Tài liệu PTHệ PT Nguyễn Thế Duy

Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com - https://www.facebook.com/starfc.manunited 1  x  x  10    x   x2  x  1  x 1  x 4  x  6 PHÂN TÍCH CASIO Điều kiện:  Bài toán có hình thức tương đối phức tạp, ta chưa định  x  1 hướng giải theo hướng ta cần xét xem nghiệm toán tính chất nghiệm Với máy tính CASIO sử dụng chức TABLE ( Mode ) ta khảo sát đồ thị phương trình cho để tìm miền nghiệm Như sau: Ví dụ Giải phương trình 1  X  X  10    Nhập hàm số F  X   X  2X 1 1  X 1  X  Với điều kiện  x  6 , ta nhập giá trị sau: Start  4; End  6; Step  0.5 có X F(X) X F(X) bảng giá trị sau: -6 0.6937 -1 ERROR -5.5 0.1978 -0.5 -31.71 -5 0 -7.701 -4.5 -0.21 0.5 -3.24 -4 -0.489 -1.662 -3.5 -0.914 1.5 -0.914 -3 -1.662 -0.489 -2.5 -3.24 2.5 -0.21 -2 -7.701 -1.5 -31.71 3.5 -0.1978 … … 0.6937 Và đồ thị hàm số sau: Dựa vào bảng giá trị đồ thị minh họa, ta đưa nhận xét sau:  Phương trình cho có hai nghiệm x  3; x  5  Đồ thị có dấu hiệu đối xứng, xét khoảng  6; 1 phương trình có nghiệm x  5 hàm số lúc hàm số nghịch biến ( xuống ), tương tự xét khoảng  1; 4 phương trình có nghiệm x  hàm số lúc hàm số đồng biến ( lên )  Đồ thị dấu hiệu Parabol tiếp xúc trục hoành nên hai nghiệm x  3; x  5 nghiệm đơn chúng Và từ đó, ta tư lời giải sau: Nhận thấy phương trình có chứa ba thức, ta nghĩ đến giải pháp nhân liên hợp trước, nhiên để nhân liên hợp ta cần tìm biểu thức liên hợp chúng, ta xét thức:  Với  x , đặt  x  ax  b , x  3; x  5 hai nghiệm phương trình ta có hệ 3a  b  phương trình   a  ; b  Do biểu thức liên hợp x    x , nhiên ta 4 b  5a  thấy  x lại xuất mẫu số nên ta có x  13   x    Hay nói x  13   x   khác biểu thức liên hợp       x x  13      Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com - https://www.facebook.com/starfc.manunited  Với    x , tương tự trên, ta có 4  x   x      x  11  x   Với x  x  10 , ta thấy lượng liên hợp     x  x  10  Do đó, phương trình cho viết lại thành:  12  x  x  10     4         x2  2x     x x  13    x  11  x  x  13 11  x  x74 6 x 1  7 x4 4 x    x  13  6 x   x  11  x    x  x  10  x  2x    108  x  3 x  5  x  1311  x  x  1 0   x  3 x  5 f  x   rõ ràng chứng minh f  x   vô nghiệm với điều kiện toán Tuy nhiên biểu thức f  x  ta cồng kềnh ta gặp nhiều khó khăn việc đánh giá vô nghiệm Chính hướng liên hợp đến hoàn toàn không khả thi Ta chuyển sang hướng tư ẩn phụ ẩn phụ ? Nhưng trước hết, với nghiệm tìm được, ta thấy:   x   Với x   x  x  10  nên x  x  10   x   x    x    x   Với x  5  x  x  10  nên x  x  10   x   x    x  Điều đặc biệt với hai nghiệm tìm tổng  x   x không đổi có mối liên hệ quan trọng x  x  10    x   x Và để ý vế phải phương trình cho, ta   2  x  x  10  x  x  10 thấy xuất Vậy với dự đoán trên, ta cần đưa vế trái  x2  2x  x  x  10     11  x   x dạng VT  1  6 x  4x   Do đó, ta biến đổi vế trái phương trình cho sau: 9 1 2 6 x  4 x 2 6 x  4 x    1  x 1  x   x   x    x   x  1  x 1  x  Chú ý  6 x  4 x 22   10   6 x  4 x 2  6 x  4 x   1  x 1       x   x  nên suy ra:   x   x   10    x   x     1    x   x    x 1   x   x    2     x   x 1    x   x 1   x   x 1  a    x   x Đặt  , phương trình cho tương đương với b  x  x  10 Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com - https://www.facebook.com/starfc.manunited a 1 b 1    a  1  b     b  1  a    ab  9a  b  ba  9b  a 2 a 9 b 9   a  b  a  b    a  b   ab  a  b     a  b  a  b  ab     a  b Chú ý: a  b  ab   vô nghiệm a, b  Tuy nhiên ta xét hàm số f  t   t 1 với t  t2  x  x  10    x   x Và ta kết dự đoán, với phương trình   Với biểu thức liên hợp tìm được, ta có: x  x  10    x  4  x 4        x  x  10   x    x   x  4  x   x  x  15 x  x  10   x  x  15 x  x  15  0 x94 6 x 7 x4 4 x   1   x  x  15     0 x    x  x  4  x x  x  10    x  1    0; x   6; 4  x  x  15    x  x  10  x    x  x  4  x  x  3 Nhưng với phương trình   , ta giải sau:     x  1   1  6 x  4 x    10   x  1  1  x   x   x   x    10  25   x  1 2 Đặt t   x  1 , ta có t    10  25  t  t  16 , g  t   t    10  25  t hàm số đồng biến Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  3; x  5  x  2y  y   x 1   y 1 2x  Ví dụ Giải hệ phương trình   3  x   x  y     y    y  y  x   Lời giải Điều kiện: x  1; y  1 TƯ DUY CASIO Xét phương trình thứ hai hệ, ta có  x   x  y      y  2  x, y     3y 2 y  x  Với y  ta phương trình:  x   x  3  3x  14 , từ dùng máy tính CASIO với chức SHIFT SOLVE ta x  2  Với y  100 ta phương trình:  x   x  96   1023  300  200  x   , từ dùng máy tính CASIO với chức SHIFT SOLVE ta x  97 Với hai cặp nghiệm tìm ta có nhân tử y  x  đồng thời xét vế trái phương trình hai hệ có xuất x  nên ta chuyển  x    y   nhân tử cần tìm Mặt khác  y  2  3y 2 y  x   y  3xy  12 y   y3  y  x    Nên đặt t  x  phương trình hai hệ trở thành: t  ty  y  3ty    Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com - https://www.facebook.com/starfc.manunited Với nhân tử t  y  thay vào y  3ty  ta có y  3ty    y  1  y  3ty   y   t Do lượng liên hợp với bậc ba t Vậy nên ta được:     t  ty  t    t  y  3ty     t  t  y  1  t  y  3ty  t  t y  3ty   Chú ý a  b3  c3  3abc   a  b  c   a  b  c  ab  bc  ca   3  3 y  3ty   0 2  a  b  c   a  b    b  c    c  a   2 2  t  y  1  t  y    y  1  1  t   , hay nói cách khác: 2 2  t  y  1  t  y    y  1  1  t   0    2t  t  y  1  t  t y  3ty   y  3ty  Do t    y    1  3ty      2 t  y    y  1  1  t       t  y  1  2t    t  y 1 2 t  t y  3ty   y  3ty      Với t  y   x   y   y  x  vào phương trình hệ, ta có:   x  2x  x  x     2x  4 x  x    x  4 x  x  x4 2x       x2  4x   2x  4 2x   x2  4x   x  4 x   x2   x  4 x    x  4 2x    x  1  x2  2x    x  4 x   2x    x  4 2x    x  1   x  1 x   x    x  1 x   x   3 x  3 i  Xét hàm số f  t   t  t  3t với t  , có f '  t   4t  3t   0; t  Nên suy f  t  hàm số đồng biến  0;   , thu được: i   f   x 1  f   x   y  x   2x   x   2x     x  1  y    x  13   x  1  2   Chú ý Khi giải phương trình x  2x  x  x   , bạn thử tư theo hướng Ví dụ x4 2x  đưa thành công       Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm  x; y    0;3 ,  ;      Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com - https://www.facebook.com/starfc.manunited  y   y    x  x Câu Giải hệ phương trình   x  y  3x  y   x  x  xy  Lời giải: Điều kiện:  x  0; y   x, y        Phương trình thứ hai hệ tương đương với: x3  x  xy  x   x  y  x  x  y    x  x   y  x  2   4x  y x   4x  y  x  x2   y    x  3x  y  x  3x  y  0 x2   y x2   y  0 x   x  y x  3x  y      1     y  x2    x   y x    x   x  y x  3x  y      f  x 0; x , y 0   2 Thế y  x  vào phương trình hệ, ta được: x   x   x  x  x  x    x  x       x  3x   x    x  x   x   x  x  2  3x   3 x x2 3 x  x  1  x x 1 x 0 x  3x  x  3x  1       x  3x  1 1   0 x    x x 1 x x    x x 1 x   3  x  3 15  1  x y    0; x   0;3 2 x    x x 1 x  x  3x    x  3x     15   Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    ;     x  3 x   x  y    y   y  Câu Giải hệ phương trình   x, y    x  y   y  x   x       Lời giải: Điều kiện: x, y  1 Phương trình hệ tương đương với:  x  3 x    y  3 y   x  y   y     x  3    x 1  y 1   x  y y 1   x  y  x  3 x 1  y 1   x  y y 1    x  3y   y 1  x y 0 x  3y   y    x3   x  y   y 1  0 x y  x 1  y 1 x  y   y    Thế x  y vào phương trình thứ hai hệ, ta được:  x  3 x    x   x   x  Đặt t  x    x   t  x   2t    Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com - https://www.facebook.com/starfc.manunited Đồng thời x    x   x    x  3   x    x  2 x   x    x    x  3  x    x   x   x     x 1 1   x   1  1  x   1   x   1 x     x   1  1  x   1     x  3 x   Nên   trở thành: 2x      2 Xét hàm số f  t    t  1 t với t  , có f '  t   3t  2t   nên f  t  hàm số đồng biến  2;   ta thu f   2x   f   x  1 x    2x   x       x; y    1; 1 ,  3;3 x    x  y2  x  y2   y   Câu Giải hệ phương trình  x  x, y    2   x  x   y   y   Lời giải: Điều kiện:  x;  y Nhận xét y  1 không nghiệm hệ phương trình Với y  1 , phương trình hệ tương đương với: x  y2  x  y2  x  y2  x  y2   x  y2  x  y2   y2  x  y2  x  y2   y2   y 1 y 1  x  y  x  y   y  y  y    x  y2  y    2 x  y  y x   y   x  y  x  y   y  5x2 Với x   y  vào phương trình thứ hai hệ, ta được:   x  x  1 x  1 x  x  4  x  x   x   x  x  x   4  x  1  x     x  Chú ý: xét đến hàm số f  t   t    t để suy f   x   f   x    x   x    x      x    x2  4    x2   x   x2  x   y  2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    0;   x  x  4y  x  4y  x   Câu Giải hệ phương trình   y  16 x  34  y    x Lời giải: 2 Điều kiện: x  2; x  y  0; y  1; y  34  16 x a  x Đặt  b  x  y  x, y     a, b    x  y  b , phương trình hệ phương trình trở thành: 6  a  2b  a  2b  8a  b   8a  b   a  2b   2 8a  b    a  2b  Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com - https://www.facebook.com/starfc.manunited 6  a  2b  6  a  2b  6  a  2b       a  b  2 a  3b  4ab  20a  24b  36   a  b   a  3b  18     a  3b  18  18  a  18  a  Với b  thay vào điều kiện  a  2b  ta  a      a  18  vô lý   Với b   a thay vào điều kiện  a  2b  ta  a    a    a     6  a  2b  6  a  2b   x   x  Do từ   ta suy      x  y   x  x  y   x b   a  x  y   x Thế vào phương trình hai thứ hai hệ ta được: y  16 y  18  y   y  Sử dụng máy tính CASIO ta thu nghiệm y  1; y  1.335785242 Do ta tìm liên hợp với hai nghiệm hữu tỷ cho thức trước: y 1 a  b  a  2 y  16 y  18  ay  b     y  1  b  a  b  Nên suy  y  16 y  18  y   y   y  16 y  18   y    y     y2  0 y  1    y  16 y  18  y    y2    y  16 y  18  y   y   TH1 Với y 1 x  y   suy y  1 , đối chiếu điều kiện ta   y  2  x  TH2 Với y  16 y  18  y   y   , ta hệ phương trình:  y  16 y  18  y   y  32  57 39  57  y2   y   y   x  2 7  y  16 y  18  y   y   Vậy hệ phương trình cho có nghiệm kể  y   x  y  17  x  Câu Giải hệ phương trình   x, y    2 x  x  x  y   x  y  x       Lời giải: Điều kiện: x  y   0; x  Đặt t  x  y    y  x   t Lúc phương trình hai hệ viết lại thành:  2x  x   t  x   x   t    x    2t   x  x   t   x  x  10       t  3  x  x  t  10     t  3 x  x  x  y   10   t   x  y    y  x  Thế vào phương trình hệ, ta được: Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com - https://www.facebook.com/starfc.manunited pt  x   x  x   x   x   x   x  3x   2   x    5x   x  1   23 x    x9    x  1    23 x    Vì  23 x    x9        x     x  x  5   x  1 x  5x   x9    x  1 x  5   5x  1   x   0; x    x   y  5 5 5x    5x   x  với x  5x   Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y   1; 5    x  y   y  y  x  1   Câu Giải hệ phương trình   x, y    2   y  x    x  1 y  Lời giải: Điều kiện: x  ; y  a  x   Đặt   a  b   x   y   x  y nên phương trình hệ tương đương với: b  y  2 pt   a  b  1   b  ab     a  b    a  b     b2  ab   2 2   a  b    a  2ab  b     a  b   a  b    a  b   2   a  b   a  b      a  b  x   y   Phương trình thứ hai hệ biến đổi thành:   2b2  a   2b  2a  1   Với a  b ta có được: 4a  a  4a   a  2a    2a  1 2a  3  2a    a  1  a   a     0 2 4a  a   a2   4a     2a   a    2a  1   x  y 0  4a  a   a    2a  5a    2a  3 a  Xét phương trình 2a  5a    2a  3 a  với a   2a  5a    a        2a  a   4a  2a   a     2 Ta có 2a  5a    2a  3 a    2a  5a  3   2a  3  a    32a  20a  54a   Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com - https://www.facebook.com/starfc.manunited nên f  a  hàm số đồng biến Có f  a   32a  20a  54a  suy f '  a   96a  40a  54  0; a  3  3  ;   f  a   f    153  hay phương trình 2a  5a    2a  3 a  vô nghiệm 2  2 5 1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    ;  8 4  xy  x  y 2  x  y   2x  y Câu Giải hệ phương trình   x  1 y   y x    3x   x, y    Lời giải: Điều kiện: x  1; y  2 Ta có:  x  y    x  y  xy  x  y   x  y   x  y  x  y Khi phương trình hệ tương đương với: xy  x  y 2  x  y  x  y  xy  x  y   x  y   x  y   x  y    x  y x  y 1 Với xuống phương trình thứ hai hệ, ta được:  x  1 x   x x    3x   x    x    x   1 x   x       x3 3  x 3  4 x3 2      x3 4 x3  x 1  x 1     x   x   3x     x  1    x  1   x 1  x 1 Xét hàm số f  t   t  t với t  có f '  t   3t   0; t  suy f  t  hàm số liên tục đồng biến  0;   nên thu f   x  1  f   x 1  x  1  x 1  x    x  13 13 y 4  13 13  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    ;  4 4   x2  y2  y  x y  x  x2 Câu Giải hệ phương trình   y  3 5 x  y  x   x  13x  Lời giải: Điều kiện: x, y   Ta có: x  x, y    x 1  x   y 1  y   x2  y2  y  x  y   x  y  x3  y3  x  y   x  y  2 2 1 y 1 x 1  x 1  y  x  y    x  y   x  xy  y  1   x  y  1  x 1  y    2  x  xy  y   Đối với phương trình   , sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta được: 2 1  x 1  y  2 1  x 1  y  2   Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com - https://www.facebook.com/starfc.manunited  x2   y 2  x  xy  y    x  y    x  y Do đó, từ phương trình hệ suy được:  x  y  x  y    x  y 1  x2 1  y   x  xy  y   Thế xuống phương trình thứ hai hệ, thu được: x3  3x  y   x  13x   x3  3x  x   x3  3x  x   x  3x  x    x3  3x  x    5  x3  3x  x    x  1   x  1 i  Xét hàm số f  t   t  5t với t   có f '  t   3t   0; t   suy f  t  hàm số liên tục đồng biến  nên từ phương trình  i   f   x  x  x   f  x  1  x3  3x  x   x  x  y  y  x 3   x  8x      x  3  x     x   y  3  y  x  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm kể  y  y  x   y  1 y   x   Câu Giải hệ phương trình   y   x  1 x  x   x  x Lời giải: Điều kiện: y  0; y  x Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho phương trình hệ, ta có:  2 y  y  2x   y  y  x Dấu đẳng thức xảy y    x, y      y  1 y   x   y  y  x   y  2x  y  1 y   x  y  y  2x   y  y  2x  2  y  xy  x  x    y  x   x   y  x  x   Thế xuống phương trình thứ hai hệ, ta được: x  x  2    x  1 x2  2x   x2  4x  x   x x    x  1 x  x   x  x  x   x x    x  1 x  x    x    x  1 x  x   x x   x  x    x  1  x  1 Xét hàm số f  t   t  t t  với t   , có f '  t    t   2    x  x t2 t2  2 2 i   0; t   suy f  t  hàm số liên tục đồng biến  nên từ  i  thu f  x  1  f   x   x    x  x     Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y     ;1   x  y  Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com - https://www.facebook.com/starfc.manunited 3 y  x  y   x  y  x   y  Câu 10 Giải hệ phương trình  4 y  y 8  xy   x  Lời giải: 2 Điều kiện: x  y  0;5 y  x    x2 5 y  x2   Sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số không âm ta có: Và y  x  y   y  xy  y 2   x, y     y  xy  y  x  y  x y  3x  2  3xy , ta phải có: y  3x 2  y  xy  y  x  3x  xy  y    x  y    x  y Vậy phương trình đầu hệ tương đương với: x  y  , xuống phương trình hai hệ ta được: y  3xy   x2   x2        x  x   x2   x2  x2   x2    4 x  x       x  x  x   x2  4 x  x  4 x  x   x  0     1  x x  2      x  x 1 x   1    f  x  f   x x  x  x Xét hàm số f  t  , có f '  t     t  với f  t   t  t  t ; t  i  t2  0; t  suy f  t  hàm số liên tục đồng biến 1 t2    0;   nên từ phương trình  i   f  x   f    x   x x   x3   x   y  x  x Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y     4;  Câu 11 Giải phương trình  x   x     x   x   Lời giải: 1 Điều kiện:   x  3  1 Trước hết, ta chứng minh:  x    x , với x    ;   3 Thật vậy, ta có:  x    x   x    x  1  x     x   x   2x   2x    2x   2x       x   (luôn đúng) Khi phương trình cho trở thành:       x2   x   x    4x2   x2   4x2  x2   x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com - https://www.facebook.com/starfc.manunited Câu 12 Giải phương trình    x 1    1 15 x    x  15 Lời giải:   x   Điều kiện: x  Đặt t  x  , phương trình cho trở thành: t  15  15t   t 1   Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:  t  3  3t  1 1 t 3 3t       2 2 t  15 15t   t  3 t  15  3t  1 15t   t  3  t  15  3t  1  15t  Khi phương trình   tương đương với:  t  3  3t  1 t3 3t       t    t  x 1   2 2 t   t  3  t  15  3t  1  15t  t  3t  12 12t  3t  Vậy phương trình cho có nghiệm x  Câu 13 Giải phương trình x  x    x    x  3x  x 3x  x  3x  Lời giải: x   x  3x  Điều kiện:     x  x     12 Phương trình cho tương đương với: x  x  12   x  3x  x 3x   x  3x    12  x  3x  x  3x   x  x 3x   3x     x  x  14    x  3x   2    x  3x   x  3x     x  3x      x  x             t  f 1  , có đạo hàm: t2 t  3 ' t    ; f ' t      t  suy f  t   f 1  t  2 t   t   t   3   x  3x    nên phương trình   trở thành: x2  3x   Đặt t  x  x  , xét hàm số f  t   f  Do      x  3x   x  x  Vậy phương trình cho có nghiệm x    x  3x    x   13  13 Câu 14 Giải bất phương trình x   x  x     x 1  1  x   Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com - https://www.facebook.com/starfc.manunited Lời giải x  1 Điều kiện:   x    Đặt t  x   , bất phương trình cho trở thành: t  t     t  1 2 4t  t  14 4t  t  14  0 2t   t  2 t   t       2t   t   t   t    t    1   4t  t  14    0   2t   t  2 t   t   4t  t  14  t  x    t   x 1     x  3  t   4t    Vậy nghiệm bất phương trình cho x  1;     ; 3 Câu 15 Giải bất phương trình x  x    x  1 x   3x  x   x   Lời giải: Điều kiện: x  Bất phương trình cho tương đương với: x  16 x    x  1 x   3x  x   x  x   x  x    x  1 x    x  1  x  x    x2  x   x   2 x    3x  x  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 3x  x     2x    x    3x  1 x  1   3x   x  1  x  2x  1 Khi bất phương trình    x  x   x   2 x   x2    x  1  x   2 x     3x  x   x  0  x   0  x 1  x   2 x  Vậy nghiệm bất phương trình cho x  4 x   Câu 16 Giải bất phương trình  x  1   x     x 2x   Lời giải: Điều kiện:   x  Bất phương trình cho tương đương với:  x   x x x  7x    x  1 x           x  1 x    3x        x x 2 x  x   x Đặt a  x   0; b     , bất phương trình trở thành: x 2 2a3   3a  b  b  2a  3a 2b  b3    2a  b  a  b    a  b Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com - https://www.facebook.com/starfc.manunited 1  x   x   x 1  1    x  x2 x  x  1    x  Vậy nghiệm bất phương trình cho x   x   Câu 17 Giải bất phương trình x x    x    x  x   x  Lời giải: Điều kiện: 1  x  Bất phương trình cho tương đương với: x  x   x   x     x   x   x   x    x   x   x   x  x   x  x   x     x   x  x        x  1 x   1 x  x   1 x  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:  1 x  x 1   1  12  1  x  x  1    1 x  x 1    1 x  x 1   x   1 x  x 1  x  Khi đó, bất phương trình   trở thành:        x  1  x  1 x  x   x    1   Vậy nghiệm bất phương trình cho x   ;   0    Câu 18 Giải bất phương trình x  x    x  3 x   x   x    x   Lời giải: Điều kiện: x  a  x  Đặt   a, b    a 2b2   x  3 x  1  x  x  , bất phương trình cho trở thành: b  x  a 2b2  4a   4a 2b  5a   b   a  b  4b    5a  b       a  b     5a  b       a  b      a  b    1        a b  2    x   2x     x     x  1  x   x  1  x  5x      2x     x  1      x 1 x32 2x2  5x   2 x2  5x     x32 Vậy nghiệm bất phương trình cho x    Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com - https://www.facebook.com/starfc.manunited x2  x   x2 x3 2 x   tập số thực x 3  Lời giải  Câu 19 Giải phương trình  Điều kiện: x  , Ta có: x    x         x  1 x  1  x  1  x3 x  1 Khi phương trình cho tương đương với  x  3 x     x  3  x  x3 2 x 3     x   x   x x 3   x   x  1 x  1  Giải phương trình   ta có: x  x    x   x      x     nên suy x      x   4 x     2 x   4 x      x   4  x          x                   x2  x2     x    1     x   1 x 3    1 x   Xét hàm số f  t   t  t  4t , có f '  t   3t  2t   0; t   nên f  t  hàm số đồng biến liên tục  mà f     x   f  x  suy x   1 x   x   1 x   x   x    x  Vậy phương trình ban đầu có nghiệm x     Câu 20 Giải phương trình x  x  x  x   x  x   tập số thực Lời giải Điều kiện: x   , ta có x  x    x  x  1  x     x  1  x   nên phương trình cho 2   trở thành x  x  x  x    x  1       2x       Đặt y  x  suy    x  x  x  y  y  y     x  1 y  y  y   x  x   x x  y  y  y 1   x 1 x2  x  x 1  ( x  1 không nghiệm phương trình ) x x  x    1 TH1 Với x    x  1 ,     y  y  y     x 1 x 1  x 1 Xét hàm số f  a   a  a  a  , có f 'a   2a  a2  a   2a    2a  1 a2  a  3  2a   a  a2  a   2a    2a  1 a2  a   x  Do f  a  hàm số đồng biến liên tục  mà f  y   f   suy  x 1  0; a   Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com - https://www.facebook.com/starfc.manunited  1  x  y  x  1  x    x  1 x  1  x   x  x      1  x   1  Đối chiếu với điều kiện x  1 suy x  nghiệm phương trình TH2 Với x    x  1 , lập luận tương tự TH1 1  Vậy phương trình ban đầu có nghiệm x  4 x  x  y  y   Câu 21 Giải hệ phương trình   x  x  x  y   x  y  Lời giải x  y ; x , y   Điều kiện: Phương trình thứ hai hệ viết lại thành  x  x  x  y  x  y  x3  x  x    x, y       x  1 x  y   x  1 x  y  x  y   x  1  x  1     x  y x   x  y   x  1 x   x  y    x  y  x  1; x    2x   4x  y   4 x  y     x  y  x   Thế vào phương trình thứ hệ, ta  ( thỏa mãn điều kiện ban đầu ) y   x  y  x    Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    0; 1 Đ/s:  x; y    0; 1 2 y  x   y  x  1  y  x Câu 22 Giải hệ phương trình   y   x   x  y  x  y  Lời giải Điều kiện: x  1; y  x;  y   x, y    Phương trình thứ hệ viết lại thành y  x   y  x  1  y  x   x  y   y  x  1  y  3x  y  x      y  x 1    y  x 1   y  x  y  x   nên phương trình      y  x 1  y  x  Thế xuống phương trình thứ hai hệ, ta Vì  y  x 1   0;     Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com - https://www.facebook.com/starfc.manunited  x  3 a  x  Đặt  b   x x   x  x  x   1    a, b     x  x 1       x   1  x  x   x    nên phương trình trở thành  x   y  a  1  b2  a   a 1 b  a  b2   a  1 b  1 a  b    b    x   y    a  b x   y   2 3 5 Vậy hệ phương trình cho có ba nghiệm  x; y    0;1 ;  x; y    3;  ;  x; y    ;  2 2 3 5 Đ/s:  x; y    0;1 ;  x; y    3;  ;  x; y    ;  2 2  x3  x   y  1    y  12 x  x3 Câu 23 Giải hệ phương trình  3 2 5 x  y  3x   x y  x  y  y  x, y    Lời giải Điều kiện: x, y   Phương trình thứ hai hệ tương đương với x  x y  x  x  3x  y  y  y   x  x  y  1  x3  3x   y  1  y   x  x  b   x3  x  b3  b i  với b  y  Xét hàm số f  t   t  t ; t   , có f '  t   3t   0; t   nên f  t  hàm số đồng biến   Với x  b từ  i  suy f  b   f  x    f  b   f  x   b  x  b  x  Với x  b từ  i  suy f  b   f  x    f  b   f  x   b  x  b  x Với b  x  y   x vào phương trình thứ hệ, ta x3  x  x   x x  x3 Nhận xét x  không nghiệm phương trình   nên ta có     4 16 10    1      23 1 x x x x x x x x 12 10 4 2  2             1    1     x x x x x x x  x  x Dễ thấy f  a   a  2a hàm số tăng  nên thu x   y  3    x  4x  x   x   y   x2 3  2 1 Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm  x; y    2;1 ;  x; y    ;    3   2  f   1  f       x x   x    Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com - https://www.facebook.com/starfc.manunited 2 1 Đ/s:  x; y    2;1 ;  x; y    ;    3 2 xy   x  y  x  y  3x  x  Câu 24 Giải hệ phương trình  2 y x  y  x  x  x  x  Lời giải 2 Điều kiện: x  y  0; x  x     x, y    Phương trình thứ hệ cho   x  y    x  y  x  y  x  y  x  x    x y x y    y  x  y2  x   y x  y  x  3x    x  1     y  x  y   3x  y x  y  x  x    Với y x  y  x  x  xuống phương trình hai hệ, ta có   y 1 3 x  3x   x  x  x  x   x  x  x  x   x      y    2 Với y x  y  x  x  xuống phương trình hai hệ, ta có x  x   x3  x  x  x   x  x   x  x  ( phương trình vô nghiệm )     Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm  x; y    3;1   ;  x; y    3;1   2 2       Đ/s:  x; y    3;1   ;  x; y    3;1   2 2      x    x  1 y  y   Câu 25 Giải hệ phương trình  y    y x2   1 x 1  Lời giải Điều kiện: x  1; y   Nhận thấy x  y  nghiệm hệ phương trình Với x, y  , phương trình thứ hai hệ tương đương với  1  x 1    y 1 1    2y 1 1   2y 1 1  x, y    x2    x   Mặt khác, phương trình thứ hệ viết lại thành   2y 1 1 x2  i  Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com - https://www.facebook.com/starfc.manunited   2 x    x  1 y  2 y    2x2   2y  2y 1 x2  2 x2  2x2   2x2     y   2 y     2y 1 2y 1 1 x2  x2    2x2        x      2 y     2x2     2y 1 1 x2   ii   x  1; x   x 1 Từ  i  ;  ii  suy  x    x   x   x    2 x  x   Thay x   ngược lại biểu thức  x     2y 1 1 x  ta tìm y  y1 ; y  y2   Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm  x; y   1  ; y1  ;       Đ/s:  x; y   1  ; y1  ; 1  ; y2        ; y2  1    Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com - https://www.facebook.com/starfc.manunited “ CHÚC TẤT CẢ MỘT NĂM MỚI AN LÀNH – SỨC KHỎE – HẠNH PHÚC “ [...]... (luôn đúng) Khi đó phương trình đã cho trở thành:     2 1  1  9 x2  1  2 x  1  2 x  2 1  1  4x2  1  9 x2  1  4x2  x2  0  x  0 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x  0 Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com - https://www.facebook.com/starfc.manunited Câu 12 Giải phương trình  1  1  x 1    1 15 x  1   x  15 Lời giải:   x   Điều kiện: x  0... x  0 , xét hàm số f  t   f  Do đó 2    2   x 2  3x  1  x  3 x  1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x   2  x 2  3x  1  0  x  3  13 2 3  13 2 Câu 14 Giải bất phương trình x  1  x 2  2 x  2  3   x 1  2 1  x   Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com - https://www.facebook.com/starfc.manunited Lời giải x  3 1 Điều kiện:   x   3 ... 0; a   Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com - https://www.facebook.com/starfc.manunited  1  3 x  2 y  x  1  x  0   2 x  1 x  1  x  0  2 x 2  2 x  1  0    1  3 x   2 1  3 Đối chiếu với điều kiện x  1 suy ra x  là một nghiệm của phương trình 2 TH2 Với x  1  0  x  1 , lập luận tương tự TH1 1  3 Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất là... 3 y  3x  6 y  x  3  0    2 y  x 1  3   2 y  x 1  0  y  x  1 2 y  x  1  0 nên phương trình      y  x 1  y  x  1 Thế xuống phương trình thứ hai trong hệ, ta được Vì  y  x 1  2  0;     Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com - https://www.facebook.com/starfc.manunited  x  3 a  x  1 Đặt  b  4  x x  1  x 4  x  2 x  3  1   ...  7  x  1  2 x 2  5x  3  2  0   2 2x  7  0   x  1     0  x 1 x32 2x2  5x  3  2 2 x2  5x  3  2   x32 Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x  1   Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com - https://www.facebook.com/starfc.manunited x2  x  6  x2 x3 2 x  2  1 trên tập số thực x 3  2 Lời giải  Câu 19 Giải phương trình  Điều kiện: x  3.. .Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com - https://www.facebook.com/starfc.manunited 3 y 3  2 x  y   x 2  5 y 2  4 x 2   4 y 2  Câu 10 Giải hệ phương trình  4 y  y 8  xy 1  1  x 2  Lời... 2 x 2 x 2  2 x   2 x Đặt a  x  1  0; b  1    0 , khi đó bất phương trình trên trở thành: x 2 2 2a3   3a 2  b 2  b  2a 3  3a 2b  b3  0   2a  b  a  b   0  a  b Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com - https://www.facebook.com/starfc.manunited 1  x  1  5 2 x   x 1  1    2 x  x2 2 x 2  x  1  1   x 2  Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho... x  2  y   1 x2 3 3  2 1 Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là  x; y    2;1 ;  x; y    ;    3 3  4  2 2  f   1  f  3 2  1    1  x x   x    Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com - https://www.facebook.com/starfc.manunited 2 1 Đ/s:  x; y    2;1 ;  x; y    ;    3 3 2 xy  2  x  y  x  y 2  3x 2  5 x  1 Câu 24 Giải hệ... với  1  2 x 1    2 y 1 1    2y 1 1   2y 1 1  x, y    x2  1  1  2 x  1  Mặt khác, phương trình thứ nhất trong hệ được viết lại thành   2y 1 1 x2  1 i  Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com - https://www.facebook.com/starfc.manunited   2 2 x 2  1   x 2  1 2 y  2 2 y  1   2 2x2  1  2y  2 2y 1 x2  1 2 2 x2  1 2x2  1  2 2x2  1  1...  y1 ; y  y2  5  Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là  x; y   1  ; y1  ; 2     5   5 Đ/s:  x; y   1  ; y1  ; 1  ; y2  2   2     5 ; y2  1  2   Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com - https://www.facebook.com/starfc.manunited “ CHÚC TẤT CẢ MỘT NĂM MỚI AN LÀNH – SỨC KHỎE – HẠNH PHÚC “ ...   t   x  y    y  x  Thế vào phương trình hệ, ta được: Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com - https://www.facebook.com/starfc.manunited pt  x   x  x   x   x ... 1 x  y   y    Thế x  y vào phương trình thứ hai hệ, ta được:  x  3 x    x   x   x  Đặt t  x    x   t  x   2t    Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com... nên phương trình      y  x 1  y  x  Thế xuống phương trình thứ hai hệ, ta Vì  y  x 1   0;     Nguyễn Thế Duy – Ntd1995 – duynguyenthe1995@gmail.com - https://www.facebook.com/starfc.manunited