Phương trình vô tỉ trần sĩ tùng

TRẦN SĨ TÙNG ›š & ›š TÀI LIỆU ƠN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Năm 2011 Download tài li u h c t p, xem gi ng t i : http://diendan.shpt.info Trần Sĩ Tùng Phương trình vơ tỉ I PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ Để giải phương trình vơ tỉ ta thường tìm cách khử dấu Có thể sử dụng số phương pháp sau: Phương pháp biến đổi tương đương  g( x ) ≥  f ( x ) ≥ (hoặc g( x ) ≥ 0) • f ( x ) = g( x ) ⇔  • f ( x ) = g( x ) ⇔   f ( x ) = g( x )  f ( x ) = [ g( x )] Phương pháp đặt ẩn phụ t = f ( x ), t ≥ • a f ( x ) + b f ( x ) + c = ⇔  at + bt + c = • f ( x ) + g( x ) ± • f ( x ).g( x ) ± f ( x ) Chú ý: Nói chung f ( x ) f ( x ).g( x ) = m Đặt t = f ( x ) + g( x ), t ≥ g( x ) g( x ) = m Đặt t = f ( x ) , t f ( x ) ≥ f ( x) f ( x) g( x ) ≠ f ( x) f ( x ).g( x ) u = f ( x ) f ( x ) ± g( x ) = h( x ) Đặt  ; u, v ≥ đưa hệ u, v v = g( x ) Chú ý: Trong số trường hợp, sau đặt ẩn phụ t, phương trình lại ẩn x cũ (đặt ẩn phụ khơng triệt để) Khi ta coi x tham số phương trình coi x ẩn thứ (cùng với t) hệ phương trình Cụ thể: • – Nếu phương trình (ẩn t, tham số x) có biệt thức ∆ phương ( ∆ = g2 ( x ) , g(x) đa thức, thường có bậc 1) giải t theo x – Nếu phương trình phương trình đẳng cấp (của x t) đặt x = ty – Nếu phương trình khơng phải đẳng cấp ∆ khơng phương coi t x ẩn hệ phương trình Phương pháp hàm số: Chọn hàm số thích hợp, sử dụng tính đơn điệu hàm số Cho hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng (α; β) Khi đó, với a, b ∈ (α; β) ta có: f(a) = f(b) ⇔ a = b Phương pháp đối lập min f ( x ) = M  f ( x) = M Giả sử  Khi f ( x ) = g( x ) ⇔  max g( x ) = M  g( x ) = M Chú ý: Để xác định f ( x ), max g( x ) ta thường sử dụng BĐT phương pháp tìm GTLN, GTNN hàm số Phương pháp lượng giác hố  π π • Nếu x ≤ a, a > ta đặt x = a.cos t , t ∈ [0; π ] x = a.sin t, t ∈  − ;   2 a π • Nếu x ≥ a, a > ta đặt x = , t ∈ [0; π ], t ≠ cos t  π π a x = , t ∈ − ;  , t ≠ sin t  2  π π • Nếu x ∈ R ta đặt x = tan t , t ∈  − ;   2 Trang Phương trình vơ tỉ Trần Sĩ Tùng Bài Giải phương trình sau: (nâng luỹ thừa) Ví dụ: Giải phương trình: + x − x = x − (*) x − ≥ x ≥ x ≥ (*) ⇔  ⇔ ⇔ ⇔ x=3 2 x = ∨ x =  + x − x = ( x − 2)  x − 3x = a) 2x − = x − b) x + 10 = − x c) x − x − = d) x2 + x + = − x e) 3x − x + = x − f) 3x − x + = x − g) x2 − x − = 2x + h) x2 + x − = x − i) 3x + x + = − x Bài Giải phương trình sau: (nâng luỹ thừa) x + − − x = − 2x (*)   −4 ≤ x ≤ (*) ⇔ x + = − x + − x ⇔   x + = − x + (1 − x )(1 − x) + − x  Ví dụ: Giải phương trình:  −4 ≤ x ≤  1   − ≤ x≤  − ≤ x ≤   2 ⇔ ⇔ x ≥ − ⇔ ⇔ x=0  (1 − x )(1 − x) = x +  x = ∨ x = −  (1 − x)(1 − x) = x + x +    a) 3x + − x + = b) x2 + − x − = c) x + = + 3x + d) x + 11 = x − 13 + 2( x + 1) e) x + − 1− x = 1− 2x f) x − − − x = x +1 Bài Giải phương trình sau: (nâng luỹ thừa) Ví dụ: Giải phương trình: ⇔ x −1 + x − = 2x − 3 ( x −1 + x − ) = ( 2x − ) ⇔ 3 x − 1.3 x − 2.3 x − = (vì a) d) x + + x + = x + 11 x +1 + x + + x + = (*) ⇔ 3 x − 1.3 x − ( x − + x − ) = b) x − + x − = x − ) ⇔ x = 1; x = 2; x = 3 x + + 3 x + = x − c) + x + − x = Bài Giải phương trình sau: (biến đổi đưa phương trình tích) ( a − c) x + ( b − d ) ⇔ m( ax + b ± cx + d ) = (ax + b) − (cx + d ) m • u + v = uv + ⇔ (u − 1)(v − 1) = • au + bv = ab + uv ⇔ (u − b)(v − a) = • ax + b ± cx + d = a) x + − 3x − = c) x +3 b) x + + x = + x3 + x d) 3 x + + x + = + x2 + 3x + x + + x x + = x + x2 + 4x + e) + 33 x ( x + ) = x + 3 x ( x + ) Trang f) x + 3x + = x x + + 2 x − Trần Sĩ Tùng g) Phương trình vơ tỉ x3 + x2 + 3x + + x = x + + x2 + x Bài Giải phương trình sau: (biến đổi biểu thức dấu căn) Ví dụ: Giải phương trình: (*) ⇔ ( x −1 − 2) + ( x + − x −1 + x + − x −1 = x − − 3) = ⇔ x −1 − + (*) x −1 − = ⇔ ≤ x − ≤ ⇔ ≤ x ≤ 10 a) x − + 2x − + x + + 2x − = b) x + − x +1 + x + − x +1 = c) x + + x + + x + 16 − x + = d) x + − x + + x + 11 − x + = e) x + 2− x − + x + −6 x − =1 f) x + 4− x + x + − x =1 g) 2x − 2x −1 − 2x + − 2x −1 + 2x + − 2x −1 = Bài Giải phương trình sau: (nhân lượng liên hợp) a) x − x + 15 + x − x + = c) x2 − 3x + + x − 3x + = b) 3x + 5x + − x2 + 5x + = Bài Giải phương trình sau: (đặt ẩn phụ) Ví dụ: Giải phương trình: −4 (4 − x )(2 + x ) = x − x − (*) t = (4 − x )(2 + x ), t ≥ t = (4 − x )(2 + x ), t ≥   x = −2 ⇔  ⇔ t = ⇔ x = −4t = −t t =  a) x − x + = x − x + b) ( x + 4)( x + 1) − x + x + = c) ( x − 3)2 + x − 22 = x − x + d) ( x + 1)( x + 2) = x + x − e) ( x + 5)(2 − x ) = x + x Bài Giải phương trình sau: (đặt ẩn phụ) Ví dụ: Giải phương trình: + x + − x − (3 + x )(6 − x ) = (*) t2 −  t = −1 (loại ) x = Khi đó: (*) trở thành t − 2t − = ⇔  ⇔ t =  x = −3 Đặt t = + x + − x , t ≥ ⇒ + x − x = a) − x + + x − (7 − x )(2 + x ) = b) x − + − x − ( x − 1)(3 − x ) = c) x + + − x + ( x + 1)(4 − x ) = d) x + + − x − 4 x − x − = −2 e) x + + − x + ( x + 2)(5 − x ) = f) x + 26 − x + x 26 − x = 11 Trang Phương trình vơ tỉ Trần Sĩ Tùng x + + x − = x − 12 + x − 16 h) g) 3x − + x − = x − + x2 − 5x + Bài Giải phương trình sau: (đặt ẩn phụ) Ví dụ: Giải phương trình: ( x − 3)( x + 1) + 4( x − 3) Đặt t = ( x − 3) x +1 = −3 (*) x −3 x +1 ⇒ t = ( x − 3)( x + 1) x −3 x = 1−  t = −1 Khi đó: (*) trở thành t + 4t + = ⇔  ⇔  t = −3  x = − 13 a) x( x + 1) + 4( x − 1) x = −4 x −1 Bài 10 Giải phương trình sau: (đặt ẩn phụ – tích hai biểu thức có dấu 1) Ví dụ: Giải phương trình: − x 1+ x − = (*) 1+ x 2−x 2− x 2−x > ⇔ −1 < x < Đặt t = , t>0 1+ x 1+ x t = − (loại ) 5+ Khi (*) trở thành: t − 2t − = ⇔  ⇔ x=− 6+2 t = + Điều kiện: ( a) − 1) x + ( − 1) x =2 x x −1 + = x −1 x b) c) 1− x 3 + 2x + =2 + 2x 1− x d) x +1 x −1 + =4 x −1 x +1 e) 16 x x − + = 25 x −1 16 x f) 5− x x +3 + =2 x +3 5− x g) 1+ x 1− x + −3 = 1− x 1+ x Bài 11 Giải phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ) Ví dụ: Giải phương trình: x2 + − x − = (*) Đặt u = x + 9, v = x − 7, u ≥ u − v = u = Khi ta có:  2 ⇔ ⇔ x = ±4 v = u − v = 16 a) x − x + 15 + x − x + = b) 3x + 5x + − x2 + 5x + = c) x2 + x + x + x + = + d) − x + x − + x − x2 = x + − x − 12 = f) − x +1 + + x +1 = h) 47 − x + 35 + x = k) 18 − x + x − = e) g) i) 3 1+ x + 1− x = 24 + x − + x = Trang Trần Sĩ Tùng Phương trình vơ tỉ x2 + x + − 2 x2 + 5x − = l) x + 4356 + x − x x + 4356 − x = x m) Bài 12 Giải phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ) Ví dụ: Giải phương trình: 24 + x + 12 − x = (*) Đặt: u = 24 + x , v = 12 − x , v ≥ u = 0; v =  x = −88 u + v =  Khi ta có:  ⇔ u = 3; v = ⇔  x = −24   u + v = 36  u = −4; v = 10 x = a) c) e) x + = 3x + b) x +3 − x =1 d) − x = − x −1 f) x +1 = x − x2 + x = x − x +7 − x =1 Bài 13 Giải phương trình sau: (đặt ẩn phụ khơng triệt để) Ví dụ: Giải phương trình: (4 x − 1) x + = x + x + (*) (vì : x + x + > 0, ∀x ) Đặt t = x + 1, t ≥  (*) trở thành: 2t − (4 x − 1)t + x − = ⇔  t = (loại) ⇔ x + = x − ⇔ x = t = x −  Điều kiện: x > a) x − x + = x x − b) 2(1 − x ) x + x − = x + x − c) x + x + = d) x + = x − e) x + x + = f) x + − x = + x − x g) x + 26 − x + x 26 − x = 11 h) i) x + x + 12 x + = 36 k) l) 2011x − x + = 2010 x x − m) x − x + ( x + 2)3 = x n) x + + x − = o) x − = x x − x x + + x − = x − 12 + x − 16 ( ) ( x + − = x + 3x + x2 + ) Bài 14 Giải phương trình sau: (đặt ẩn phụ đặc biệt) Trong phương trình có chứa biểu thức cx + d Bằng cách đặt chọn a, b cho đưa hệ đối xứng x2 + x = x +  x + x = at + b x + = at + b Ta hệ:  2 a t + 2abt = x + − b cx + d = at + b Ta cần Ví dụ: Giải phương trình: Đặt  a2 = 2 ab = Hệ (*) đối xứng nếu:  ⇔ a =  b = − b a = b = Như vậy, ta đặt:  Trang (*) x + = t + 2, (t ≥ −2) Phương trình vơ tỉ Trần Sĩ Tùng  −3 − 17 −5 + 13   x + x = t +  Nghiệm:  Ta hệ đối xứng:  ;   2 t + 4t = x + a) x − x = 2 x − b) x + x = (đặt 4x + ( x > 0) 28 c) x − x + = x + 3, ( x ≥ 3) d) e) (đặt t + (đặt x − = x − 36 x + 53 x − 25 x + = −4 x + 13 x − 2x −1 = t −1 ) 4x + = ) 28 x +3 = t −3) (đặt 3 x − = 2t − ) (đặt x + = −2t + ) Bài 15 Giải phương trình sau: (phương pháp hàm số) x − + x + + x − + x + = 25 (*) Đặt f ( x ) = x − + x + + x − + x + − 25 , x ≥ 9  Ta có: f ′( x ) > 0, ∀x > ⇒ f(x) đồng biến  ; +∞  2  Mà f (5) = nên x = nghiệm (*) Ví dụ: Giải phương trình: x +1 − − x = b) x + + 2x + = d) x + x − − 3x + = e) − x + x − + x − x2 = a) x − + x2 − = c) Bài 16 Giải phương trình sau: (phương pháp đối lập) x − + − x = x − x + 11 Ví dụ: Giải phương trình: (*) Áp dụng BĐT: (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2 ) , ta có: y = ( x − + − x ) ≤ 2( x − + − x ) = ⇒ y = x − + − x ≤ y đạt lớn ⇔ x −2 = 4− x ⇔ x =3 Mặt khác: x − x + 11 = ( x − 3)2 + ≥ 2, ∀x x − x + 11 đạt nhỏ ⇔ x =  x − + − x = Do đó: (*) ⇔  ⇔ x =3  x − x + 11 = a) x − + − x = x2 + x − c) 3x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x d) 3x − + − 3x = x − 20 x + 22 e) x2 − x + + x − x + = x − + − x = x − 16 x + 66 x − + 10 − x = x − 12 x + 40 b) f) g) x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x ĐS: a) x = b) x = c) x = –1 d) x = e) ≤ x ≤ Bài 17 Giải phương trình sau: (phương pháp lượng giác hố) a) 1 35 + = x − x 12 ( b) x + c) + − x = x + − x e) − x + + x = ) x x2 − = 35 12 d) x = x + − x 1− 2x 1+ 2x + (đặt x = cos t , t ∈ (0; π ) ) 1+ 2x 1− 2x Trang f) x = Trần Sĩ Tùng Phương trình vơ tỉ   f) x  +  =  x −1   g) x + h) x − 3 x − x + = ( ⇔ i) 3x − x − 3x 3x x −9 =2 = 3, đặt x = tan t ) x + ( x + 1) x +1 + = (đặt x = tan t ) 2x x (1 − x )  − 73  5   b)  ;  ĐS: a)  ; ; 5 14  3  e) {0} { } f) − ( + 1)  2 − 2 −  d) − ; ;−  2   π   4π 7π  h) tan ; tan ; tan  i)   9    3 1  c)  ;1 2  g) {3 } Bài 18 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: a) x+4 x−4 + x+ x−4 = m c) m + x + m − x = m ĐS: a) m ≥ b) m ≤ b) x − m = x + mx − d) m + x + m − x = m c, d) ≤ m ≤ hay m = Bài 19 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: a) x − + − x − ( x − 1)(3 − x ) = m b) c) x + − x = − x + x + m ĐS: a) ≤ m ≤ b) − x + + x − (7 − x )(2 + x ) = m d) ( x − 3)( x + 1) + 4( x − 3) −9 ≤m≤3 Trang c) − ≤ m ≤ 10 x +1 =m x −3 d) m ≥ –4 Phương trình vơ tỉ Trần Sĩ Tùng II BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ Để giải bất phương trình vơ tỉ ta thường sử dụng phương pháp phương trình vơ tỉ:   g( x ) <  f ( x) ≥  f ( x) ≥   • • f ( x ) > g( x ) ⇔   g( x ) ≥ f ( x ) < g( x ) ⇔  g( x ) >   f ( x ) < [ g( x )]2   f ( x ) > [ g( x )]2    Chú ý: • Đối với bậc chẵn cần phải đặt điều kiện biểu thức có nghĩa • Khi bình phương vế cần ý điều kiện vế phải khơng âm • Đối với BPT chứa ẩn mẫu, cần ý dấu mẫu (tránh sai lầm nhân "chéo"): A A + Nếu M > > B ⇔ A > BM + Nếu M < > B ⇔ A < BM M M • Có thể chia tập xác định thành nhiều khoảng giải BPT khoảng Bài Giải bất phương trình sau: (nâng luỹ thừa) Ví dụ 1: Giải bất phương trình: x − x − 12 < x   x ≤ −3   x ≥  x − x − 12 ≥   (*) ⇔  x > ⇔ x > ⇔ x ≥  x − x − 12 < x  x > −12  (*) 2x + > x − (**) x < x − ≥  x − < x ≥ ⇔ − ≤x x − e) x + 13 x + ≥ x − f) x2 − x + < x + g) x2 + x − ≥ x + h) 2( x − 1) ≤ x + i) x2 + 5x − > − x k) x2 − x + + x ≥ l) ( x + 1)(4 − x ) > x − m) 2x + 6x2 +1 > x + Bài Giải bất phương trình sau: (nâng luỹ thừa) Ví dụ: Giải bất phương trình: x + ≥  Điều kiện:  x − ≥ ⇔ x ≥  x − ≥ (*) ⇔ ⇔ x + − x −1 < x − (*) x + < x − + x − ⇔ x + < x − + 4( x − 1) + ( x − 2)( x − 1) ( x − 2)( x − 1) + x − > ⇔ x > (vì x ≥ 2) a) x + − − x > 2x − b) 2x + + x + ≤ c) 5x − − x − > x − d) − x > − x − −3 − x Trang Trần Sĩ Tùng Phương trình vơ tỉ e) x + − x −1 < x − f) 5x + − x − ≤ x g) x + − x − 18 ≤ x + h) x +5 − x +4 > x +3 i) x + 11 ≥ x − + x − k) x + − x +1 ≤ x Bài Giải bất phương trình sau: − − x2 nên (*) hiển nhiên 1 − x < 1 − x ≥ ii) < x ≤ Ta có: (*) ⇔ − x > − x ⇔  ∨ 2 2 1 − x ≥ 1 − x > (1 − x ) Ví dụ: Giải bất phương trình:   1 x > x ≤ 1 1 ⇔  ⇔ < x≤ ∨ 0 ⇔ y + y − 12 > ⇔  y >  x < −1 ⇔ x2 − 3x + > ⇔ x2 − 3x − > ⇔  x > a) ( x − 3)(8 − x ) + 26 > − x + 11x c) ( x + 1)( x + 4) < x + x + 28 e) 3x + x + < − x − x2 g) x + x + ≤ x + x + b) ( x + 5)( x − 2) + x ( x + 3) > d) x ( x + 1) + 10 < x + x + f) x + x − x − > 10 x + 15 h) x + x + 3 − x − x > Trang Phương trình vơ tỉ Trần Sĩ Tùng i) x + 10 x + ≥ − x − x k) ( x + 1)( x + 4) < x + x + 28 l) 3x + 5x + − 3x + 5x + ≥ m) x x +1 −2 >3 x +1 x Bài Giải bất phương trình sau: (đặt ẩn phụ) a) x −2 2x +1 +4 x − Bài Giải bất phương trình sau: (phương pháp hàm số) a) x + + 2x + > b) x − x − − x − x + 11 > − x − x − Bài Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: a) x − x − > m, (m > 0) ĐS: a) < m < b) x − m x − > m + b) m ∈ R c) m ≤ Trang 10 +1 c) mx − x − ≤ m + Trần Sĩ Tùng Phương trình vơ tỉ III HỆ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ Để giải hệ phương trình vơ tỉ ta thường dùng phương pháp đặt ẩn phụ để khử dấu Một số hệ ẩn để đưa phương trình vơ tỉ ẩn Tuy nhiên có hệ cần có cách giải riêng phù hợp Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  x + y + xy =   x + y =  4 • Đặt u = x ≥ 0, v = y ≥ Ta có hệ:  u + v + 2uv = u + v = S = Đặt S = u + v, P = uv  2  (S − P) − P + 2.P = (*) P − 64 P + 256 + 2.P = ⇔ P − 32 P + 128 = − P P ≤ ⇔  2 ⇔P=4 P − 32 P + 128 = 64 − 16 P + P Ta có: (*) ⇔ S = Vậy  ⇔ u, v nghiệm phương trình: t − 4t + = ⇔ t = P = ⇔ u=v=2⇔ x = y =2⇔ x=y=4 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  x + x − y x − x − y 17  + =  x − x − y2 x + x − y2   x ( x + y ) + x + xy + = 52 • Điều kiện: x ≥ y2 > Khi đó: (1) ⇔ (x + x +y (1) (2) (*) ) + (x − x − ( x2 − y2 ) x −y ) x − ( x2 − y2 ) = 2(2 x − y ) 17 17 ⇔ = 4 y2 16 x ⇔ y = ± x (thoả (*)) 25 9 TH1: y = x , thay vào (2) ta được: x + x + = 52 ⇔ x = 25 ⇔ x = ±5 5  x =  x = −5 Do đó:  ;  y =  y = −4 ⇔ 16 x = 25 y2 ⇔ y = TH2: y = − x , thay vào (2) ta được:  x = 15  x = −15 Do đó:  ;  y = −12  y = 12 x = Kết luận: Hệ PT có nghiệm:  ; y = 2 x + x + = 52 ⇔ x = 225 ⇔ x = ±15 5  x = −5  y = −4 ;  Trang 11  x = 15  x = −15  y = −12 ;  y = 12   Phương trình vơ tỉ Trần Sĩ Tùng Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: ( x + xy + y ) x + y = 185  ( x − xy + y ) x + y = 65 • Cộng phương trình, vế theo vế, ta được: 2 2 2( x + y ) x + y = 250 ⇔ ( x +y ) = 125 ⇔ x + y = (25 + xy).5 = 185 Thay vào hệ, ta được:  ⇔ xy = 12 (25 − xy ).5 = 65   x =  x =  x = −3 Ta có hệ:  x + y = 25 ⇔  ; ; ;  y =  y =  y = −4  xy = 12  x = −4  y = −3  Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:  x − y =  y − x =   π • Từ hệ suy x, y ∈ [0; 1] Đặt x = cos u, y = cos v, u, v ∈  0;  Ta có:  2   cos u.sin v = sin(u + v) = (1) ⇔  cos v.sin u = sin(u − v ) = (2)   π Từ (2) ⇒ u − v = kπ ⇔ u = v + kπ , (k ∈ Z ) Do u, v ∈  0;  nên u = v  2   π π  2u = + l 2π  u = 12 + lπ Thay vào (1) ta được:  ⇔ (l ∈ Z )  2u = 5π + l 2π  u = 5π + lπ   12  π π 5π Do u ∈  0;  nên u = u =  2 12 12   π 6+ 5π π 6− = sin =  x = cos =  x = cos 12 12 12 Suy ra:   π + π π −  y = cos =  y = cos = sin =   12 12 12 Bài Giải hệ phương trình sau:  x y + = +1  a)  y x xy   x xy + y xy = 78  2 d)  x + y + xy =  x + y =  x + y = b)   x + y − xy =  x + y − = c)   x − y + = y −  x + − y = e)   − x + y =  x + y − = f)   y + x − = Trang 12 Trần Sĩ Tùng Phương trình vơ tỉ  x + x + y + + x + y + x + y + + y = 18 g)   x + x + y + − x + y + x + y + − y =  x + + y − = h)   y + + x − =  2x 2y  + =3 k)  y x  x − y + xy =  1 3 ĐS: a) (4; 9), (9; 4) b) (4; 4) c)  ;  d) (4; 4) e) (0; 0), (2; 2) 2 2 3  f) (1; 1) g) (4; 4) h) (8; 8) i) (1; 1) k) (−1; −2),  ;3  2   x + y = i)   x + + y + = Bài Giải hệ phương trình sau:  x + y − x − y = a)  2 2  x + y + x − y =  x + + y + = c)   x y + + y x + + y + + x + =  x − y = x − y e)   x + y = x + y −  x + y + xy = 14 g)  2  x + y + xy = 84  x − y = x − y b)   x + y = x + y +  x + + y − = d)   y + + x − =   x + + x + y −3 =  y f)  2 x + y + =  y  x ( x − y ) y = h)  ( x + y ) x = y  5  3 1 ĐS: a)  ;  b) (1;1),  ;  c) (0; 3), (3; 0) d) (3; 3) 2  2 2 9 7 e) (4; 4),  ;  f) (3;1),(5; −1), ( − 10;3 + 10 ) , ( + 10;3 − 10 ) 2 2   3 3  g) (2; 8), (8; 2) h) (0; 0),  2; ;  ,     4  Bài Giải hệ phương trình sau: 3 56  x+ y − x− y =2  x + y xy = 420   a)  b)  c)  x + y = xy  y + x xy = 280  x − y + x + y =  x + y = 10  3  x y + y x = 30 d) 2( x + y) = x y + y x e)   x x + y y = 35  x + y = 5   128   128  ĐS: a) (18; 8) b)  ;  c)  ;  , ; d) (8; 64), (64; 8)  2   13 13   13 13  e) (4; 9), (9; 4) Bài Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:  x + y − x − y = 3m  a)  x + − y + = m b)  2 2  x + y = 3m  x + y − x − y = 9m ( ) Trang 13 Phương trình vơ tỉ Trần Sĩ Tùng  x + + y − = m c)   y + + x − = m  d)  x + + y + = m  x + y = 3m − 21 + 21 ≤m≤ b) m ∈ R 2 Bài Giải hệ phương trình sau: Ví dụ: a) ĐS: a) Trang 14 c) m ≥ d) m ≥ + 21 Trần Sĩ Tùng Phương trình vơ tỉ ĐỀ THI ĐẠI HỌC  x − y = x − y  x + y = x + y + Bài (ĐH 2002B) Giải hệ phương trình:  3 1 ĐS: (1;1),  ;  2 2 Bài (ĐH 2002D) Giải bất phương trình: ( x − x ) x − x − ≥ ĐS: x ≤ − ∨ x =2 ∨ x ≥3 Bài (ĐH 2002D–db2) Giải phương trình: x + + x − = x − 12 + x − 16 ĐS: x = Đặt t = x + + x − 4, t > 2( x − 16) Bài (ĐH 2004A) Giải bất phương trình: x −3 + x−3 > 7− x x −3 ĐS: x > 10 − 34 Bài (ĐH 2004B) Xác định m để phương trình sau có nghiệm: m ĐS: ( ) + x − − x2 + = − x + + x − − x2 − ≤ m ≤ (giải phương pháp hàm số)  x + y =  x x + y y = − 3m Bài (ĐH 2004D) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm  ĐS: ≤ m ≤ 5x − − x − > x − Bài (ĐH 2005A) Giải bất phương trình: ĐS: ≤ x < 10 Bài (ĐH 2005D) Giải phương trình: x + + x + − x + = ĐS: x =  Bài (ĐH 2005A–db2) Giải hệ phương trình:  x + y + − x + y = 3 x + y = ĐS: (2; −1) Bài 10 (ĐH 2005B–db1) Giải phương trình: 3x − − − x = x − ĐS: x = 2; x = Bài 11 (ĐH 2005B–db2) Giải bất phương trình: ĐS: x = 1 ∨ x≥ Bài 12 (ĐH 2005D–db1) Giải bất phương trình: ĐS: 8x − x + − x + ≤ x + − − x ≥ 3x − 14 ≤ x ≤1 ∨ ≤x≤5 3  x + y − xy =  x + + y + = Bài 13 (ĐH 2006A) Giải hệ phương trình:  ĐS: (3; 3) Đặt t = xy Trang 15 Phương trình vơ tỉ Trần Sĩ Tùng Bài 14 (ĐH 2006B) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x + mx + = x + ĐS: m ≥ Bài 15 (ĐH 2006D) Giải phương trình: x − + x − 3x + = ĐS: x = 1; x = − Đặt t = x − 3x − + x − = x − + x2 − 5x + Bài 16 (ĐH 2006B–db1) Giải phương trình: ĐS: x = Đặt t = x − + x − ≥ Bài 17 (ĐH 2006D–db2) Giải phương trình: x + − x = x − + − x + x − + ĐS: x = 5, x = Đưa PT tích ( x − − )( x − − − x ) = Bài 18 (ĐH 2007A) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: x − + m x + = x2 − x −1 ĐS: −1 < m ≤ Đặt t = , ≤ t < PT ⇔ −3t + 2t = m Dùng PP hàm số x +1 Bài 19 (ĐH 2007B) Chứng minh với giá trị dương tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x + x − = m( x − 2) x ≥ ĐS: PT ⇔  Dùng phương pháp hàm số ( x − 2)( x + x − 32 − m ) = Bài 20 (ĐH 2007A–db1) Tìm m để phương trình: m ( ) x − x + + + x (2 − x ) ≤ có nghiệm x ∈  0;1 +  t2 − Đặt t = x − x + 2, ≤ t ≤ BPT ⇔ m ≤ Dùng PP hàm số t +1 Bài 21 (ĐH 2007B–db2) ĐS: m ≤ Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x − 13x + m + x − =  xy = x2 + y x +  x − 2x + Giải hệ phương trình:  xy y + = y2 + x  y − 2y +  ĐS: 1) m = − ∨ m > 12 Dùng phương pháp hàm số 2) (0; 0), (1;1) Cộng PT vế theo vế, ta được:   1 2 VT = xy  +  = x + y = VP 2  ( x − 1) + ( y − 1) +    x = y = Mà VT ≤ xy ≤ x + y = VP Dấu "=" xảy ⇔  x = y = Bài 22 (ĐH 2007D–db1) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x −3−2 x − + x −6 x − + = m ĐS: < m ≤ Đặt t = x − ≥ Trang 16 Download tài li u h c t p, xem gi ng t i : http://diendan.shpt.info Trần Sĩ Tùng Phương trình vơ tỉ Bài 23 (ĐH 2007D–db2) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm nhất: 2 x − y − m =   x + xy = x ≤ ĐS: m > PT ⇔  Dùng tam thức bậc hai  x + (2 − m) x − = Bài 24 (ĐH 2008A) Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x + x + 24 − x + − x = m + ≤ m < + Dùng phương pháp hàm số  xy + x + y = x − y Bài 25 (ĐH 2008D) Giải hệ phương trình:   x y − y x − = x − y ( x + y )( x − y − 1) = ĐS: (5; 2) HPT ⇔  Chú ý x + y > x 2y − y x − = 2x − 2y ĐS: Bài 26 (ĐH 2009A) Giải phương trình: 3 x − + − x − = u = 3 x − ĐS: x = –2 Đặt  v = − x , v ≥ Bài 27 (ĐH 2010A) Giải bất phương trình: x− x − 2( x − x + 1) ≥1 (4 x + 1) x + ( y − 3) − y = Giải hệ phương trình:  4 x + y + − x = ĐS: 1) x = 3− BPT ⇔ 2( x − x + 1) ≤ − x + x Chú ý: 2( x − x + 1) = 2(1 − x )2 + ( x ) ≥ − x + x (BĐT a2 + b2 ≥ ab ) Dấu "=" xảy ⇔ 1− x = x Do đó: BPT ⇔ 2( x − x + 1) = − x + x ⇔ 1− x = x 1  5  2)  ;  HPT ⇒ x +  − x  + − x − = Dùng phương pháp hàm số 2  2  x + − − x + x − 14 x − =   ĐS: x = PT ⇔ ( x − 5)  + + x +  = Chú ý: − ≤ x ≤ − x +1  3x + +  Bài 28 (ĐH 2010B) Giải phương trình: Download tài li u h c t p, xem gi ng t i : http://diendan.shpt.info Trang 17 [...]... các bất phương trình sau: (phương pháp hàm số) a) x + 9 + 2x + 4 > 5 b) x 2 − 2 x − 3 − x 2 − 6 x + 11 > 3 − x − x − 1 Bài 8 Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm: a) x − x − 1 > m, (m > 0) ĐS: a) 0 < m < 1 b) x − m x − 1 > m + 1 b) m ∈ R c) m ≤ Trang 10 3 +1 4 c) mx − x − 3 ≤ m + 1 Trần Sĩ Tùng Phương trình vô tỉ III HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Để giải hệ phương trình vô tỉ ta thường dùng phương pháp... hệ phương trình sau có nghiệm:  x + y − x − y = 3m  a)  x + 1 − y + 2 = m b)  2 2 2 2 2  x + y = 3m  x + y − x − y = 9m ( ) Trang 13 Phương trình vô tỉ Trần Sĩ Tùng  x + 1 + y − 2 = m c)   y + 1 + x − 2 = m  d)  x + 1 + y + 2 = m  x + y = 3m 3 − 21 3 + 21 ≤m≤ b) m ∈ R 2 2 Bài 5 Giải các hệ phương trình sau: Ví dụ: a) ĐS: a) Trang 14 c) m ≥ 3 d) m ≥ 3 + 21 2 Trần Sĩ Tùng Phương trình vô. .. 2006A) Giải hệ phương trình:  ĐS: (3; 3) Đặt t = xy Trang 15 Phương trình vô tỉ Trần Sĩ Tùng Baøi 14 (ĐH 2006B) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x 2 + mx + 2 = 2 x + 1 ĐS: m ≥ 9 2 Baøi 15 (ĐH 2006D) Giải phương trình: 2 x − 1 + x 2 − 3x + 1 = 0 ĐS: x = 1; x = 2 − 2 Đặt t = 2 x − 1 3x − 2 + x − 1 = 4 x − 9 + 2 3 x2 − 5x + 2 Baøi 16 (ĐH 2006B–db1) Giải phương trình: ĐS: x... http://diendan.shpt.info Trần Sĩ Tùng Phương trình vô tỉ Baøi 23 (ĐH 2007D–db2) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 2 x − y − m = 0   x + xy = 1 x ≤ 1 ĐS: m > 2 PT ⇔  2 Dùng tam thức bậc hai  x + (2 − m) x − 1 = 0 Baøi 24 (ĐH 2008A) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt: 4 2 x + 2 x + 24 6 − x + 2 6 − x = m 2 6 + 2 4 6 ≤ m < 3 2 + 6 Dùng phương pháp... 1 2 1 2 x + x + 4 = 52 ⇔ x 2 = 225 ⇔ x = ±15 5 5  x = −5  y = −4 ;  Trang 11  x = 15  x = −15  y = −12 ;  y = 12   Phương trình vô tỉ Trần Sĩ Tùng Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: ( x 2 + xy + y 2 ) x 2 + y 2 = 185  ( x 2 − xy + y 2 ) x 2 + y 2 = 65 • Cộng 2 phương trình, vế theo vế, ta được: 2 2 2 2 2( x + y ) x + y = 250 ⇔ ( 2 x +y 2 ) 3 = 125 ⇔ x 2 + y 2 = 5 (25 + xy).5 = 185 Thay vào.. .Phương trình vô tỉ Trần Sĩ Tùng i) 5 x 2 + 10 x + 1 ≥ 7 − x 2 − 2 x k) ( x + 1)( x + 4) < 5 x 2 + 5 x + 28 l) 3x 2 + 5x + 7 − 3x 2 + 5x + 2 ≥ 1 m) x x +1 −2 >3 x +1 x Bài 5 Giải các bất phương trình sau: (đặt ẩn phụ) a) x −2 2x +1 +4 7− x x −3 ĐS: x > 10 − 34 Baøi 5 (ĐH 2004B) Xác định m để phương trình sau có nghiệm: m ĐS: ( ) 1 + x 2 − 1 − x2 + 2 = 2 1 − x 4 + 1 + x 2 − 1 − x2 2 − 1 ≤ m ≤ 1 (giải bằng phương pháp hàm số)  x + y = 1  x x + y y = 1 − 3m Baøi 6 (ĐH 2004D) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm  ĐS: 0 ≤ m ≤ 1 4 5x − 1 − x − 1 > 2 x − 4 Baøi 7 (ĐH 2005A) Giải bất phương trình: ĐS:... vô tỉ ĐỀ THI ĐẠI HỌC  3 x − y = x − y  x + y = x + y + 2 Baøi 1 (ĐH 2002B) Giải hệ phương trình:  3 1 ĐS: (1;1),  ;  2 2 Baøi 2 (ĐH 2002D) Giải bất phương trình: ( x 2 − 3 x ) 2 x 2 − 3 x − 2 ≥ 0 ĐS: x ≤ − 1 ∨ x =2 ∨ x ≥3 2 Baøi 3 (ĐH 2002D–db2) Giải phương trình: x + 4 + x − 4 = 2 x − 12 + 2 x 2 − 16 ĐS: x = 5 Đặt t = x + 4 + x − 4, t > 0 2( x 2 − 16) Baøi 4 (ĐH 2004A) Giải bất phương