Đang tải... (xem toàn văn)
1) Kỹ thuật tham số hóa : (Xem lại các bài toán tìm tọa độ điểm ở phần cơ bản)+) Gọi điểm M(m,n) => cần tìm 1 hệ PT để tìm m,n+) Thường áp dụng vào bài toán tìm tọa độ điểm : nếu điểm M thuộc d : ax + by + c = 0( a ≠ 0 ) thìM( ;bm cma− − ), lúc này tọa độ M chỉ còn 1 ẩn và ta chỉ cần tìm 1 PT, tương ứng 1 điều kiện cóđược (hoặc suy ra) từ đề bài (vuông góc, song song, độ dài bằng nhau,…)Bài 1. ĐH KB 2004: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; 3). Tìm điểm C thuộc d : x– 2y – 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến AB bằng 6. ĐS: (7;3 ,( 43 11; 27 11) ) − −Bài 2. Cho điểm A(2;2) và các đường thẳng: d1: x+y−2=0, d2: x+y−8=0. Tìm tọa độ các điểm B vàC lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho ∆ ABC vuông cân tại A. ĐS: B(−1;3), C(3;5) OR B(3;−1), C(5;3)Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(−1;2) và đường thẳng (d x y ): 2 3 0 − + = . Tìm trênđường thẳng (d) hai điểm B C, sao cho tam giác ABC vuông tại C và AC BC = 3 .Hướng dẫn: Tọa độ C là n0 của hệ :2 0 3 6;2 3 5 5x yCx y + = ⇒ − − = − . AC BC = 313 16;15 15B ⇒ − 1 4; ;3 3B − 2) Kỹ thuật lấy điểm đối xứng : Thường áp dụng cho các hình có tính đối xứng (có trục đối xứnghoặc tâm đối xứng) như : hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông,hình thang cân, tamgiác cân, đều… , đường phân giác, đường trung trực …Bài 1.1. Xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trênđường thẳng AB là điểm H(−1;−1), đường phân giác trong của góc A có phương trình x−y+2=0 vàđường cao kẻ từ B có phương trình 4x+3y−1=0. ĐS: C(103;34)Bài 1.2. Tìm tọa độ đỉnh C của ∆ABC có H(175 ; 15) là chân đường cao hạ từ A, chân đườngphân giác trong hạ từ của góc A là D(5;3) , trung điểm của AB là M(0;1). Đs : C(9;11)Bài 1.3.(D11) Cho tam giác ABC có đỉnh B( 4;1) − , trọng tâm G(1;1) và đường thẳng chứa phângiác trong của góc A có phương trình x y − − =1 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A và C .Hướng dẫn: Gọi D x y ( ; ) là trung điểm của AC . Vì BD GD = 3 nên ta tìm được D(7 2;1) . Gọi Elà điểm đối xứng với B qua phân giác trong góc A, ta tìm được E(2; 5) − . Đường thẳng AC đi quaA và E nên có phương trình 4 13 0 x y − − = . A là giao điểm của AC và đường phân giác trong gócA nên có tọa độ A(4;3) . C đối xứng với A qua D nên C(3; 1) − .Bài 1.4. (B10) Trong hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A , có đỉnh C( 4;1) − , phân giáctrong góc A có phương trình d x y : 5 0 + − = . Viết phương trình đường thẳng BC , biết diện tíchtam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương.Hướng dẫn: Gọi D là điểm đối xứng với điểm C qua đường thẳng d , ta tìm được D(4;9) . A làgiao điểm của d và đường tròn đường kính CD đồng thời có hoành độ dương nên ta tìm được Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA – Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳngGV : khanhnguyennhatranggmail.com Tài liệu lưu hành nội bộ 13A(4;1) .Cạnh AB đi qua A và D nên có phương trình x − = 4 0 .Ta có 2. 8; 6 ABC SAC ABAC∆ = = = . GọiB y (4; ) , từ AB = 6 ta tìm được B(4;7) hoặc B(4; 5) − . Do d là phân giác trong góc A nên AB AD , cùng hướng. Suy ra B(4;7) .Bài 2.1. Cho ∆ABC cân tại A có BC = 4 2 . Các điểm M(1; 53), N(0;187) lần lượt nằm trênAB, AC, đường cao AH : x + y – 2 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của ∆ABC biết B có hoành độ dương.Bài 2.2. Cho ∆ABC cân tại A và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng 2x +y – 2 = 0. Đường cao kẻ từB có PT : x + y + 1 = 0 và điểm M(1;1) thuộc đường cao kẻ từ C. Tìm tọa độ A, B, C.Bài 3. Bài 14, mục B : kỹ thuật đối xứng qua tâm hình chữ nhật.Bài 4. Cho ∆ABC có chân đường cao hạ từ A là H(175;15), chân đường phân giác trong của gócA là D(5;3), trung điểm AB là M(0;1). Tìm tọa độ C.3) Kỹ thuật quy về công thức góc :C1 : Chỉ ra (hoặc chứng minh) trong hình có 2 góc bằng nhau rồi áp dụng công thức tính góc(thường là góc giữa 2 đường thẳng hoặc góc trong tam giác) , để ý đến các hình : tam giác cân,vuông cân, đều, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình thang cân, hình thang vuông …hoặcgóc giữa 2 đường thẳng bằng 1 góc cho trước ….C2 : Các tỉ lệ trong tam giác vuông, 2 tam giác đồng dạng cũng cho ta 1 ý tưởng về tính giá trịlượng giác của gócBài 1. Cho ∆ABC cân tại A, pt AB : x + 2y – 5 = 0, BC : 3x – y +7 = 0. Viết phương trình cạnhAC đi qua F(1;3) ? Đs : 2x + 11y + 31 = 0Bài 1’. Cho hình vuông ABCD có A(4;5) và đường chéo có PT : 7x – y + 8 = 0. Viết phươngtrình các cạnh của hình vuông.Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD có AC : x + 3y = 0, AD : x – y + 4 = 0, BD đi qua M(13;1). Tìmtọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. Đs : A(3;1), B(1;3), C(3;1), D(1;3)Bài 3. Tìm tọa độ các đỉnh của ∆ABC vuông cân tại A có I là trung điểm BC, M(112;4) là trungđiểm IB, N là điểm trên đoạn IC : NC = 2 NI, đường AN : x – y – 2 = 0 và xA < 0.Bài 4. Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD, đường AC : 2x – y – 1 = 0, đỉnh A(3;5) và đỉnh B thuộcd : x + y – 1 = 0. Tìm các đỉnh còn lại của hình thoi biết xB < 3. Đs : B(1;2), C(1;3), D(3;0)Bài 5. Cho hình thoi ABCD có BD = 2AC, đường BD : x – y = 0, M là trung điểm CD. Hình chiếuvuông góc của A lên BM là H(2;1). Viết pt AH ? Đs : 5x + 7y – 3 = 0, 7x + 5y – 9 = 0.Bài 6. Cho hình vuông ABCD có M(112, ½) là trung điểm của CD, N thuộc BC sao cho CN = 2NB, pt AN : 2x – y – 2 = 0. Tìm tọa độ điểm A. Đs : A(4;5), A(1;1)Bài 7.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A. Biết phương trình cạnh BClà (d x y ): 7 31 0 + − = , điểm N(7; 7) thuộc đường thẳng AC, điểm M(2; 3) thuộc AB và nằm ngoàiđoạn AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA – Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳngGV : khanhnguyennhatranggmail.com Tài liệu lưu hành nội bộ 14Hướng dẫn: sử dụng ( ) 0 AB BC ; 45 = , ta được ( AB x y ): 4 3 1 0 + + = . ( AC x y ): 3 4 7 0 − + = .Hay ( AB x y ): 3 4 18 0 − − = , ( AC x y ): 4 3 49 0 + − = , nhớ KT lại. Đs : A(1; 1), B(4; 5),C(3; 4)Bài 8. (A12) Cho hình vuông ABCD, gọi M(112; ½) là trung điểm BC, N là điểm thuộc CD saocho CN = 2 ND. Giả sử AN : 2x – y – 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A.Hướng dẫn : Tìm cosin của 1 góc liên quan đến đỉnh A => A. Đs : A(1;1), A(4;5)Bài 9. Cho ∆ABC vuông tại A, gọi M là điểm trên cạnh AC : AB = 3AM. Đường tròn tâm I(1;1)đường kính CM cắt BM tại D. Xác định tọa độ các đỉnh của ∆ABC biết đường thẳng BC đi quaN(43;0) , phương trình CD : x – 3y – 6 = 0 và điểm C có hoành độ dươngHướng dẫn : AB = 3AM => sử dụng kỹ thuật góc . Đs : C(3;1), B(2;2), A(2;1)4) Kỹ thuật quy về công thức khoảng cách : Dấu hiện nhận biết là trong bài có giả thiết về độdài, khoảng cách, diện tích của 1 hình, đường thẳng tiếp xúc hoặc cắt đường tròn hoặc tỉ lệ về độdài ( tam giác đồng dạng … ) , để ý đến các hình : hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình thangcân, hình thang vuôngBài 1.1 Cho hình vuông ABCD có điểm A(1;3), điểm M(6;4) thuộc BC và N(172;92) thuộc CD.Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông.Đs : B(4;6), C(7;3), D(4;0) và B(6413;1813),C(8513;6913), D(3413;9013)Bài 1.2. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC. Đường thẳng AB, BC, AD, CD lần lượt đi quaM(43;1), N(0;3), P(4;13), Q(6;2). Viết phương trình các cạnh của hình chữ nhật ABCD.Bài 1.3. Cho hình vuông ABCD có tâm I(1;1), biết M(2;2) thuộc cạnh AB và N(2;2) thuộc cạnhCD. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông.Bài 1.4. Cho hình thang vuông ABCD tại A và B có C(2;5) và AD = 3BC. Điểm M(12;0) thộcAB, điểm N(3;5) thuộc AD. Viết Pt các đường AB, AD biết diện tích hình thang ABCD = 75.Bài 1.5. Cho hình thoi ABCD có tâm I(3;3), AC = 2BD. Điểm M(2;43) thuộc AB, N(3;133) thuộcCD. Viết PT đường chéo BD biết B có hoành độ lớn hơn 3Bài 1.6. Cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1), AC = 2BD. Điểm M(0;13) thuộc AB, N(0;7) thuộcCD. Tìm tọa độ B biết B có hoành độ dương.Bài 2. Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng d : y = x. Tìm tọa độ đỉnh C và D.Hdẫn: (cho diện tích thường nghĩ đến kỹ thuật kcách) ( ) ( ) 5 8 8 2 ; , ; 1;0 , 0; 23 3 3 3C D or C D ⇒ − − Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 16, các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt đi quaM(4;5), N(6;5), P(5;2), Q(2;1). Viết phương trình cạnh AB. Đs : x – y + 1 = 0, x + 3y – 11 = 0Bài 4. (A12) Cho hình vuông ABCD, gọi M(112; ½) là trung điểm BC, N là điểm thuộc CD saocho CN = 2 ND. Giả sử AN : 2x – y – 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A.Hướng dẫn : Tính diện tích tam giác AMN => dùng kỹ thuật khoảng cách . Đs : A(1;1), A(4;5)
Tel : 0914455164 ễn thi THPT QUC GIA Chuyờn To mt phng E CC BI TP HèNH OXY NNG CAO : ( nhn mnh cỏc k thut gii OXY) 1) K thut tham s húa : (Xem li cỏc bi toỏn tỡm ta im phn c bn) +) Gi im M(m,n) => cn tỡm h PT tỡm m,n +) Thng ỏp dng vo bi toỏn tỡm ta im : nu im M thuc d : ax + by + c = 0( a ) thỡ M( bm c ; m ), lỳc ny ta M ch cũn n v ta ch cn tỡm PT, tng ng iu kin cú a c (hoc suy ra) t bi (vuụng gúc, song song, di bng nhau,) Bi H KB 2004: Trong mt phng Oxy cho hai im A(1; 1), B(4; -3) Tỡm im C thuc d : x S: ( 7;3) ,(43 / 11; 27 / 11) 2y = cho khong cỏch t C n AB bng Bi Cho im A(2;2) v cỏc ng thng: d1: x+y2=0, d2: x+y8=0 Tỡm ta cỏc im B v C ln lt thuc d1 v d2 cho ABC vuụng cõn ti A S: B(1;3), C(3;5) OR B(3;1), C(5;3) Bi Trong mt phng Oxy, cho im A ( 1;2 ) v ng thng ( d ) : x y + = Tỡm trờn ng thng (d) hai im B, C cho tam giỏc ABC vuụng ti C v AC = 3BC x + y = 13 16 C ; AC = 3BC B ; ; B ; 5 15 15 3 x y = Hng dn: Ta C l n0 ca h : 2) K thut ly im i xng : Thng ỏp dng cho cỏc hỡnh cú tớnh i xng (cú trc i xng hoc tõm i xng) nh : hỡnh bỡnh hnh, hỡnh ch nht, hỡnh thoi, hỡnh vuụng,hỡnh thang cõn, tam giỏc cõn, u , ng phõn giỏc, ng trung trc Bi 1.1 Xỏc nh ta nh C ca tam giỏc ABC bit rng hỡnh chiu vuụng gúc ca C trờn ng thng AB l im H(1;1), ng phõn giỏc ca gúc A cú phng trỡnh xy+2=0 v S: C(-10/3;3/4) ng cao k t B cú phng trỡnh 4x+3y1=0 Bi 1.2 Tỡm ta nh C ca ABC cú H(17/5 ; -1/5) l chõn ng cao h t A, chõn ng phõn giỏc h t ca gúc A l D(5;3) , trung im ca AB l M(0;1) s : C(9;11) Bi 1.3.(D11) Cho tam giỏc ABC cú nh B(4;1) , trng tõm G (1;1) v ng thng cha phõn giỏc ca gúc A cú phng trỡnh x y = Tỡm ta cỏc nh A v C Hng dn: Gi D( x; y ) l trung im ca AC Vỡ BD = 3GD nờn ta tỡm c D(7 / 2;1) Gi E l im i xng vi B qua phõn giỏc gúc A , ta tỡm c E (2; 5) ng thng AC i qua A v E nờn cú phng trỡnh x y 13 = A l giao im ca AC v ng phõn giỏc gúc A nờn cú ta A(4;3) C i xng vi A qua D nờn C (3; 1) Bi 1.4 (B10) Trong h ta Oxy , cho tam giỏc ABC vuụng ti A , cú nh C (4;1) , phõn giỏc gúc A cú phng trỡnh d : x + y = Vit phng trỡnh ng thng BC , bit din tớch tam giỏc ABC bng 24 v nh A cú honh dng Hng dn: Gi D l im i xng vi im C qua ng thng d , ta tỡm c D (4;9) A l giao im ca d v ng trũn ng kớnh CD ng thi cú honh dng nờn ta tỡm c GV : khanhnguyennhatrang@gmail.com Ti liu lu hnh ni b 12 Tel : 0914455164 ễn thi THPT QUC GIA Chuyờn To mt phng A(4;1) Cnh AB i qua A v D nờn cú phng trỡnh x = Ta cú AC = 8; AB = 2.S ABC = Gi AC B (4; y ) , t AB = ta tỡm c B (4;7) hoc B (4; 5) Do d l phõn giỏc gúc A nờn AB, AD cựng hng Suy B(4;7) Bi 2.1 Cho ABC cõn ti A cú BC = Cỏc im M(1; -5/3), N(0;18/7) ln lt nm trờn AB, AC, ng cao AH : x + y = Tỡm ta cỏc nh ca ABC bit B cú honh dng Bi 2.2 Cho ABC cõn ti A v cỏc nh B, C thuc ng thng 2x +y = ng cao k t B cú PT : x + y + = v im M(1;1) thuc ng cao k t C Tỡm ta A, B, C Bi Bi 14, mc B : k thut i xng qua tõm hỡnh ch nht Bi Cho ABC cú chõn ng cao h t A l H(17/5;-1/5), chõn ng phõn giỏc ca gúc A l D(5;3), trung im AB l M(0;1) Tỡm ta C 3) K thut quy v cụng thc gúc : C1 : Ch (hoc chng minh) hỡnh cú gúc bng ri ỏp dng cụng thc tớnh gúc (thng l gúc gia ng thng hoc gúc tam giỏc) , ý n cỏc hỡnh : tam giỏc cõn, vuụng cõn, u, hỡnh vuụng, hỡnh ch nht, hỡnh thoi, hỡnh thang cõn, hỡnh thang vuụng hoc gúc gia ng thng bng gúc cho trc C2 : Cỏc t l tam giỏc vuụng, tam giỏc ng dng cng cho ta ý tng v tớnh giỏ tr lng giỏc ca gúc Bi Cho ABC cõn ti A, pt AB : x + 2y = 0, BC : 3x y +7 = Vit phng trỡnh cnh AC i qua F(-1;3) ? s : 2x + 11y + 31 = Bi Cho hỡnh vuụng ABCD cú A(-4;5) v ng chộo cú PT : 7x y + = Vit phng trỡnh cỏc cnh ca hỡnh vuụng Bi Cho hỡnh ch nht ABCD cú AC : x + 3y = 0, AD : x y + = 0, BD i qua M(-1/3;1) Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh ch nht s : A(-3;1), B(1;-3), C(3;-1), D(-1;3) Bi Tỡm ta cỏc nh ca ABC vuụng cõn ti A cú I l trung im BC, M(11/2;-4) l trung im IB, N l im trờn on IC : NC = NI, ng AN : x y = v xA < Bi Cho hỡnh thoi ABCD cú AC = 2BD, ng AC : 2x y = 0, nh A(3;5) v nh B thuc d : x + y = Tỡm cỏc nh cũn li ca hỡnh thoi bit xB < s : B(-1;2), C(-1;-3), D(3;0) Bi Cho hỡnh thoi ABCD cú BD = 2AC, ng BD : x y = 0, M l trung im CD Hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn BM l H(2;-1) Vit pt AH ? s : 5x + 7y = 0, 7x + 5y = Bi Cho hỡnh vuụng ABCD cú M(11/2, ẵ) l trung im ca CD, N thuc BC cho CN = NB, pt AN : 2x y = Tỡm ta im A s : A(4;5), A(1;-1) Bi 7.Trong mt phng ta Oxy cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A Bit phng trỡnh cnh BC l ( d ) : x + y 31 = , im N(7; 7) thuc ng thng AC, im M(2; -3) thuc AB v nm ngoi on AB Tỡm ta cỏc nh ca tam giỏc ABC GV : khanhnguyennhatrang@gmail.com Ti liu lu hnh ni b 13 Tel : 0914455164 ễn thi THPT QUC GIA Chuyờn To mt phng Hng dn: s dng ( AB; BC ) = 450 , ta c ( AB ) : x + y + = ( AC ) : 3x y + = Hay ( AB ) : 3x y 18 = , ( AC ) : x + y 49 = , nh KT li s : A(-1; 1), B(-4; 5),C(3; 4) Bi (A12) Cho hỡnh vuụng ABCD, gi M(11/2; ẵ) l trung im BC, N l im thuc CD cho CN = ND Gi s AN : 2x y = Tỡm ta im A Hng dn : Tỡm cosin ca gúc liờn quan n nh A => A s : A(1;-1), A(4;5) Bi Cho ABC vuụng ti A, gi M l im trờn cnh AC : AB = 3AM ng trũn tõm I(1;-1) ng kớnh CM ct BM ti D Xỏc nh ta cỏc nh ca ABC bit ng thng BC i qua N(4/3;0) , phng trỡnh CD : x 3y = v im C cú honh dng Hng dn : AB = 3AM => s dng k thut gúc s : C(3;-1), B(-2;2), A(-2;-1) 4) K thut quy v cụng thc khong cỏch : Du hin nhn bit l bi cú gi thit v di, khong cỏch, din tớch ca hỡnh, ng thng tip xỳc hoc ct ng trũn hoc t l v di ( tam giỏc ng dng ) , ý n cỏc hỡnh : hỡnh vuụng, hỡnh ch nht, hỡnh thoi, hỡnh thang cõn, hỡnh thang vuụng Bi 1.1 Cho hỡnh vuụng ABCD cú im A(1;3), im M(6;4) thuc BC v N(17/2;9/2) thuc CD Tỡm ta cỏc nh cũn li ca hỡnh vuụng s : B(4;6), C(7;3), D(4;0) v B(64/13;18/13),C(85/13;69/13), D(34/13;90/13) Bi 1.2 Cho hỡnh ch nht ABCD cú AB = 2BC ng thng AB, BC, AD, CD ln lt i qua M(-4/3;1), N(0;3), P(4;-1/3), Q(6;2) Vit phng trỡnh cỏc cnh ca hỡnh ch nht ABCD Bi 1.3 Cho hỡnh vuụng ABCD cú tõm I(1;1), bit M(-2;2) thuc cnh AB v N(2;-2) thuc cnh CD Xỏc nh ta cỏc nh ca hỡnh vuụng Bi 1.4 Cho hỡnh thang vuụng ABCD ti A v B cú C(2;-5) v AD = 3BC im M(-1/2;0) thc AB, im N(-3;5) thuc AD Vit Pt cỏc ng AB, AD bit din tớch hỡnh thang ABCD = 75 Bi 1.5 Cho hỡnh thoi ABCD cú tõm I(3;3), AC = 2BD im M(2;4/3) thuc AB, N(3;13/3) thuc CD Vit PT ng chộo BD bit B cú honh ln hn Bi 1.6 Cho hỡnh thoi ABCD cú tõm I(2;1), AC = 2BD im M(0;1/3) thuc AB, N(0;7) thuc CD Tỡm ta B bit B cú honh dng Bi Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú din tớch bng Bit A(1;0), B(0;2) v giao im I ca hai ng chộo nm trờn ng thng d : y = x Tỡm ta nh C v D 8 Hdn: (cho din tớch thng ngh n k thut k/cỏch) C ; , D ; or C ( 1;0 ) , D ( 0; ) 3 3 Bi Cho hỡnh ch nht ABCD cú din tớch bng 16, cỏc cnh AB, BC, CD, DA ln lt i qua M(4;5), N(6;5), P(5;2), Q(2;1) Vit phng trỡnh cnh AB s : x y + = 0, - x + 3y 11 = Bi (A12) Cho hỡnh vuụng ABCD, gi M(11/2; ẵ) l trung im BC, N l im thuc CD cho CN = ND Gi s AN : 2x y = Tỡm ta im A Hng dn : Tớnh din tớch tam giỏc AMN => dựng k thut khong cỏch s : A(1;-1), A(4;5) GV : khanhnguyennhatrang@gmail.com Ti liu lu hnh ni b 14 Tel : 0914455164 ễn thi THPT QUC GIA Chuyờn To mt phng Bi Cho hỡnh vuụng ABCD Gi M l trung im BC, N l im trờn cnh AC cho AC = 4AN, im N thuc ng thng 3x + y + = 0, phng trỡnh MD : x = Xỏc nh ta nh A bit khong cỏch t A n MD = v N cú honh õm s : (-3;1), (-3;0) Bi 6.1 Vit PT cỏc cnh ca hỡnh bỡnh hnh ABCD tõm I(-1;3) v trng tõm ABD l G(1/3;5/3), bit AB, AD l tip tuyn k t A n ng trũn (C) : x2 + y2 6x 6y + = Bi 6.2 Cho hỡnh thang ABCD cú ỏy l AB v CD, bit A(0;-4), B(4;0) Tỡm ta nh C, D bit ABCD ngoi tip ng trũn (C) : (x 1)2 +(y + 1)2 = Bi 6.3 Cho hỡnh vuụng ABCD ngoi tip ng trũn (C): (x 2)2 + (y 3)2 =10 ng thng AB i qua M(-3;-2) Xỏc nh ta im A bit A cú honh dng 5) K thut KT HP CHNG MINH tớnh cht c bit ca hỡnh : õy l k thut tng hp +)Yờu cu : Cú k nng dng hỡnh, nhỡn im v ng thng trng thỏi chuyn ng Quan tõm n mi liờn h ca i tng l: im ; ng thng ; ng trũn Liờn quan n hỡnh vuụng thỡ chỳ ý n vic tớnh cnh, chia din tớch Liờn quan n ng trũn thỡ chỳ ý n khong cỏch t tõm n dõy cung (xem ph lc cỏc bi toỏn c s ca hỡnh hc phng) +) Sau quan sỏt v rỳt tớnh cht c bit ca hỡnh nh : ng vuụng gúc, im thng hng, cỏc on bng nhau, cỏc gúc bng nhau, im cỏch u cỏc nh,cỏc cnh , t giỏc ni tip, hỡnh bỡnh hnh, tam giỏc cõn, vuụng ta chng minh nú ng thi kt hp cỏc k thut trờn LOI : CHNG MINH NG VUễNG GểC Bi 1.1 Cho hỡnh vuụng ABCD Gi M, N ln lt l trung im BC v CD Tỡm ta giao im H ca AM v BN bit N(2;-2) v phng trỡnh AM : x 3y + = s : (4/5;8/5) Bi 1.2 Cho hỡnh vuụng ABCD cú nh B(0;4) Gi M, N ln lt l trung im BC v CD Gi H(4/5; 8/5) l giao im AM v BN Xỏc nh ta cỏc nh cũn li ca hỡnh vuụng bit im A nm trờn ng thng : x + 2y + = Bi 1.3 : (ct hỡnh vuụng thnh hỡnh thang vuụng cú cnh AB = 2CD) Cho hỡnh thang vuụng ABCD (vuụng ti B v C) cú AB = BC = CD v nh A(-4;0) Gi M l trung im BC, im H(4/5;8/5) l giao im ca AM v BD Xỏc nh cỏc nh cũn li ca hỡnh thang bit D nm trờn ng thng x + 2y + = Hng dn (bi toỏn c s ca bi trờn)Cho hỡnh vuụng ABCD Gi M, N ln lt l trung im cỏc cnh BC v CD Chng minh : AM vuụng gúc BN Bi 2* Cho hỡnh thang cõn ABCD (AB // CD, AB ỏy nh) Gi H, I ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca B lờn AC, CD v M, N ln lt l trung im AD, HI Vit PT cnh AB bit M(1;-2), N(3;4) v nh B thuc ng thng x + y = v cos ABM = / Hng dn : c.m : BN vuụng gúc MN (s dng gúc ni tip v tam giỏc ng dng) , B(6;3) v AB : 3x + y 21 = 0, x + 3y 15 = 0(loi) GV : khanhnguyennhatrang@gmail.com Ti liu lu hnh ni b 15 Tel : 0914455164 ễn thi THPT QUC GIA Chuyờn To mt phng Bi Cho hỡnh vuụng ABCD Gi M(1;3) l trung im BC, N(-3/2;1/2) l im trờn on AC cho AC = 4AN Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh vuụng ABCD bit D nm trờn ng x y3 = Hng dn : C/m quan h vuụng gúc ( cỏc pp : thun tỳy hỡnh hc phng, cụng c vộct, cụng c ta , cụng c lng giỏc ) T ú DN : x + y + = 0, D(1;-2), A(-3;0), B(-1;4), C(3;2) Bi Cho hỡnh ch nht ABCD cú nh B thuc ng thng d1 : 2x y + = 0, nh C thuc ng thng d2 : x y =0 Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca B xung AC Gi M(9/5;2/5), K(9;2) ln lt l trung im AH v CD Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh ch nht ABCD bit im C cú tung dng Hng dn : Bi l m rng ca bi ( nhỡn di gúc l bi toỏn hỡnh hc phng thun tỳy) nờn C.M c BM vuụng gúc MK, t ú BM : 9x + 2y 85 = 0, B(1;4), C(9;4), A(1;0), D(9;0) Bi Cho hỡnh vuụng ABCD Gi M l trung im BC, N(-3/2;1/2) l im trờn on AC cho AC = 4AN Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh vuụng ABCD bit DM cú phng trỡnh : x = Hng dn : Kt hp c/m vuụng gúc v k thut phỏt hin gúc cú cosin tớnh c s : D(1;-2) hoc D(1;3) t ú suy cỏc im cũn li Bi Cho hỡnh vuụng ABCD cú nh C thuc ng thng d : x + 2y = 0, im M(1;1) thuc cnh BD, hỡnh chiu ca M lờn cnh AB, AD u nm trờn ng thng : x + y =0 Tỡm ta im C Hng dn : c k gi thit xoay quanh im no => c.m vuụng gúc s : (2;2) LOI : CHNG MINH AN = k AN hay AB = k MN (k l hng s) Lu ý : Xem li bi toỏn tỡm im v k thut tham s húa Bi Cho tam giỏc ABC cú tõm ng trũn ngoi tip l I(4/3;5/3), trc tõm H(1/3;8/3) v trung im cnh BC l M(1;1) Xỏc nh ta cỏc nh ca tam giỏc ABC s : (1;4), (-1;2), (3;0) Hng dn : (bi toỏn v ng thng le) Cho tam giỏc ABC cú trng tõm G, trc tõm H v gi I l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Khi ú c.m : G, H , I thng hng v GH = 2GI Bi Cho hỡnh thang ABCD cú ỏy AB, CD v CD = 2AB Gi H l chõn ng vuụng gúc h t D xung AC v M l trung im HC Bit B(5;6), phng trỡnh DH : 2x y = 0, DM : x 3y + = Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh thang ABCD s : (1;2), (9;2), (1;6) Hng dn : Tỡm ta I nh ng thc vect cú c t im thng hng v CD = 2AB Bi Cho hỡnh vuụng ABCD Gi M l trung im BC, N(-3/2;1/2) l im trờn cnh AC cho AC = 4AN, giao im ca AC v DM l I(1;4/3) Xỏc nh ta cỏc nh ca hỡnh vuụng Hng dn : Tỡm ta A t im thng hng I, N, A.s : (-3;0), (3;2), (-1;4), (1;-2) LOI : CHNG MINH ON THNG BNG NHAU, GểC BNG NHAU Bi 1.(QG2015) Cho ABC vuụng ti A, gi H(-5;-5) l hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn cnh BC, D l im i xng ca B qua H, K(9;-3) l hỡnh chiu vuụng gúc ca C lờn AD Cho trung im cnh AC thuc ng thng x y + 10 = Tỡm ta A s : (-15;5) GV : khanhnguyennhatrang@gmail.com Ti liu lu hnh ni b 16 Tel : 0914455164 ễn thi THPT QUC GIA Chuyờn To mt phng Bi (A13) Cho hỡnh ch nht ABCD cú im C thuc d : 2x + y + = v A(-4;8) Gi M l im i xng ca B qua C, N l hỡnh chiu vuụng gúc ca B lờn MD Tỡm ta im B, C bit N(5;-4) s : C(1;-7), B(-4;-7) Cú th gii bng chng minh vuụng gúc HD : (Bi toỏn c s) Cho hỡnh ch nht ABCD Gi M l im i xng ca B qua C, N l hỡnh chiu vuụng gúc ca B lờn MD Chng minh AN vuụng gúc CN Bi 3.1.Trong (Oxy) cho tam giỏc ABC, bit ba chõn ng cao tng ng vi nh A,B,C l A'(1;1),B'(-2;3),C'(2;4) Vit PT cnh BC Bi 3.2 Xác định toạ độ đỉnh tam giác nhọn ABC biết chân đờng cao lần lợt hạ từ đỉnh A ,B ,C H1(4;-1), H2(1;5), H3(-4;-5) Hng dn: Nhận thấy H1A phân giác góc H1 BC tia phân giác để tìm phơng trình cạnh AB ;AC ;BC ta cần tìm phơng trình đờng phân giác góc H1 ; H2 ;H3 tam giác H1H2H3 H1H2 : 2x+y-7=0 ; H1H3 ; x-2y-6=0 ; H2H3: 2x-y+3=0 * Phơng trình phân giác góc H3 : x+y+9=0 (1)và x-y-1=0 thay toạ độ H1 H2 vào (1) ta suy AB : x+y+9 =0 Tơng tự : AC: y-5= 0, BC : 3x-y-13=0 A(14;5) , B(1; 10) , C (6;5) Bi 3.3 Trong mt phng vi h to Oxy , cho tam giỏc nhn ABC cú chõn cỏc ng cao h t A, B, C theo th t l M (2;0), N (16 / 5; 12 / ) , P(0; 4) Tỡm ta trc tõm ca tam giỏc ABC Hng dn : Vỡ AM l phõn giỏc gúc PMN nờn ta tỡm c phng trỡnh AM l x = v CP l phõn giỏc gúc MPN nờn ta tỡm c phng trỡnh CP l x y = Trc tõm H ca tam giỏc ABC l giao im ca AM v CP nờn cú ta H (2; 2) Lu ý : (bi toỏn c s ca bi trờn)Cho tam giỏc ABC cú trc tõm H, bit chõn cỏc ng cao tng ng k t A,B, C l A,B,C C/m : H l tõm ng trũn ni tip tam giỏc ABC PH LC : CC BI TON C S TRONG HèNH HC PHNG Bi Cho tam giỏc ABC cú trc tõm H, bit chõn cỏc ng cao tng ng k t A,B, C l A,B,C C/m : H l tõm ng trũn ni tip tam giỏc ABC Bi (bi toỏn v ng thng le) Cho tam giỏc ABC cú trng tõm G, trc tõm H v gi I l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Khi ú c.m : G, H , I thng hng v GH = 2GI Bi Cho tam giỏc ABC cú trc tõm H ng thi ni tip ng trũn tõm I Gi B l im i xng ca B qua I Khi ú c.m : AHCB l hỡnh bỡnh hnh Bi Cho tam giỏc ABC cú trc tõm H v H l im i xng ca H qua BC Khi ú c.m : H thuc ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Bi Cho tam giỏc ABC nhn ni tip ng trũn tõm I K ln lt cỏc ng cao BH, CK tam giỏc ABC Khi ú c.m : IA vuụng gúc HK Bi Cho tam giỏc ABC ni tip ng trũn tõm I ng phõn giỏc ca gúc A ct ng trũn (I) ti D Khi ú c.m : ID vuụng gúc BC GV : khanhnguyennhatrang@gmail.com Ti liu lu hnh ni b 17 Tel : 0914455164 ễn thi THPT QUC GIA Chuyờn To mt phng Bi Cho tam giỏc ABC cú trung tuyn AM, E thuc cnh AC cho AC = 3AE Gi N l giao im BE v AM Khi ú c.m : N l trung im AM Bi Cho tam giỏc ABC cõn ti A cú H l trung im BC, cnh HE vuụng gúc AC ( E thuc AC), gi F l trung im EH Khi ú c.m : AF vuụng gúc BE Bi Cho tam giỏc ABC cõn ti A cú H l trung im BC Gi D l hỡnh chiu ca H lờn AC v M l trung im HD Khi ú c.m : AM vuụng gúc BC Bi 10 Cho hỡnh vuụng ABCD Gi M, N ln lt l trung im cỏc cnh BC v CD Khi ú c.m : AM vuụng gúc BN Bi 11 Cho hỡnh vuụng ABCD, M l trung im AB im N thuc BD : BN = 3ND Khi ú c.m : MN vuụng gúc NC Bi 12 Cho hỡnh vuụng ABCD Gi M, N ln lt thuc AB, BC cho BM = BN Gi H l hỡnh chiu ca B xuụng MC Khi ú c.m : HN vuụng gúc HD Bi 13 Cho hỡnh ch nht ABCD, AB = 2BC Gi H l hỡnh chiu ca A lờn BD, E v F l trung im CD v BH Khi ú c.m : AF vuụng gúc EF CC BI TON C S TRONG HèNH HC PHNG ( TIP THEO ) Bi 14 Cho hỡnh vuụng ABCD, gi M v N ln lt l trung im ca CD v BC CMR: AM DN Tng quỏt : Cho hỡnh vuụng ABCD, trờn cnh DC ly im M, trờn cnh BC ly N cho DM = CN CMR : AM DN Bi 15 Cho hỡnh vuụng ABCD, gi M v N ln lt l trung im ca CD v BC, K l giao ca AM vi DN CMR: a) AK= 2DK b) AK = 4KM c) KN = (3 / 2) KD Bi 16 Cho hỡnh vuụng ABCD cnh a, gi M v N ln lt l trung im ca CD v BC, K l giao ca AM vi DN Tớnh c theo a din tớch : a) tam giỏc AMN b) tam giỏc AKN Bi 17 Cho hỡnh vuụng ABCD, trờn cnh AD ly im M, trờn cnh AB ly F cho AM = AF, gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A xung BM CMR : FH CH Bi 18 Cho hỡnh thang ABCD vuụng ti A v D cú CD = 2AB Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca D lờn BC, M l trung im ca CD CMR : AH HM Bi 19 Cho hỡnh thang ABCD cú hai ỏy l AB v CD, CD=2AB, gi I l giao ca AC vi BD CMR : DI = 2IB Bi 20 Cho hỡnh thang ABCD cú AB CD, Gi M l trung im ca AD, H l hỡnh chiu vuụng gúc ca B xung CM Tớnh din tớch hỡnh thang bit CM = 3a, BH= 2a Bi 21 Cho hỡnh ch nht ABCD, gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca D lờn AC, M v N ln lt l trung im ca CH v AB MN DM Bi 22 Cho hỡnh vuụng ABCD cnh a , trờn oan BD ly im M cho BM = 3DM, gi N l trung im ca AB, I l giao ca CN vi BD a) CMR tam giỏc CMN vuụng cõn tai M GV : khanhnguyennhatrang@gmail.com b) Tớnh c t s : BI/BD Ti liu lu hnh ni b 18 Tel : 0914455164 ễn thi THPT QUC GIA Chuyờn To mt phng Bi 23 Cho hỡnh vuụng ABCD, trờn oan BD ly im M cho BM = 2DM, gi N thuục cnh BC cho BC =3BN CMR tam giỏc AMN vuụng cõn tai M Bi 24 Cho hỡnh vuụng ABCD tõm I, M thuc on AC cho AM = 2MC, K thuc on AB cho AB= 3AK, G l trng tõm ca tam giỏc ADI Chng minh c : a) KMD vuụng cõn nh M b) DGM vuụng cõn nh G c)M l trng tõm ca BCD Bi 25 Cho hỡnh vuụng ABCD cnh a, gi M l trung im ca AB, N thuc on BC cho BC = 3CN, H l hỡnh chiu vuụng gúc ca D lờn MN CMR: a) DH= a ; b) HA HB Bi 26 Cho hỡnh vuụng ABCD cnh a, ng trũn tõm I ng kớnh AB v ng trũn tõm D bỏn kớnh DC ct ti E (E khỏc A), Gi M l trung im ca CD, N l trung im ca BC CMR: a) EA EM b) im B, E, M thng hng Bi 27 Cho hỡnh vuụng ABCD, ng thng d song song vi AB ct AD ti M v ct AC ti N cho AM =CN, gi K l chõn ng phõn giỏc h t nh A ca tam giỏc DAC CMR t giỏc CKMN l hỡnh bỡnh hnh Bi 28 Cho hỡnh vuụng ABCD Goi E l im i xng vi D qua C, N l trung im ca AB, K thuc on BE cho BE = 4BK, I thuc on BD cho BD = 4ID a) CMR Tam giỏc NKC vụng cõn nh K b) CMR NKCI l hỡnh vuụng Bi 29 Cho hỡnh vuụng ABCD Goi E l im i xng vi D qua C, M l trung im ca BE, N l trung im ca DC, J l trung im ca AM a) CMR tam giỏc ANM vuụng cõn nh N b) CMR J thuc on BD v BD= 4BJ Bi 30 Cho hỡnh vuụng ABCD Goi E l im i xng vi D qua C, M l trung im ca BE, N l trung im ca DC, I thuc on BD cho BD = 4IB CMR tam giỏc MIN vuụng cõn nh N Bi 31 Cho hỡnh vuụng ABCD Trờn tia i ca tia CD ly im E cho CD = 2CE, N thuc oan CD cho CD = 3CN, M thuc n BE cho BE = 3ME CMR tam giỏc BMN vuụng cõn nh M GV : khanhnguyennhatrang@gmail.com Ti liu lu hnh ni b 19 Tel : 0914455164 ễn thi THPT QUC GIA Chuyờn To mt phng CC BI TON CHA Cể LI GII HOC HNG DN Bi Cho hỡnh vuụng ABCD Gi M l trung im ca AB , N BD cho BN = ND , ng thng MC cú phng trỡnh x + y 13 = v N (2;2) Xỏc nh to nh C ca hỡnh vuụng ABCD , bit im C cú honh ln hn S : ( ;1) Bi Cho hỡnh vuụng ABCD cú D(5;1) Gi M l trung im BC v N thuc AC cho AC = 4AN Bit rng MN:3xy4=0 v yM>0 Tỡm ta nh C Bi Trong mt phng to Oxy , cho hỡnh vuụng ABCD Gi M l trung im ca AB , N BD cho BN = ND , ng thng CN cú phng trỡnh x + y = v M (3;5) Xỏc nh to nh C ca hỡnh vuụng ABCD , bit im C cú honh dng S C(5 ; 1) Bi Cho hỡnh vuụng ABCD Gi M l trung im ca AB , N BD cho BN = 3ND , H l hỡnh chiu vuụng gúc ca N lờn MC Xỏc nh to nh C ca hỡnh vuụng ABCD , bit N (2 ; 2) , H (4 ; 3) v im C cú honh dng S(5 ; 1) Bi Trong mt phng ta Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD cú M l trung im ca AB, N thuc BC cho BN=2NC, MN: x+y-1= v D(0;-1).Vit pt ng thng CD Tỡm to cỏc nh A, B, C ca hỡnh vuụng bit yM >0 Bi Trong mt phng ta Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD cú M l trung im ca AB, N thuc BC cho BN =2NC, DM: x+y -1= v N(0;-1) Tớnh gúc D Tỡm to cỏc nh A, B, C, D ca hỡnh vuụng bit xD>0 Bi Trong mt phng Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD cú ng thng AB i qua im E(-5;-1) Gi M , N(2;-2) ln lt l trung im ca BC v DC; H l giao im ca AM v BN Xỏc nh ta cỏc nh ca hỡnh vuụng ABCD , bit khong cỏch t H n ng thng AB bng / v honh im A khụng õm Bi Trong mt phng vi h ta Oxy cho hinh vuụng ABCD vi im N(1;2) l trung im ca BC, d:5xy+1=0 l ng trung tuyn xut phỏt t A ca tam giỏc ADN Tỡm ta A,B,C,D ca hỡnh vuụng Bi Cho ng trũn (C1):x2+y24x+6y12=0 v (C2):x2+y26x+2y10=0 (C1) ct (C2) ti A,B Vit phng trỡnh ng thng d i qua A, d ct (C1) ti E, ct (C2) ti F (E,F khỏc A) cho EF ln nht Bi 10 Trong mp ta Oxy cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú H(4;0) l trc tõm tam giỏc BCD, I(2;32) l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABD, im B thuc ng thng 3x4y=0, ng thng BC i qua M(5;0) Tỡm ta cỏc nh hỡnh bỡnh hnh GV : khanhnguyennhatrang@gmail.com Ti liu lu hnh ni b 20 Tel : 0914455164 ễn thi THPT QUC GIA Chuyờn To mt phng CC BI TON Cể LI GII HOC HNG DN LOI : CC BI TON V TAM GIC Bi 1.Trong mt phng ta Oxy, cho tam giỏc ABC cõn ti A cú nh A(6; 6), ng thng i qua trung im ca cỏc cnh AB v AC cú phng trỡnh x + y = Tỡm ta cỏc nh B v C, bit im E(1; 3) nm trờn ng cao i qua nh C ca tam giỏc ó cho Hng dn: Gi l /thng i qua trung im ca AC v AB Ta cú d ( A, ) = 6+64 =4 Vỡ l ng trung bỡnh ca ABC d ( A; BC ) = 2d ( A; ) = 2.4 = Gi phng trỡnh ng thng BC l: x + y + a = T ú: 6+6+a a = = 12 + a = 16 a = 28 Nu a = 28 thỡ PT ca BC : x + y 28 = , trng hp ny A nm khỏc phớa i vi BC v ,vụ lớ Vy a = , ú, PT ca BC l: x + y + = ng cao k t A ca ABC l ng thng i qua A(6;6) v BC nờn cú pt l x y = x y = x = =>H(-2;-2) x + y + = y = Ta chõn ng cao H k t A xung BC l nghim ca h : B thuc BC nờn B(m; -4-m) Li vỡ H l trung im BC nờn C(-4-m;m) Suy ra: CE = ( + m; m ) , AB = (m 6; 10 m) Vỡ CE AB nờn AB.CE = ( a )( a + ) + ( a + 3)( a + 10 ) = => a = Vy B ( 0; ) ; C ( 4;0 ) hoc B ( 6; ) ; C ( 2; ) Bi Trong mp vi h trc ta Oxy cho tam giac PQR cú ng cao h t nh P l d: 2x+y+3=0 v ng phõn giỏc ca gúc Q l d': x-y=0 PQ i qua im I(0;-1) v RQ=2IQ Vit phng trỡnh ng thng PR Hng dn: Gi I; l im i xỳng ca I qua ng phõn giỏc ca gúc Q thi I nm trờn ng thng QR T õy vit c pt QR => im Q v pt cnh PQ, ta im P Cú im Q v t h thc RQ=2IQ , ta s tỡm c im R ( s cú hai im R) Kim tra v kt lun Bi Cho tam giỏc ABC bit A(5; 2) Phng trỡnh ng trung trc cnh BC, ng trung tuyn CC ln lt l x + y = v 2x y + = Tỡm ta cỏc nh ca tam giỏc ABC Hng dn: - Gi B(a;b) suy M a+5 b+2 ; M nm trờn trung tuyn nờn : 2a-b+14=0 (1) x = a + t (t R ) y = b + t - B,B i xng qua ng trung trc cho nờn : ( BC ) : GV : khanhnguyennhatrang@gmail.com Ti liu lu hnh ni b 21 Tel : 0914455164 ễn thi THPT QUC GIA Chuyờn To mt phng x = a + t 6a b 3a b 6+ba T ú suy ta N : y = b + t t = ;x = ;y = 2 x + y = 3a b 6 + b a N ; Cho nờn ta cú ta C(2a-b-6;6-a ) 2 - Do C nm trờn ng trung tuyn : 5a-2b-9=0 (2) 2a b + 14 = a = 37 B ( 37;88 ) , C = ( 20; 31) 5a 2b = b = 88 - T (1) v (2) : Bi Trong mt phng vi h to Oxy, hóy vit phng trỡnh cỏc cnh ca tam giỏc ABC bit trc tõm H (1;0) , chõn ng cao h t nh B l K (0; 2) , trung im cnh AB l M (3;1) Hng dn: - Theo tớnh cht ng cao : HK vuụng gúc vi AC cho nờn (AC) qua K(0;2) cú vộc t phỏp tuyn KH = (1; ) ( AC ) : x ( y ) = x y + = - B nm trờn (BH) qua H(1;0) v cú vộc t ch phng KH = (1; ) B (1 + t ; 2t ) - M(3;1) l trung im ca AB cho nờn A(5-t;2+2t) - Mt khỏc A thuc (AC) cho nờn : 5-t-2(2+2t)+4=0 , suy t=1 Do ú A(4;4),B(2;-2) - Vỡ C thuc (AC) suy C(2t;2+t) , BC = ( 2t 2;4 + t ) , HA = ( 3; ) Theo tớnh cht ng cao k t A : HA.BC = ( 2t ) + ( + t ) = t = Vy : C(-2;1) - (AB) qua A(4;4) cú vộc t ch phng BA = ( 2;6 ) / / u = (1;3) ( AB ) : x4 y4 = 3x y = - (BC) qua B(2;-2) cú vộc t phỏp tuyn HA = ( 3; ) ( BC ) : ( x ) + ( y + ) = x + y + = Bi Trong mt phng to Oxy cho tam giỏc ABC, cú im A(2; 3), trng tõm G(2; 0) Hai nh B v C ln lt nm trờn hai ng thng d1: x + y + = v d2: x + 2y = Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm C v tip xỳc vi ng thng BG x = t x = 2m , C thuc d' cho nờn C: y = t y = m Hng dn: : - B thuc d suy B : - Theo tớnh cht trng tõm : xG = ( t 2m + ) = 2, yG = mt =0 m t = m = t 2m = t = - Ta cú h : - Vy : B(-1;-4) v C(5;1) ng thng (BG) qua G(2;0) cú vộc t ch phng u = ( 3; ) , cho nờn (BG): 20 15 13 x2 y = x y = d ( C ; BG ) = = =R 5 - Vy ng trũn cú tõm C(5;1) v cú bỏn kớnh R= GV : khanhnguyennhatrang@gmail.com 13 169 2 ( C ) : ( x ) + ( y 1) = 25 Ti liu lu hnh ni b 22 Tel : 0914455164 ễn thi THPT QUC GIA Chuyờn To mt phng Bi Tam giỏc cõn ABC cú ỏy BC nm trờn ng thng : 2x 5y + = 0, cnh bờn AB nm trờn ng thng : 12x y 23 = Vit PT ng thng AC bit rng nú i qua im M(3;1) x y + = 12 x y 23 = Hng dn: - ng (AB) ct (BC) ti B A 12x-y-23=0 Suy : B(2;-1) (AB) cú h s gúc k=12, ng thng (BC) cú h s gúc k'= M(3;1) , ú ta cú : H B tan B = = Gi (AC) cú h s gúc l m thỡ ta + 12 12 2x-5y+1=0 C m 5m cú : tan C = Vỡ tam giỏc ABC cõn ti A cho nờn tanB=tanC, hay ta cú : = 2m + m 1+ 5m = 4m + 10 m = / 5m = 5m = 2 m + + 2m 5m = 4m 10 m = 12 9 - Trng hp : m = ( AC ) : y = ( x 3) + x + y 35 = - Trng hp : m=12 suy (AC): y=12(x-3)+1 hay (AC): 12x-y-25=0 ( loi vỡ nú //AB ) - Vy (AC) : 9x+8y-35=0 Bi 7.Trong mt phng Oxy, hóy xỏc nh ta cỏc nh ca tam giỏc ABC vuụng cõn ti A Bit rng cnh huyn nm trờn ng thng d: x + 7y 31 = 0, im N(7;7) thuc ng thng AC, im M(2;-3) thuc AB v nm ngoi on AB Hng dn: - Gi A ( x0 ; y0 ) MA = ( x0 2; y0 + 3) , NA = ( x0 7; y0 ) - Do A l nh ca tam giỏc vuụng cõn cho nờn AM vuụng gúc vi AN hay ta cú : MA.NA = ( x0 )( x0 ) + ( y0 + 3)( y0 ) = x02 + y02 x0 y0 = 2 - Do ú A nm trờn ng trũn (C) : ( x0 3) + ( y0 ) = 20 - ng trũn (C) ct d ti im B,C cú ta l nghim ca h phng trỡnh : ( x 3)2 + ( y ) = 20 x = 31 y x = 31 y 2 x + y 31 = ( 28 y ) + ( y ) = 20 50 y 396 y + 768 = - Do ú ta tỡm c : y = ca x : x = 198 201 99 201 99 + 201 , tng ng ta tỡm c cỏc giỏ tr = ;y = 50 25 25 82 + 201 99 201 82 201 99 + 201 82 + 201 82 201 Vy : A ;x = ; ; , A 25 25 25 25 25 25 GV : khanhnguyennhatrang@gmail.com Ti liu lu hnh ni b 23 Tel : 0914455164 ễn thi THPT QUC GIA Chuyờn To mt phng Bi Cho tam giỏc ABC cú trung im AB l I(1;3), trung im AC l J(-3;1) im A thuc Oy , v ng thng BC i qua gc ta O Tỡm ta im A , phng trỡnh ng thng BC v ng cao v t B ? Hng dn: - Do A thuc Oy cho nờn A(0;m) (BC) qua gc ta A O cho nờn (BC): ax+by=0 (1) H - Vỡ IJ l trung im ca (AB) v (AC) cho nờn IJ //BC suy (BC) cú vộc t ch phng : J(-3;1) I(1;3) IJ = ( 4; ) / / u = ( 2;1) ( BC ) : x y = B - B thuc (BC) suy B(2t;t) v A(2-2t;6-t) Nhng A ax+by=0 C thuc Oy cho nờn : 2-2t=0 , t=1 v A(0;5) Tng t C(-6;-3) ,B(0;1) - ng cao BH qua B(0;1) v vuụng gúc vi AC cho nờn cú AC = ( 6; ) / / u = ( 3;4 ) ( BH ) : x y = 4x y + = Bi Trong mt phng ta Oxy cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A Bit phng trỡnh cnh BC l ( d ) : x + y 31 = , im N(7; 7) thuc ng thng AC, im M(2; -3) thuc AB v nm ngoi on AB Tỡm ta cỏc nh ca tam giỏc ABC Hng dn: ng thng AB i qua M nờn cú phng trỡnh a ( x ) + b ( y + 3) = ( a + b ) ( AB; BC ) = 450 nờn cos 450 = 3a = 4b Nu 3a = 4b, chn a = 4, b = ta c 50 a + b 4a = 3b a + 7b 2 ( AB ) : x + y + = ( AC ) : 3x y + = T ú A(-1; 1) v B(-4; 5) Kim tra MB = MA nờn M nm ngoi on AB (TM) T ú tỡm c C(3; 4) Nu 4a = -3b, chn a = 3, b = -4 c ( AB ) : x y 18 = , ( AC ) : x + y 49 = T ú A(10; 3) v B(10;3) (loi) LOI : CC BI TON V HèNH BèNH HNH Bi Cho ng trũn (C ) : (x-1)2 + (y+3)2 =9 , A(-1,1); B(2 ,-2) Tỡm trờn (C) im C, D cho t giỏc ABCD l hỡnh bỡnh hnh Hng dn: (C) cú tõm I(1;3) v bỏn kớnh R = D thy A nm ngoi (C) v B nm (C) Ta cú AB = (3;3) AB = CD // AB CD cú vtpt n =(1;1) CD: x y + m = ABCD l hỡnh bỡnh hnh nờn CD = AB = 2 d(I, CD) = 4+m 3 CD R = m+4 = = = 2 GV : khanhnguyennhatrang@gmail.com Ti liu lu hnh ni b 24 Tel : 0914455164 ễn thi THPT QUC GIA Chuyờn To mt phng m = m = CD: x y = hoc x y = Th1: CD: x y = ta C, D l nghim ca h : ( x 1)2 + ( y + 3) = x = x = C(1;0), D(2;3) hoc C(2;3), D(1;0) y = y = x y = Th2: CD: x y = ta C, D l nghim ca h: ( x 1)2 + ( y + 3) = 9 17 19 17 x= ;y = => C; D 4 x y = LOI : CC BI TON V HèNH CH NHT Bi Trong mt phng to Oxy, cho hỡnh ch nht ABCD cú phng trỡnh ng thng AB: x 2y + = 0, phng trỡnh ng thng BD: x 7y + 14 = 0, ng thng AC i qua M(2; 1) Tỡm to cỏc nh ca hỡnh ch nht 21 13 Hng dn: - B l giao ca BD vi AB cho nờn B ; 5 - ng thng (BC) qua B(7;3) v vuụng gúc vi (AB) cho nờn cú vộc t ch phng: u = (1; ) ( BC ) : x = - Ta cú : ( AC , BD ) = 21 13 + t ; y = 2t 5 BIC = ABD = = ( AB, BD ) - (AB) cú n1 = (1; ) , (BD) cú n2 = (1; ) cos = - Gi (AC) cú n = ( a, b ) cos ( AC,BD ) = cos2 = n1 n2 + 14 = 50 n1 n2 = 15 10 = 10 = 2cos = = 10 50 a + b a-7b 2 - Do ú : a 7b = 50 a + b ( a 7b ) = 32 ( a + b ) 31a + 14ab 17b = 17 17 a = b ( AC ) : ( x ) + ( y 1) = 17 x 31 y = - Suy : 31 31 a = b AC : x + y = x + y = ( ) 14 - (AC) ct (BC) ti C => C ; 3 x y + = x = A ( 7;4 ) x y = y = - (AC) ct (AB) ti A : x = + t y = 2t - (AD) vuụng gúc vi (AB) ng thi qua A(7;4) suy (AD) : - (AD) ct (BD) ti D : D ; 15 15 98 46 - Trng hp (AC) : 17x-31y-3=0 lm tng t GV : khanhnguyennhatrang@gmail.com Ti liu lu hnh ni b 25 Tel : 0914455164 ễn thi THPT QUC GIA Chuyờn To mt phng Bi Cho hỡnh ch nht ABCD cú tõm I ( ;0) ng thng AB cú : x 2y + = 0, AB = 2AD v honh im A õm Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh ch nht ú Hng dn: - Do A thuc (AB) suy A(2t-2;t) ( A cú honh õm cho nờn t - Vy t = A ( 2;0 ) , B ( 2; ) , C ( 3;0 ) , D ( 1; ) * Chỳ ý : Ta cũn cú cỏch gii khỏc nhanh hn 0+2 - Tớnh h ( I ; AB ) = , suy AD=2 h(I,AB)= = 2 - Mt khỏc : IA = IH + ( AB ) 2 = IH + ( AD ) = IH + AD = 25 +5= IA=IB = 4 -Do ú A,B l giao ca (C) tõm I bỏn kớnh IA ct (AB) Vy A,B cú ta l nghim ca h : x y + = 2 A ( 2;0 ) , B ( 2;2 ) (Do A cú honh õm x + y = 2 - Theo tớnh cht hỡnh ch nht suy ta ca cỏc nh cũn li : C(3;0) v D(-1;-2) Bi 3.Trong mt phng vi h trc to Oxy cho hỡnh ch nht ABCD, cú din tớch bng 12, tõm I l giao im ca ng thng d1 : x y = v d : x + y = Trung im ca mt cnh l giao im ca d1 vi trc Ox Tỡm to cỏc nh ca hỡnh ch nht x y = I ; Gi M l trung im ca 2 x + y = Hng dn: - Theo gi thit , ta tõm I AD thỡ M cú ta l giao ca : x-y-3=0 vi Ox suy M(3;0) Nhn xột rng : IM // AB v DC , núi mt cỏch khỏc AB v CD nm trờn ng thng // vi d1 ( cú n = (1; 1) x = + t Gi s A ( + t ; t ) (1), thỡ D i y = t -A,D nm trờn ng thng d vuụng gúc vi d1 d : xng vi A qua M suy D(3-t;t) (2) GV : khanhnguyennhatrang@gmail.com Ti liu lu hnh ni b 26 Tel : 0914455164 ễn thi THPT QUC GIA Chuyờn To mt phng - C i xng vi A qua I cho nờn C(6-t;3+t) (3) B i xng vi D qua I suy B( 12+t;3-t).(4) - Gi J l trung im ca BC thỡ J i xng vi M qua I cho nờn J(6;3) Do ú ta cú kt qu l : : MJ = AB = AD = Khong cỏch t A ti d1 : h ( A, d1 ) = S ABCD = 2t S ABCD = 2h ( A, d1 ) MJ t = Thay cỏc giỏ tr ca t vo (1),(2),(3),(4) ta tỡm c cỏc = 12 t = 12 t = 2t t = A ( 3;1) , D ( 4; 1) , C ( 7; ) , B (11;4 ) nh ca hỡnh ch nht : t = A ( 4; 1) , D ( 2;1) , C ( 5;4 ) , B (13;2 ) LOI : CC BI TON V HèNH VUễNG Bi 1.Trong mt phng Oxy , cho hỡnh vuụng cú nh (-4;5) v mt ng chộo cú phng trỡnh : 7x-y+8=0 Vit phng trỡnh chớnh tc cỏc cnh hỡnh vuụng Hng dn: - Gi A(-4;8) thỡ ng chộo (BD): 7x-y+8=0 Gi s B(t;7t+8) thuc (BD) - ng chộo (AC) qua A(-4;8) v vuụng gúc vi (BD) cho nờn cú vộc t ch phng x = + 7t x+4 y u ( 7; 1) ( AC ) : = x + y 39 = Gi I l giao ca (AC) v (BD) thỡ y = t x = + 7t ta ca I l nghim ca h : y = t t = I ; C ( 3;4 ) 2 x y + = - T B(t;7t+8) suy : BA = ( t + 4;7t + 3) , BC = ( t 3;7t + ) l hỡnh vuụng thỡ BA=BC : t = t = V BAvuụng gúc vi BC ( t + )( t 3) + ( 7t + 3)( 7t + ) = 50t + 50t = t = B ( 0;8 ) B ( 0;8 ) D ( 1;1) Tỡm ta ca D i xng vi B qua I t = B ( 1;1) B ( 1;1) D ( 0;8 ) - T ú : (AB) qua A(-4;5) cú u AB = ( 4;3) ( AB ) : (AD) qua A(-4;5) cú u AD = ( 3; ) ( AB ) : x+ y = x (BC) qua B(0;8) cú uBC = ( 3; ) ( BC ) : = (DC) qua D(-1;1) cú uDC = ( 4;3) ( DC ) : x+4 y = y x + y = * Chỳ ý : Ta cũn cỏch gii khỏc - (BD) : y = x + , (AC) cú h s gúc k = GV : khanhnguyennhatrang@gmail.com x 31 v qua A(-4;5) suy (AC): y = + 7 Ti liu lu hnh ni b 27 Tel : 0914455164 ễn thi THPT QUC GIA Chuyờn To mt phng x A + xC = xI y + y = 2y C I A -Gi I l tõm hỡnh vuụng : yI = xI + C ( 3;4 ) y = xC + 31 C 7 - Gi (AD) cú vộc t ch phng u = ( a; b ) , ( BD ) : v = (1;7 ) a + 7b = uv = u v cos450 a + 7b = a + b Chn a=1, suy b = Tng t : ( AB ) : y = y= 3 ( AD ) : y = ( x + ) + = x + 4 4 3 ( x + ) + = x , ( BC ) : y = ( x 3) + = x + v ng thng (DC): 3 4 4 ( x 3) + = x + 3 Bi 2.Vit phng trỡnh cỏc cnh hỡnh vuụng ABCD bit AB,CD,ln lt i qua cỏc im P(2;1) v Q(3;5), cũn BC v AD qua cỏc im R(0;1) v S(-3;-1) Hng dn: (AB) cú dng y=kx+b v (AD) : y=-1/kx+b' Cho AB v AD qua cỏc im tng ng ta cú : 2k+b=1 (1) v Ta cú : h ( Q, AB ) = 3k + b k +1 h ( Q, AB ) = h ( R, AD ) ; h ( R, AD ) = 3k + b = k +1 + k kb ' k2 +1 + k kb ' k2 +1 + b ' = k ( 2) Theo tớnh cht hỡnh vuụng : 3k + b = k kb ' 2k + b = 1 T ú ta cú h : k + kb ' = k = , b = , b ' = 10 , k = 7, b = 15, b ' = 3 3k + b = k kb ' Do ú : AB : x y + = 0, AD : x + y + 10 = 0, CD : x y + 12 = 0, BC : x + y = Hoc : AB : x + y 15 = 0, AD : x y = 0, CD : x + y 26 = 0, BC : x y + = LOI : CC BI TON V HèNH THOI Bi 1.Trong mp vi h trc to Oxy, cho hỡnh thoi ABCD cú cnh bng n v, bit to nh A(1;5), hai nh B; D thuc ng thng (d): x 2y + = Tỡm to cỏc nh cũn li B, D ( d ) ==> B(-2;1); D(6;5) AB = CD = Hng dn: C i xng vi A qua (d) ==> C(3;1) GV : khanhnguyennhatrang@gmail.com Ti liu lu hnh ni b 28 [...]... Khoảng cách từ A tới d1 : h ( A, d1 ) = ⇔ S ABCD = 2 2t 2 ⇒ S ABCD = 2h ( A, d1 ) MJ t = −1 Thay các giá trị của t vào (1),(2),(3),(4) ta tìm được các 3 2 = 12 t = 12 ⇔ 2 t = 1 2t t = −1 → A ( 3;1) , D ( 4; −1) , C ( 7; 2 ) , B (11;4 ) đỉnh của hình chữ nhật : ⇔ t = 1 → A ( 4; −1) , D ( 2;1) , C ( 5;4 ) , B (13;2 ) LOẠI 4 : CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH VUÔNG Bài 1.Trong mặt phẳng Oxy , cho hình vuông... 1)2 + ( y + 3) 2 = 9 9 ± 17 −19 ± 17 ⇔x= ;y = => C; D 4 4 x − y − 7 = 0 LOẠI 3 : CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHỮ NHẬT Bài 1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + 1 = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1) Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật 21 13 Hướng dẫn: - B là giao của BD với AB cho nên ⇒ B ; 5 5... − + y = 2 2 - Theo tính chất hình chữ nhật suy ra tọa độ của các đỉnh còn lại : C(3;0) và D(-1;-2) Bài 3.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD, có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng d1 : x − y − 3 = 0 và d 2 : x + y − 6 = 0 Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật x − y − 3 = 0 9 3 ⇒ I ... 3) và B(10;3) (loại) LOẠI 2 : CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH BÌNH HÀNH Bài 1 Cho đường tròn (C ) : (x-1)2 + (y+3)2 =9 , A(-1,1); B(2 ,-2) Tìm trên (C) 2 điểm C, D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành Hướng dẫn: (C) có tâm I(1;−3) và bán kính R = 3 Dễ thấy A nằm ngoài (C) và B nằm trong (C) Ta có AB = (3;−3) ⇒ AB = 3 2 CD // AB ⇒ CD có vtpt n =(1;−1) ⇒ CD: x − y + m = 0 ABCD là hình bình hành nên CD = AB =... ) : y = ( x − 3) + 4 = x + và đường thẳng (DC): 3 3 3 4 4 4 4 4 ( x − 3) + 4 = − x + 8 3 3 Bài 2.Viết phương trình các cạnh hình vuông ABCD biết AB,CD,lần lượt đi qua các điểm P(2;1) và Q(3;5), còn BC và AD qua các điểm R(0;1) và S(-3;-1) Hướng dẫn: (AB) có dạng y=kx+b và (AD) : y=-1/kx+b' Cho AB và AD qua các điểm tương ứng ta có : 2k+b=1 (1) và Ta có : h ( Q, AB ) = 3k − 5 + b 2 k +1 h ( Q, AB )... Hoặc : AB : 7 x + y − 15 = 0, AD : x − 7 y − 4 = 0, CD : 7 x + y − 26 = 0, BC : x − 7 y + 7 = 0 LOẠI 5 : CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH THOI Bài 1.Trong mp với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 5 đơn vị, biết toạ độ đỉnh A(1;5), hai đỉnh B; D thuộc đường thẳng (d): x – 2y + 4 = 0 Tìm toạ độ các đỉnh còn lại B, D ∈ ( d ) ==> B(-2;1); D(6;5) AB = CD = 5 Hướng dẫn: C đối xứng với A qua (d) ==>... a = 37 ⇔ ⇒ B ( 37;88 ) , C = ( −20; −31) 5a − 2b − 9 = 0 b = 88 - Từ (1) và (2) : ⇒ Bài 4 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm H (1;0) , chân đường cao hạ từ đỉnh B là K (0; 2) , trung điểm cạnh AB là M (3;1) Hướng dẫn: - Theo tính chất đường cao : HK vuông góc với AC cho nên (AC) qua K(0;2) có véc tơ pháp tuyến KH = (1; −2 ) ⇒ ( AC... Tel : 0914455164 Ôn thi THPT QUỐC GIA – Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng 1 2 Bài 2 Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ( ;0) Đường thẳng AB có : x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành ðộ ðiểm A âm Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật đó Hướng dẫn: - Do A thuộc (AB) suy ra A(2t-2;t) ( do A có hoành độ âm cho nên t ... AB, AC, ng cao AH : x + y = Tỡm ta cỏc nh ca ABC bit B cú honh dng Bi 2.2 Cho ABC cõn ti A v cỏc nh B, C thuc ng thng 2x +y = ng cao k t B cú PT : x + y + = v im M(1;1) thuc ng cao k t C Tỡm... Bi 3.1.Trong (Oxy) cho tam giỏc ABC, bit ba chõn ng cao tng ng vi nh A,B,C l A'(1;1),B'(-2;3),C'(2;4) Vit PT cnh BC Bi 3.2 Xác định toạ độ đỉnh tam giác nhọn ABC biết chân đờng cao lần lợt hạ... mt phng vi h to Oxy, hóy vit phng trỡnh cỏc cnh ca tam giỏc ABC bit trc tõm H (1;0) , chõn ng cao h t nh B l K (0; 2) , trung im cnh AB l M (3;1) Hng dn: - Theo tớnh cht ng cao : HK vuụng gúc