trọn bộ các phương pháp chứng minh bất dẳng thức

ph ng pháp này.

ph ng pháp này Các b n có th tin c không, khi tr c ây chúng ta ph i c c kh l y gi y nháp ra và

bi n i thì bây gi chúng ta s có th gi i bài toán ch v i cái l t nhìn u tiên Nào chúng ta hãy cùng nhau th ng th c viên kim c ng này s c t bánh ch ng ra sao nhé

B Ph ng pháp ABC

Tôi xin m u ph ng pháp này b ng vi c xét m t s bài toán sau:

Bài 1:

Cho ab bc ca 1 và

i) a b c m ,m , 3 3, Tìm i u ki n c a abc sao cho a ,,b c là các s th c

ii) a b c 3, ,a,b,c 0 Tìm i u ki n abc sao cho a ,,b c là các s th c không âm

Gi i:

Chúng ta ã có hai i l ng trung bình c a a ,,b c S xu t hi n c a abc khi n chúng ta liên t ng t i nh

lý Viete, vì v y ta ngh t i vi c xét ph ng trình;

(*)0

2

3

abc X

2 2

1

m m X m

Ph ng trình có ba nghi m khi và ch khi f X2 0, f X1 0

9

269

)26

2 2

m X m abc

m X m

ây c ng chính là áp s c a câu i)

Câu ii) , nh n xét r ng a ,,b clà các s th c d ng thì ngoài vi c ph i tho mãn 1 , abc còn ch u thêm ràng bu t 0 abc, và ng c l i v i (1),abc 0,a b c 0,ab bc ca 0 thì a , c b, 0 V y nên áp

s s là:

)2(9

269

)2

2

m X m abc

m X m

Nh v y là ta ã hoàn thành hai câu h i c nêu ra c a bài toán

- Bài tóan trên giúp ta rút ra hai nh n xét sau:

Nh n xét i)

i u ki n c n và t n t i các s th c a ,,b c khi ã bi t tr c các giá tr ab bc ca 1 và

,33,

, m m c b

9

269

)26

2 2

m X m abc

m X m

i u ki n c n và t n t i các s th c không âm a ,,b c khi ã bi t tr c các giá tr

1

ca bc

9

269

)26(,0

2 2

2

m X m abc

m X m

o Nh n xét 1 c suy ta tr c ti p t bài toán ã nêu, chú ý r ng t i sao a b cl i b ràng

bu c ch y trong các o n nh trên Có hai cách gi i thích sau:

3)(

3

2

ca bc ab c

b a

123)(

mX X

a , , v i s ràng bu c c a a b c và abc nh ã nêu C ng hoàn toàn t ng t khi ta mu n bi u di n t t c các ph n t c a t p R 3 thoã ab bc ca 1

Nh n xét ii)

a.V i m i b s th c a0,b0,c0 u tìm c hai b x0,x0,y0 ; z0,z0,t0 sao cho

0 0 0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

*

*

*

t z z c b a y

x

x

z t t z z z x y y x x x a c c b b

a

t z z y x x c b

a

ng th c x y ra khi hai trong ba bi n a0,b0,c0 b ng nhau

b.V i m i b s th c không âm a0,b0,c0 ta u tìm c m t trong hai b x0,x0,y0 ; z0,z0,t0

ho c 0,x0,y0 ; z0,z0,t0 thõa mãn i u ki n sau

0 0 0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

*

*

*

t z z c b a y

x

x

z t t z z z x y y x x x a c c b b

a

t z z y x x c b

a

ng th c x y ra khi hai trong ba bi n a0,b0,c0 b ng nhau

Hay

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0

0 0

z t t z z z y x a c c b b

a

t z z y x c

b

a

ca bc ab B abc C

Do ó theo m t l thông th ng v i suy ngh gi m s bi n, ta s c nh A, B và cho C ch y

Ta mong i hàm g t c c tr khi C t các giá tr biên Tuy nhiên ta không c n bi t m t cách c th C s t gía tr biên khi nào, ta ch c n bi t m t cách tr u t ng khi C t giá trbiên thì a ,,b c s có hình thù ra sao, và nh n xét 2 s cho ta l i gi i cho câu h i này

o Bây gi chúng ta s i vào vi c ch ng minh chi ti t nh n xét 2:

a) Tr c h t ta s ch ng minh bài toán v i các b s th c a0,b0,c0 th a mãn: a0 b0 c0 m và

1

0 0 0

b a m X m Min

9

269

)26

0 0 0 2

2

Bây gi chúng ta s xét th xem khi a0b0c0 t giá tr biên thì hình thù c a a0,b0,c0 s ra sao

Min X mX X X

123' X X2 mX

3

3

;3

2 2

1

m m X m

0

0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0

0 0 0 0

0 0

x

x

a c c b b a x

y y x x

x

c b a m y x

x

Ch ng minh hoàn toàn t ng t v i s t n t i c a z0,z0,t0

Nh v y là ta ã ch ng minh c bài toán ã nêu trong tr ng h p a0 b0 c0 m và

1

0 0 0

b N

a c

b

1 1

a1 1 1 ,a1b1 b1c1 c1a1 1 Nh v y theo ch ng minh trên thì các b

1 1 1

,

,x y N x N x N z

x và z ,z ,t N z , N z , N t Th c v y:

0 0 0 1 1 1 3 1

1 1 3 0

0 0 1 1 1 3 1

1 1 3 0

0

0

1 1 1 1 1 0

0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0

0 0

0

0

0

0 0 0 0

0 0 1 1 1 1

1 1 0

0

0

*

)(

*

)(

*

t z z t z z N c

b a N c

b a c b a N y

x x N

y

x

x

N N z

t t z z z N z t t z z z x y y x x x N x y y

x

x

x

c b a M N

M N t

z z t z z N z

x x N y

Gi i:

Nh n xét r ng ta ch c n ch ng minh s bi u di n cho các d ng a th c sau, vì m t a th c i x ng b t k

u có th c bi u di n thông qua s k t h p c a các d ng này b ng các phép nhân thêm h s và ,(elementary operation):

n p m p n m n p m p n m n p m p n m

n m n m m n n m m n n m

n n

n

b a c b a c c a b c a b c b a c b a

bc

ab

abc, , , Nh n xét r ng i u này c ng úng i v i II m,n và III m,n,p

K n m p

n

Bây gi ta s ch ng minh tính bi u di n c a I K 1 Ta có:

1,

M t khác, theo gi thi t quy n p, các bi u th c I(K),I(K ),III(K 1,1,1) u có th bi u di n d i d ng

a th c theo các bi n abc,ab bc ca,a b c i u này cho ta k t lu n tính úng n c a m nh ã nêu

Nh v y, m nh ã nêu ã c ch ng minh thông qua nguyên lý quy n p

Tính ch t

3

degdeg abc f c suy ra khá hi n nhiên, b i l bi u th c abccó b c là 3 i v i các bi n

B n c có th hi u a th c tính theo b c c a abcnh sau Gi s :

ca bc ab abc c b a

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

*

*

*

t z z c b a y x x

z t t z z z x y y x x x a c c b b a

t z z y x x c b a

ng th c x y ra khi hai trong ba bi n a0,b0,c0 b ng nhau

V i m i b s th c không âm a0,b0,c0 ta u tìm c m t trong hai b

0 0 0 0 0

0,x ,y ; z ,z ,t

x ho c 0,x0,y0 ; z0,z0,t0 thõa mãn i u ki n sau

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

*

)1(

*

*

t z z c b a y x x

z t t z z z x y y x x x a c c b b a

t z z y x x c b a

ng th c x y ra khi hai trong ba bi n a0,b0,c0 b ng nhau

Hay

nh lý 1: N u f abc,ab bc ca,a b c là hàm n i u trên R theo abc thì c c i và c c ti u

x y ra khi trong ba s a ,,b c có hai s b ng nhau, còn trong t p R thì x y ra khi có m t s b ng 0 hay

có hai s b ng nhau

nh lý 2: N u f abc,ab bc ca,a b c là hàm l i trên R theo abc c c i x y ra khi trong ba s

c

b

a ,, có hai s b ng nhau, còn trong t p R thì x y ra khi có m t s b ng 0 hay có hai s b ng nhau

nh lý 3: N u f abc,ab bc ca,a b c là hàm lõm trên R theo abc c c ti u x y ra khi trong ba

s a ,,b c có hai s b ng nhau, còn trong t p R thì x y ra khi có m t s b ng 0 hay có hai s b ng nhau

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0

0

*

)2(

*

0

*

t z z c b a

z t t z z z y x a c c b b a

t z z y x c

b a

ng th c x y ra khi hai trong ba bi n a0,b0,c0 b ng 0

Cách 1: (Direct Proof)

Do f là hàm n i u theo bi n a0b0c0 nên hàm s t c c i hay c c ti u t i các i m biên c a a0b0c0, hãy gi s f t ng và ta c n tìm c c i (các tr ng h p còn l i ch ng minh t ng t ), ta có

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

,,

,,

t z z t z t z z z t z z f c b a a c c b b

V y nên c c i x y ra khi có hai bi n b ng nhau

Trong tr ng h p a ,,b c R , i v i tr ng h p t ng tìm c c i, ta ch ng minh hoàn toàn t ng t nhtrên Trong tr ng h p t ng và tìm c c ti u (tr ng h p gi m c ng ch ng minh t ng t ), khi c nh

ca bc

0 0 0 0 0 0 0

,,

,,

y x x x y y x x x y x x f c b a a c c b b

0 0 0 0 0 0

0

0

0 0 0 0 0 0 0 0

,

0

,,

x x y x f c b a a c c

Ta c ng ch ng minh cho tr ng h p t ng tìm c c i Gi s hàm s t c c i t i i m a0,b0,c0 trong

ó a0,b0,c0 khác nhau t ng ôi m t và c c i là M Tuy nhiên l i t n t i m t b z0,z0,t0 thoã mãn:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0

0

,,

,,

,,

t z z t z t z z z t z z f c b a a c c b b

i m a0,b0,c0 trong ó a0,b0,c0 khác nhau t ng ôi m t và không có bi n nào b ng 0, t c c i là M

M t trong hai tr ng h p sau x y ra:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0

0

,,

,,

,,

y x x x y y x x x y x x f c b a a c c b b

0 0 0 0 0 0

0

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

0

,,0,

,

0

,,

x x y x f c b a a c c

Tam th c b c hai v i h s d ng m2x2 nx p là hàm l i trên o n liên t c Do ó theo nh lý 2 thì

i v i hàm s f a b c,ab bc ca,abc , là m t tam th c b c hai theo abc và h s b c cao nh t

d ng, t c là m t hàm l i nên t c c i trong t p R khi có hai bi n b ng nhau, trong t p R khi có

hai bi n b ng nhau hay m t s b ng 0

H qu 3:

Theo bài toán s 2, a th c i x ng ba bi n a ,,b cb c bé h n hay b ng 5 có th bi u di n thành a

th c f a b c,ab bc ca,abc và là a th c b c nh t theo abc (do

3

53

deg)deg(abc f suy ra 1

deg abc ) Do ó theo h qu 1 a th c t c c i và c c ti u trong t p R khi có hai bi n b ng nhau, trong t p R khi có hai bi n b ng nhau hay m t s b ng 0

H qu 4:

Theo bài toán s 2, a th c i x ng ba bi n a ,,b cb c bé h n hay b ng 5 có th bi u di n thành a

th c f a b c,ab bc ca,abc và là tam th c b c hai theo abc (do

3

83

deg)deg(abc f suy ra 2

deg abc ), h n n a h s c a a2b2c2 l i không âm nên theo h qu 3 ta i n k t lu n âm a th c

t c c i trong t p R khi có hai bi n b ng nhau, trong t p R khi có hai bi n b ng nhau hay m t s

b ng 0

H qu 1: Hàm s f a b c,ab bc ca,abc là m t a th c b c nh t theo abc t c c i và c c

ti u trong t p R khi có hai bi n b ng nhau, trong t p R khi có hai bi n b ng nhau hay m t s b ng 0

H qu 2: Hàm s f a b c,ab bc ca,abc là m t tam th c b c hai theo abc và h s b c cao nh t

d ng t c c i trong t p R khi có hai bi n b ng nhau, trong t p R khi có hai bi n b ng nhau hay

P ã s n trong d ng f x y z,xy yz zx,xyz , và i u ki n i x ng không ràng bu c xyz mà ch

ph thu c vào x y z,xy yz zx (*) V y nên ta có th a bài tóan v vi c gi i quy t:

22

2

b b b

f

P

0978910

98787902

32

59

2

2 2

'

b b b

b b b b

- Trong ABC, ta ch quan tâm n abc, còn ab bc ca,a b c ta coi nh các h ng s Do

ó chúng b rang bu c nh th nào c ng không quan tr ng

- Chúng ta có th chu n hoá bài toán thành: Tìm giá tr l n nh t c a:

3 2 2 2

2 2 2

276

z y x

xyz z

y x z y x

P , ây v n là m t a th c b c nh t n u tính theo bi n

abc, do 2 2 2

z y

x c ng là h ng khi xy yz zx,x y z là h ng

Bài 1 [S u T m]

Cho x,y,z R th a 2 2 2 9

z y

3 3

2 2 2 3

3 3

4

14

)

3

2)

bc ac ab

c b a abc

c b a ii

c b a

bc ac ab c

b a abc i

Gi i:

i) B t ng th c c a chúng ta rõ ràng có th vi t c d i d ng a th c i x ng b c 5

03

2 2 2

ca bc ab c b a c b a c

b a abc

P

Và ta ch c n xét c c ti u khi có hai giá tr trong ba bi n b ng nhau hay m t bi n b ng 0

Tr ng h p hai bi n b ng nhau, gi s a c b t ng th c t ng ng v i:

.00

23

22

12

23

22

4 3

3 2

2 2 2

2 2 3

3

2

b a b a b

a

b a b

a b a b

a

ab a

2(

2

23

42

12

24

34

2

2

24

14

2

2 2 2

2 2

2 2 2 2

2

2 2

2 2 2

3 3

2 2

2 2 2

3 3

a a b b a

ab a

ab b a b a b

a

b a b a

ab a

b a b

a

b a

ab a

b a b

9 a b b c c a 2 ab bc ca a b 2 b c 2 b c 2 c a 2 c a 2 a b 2

V y nên hàm s t c c i khi có hai giá tr b ng nhau hay m t s b ng 0

Tr ng h p có hai bi n b ng nhau, b t ng th c t ng ng v i

00

12

24

92

a b a a

b a b

a b

a a

ab

a

Tr ng h p có m t bi n b ng nhau, gi s là c , b t ng th c t ng ng v i:

07440

4

11

4

911

2 2

2 2

b a ab b a b

a b

a

ab

(**) T i sao ta có th k t lu n c i u này t a th c v a chuy n thành Th nh t:

Bài 3 [Iran Olympiad 1996]

Ch ng minh b t ng th c sau úng v i các s th c d ng a ,,b c

4

91

11

2 2

2

a c c b b a ca bc ab

4ab bc ca a b b c b c c a c a a b ch ch a abc b c 1, vì tuy a th c này là

b c 6, nh ng th c s ta ch c n xét b c c a abctrong a b 2 b c2 b c 2 c a 2 c a 2 a b 2 ,

v n là m t a th c b c 4

Còn bi u th c 9 a b b c c a 2 c ng v n là m t a th c b c 6, tuy nhiên a b b c c a ch

ch a nhi u nh t là abc b c 1, bình ph ng lên thì h s c a a2b2c2 là không âm

Nh v y, ôi khi ta không c n khai tri n toàn b dang bi u th c nh th nào, ta ch c n lý lu n c h s

c a 2 2 2

c

b

a là áp d ng nh lý ABC

B n ch t c a ph ng pháp là ánh giá abc, v y nên vi c g p nh ng bài tóan có b c p nh v y là m t

i u t t p nh ng không ph i lúc nào c ng nh v y, th nên th s n các bi n i sau ánh giá hàm stheo abclà m t i u c n thi t

thu n ti n trong nh ng ph n ti p theo, ta quy c a x y z,b xy yz xz,c xyz

Ta s xét qua các i lu ng hoán v vòng quang c a các bi n x,y,z s c bi u di n qua các i l ng trên ra sao

c

c ab y

z x x

y

x

c ab a z

y

x

ac b b a x z zx z y yz

y

x

xy

c ab x z zx z y yz

y

x

xy

b a z

y

x

3

422

33

23

2

2 2 4 4

4

4

3 3

3

3

2 2 2 2 2

2 2

2

2 2

2

2

ac b zx yz

2 3

3 3

3

3

3abc c b

zx yz

xy

3 3

2 2 2 2 2 2

2

6

9c a ab c b zx

yz xy x z

Các h qu ã nêu tuy h u hi u nh ng v n còn g p nhi u h n ch

Sau ây m t s ví d ta không th làm tr c ti p t các h qu ã nêu mà ph i nh vào m t s bi n i hay các nh lý ã nêu

Bài 1 [Russia Olympiad 2005]:

Cho a ,,b clà các s th c d ng th a mãn:

1

2 2

2

c b

a Ch ng minh r ng:

3

3 3

3

ab c

c ac b

b bc

a

a

M t b t ng th c i x ng, ìêu ki n không ràng bu t abc, vi c a v a th c i x ng là d dàng, tuy nhiên l i lên t i b c 9, và là b c ba theo abc i u này n m ngòai ki m sóat c a các h qu , v y nên ta

ph i có chút th thu bi n i nho nh

t

c

ab z b

ac y

1

y zx x

yz

z

xy

Bây gi thì m i chuy n tr nên d dàng r i, m t a th c b c hai theo xyz v i h s b c cao nh t không âm,

và ta c n tìm c c i Ta ch c n xét các tr ng h p khi có hai bi n b ng nhau, hay m t bi n b ng 0

Tr ng h p 1: x z Bât ng th c t ng ng v i:

31

1

2

2 2

x

x x

Gi c m ng a v d ng a th c i x ng coi nh tan v Ta ành ánh giá tr c ti p theo hàm i v i bi n

xyz V n v i quy c a x y z,b xy yz zx,c xyz, s d ng các h ng ng th c ã n u trên ta

bi n b t ng th c v d ng:

212

22

422

2 2

2 2 4

b a

b ac

b

ac b b a a

Hàm theo c là hàm b c nh t nên n i u Theo nh lý m t, c c ti u x y ra khi có hai bi n b ng nhau hay

m t bi n b ng 0

Tr ng h p 1: x z B t ng th c t ng ng v i:

212

222

2

2 2 2 2

2 4

4 4

y x

xy x y

x x

y x

Do tính thu n nh t c a b t ng th c này nên ta có th gi s x 1, khi ó ta c n ch ng minh:

Bài 2 [Nguy n Anh C ng]:

Cho các s th c d ng x,y,z Ch ng minh r ng :

21

2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

4 4 4

z y x

xz yz xy x

z z y y

x

z y x

121

221

2

1

2

1222112

2

2 2

2 2

4 2

2 2

2 2

y y

y

y y

y y

y

y

y y

y

Ta có th ánh giá các m u s m t cách nh nhàng nh ng v n m b o tính úng n c a d u l n h n ho c

b ng sau khi ánh giá nh sau:

221

222

21

2

2

22

121221

222

12

2

2 2

2 2

3 2

2 4

2 3

2

4

y y y

y y

y y

y

y y

y y

y y

22

21

22

2

1

2 3

4

2 2

3

2

y y

y

y

y y y

y

y

Tr ng h p 2: z 0 B t ng th c t ng ng v i:

21

2

2 2 2

2

4 4

y x

xy y

x

y x

2 2 2 4

4

2

y x y

212

212

22

2

21212

4

2 2

2 2

2 2 2

2

4 4 2

2 2

2

4 4

xy

y x

y x

xy xy

y x y

x

y x y

x

xy y

x

y x

Cu i cùng d i ây là m t s bài t p các b n làm quen v i ph ng pháp này:

Bài t p áp d ng

Bài 1 [S u t m]:

Cho các s th c d ng a ,,b c Ch ng minh r ng:

ca bc ab c b a ab c ca b bc

62

12

12

1

Bài 2:[Darij Grinberg- Old and New Inequality]

Cho a ,,b c là các s th c d ng Ch ng minh r ng:

c b a b

a

c a

c

b c

2

Bài 3: [Mircea Lascu – Old and New Inequality ]

Cho a ,,b c là các s th c d ng Ch ng minh r ng:

b a

c a c

b c b

a c

b a b

a c a

4 4 4 4

4 4

7

4

c b a a

c c b

c b a

ca bc ab b

a c a

c b c

b

a

D.ABC Upgrade

Nh v y là chúng ta ã ph n nào l t qua s c m nh c a ph ng pháp này, hy v ng các b n th y thích thú

v i nh ng gì tôi ã trình bày Trong các ph n sau, tôi s l n l t l t qua các i m y u c a ph ng pháp này và l n l t gi i quy t chúng m t cách áng k nh t.Vi c ngày càng nâng c p ph ng pháp v n còn là

m t v n ang c phát tri n, chúng tôi r t hoan nghênh các ý t ng c a các b n v vi c nâng c p

ph ng pháp

Nh các b n ã th y, i v i các bài toán b t ng th c có s ràng bu t gi a các bi n a ,,b c, n u s rang

bu t này ch liên quan n a b c và ab bc ca thì nh lý ABC s có c h i phát huy s c m nh Th

nh ng i v i nh ng bài toán mà b n thân abcb ràng bu t thì sao V i ý t ng nh v y, chúng ta s nâng

c p nh lý ABC nh lý này có kh n ng i phó v i nh ng bài toán thu c nh ng d ng trên

Ch ng minh

i) Gi s a b c 1 và abc m(tr ng h p a b c n có th a v tr ng h p này m t cách d dàng

b ng cách t a nx,b ny,c nz, b n c c ng ã c xem qua k thu t này trong ph n ch ng minh

nh lý ABC các ph n trên.) Ta s ch ng minh ab bc ca t giá tr nh nh t và l n nh t khi có hai trong ba bi n a ,,b c b ng nhau trong c hai tr ng h p a ,,b c R và a ,,b c R t ab bc ca S

M t l n n a, ta l i a v bài toán t n t i nghi m c a ph ng trình:

t f(X) X3 X2 SX m

Ta có: f' X 3X2 2X S.Ph ng trình có hai nghi m

3

311

;3

31

1

2 1

S X

S X

Ph ng trình có ba nghi m khi và ch khi f X2 0, f X1 0

Tr c tiên ta s ch ng minh cho tr ng h p a ,,b c R

i) Cho a ,,b c ng th i là các s th c ho c là các s th c d ng Khi ó n u i l ng abc, a b c ã

c cho tr c (ngh a là ã c c nh s n) thì ab bc ca s t giá tr l n nh t và nh nh t khi có hai trong ba bi n a ,,b c b ng nhau

ii) Cho a ,,b c ng th i là các s th c d ng Khi ó n u i l ng abc, ab bc ca ã c cho tr c (ngh a là ã c c nh s n) thì a b c s t giá tr nh nh t khi có hai trong ba bi n a ,,b c b ng nhau