CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI VÀO ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Tập 1 đại số CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI VÀO ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Tập 1 đại số CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI VÀO ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Tập 1 đại số CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI VÀO ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Tập 1 đại số CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI VÀO ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Tập 1 đại số CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI VÀO ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Tập 1 đại số
Trang 1TRAN VAN HAO (Chu biộn) NGUYEN CAM =
NGUYEN MONG HY CH UYấN DE
Trang 2; TRẤN VĂN HẠO (Chủ biờn)
NGUYEN CAM - NGUYEN MỘNG HY - TRẤN ĐỨC HUYỆN _
CAM DUY LE - NGUYEN SINH NGUYấN - NGUYấN VŨ THANH
CHUYEN BE LUYEN THI VAO BAI HOC DAI SO
BIEN SOAN THEO CHUONG TRINH TOAN THPT NANG CAO HIEN HANH
(Tai ban lần thứ năm cú chỉnh lớ và bỗ sung)
Trang 4Loi noi dau
Bộ sỏch Chuyờn đề luyện thi vào Đại học được biờn soạn nhằm mục
đớch giỳp cỏc em học sinh lớp 12 cú thờm tài liệu tham khảo, năm vững phương phỏp giải cỏc dạng bài toỏn cơ bản, thường gặp trong â cỏc kỡ thị, tuyển sinh vào cỏc trường Đại học và Cao đăng hàng năm
"Nội dung bộ sỏch bảm sỏt theo chương trỡnh bộ mún Toỏn THPT nõng cao hiện hành và Hướng dẫn ụn tập thi tuyển sinh vào cỏc trường Đại học và Cao đẳng mụn Toỏn của Bộ Giỏo dục và Đào tạo Bộ sỏch gồm 7 tập tương ứng với 7 chuyờn đề : 1 Dai số 2 Lượng giỏc 3 Hỡnh học khụng gian 4 Hinh học giải tớch 5 Giải tớch - Đại số tổ hợp 6 Khao sỏt hàm số 7 Bất đẳng thức Tập sỏch “Chuyờn đề luyện thi vào Đại học : Đại số" này, gụm 2 phõn :
Phần I : Kiến thức cơ bản — Vị dụ ỏp dụng : gồm 6 chương thuộc phõn Đại số trong lõn tỏi bản này cú bụ sung thờm chương sụ phức Mỗi chương gồm nhiờu đơn vị kiến thức (Đ) Mỗi (Đ) được biờn soạn thống nhất gộm cỏc mục :
A Kiến thức cơ bản : Túm tắt, hệ thống kiến thức trọng tõm
-B Vớ dụ ỏp dụng : gồm nhiều vớ dụ cú hướng dẫn giải Mỗi vớ dụ là
Trang 5Phần II : Hướng dẫn giải - Cõu hỏi trắc nghiệm ụn tập : hướng dẫn
giải bài tập hoặc cho đỏp số cỏc bài luyện tập ở mỗi (Đ) và phần cõu húi trắc
nghiệm ụn tập cho cà phần Đại số, cú đỏp ỏn
Cuối sỏch cú phần phụ lục : Trớch giới thiệu một số đề thi tuyến sinh Dai hoc, (2005 — 2008) Đõy là phần trớch giới thiệu một số đề thi tuyờn
sinh Đại học đó ra từ 2005 đến 2008 - mụn Toỏn cú liờn quan đến phần Đại số, cú hướng dẫn giỏi : giỳp học sinh làm quen với cỏc dạng cõu hỏi của đẻ thi tuyển sinh Đại học
Tập thờ tỏc giả trõn trọng giới thiệu với cỏc em học sinh 12 bộ sỏch
Chuyờn đề luyện thi vào Đại hạc Chỳng tụi tin tưởng bộ sỏch này sẽ gúp phần giỳp cỏc em học sinh 12 nõng cao chất lượng học tập và đạt được kết quả mĩ món trong kỡ thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đảng
Chủ biờn
Trang 6CAU TRUC DE THI TUYEN SINH DAI HOC
CAO DANG 2009, MON TOAN
II PHAN CHUNG CHO TAT CA THI SINH (7 ĐIỀM) Cau 1 (3 diộm) :
— Khao sat, vẽ đụ thị của hàm số
~ Cỏc bài toỏn hộn quan dộn ung dụng của đạo hàm và đụ thị của ham sộ : chiộu biến thiờn của hàm số Cực trị Giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm sú Tiếp
tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đỏ thị hảm số Tỡm trờn đỗ thị những điểm cú
tớnh chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thăng) ;
Cõu [II (2 điểm) :
— Phương trỡnh, bất phương trỡnh ; hệ phương trỡnh đại số :
ơ Cụng thức lượng giỏc, phương trỡnh lượng giỏc Cõu III (1 điểm) :
~ Tỡm giới hạn
— Tỡm nguyờn hàm, tớnh tớch phõn
— Ứng dụng của tớch phõn: tớnh diện tớch hỡnh phẳng, thể tớch khối trũn xoay
Cõu IV (1 điểm) :
Hỡnh học khụng gian (tụng hợp) : Quan hệ song song quan hệ vuụng gúc của đường thăng, mặt phăng Tớnh diện tớch xung quanh của hỡnh nún trũn xoay hỡnh trụ trũn xoay ; tớnh thể tớch khối lang trụ, khúi chop, khối nún trũn xoay, khụi trụ trũn xoay ; tớnh diện tớch mặt cầu và thể tớch khối cau
Cõu V (1 điểm) :
Bài toỏn tụng hợp I PHAN RIENG (3 DIEM) :
Thớ sinh chỉ được làm một trong 2 phõn (phần I hoặc 2)
1 Theo chương trỡnh chuẩn :
Cõu VIa (2 điểm) :
Trang 7- Xỏc định toạ độ của điểm, vectơ
— Đường trũn clip, mặt cầu
~ Viết phương trỡnh mặt phăng đường thẳng
- Tinh goc ; tớnh khoảng cỏch từ điểm đến mật phóng Vị trớ tương đối cua đường thăng, mặt phang va mat cau
Cau VH a (1 diộm) : Nội dung kiến thức ;
- Số phức
- Tổ hợp xỏc suất thong kờ
— Bắt đăng thức Cực trị của biểu thức đại số
2 Theo chương trỡnh nẵng cao :
Cõu VIb (2 điểm) : Nội dung kiến thức :
Phương phỏp toạ độ trong mặt phăng và trong khụng gian : — Xỏc định toa độ của điểm vectơ
- Đường trũn ba đường cụnic mặt cầu ~ Viết phương trỡnh mặt phăng đường thẳng
— Tỉnh gúc : tớnh khoảng cỏch từ điểm đến đường thăng mat phẳng: khoảng cỏch giữa hai đường thăng, VỊ trớ tương đụi của đường thăng mặt phăng và mặt cõu
Cõu VII.b (1 điểm) :
Nội dung kiến thức : - Số phức ar? + bx +e pr +y ~ D6 thi bam phan thire hitu ti dang y = và một sụ yờu tụ liờn quan ~ Su tiộp xỳc cua hai đường cong — Hệ phương trỡnh mũ và lụparit, ~ Tổ hợp, xỏc suất thụng kờ
Trang 8Phần I KIEN THUC CO BAN — Vi DU AP DUNG Chuong 1 PHUONG TRINH, BAT PHUONG TRINH MOT AN Đ 1 PHƯƠNG TRèNH ax + b = 0
A KIEN THUC CO BAN
Giải và biện luận phương trỡnh aœ + b = 0 (1) Tập xỏc định : D = R b “az0:(1èœr=_—— a ea=0:(1) & Or = 5 b z 0: (1) vụ nghiệm b = 0: (1) cú tập nghiệm là R
Phương trỡnh quy về dang az + b = 0
Trang 10
emel: dae (Je +a ~~ Vic + m)z = 0
| œxz=0 (do VÊ+1zVx#+m}
Nghiệm + = ệ này thuộc D nếu ~m < 0 œ m > 0
Vậy : m < (): (1) vụ nghiệm : mú> 0 vài œ1:( œ =0; mm = 1: (1) cú tập nghiệm là (-1; +00) Vớ dụ 4 Giải và biện luận phương trỡnh : =2 r-a@ + x-—b — œ=—b #=da Hướng dẫn giải Tập xỏc định: 2 —= IR: {aứ; 0} Trờn D, ta cú :
0 e(x-a +(z— 8 =2(— 8) —a) & 0z =(a —ĐỀ
đ a >b:(2) vụ nghiệm
đ ¿ = b:(2) được thoả món với mọi z € D = R {a} Vay:azb: (1) vụ nghiệm ;
a =b:(1) cụ tập nghiệm là R {a}
Trang 111.1 1.2 1.3 1.4 10 đ (2) cú nghiệm x = -— 1 hoặc z = —3 Điều này xỏy ra khi và chỉ khi : —w + 4 = 5— 2m m =1 Im +8 =5—-2m “Ÿ Om =—-3 7 ™=1- Vậy, phương trỡnh (1) vụ nghiệm khi m = 4 hodc m = 1 C LUYEN TAP Tỡm ?›: để phương trỡnh sau cú nghiệm dương : mở (+ — 1) = 4# — 3m +2 Tim a va b dộ phuong trinh sau cộ tap nghiộm 1a R : ứ({>z—~1)+b(2++1)=z+2 Tim m dộ phương trỡnh sau cú nghiệm : (2m +tr4+3 _ (2 + 3}z + m — 2 man d4ạ—? | Giải và biện luận phương trỡnh : a b a+b ar — It + br —1 ˆ (a + bar ơ Đ 2 BÁT PHƯƠNG TRèNH ax + b >0 A KIẾN THỨC CƠ BẢN
Trang 12b eas<0:(}œz<-—^ a ôa—=0:(1 œ0z >-—b b<90:() vụ nghiệm ; b > 0: (1) cú tập nghiệm là R ove ` oa A a Á ỡ
Giải và biện luận hệ bõt phương trỡnh ke +d>0 (2)
Gọi X, và X, lần lượt là tập nghiệm của (1) và (2) Khi đú tập nghiệm của hệ là X = X.n X B ÁP DỤNG VÍ DỤ Vớ dụ 1 Giài và biện luận phương trỡnh : ứn — 1)+ < m + 1 (1) Hướng dẫn giải Tập xỏc định : D = R đm>: Qere mt 7 — è Wm 1 đm<l: GQer> vt 1m — ] đ 7m =1: (1) œ 0+ <2 Do đú (1) cú tập nghiệm là lR Vi du 2 Tỡm tham số a sao cho hai bat phương trỡnh sau đõy tương đương : (ứ—1)z—=a+3>U; (1) (++1l)+—=a+2>0 - (2) (Trớch đề thi Cao đăng Hải quan, năm 1998) Hướng dẫn giải
Gọi X, và X, lần lượt là tập nghiệm của bất phương trỡnh (1) và (2)
Ta tỡm ô sao cho X, = X, Để tiện việc so sỏnh X, và X, ta ghi kết quả giải và biện luận cỏc bất phương trỡnh (1) và (2) trong bỏng sau :
Trang 1312 a X X —âO° Ot T3: a—1 a+l a< —] v ha ˆ a>l r Từ bảng trờn ta suy ra: Ấ, = X, đ ea =5, u-3 u-2 a-1l a+l Vi du 3 Tim tat ca cdc gia trj cla _m sao cho hệ bất phương trỡnh sau 2mz + 3>0 (1) đõy vụ nghiệm : lu — l)z + — 2 < ệ (2) Hướng dẫn giải Gọi X, và X, lần lượt là tập nghiệm của cỏc bat phương trỡnh (1) và (2) Ta tỡm ?7 sao cho: Xx, VX, =
Nhận xộ : Nếu m < 2 thỡ hệ cú nghiệm z = 0 Do vậy, ta chỉ cần
Trang 14ô 4m — 2m” < —3m + 3 (do mm > 0m — 1 > 0) ôœ 2m” — 7m + 3> (0â (bu — 3)(2in — 1) >U â mm > 3 (vỡ 2n — ]è > 0) C LUYEN TAP 2.1 Tim mm dộ bat phương trỡnh rmz > 2 +1 được thoả món với mọi # thuộc khoảng (—1: 1), 2.2 Tỡm z đề hệ bất phương trỡnh sau đõy vụ nghiệm : 2z —?m + t3 >0 me -1)+2<0 2.3 Tỡm ứ để hệ bất phương trỡnh sau đõy cú nghiệm duy nhất : av —2a—l> 0 (a -Ie—-a+3<0
Đ 3 PHUO'NG TRINH BAC HAI
A KIEN THUC CO BAN
1 Giải và biện luận phương trỡnh az’ + br + c = 0 (a = 0) (1) đ A<0:(U vỗ nghiệm ; b eA =0:(1) cú nghiệm kộp x, = — ; 20, —b + VA đ A >0: (1) cú hai nghiệm phõn biệt địa = — “ 2a
2 Tổng, tớch của hai nghiệm
Trang 1514 b) Cỏc biểu thức đối xứng với +,,z, đều cú thể tinh theo S và P 2 Chang han i + x = (7, + x} — 2#,*, = 5? ~2P „ + độ = (:, + x) — 32,2, (+, + r,) = st —35%P ;
Đầu của tam thire f (2) = az’ + ba +c (a = O)
Khi tam thite f(r) cú hai nghiệm 2, va + „„ ta thường quy ước T < 4)
a) Dinh lớ vệ dẫu của tam thức
đ A<0=aƒ(z)> 0 với mọi z€eùR
b (nghiộm kộp)
2a
aƑ(r) >U_ Với mỌI tr # 2,
đA -U= Fty) = 0 voila, =
đ A >0 = f(x) cú hai nghiệm phan biột 2, < z, và : af (x) < 0 nờu z€ (x, : 2.) ; af(z)> 0 nờu z ứ Íz, : z,|- b) Điều kiện tam thitc khộng doi dau trộn R a>0 VzelR.az”+bz+e>0ô Aco a<O0 VrEeR a’? +brtc<06 A<0
So sỏnh số thực œ với cỏc nghiệm của tam thức bậc hai
Cho tam thức f(z) =ur’? +bx +c (a = 0) Goi #¿ và t, (2, <2,) 1a
Trang 16| 2 a m2 a œ z () đSứn <a << A>0U0 (2, — a)(a, —a) < 0 la x 0 la x0 en cy A>0 A>0 tị S10 ma <0 ron a (2, -a)>0 r,-a <0 va + (a, -a) <0., at œ # (
° een A>0 A>0
esr ST, & r~a>0” x, —a\(x, ~a) > 0 ry-a>0 „ma +Íz,—a)}> 0
Lưu ý Khi giai va biện luận phương trỡnh azˆ + bz + e = 0, nếu hệ số
œ của x’ cd thộ triệt tiờu thỡ xột thờm trường hợp a = 0 B Vi DU AP DUNG
Vi du 1 Cho phuong trinh bac hai :
+? —(2cosa — 3) +7 cos’ a — 3cosa — 3_- 0 Với những giỏ trị nào của œ thỡ phương trỡnh cú nghiệm kộp ?
(Trớch đề thi Đại học Sư phạm Quy Nhon, nam 1999)
Hướng dẫn giải
Taco: A = 4cos’ & — 12cosa + 9— 4| 7 cos? œ — 3cos œ -; = ~24cos’a +18 = 6(3 — 4 cos? a)
Phuong trinh co nghiộm kộp khi va chi khi :
fj |x=+~+k2r
A=06 cosa = t— & 6 (ke 2) 2 asin + han
Trang 1716
Vớ dụ 2 Cho hai phương trỡnh : 2? — 1 +m = 0; (1)
+? =đưự +n = Ú (2)
Tỡm ? để phương trỡnh (2) cú một nghiệm khỏc Ú và bằng hai lần
một nghiệm của phương trỡnh (1) Hướng dẫn giải ` : ơ ` , wn b Điễu kiện cẫn Giỏ sử phương trỡnh (1) cú nghiệm #,, #0 sao cho 3 là nghiệm của (1) Thế thỡ : đc cư Tog t= = Đụ — 2x, + 3m =0 3 ~ 3x, +m =0 tạ 7 32, +m = 0 a : 10 = Tụ = ~3m > m= — Điều kiện đủ XộL m = —— Tacs: ) 5 (deel 26 (= -ivaa,=": 9 3 3 (2) =3 1 _—g _— và zi, _ 10 3 3 ` a tk 0 tow nk ges
Vi L,= 2x, nộn gia trl m = = thoả món yờu cõu bài toỏn
Trang 18eF=2x,2, — (x? +22) = 32,2, —(z +z,} = 6m ~ 9 ~ Am =-|am? 6m +9] 42-9 =-22 [m4 < 20 4) 4 4 4 ae 3 yy 27 vỡ `
Đăng thức xay ra khi ;n — 1 Vay max E = "~T khi rn = 1
Trang 193.1 toa iv 3.3 3.5 18 Ghi chi Hoc sinh hóy giải thớch tai sao trong bài toỏn này ta khụng thể ỏp dụng phương phỏp đó dựng trong Vớ dụ 3, C LUYEN TAP
Gia sir a pd, = 2(b, + b,) Chimg minh it nhat một trong hai phuong trỡnh sau cú nghiệm : z” + ax +b =0: t+ at +b, =O
Tỡm im dộ phuong trinh 5? + ma — 28 = 0 cộ hai nghiộm z, #, thoả món hệ thức 5+, + 2z, — I = 0
Cho phương trỡnh : z” — 2k+z —Ík — 1Ík— 3) = 0 (1) Chimg minh ring voi moi gid tri cua & , phuong trinh (1) luụn cú hai nghiệm phõn biệt + r, và cỏc nghiệm đú thoả món hệ thức : >
+4 +4, Ỷ + 1.1, — 2(, + ry) +3= 0 (2) (Trớch đề thi Cao đẳng Sư phạm Hà Nội, năm 1999)
Cho phương trỡnh : z” — 2kr + 2# + = —5=0(:z0) ()
1) Tim # đề (1) cú nghiệm Gọi +, +, là nghiệm của (1)
2) Dat E = (2, +2,)(2? +22} Tim k để biểu thức E
a) dat gia tri lớn nhất ; b) đạt giỏ trị nhỏ nhất
(Trớch đề thi Đại học Đà Nẵng, khối 4 và B, năm 1999)
Cho phương trỡnh : 22? + 2Úm +1)#Ê 4m? + 4m +3 = 0 (1)
1) Dinh m dộ phuong trinh (1) cú nghiệm
2) Định r đề phương trỡnh (1) cú nghiệm lớn hơn hoặc bằng 1
3) Gọi +, z, là hai nghiệm của phương trinh (1) Tỡm giỏ trị lớn nhõt
Trang 20Đ 4 PHƯƠNG TRèNH QUY VE BAC HAI A KIấN THỨC CƠ BẢN Giải và biện luận phương trỡnh : a¿Ÿ (ứ) + b¿(@) + c = 0 (1) Cú thể giải phương trỡnh (1) bằng cỏch dựng ấn số phụ Â = y (z) Khi dựng ấn phụ cỏc bước thực hiện như sau : đ Dặt / = y(), e Từ (1) suy ra: auf + bt+Â=0 (2) e Giai (2) taduoc: te T
eKhidd: (I) plrleT
Phương trỡnh trựng phường : az‘ + bz’ +c = 0
Đặt : Ê — +ˆ >0 ta được phương trỡnh at? + bt +c=0
Luu y Phuong trinh Gr + a) + (n+ b): =c được đưa vẻ phương a+b trỡnh trựng phương bằng cỏch đặt † = + + Phương trỡnh phỏn thương loại 1 : aœ* + bzè + ca? + bœ + a = 0 (a z 0) đ Nhận xột : r = ệ khụng phỏi là nghiệm của phương trỡnh e pat t= or — i liÍ > 3 ta được phương trỡnh :
Hà
at? + bf +c—2a = 0-
Phương trỡnh phản thương loại 2 :
az’ + ba* + cx? —br+a=0(ax0)
đ Nhận xột : + = 0 khụng phải là nghiệm của phương trỡnh
đ Đặt / — r — ơ ta được phương trỡnh : ứÊ” + b‡ + c + 2a = 0 r
Trang 2120
Chỳ ý
đ Khi dựng an phu  = yr), nờn đặt điều kiện Ê thuộc miền gia trị
của hàm số f = v(x)
đe Tỡm điều kiện về nghiệm của phương trỡnh gke(z)| =0:
- Xột mỗi quan hệ giữa hai õn z và Ê thụng qua hệ thức ọ› (x) =F - Từ đú, đưa ra yờu cầu về nghiệm  cua phuong trinh g(r) = 0 B VÍ DỤ ÁP DỤNG Vi du I Giải phương trỡnh : (x + lL)(z + 2)(z + 4)(r + 5) = 10 (1) Hướng dẫn giải Ta cú : (1) â (z + 1(z +5)(z + 2)(z + 4) = 10 eS (? + 6a + 5)( 2? + 60 + 8) = 10 1) Dat = r? + 6œ + 5 Khi đú : (1) > #( +3) = 10 | (2) |f =—5 2) Ta cú : Deh +3 W= 04) 5 z#¿+6z+5=-—5 ao? +62+10=0 Ups] ) Q) r+6r+5=2 4 br $3 =0 r= —34 V6 Nhộn xột, Taco t= 2? +6045 = (a + 3) —4>~4 Do đú, nờu ở bước 1) ta đặt điều kiện f > —4 thỡ ở bước 2) giỏ trị Ê = —5 bị loại
Vớ dụ 2 Xỏc dinh tất cả cỏc giỏ trị của a để phương trỡnh sau cú 4
nghiệm phõn biệt :
ar! —(a—3)2° + 3ỏ = Ú (1) (Trich dộ thi Dai hoc Quộc gia TP HCM, Khội D, nam 1998)
Hướng dẫn giải |
e Dat: Â = 1? + Â > 0 Ta duoc phương trỡnh :
Trang 22đ Nhận xột : Mỗi nghiệm  > 0 của phương trỡnh (2) cho hai nghiệm tương Ứng z = +t của phương trỡnh (1) Do đú điều kiện cần và đủ
để phương trỡnh (1) cú 4 nghiệm phõn biệt là phương trỡnh (2) cú hai
nghiệm dương phõn biệt
Trang 234.1 4.2 4.3 4.4 4.5 - Taco: (1) sứ"! +1)—2(œ —zè— 5a? =0 â +5) 2|s— 3|-5 =0, + + x 1 ` 2, : i=—I đ Dặt / = + — —, ta được phương r trỡnh : † ASRS mm" 1 -14 5 , r—-—=—] # +#—1=0Ũ g= đ Do đú : (1) â 2! , Ầ t-2-3 x —3r2—-1=0 34 V13 = #=———— + 2 C LUYEN TAP ˆ Giải phương trỡnh : 2z? + 8z ~ 7z? + 4z +7 +20 = 0 4 Giỏi phương trỡnh : (z + 1) +(r—3) = 82 Giai cỏc phương trỡnh : l a) x + 5z? —122” +5z+1=0; b) z” — 9z” + 28z? — 36z + 16 = 0 Định ?rn đề phương trỡnh sau cú nghiệm : (2 — 2+z+ 2) ~2(m- 3)( x? _ 22 + 2) +m —6m = 0 Dinh m dộ phuong trinh sau cộ 4 nghiộm phan biệt : (m — 4)+z! ~ 3m — 3)z? + m — 1 = Ú
Đ 5 PHUO'NG TRINH BAC BA, BAC BON
A KIEN THUC CO BAN Sơ lược về đa thức
Trang 24đ Nếu tụn tại số thực z„ sao cho P(r,) = 0 thỡ z„ được gọi là một nghiệm của P(r) e Nếu P(z) cú nghiệm xx, thi tacộ P(x) = (c —x,).Q(x) trong đú Q(x) là một đa thức bậc n -— 1 đ Một đa thức bậc 0 cú nhiều nhất là 0 nghiệm Phương trỡnh bậc 3: az” + bz” + cz + d = 0 (a z 0)
đ Phương trỡnh bậc 3 cú ớt nhất một nghiệm (vả nhiều nhất 3 nghiệm)
đ Cỏch giải : Núi chung, ta chỉ giải được phương trỡnh bậc 3 nếu biết được một nghiệm của nú Khi đú bài toỏn đưa về giải phương trỡnh bậc hai
đ Dinh Ii Vidt Nộu phuong trinh az* + bz? + cx +d = 0 (a =0) cú 3 nghiệm 2,, Ey Ly thỡ ta cú : 1 +2, t+1y =T—— Cc 1; + Lz, + Ly, = — d 7.73, =—— 33 a
Phirong trinh bac 4; az‘ + bz + cz? + dz+e=0(z 2D)
Ta đó biết cỏch giải phương trỡnh bậc 4 khi nú cú dạng đặc biệt như phương trỡnh trựng phương, phương trỡnh phản thương Ngoài ra, cú thể giải phương trỡnh bậc 4 trong cỏc trường hợp sau :
Trang 25Hướng dẫn giải a) Phương trỡnh cú nghiệm —1 khi và chỉ khi : —l+ mm? ~m +7 ~ ầm” + ầm + 6 = 0 œ —2m” + 2m + 12 = 0 T — —2 âm?-m—6=0ôœ m= 3 b) Vội m = —2 hoặc m = 3, phuong trinh trộ thanh : + =—] z! =13z—12=0 œ (+ +1)ẫ?—z—12)=0 âl|z=—3 r= 4, Vidu2.Tim m dộ phương trỡnh z” -1—zm(z—1)=0 (1) cú ba nghiệm phõn biệt Hướng dẫn giải r=1 Taco: () @ (z—1)Œ? +z+1— m)=0@â 3 ứ+z~+l—m = ễ
Đặt : fla) =#?+zx+l—m Phương trỡnh (1) cú ba nghiệm phõn biệt
Trang 26r=m (1) lr? — mr +m? —1=0 (2) L P(r) =006 Yờu cầu bài toỏn là m > 0 và phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt và đờu khỏc ? tức là › > O va: A>0 4— 3m >( poo ae jm —1>0 eleme& S>0 m>O0 mm /(m) x () mẻ —1†1z0
Vi du 4 Tim cdc gia tri cua a va b dộ phuong tinh 2? + ar +b =0 (1)
cú ba nghiệm phõn biệt -r, .c,, wy thoa man hộ thie 2, + z¿ = 2%)
Hướng dẫn giải
Giả sử phương trỡnh (1) cú ba nghiệm phõn biệt z,, z,, z Theo định
lớ Viết, ta cú : x, + ty + +¿ =0 Từ giả thiết Tạ +, =2Z,, SUY ra Ê, =0, do đú b=0
Đỏo lại : Với b = 0 phương trỡnh (1) trở thành : +” +dgr =Ũ@â>+ (2? + a) = 0)
Phương trỡnh cú ba nghiệm phõn biệt khi và chỉ khi a < 0 Khi đú ta duge 2, = —V—-a, ô, = 0, â, = mm Cỏc nghiệm này thoả món hệ thức #, + + = 22
Vậy cỏc giỏ trị cần tim cua a và b cần tỡm là: ứ < 0 b< 0
Trang 27Từ đú suy ra: , 2 › =(m+,) + + xà) + (rr) + Qn rey (+, +ưy, +) } = le, y + (rợn, } ‡ ướt y — 2b, | (1) Do dộ: a? + ằb = (2,2, y + (w,7,) + (su): Áp dụng kết quả : zˆ + ˆ + zˆ > sự + gz + z2 tạ cú : 4 J +
(rr) + (rey) + ra) >I ey (r, +, + x,) = -èỦÙ, (2) (Đăng thức khụng xảy ra vỡ Ey Uy, Ê, đụi một khỏc nhau) Từ (1) và (2), suy ra: a? + 2b > —b @ a? +30 >0 Vớ dụ 6 Giải phương trỡnh : r` — 21 — 32 = 0 (1) Hướng dẫn giải Ta tỡm cỏch phõn tớch về trỏi của (1) thành thừa số zỡ—24z—32=z! + (4z? + 4) — da? — 24+ — 36 2 (4? + 2) - 4(z +3) (2 +2+3z+ 6) lạ? +2—2r— 6) ~ (x? + 2x +8)(e? — 2x — 4)
Viv +22r4+8>0nen: (Doer—-mw-420e2=14 5
Ghi chỳ Cỏch giải trờn đõy rất gọn nhưng cú vẻ "may rựi" Cú thờ giải
Trang 2824—m —0 () (7) |mb = 12 (2) a? — mb? = —32 (3) Tir (1) va (2) suy ram = 2a, b = +2 = 8 Thay vao (3) ta được : m a a’ — 2a 2] =88 cỏ" + 8n —Ta=0 a e (a —2)(a? +20 + 36) = 0 @oa=2 Tom lai: ao = 2 m = 4 b = 3 (thoa man hộ (7) ) Vay : +! —94z— 32 =2 +2} — 4z +3), Vĩ dụ 7 Cho đa thức P(œ› = z` — 2#” + (m— 1)xrè + 2# — m a) Tỉnh P().P(—1) ; b) Tỡm ?; để phương trỡnh P(+z› = 0 cú 4 nghiệm phõn biệt Nướng dẫn giải a) P()=1—2+in—1+2—m =0 ; P(-1))=142+m-1-2-m=0
Trang 295.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Tacú: A' =(z? ~5z—1) ~ 4z! + 109 — 32ứ° —12z =#?—32r+1= (z— U Do đú ƒ(¿) cú hai nghiệm là a = z”— 5z —1—(zr—1)=z”—6z vag =a? — 5a 1+ z—1]1=z+z?”—4z— 2, nờn suy ra: fla) = (a +4 6r)(a —1ˆ +4#+ 2),
Như vậy : (1) â (2? — 62 —a)(2? — 4x —a —2) =0
¿cụ —a=0 (A’=9+a) (2) pr? de —a~2=0 (A! =6 +2) (3) , - aye, |8 +90 (1) cú nghiệm khi : z+6>0 âSsa>-Q9 C LUYỆN TẬP Giải phương trỡnh : 12r” + 42? —17< +6 = 0 Giải phương trỡnh +” -3z—1=0 bằng cỏch đặt r = 2cost với tC |0: 7è Giải và biện luận phương trỡnh : zŸ — 3z? + (3 T— m)z + im =1= 0 Cho đa thức P(z) = z3 + 2(k — 1)z? + Í2~ 3k)z — 3(k +9) a) Tinh P(2)
b) Tỡm š sao cho phương trỡnh P{z) = 0 cú nghiệm kộp
Giỏ sử phương trỡnh ô* — z + m = 0 cú ba nghiệm a, b e Tớnh : a) S=a'+bi +e’: b) T=ah +b +c°
Giai phuong trinh: w' — 42 —1= 0
Cho đa thức P(r) = 41 ~ 20? — 327 +ar4+6=0 Tim a va b dộ P(x) cú hai nghiệm kộp phõn biệt
Trang 30Đ 6 BÁT PHƯƠNG TRINH, HỆ BÁT PHƯƠNG TRèNH BẠC HAI
A KIEN THUC CO BAN
Cho tam thức ƒ (z) = ứ#? + bz + c, a = 0 Bất phương trỡnh bậc hai là
bất phương trỡnh cú đạng ƒ(z) > 0, hoặc ƒ(z)> 0, hoặc ƒ(z) < 0, hoặc f(a) <0 Muốn giải bất phương trỡnh bậc hai, ta xột dấu tam thức ƒ (+) từ đú suy ra tập nghiệm của bất phương trỡnh Nếu hệ số ứ cú thờ triệt tiờu, phải xột thờm trường hợp a = ễ
Trang 31œ < X=ứ x={|-4] a< (0 X= (x, : 1) X = 2, : r,|
Cỏch giải tương tự cho cỏc bắt phương trỡnh : ƒ(+) < 0, f(r) <0
Bất phương trỡnh bậc hai vụ nghiệm
Gar +br te > 0 Vễ nghiệm â aa? + be +e <0 Vr ER A<0 a < Ú) A<0 đ ứr + br + c <() vụ nghiệm â a> Ƒƒ(œ >0 (1) g(z)› >0 (2) Hệ bất phương trỡnh bậc hai : |
(Một trong hai bỏt phương trỡnh cú thể là bậc 1 hoặc bậc 3)
Gọi X, và X, lõn lượt là tập nghiệm của cỏc bất phương trỡnh (1) và (2) Tập nghiệm của hệ là: X = X.n Ä
đ Giỳ chỳ : Nếu ta cú XC AX, thi Ơ = X,
Diộu kiộn X, c ÄX, cú nghĩa là mọi nghiệm cua bất phương trỡnh (1)
Trang 32B Vi DU AP DUNG Vi du 1, Giải và biện luận bất phương trỡnh : Œm + 1)3ˆ — 4+ +? — 2 < Ú q) Hướng dẫn giải 3 em =) (1) e-de-3sQere a em 2-1: Al = E—(n3-1)n — 2) = -Ím + On ~ 3) Bang xet dau A’ va a : m — — ơ 3 +3Â A/ - \ + + | ơ a - — 1 + + 2-vA' „ _ 2+vA' m+1 ` 2 m+1—
Khi A” > 0 ta kớ hiệu : z, =
Trang 3332 | A’=0 2 1 Jm=3> => X=l1— =1-T a>é0 m+] 2 AN’ <0 6)im> 3s > X=, Ă > Vớ dụ 2.Cho biểu thức ƒŒ = ứm — 1)+” ~2(m +1)+ + 2m — 1 Xỏc định ? sao cho : a) Bất phương trỡnh f (2) < 0 vụ nghiệm ; b) Bất phương trỡnh ƒ(z› > 0 cú nghiệm Hướng dẫn giải
a)đ m=1: flr) <0 —4z +] <0ô4+r> T Vậy ?ứ: = 1 khụng thoỏ điều kiện bài toỏn
đũn =1:A! =(m+ 1— (im — 1)(2m ~ 1) = —m? + 5m Ta cụ :
ƒŒ)< U vụ nghiệm œ ƒ(¿) > 0 với mọi r € Íẹ
om>s, a>d m-1>0
A'<0 on +5m <0
b) Xac dinh 7 sao cho bat phuong trinh f(x) > 0 cú nghiệm
Ta giải bài toỏn : "Xac dinh 2 sao cho f(x) >0 vộ nghiộm" ° m=1//2)30 8 <Ar+1>0 O2 ST, Vậy m =1 khụng thớch hợp đmz1: ƒ(z)>0 vụ nghiệm 4 ƒ(+)< 0 với mọi z € lR A<0 —m? +5m <0 œ <0 mộm—èL<0 âđm <0
Túm lại, điều kiện để ƒ (z) > 0 vụ nghiệm là m < 0
Trang 35lac m<2 O<m<2 m >8 m>8 m<Q c 3m “6ử Qe m>? &m=2 , m ~ ln — 8 <0 m<Q ‘ M „ộw > 2
Tổng hợp cỏc kết quả trờn ta được : 2 < ru < 8
Vớ dụ 4 Cho bắt phương trỡnh : mu? — 3z + rn + 4 <0 (1)
Trang 36A>0O 9
(*)ep a, <u, S08 |P>06-—<m<-4 S<0
Tống hợp cỏc kết quả trờn, ta được : m < —4
b) Ta tỡm rn sao cho X chứa ớ nhất mội số thực dương (**)
â on <0 : Thoda man (**)
e m=o:x=|4 : tai, thoả món (* *), đ m > 0 (xem bảng xột dau, phan gach chộo) 1 A<0 l)m >—> => X =ỉ, khụng thoả món (**) 2 œ >0 LL +s : 2) 0<m <5 2 X =z, ca), Tập nay chia —— 2-3 x9 ~ 2m nờn khụng thoả món (* *), Tổng hợp cỏc kết quả, ta được : rn < >
Vỉ dụ Đ Xỏc dinh m dộ bất phương trỡnh z? — 2z + 1— m” < 0 được
.thoả món với mọi z thuộc đoạn [L; 2]
Trang 3736 2)m<053X=([1+m:1—ml Dod: (*) o> l-m>2~ 1+m<1 mes Vay: m<-—1 hoac m>1 Vớ dụ 6 Với những giỏ trị nào của rn thỡ hệ bất phương trỡnh sau cú nghiệm : +z—2xz+1-m<0 () A)‡† : } Íz? — (3m + DÊ + mấ +m <0, (2) (Trớch dộ thi Đại học Ngoại thương, năm 1997) Hướng dẫn giải Goi X, va X, lần lượt là tập nghiệm của cỏc bất phương trỡnh (1) và (2) Ta cú : x, =|m;m + 1è Xột bất phương trỡnh Í1) : A“=1— 1+n =m đ?n<0 => A'<0= X, =ỉ Suy ra hệ (4) vụ nghiệm *m >0 A'> 0 s> X, =ỈL= Vm ;1+ ím|
Ta giải bài toỏn sau : Tỡm zn > 0 sao cho hệ bất phương trỡnh (24) vụ
Trang 386.1 6.2 6.3 6.4 6.5 Vi du 7 Giai hộ bat phuong trinh : +2 +5z+4<0 (1) z* + 3z” — 9z —10 >0 (2) (Trớch đề thi Đại học Kinh tẾ Quốc dõn Hà Nội, năm 1998) Hướng dẫn giải
Tập nghiệm của bất phương trỡnh (1) là X= (-4 = 1} Ta chimg
minh moi z € X, dộu thoa bất phuong trinh (2)
Chia da thire 2? + 32? -—92-10=0 cho da thie 2? 4+5r+4, ta
được : +” + 8x? — 9z T— 10= (z + 5z + 4è(z ~2)— 3z —2
= (x? +52 +4)(2 —2) —3(2 +1) +1.(3)
Biểu thức ở vế phải của đẳng thức (3) cú giỏ trị dương với mọi
z€ xX,, tức là bất phương trỡnh (2) được thoả món với mọi z € X, Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trỡnh đó cho là: X = [—4: — 1] ' C LUYỆN TẬP Giải và biện luận bất phương trỡnh : a) mr? —(n+D2?+1=0 ; b) mx? —(m —1)22 —1=0 Xac dinh m dộ bat phuong trinh sau v6 nghiộm : (in + 1)z? — 3(m + Ủz + 2m +1>0 Xỏc định m để bất phương trỡnh mz? + (m — 4)2 + m > 0 được thoả món với mọi + > 0 :
Với giỏ trị nào của tham số ?: thi bất phương trỡnh sau được thoả món với mọi giỏ trị z € |0: 1|: +? —9(m + 1)z + mẦ + 2m <0
(Trớch để thi Học viện Cụng nghệ Bưu chớnh Viễn thụng, năm 1998)
Tỡm ? để bất phương trỡnh zˆ — mắm? +1)+ + m' < 0 cú nghiệm
và mọi nghiệm của bất phương trỡnh đú đều thoả món bất phương trỡnh
z +4z+d3>0
Trang 396.6 Với những giỏ trị nào của r: thỡ hệ bất phương trỡnh sau cú nghiệm : "
a? — Rr +8 <0
gi — (2m + 1)z +m +m <0
(Trich dộ thi Dai học Ngoại thương Tp HCM, khối D, năm 1999) 6.7 Với những giỏ trị nào của r0: thỡ hệ bất phương trỡnh sau cú nghiệm :
tt ô (m + 2) + 2m < () +n + 2)2 42m <0
(Trớch dờ thỡ Học viện quan hệ Quốc tế, năm 1997)
6.8 Tỡm cỏc giỏ trị của ?› để hệ bất phương trỡnh sau vụ nghiệm :
wˆ—=Ttz—R<(Q
mer tl > (2m ~ Dr +3
(Trớch đề thi Đại học Dược Hà Nội, năm 1997)
6.9 Tỡm z„ để hệ bất phương trỡnh sau vụ nghiệm :
wr~1<0 (1)
(mm ~ rx +m) <9 (2)
(Trớch dờ thi Đại học Giao thụng Vận tỏi Hà Nội, năm 1997)
Trang 40Chương 2
HE PHUONG TRINH HAI AN
Đ 7 HỆ PHƯƠNG TRèNH BẬC NHÁT HAI ĂN
A KIEN THUC CO BAN az+by=cÂ, (7) Giải va biện luận hệ phương trỡnh : a,z + by = Â, 1 4, ob Dat: D= ab = a,b, -ba,: D = ch = Â,b, — be, : 2 % 2 2 D a) Cy = = 4, — Ca Ụ a, 6 1 2 12 D, D, l) Dz0 : Hệ cú nghiệm duy nhất (x : y) VỚI: ——*, W=—- D D 2) D=0:
đ D, >0 hoặc D, =0 Hệ (7) vụ nghiệm
°đ D.=D =0:Hệ (7) cú thể vụ nghiệm hoặc cú vụ số nghiệm (nờn
thay giỏ trị cụ thể của tham số vào hệ phương trinh (7) rồi kết luận)
B VÍ DỤ ÁP DỤNG
% -+ „uy = 3m
Vĩ dụ I Cho hộ phương trỡnh : mar +y=2m +1 (7)
a) Giai và biện luận hệ (7)
b) Trong trường hợp hệ cú nghiệm duy nhất (x, : Yu) tim cỏc giỏ trị nguyờn của ?Ă sao cho z„ và ¿ là những số nguyờn