Các em học sinh thân mến Chúng tôi là nhóm giáo viên Toán của Trung tâm luyện thi Vĩnh Viễn có nhiều kinh nghiệm trong việc giảng dạy và biên soạn sách tham khảo. Nhằm mục đích giúp các em học sinh tự học, nâng cao bài tập ở các lớp 10, 11, 12 và nhất là các em đang sắp thi vào Đại học, chúng tôi cùng biên soạn bộ Toán gồm ba quyển.Quyển 1: Hình học (3 Phần).Quyển 2: Khảo sát hàm số – Tích phân – Số phứcQuyển 3: Lượng giác – Đại số – Giải tích tổ hợpMỗi quyển sách gồm: Tóm tắt lý thuyết một cách có hệ thống và đầy đủ. Phân loại các dạng toán cùng với cách giải dễ hiểu. Nhiều bài tập mẫu từ dễ đến khó, trong đó có nhiều bài được giải bằng nhiều cách khác nhau.Chúng tôi hy vọng quyển sách này sẽ giúp các em thích thú, nâng cao học lực và thành công trong kì thi tuyển sinh Đại học sắp đến. Dù đã cố gắng nhiều, nhưng chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu sót, mong sự đóng góp ý kiến của các em học sinh và của độc giả.
TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC VĨNH VIỄN PHÂN DẠNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH HỌC DÀNH CHO HỌC SINH 10–11–12 VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC PHẦN HÌNH GIẢI TÍCH TRÊN KHƠNG GIAN (Oxyz) Biên soạn: NGUYỄN QUANG HIỂN TRẦN MINH QUANG HOÀNG HỮU VINH Hình học 151 Lời nói đầu Các em học sinh thân mến! Chúng nhóm giáo viên Toán Trung tâm luyện thi Vónh Viễn có nhiều kinh nghiệm việc giảng dạy biên soạn sách tham khảo Nhằm mục đích giúp em học sinh tự học, nâng cao tập lớp 10, 11, 12 em thi vào Đại học, biên soạn Toán gồm ba Quyển 1: Hình học (3 Phần) Quyển 2: Khảo sát hàm số – Tích phân – Số phức Quyển 3: Lượng giác – Đại số – Giải tích tổ hợp Mỗi sách gồm: • Tóm tắt lý thuyết cách có hệ thống đầy đủ • Phân loại dạng toán với cách giải dễ hiểu Nhiều tập mẫu từ dễ đến khó, có nhiều giải nhiều cách khác Chúng hy vọng sách giúp em thích thú, nâng cao học lực thành công kì thi tuyển sinh Đại học đến Dù cố gắng nhiều, chắn nhiều thiếu sót, mong đóng góp ý kiến em học sinh độc giả Nhóm biên soạn 152 Nhiều tác giả BÀI HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT → → • Trong không gian (Oxyz) cho hai vectơ a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) a1 = b1 Ta có: a = b ⇔ a = b2 a = b → → → → a ± b = ( a1 ± b1 , a ± b2 , a ± b3 ) → k a = ( ka1 , ka , ka ) (k ∈ R) → r r → → r r a b phương ⇔ [a, b] = ⇔ ∃k ∈ R : a = k b ⇔ ( b ≠ 0) → → a1 a a = = (b1.b2.b3 ≠ 0) b1 b2 b3 r r r r a b = a b cos(a, b) → → Đònh nghóa: r r Đònh lý: a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 r r ar = a + a + a 2 Hệ quả: a = a ; → → → → a ⊥ b ⇔ a.b = • Trong không gian (Oxyz) cho A(xA, yA, zA, ), B(xB, yB, zB), C(xC, yC, zC) uuuu r Ta có: AB = (xB – xA, yB – yA, zB – zA) uuuu r 2 AB = AB = ( x B - x A ) + ( y B - y A ) + ( zB - z A ) x A + xB xI = y A + yB Trung điểm I đoạn AB: y I = zA + zB zI = Hình học 153 xA + xB + xC xG = y A + y B + yC G trọng tâm ∆ABC yG = zA + zB + zC zG = Lưu ý: Nếu M ∈ (Oxy) zM = Nếu M ∈ (Oyz) xM = Nếu M ∈ (Oxz) yM = Nếu M ∈ x′Ox yM = zM = Nếu M ∈ z′Oz xM = yM = Nếu M ∈ y′Oy xM = zM = • Tính có hướng hai vectơ → → Trong không gian (Oxyz) cho vectơ: a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) r r r → → r Tích có hướng hai vectơ a b , ký hiệu a, b (hoặc a ∧ b ), vectơ có tọa độ: a2 r r [a, b] = b2 a3 b3 , a3 a1 b3 b1 , a1 b1 a2 ÷ b2 ÷ Tính chất: r r r r 1/ Vectơ [a, b] vuông góc với hai vectơ a b → → → → 2/ a, b = − b, a ( ) → → → → → → 3/ a, b = a b sin a, b Ứng dụng tích có hướng r r r r r r a/ a, b, c đồng phằng ⇔ [a, b].c ≠ b/ Diện tích tam giác ABC: S = 154 Nhiều tác giả r uuuu r uuuu [AB, AC] uuur uuur c/ Diện tích hình bình hành ABCD: S = [AB, AD] d/ Thể tích tứ diện ABCD: V = → → → AB, AC AD → → → e/ Tính thể tích hình hộp ABCD.A′B′C′D′: V = AB, AD AA ' Các dạng toán thường gặp uuur uuur r uuur uuur • A, B, C, thẳng hàng ⇔ AB phương với AC ⇔ AB, AC = Suy ra: A, B, C đỉnh tam giác ⇔ A, B, C không thẳng hàng • A, B, C, D đỉnh tứ diện uuur uuur uuur uuur uuur uuur ⇔ AB , AC , AD không đồng phẳng ⇔ AB, AC.AD ≠ • Trực tâm H ∆ABC Tìm tọa độ điểm H từ điều kiện: uuuu r uuur AH.BC = uuur uuur ⇔ BH.AC = A, B, C, H đồng phẳng uuuu r uuur AH.BC = uuur uuur BH.AC = r uuur uuur uuuu AB, AC.AH = • Chân đường cao A′ đường cao AA′ ∆ABC Tìm tọa độ điểm A′ từ điều kiện uuuur uuur AA ′.BC = uuur ⇔ uuuur BA ′ phương BC uuuur uuur AA ′.BC = r uuuur uuur BA ′,BC = • Tâm đường tròn ngoại tiếp I ∆ABC Tìm tọa độ điểm I từ điều kiện: IA2 = IB2 IA = IB ⇔ IA = IC IA = IC u u u r u u u r uur A, B, C, I đồng phẳng AB, AC.AI = • Chân đường phân giác ∆ABC · Gọi D, D′ chân đường phân giác BAC DB D′B AB = = Ta có: DC D′C AC Hình học 155 uuur uuuur AB uuuur AB uuur DC D′B = D′C Vậy DB = − AC AC • Để tìm tâm đường tròn nội tiếp: µ cắt – Vẽ đường phân giác B AD I I tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC – Tìm I từ công thức: B uur IA BA BA uur = ID ⇒ IA = − ID BD BD A I D C B BÀI TẬP MẪU r r r Bài 1: Cho ba vectơ a = (1, m, 2), b = (m + 1, 2, 1), c = (0, m – 2, 2) r r a b a Tìm m để vuông góc r r r b Tìm m để a, b, c đồng phẳng r r r c Tìm m để a + b = c Giải a/ Ta có: r r rr a ⊥ b ⇔ a.b = ⇔ m + + 2m + = ⇔ m = –1 b/ Ta có: r r [a, b] = (m – 4, 2m + 1, –m2 – m + 2) r r r ⇒ [a, b] c = (m – 2)(2m + 1) + 2(–m2 – m + 2) = –5m + Do đó: r r r a, b, c đồng phẳng ⇔ r r c/ Ta có: a + b = (m + 2, r r r Do đó: a + b = c ⇔ r r r [a, b] c = ⇔ –5m + = ⇔ m = m + 2, 3) r r2 r2 a+b = c ⇔ (m + 2)2 + (m + 2)2 + = (m – 2)2 + ⇔ m2 + 12m + = ⇔ m = –6 ± 3 r r r Bài 2: Cho a = (1, –2, 3) Tìm vectơ b phương với vectơ a , biết r r b tạo với trục tung góc nhọn b = 14 Giải r r Gọi b = (x, y, z); Oy có vectơ đơn vò j = (0, 1, 0) 156 Nhiều tác giả r r b = ka x = k, y = −2k, z = 3k r r Ta có: b j > ⇔ y > r 2 x + y + z = 14 b = 14 x = k, y = −2k, z = 3k x = k, y = −2k, z = 3k ⇔ y > ⇔ y > k = ±1 2 k + 4k + 9k = 14 x = −1, y = 2, z = −3 ⇔ k = −1 r Vậy b = (–1, 2, –3) Bài 3: Cho ba điểm: A (–2, 0, 2), B (1, 2, 3), C(x, y – 3, 7) Tìm x, y để ba điểm A, B, C thẳng hàng Giải uuur uuur Ta có: AB = (3, 2, 1), AC = (x + 2, y – 3, 5) uuur uuur Cách 1: [AB, AC] = (y – 13, 13 – x, 2x – 3y + 13) y − 13 = uuur uuur → Ta có: A, B, C thẳng hàng ⇔ [AB, AC] = ⇔ 13 − x = 2x − 3y + 13 = Cách 2: A, B, C thẳng hàng ⇔ Cách 3: ⇔ x = y = 13 x+2 y−3 = = ⇔ x = y = 13 x + = 3k x = 13 uuur uuur A, B, C thẳng hàng ⇔ AC = k AB ⇔ y − = 2k ⇔ y = 13 5 = k k = Bài 4: Cho ba điểm: A(1, 1, 1), B(–1, –1, 0), C(3, 1, –1) a Tìm điểm M trục Oy cách hai điểm B, C b Tìm điểm N mặt phẳng (Oxy) cách ba điểm A, B, C c Tìm điểm P mặt phẳng (Oxy) cho PA + PC nhỏ Giải a/ Gọi M(0, y, 0) ∈ Oy M cách hai điểm B, C ⇔ MB2 = MC2 Hình học 157 ⇔ + (y + 1)2 = + (y – 1)2 + ⇔ y = , 0) b/ Gọi N(x, y, 0) ∈ (Oxy) Vậy M(0, NA = NB2 N cách ba điểm A, B, C ⇔ 2 NA = NC x = (x − 1)2 + (y − 1)2 + = (x + 1)2 + (y + 1) ⇔ ⇔ 2 2 (x − 1) + (y − 1) + = (x − 3) + (y − 1) + y = − Vậy N (2, – , 0) c/ Gọi P(x, y, 0) A Nhận thấy A C nằm khác phía mp (Oxy) (do zA.zC = –1 < 0) Ta có: PA + PC ≥ AC A P Oxy P C Do đó: PA + PC nhỏ ⇔ PA + PC = AC ⇔ P = AC ∩ (Oxy) ⇔ A, P, C thẳng hàng uuur uuur Ta có: AP = (x – 1, y – 1, –1), AC = (2, 0, –2) uuur uuur uuur uuur A, P, C thẳng hàng ⇔ AP AC phương ⇔ AP = k AC Oxy p C x = x − = 2k y = ⇔ y − = ⇔ −1 = −2k k = Vậy P(2, 1, 0) Bài 5: Cho ∆ABC có A(0, 0, 1), B(1, 4, 0), C(0, 15, 1) a Tính độ dài đường cao AK ABC b Tìm tâm I đường tròn ngoại tiếp ∆ABC c Tìm trực tâm H ∆ABC Giải uuur uuur uuur a/ AB = (1, 4, –1), AC = (0, 15, 0), BC = (–1, 11, 1) uuur uuur uuur uuur 15 [ AB , AC ] = (15, 0, 15) ⇒ SABC = [AB, AC] = 2 158 Nhiều tác giả 15 15 15 = AK.BC = ⇒ AK = BC 123 IA = IB b/ Gọi I(x, y, z) Ta có: IA = IC uuur uuur uur AB, AC, AI đồng phẳng 21 x = − 2 IA = IB x + 4y − z − = 15 ⇔ IA = IC ⇔ 2y − 15 = ⇔ y = uuur uuur uur x + z − = [AB, AC].AI = 23 z = Ta có: SABC = Vậy I(– 21 15 23 , , ) 2 c/ Gọi H(x, y, z) Ta có: H trực tâm ∆ABC uuuu r uuur AH.BC = uuuu r uuur uuur uuur AH.BC = BH.AC = uuur uuur r uuur uuur uuuu BH.AC = AB, AC AH = u u u r u u u r u u u u r ⇔ AB, AC, AH đồng phẳng ⇔ − x + 11y + z − = x = 22 ⇔ y − = ⇔ y = x + z − = z = −21 Vậy: H(22, 4, –21) Bài 6: Cho bốn điểm: A(1, 0, 1), B(–1, 1, 2), C(–1, 1, 0), D(2, –1, –2) a Chứng minh A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện b Tính cosin góc hai đường thẳng AB CD c Tính độ dài đường cao AH tứ diện ABCD Giải uuur uuur uuur a/ A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện ⇔ AB , AC , AD không đồng uuur uuur uuur phẳng ⇔ [ AB, AC ] AD ≠ uuur uuur uuur Ta có: AB (–2, 1, 1), AC = (–2, 1, –1), AD = (1, –1, –3) uuur uuur uuur uuur uuur [ AB , AC ] = (–2, –4, 0) ⇒ [ AB, AC ] AD = ≠ Vậy A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện Hình học 159 uuur uuur uuur b/ Ta có: CD = (3, –2, –2), AB.CD = –10 uuur uuur uuur uuur 10 10 AB.CD = cos(AB, CD) = |cos( AB, CD )| = uuur uuur = 17 102 AB CD uuur uuur uuur c/ VABCD = [AB, AC].AD = 1 Ngoài ra: VABCD = SBCD.AH = ⇒ AH = SBCD 3 uuur uuur Ta có: [ BC, CD ] = (–4, –6, 0) 1 uuur uuur 16 + 36 = 13 ⇒ AH = ⇒ SBCD = [BC, CD] = 13 2 Bài 7: Cho ∆ABC có A(1, 1, 1), B(5, 1, –2), C(7, 9, 1) a Tính cosin góc A b Chứng minh góc B nhọn c Tính độ dài đường phân giác góc A d Tìm tọa độ chân đường cao vẽ từ A Giải uuur uuur uuur a/ Ta có: AB = (4, 0, –3), AC = (6, 8, 0), BC = (2, 8, 3) uuur uuur uuur uuur AB.AC 24 12 µ = cos( AB , AC ) = uuur uuur = = cos A AB AC 5.10 25 uuur uuur b/ BA = (–4, 0, 3), BC = (2, 8, 3) uuur uuur ⇒ BA BC = > ⇒ góc B nhọn c/ Gọi D(x, y, z) giao điểm đường phân giác góc A với cạnh BC uuur uuur DB AB = = = Ta có: ⇒ DC = −2DB DC AC 10 17 x = 7 − x = −2(5 − x) ⇔ 9 − y = −2(1 − y) ⇔ y = 11 1 − z = −2(−2 − z) z = − Vậy D( ⇒ 17 11 , , –1) 3 AD = 2 74 17 11 − 1÷ + − ÷ + (−1 − 1)2 = d/ H(x, y, z) chân đường vẽ từ A đến BC 160 Nhiều tác giả Bài 61 Cho bốn điểm A(2; –1; 6), B(–3; –1; –4), C(5; –1; 0), D(1; 2; 1) a) Chứng minh ABC tam giác vuông Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác b) Tính thể tích tứ điện ABCD c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ điện ABCD Bài 62 Viết phương trình mặt cầu trường hợp sau: a) Tâm I = (1; 0; –1), đường kính b) Đường kính AB với A(–1; 2; 1), B(0; 2; 3) c) Tâm O(0; 0; 0) tiếp xúc với mặt cầu tâm (3; –2; 4) bán kính d) Tâm I(3; –2; 4) qua A(7; 2; 1) e) Tâm I(2; –1; 3) tiếp xúc mặt phẳng (Oxy) f) Tâm I(2; –1; 3) tiếp xúc mặt phẳng (Oxz) g) Tâm I(2; –1; 3) tiếp xúc mặt phẳng (Oyz) Bài 63 a) Cho phương trình: x2 + y2 + z2 – 4mx + 4y + 2mz + m2 + 4m = Tìm m để phương trình mặt cầu tìm m để bán kính mặt cầu nhỏ b) Cho phương trình: x2 + y2 + z2 + 2xcosα – 2ysinα – 4z – (4 + sin2α) = Tìm α để phương trình phương trình mặt cầu tìm α để bán kính mặt cầu nhỏ Bài 64 a) Cho mặt cầu có phương trình: x2 + y2 + z2 – 6x – 2y + 4z + = điểm M(4; 3; 0) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu điểm M b) Viết phương trình mặt cầu có tâm I(–2; 1; 1) tiếp xúc với mặt phẳng (α): x + 2y – 2z + = c) Cho bốn điểm A(3; –2; –2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1),D(–1; 1; 2) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) Hình học 285 d) Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) có tâm I nằm mặt phẳng x + y + z – = Bài 65 Trong không gian toạ độ Oxyz cho mặt cầu: (S): x2 + y2 + z2 – 10x + 2y + 26z – 113 = đường thẳng x = −7 + 3t x + y − z + 13 d: = = ; d′ : y = −1 − 2t −3 z = a) Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) vuông góc với d b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với (S) song song với d, d′ Bài 66 Trong không gian toạ độ Oxyz cho điểm A(–2; 1; 4), B(0; 4; 1), x + y + 11 z − = = C(5; 1; –5), D(–2; 8; –5) đường thẳng d: −4 a) Chứng minh A, B, C, D bốn đỉnh tứ điện b) Tính thể tích khối tứ điện ABCD c) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ điện ABCD d) Tìm giao điểm M, N đường thẳng d với mặt cầu (S) e) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) M, N Tính góc tạo hai mặt phẳng Bài 67 Cho điểm A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(4; 1; 0) a) Viết phương trình mặt cầu (S) qua A, B, C, D Xác đònh tâm bán kính b) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu A Bài 68 Cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + m = mặt cầu (S): x + y2 + z2 – 4x + 6y – 2z – 11 = Tìm giá trò m để: a) Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) b) Mặt phẳng (P) cắ t mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính bằ ng Bài 69 Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu: x + y2 + z2 – 10x + 2y + 26z – 113 = song song với hai đường thẳng: 286 Nhiều tác giả x − + 3t x + y − z + 13 = = ; y = −1 − 2t −3 z = 4x + 6y + 5z − 103 = Đáp số: 4x + 6y + 5z + 205 = Bài 70 Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 6x + 4y – 2z + = mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 11 = Tìm điểm M (S) cho khoảng cách từ đến (P) nhỏ Đáp số: M(2, –4, –1) z = 2t Bài 71 Cho hai đường thẳng: (d1): y = t ; z = x = t′ (d2): y = − t′ Xét M thuộc z = (d1), N thuộc (d2) cho MN vuông góc với (d 1) (d2) Viết phương trình mặt cầu đường kính MN Đáp số: (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 16 Bài 72 Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4z – = ba điểm A(3; 1; 0), B(2; 2; 4), C(–1; 2; 1) mặt cầu a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) b) Tìm tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC x − 2y + z − = Bài 73 Cho điểm I(1; 1; 1) đường thẳng (d): 2y + z + = a) Xác đònh toạ độ hình chiếu vuông góc H I lên (d) b) Viết phương trình mặt cầu (C) có tâm I cắt (d) hai điểm A, B cho AB = 16 Đáp số: (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 = 81 Bài 74 Cho đường thẳng (d): x y −1 z+1 = = 2 hai mặt phẳng (P): x + y – 2z + = 0; (Q): 2x – y + z + = Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d) tiếp xúc với (P), (Q) Bài 75 Cho hai điểm A (1, 2, 0), B (0, 1, 3) đường thẳng d: Hình học 287 x −1 y x +1 = = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, vuông góc d 192 có khoảng cách đến điểm B lớn Đáp số: x −1 y −2 z = = −10 −1 Bài 76 Cho hai điểm A(3, 3, 1), B(0, 2, 1) đường thẳng d: Tìm điểm C d cho ∆ABC có diện tích lớn x y −7 z = = −3 17 47 34 Đáp số: ; ; ÷ 14 14 Bài 77 Cho điểm M (1, 3, –2) mặt cầu (S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 14 a) Chứng tỏ điểm M nằm mặt cầu (S) b) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M cắt (S) theo đường tròn có bán kính nhỏ Đáp số: y + z – = Bài 78 Tìm tọa độ điểm M mặt phẳng (P): 2x – 5y + 2z + = cho đường thẳng OM tạo với trục tọa độ góc x = t Bài 79 Cho đường thẳng d: y = − t điểm A (–5, 3, 4) z = − t Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, vuông góc d hợp với mặt phẳng (Oyz) góc 45o x = −5 + t Đáp số: y = + t z = Bài 80 Cho hai mặt phẳng α: x + 2y + 3z – = 0; β: 3x – 2y – z – = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến α, β cắt trục Ox, Oz A,B cho OA = OB 5x − 6y − 5z + = Đáp số: 5x + 2y + 5z − 11 = 288 Nhiều tác giả Bài 81 Cho hai đường thẳng d: điểm điểm M(0, –1,2) x −1 y −1 z−1 x y +1 z−3 = = = = ; d′ : 2 −1 −2 a) Chứng minh d, d′ M nằm mặt phẳng b) Gọi I giao điểm d d′ Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M cắt d, d′ A, B cho ∆ABI cân A Đáp số: x y +1 z−2 = = 14 22 x = + t Bài 82 Cho đường thẳng d: y = −4 mặt phẳng z = + 2t α: x – y + = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(1, 0, – 2), song song d hợp với α góc 45o Đáp số: y = 0, –8x + y + 4z + 16 = Bài 83 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(–2, 0, 1), cắt trục Oy tạo với trục Oy góc 45o Đáp số: x+2 y z−1 =± = −1 Bài 84 Cho hai điểm A(–2, 1, 3), B(1, 0, 4) Tìm điểm C mặt phẳng (Oxy) để ∆ABC có chu vi nhỏ −5 Đáp số: C ; ; 0÷ 7 x −1 y z+1 = = hai điểm A(3, 0, 2), −2 uur uur B(1, 2, 1) Tìm điểm I ∈ d để vectơ IA + IB có độ dài nhỏ Bài 85 Cho đường thẳng d: 14 −5 −13 Đáp số: I ; ; ÷ 9 Bài 86 Cho mặt phẳng α: x + y + z + = hai điểm A(3, –1, 1), B(–2, 0, –3) Tìm điểm M α để: a) MA + MB nhỏ Đáp số: − ; − ; − 2÷ 4 5 b) MA – MB lớn Đáp số: − ; ; − 3÷ 2 Hình học 289 uuuur uuuu r c) MA + MB nhỏ Đáp số: − ; − ; − 2÷ 6 Bài 87 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M (–1, 2, 3) cho (P) cắt trục Ox, Oy, Oz ba điểm A, B, C độ dài đường cao OH tứ điện OABC lớn (O gốc tọa độ) Đáp số: x – 2y – 3z + 14 = x −1 y −1 z = = mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – −2 2x – 4y – 6z + = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua d cắt (S) π theo đường tròn có điện tích Bài 88 Cho đường thẳng d: x − z − = Đáp số: 53x + 48y + 43z − 101 = Bài 89 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A (1, 0, 0), B (0, 2, 1) thỏa điều kiện: a) Tiếp xúc mặt cầu (S) (x – 1)2 + y2 + (z + 1)2 = Đáp số: x + z – = 0,3x + 4y – 5z – = b) Cắt trục Oz điểm D cho OD = Đáp số: 4x + y + 2z – = 0, 4x + 3y – 2z – = c) Hợp với mặt phẳng (P): x – y + 10 = góc 60o Đáp số: x + z – = d) Cách gốc O khoảng lớn Đáp số: 5x + 2y + z – = e) Hợp với mặt phẳng (Oxy) góc nhỏ Đáp số: x – 2y + 5z – = Bài 90 Cho ba điểm A (1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3) Tìm tọa độ điểm M mặt phẳng (ABC) cho M cách ba mặt phẳng tọa độ Bài 91 (CĐ.08) Cho điểm A (1, 1, 3) đường thẳng d: x y z −1 = = −1 a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vuông góc d 290 Nhiều tác giả b) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d cho ∆MOA cân O Bài 92 ĐHB/2010 Cho ba điểm A (1, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c) (b > 0, c > 0) mặt phẳng (P): y – z + = Xác đònh b, c biết mặt phẳng (ABC) vuông góc mặt phẳng (P) khoảng cách từ gốc đến mặt phẳng (ABC) x y −1 z = = Xác đònh tọa độ điểm M trục Ox 2 cho d(M, ∆) = OM Cho đường thẳng ∆: Bài 93 ĐH/D2010 Cho mặt phẳng (P): x + y + z – = (Q): x – y + z – = Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) (Q) cho khoảng cách từ gốc O đến (R) Bài 94 Cho mặt cầu (S): (x + 2)2 + (y – 1)2 + z2 = 26 đường thẳng d: x − y + z + 10 = = Tìm tọa độ điểm M ∈ (S) cho đường thẳng 2 OM vuông góc đường thẳng d OM = 11 (O gốc tọa độ) 13 −9 −17 Đáp số: (1, –3, 1); ; ; ÷ 7 7 x = m Bài 95 Cho đường thẳng ∆1: y = m + (t tham số) hai mặt phẳng: z = −1 + t (P): mx + y – mz – = 0; (Q): x – my + z – m = a) Tìm m để hai mặt phẳng (P) (Q) cắt b) Gọi ∆2 giao tuyến (P) (Q) Viết phương trình tham số đường thẳng ∆2 c) Tìm m để d(Oz, ∆1) = d(Oz, ∆2) Đáp số: m = Bài 96 Cho hai đường thẳng: d1 giao tuyến hai mặt phẳng: mx + 3y – = 0; x + 3z – = d2 giao tuyến hai mặt phẳng: x – mz – m = 0; y – z + = Tìm m để hai đường thẳng d1 d2 cắt điểm I cho OI = (O gốc tọa độ) Hình học 107 291 Đáp số: m = x + − m y − 2m z−1 = = (m ≠ –2 m+2 −2 m+3 m ≠ –3) Chứng minh m thay đổi, (d m) nằm mặt phẳng cố đònh Đáp số: 2x – y – 2z + = x −1 y −2 z−3 = = Bài 98 Cho đường thẳng d1: hai điểm A(5, 4, 3), B(6, 7, 2) a) Viết phương trình đường thẳng d qua hai điểm A, B Chứng minh d1 d2 chéo Bài 97 Cho đường thẳng (dm): b) Tìm điểm C ∈ d1 cho ∆ABC có điện tích nhỏ Tính giá trò nhỏ Đáp số: C(3, 5, 4), 66 Bài 99 Cho đường thẳng d: B(2, 3, –1), C (1, 3, 1) x y −1 z− = = ba điểm A(1, 0, –1), 1 −2 a) Tìm điểm D d cho tứ điện ABCD tích b) Viết phương trình đường thẳng qua trực tâm H ∆ABC vuông góc mặt phẳng (ABC) x −1 y −3 z+1 = = Đáp số: −2 Bài 100 Cho ba điểm A(1, –2, –5), B(1, –1, 0), C(3, –2, 2) a) Gọi E điểm đối xứng A qua đường thẳng BC; F điểm đối xứng A qua mặt phẳng (Oxz) Viết phương trình tham số đường thẳng EF b) Tìm m để mặt cầu (S): x + y2 + z2 – 4x + 6y + – 2m = tiếp xúc đường thẳng EF Tính khoảng cách từ E đến tiếp điểm (S) đường thẳng EF Bài 101 Cho hai điểm A(6, 2, –5), B(–4, 0, 7) a) Viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB b) Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) điểm A c) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Q): 5x + y – 6z + = cho đường thẳng qua M, vuông góc (Q) cắt (S) hai điểm, đồng thời 292 Nhiều tác giả khoảng cách hai điểm lớn x = + 2t Bài 102 Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 = đường thẳng d: y = − t z = −2 + 2t Tìm tọa độ điểm M d cho đường thẳng ∆ qua M, vuông góc mặt phẳng (P): x – 2z + = cắt (S) điểm A, B thỏa AB = Bài 103 Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 4x – 2y + 10z – 19 = 0, đường x − y − z −1 = = thẳng d: điểm A(–2, 1, 2), B(0, 4, 1) Tìm tọa −1 độ điểm M d cho đường thẳng ∆ qua M, song song đường thẳng AB cắt (S) điểm C, D thỏa CD = 14 Bài 104 Cho mặt cầu (S): (x – 2)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = mặt phẳng (P): –6x + 2y – 2z + 15 = Tìm tọa độ điểm M ∈ (S) cho tiếp tuyến M với (S) qua gốc tọa độ O vuông góc mặt phẳng (P) x = − t Bài 105 Cho mặt phẳng (P): y – 3z + = đường thẳng d: y = + t z = −3 + 2t Tìm điểm A (P) điểm B d cho đường thẳng AB vuông góc mặt phẳng (P) AB = 10 Bài 106 Cho mặt phẳng (P): 6x + 2y – 5z – 25 = hai đường thẳng x = + t d1: y = −2t ; d z = −4 − t x = − t′ : y = 3t′ z = t′ Tìm điểm A d1 điểm B d2 cho đường thẳng AB song song mặt phẳng (P) AB = 26 x −1 y −4 z+ = = Tìm điểm M ∈ d −1 điểm N ∈ Oy cho MN = khoảng cách từ N đến mặt phẳng (Oxz) Bài 107 Cho đường thẳng d: Hình học 293 x = −2 + t Bài 108 Cho đường thẳng d: y = − 3t z = − 2t ba điểm A(0, 2, 0), B(1, 3, –1), C(1, 1, –3) a) Tìm điểm M d để thể tích tứ điện ABCM 11 b) Tìm điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành c) Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết điểm S d mặt phẳng (SAB) tạo với mặt phẳng đáy góc 60o Bài 109 Cho khối chóp S.ABC có A(1, 2, 0), B(–2, 2, 0), C(–5, 1, 0) đỉnh thuộc trục Oz cho mặt phẳng (SAB) hợp với mặt phẳng đáy góc 30 o Tính thể tích khối chóp Bài 110 Cho hai điểm A(–3, 1, –2), B(1, –1, 2) mặt phẳng (P): x – (2m + 1)z – m2 + m – = Gọi A′ điểm đối xứng A qua mặt phẳng (Oyz); B′ điểm đối xứng B qua trục Oz a) Tìm m để đường thẳng A′B′ song song mặt phẳng (P) b) Tìm m để mặt phẳng (P) mặt phẳng trung trực đoạn thẳng A′B′ c) Tìm m để đường thẳng A′B′ tạo với mặt phẳng (P) góc 45o Bài 111 Cho ba điểm A(1, –2, 0), B(–2, 1, 3), C(4, –2, –3) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): x – 2z + = cho: uuuur uuuu r uuuu r a) MA + MB + MC nhỏ uuuur uuuu r uuuu r b) 4MA + MB + MC nhỏ uuuur uuuu r uuuu r c) MA + 2MB + MC nhỏ x = t x = + 2t′ Bài 112 Cho đường thẳng d: y = − t ; d′: y = + t′ z = + 2t z = − 2t′ 294 Nhiều tác giả 5 điểm I , , ÷ 2 Chứng minh d, d′ I nằm mặt phẳng Gọi A giao điểm d d′; ∆ đường thẳng qua I cắt d, d′ hai điểm M, N (khác A) Viết phương trình đường thẳng ∆ biết: a) I trung điểm MN b) ∆IMN vuông M c) Khoảng cách từ A đến ∆ lớn d) AM = Xác đònh tọa độ hai điểm M, N AN x = t x = − 2t′ Bài 113 Cho hai đường thẳng d: y = − 2t d′: y = + t′ z = t z = + 4t′ a) Chứng minh d d′ không cắt vuông góc b) Viết phương trình đường thẳng d1 song song trục Oz cắt hai đường thẳng d, d′ c) Viết phương trình đường thẳng d2 vuông góc mặt phẳng (Oxz) cắt hai đường thẳng d, d′ d) Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc hai đường thẳng d, d′ 2 16 34 10 Đáp số: x − ÷ + y − ÷ + z − ÷ = 21 21 21 Bài 114 Cho ba điểm A(1, –2, 3), B(–1, 2, –3), C(1, 3, –4) a) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với đường thẳng BC Tìm tọa độ tiếp điểm b) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng BC qua điểm A, B c) Viết phương trình mặt cầu qua hai điểm A, B có tâm thuộc trục Ox d) Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng (Oxy) Hình học 295 e) Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm cách mặt phẳng (ABC) đoạn f) Viết phương trình mặt cầu tâm A chắn trục Ox đoạn thẳng có độ dài độ dài đoạn BC Bài 115 Cho ba điểm A(2,0, –1), B(–1,3, –3), C(5, –3, –5) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) cho: a) Khoảng cách từ M đến trọng tâm ∆ABC nhỏ Đáp số: M(2, 0, 0) uuuur uuuu r uuuu r b) Độ dài vectơ 2MA + 5MB + 5MC nhỏ Đáp số: M(2, 0, 0) c) Thể tích tứ điện MABC lớn biết OM = (O gốc tọa độ) −3 ; ; 0÷ Đáp số: M − Tìm tọa độ điểm N thuộc mặt phẳng (P): x – 2y – z + = cho độ uuuu r uuur uuur dài vectơ NA + NB + NC nhỏ 11 13 −29 Đáp số: N ; ; ÷ 12 12 x = t Bài 116 Cho mặt cầu (S): x + y + z = đường thẳng d: y = + t z = + t 2 a) Tìm tâm bán kính đường tròn (C) giao tuyến mặt phẳng (P): z –1 = mặt cầu (S) b) Viết phương trình mặt cầu (S1) chứa (C) chắn đường thẳng d 14 đoạn có độ dài Đáp số: x2 + y2 + (z + 3)2 = 25 c) Viết phương trình mặt cầu (S ) chứa (C) chắn đường thẳng d đoạn có độ dài nhỏ Đáp số: x2 + y2 + (z – 2)2 = 10 x = x y −1 z+1 = + Bài 117 Cho hai đường thẳng: d: d′: y = t −1 z = + t 296 Nhiều tác giả a) Chứng minh d d′ chéo b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d′ song song d Đáp số: x – y + z – = c) Điểm M di động d, hai điểm A B di động d′ cho AB = Tính giá trò nhỏ diện tích tam giác MAB Đáp số: Bài 118 Cho ba điểm A(4, –1, 2), B(1, 2, 2), C(1, –1, 5) a) Tính thể tích khối tứ điện giới hạn mặt phẳng (ABC) ba mặt 125 phẳng tọa độ Đáp số: b) Viết phương trình trục dường tròn ngoại tiếp tam giác ABC x = + t Đáp số: y = t z = + t c) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD tứ điện Đáp số: D(4, 2, 5); (0, –2, 1) Giải tập sau phương pháp tọa độ: Bài 119 Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C″ có chiều cao h Biết AB′ vuông góc BC′ Tính thể tích khối lăng trụ theo h Bài 120 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = SB = a, mặt phẳng (SAB) vuông góc mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp Bài 121 Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh a Tìm điểm I thuộc cạnh AA′ cho mặt phẳng (BD′I) cắt hình lặp phương theo thiết điện có điện tích nhỏ · Bài 122 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, BAD = 60o, a SA = SB = AD = a) Tính thể tích khối chóp b) Tính góc hai đường thẳng SB AD Bài 123 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O, cạnh a; · = 60o, đường cao SO hình chóp a Tính khoảng cách BAD hai đường thẳng AD SB Hình học 297 MỤC LỤC BÀI 153 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 153 BÀI 171 MẶT PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 171 BÀI 188 MẶT CẦU 188 BÀI 196 ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN .196 Bài Viết phương trình tham số đường thẳng d biết d giao tuyến hai mặt phẳng: 197 α: 4x – 2y + 3z = βâ: 3x + y + 2z – = 197 70 BÀI 153 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 153 BÀI 171 MẶT PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 171 BÀI 188 MẶT CẦU 188 BÀI 196 ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN .196 Bài Viết phương trình tham số đường thẳng d biết d giao tuyến hai mặt phẳng: 197 α: 4x – 2y + 3z = βâ: 3x + y + 2z – = 197 96 BÀI 153 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 153 BÀI 171 MẶT PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 171 BÀI 188 MẶT CẦU 188 BÀI 196 298 Nhiều tác giả ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN .196 Bài Viết phương trình tham số đường thẳng d biết d giao tuyến hai mặt phẳng: 197 α: 4x – 2y + 3z = βâ: 3x + y + 2z – = 197 Hình học 299 [...]... − 3 2 6 2 6 • Nếu S.ABCD là hình chóp có đáy ABCD hình chữ nhật (hay hình vuông) có SA ⊥ (ABCD) z S x A y B C D • Nếu S.ABCD là hình chóp có (SAB) ⊥ (ABCD) và ABCD hình chữ nhật vẽ SO ⊥ AB thì SO ⊥ (ABCD) z S A B O y x z D A′ C • Nếu ABCD.A′B′C′D′ là hình hộp chữ nhật (hay lập phương) B′ C′ A B y D C x Hình học 163 Bài 8 Cho tứ diện N.ABC có NA vuông góc (ABC), NA = a, tam giác ABC vuông... của n vuông góc mặt phẳng α r r r Cho hai vectơ a, b khác 0 và không cùng phương r r r r r Nếu giá của a, b song song hoặc nằm trên mặt phẳng α thì n = [ a, b ] Hình học 171 là một vectơ pháp tuyến của mp α II PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG có dạng Ax + By + Cz + D = 0 (với A2 + B2 + C2 ≠ 0) r Với n = (A, B, C là vectơ pháp tuyến) r • Phương trình mặt phẳng qua điểm M(xo, yo, zo) và có vtpt n = (A, B, C) là:... 30 = Ta có: cosϕ = cos(i,n) = r r = 10 40 i n Bài 14: Đề dự bò Đại học khối A/2006 a 3 , 2 · = 60o Gọi M, N lần lượt là trung điểm A′D′ và A′B′ Chứng BAC minh AC′ vuông góc mp(BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C′D′ có AB = AD = a, AA′ = Giải ABCD là hình thói có ∆ABC đều gắn trục tọa độ như hình vẽ Hình học 183 Ta có: a 3 a 3 a a 3 a a 3 , 0, 0÷ , A′ , 0,... TỰ GIẢI BT1: Viết phương trình mặt phẳng qua A(1, 2, 3) và vuông góc hai mặt phẳng (P): x – y + z – 7 = 0 và (Q): 3x + 2y – 12z + 5 = 0 (Cao Đẳng 2009) BT2: Viết phương trình mặt phẳng qua I(0, 0, 1); K(3, 0, 0) và tạo với mặt phẳng Oxy một góc 30o (Dự bò Đại học khối B/2003) BT3: Cho A(5, 1, 3); B(1, 6, 2); C(5, 0, 4); D(4, 0, 6) và mặt phẳng (α): x – 2y + z – 10 = 0 Viết phương trình mặt phẳng Hình. .. SC).SB + (SM ∧ SC).SN 6 6 = 1 1 3 1 a3 3 a 3+ − = a3 3 4 6 6 2 Bài 10 Đề dự bò Đại học khối D 2003 Hình học 165 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC), tam giác ABC vuông tại B, AB = a, BC = SA = 2a Gọi M trung điểm SC Chứng minh tam giác AMB cân tại M Tính diện tích ∆AMB Giải y S M 2a B C A x C A H x a y 2a B Gắn trục như hình vẽ Ta có: A(0, 0, a), C(a 5 , 0, 0), S(0, 0, 2a) ∆ABC ⊥ tại B ⇒ AB2 = AH.AC... là hình thoi uuuur uuuu r Do đó: B′MDN là hình vuông ⇔ DM.DN = 0 ⇔ a2 3a2 h2 a 2 h2 − + = =0⇔ ⇔ AA′ = a 2 4 4 4 2 4 Bài 13 (Đề Tuyển sinh Đại học khối A 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P là trung điểm SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc BP và tính thể tích khối đa diện CMNP Gọi O là trung điểm AD Giải. .. VS.BCNM (Đáp số: ) 3 BT 13: Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a Gọi M, N là trung điểm AD và BB′ a) Chứng minh MN vuông góc A′C b) Trên các đoạn BB′, CD, A′D′ lấy I, J, K sao cho B′I = CJ = D′K Chứng minh AC′ vuông góc (IJK) BÀI 2 MẶT PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT I VECTƠ PHÁP TUYẾN (HAY PHÁP VECTƠ) CỦA MẶT PHẲNG → r r Vectơ n ≠ 0 gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng α nếu... AA′ uuuur uuuu r MN.BC′ = 0 ⇒ MN ⊥ BC′ C′ A′ B′ M N A x y C B BA = d(B, MA′C′) = a Hình học 167 Dt(∆MA′C′) = Vậy 1 1 a 2 a2 2 MA′.A′C′ = ÷a = 2 2 2 4 VM.A′BC′ = VB.A′MC′ = 1 a a2 2 a3 2 BAdt(∆MAA′) = ÷= 3 3 4 12 Bài 12 Tuyển sinh Đại học khối B 2003 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình thoi · cạnh a, BAD = 60o Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm AA′ và CC′ Chứng... bò Đại học khối A 2006 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc (ABCD), đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = 2a, SB tạo với mp(ABCD) góc 60 o Trên SA lấy M a 3 sao cho AM = , SD cắt (BCM) tại N Tính thể tích khối S.BCNM 2 Giải SA Ta có: ∆SAB ⊥ ⇒ tan60o = AB ⇒ SA = a 3 z S a 3 vậy M 2 trung điểm SA Mp(SAD) chứa AD // (BCM) M Nên (SAD) cắt (SAD) theo giao tuyến MN // AD A Mà AM = Gắn trục tọa độ như hình vẽ... phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(3, 0, 0), C(0, 0, 1) thỏa điều kiện 7 a (P) cắt trục tung tại điểm B sao cho ∆ABC có diện tích bằng 2 b (P) tạo với mặt phẳng (Oxy) góc 30o Giải a/ Gọi B(0, b, 0) ∈ y′Oy Nếu b = 0 ⇒ B trùng O ⇒ SABC = 3 (trái giả thiết) Vậy b ≠ 0 2 Hình học 177 x y z + + =1 3 b 1 uuur uuur uuur uuur Ta có: AB = (–3, b, 0), AC = (–3, 0, 1) ⇒ [ AB , AC ] = (b, 3, 3b) Do đó phương ... soạn 152 Nhiều tác giả BÀI HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT → → • Trong không gian (Oxyz) cho hai vectơ a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) a1 = b1 Ta có: a = b ⇔ a = b2 a = b... a1b1 + a2b2 + a3b3 r r ar = a + a + a 2 Hệ quả: a = a ; → → → → a ⊥ b ⇔ a.b = • Trong không gian (Oxyz) cho A(xA, yA, zA, ), B(xB, yB, zB), C(xC, yC, zC) uuuu r Ta có: AB = (xB – xA, yB – yA, zB... = Nếu M ∈ z′Oz xM = yM = Nếu M ∈ y′Oy xM = zM = • Tính có hướng hai vectơ → → Trong không gian (Oxyz) cho vectơ: a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) r r r → → r Tích có hướng hai vectơ a b , ký