15    Trừ theo vế hai phương trình cho ta xy ( x  y )  12  x  y  xy Thay vào vào (*) ta được:       xy    xy   x  y   xy   xy x  y   xy  Khi hệ (I)   Suy x, y nghiệm phương trình x   t  y  2 t  3t      x  t     y  Vậy hệ phương có nghiệm  x; y   1;  ,  2;1 Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Page http://edufly.edu.vn Chuyên đề hpt lớp 10 Nhận xét: Để giải hệ cho, khéo léo chuyển hệ cho dạng đối xứng loại I Sở dĩ ta xác định hướng biến đổi nhận thấy biểu thức hệ có S  x  y  P  xy thể biểu diễn thông qua hệ đối xứng  Dạng 3: Giải hpt bậc hai phép đặt ẩn phụ phương trình Ví dụ 4: Giải hệ phương trình  x  y  x  y   2  x  y  128 Giải: Đặt u  x  y  0, v  x  y  u  v   Ta có: u  v  256 u  0; v   (*) (*)   u  v   2u 2v  256 2   u  v   2uv   2u v  256    (16  2uv )  2u v  256  256  64uv  4u 2v  2u 2v  256  2u v  64uv  uv   uv  2uv  64     uv  32 Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Page http://edufly.edu.vn Chuyên đề hpt lớp 10  u  x    u  v  v   y  8 Nếu uv       u    x  8 uv     v    y  u  v  ( vô nghiệm) uv  32 Nếu uv  32   x   x  8   y  8 y  Vậy hệ có nghiệm  Dạng 4: Giải hệ phương trình phép đặt ẩn phụ phương trình Ví dụ 5: Giải hệ phương trình 5  y    9( x  3)  100( x  3)( y  2)  3  y    7( x  3)  308( x  3)( y  2) Giải: Ta xét trường hợp TH1: Với x = -3, ta y = TH2: Với x  3 y  , biến đổi hệ dạng  x3       x   100 y2  308 y2 (*) Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Page http://edufly.edu.vn   x   u Đặt:   v  y  Chuyên đề hpt lớp 10 Khi hệ (*) có dạng:  163   56 x   u  v  100 u  56   x3  56     3u  7v  308 v  20   y  49  20 20   y   163 49  ;   56 20  Vậy hệ có nghiệm  x; y    3;  ,  Chú ý: Trong nhiều trường hợp cần xác định điều kiện cho ẩn phụ Ví dụ 6: Giải hệ phương trình 2  x  y  3x  y   2 3 x  y  x  y  (I) Giải:  x  x    y  y    Hệ (I)   2 3  x  3x    y  y   9 u  x  x , đk u  , v  4 v  y  y Đặt   3 x1,2    x  x  u  v  u   Khi  I        y  y  3u  2v  v   y   y  4 Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Page http://edufly.edu.vn Chuyên đề hpt lớp 10  3   3   3   3  ;  ,  ; 4  ,  ;0  ,  ; 4          Vậy hệ có nghiệm  x; y    Dạng 5: Giải hệ phương trình phương pháp hàm số Ví dụ 7: Giải hệ phương trình  x  y   x    y  x   y  Giải: Điều kiện: x 1  x     y 1  y 1 Trừ theo vế phương trình hệ ta được: x2  y2  y 1  2x  x 1  y  x  x  x   y  y  y  (1) Xét hàm số f (t )  t  2t  t  tập D  1;   - Hàm số f1 (t )  t  2t đồng biến D - Hàm số f (t )  t  đồng biến D Suy hàm f(t) đồng biến D Khi (1) có dạng f ( x )  f ( y )  x  y Vậy hệ cho trở thành Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Page http://edufly.edu.vn Chuyên đề hpt lớp 10 x  y x  y  x  y  x  y     t  x  (t  0)  t  x   2  x  x   x   x  1  x   t  t  t (t  1)(t  t  1)     x  y x  y   x  y    t  x    x     x  y   t 0   x      t  Vậy hệ có nghiệm  x; y   1;1 ,  2;  Dạng 6: Hệ lặp ẩn Định nghĩa: Hệ gồm ba phương trình ẩn có dạng x  f ( y)   y  f ( z ) gọi hệ lặp ẩn  z  f ( x)  Phương pháp: Bước 1: Tìm tập giá trị I f(t) x, y, z, f(x), f(y) = f(f(f(x))), f(z)=f(f(x))  I Bước 2: Khẳng định hàm số f(t) đơn điệu I, giả sử đồng biến I Ta chứng minh f(x) = x Thật vậy, từ hệ ta có: x  f ( f ( f ( x ))) f(x) đồng biến I Khi - Nếu f ( x)  x  f ( f ( x))  f ( x )  f ( f ( f ( x )))  f ( f ( x ))  f ( x)  x  f ( f ( f ( x )))  x (mâu thuẫn với hệ) - Nếu f ( x)  x  f ( f ( x))  f ( x)  f ( f ( f ( x)))  f ( f ( x ))  f ( x)  x  f ( f ( f ( x)))  x Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Page http://edufly.edu.vn Chuyên đề hpt lớp 10 (mâu thuẫn với hệ) Do f(x) = x Từ tìm nghiệm hệ Ví dụ 8: Giải hệ phương trình  x3  y  y     y  z  3z     z  3x  3x   Giải: Xét hàm số: f (t )  3 y  y  Khi hệ có dạng x  f ( y)   y  f (z)  z  f ( x)    Hàm f(t) có tập giá trị I   ;     Hàm f(t) đồng biến t   hàm f(t) đồng biến I Ta chứng minh f(x) = x Thật vậy, từ hệ ta có: x  f ( f ( f ( x ))) f(x) đồng biến I Khi - Nếu f ( x)  x  f ( f ( x))  f ( x )  f ( f ( f ( x )))  f ( f ( x ))  f ( x)  x  f ( f ( f ( x )))  x (mâu thuẫn với hệ) Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Page http://edufly.edu.vn - Chuyên đề hpt lớp 10 Nếu f ( x)  x  f ( f ( x))  f ( x)  f ( f ( f ( x)))  f ( f ( x ))  f ( x)  x  f ( f ( f ( x)))  x (mâu thuẫn với hệ) Do f(x) = x  x3  3x  x     x  1   x  Vậy nghiệm hệ x = y = z = Dạng 7: Giải hệ phương trình phương pháp đánh giá bất đẳng thức Ví dụ 9: Giải hệ phương trình 1  x  y   4 (1)  x y    x  y    (2)  x2 y2 Giải: Điều kiện x, y    1 1  Nhận xét   x  y      x  y     42 x y x y    Vậy hệ phương trình có nghiệm x y x  y  1   x y  x  y  1 Kiểm tra lại thấy x = y = thỏa mãn hệ Vậy hệ có nghiệm x = y = Ví dụ 10: Giải hệ phương trình Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Page 10 http://edufly.edu.vn Chuyên đề hpt lớp 10 2  x  y  z  (I)  2  x  y  xy  yz  zx   Giải:  x  y  z  Hệ (I)   ( x  y )  z ( x  y )   Từ phương trình thứ ta 1  z  (1) Từ phương trình thứ hai ta x – y tồn  z    z  (2) Kết hợp (1), (2) ta có z  1 x2  y2  Với z = 1, hệ có dạng  x  y  x  y  (vô nghiệm)   y  x 1 x2  y2  x  y  ( vô nghiệm)  y  x  x  y     Với z = -1, hệ có dạng  Vậy hệ phương trình cho vô nghiệm BÀI TẬP: Bài 1: Giải hệ phương trình sau: a) 5 x y  xy  y   x  y    2  xy  x  y     x  y   xy  x  y  x  y  x y  y x   x  y b)   10 10   2 10  10  ; ; ,    5   ĐS: a)  x; y   1;1 ,  1; 1 ,  b)  x; y    5;  Bài 2: Giải hệ phương trình Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Page 11 http://edufly.edu.vn Chuyên đề hpt lớp 10 2  x  xy  y  a)  4  x  y  17 ĐS:  x; y    2; 1 ,  1;  , 1; 2  ,  2;1 2  x  x y  x y  x  b)   x  xy  x  ĐS:  x; y    4; c)   x  y  z    xy  yz  zx   x  y  z 14  17   4 ĐS:  x; y; z   1;3;  ,  2;3;1 Bài 3: Giải hệ phương trình  x  y  xy  a)   x   y   HD: Đặt t  xy (t  0)  x; y    3;3  x  y     x  y   x  y b)  12 x  x  y  xy   1  12 y   x   x  y   a   5   1    x; y    ;  ,  ;     10   x  y  b  HD: Đặt  Bài 4: Giải hệ phương trình sau:   x  y  x y  xy  xy    a)  5 x  y  xy 1  x      ĐS:  x; y    ;  Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com 25   3   ;  1;  16    Page 12 http://edufly.edu.vn Chuyên đề hpt lớp 10  xy  x   y b)  2  x y  xy   13 y  1   ĐS:  x; y    1;  ,  3;1  y  xy  x c)  2 1  x y  x HD: Chia vế hệ cho x   x  ĐS:   y  Bài 5: Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực  x  x  y  y     x   y   15m  10  x3 y3 7 m2 ĐS:    m  22 Bài 7: Giải hệ phương trình a)  x  1 x   y  3  y   4 x  y   x    1    ĐS:  x; y    ;    x   x2 y   y   b)   x x  xy   xy  x    11 3  11  ;    ĐS:  x; y   1; 1 ,  Bài 8: Giải hệ lặp sau: x  y3  y 1   y  z  z 1  z  x  x 1 ĐS:  x; y; z    1; 1; 1 Bài 8: Giải hệ phương trình a) 2  x y  x  y   2 x  x   y  ĐS: Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com x    y  1 Page 13 http://edufly.edu.vn  x  y   b)   y  x   Chuyên đề hpt lớp 10 x  y 1 ĐS:  Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Page 14 [...]... Với z = -1, hệ có dạng  Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm BÀI TẬP: Bài 1: Giải hệ phương trình sau: a) 5 x 2 y  4 xy 2  3 y 3  2  x  y   0  2 2 2  xy  x  y   2   x  y   xy  x  y  x 2  2 y 2  x 2 y  y x  1  2 x  2 y b)   2 10 10   2 10  10  ; ; ,  5   5 5   5 ĐS: a)  x; y   1;1 ,  1; 1 ,  b)  x; y    5; 2  Bài 2: Giải hệ phương trình... Bài 8: Giải hệ lặp sau: x  y3  y 1  3  y  z  z 1  3 z  x  x 1 ĐS:  x; y; z    1; 1; 1 Bài 8: Giải hệ phương trình a) 2 2 2  x y  2 x  y  0  2 3 2 x  4 x  3  y  0 ĐS: Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com x  1   y  1 Page 13 http://edufly.edu.vn  x  4 y  1  1 b)   y  4 x  1  1 Chuyên đề hpt lớp...   1;  ,  3;1 3 2  y  xy 2  6 x 2 c)  2 2 2 1  x y  5 x 2 HD: Chia cả 2 vế của hệ cho x  0 1  x  ĐS:  2  y  1 Bài 5: Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực 1  1 x  x  y  y  5    x 3  1  y 3  1  15m  10  x3 y3 7 m2 ĐS:  4   m  22 Bài 7: Giải hệ phương trình a)  4 x 2  1 x   y  3 5  2 y  0  2 4 x  y 2  2 3  4 x  7 ...http://edufly.edu.vn Chuyên đề hpt lớp 10 2 2 2  x  y  z  1 (I)  2 2  x  y  2 xy  2 yz  2 zx  1  0 Giải:  x 2  y 2  z 2  1 Hệ (I)   2 ( x  y )  2 z ( x  y )  1  0 Từ phương trình thứ nhất ta được 1  z  1 (1) Từ phương trình thứ hai ta được x – y tồn tại  z 2  1  0  z  1 (2) Kết hợp (1), (2) ta có z  1 x2  y2  0 Với z = 1, hệ có dạng  x  y  1 x  y  0... Page 11 http://edufly.edu.vn Chuyên đề hpt lớp 10 2 2  x  xy  y  3 a)  4 4  x  y  17 ĐS:  x; y    2; 1 ,  1; 2  , 1; 2  ,  2;1 4 3 2 2  x  2 x y  x y  2 x  9 b)  2  x  2 xy  6 x  6 ĐS:  x; y    4; c)   x  y  z  6   xy  yz  zx  7  x 2  y 2  z 2 14  17   4 ĐS:  x; y; z   1;3; 2  ,  2;3;1 Bài 3: Giải hệ phương trình  x  y  xy  3 a) ... 6   3 x  3 y  b  0 HD: Đặt  Bài 4: Giải hệ phương trình sau: 5  2 3 2  x  y  x y  xy  xy   4  a)  4 2 5 x  y  xy 1  2 x    4  5  4 ĐS:  x; y    3 ;  3 Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com 25   3   ;  1;  16   2  Page 12 http://edufly.edu.vn Chuyên đề hpt lớp 10  xy  x  1  7 y b)  2 2  x ... Để giải hệ cho, khéo léo chuyển hệ cho dạng đối xứng loại I Sở dĩ ta xác định hướng biến đổi nhận thấy biểu thức hệ có S  x  y  P  xy thể biểu diễn thông qua hệ đối xứng  Dạng 3: Giải hpt... đề hpt lớp 10 (mâu thuẫn với hệ) Do f(x) = x Từ tìm nghiệm hệ Ví dụ 8: Giải hệ phương trình  x3  y  y     y  z  3z     z  3x  3x   Giải: Xét hàm số: f (t )  3 y  y  Khi hệ. .. hpt lớp 10  3   3   3   3  ;  ,  ; 4  ,  ;0  ,  ; 4          Vậy hệ có nghiệm  x; y    Dạng 5: Giải hệ phương trình phương pháp hàm số Ví dụ 7: Giải hệ