Bài giảng môn học toán cho tin học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VÕ TRƯỜNG TOẢN Toán cho tin học BÀI GIẢNG MÔN HỌC Chuyên ngành: Công nghệ thông tin Người biên soạn: Phạm Thanh Dược Hậu Giang - 2011 Mục lục MỤC LỤC ĐẠI SỐ MỆNH ĐỀ 1.1 Tổng quan 1.2 Định nghĩa mệnh đề 1.3 Các phép tính mệnh đề 1.3.1 Phép phủ định (NEGATION) 10 1.3.2 Phép hội (CONJUNCTION) 10 1.3.3 Phép tuyển (DISJUNCTION) 11 1.3.4 Phép XOR 12 1.3.5 Phép toán bit 12 1.3.6 Phép kéo theo (IMPLICATION) 13 1.3.7 Phép tương đương (BICONDITIONAL) 14 1.4 Biểu thức mệnh đề (LOGICAL CONNECTIVES) 14 1.5 Các ứng dụng Logic (EVERDAY LOGICAL) 16 1.6 Các thuật ngữ chuyên ngành (SOME TERMINOLOGY) 20 1.6.1 Định nghĩa Hằng (Tautologie): 20 1.6.2 Định nghĩa Hằng sai (Contradiction): 20 1.6.3 Định nghĩa tiếp liên (Contingency) 21 1.7 Mệnh đề hệ 21 1.8 Tương đương Logic (LOGICALLY EQUIVALENT) 22 1.9 Tổng kết chương 24 1.10 Bài tập chương 24 Mục lục Suy luận toán học 27 2.1 Khái niệm 27 2.2 Các qui tắc suy luận 28 2.3 Các phương pháp chứng minh 30 2.3.1 Chứng minh rỗng ( P sai) 31 2.3.2 Chứng minh tầm thường (Q đúng) 31 2.3.3 Chứng minh trực tiếp 32 2.3.4 Chứng minh gián tiếp 33 2.3.5 Chứng minh phản chứng 35 2.3.6 Chứng minh qui nạp 36 2.4 Bài tập chương 37 Bài toán đếm 43 3.1 Những nguyên lý đếm 43 3.1.1 Quy tắc cộng 43 3.1.2 Quy tắc nhân 45 3.1.3 Nguyên lý bù trừ 46 3.2 NGUYÊN LÝ DIRICHLET 47 3.2.1 Mở đầu 47 3.2.2 Nguyên lý Dirichlet tổng quát 48 3.3 Đếm hoán vị tổ hợp 49 3.3.1 Chỉnh hợp lặp 49 3.3.2 Chỉnh hợp không lặp 50 3.3.3 Hoán vị 51 3.3.4 Tổ hợp 51 3.4 Hệ thức truy hồi 52 3.4.1 Khái niệm mở đầu mô hình hóa hệ thức truy hồi 52 3.4.2 Giải hệ thức truy hồi 54 3.5 Quan hệ chia để trị 57 3.5.1 Mở đầu 57 3.5.2 Hệ thức chia để trị 57 3.6 Bài tập chương 58 Mục lục Số học tập số nguyên 61 4.1 Phép chia hết phép chia có dư 61 4.1.1 Phép chia Z 61 4.1.2 Biểu diễn số nguyên 62 4.2 Ước chung lớn 63 4.2.1 Một số khái niệm 63 4.2.2 Thuật toán Euclid 65 4.3 Số nguyên tố hợp số 66 4.3.1 Khái niệm số nguyên tố 66 4.3.2 Sàng ƠRATÔXTEN 68 4.3.3 Định lý số học 69 4.4 Bài tập chương 69 Đại số Boole 73 5.1 Mở đầu 73 5.2 Hàm Boole biểu thức Boole 74 5.2.1 Hàm Boole 74 5.2.2 Biểu thức Boole 76 5.2.3 Biểu diễn hàm Boole 77 5.2.4 Các đẳng thức đại số Boole 79 5.2.5 Tính đối ngẫu đại số Boole 80 5.3 Định nghĩa trừu tượng đại số Boole 80 5.4 Các cổng logic tổ hợp cổng logic 81 5.4.1 Các cổng logic 81 5.4.2 Tổ hợp cổng logic 82 5.5 Tối thiểu hóa hàm Boole 82 5.5.1 Phương pháp biến đổi đại số 82 5.5.2 Phương pháp bảng Karnaugh 83 5.5.3 Phương pháp Quine-Mc Cluskey 85 5.6 Bài tập chương 86 Mục lục Chương ĐẠI SỐ MỆNH ĐỀ 1.1 Tổng quan • Mục tiêu chương Học xong chương này, sinh viên phải nắm bắt vấn đề sau: - Thế mệnh đề, chân trị mệnh đề, phép toán mệnh đề - Thực phép toán mệnh đề - Hiểu ứng dụng phép toán logic lập trình đời sống hàng ngày • Kiến thức cần thiết Các kiến thức chương bao gồm: - Kiến thức phép toán đại số, phép toán hình học - Có khả suy luận - Biết lập trình ngôn ngữ Pascal, C • Tài liệu tham khảo Phạm văn Thiều, Đặng Hữu Thịnh Toán rời rạc ứng dụng tin học Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội - 1997 (chương 1, trang - 28) • Nội dung cốt lõi - Định nghĩa mệnh đề, biểu thức mệnh đề Chương ĐẠI SỐ MỆNH ĐỀ - Các phép toán - Ví dụ ứng dụng - Giới thiệu số thuật ngữ chuyên dùng - Tương đương logic cách chứng minh 1.2 Định nghĩa mệnh đề Mỗi câu phát biểu sai gọi mệnh đề (Definition proposition: Any statement that is either true or false is called a proposition.) Ví dụ 1.2.1 Các câu xác định mệnh đề 2+3=5 3*4 = 10 Tam giác có cạnh Washington D.C thủ đô Hoa Kỳ Toronto thủ đô Canada Câu xác định "2 + = 5", "Tam giác có cạnh nhau" "Washington D.C thủ đô Hoa Kỳ" mệnh đề Còn câu xác định "3*4 = 10" "Toronto thủ đô Canada" mệnh đề sai Như vậy, mệnh đề mệnh đề mệnh đề sai Hay nói cách khác, mệnh đề lựa chọn giá trị là sai Một mệnh đề vừa vừa sai Ví dụ 1.2.2 Xét câu phát biểu sau Hôm thứ ? Một số thực âm số phương 1.3 Các phép tính mệnh đề Hãy đọc kỹ đọan x+1=2 x+y=z Câu "Hôm thứ ? " không mệnh đề câu hỏi giá trị đúng, sai Câu "Một số âm số phương" có chân trị xét tập họp số thực R lại có chân trị sai xét tập họp số phức Câu "x+1=2" câu "x+y=z" mệnh đề chúng chẳng chẳng sai biến câu chưa gán cho giá trị cụ thể Giá trị đúng, sai mệnh đề gọi chân trị mệnh đề Chân trị mệnh đề ký hiệu T (true), chân trị mệnh đề sai ký hiệu F (false) Bảng chân trị mệnh đề bao gồm trường hợp đúng, sai xảy mệnh đề Mục đích họat động khoa học phân biệt mệnh đề để xác định chân trị Sự xác định chân trị dựa vào thực nghiệm lý luận Lý luận xác định chân trị mệnh đề cách kết hợp mệnh đề mà ta biết chân trị Các luật lệ chế ngự cách kết hợp mang tính xác phép toán đại số Vì thế, cần nói đến "Đại số mệnh đề" 1.3 Các phép tính mệnh đề Trong phép tính mệnh đề, người ta không quan tâm đến ý nghĩa câu phát biểu mà ý đến chân trị mệnh đề Do đó, thực phép toán mệnh đề thông thường người ta không ghi rõ câu phát biểu mà ghi ký hiệu Các chữ dùng để ký hiệu mệnh đề Những chữ thường dùng P, Q, R, Mệnh đề có giá trị đơn (luôn sai) gọi mệnh đề nguyên từ ( atomic proposition ) Các mệnh đề mệnh đề nguyên từ gọi Chương ĐẠI SỐ MỆNH ĐỀ 10 mệng đề phức hợp (compound propositions) Thông thường, tất mệnh đề phức hợp mệnh đề liên kết (có chứa phép tính mệnh đề) Các phép tính mệnh đề sử dụng nhằm mục đích kết nối mệnh đề lại với tạo mệnh đề Các phép toán mệnh đề trình bày chương bao gồm : phép phủ định, phép hội, phép tuyển, phép XOR, phép kéo theo, phép tương đương 1.3.1 Phép phủ định (NEGATION) Cho P mệnh đề, câu "không phải P" mệnh đề khác gọi phủ định mệnh đề P Kí hiệu : ¬P (P¯ ) Ví dụ 1.3.1 P = ”2 > 0” ¬P = ”2 ≤ 0” P T F ¬P F T Bảng 1.1: Bảng chân trị (truth table) Qui tắc: Nếu P có giá trị T phủ định P có giá trị F 1.3.2 Phép hội (CONJUNCTION) Cho hai mệnh đề P, Q Câu xác định "P Q" mệnh đề gọi hội mệnh đề P Q Kí hiệu P ∧ Q Ví dụ 1.3.2 Cho mệnh đề P Q sau: P = ”2 > 0” mệnh đề Q = ”2 = 0” mệnh đề sai P ∧ Q = ”2 > 0và = 0” mệnh đề sai Chương Số học tập số nguyên 72 Bài tập 4.4.20 Chứng minh + 2n + 4n (n ∈ Z+ ) số nguyên tố n = 3k với k ∈ N Bài tập 4.4.21 Cho số nguyên dương a, b, c, d thoả mãn a.b = c.d Chứng minh A = an + bn + cn + dn hợp số với n ∈ N Bài tập 4.4.22 Tìm số nguyên tố x; y; z thoả mãn a) x2 − 2.y − = b) x2 + y = z c)x.y.z = 3(x + y + z) Chương Đại số Boole 5.1 Mở đầu Đại số Boole phép toán quy tắc làm việc với tập 0,1, áp dụng nghiên cứu máy tính, dung cụ điện tử, quang học Ba phép toán dùng nhiều đại số Boole là: 1) Phần bù phần tử, ký hiệu gạch ngang đầu, định nghĩa bởi: = = 2) Tổng Boole, ký hiệu + OR (hoặc) xác định bởi: + = 1; + = 1; + = 1; + = 3) Tích Boole, ký hiệu AND (và), xác định: 1.1 = 1; 1.0 = 0; 0.1 = 0; Chú ý: Thứ tự thực phép toán Boole: · Lấy phần bù · Tích Boole · Tổng Boole 73 0.0 = Chương Đại số Boole 74 Phép lấy phần bù, tổng tích Boole tương ứng với toán tử logic ¬, ∧, ∨ , ứng với chân trị "sai" ứng với chân trị "đúng" Ví dụ 5.1.1 Tìm giá trị 1.0 + (0 + 1) Giải 1.0 + (0 + 1) = + = + = 5.2 5.2.1 Hàm Boole biểu thức Boole Hàm Boole Định nghĩa 5.2.1 Cho B=0,1 Một ánh xạ : f : Bn −→ B (x1 , x2 , · · · , xn ) −→ f (x1 , x2 , · · · , xn ) Gọi hàm Boole bậc n theo n biến x1 , x2 , · · · , xn o Các hàm Boole gọi hàm logic hay hàm nhị phân o Các biến xuất hàm Boole gọi biến Boole o Mỗi hàm Boole liên kết với bảng cho biết phụ thuộc hàm theo biến Boole, gọi bảng chân trị hàm Boole Ví dụ 5.2.2 Hàm Boole hai biến f(x,y) xác định bảng sau: x y f(x,y) 0 0 1 1 5.2 Hàm Boole biểu thức Boole 75 Ví dụ 5.2.3 Các cử tri A1 , A2 , A3 tham gia bỏ phiếu bầu cử có ứng cử viên D Các biến Boole tương ứng x1 , x2 , x3 Với xi Ai bầu cho D Ai không bầu cho D D trúng cử (D hai phiếu bầu) Ta D không trúng cử (D hai phiếu bầu) có hàm Boole f : B −→ B tương ứng với bảng chân trị sau: Đặt f (x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 x3 f (x1 , x2 , x3 ) 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 Định nghĩa 5.2.4 Hai hàm Boole f : B n −→ B g : B n −→ B gọi f (x1 , x2 , · · · , xn ) = g(x1 , x2 , · · · , xn ) với (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ B n Định nghĩa 5.2.5 Phần bù hàm Boole f : B n −→ B ký hiệu f xác định sau : f (x1 , x2 , · · · , xn ) = f (x1 , x2 , · · · , xn ) với (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ B n Định nghĩa 5.2.6 Tổng Boole f + g tích Boole f.g xác định sau: (f +g)(x1, x2 , · · · , xn ) = f (x1 , x2 , · · · , xn )+g(x1 , x2 , · · · , xn ) với (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ B n (f.g)(x1 , x2 , · · · , xn ) = f (x1 , x2 , · · · , xn ).g(x1 , x2 , · · · , xn ) với (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ B n Chương Đại số Boole 76 Chú ý: Số hàm Boole n biến khác 22 n Ví dụ 5.2.7 Nếu f(x) hàm Boole biến có hàm cho theo bảng sau 5.2.2 x f1 f2 f3 f4 0 1 1 Biểu thức Boole Các biểu thức Boole với biến x1 , x2 , · · · , xn định nghĩa đệ quy sau : 0, 1, x1 , x2 , · · · , xn biểu thức Boole Nếu E1 E2 biểu thức Boole E1 , E1 + E2 E1 E2 biểu thức Boole Chú ý: · Mỗi biểu thức Boole biểu diễn hàm Boole · Hai biểu thức Boole biểu diễn hàm Boole tương đương Ví dụ 5.2.8 Tìm giá trị hàm Boole biểu diễn :f (x, y, z) = xy + z Giải x y z xy z f (x, y, z) = xy + z 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 5.2 Hàm Boole biểu thức Boole 5.2.3 77 Biểu diễn hàm Boole Vấn đề: Cho giá trị hàm Boole n biến x1 , x2 , , xn Làm để tìm biểu thức biễu diễn hàm đó? Định nghĩa 5.2.9 · Một biến Boole phần bù gọi tục biến · Tích Boole y1 y2 · · · yn yi = xi yi = xi với x1 , x2 , · · · , xn biến Boole gọi tiểu hạng Ghi chú: Tổng tiểu hạng biểu diễn hàm Boole gọi khai triển tích hay dạng tuyển chuẩn tắc hàm Boole Ví dụ 5.2.10 Tìm dạng tuyển chuẩn tắc hàm Boole f, g xác định qua bảng sau : x y z f(x,y,z) g(x,y,z) 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Giải Biểu diễn hàm f f (x, y, z) = xyz Biểu diễn hàm g g(x, y, z) = xyz + xyz Chương Đại số Boole 78 Ví dụ 5.2.11 Tìm biểu thức Boole biễu diễn hàm Boole f(x,y) xác định theo bảng: x y f(x,y) 1 1 0 0 Giải Hàm có giá trị x = y = 0; có giá trị trường hợp lại nên hàm có tiểu hạng x¯ y Vậy f (x, y) = xy Ví dụ 5.2.12 Tìm khai triển tổng tích hàm Boole f (x, y, z) = (x + y)z Giải Tìm giá trị hàm f theo bảng x y z x+y z f = (x + y)z 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 f tổng ba tiểu hạng ứng với ba dòng có giá trị Biểu diễn hàm f f (x, y, z) = xyz + xyz + xyz 5.2 Hàm Boole biểu thức Boole 5.2.4 79 Các đẳng thức đại số Boole Hằng đẳng thức Tên gọi x=x luật bù kép x+x= x luật lũy đẳng x.x = x x+0 =x luật đồng x.1 = x x+1=1 luật nuốt x.0 = x+y =y+x luật giao hoán xy = yx x + (y + z) = (x + y) + z x(yz) = (xy)z luật kết hợp x(y + z) = xy + xz x + (yz) = (x + y)(x + z) luật phân phối x(x + y) = x x + (xy) = x luật hút thu (xy) = x + y (x + y) = x.y luật De Morgan Ví dụ 5.2.13 Chứng minh luật hút thu (hấp thụ): x(x + y) = x; x + (xy) = x Giải x(x + y) = xx + xy = x + xy (phân phối) (lũy đẳng) = x.1 + xy (đồng nhất) = x(1 + y) (phân phối) = x.1 =x (nuốt) Chương Đại số Boole 80 (phân phối) x + (xy) = (x + x)(x + y) (lũy đẳng) = x(x + y) =x 5.2.5 (theo c/m trên) Tính đối ngẫu đại số Boole Đối ngẫu biểu thức Boole biểu thức Boole nhận tổng tích đổi chỗ cho nhau„ số đỗi chỗ cho Ví dụ 5.2.14 Đối ngẫu (x.y) + z (x + y).z Đối ngẫu (x.1) + (y + z) (x + 0).(y.z) Nguyên lý đối ngẫu: Một đẳng thức hai biểu thức Boole ta lấy đối ngẫu hai vế Ví dụ 5.2.15 Ta có luật hút thu: x(x + y) = x Lấy đối ngẫu hai vế ta có luật hút thu: x + (x.y) = x 5.3 Định nghĩa trừu tượng đại số Boole Định nghĩa 5.3.1 Một đại số Boole tập A hai phép toán hai ∨, ∧ thõa mản tính chất sau : ∀x, y, z ∈ A a Tính kết hợp: x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z b Tính giao hoán: x∨y =y∨x 5.4 Các cổng logic tổ hợp cổng logic x∧y = y∧x c Tính phân phối: x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) d Tính đồng nhất:tồn hai phần tử trung hòa ký hiệu cho x∨0 =x x∧1 =x e Tính nuốt :∀x ∈ A, ∃x ∈ A x∨x= x∧x= 5.4 5.4.1 Các cổng logic tổ hợp cổng logic Các cổng logic 81 Chương Đại số Boole 82 5.4.2 Tổ hợp cổng logic Ví dụ 5.4.1 Thiết kế mạch tổ hợp có đầu biểu thức boole: xy + xy Giải xy cổng AND, x đảo, xy cổng AND 5.5 Tối thiểu hóa hàm Boole 5.5.1 Phương pháp biến đổi đại số Dựa vào luật, đẳng thức đại số Boole để tối thiểu hóa biến phép toán Ví dụ 5.5.1 a) Tối thiểu hóa hàm Boole: f (x, y, z) = xyz + xyz b) Thiết kế mạch tổ hợp f (x, y, z) = xyz + xyz dạng tối thiểu hóa c) Tối thiểu hóa hàm Boole: f (x, y) = xy + xy + xy d) Thiết kế mạch tổ hợp f (x, y, z) = xy + xy + xy dạng tối thiểu hóa 5.5 Tối thiểu hóa hàm Boole 5.5.2 83 Phương pháp bảng Karnaugh Thường áp dụng hàm Boole có biến trở xuống Bảng Karnaugh với hàm Boole hai biến: y y xy xy x xy xy x Hai ô gọi kề tiểu hạng mà chúng biểu diễn khác tục biến Quy tắc: Nếu hai ô kề có giá trị ta rút gọn thành ô Ví dụ 5.5.2 Dùng bảng Karnaugh để tối thiểu hóa hàm Boole : f (x, y) = xy + xy Giải Bảng Karnaugh hàm f y y x x Ta có dạng tối thiểu hóa f (x, y) = y Ví dụ 5.5.3 Dùng bảng Karnaugh để tối thiểu hóa hàm Boole : f (x, y) = xy + xy + xy Giải Bảng Karnaugh hàm f Ta có dạng tối thiểu hóa f (x, y) = x + y Chương Đại số Boole 84 y y x x 1 Ví dụ 5.5.4 Dùng bảng Karnaugh để tối thiểu hóa hàm Boole : f (x, y, z) = xyz + xyz + xyz + xyz Giải Bảng Karnaugh hàm f yz yz yz yz x 1 x 1 Tổ hợp ô kề nhau: xyz + xyz = xz Tổ hợp ô kề nhau: xyz + xyz = yz Ta có dạng tối thiểu hóa f (x, y) = xz + yz + xyz Ví dụ 5.5.5 Dùng bảng Karnaugh để tối thiểu hóa hàm Boole : f (x, y, z) = xyz + xyz + xyz + xyz + xyz Bảng Karnaugh hàm f yz yz yz yz x 0 1 x 1 Ta có dạng tối thiểu hóa f (x, y) = xyz + yz + yz + xy + xy = xyz + y 5.5 Tối thiểu hóa hàm Boole 5.5.3 85 Phương pháp Quine-Mc Cluskey Phương pháp bảng Karnaugh có hạn chế khó sử dụng số biến lớn lại dựa vào trực quan để nhận dạng số cần nhóm lại Phưong pháp Quine−Mc.Cluskey giải khuyết điểm Ví dụ 5.5.6 Tối thiểu hóa hàm Boole sau: f (x, y, z) = xyz + xyz + xyz + xyz + xyz Giải Bước 1: Tìm ứng viên Bước 1.a : Lập bảng biểu diển tiểu hạng xâu bit theo nguyên tắc sau : · tục biến dấu phủ định thay · có dấu phủ định thay Nhóm tiểu hạng có số số Tiểu hạng Xâu bit Số số xyz 111 xyz 101 xyz 011 xyz 001 xyz 000 Bước 1.b : Hai tiểu hạng hai nhóm kề tổ hợp lại chúng khác tục biến, ta thay vi trí tục biến xâu bit dấu "-" Chương Đại số Boole 86 5.6 Bài tập chương [...]... sở đúng không? " Nếu bạn đã giải hết bài tập trong sách toán rời rạc 2 này thì bạn nắm vững logic Bạn nắm vững logic vậy thì bạn đã giải hết bài tập trong sách toán rời rạc 2 này" Nhận thấy suy diễn này là dựa trên mệnh đề sau: ((P → Q) ∧ Q) → P Trong đó: P := "Bạn đã giải hết bài tập trong sách toán rời rạc 2"; Q := "Bạn nắm vững logic" Chương 2 Suy luận toán học 30 Mệnh đề ((P → Q) ∧ Q) → P không... xét Có những bài toán có thể sử dụng phương pháp chứng minh trực tiếp hay gián tiếp đều được cả Tuy nhiên, có những bài toán không thể sử dụng phương pháp chứng minh trực tiếp được hoặc sử dụng trực tiếp thì bài giải sẽ dài dòng phức tạp hơn là sử dụng chứng minh gián tiếp ( hoặc ngược lại) Đây chính là sự khác biệt của chứng minh trực tiếp và chứng minh gián tiếp Chương 2 Suy luận toán học 34 Ví dụ... 2 Suy luận toán học 2.1 Khái niệm Suy luận được xem là một trong những nền tảng xây dựng nên các ngành khoa học tự nhiên Từ xưa đến nay, nhờ suy luận mà người ta có thể nhận thức được cái chưa biết từ những cái đã biết Suy luận còn là cơ sở của sự sáng tạo Từ các phán đoán, đưa đến các chứng minh để chấp nhận hay bác bỏ một vấn đề nào đó Suy luận toán học dựa trên nền tảng của các phép toán mệnh đề,... các phép toán logic Ngoài ra, các thuật ngữ chuyên ngành cũng rất quan trọng Sinh viên phải biết cách áp dụng các phép toán logic trong lập trình Tuy nhiên, có vấn đề cần lưu ý khi áp dụng tính giao hoán 1.10 Bài tập chương 1 Bài tập 1.10.1 Nếu Q có chân trị là T, hãy xác định chân trị của các biến mệnh đề P, R, S nếu biểu thức mệnh đề sau cũng là đúng (Q → ((¬P ∨ R) ∧ ¬S)) ∧ (¬S → (¬R ∧ Q)) Bài tập... cô ta đến." Đây là suy diễn dựa trên qui tắc tam đoạn luận giả định • "Nếu hôm nay tuyết rơi thì trường đại học đóng cửa Hôm nay trường đại học không đóng cửa Do đó, hôm nay đã không có tuyết rơi " Đây là suy diễn dựa trên qui tắc Modus Tollens • " Alice giỏi toán Do đó, Alice giỏi toán hoặc tin" Đây là suy diễn dựa trên qui tắc cộng Ngụy biện Các phương pháp chứng minh sai còn được gọi là ngụy biện... lệnh trước để tính toán cho câu sau) Bài tập 1.10.3 Trong một phiên tòa xử án 3 bị can có liên quan đến vấn đề tài chánh, trước tòa cả 3 bị cáo đều tuyên thệ khai đúng sự thật và lời khai như sau: Anh A: Chị B có tội và anh C vô tội Chị B : Nếu anh A có tội thì anh C cũng có tội Anh C: Tôi vô tội nhưng một trong hai người kia là có tội Hãy xét xem ai là người có tội? Bài tập 1.10.4 Cho các mệnh đề được... người khôn khéo, hoặc nó gặp may mắn nhưng không đồng thời cả hai Bài tập 1.10.5 Cho a và b là hai số nguyên dương Biết rằng, trong 4 mệnh đề sau đây có 3 mệnh đề đúng và 1 mệnh đề sai Hãy tìm mọi cặp số (a, b) có thể có 1/ a + 1 chia hết cho b; Chương 1 ĐẠI SỐ MỆNH ĐỀ 26 2/ a = 2b + 5; 3/ a + b chia hết cho 3; 4/ a + 7b là số nguyên tố Bài tập 1.10.6 Không lập bảng chân trị, sử dụng các công thức tương... là sai, tức là n2 < n Vì n là nguyên dương nên ta có thể chia 2 vế cho n mà bất đẳng thức không đổi chiều Ta có : n < 1 Vậy từ Q đã dẫn đến P Do đó, Nếu n>1 thì n2 > n Ví dụ 2.3.7 Chứng minh rằng: " Nếu n không chia hết cho 3 thì n2 không chia hết cho 3" Giải Gọi P là mệnh đề "n không chia hết cho 3" Q là mệnh đề "n2 không chia hết cho 3" Khi đó, P tương đương với P1 ∨ P2 Trong đó: P1 = " n mod 3... Khi phương pháp chứng minh dựa trên một hằng sai thì sẽ mang lại kết quả sai nhưng người ta vẫn cho là đúng thì được gọi là 27 Chương 2 Suy luận toán học 28 cố ý Đôi khi có những phương pháp chứng minh dựa trên một tiếp liên (có khi mệnh đề là đúng nhưng cũng có lúc sai) mà người ta tưởng lầm là hằng đúng nên cho là kết quả bao giờ cũng đúng thì trường hợp này gọi là vô ý (hay ngộ nhận) Sau đây, chúng... lớp học Nếu bạn đạt được 2 lần điểm A, hoặc chỉ một lần điểm A nhưng không được có một lần nào rớt trong 3 lần kiểm tra đó thì bạn sẽ đạt điểm A cho toàn khóa học Bạn là người không được siêng năng lắm, vậy thì bạn sẽ chọn cách nào để đạt điểm A cho toàn khóa học ? Chương 1 ĐẠI SỐ MỆNH ĐỀ 18 Cách giải quyết : Bởi vì điều kiện là OR nên cách giải quyết là bạn có thể đạt 2 điểm A và rớt lần 3, hay là chỉ ... giỏi Toán học giỏi Tin học giỏi hai môn? Giải Gọi A tập tập sinh viên giỏi Tin học, B tập sinh viên giỏi Toán Khi A ∩ B tập sinh viên giỏi toán học tin học Vì sinh viên lớp giỏi toán, giỏi tin học. .. thiết cho không : a/ Môn toán không dễ nhiều sinh viên thích môn logic b/ Không có nhiều sinh viên thích môn logic môn toán không dễ c/ Môn toán dễ môn logic khó d/ Môn logic không khó môn toán. .. tập hợp Cho A1 , A2 hai tập hữu hạn, |A1 ∪ A2 | = |A1 | + |A2 | − |A1 ∩ A2 | Ví dụ 3.1.7 Lớp toán học rời rạc có 25 sinh viên giỏi Tin học, 13 sinh viên giỏi Toán sinh viên giỏi Toán Tin học Hỏi