CÁC BÀI TẬP HÌNH OXY NÂNG CAO

1) Kỹ thuật tham số hóa : (Xem lại các bài toán tìm tọa độ điểm ở phần cơ bản)+) Gọi điểm M(m,n) => cần tìm 1 hệ PT để tìm m,n+) Thường áp dụng vào bài toán tìm tọa độ điểm : nếu điểm M thuộc d : ax + by + c = 0( a ≠ 0 ) thìM( ;bm cma− − ), lúc này tọa độ M chỉ còn 1 ẩn và ta chỉ cần tìm 1 PT, tương ứng 1 điều kiện cóđược (hoặc suy ra) từ đề bài (vuông góc, song song, độ dài bằng nhau,…)Bài 1. ĐH KB 2004: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; 3). Tìm điểm C thuộc d : x– 2y – 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến AB bằng 6. ĐS: (7;3 ,( 43 11; 27 11) ) − −Bài 2. Cho điểm A(2;2) và các đường thẳng: d1: x+y−2=0, d2: x+y−8=0. Tìm tọa độ các điểm B vàC lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho ∆ ABC vuông cân tại A. ĐS: B(−1;3), C(3;5) OR B(3;−1), C(5;3)Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(−1;2) và đường thẳng (d x y ): 2 3 0 − + = . Tìm trênđường thẳng (d) hai điểm B C, sao cho tam giác ABC vuông tại C và AC BC = 3 .Hướng dẫn: Tọa độ C là n0 của hệ :2 0 3 6;2 3 5 5x yCx y + =    ⇒   − − = −  . AC BC = 313 16;15 15B  ⇒ −   1 4; ;3 3B −   2) Kỹ thuật lấy điểm đối xứng : Thường áp dụng cho các hình có tính đối xứng (có trục đối xứnghoặc tâm đối xứng) như : hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông,hình thang cân, tamgiác cân, đều… , đường phân giác, đường trung trực …Bài 1.1. Xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trênđường thẳng AB là điểm H(−1;−1), đường phân giác trong của góc A có phương trình x−y+2=0 vàđường cao kẻ từ B có phương trình 4x+3y−1=0. ĐS: C(103;34)Bài 1.2. Tìm tọa độ đỉnh C của ∆ABC có H(175 ; 15) là chân đường cao hạ từ A, chân đườngphân giác trong hạ từ của góc A là D(5;3) , trung điểm của AB là M(0;1). Đs : C(9;11)Bài 1.3.(D11) Cho tam giác ABC có đỉnh B( 4;1) − , trọng tâm G(1;1) và đường thẳng chứa phângiác trong của góc A có phương trình x y − − =1 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A và C .Hướng dẫn: Gọi D x y ( ; ) là trung điểm của AC . Vì BD GD = 3 nên ta tìm được D(7 2;1) . Gọi Elà điểm đối xứng với B qua phân giác trong góc A, ta tìm được E(2; 5) − . Đường thẳng AC đi quaA và E nên có phương trình 4 13 0 x y − − = . A là giao điểm của AC và đường phân giác trong gócA nên có tọa độ A(4;3) . C đối xứng với A qua D nên C(3; 1) − .Bài 1.4. (B10) Trong hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A , có đỉnh C( 4;1) − , phân giáctrong góc A có phương trình d x y : 5 0 + − = . Viết phương trình đường thẳng BC , biết diện tíchtam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương.Hướng dẫn: Gọi D là điểm đối xứng với điểm C qua đường thẳng d , ta tìm được D(4;9) . A làgiao điểm của d và đường tròn đường kính CD đồng thời có hoành độ dương nên ta tìm được Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA – Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳngGV : khanhnguyennhatranggmail.com Tài liệu lưu hành nội bộ 13A(4;1) .Cạnh AB đi qua A và D nên có phương trình x − = 4 0 .Ta có 2. 8; 6 ABC SAC ABAC∆ = = = . GọiB y (4; ) , từ AB = 6 ta tìm được B(4;7) hoặc B(4; 5) − . Do d là phân giác trong góc A nên AB AD , cùng hướng. Suy ra B(4;7) .Bài 2.1. Cho ∆ABC cân tại A có BC = 4 2 . Các điểm M(1; 53), N(0;187) lần lượt nằm trênAB, AC, đường cao AH : x + y – 2 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của ∆ABC biết B có hoành độ dương.Bài 2.2. Cho ∆ABC cân tại A và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng 2x +y – 2 = 0. Đường cao kẻ từB có PT : x + y + 1 = 0 và điểm M(1;1) thuộc đường cao kẻ từ C. Tìm tọa độ A, B, C.Bài 3. Bài 14, mục B : kỹ thuật đối xứng qua tâm hình chữ nhật.Bài 4. Cho ∆ABC có chân đường cao hạ từ A là H(175;15), chân đường phân giác trong của gócA là D(5;3), trung điểm AB là M(0;1). Tìm tọa độ C.3) Kỹ thuật quy về công thức góc :C1 : Chỉ ra (hoặc chứng minh) trong hình có 2 góc bằng nhau rồi áp dụng công thức tính góc(thường là góc giữa 2 đường thẳng hoặc góc trong tam giác) , để ý đến các hình : tam giác cân,vuông cân, đều, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình thang cân, hình thang vuông …hoặcgóc giữa 2 đường thẳng bằng 1 góc cho trước ….C2 : Các tỉ lệ trong tam giác vuông, 2 tam giác đồng dạng cũng cho ta 1 ý tưởng về tính giá trịlượng giác của gócBài 1. Cho ∆ABC cân tại A, pt AB : x + 2y – 5 = 0, BC : 3x – y +7 = 0. Viết phương trình cạnhAC đi qua F(1;3) ? Đs : 2x + 11y + 31 = 0Bài 1’. Cho hình vuông ABCD có A(4;5) và đường chéo có PT : 7x – y + 8 = 0. Viết phươngtrình các cạnh của hình vuông.Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD có AC : x + 3y = 0, AD : x – y + 4 = 0, BD đi qua M(13;1). Tìmtọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. Đs : A(3;1), B(1;3), C(3;1), D(1;3)Bài 3. Tìm tọa độ các đỉnh của ∆ABC vuông cân tại A có I là trung điểm BC, M(112;4) là trungđiểm IB, N là điểm trên đoạn IC : NC = 2 NI, đường AN : x – y – 2 = 0 và xA < 0.Bài 4. Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD, đường AC : 2x – y – 1 = 0, đỉnh A(3;5) và đỉnh B thuộcd : x + y – 1 = 0. Tìm các đỉnh còn lại của hình thoi biết xB < 3. Đs : B(1;2), C(1;3), D(3;0)Bài 5. Cho hình thoi ABCD có BD = 2AC, đường BD : x – y = 0, M là trung điểm CD. Hình chiếuvuông góc của A lên BM là H(2;1). Viết pt AH ? Đs : 5x + 7y – 3 = 0, 7x + 5y – 9 = 0.Bài 6. Cho hình vuông ABCD có M(112, ½) là trung điểm của CD, N thuộc BC sao cho CN = 2NB, pt AN : 2x – y – 2 = 0. Tìm tọa độ điểm A. Đs : A(4;5), A(1;1)Bài 7.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A. Biết phương trình cạnh BClà (d x y ): 7 31 0 + − = , điểm N(7; 7) thuộc đường thẳng AC, điểm M(2; 3) thuộc AB và nằm ngoàiđoạn AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA – Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳngGV : khanhnguyennhatranggmail.com Tài liệu lưu hành nội bộ 14Hướng dẫn: sử dụng ( ) 0 AB BC ; 45 = , ta được ( AB x y ): 4 3 1 0 + + = . ( AC x y ): 3 4 7 0 − + = .Hay ( AB x y ): 3 4 18 0 − − = , ( AC x y ): 4 3 49 0 + − = , nhớ KT lại. Đs : A(1; 1), B(4; 5),C(3; 4)Bài 8. (A12) Cho hình vuông ABCD, gọi M(112; ½) là trung điểm BC, N là điểm thuộc CD saocho CN = 2 ND. Giả sử AN : 2x – y – 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A.Hướng dẫn : Tìm cosin của 1 góc liên quan đến đỉnh A => A. Đs : A(1;1), A(4;5)Bài 9. Cho ∆ABC vuông tại A, gọi M là điểm trên cạnh AC : AB = 3AM. Đường tròn tâm I(1;1)đường kính CM cắt BM tại D. Xác định tọa độ các đỉnh của ∆ABC biết đường thẳng BC đi quaN(43;0) , phương trình CD : x – 3y – 6 = 0 và điểm C có hoành độ dươngHướng dẫn : AB = 3AM => sử dụng kỹ thuật góc . Đs : C(3;1), B(2;2), A(2;1)4) Kỹ thuật quy về công thức khoảng cách : Dấu hiện nhận biết là trong bài có giả thiết về độdài, khoảng cách, diện tích của 1 hình, đường thẳng tiếp xúc hoặc cắt đường tròn hoặc tỉ lệ về độdài ( tam giác đồng dạng … ) , để ý đến các hình : hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình thangcân, hình thang vuôngBài 1.1 Cho hình vuông ABCD có điểm A(1;3), điểm M(6;4) thuộc BC và N(172;92) thuộc CD.Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông.Đs : B(4;6), C(7;3), D(4;0) và B(6413;1813),C(8513;6913), D(3413;9013)Bài 1.2. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC. Đường thẳng AB, BC, AD, CD lần lượt đi quaM(43;1), N(0;3), P(4;13), Q(6;2). Viết phương trình các cạnh của hình chữ nhật ABCD.Bài 1.3. Cho hình vuông ABCD có tâm I(1;1), biết M(2;2) thuộc cạnh AB và N(2;2) thuộc cạnhCD. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông.Bài 1.4. Cho hình thang vuông ABCD tại A và B có C(2;5) và AD = 3BC. Điểm M(12;0) thộcAB, điểm N(3;5) thuộc AD. Viết Pt các đường AB, AD biết diện tích hình thang ABCD = 75.Bài 1.5. Cho hình thoi ABCD có tâm I(3;3), AC = 2BD. Điểm M(2;43) thuộc AB, N(3;133) thuộcCD. Viết PT đường chéo BD biết B có hoành độ lớn hơn 3Bài 1.6. Cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1), AC = 2BD. Điểm M(0;13) thuộc AB, N(0;7) thuộcCD. Tìm tọa độ B biết B có hoành độ dương.Bài 2. Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng d : y = x. Tìm tọa độ đỉnh C và D.Hdẫn: (cho diện tích thường nghĩ đến kỹ thuật kcách) ( ) ( ) 5 8 8 2 ; , ; 1;0 , 0; 23 3 3 3C D or C D     ⇒ − −        Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 16, các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt đi quaM(4;5), N(6;5), P(5;2), Q(2;1). Viết phương trình cạnh AB. Đs : x – y + 1 = 0, x + 3y – 11 = 0Bài 4. (A12) Cho hình vuông ABCD, gọi M(112; ½) là trung điểm BC, N là điểm thuộc CD saocho CN = 2 ND. Giả sử AN : 2x – y – 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A.Hướng dẫn : Tính diện tích tam giác AMN => dùng kỹ thuật khoảng cách . Đs : A(1;1), A(4;5)

Trang 1

Tel : 0914455164 Ôn thi THPT QUỐC GIA – Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng

E – CÁC BÀI TẬP HÌNH OXY NÂNG CAO : ( nhấn mạnh các kỹ thuật giải OXY)

1) Kỹ thuật tham số hóa : (Xem lại các bài toán tìm tọa độ điểm ở phần cơ bản)

+) Gọi điểm M(m,n) => cần tìm 1 hệ PT để tìm m,n

M( bm c;m

a

), lúc này t ọa độ M chỉ còn 1 ẩn và ta chỉ cần tìm 1 PT, tương ứng 1 điều kiện có được (hoặc suy ra) từ đề bài (vuông góc, song song, độ dài bằng nhau,…)

Bài 1 ĐH KB 2004: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; -3) Tìm điểm C thuộc d : x

Bài 2 Cho điểm A(2;2) và các đường thẳng: d1: x+y−2=0, d2: x+y−8=0 Tìm tọa độ các điểm B và

Bài 3 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(−1; 2) và đường thẳng ( )d :x−2y+ =3 0 Tìm trên

x y

C

x y

+ =

13 16

;

15 15

1 4

3 3

B 

−

 

2) Kỹ thuật lấy điểm đối xứng : Thường áp dụng cho các hình có tính đối xứng (có trục đối xứng

hoặc tâm đối xứng) như : hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông,hình thang cân, tam giác cân, đều… , đường phân giác, đường trung trực …

Bài 1.1 Xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên

đường thẳng AB là điểm H(−1;−1), đường phân giác trong của góc A có phương trình x−y+2=0 và

Bài 1.2 Tìm tọa độ đỉnh C của∆ABC có H(17/5 ; -1/5) là chân đường cao hạ từ A, chân đường

phân giác trong hạ từ của góc A là D(5;3) , trung điểm của AB là M(0;1) Đs : C(9;11)

Bài 1.3.(D11) Cho tam giác ABC có đỉnh B( 4;1)− , trọng tâm G(1;1) và đường thẳng chứa phân

Hướng dẫn: Gọi D x y( ; ) là trung điểm của AC Vì BD=3GD nên ta tìm được D(7 / 2;1) Gọi E

A nên có tọa độ A(4;3) C đối xứng với A qua D nên C(3; 1)−

Bài 1.4 (B10) Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C( 4;1)− , phân giác trong góc A có phương trình d x: +y− =5 0 Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích

Hướng dẫn: Gọi D là điểm đối xứng với điểm C qua đường thẳng d, ta tìm được D(4;9) A là

Trang 2

(4;1)

AC

∆

(4; )

Bài 2.1 Cho ∆ABC cân tại A có BC = 4 2 Các điểm M(1; -5/3), N(0;18/7) lần lượt nằm trên

Bài 2.2 Cho ∆ABC cân tại A và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng 2x +y – 2 = 0 Đường cao kẻ từ

B có PT : x + y + 1 = 0 và điểm M(1;1) thuộc đường cao kẻ từ C Tìm tọa độ A, B, C

Bài 3 Bài 14, mục B : kỹ thuật đối xứng qua tâm hình chữ nhật

Bài 4 Cho ∆ABC có chân đường cao hạ từ A là H(17/5;-1/5), chân đường phân giác trong của góc

A là D(5;3), trung điểm AB là M(0;1) Tìm tọa độ C

3) Kỹ thuật quy về công thức góc :

C1 : Chỉ ra (hoặc chứng minh) trong hình có 2 góc bằng nhau rồi áp dụng công thức tính góc

(thường là góc giữa 2 đường thẳng hoặc góc trong tam giác) , để ý đến các hình : tam giác cân, vuông cân, đều, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình thang cân, hình thang vuông …hoặc góc gi ữa 2 đường thẳng bằng 1 góc cho trước …

C2 : Các tỉ lệ trong tam giác vuông, 2 tam giác đồng dạng cũng cho ta 1 ý tưởng về tính giá trị

lượng giác của góc

Bài 1 Cho ∆ABC cân tại A, pt AB : x + 2y – 5 = 0, BC : 3x – y +7 = 0 Viết phương trình cạnh

Bài 1’ Cho hình vuông ABCD có A(-4;5) và đường chéo có PT : 7x – y + 8 = 0 Viết phương

trình các cạnh của hình vuông

Bài 2 Cho hình chữ nhật ABCD có AC : x + 3y = 0, AD : x – y + 4 = 0, BD đi qua M(-1/3;1) Tìm

Bài 3 Tìm tọa độ các đỉnh của ∆ABCvuông cân tại A có I là trung điểm BC, M(11/2;-4) là trung

Bài 4 Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD, đường AC : 2x – y – 1 = 0, đỉnh A(3;5) và đỉnh B thuộc

Bài 5 Cho hình thoi ABCD có BD = 2AC, đường BD : x – y = 0, M là trung điểm CD Hình chiếu vuông góc của A lên BM là H(2;-1) Viết pt AH ? Đs : 5x + 7y – 3 = 0, 7x + 5y – 9 = 0

Bài 6 Cho hình vuông ABCD có M(11/2, ½) là trung điểm của CD, N thuộc BC sao cho CN = 2

Bài 7.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A Biết phương trình cạnh BC

đoạn AB Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Trang 3

AB BC = , ta được (AB): 4x+3y+ =1 0 (AC): 3x−4y+ =7 0 Hay (AB): 3x−4y−18=0, (AC): 4x+3y−49=0, nhớ KT lại Đs : A(-1; 1), B(-4; 5),C(3; 4)

Bài 8 (A12) Cho hình vuông ABCD, gọi M(11/2; ½) là trung điểm BC, N là điểm thuộc CD sao

cho CN = 2 ND Giả sử AN : 2x – y – 3 = 0 Tìm tọa độ điểm A

Hướng dẫn : Tìm cosin của 1 góc liên quan đến đỉnh A => A Đs : A(1;-1), A(4;5)

Bài 9 Cho ∆ABCvuông tại A, gọi M là điểm trên cạnh AC : AB = 3AM Đường tròn tâm I(1;-1)

N(4/3;0) , phương trình CD : x – 3y – 6 = 0 và điểm C có hoành độ dương

Hướng dẫn : AB = 3AM => sử dụng kỹ thuật góc Đs : C(3;-1), B(-2;2), A(-2;-1)

4) Kỹ thuật quy về công thức khoảng cách : Dấu hiện nhận biết là trong bài có giả thiết về độ

dài, khoảng cách, diện tích của 1 hình, đường thẳng tiếp xúc hoặc cắt đường tròn hoặc tỉ lệ về độ

dài ( tam giác đồng dạng … ) , để ý đến các hình : hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình thang cân, hình thang vuông

Bài 1.1 Cho hình vuông ABCD có điểm A(1;3), điểm M(6;4) thuộc BC và N(17/2;9/2) thuộc CD

Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông

Đs : B(4;6), C(7;3), D(4;0) và B(64/13;18/13),C(85/13;69/13), D(34/13;90/13) Bài 1.2 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC Đường thẳng AB, BC, AD, CD lần lượt đi qua

M(-4/3;1), N(0;3), P(4;-1/3), Q(6;2) Viết phương trình các cạnh của hình chữ nhật ABCD

Bài 1.3 Cho hình vuông ABCD có tâm I(1;1), biết M(-2;2) thuộc cạnh AB và N(2;-2) thuộc cạnh

CD Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông

Bài 1.4 Cho hình thang vuông ABCD tại A và B có C(2;-5) và AD = 3BC Điểm M(-1/2;0) thộc

AB, điểm N(-3;5) thuộc AD Viết Pt các đường AB, AD biết diện tích hình thang ABCD = 75

Bài 1.5 Cho hình thoi ABCD có tâm I(3;3), AC = 2BD Điểm M(2;4/3) thuộc AB, N(3;13/3) thuộc

CD Viết PT đường chéo BD biết B có hoành độ lớn hơn 3

Bài 1.6 Cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1), AC = 2BD Điểm M(0;1/3) thuộc AB, N(0;7) thuộc

CD Tìm tọa độ B biết B có hoành độ dương

Bài 2 Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4 Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của

hai đường chéo nằm trên đường thẳng d : y = x Tìm tọa độ đỉnh C và D

Hdẫn: (cho diện tích thường nghĩ đến kỹ thuật k/cách) 5 8; , 8 2; ( 1;0 ,) (0; 2)

C  D or C D

Bài 3 Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 16, các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt đi qua M(4;5), N(6;5), P(5;2), Q(2;1) Viết phương trình cạnh AB Đs : x – y + 1 = 0, - x + 3y – 11 = 0 Bài 4 (A12) Cho hình vuông ABCD, gọi M(11/2; ½) là trung điểm BC, N là điểm thuộc CD sao

cho CN = 2 ND Giả sử AN : 2x – y – 3 = 0 Tìm tọa độ điểm A

Hướng dẫn : Tính diện tích tam giác AMN => dùng kỹ thuật khoảng cách Đs : A(1;-1), A(4;5)

Trang 4

Bài 5 Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm BC, N là điểm trên cạnh AC sao cho AC =

4AN, điểm N thuộc đường thẳng 3x + y + 4 = 0, phương trình MD : x – 1 = 0 Xác định tọa độ đỉnh

A biết khoảng cách từ A đến MD = 4 và N có hoành độ âm Đs : (-3;1), (-3;0)

Bài 6.1 Viết PT các cạnh của hình bình hành ABCD tâm I(-1;3) và trọng tâm ∆ABD là G(1/3;5/3),

Bài 6.2 Cho hình thang ABCD có 2 đáy là AB và CD, biết A(0;-4), B(4;0) Tìm tọa độ 2 đỉnh C,

Bài 6.3 Cho hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn (C): (x – 2)2

AB đi qua M(-3;-2) Xác định tọa độ điểm A biết A có hoành độ dương

5) Kỹ thuật KẾT HỢP CHỨNG MINH tính chất đặc biệt của hình : Đây là kỹ thuật tồng hợp

+)Yêu cầu : Có kỹ năng dựng hình, nhìn điểm và đường thẳng trong trạng thái chuyển động Quan

tâm đến mối liên hệ của 3 đối tượng là: Điểm ; Đường thẳng ; Đường tròn Liên quan đến hình

vuông thì chú ý đến việc tính cạnh, chia diện tích Liên quan đến đường tròn thì chú ý đến khoảng

cách từ tâm đến dây cung… (xem phụ lục các bài toán cơ sở của hình học phẳng)

+) Sau khi quan sát và rút ra tính chất đặc biệt của hình như : 2 đường vuông góc, 3 điểm thẳng

hàng, các đoạn bằng nhau, các góc bằng nhau, điểm cách đều các đỉnh,các cạnh , tứ giác nội tiếp,

hình bình hành, tam giác cân, vuông … ta chứng minh nó đồng thời kết hợp các kỹ thuật trên LOẠI 1 : CHỨNG MINH 2 ĐƯỜNG VUÔNG GÓC

Bài 1.1 Cho hình vuông ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC và CD Tìm tọa độ giao điểm

H của AM và BN biết N(2;-2) và phương trình AM : x – 3y + 4 = 0 Đs : (4/5;8/5)

Bài 1.2 Cho hình vuông ABCD có đỉnh B(0;4) Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC và CD Gọi

H(4/5; 8/5) là giao điểm AM và BN Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông biết điểm A nằm trên đường thẳng : x + 2y + 4 = 0

Bài 1.3 : (cắt hình vuông thành hình thang vuông có cạnh AB = 2CD) Cho hình thang vuông

ABCD (vuông tại B và C) có AB = BC = 2 CD và đỉnh A(-4;0) Gọi M là trung điểm BC, điểm H(4/5;8/5) là giao điểm của AM và BD Xác định các đỉnh còn lại của hình thang biết D nằm trên đường thẳng x + 2y + 2 = 0

Hướng dẫn (bài toán cơ sở của 3 bài trên)Cho hình vuông ABCD Gọi M, N lần lượt là trung

điểm các cạnh BC và CD Chứng minh : AM vuông góc BN

Bài 2* Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB đáy nhỏ) Gọi H, I lần lượt là hình chiếu vuông

góc của B lên AC, CD và M, N lần lượt là trung điểm AD, HI Viết PT cạnh AB biết M(1;-2),

Hướng dẫn : c.m : BN vuông góc MN (sử dụng góc nội tiếp và tam giác đồng dạng) , B(6;3) và

AB : 3x + y – 21 = 0, x + 3y – 15 = 0(loại)

Trang 5

Bài 3 Cho hình vuông ABCD Gọi M(1;3) là trung điểm BC, N(-3/2;1/2) là điểm trên đoạn AC sao

cho AC = 4AN Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết D nằm trên đường x –y–3 = 0

Hướng dẫn : C/m quan hệ vuông góc ( các pp : thuần túy hình học phẳng, công cụ véctơ, công cụ

tọa độ, công cụ lượng giác ) Từ đó DN : x + y + 1 = 0, D(1;-2), A(-3;0), B(-1;4), C(3;2)

Bài 4 Cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh B thuộc đường thẳng d1 : 2x – y + 2 = 0, đỉnh C thuộc

K(9;2) lần lượt là trung điểm AH và CD Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết điểm

C có tung độ dương

Hướng dẫn : Bài 4 là mở rộng của bài 3 ( nhìn dưới góc độ là bài toán hình học phẳng thuần túy)

nên C.M được BM vuông góc MK, từ đó BM : 9x + 2y – 85 = 0, B(1;4), C(9;4), A(1;0), D(9;0)

Bài 5 Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm BC, N(-3/2;1/2) là điểm trên đoạn AC sao cho

AC = 4AN Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết DM có phương trình : x – 1 = 0

Hướng dẫn : Kết hợp c/m vuông góc và kỹ thuật phát hiện góc có cosin tính được

Đs : D(1;-2) hoặc D(1;3) từ đó suy ra các điểm còn lại Bài 6 Cho hình vuông ABCD có đỉnh C thuộc đường thẳng d : x + 2y – 6 = 0, điểm M(1;1) thuộc

độ điểm C Hướng dẫn : đọc kỹ giả thiết xoay quanh điểm nào => c.m vuông góc Đs : (2;2)

LOẠI 2 : CHỨNG MINH AN=k AN hay AB=k MN (k là hằng số)

Lưu ý : Xem lại bài toán tìm điểm và kỹ thuật tham số hóa

Bài 1 Cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là I(4/3;5/3), trực tâm H(1/3;8/3) và trung điểm cạnh BC là M(1;1) Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC Đs : (1;4), (-1;2), (3;0)

Hướng dẩn : (bài toán về đường thẳng Ơ – le) Cho tam giác ABC có trọng tâm G, trực tâm H và

Bài 2 Cho hình thang ABCD có 2 đáy AB, CD và CD = 2AB Gọi H là chân đường vuông góc hạ

từ D xuống AC và M là trung điểm HC Biết B(5;6), phương trình DH : 2x – y = 0, DM : x – 3y +

5 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD Đs : (1;2), (9;2), (1;6)

Hướng dẫn : Tìm tọa độ I nhờ đẳng thức vectơ có được từ 3 điểm thẳng hàng và CD = 2AB

Bài 3 Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm BC, N(-3/2;1/2) là điểm trên cạnh AC sao cho

AC = 4AN, giao điểm của AC và DM là I(1;4/3) Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông

Hướng dẫn : Tìm tọa độ A từ 3 điểm thẳng hàng I, N, A.Đs : (-3;0), (3;2), (-1;4), (1;-2)

LOẠI 3 : CHỨNG MINH 2 ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU, 2 GÓC BẰNG NHAU …

Bài 1.(QG2015) Cho ∆ABC vuông tại A, gọi H(-5;-5) là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh BC,

D là điểm đối xứng của B qua H, K(9;-3) là hình chiếu vuông góc của C lên AD Cho trung điểm

cạnh AC thuộc đường thẳng x – y + 10 = 0 Tìm tọa độ A Đs : (-15;5)

Trang 6

Tel : 0914455164 ễn thi THPT QUỐC GIA – Chuyờn đề Toạ độ trong mặt phẳng

Bài 2 (A13) Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú điểm C thuộc d : 2x + y + 5 = 0 và A(-4;8) Gọi M là

điểm đối xứng của B qua C, N là hỡnh chiếu vuụng gúc của B lờn MD Tỡm tọa độ điểm B, C biết

HD : (Bài toỏn cơ sở) Cho hỡnh chữ nhật ABCD Gọi M là điểm đối xứng của B qua C, N là hỡnh chiếu vuụng gúc của B lờn MD Chứng minh AN vuụng gúc CN

Bài 3.1.Trong (Oxy) cho tam giỏc ABC, biết ba chõn đường cao tương ứng với 3 đỉnh A,B,C

là A'(1;1),B'(-2;3),C'(2;4) Viết PT cạnh BC

Bài 3.2 Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác nhọn ABC biết chân đường cao lần lượt hạ từ đỉnh A

,B ,C là H1(4;-1), H2(1;5), H3(-4;-5)

Hướng dẫn: Nhận thấy H1A là phân giác trong của góc H1 vì vậy BC là tia phân giác ngoài do đó

để tìm phương trình các cạnh AB ;AC ;BC ta chỉ cần tìm phương trình đường phân giác ngoài của các góc H1 ; H2 ;H3 của tam giác H1H2H3 H1H2 : 2x+y-7=0 ; H1H3 ; x-2y-6=0 ; H2H3: 2x-y+3=0

( 14;5)

A

⇒ ư ,⇒B(1; 10)ư , ⇒C(6;5)

Bài 3.3 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giỏc nhọn ABC cú chõn cỏc đường cao hạ từ

, ,

A B C theo thứ tự là M(2;0),N(16 / 5; 12 / 5 , (0; 4).ư ) P ư Tỡm tọa độ trực tõm của tam giỏc ABC

Hướng dẫn : Vỡ AM là phõn giỏc trong gúc nờn ta tỡm được phương trỡnh AM là xư =2 0

Lưu ý : (bài toỏn cơ sở của 3 bài trờn)Cho tam giỏc ABC cú trực tõm H, biết chõn cỏc đường cao

tương ứng kẻ từ A,B, C là A’,B’,C’ C/m : H là tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc A’B’C’

PHỤ LỤC : CÁC BÀI TOÁN CƠ SỞ TRONG HèNH HỌC PHẲNG

Bài 1 Cho tam giỏc ABC cú trực tõm H, biết chõn cỏc đường cao tương ứng kẻ từ A,B, C là

A’,B’,C’ C/m : H là tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc A’B’C’

Bài 2 (bài toỏn về đường thẳng Ơ – le) Cho tam giỏc ABC cú trọng tõm G, trực tõm H và gọi I là

Bài 3 Cho tam giỏc ABC cú trực tõm H đồng thời nội tiếp trong đường trũn tõm I Gọi B’ là điểm

đối xứng của B qua I Khi đú c.m : AHCB’ là hỡnh bỡnh hành

Bài 4 Cho tam giỏc ABC cú trực tõm H và H’ là điểm đối xứng của H qua BC Khi đú c.m : H’

thuộc đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC

Bài 5 Cho tam giỏc ABC nhọn nội tiếp trong đường trũn tõm I Kẻ lần lượt cỏc đường cao BH, CK

trong tam giỏc ABC Khi đú c.m : IA vuụng gúc HK

Bài 6 Cho tam giỏc ABC nội tiếp trong đường trũn tõm I Đường phõn giỏc trong của gúc A cắt

đường trũn (I) tại D Khi đú c.m : ID vuụng gúc BC

Trang 7

Bài 7 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM, E thuộc cạnh AC sao cho AC = 3AE Gọi N là giao

điểm BE và AM Khi đó c.m : N là trung điểm AM

Bài 8 Cho tam giác ABC cân tại A có H là trung điểm BC, cạnh HE vuông góc AC ( E thuộc AC),

gọi F là trung điểm EH Khi đó c.m : AF vuông góc BE

Bài 9 Cho tam giác ABC cân tại A có H là trung điểm BC Gọi D là hình chiếu của H lên AC và

M là trung điểm HD Khi đó c.m : AM vuông góc BC

Bài 10 Cho hình vuông ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BC và CD Khi đó c.m :

AM vuông góc BN

Bài 11 Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm AB Điểm N thuộc BD : BN = 3ND Khi đó c.m

: MN vuông góc NC

Bài 12 Cho hình vuông ABCD Gọi M, N lần lượt thuộc AB, BC sao cho BM = BN Gọi H là hình

chiếu của B xuông MC Khi đó c.m : HN vuông góc HD

Bài 13 Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2BC Gọi H là hình chiếu của A lên BD, E và F là trung

điểm CD và BH Khi đó c.m : AF vuông góc EF

CÁC BÀI TOÁN CƠ SỞ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG ( TIẾP THEO )

Bài 14 Cho hình vuông ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BC CMR: AM⊥DN

Tổng quát : Cho hình vuông ABCD, trên cạnh DC lấy điểm M, trên cạnh BC lấy N sao cho

DM = CN CMR : AM⊥DN

Bài 15 Cho hình vuông ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BC, K là giao của

Bài 16 Cho hình vuông ABCD cạnh a, gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BC, K là

giao c ủa AM với DN Tính được theo a diện tích : a) tam giác AMN b) tam giác AKN

Bài 17 Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh AB lấy F sao cho

AM = AF, g ọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống BM CMR : FH⊥CH

Bài 18 Cho hình thang ABCD vuông tại A và D có CD = 2AB Gọi H là hình chiếu vuông góc

c ủa D lên BC, M là trung điểm của CD CMR : AH ⊥ HM

Bài 19 Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD, CD=2AB, gọi I là giao của AC với BD CMR : DI = 2IB

Bài 20 Cho hình thang ABCD có AB CD, G ọi M là trung điểm của AD, H là hình chiếu vuông góc c ủa B xuống CM Tính diện tích hình thang biết CM = 3a, BH= 2a

Bài 21 Cho hình chữ nhật ABCD, gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên AC, M và N lần

l ượt là trung điểm của CH và AB MN ⊥ DM

Bài 22 Cho hình vuông ABCD cạnh a , trên đoan BD lấy điểm M sao cho BM = 3DM, gọi N

là trung điểm của AB, I là giao của CN với BD

a) CMR tam giác CMN vuông cân tai M b) Tính được tỉ số : BI/BD

Trang 8

Bài 23 Cho hình vuông ABCD, trên đoan BD lấy điểm M sao cho BM = 2DM, gọi N thuôc

c ạnh BC sao cho BC =3BN CMR tam giác AMN vuông cân tai M

Bài 24 Cho hình vuông ABCD tâm I, M thuộc đoạn AC sao cho AM = 2MC, K thuộc đoạn

AB sao cho AB= 3AK, G là tr ọng tâm của tam giác ADI Chứng minh được :

a) ∆KMD vuông cân đỉnh M b) ∆DGM vuông cân đỉnh G c)M là trọng tâm của ∆ BCD

Bài 25 Cho hình vuông ABCD c ạnh a, gọi M là trung điểm của AB, N thuộc đoạn BC sao cho

BC = 3CN, H là hình chi ếu vuông góc của D lên MN CMR: a) DH= a ; b) HA ⊥ HB

Bài 26 Cho hình vuông ABCD cạnh a, đường tròn tâm I đường kính AB và đường tròn tâm D bán

kính DC c ắt nhau tại E (E khác A), Gọi M là trung điểm của CD, N là trung điểm của BC CMR: a) EA ⊥ EM b) 3 điểm B, E, M thẳng hàng

Bài 27 Cho hình vuông ABCD, đường thẳng d song song với AB cắt AD tại M và cắt AC tại N sao

cho AM =CN, g ọi K là chân đường phân giác trong hạ từ đỉnh A của tam giác DAC CMR

t ứ giác CKMN là hình bình hành

Bài 28 Cho hình vuông ABCD Goi E là điểm đối xứng với D qua C, N là trung điểm của AB, K

a) CMR Tam giác NKC vông cân đỉnh K b) CMR NKCI là hình vuông

Bài 29 Cho hình vuông ABCD Goi E là điểm đối xứng với D qua C, M là trung điểm của BE, N là

trung điểm của DC, J là trung điểm của AM

a) CMR tam giác ANM vuông cân đỉnh N b) CMR J thuộc đoạn BD và BD= 4BJ

Bài 30 Cho hình vuông ABCD Goi E là điểm đối xứng với D qua C, M là trung điểm của BE, N là

trung điểm của DC, I thuộc đoạn BD sao cho BD = 4IB CMR tam giác MIN vuông cân đỉnh N

Bài 31 Cho hình vuông ABCD Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho CD = 2CE, N thuộc đoan CD

sao cho CD = 3CN, M thuộc đạn BE sao cho BE = 3ME CMR tam giác BMN vuông cân đỉnh M.

Trang 9

CÁC BÀI TOÁN CHƯA CÓ LỜI GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN

Bài 1 Cho hình vuông ABCD G ọi M là trung điểm của AB, N∈BDsao cho BN=3ND,

vuông ABCD, bi ết điểm C có hoành độ lớn hơn 3 ĐS : ( 4 ;1)

Bài 2 Cho hình vuông ABCD có D(5;1) Gọi M là trung điểm BC và N thuộc AC sao cho

AC = 4AN Bi ết rằng MN:3x−y−4=0 và yM>0 Tìm tọa độ đỉnh C

Bài 3 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD G ọi M là trung điểm của AB,

N∈BDsao cho BN=3ND, đường thẳng CNcó ph ương trình x+3y− =8 0vàM(3;5) Xác định

Bài 4 Cho hình vuông ABCD G ọi M là trung điểm của AB, N∈BDsao cho BN=3ND,

Hlà hình chi ếu vuông góc của N lên MC Xác định toạ độ đỉnh C của hình vuông ABCD,

bi ết N(2 ; 2) , H (4 ; 3) và điểm C có hoành độ dương ĐS(5 ; 1)

Bài 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có Mlà trung điểm của AB, N

các đỉnh A, B, C của hình vuông biết yM >0

Bài 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có Mlà trung điểm của AB, N

A, B, C, D c ủa hình vuông biết xD>0

Bài 7 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD có đường thẳng AB đi qua điểm

E(-5;-1) G ọi M , N(2;-2) lần lượt là trung điểm của BC và DC; H là giao điểm của AM và

BN Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD , biết khoảng cách từ H đến đường

Bài 8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hinh vuông ABCD với điểm N(1;2) là trung

điểm của BC, d:5x−y+1=0 là đường trung tuyến xuất phát từ A của tam giác ADN Tìm tọa

độ A,B,C,D của hình vuông

Bài 9 Cho đường tròn (C1):x2

+y2−4x+6y−12=0 và (C2):x2+y2−6x+2y−10=0 (C1) c ắt

(C2) t ại A,B Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, d cắt (C1) tại E, cắt (C2) tại F

(E,F khác A) sao cho EF l ớn nhất

Bài 10 Trong mp tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có H(4;0) là trực tâm tam giác

BCD, I(2;32) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, điểm B thuộc đường thẳng

3x−4y=0, đường thẳng BC đi qua M(5;0) Tìm tọa độ các đỉnh hình bình hành

Trang 10

CÁC BÀI TOÁN CÓ LỜI GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN LOẠI 1 : CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

Bài 1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng đi

biết điểm E(1; −3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho

Hướng dẫn: Gọi ∆là đ/thẳng đi qua trung điểm của AC và AB Ta có ( , ) 6 6 4 4 2

2

d A∆ = + − =

28 2

a a

a

=

= −



⇒

Suy ra: CE=(5+m; 3− −m) , AB=(m−6; 10− −m)

Vì CE⊥AB nên AB CE =0⇔(a−6)(a+5) (+ a+3)(a+10)=0=> a = …

Vậy B(0; 4 ;− ) C(−4;0) hoặc B(−6; 2 ;) C(2; 6− )

Bài 2 Trong mp với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giac PQR có đường cao hạ từ đỉnh P là d:

2x+y+3=0 và đường phân giác trong của góc Q là d': x-y=0 PQ đi qua điểm I(0;-1) và RQ=2IQ Viết phương trình đường thẳng PR

Hướng dẫn: Gọi I; là điểm đối xúng của I qua đường phân giác trong của góc Q thi I’ nằm trên

đường thảng QR Từ đây viết được pt QR => điểm Q và pt cạnh PQ, tọa độ điểm P Có điểm Q và

từ hệ thức RQ=2IQ , ta sẽ tìm được điểm R ( sẽ có hai điểm R) Kiểm tra và kết luận

Bài 3 Cho tam giác ABC biết A(5; 2) Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến

Hướng dẫn: - Gọi B(a;b) suy ra M 5; 2

a+ b+

y b t

= +



∈



= +

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	270,28 KB