Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 230 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
230
Dung lượng
24,89 MB
Nội dung
TRƯỜNG THPT CHUN VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 20152016 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề. Câu 1 (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x - x 2 + Câu 2 (1,0 điểm).Tìm cực trị của hàm số : y = x - sin x + 2 . Câu 3 (1,0 điểm). 3sin a - cos a a) Cho tan a = Tính giá trị biểu thức M = 5sin a + cos 3 a x - x - 3 x ®3 x 2 - 9 Câu 4 (1,0 điểm) Giải phương trình : 3sin x - 4sin x cos x + 5cos 2 x = 2 b) Tính giới hạn : L = lim Câu 5 (1,0 điểm). 5 2 ỉ a) Tìm hsca x trongkhaitrincabiuthc: ỗ 3x3 - ữ x ø è b) Một hộp chứa 20 quả cầu giống nhau gồm 12 quả đỏ và 8 quả xanh. Lấy ngẫu nhiên (đồng thời) quả. Tính xác suất để có ít nhất một quả cầu màu xanh. 10 Câu 6 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ( Oxy ) , cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A ( -2; - 1 ) , D ( 5;0 ) và có tâm I ( 2;1 ) . Hãy xác định tọa độ hai đỉnh B, C và góc nhọn hợp bởi hai đường chéo của hình bình hành đã cho. Câu 7 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho MC = 2 MS Biết AB = 3, BC = 3 3 , tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BM Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ( Oxy ) , cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm J ( 2;1 ) . Biết đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC có phương trình : x + y - 10 = 0 D ( 2; - 4 ) là giao điểm thứ hai của AJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC biết B có hồnh độ âm và B thuộc đường thẳng có phương trình x + y + = 0 ìï x - y + x - 12 y + = x - 6 y 2 Câu 9 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình : í 2 ïỵ x + + - y = x + y - x - 2 y Câu 10 (1,0 điểm).Cho hai phương trình : x + x 2 + x + = 0 và x - x 2 + 23 x - 26 = 0 . Chứng minh rằng mỗi phương trình trên có đúng một nghiệm, tính tổng hai nghiệm đó. Hết Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh:……………… TRƯỜNG THPT CHUN VĨNH PHÚC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 20152016 Mơn: TỐN ( Gồm 6 trang) Câu Đáp án Điểm Câu 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x - x 2 + 1,0 Tập xác định: D = ¡ é x = 0 Ta có y' = x 2 - 6 x ; y' = 0 Û ê ë x = 2 0,25 Xét dấu đạo hàm; Hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥ ; 0) và (2; +¥ ) ; nghịch biến trên khoảng (0; 2) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ= 2; đạt cực tiểu tại x = 2, yCT =2. 0,25 Giới hạn: lim y = +¥, lim y = -¥ x đ+Ơ xđ-Ơ Bngbinthiờn: -Ơ x y' y 02 +0 0 + +¥ +¥ 0,25 2 -¥ 1 (1,0 đ) Đồ thị: y f(x)=(x^3)3*(x )^2+2 5 x 8 6 4 2 2 4 6 0,25 8 5 2 (1,0 đ) Câu 2 Tìm cực trị của hàm số : y = x - sin x + 2 . 1,0 Tập xác định D = ¡ f ¢ ( x ) = - cos x , f ¢¢ ( x ) = 4 sin 2 x 0,25 f ¢ ( x ) = Û - cos x = Û cos x = 1 p Û x = ± + k p ,k ẻ Â 0,25 p ổ p ổ pử f ÂÂ ỗ - + k p ữ = sin ỗ - ữ = -2 < 0 Þ hàm số đạt cực đại tại xi = - + k p 6 è ø è 3 ø 3.(1,0đ) p 3 æ p Vi yCD = f ỗ - + k p ÷ = - + + + k p ,k ẻ Â ố ứ p ổp ổpử f ÂÂ ỗ + k p ữ = sin ỗ ữ = > 0ị hmstcctiuti xi = + k p 3 6 è ø è ø 3 ỉp p + + k p ,k ẻ Â Vi yCT = f ỗ + k p ÷ = è6 ø 2 3sin a - cos a Cho tan a = Tính giá trị biểu thức M = 5sin a + 4cos 3 a 2 3sin a ( sin a + cos a ) - cos a ( sin a + cos 2 a ) M= 5sin a + cos 3 a 3sin a - 2sin a cos a + 3sin a cos a - cos 3 a = (chia tử và mẫu cho cos 3 a ) 5sin a + 4cos 3 a tan a - tan 2 a + 3tan a - 2 = tan 3 a + 3.33 - 2.32 + 3.3 - 70 Thay tan a = vào ta được M = = 5.33 + 4 139 Lưu ý: HS cũng có thể từ tan a = 3 suy ra 2kp < a < cos a = 10 3 ; sin a = 10 x ®3 (x(x x ®3 )( ( - 9) x + x - x - L = lim x ®3 ( x + 3) ( x + 0,5 0,25 0,25 + 2 kp và x - x - 3 x 2 - 9 0,5 ) = lim x - x + x - 3 2 0,25 rồi thay vào biểu thức M. b) Tính giới hạn : L = lim L = lim p 0,25 4x - ) ) = x ®3 (x x 2 - x + 3 2 ( -1 ( + 3) ( + 0,25 ) - ) x + x - 3 ) 4.3 - 1 = 1 18 0,25 Câu 4.Giải phương trình : 3sin x - 4sin x cos x + 5cos 2 x = 2 1,0 2 2 (1,0 đ) Phương trình Û 3sin x - 4sin x cos x + 5cos x = ( sin x + cos x ) Û sin x - 4sin x cos x + 3cos 2 x = 0 Û ( sin x - cos x )( sin x - 3cos x ) = Û sin x - cos x = Ú sin x - 3cos x = 0 p + k p Ú x = arctan + k p , k Ỵ Z 4 p Vậy phương trình có hai họ nghiệm: x = + k p , x = arctan + k p , k Ỵ Z 4 0,25 0,25 0,25 Û tan x = Ú tan x = Û x = 0,25 5 2 ỉ a) Tìm hệ số của số hạng chứa x 10 trong khai triển của biểu thức : ç 3x 3 - 2 ÷ x ø è 5 5 - k k 5 k - k æ 2ư ỉ 2 k k k 15 -5 k x = C x = ( ) ỗ ỗ ữ ồC5 ( -1) 2 x ÷ x ø k =0 è è x ø k =0 Hệ số của của số hạng chứa x 10 là C5 k ( - 1) k 35 - k k , với 15 - 5k = 10 Û k = 1 1 1,0 Vậy hệ số của x 10 là : C5 1 ( -1) 34 21 = - 810 0,25 0,25 5 (1,0 đ) b) Một hộp chứa 20 quả cầu giống nhau gồm 12 quả đỏ và 8 quả xanh. Lấy ngẫu nhiên quả. Tính xác suất để trong 3 quả cầu chọn ra có ít nhất một quả cầu màu xanh. 3 Số phần tử của khơng gian mẫu là n ( W ) = C20 Gọi A là biến cố “Chọn được ba quả cầu trong đó có ít nhất một quả cầu màu xanh” C 3 3 Thì A là biến cố “Chọn được ba quả cầu màu đỏ” Þ n ( A ) = C12 Þ P ( A ) = 12 3 C20 C 3 46 Vậy xác suất của biến cố A P ( A ) = - P ( A ) = 1 - 12 = 3 C20 57 0,25 0,25 Câu 6 . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ( Oxy ) , cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A ( -2; - 1 ) , D ( 5;0 ) và có tâm I ( 2;1 ) . Hãy xác định tọa độ hai đỉnh B, C và góc nhọn hợp bởi hai đường chéo của hình bình hành đã cho. ì x = xI - x D = - = -1 Do I là trung điểm BD Suy ra í B ị B( -1 2) ợyB = yI - yD = - = 2 6 .(1,0 đ) Do I là trung điểm AC Suy ra ì xC = xI - x A = + = 6 Þ C 6;3 ( ) í ỵ yC = y I - y A = + = 3 uuur uuur Góc nhọn a = ( AC , BD ) . Ta có AC = ( 8; ) , BD = ( 6; -2 ) 0,25 0,25 0,25 uuur uuur uuur uuur AC × BD 48 - 2 cos a = cos AC , BD = uuur uuur = = Þ a = 45 o 2 5.2 10 AC BD ( 1,0 ) 0,25 Câu 7 . Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại A , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho MC = 2 MS Biết AB = 3, BC = 3 3 , tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BM . 1,0 S Gọi H là trung điểm AB Þ SH ^ AB ( do D SAB đều). Do ( SAB ) ^ ( ABC ) Þ SH ^ ( ABC ) N M K Do D ABC đều cạnh bằng 3 nên SH = 0,25 3 , AC = BC - AB 2 = 2 2 A C H B 3 1 6 (đvtt) Þ VS ABC = × SH × S ABC = × SH × AB × AC = = 12 4 7. (1,0 đ) Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt SA N Þ AC || MN Þ AC || ( BMN ) AC ^ AB, AC ^ SH Þ AC ^ ( SAB ) , AC || MN Þ MN ^ ( SAB ) Þ MN ^ ( SAB ) Þ ( BMN ) ^ ( SAB ) theo giao tuyến BN 0,25 0,25 Ta có AC || ( BMN ) Þ d ( AC , BM ) = d ( AC , ( BMN ) ) = d ( A, ( BMN ) ) = AK với K là hình chiếu của A trên BN NA MC 2 32 3 3 2 = = Þ S ABN = S SAB = × = (đvdt) và AN = SA = 2 SA SC 3 2 3 0,25 BN = 3 2 × 2S 2 = 21 AN + AB - 2AN AB.cos 60 0 = 7 Þ AK = ABN = BN 7 7 21 (đvđd) 7 Lưu ý: Việc tính thể tích, học sinh cũng có thể giải quyết theo hướng CA ^ (SAB ) và VS ABC = VC SAB Vậy d ( AC , BM ) = Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ( Oxy ) , cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm J ( 2;1 ) . Biết đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC có phương trình : x + y - 10 = 0 D ( 2; - 4 ) là giao điểm thứ hai của AJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC biết B có hồnh độ âm và B thuộc đường thẳng có phương trình x + y + = 0 AJ đi qua J ( 2;1 ) và D ( 2; - 4 ) nên có phương trình AJ : x - = 0 { A} = AJ Ç AH , ( trong đó H là chân đường cao xuất phát từ đỉnh A ) A E J Tọa độ A là nghiệm của hệ ìx - = ì x = 2 Ûí Þ A ( 2; 6 ) í ỵ x + y - 10 = ỵ y = 6 1,0 B 0,25 I C H D 8 .(1,0 đ) Gọi E là giao điểm thứ hai của BJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC » = DC » = EA » Þ DB = DC và EC » Ta có DB · = 1 (sđ EC » + sđ DB » )= DJB » 1 (sđ EA · Þ D DBJ cân tại D Þ » + sđ DC )= DBJ 2 2 DC = DB = DJ hay D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác JBC Suy ra B, C nằm trên đường tròn tâm D ( 2; - 4 ) bán kính JD = + 52 = 5 có 2 phương trình ( x - ) + ( y + ) = 25 . Khi đó tọa độ B là nghiệm của hệ 2 é B ( -3; -4 ) ïì( x - ) + ( y + ) = 25 ì x = -3 ì x = 2 Ûí Úí Þê í ỵ y = -4 ỵ y = -9 ëê B ( 2; -9 ) ï x + y + = 0 ỵ 0,25 Do B có hồnh độ âm nên ta được B ( -3; - 4 ) ìï qua B ( -3; -4 ) ìïqua B ( -3; -4 ) Þ BC : x - y - = 0 BC : ị BC:ớ r r ùợ^ AH ợùvtpt n = u AH = (1; -2 ) Khi đó tọa độ C là nghiệm của hệ 2 ïì( x - ) + ( y + ) = 25 ì x = -3 ì x = 5 éC ( -3; -4 ) º B Ûí Úí Þê Þ C ( 5; 0 ) í ỵ y = -4 ỵ y = 0 ëêC ( 5;0 ) ï x - y - = 0 ỵ 0,25 Vậy A ( 2;6 ) , B ( -3; - 4 ) , C ( 5;0 ) ìï x - y + x - 12 y + = x - y 2 Câu 9. Giải hệ phương trình : í 2 ïỵ x + + - y = x + y - x - y ìx + ³ ì x ³ -2 Điều kiện : í Ûí ỵ4 - y ³ ỵ y £ 4 (1 ) ( 2 ) 1,0 0,25 3 Từ phương trình (1 ) ta có ( x - 1) = ( y - ) Û x - = y - Û y = x + 1 9 .(1,0 đ) Thay ( 3 ) vào ( 2 ) ta được pt: x+2 + ( 3 ) - ( x + 1) = x 3 + ( x + 1) - x - ( x + 1 ) 2 Û x + + - x = x3 + x 2 - x - 1 , Đ/K -2 £ x £ 3 Û Û Û ( ) x + + - x - = x3 + x - x - Û éë( x + )( - x ) - 4 ùû ( x + + 3- x + )( ( x + )( - x ) + 2 ) ( - x 2 + x + 2 ) ( x + + 3- x + )( ( x + )( - x ) + 2 ) ( ( x + )( - x ) - 2 ) ( x + + - x + 3 ) = ( x + 1) ( x 2 - 4 ) = ( x + 1) ( x 2 - 4 ) = ( x + ) ( x 2 - x - 2 ) 0,25 ổ ỗ ữ ỗ ữ = ( x - x - ) ỗ x + + x+ + 3- x +3 ( x + )( - x ) + 2 ữữ ỗ ỗ 144444444424444444443ữ ố > ứ x - x - = Û x = Ú x = -1 ( 0,25 )( · ( ) x = ắắ đ y = ị ( x; y ) = ( 2;3 ) ( thỏa mãn đ/k) · ( ) x = -1 ắắ đ y = ị ( x; y ) = ( - 1;0 ) ( thỏa mãn đ/k) ) 0,25 3 3 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y ) = ( 2;3) , ( x; y ) = ( - 1; 0 ) Câu10.Chohai phương trình: x + x 2 + x + = 0 và x - x 2 + 23 x - 26 = 0 .Chứng minh rằng mỗi phương trình trên có đúng một nghiệm, tính tổng hai nghiệm đó · Hàm số f ( x ) = x + x 2 + x + 4 xác định và liên tục trên tập ¡ Đạo hàm f ¢ ( x ) = x 2 + x + > 0,"x ẻ Ăị f ( x ) ngbintrờn Ă 1,0 (*) f ( -4 ) f ( ) = ( -40 ) = -160 < Þ $ a Ỵ ( -4;0 ) : f ( a ) = 0 ( ** ) 0,25 Từ (* ) (** ) suy ra phương trình 10.(1,0đ) x + x 2 + x + = 0 có một nhiệm duy nhất x = a · Tương tự phương trình x - x 2 + 23 x - 26 = 0 có một nhiệm duy nhất x = b 0,25 Theo trên : a + a 2 + 3a + = 0 (1 ) 2 Và b3 - 8b 2 + 23b - 26 = Û ( - b ) + ( - b ) + ( - b ) + = 0 ( 2 ) 2 Từ (1 ) ( ) Þ a + 2a 2 + 3a + = ( - b ) + ( - b ) + ( - b ) + 4 ( 3 ) Theo trên hàm số f ( x ) = x + x 2 + x + 4 đồng biến và liên tục trên tập ¡ Đẳng thức ( 3) Û f ( a ) = f ( - b ) Û a = - b Û a + b = 2 0,25 0,25 Vậy tổng hai nghiệm của hai phương trình đó bằng Lưu ý khi chấm bài: Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì khơng cho điểm bước đó. Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó khơng được điểm. Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau Trong lời giải câu 7 nếu học sinh khơng vẽ hình thì khơng cho điểm. Điểm tồn bài tính đến 0,25 và khơng làm trịn. ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Mơn: TỐN SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG III Thời gian làm bài: 180 phút ,không kể thời gian giao đề Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y x 3mx (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị A, B cho tam giác OAB vuông O (với O gốc tọa độ ) Câu (1,0 điểm) Giải phương trình sin x 6sin x cos x Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I x ln x dx x2 Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình 52 x 1 6.5 x b) Một tổ có học sinh nam học sinh nữ Giáo viên chọn ngẫu nhiên học sinh để làm trực nhật Tính xác suất để học sinh chọn có nam nữ Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A 4;1;3 đường thẳng x 1 y 1 z Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua A vng góc với đường 2 thẳng d Tìm tọa độ điểm B thuộc d cho AB 27 d: Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vng A , AB AC a , I trung điểm SC, hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ABC trung điểm H BC, mặt phẳng (SAB) tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp S ABC tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng SAB theo a Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A 1; , tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC D , đường phân giác ADB có phương trình x y , điểm M 4;1 thuộc cạnh AC Viết phương trình đường thẳng AB Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình x xy x y y y y x y x Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số dương a b c Tìm giá trị lớn biểu thức: P bc 3a bc ca 3b ca ab 3c ab …….Hết……… ĐÁP ÁN Câu Nội dung Điểm a (1,0 điểm) Với m=1 hàm số trở thành: y x3 3x TXĐ: D R y ' 3 x , y ' x 1 0.25 Hàm số nghịch biến khoảng ; 1 1; , đồng biến khoảng 1;1 0.25 Hàm số đạt cực đại x , yCD , đạt cực tiểu x 1 , yCT 1 lim y , lim y x x * Bảng biến thiên x – y’ + y -1 + – + + - -1 Đồ thị: 0.25 2 B (1,0 điểm) y ' 3 x 3m 3 x m 0.25 y ' x m * Đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị PT (*) có nghiệm phân biệt m ** Khi điểm cực trị A m ;1 2m m , B m ;1 2m m Tam giác OAB vuông O OA.OB 4m3 m m Vậy m 0.25 ( TM (**) ) 0.25 0.25 0,25 (1,0 điểm) sin x 6sin x cos x 0.25 (sin x 6sin x) (1 cos x) sin x cos x 3 sin x 0 25 2sin x cos x sin x sin x sin x cos x 3(Vn) x k Vậy nghiệm PT x k , k Z 25 0.25 (1,0 điểm) 2 2 ln x x2 ln x ln x I xdx dx dx dx x 1 x x 1 0.25 ln x dx x Tính J Đặt u ln x, dv 0.25 1 dx Khi du dx, v x x x 2 1 Do J ln x dx x x 1 1 1 J ln ln x1 2 Vậy I 0.25 ln 2 0.25 (1,0 điểm) a,(0,5điểm) 0.25 5 6.5 5.5 6.5 x 5 x Vậy nghiệm PT x x 1 x 1 b,(0,5điểm) n C113 165 x x 1 x 2x x Số cách chọn học sinh có nam nữ C52 C61 C51.C62 135 135 Do xác suất để học sinh chọn có nam nữ 165 11 0.25 0.25 0.25 a 3a Þ d ( B, ( A ' AC )) = 3.VA ' ABC = = S A ' AC a -Câu Câu 7) (1,0đ) 125 + Phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC : ( x + ) + ( y - 1) = (1) x+3 y+4 Û x - y -1 = = + Phương trình đường thẳng AI : + 1+ -Câu Đáp án + Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp điểm thứ hai D, trung điểm cung BC Hoành độ điểm D nghiệm khác – phương trình : é x = -3 125 Ûê ( x + ) + ( x - 2) = Suy D( ; ) êx = 2 ë -A B · = IBC · + CBD · = B + A suy · · = + IBD · Þ DI = DB = DC + Ta có BID BID = IBD 2 2 Þ B, C nằm đường trịn tâm D bán kính DI có phương trình : 50 ( x - )2 + ( y - )2 = (2) 2 + Tọa độ điểm B C nghiệm hệ phương trình (1) (2) 125 ì + + = ( ) ( 1) x y 2 ïï Û ïì x + y + x - y - 30 = Û ì10 x + y - 50 = í í í 2 ïỵ x + y - x - y + 20 = ỵ x + y - x - y + 10 = ï( x - ) + ( y - ) = 50 ïỵ 2 Suy phương trình đường thẳng BC : 10 x + y - 50 = hay x + y - 10 = -Câu 8) Câu + Mp trung trực (Q) đoạn AB qua trung điểm I(1; – 6; 7) AB nhận AB = (-6; -8; -8) (1,0đ) làm VTPT Suy phương trình mp(Q): -6( x - 1) - 8( y + 6) - 8( z - 7) = Û x + y + z - = + Gọi D = (Q) Ç (P) Đường thẳng D tập hợp điểm thỏa hệ phương trình: ì3 x + y + z - = (1) í ỵx + y - z - = + (P) có VTPT nP = (1;1; -1) , (Q) có VTPT nQ = (3; 4; 4) suy D có VTCP u = [nP , nQ ] = (8; -7;1) Trong (1) cho x = giải y = 2; z = – suy 0,25 0,25 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 D qua điểm I(1; 2; – 1) Vậy phương trình tham số đường thẳng D ì x = + 8t ï í y = - 7t ï z = -1 + t ỵ +M Ỵ D M Ỵ (P) MA = MB Ta có M(1 + 8t ; – 7t ; – + t) MA = 13 Û (8t - 3) + (4 - 7t )2 + (t - 12) = 169 Û 114t - 128t = Û t = t = 64 / 27 569 334 ;; ) Vậy có hai điểm M thỏa tốn : M (1; 2; -1) , M ( 57 57 57 Câu 9) Câu (0,5đ) + Có C12 = 792 cách chọn bi từ hộp 12 bi Þ W = 792 + Gọi X biến cố :’’ bi lấy có đủ màu số bi xanh số bi đỏ nhau’’ 1 TH1 : 1X, 1Đ, 3V Þ có C3C4C5 = 120 cách chọn 2 TH2 : 2X, 2Đ, 1V Þ có C3 C4 C5 = 90 cách chọn Câu 10 (1,0đ) Suy W X = 120 + 90 = 210 WX 210 35 = = Vậy P(X) = W 792 132 12 a + b4 + ab Câu 10) P = ab 36 + (1 + 9a )(1 + 9b ) -(a + b3 )(a + b) = (1 - a)(1 - b) (*) GT : (a + b )(a + b) - ab(a - 1)(b - 1) = Û ab (a + b3 )(a + b) æ a b = ỗ + ữ (a + b) ab ab = 4ab Vì ab è b 0,25 0,25 0,25 0,25 (1 - a )(1 - b) = - ( a + b) + ab £ - ab + ab , từ (*) suy 4ab £ - ab + ab , ì ï0 < t £ Û0 0) ta t £ - 3t Û í ï 4t £ (1 - 3t ) ỵ Ta có (1 + 9a )(1 + 9b ) ³ 36ab Þ 12 36 + (1 + 9a )(1 + 9b ) 2 £ + ab a + b4 £ 3ab - 2ab = ab ab + ab Dấu đẳng thức xảy Û a = b = Suy P £ + ab 3ab - 0,25 + t với < t £ , 1+ t 1 > 0, "t ẻ (0, ] ị f(t) đồng biến (0, ] ta có f '(t ) = (1 + t ) + t ìa = b 1 ï + , dấu đẳng thức xảy Û í f(t) £ f ( ) = Ûa=b= 10 ïỵt = ab = 1 + đạt a = b = Vậy MaxP = 10 Xét hàm f (t ) = 0,25 0,25 SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 - LẦN THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu MÔN: TỐN Đề thức (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − x + (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b) Tìm giá trị tham số m để phương trình x ( x − 2) + = m có nghiệm phân biệt Câu (1,0 điểm) 3π + cot α sin α = − ⋅ Tính A = ⋅ − cot α b) Cho số phức z thỏa mãn 3( z + 1) = z + i (7 − i ) Tính mơđun số phức z a) Cho góc α thỏa mãn π < α < Câu (0,5 điểm) Giải phương trình 22+ x − 22− x = 15 4 x = x + + 1 ( x − y + y − 2) Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ⋅ ( x + y )2 + 2014 y + 2015 = x + 4030 y e Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x x + ln x dx ( ) Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB = 3a, BC = 5a; mặt phẳng ( SAC ) vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Biết SA = 2a SAC = 30o Tính theo a thể tích khối chóp S ABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có D(5; 4) Đường trung trực đoạn DC có phương trình d1 : 2x + y − = đường phân giác góc BAC tam giác ABC có phương trình d : x + y + 10 = Xác định tọa độ đỉnh cịn lại hình bình hành Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(–1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4) x = −t đường thẳng d : y = + t , t ∈ ℝ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) tìm tọa độ giao điểm d với z = − t mặt phẳng (ABC) Câu (0,5 điểm) Cho số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện Cnn + Cnn−1 + An2 = 821 Tìm hệ số x31 khai triển Niu-tơn x + n ( x ≠ 0) x2 Câu 10 (1,0 điểm) Cho x, y số thực dương thỏa mãn x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 4x2 + x + y2 + x y − + ⋅ y x +1 y +1 Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: ĐÁP ÁN KỲ THI THỬ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2015 MÔN: Toán – Khối A; A1; B; D1 HƯỚNG DẪN CHẤM THI (HDC gồm 04 trang) I) Hướng dẫn chung: 1) Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần thang điểm quy định 2) Điểm tồn tính đến 0,25 điểm (sau cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết quả) II) Đáp án thang điểm: Câu Đáp án Điểm Cho hàm số y = x − x + (1) a)Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) hàm số (1) i Tập xác định ℝ i Chiều biến thiên: - Ta có y′ = x( x − 1); y′ = ⇔ x = x = ±1 0.25 - Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; − 1) (0;1) - Hàm số đồng biến khoảng (−1; 0) (1; +∞) i Cực trị: - Hàm số đạt cực tiểu x = ±1, yCT = y ( ±1) = - Hàm số đạt cực đại x = 0, yCÑ = y (0) = i Các giới hạn vô cực: lim y = +∞; lim y = +∞ x→−∞ 0.25 x →+∞ Bảng biến thiên x y' −1 −∞ 0 − + +∞ − +∞ + +∞ 0.25 y Câu (2 điểm) 3 Đồ thị hàm số : Đồ thị qua điểm A − ; 31 , B( − 2; 12), C (2; 12) 9 y 0.25 x O −1 b) Tìm giá trị tham số m để phương trình x ( x − 2) + = m có nghiệm phân biệt 0.25 Ta có x ( x − 2) + = m ⇔ x − x + = m ⇔ x − x + = m + (*) Số nghiệm PT(*) số giao điểm đường thẳng d : y = m + với đồ thị 0.25 (C ) Dựa vào đồ thị (C ), để PT cho có nghiệm thì: m + > m + = Hay m > m = Vậy PT cho có nghiệm m > m = Câu (1 điểm) a) Cho góc α thỏa mãn π < α < 3π + cot α sin α = − ⋅ Tính A = ⋅ − cot α 0.25 0.25 16 3π ) = ⇒ cos α = − (do π < α < 25 25 − − sin α + cos α Từ có A = = 5 = sin α − cos α − + 5 b) Cho số phức z thỏa mãn 3( z + 1) = z + i (7 − i ) Tính mơđun số phức z Ta có cos α = − sin α = − Đặt z = a + bi (a, b ∈ ℝ ) Khi 3( z + 1) = z + i (7 − i ) ⇔ 3(a + bi + 1) = 4(a − bi ) + + 7i ⇔ a − + 7(1 − b)i = a = ⇔ ⇒ z = b = 0.25 0.25 0.25 0.25 Giải phương trình 22+ x − 22− x = 15 PT viết lại 4.2 x − Câu (0,5 điểm) = 15 Đặt t = x (t > 0) ta 4t − 15t − = 2x t = 4 1 i Với t = − x = − ⇒ x ∈ ∅ 4 x i Với t = = ⇔ x = Vậy PT cho có nghiệm x = 0.25 ⇔t=− 0.25 (1) 4 x = x + + 1 ( x − y + y − 2) Giải hệ phương trình ⋅ ( x + y )2 + 2014 y + 2015 = x + 4030 y (2) Từ PT(2), ta có ( x + y ) − ( x + y ) = −2015( y − 1) ≤ ⇒ ≤ x + y ≤ Do x ≤ 1; y ≤ Câu (1 điểm) i Nếu x + − = ⇔ x = 0, thay vào HPT, ta − y + y − = −( y − 1) ( y + 2) = ⇔ ⇔ y = (do y ≤ 1) y + 2014 y + 2015 = 4030 y y + 2014 y + 2015 = 4030 y Như ( x; y) = (0;1) nghiệm HPT cho i Nếu x + − ≠ ⇔ x ≠ 0, nhân hai vế PT(1) với 0.25 0.25 x + − , ta (1) ⇔ x x + − 1 = x ( x − y + y − 2) ⇔ x + − 1 = x − y + y − ⇔ x + − x + + = y − y + ⇔ x + − 1 x + − = ( y + 2)( y − 1) (3) 0.25 Với x ≠ 0; x ≤ 1; y ≤ 1, ta có x + − > 0; x + − < 0;( y + 2)( y − 1) ≥ 2 Nên x + − 1 x + − < ≤ ( y + 2)( y − 1) , từ PT(3) vơ nghiệm Đối chiếu với điều kiện ta thấy ( x; y) = (0;1) nghiệm HPT cho Câu (1 điểm) e 0.25 Tính tích phân I = ∫ x x + ln x dx ( ) e e e Ta có I = ∫ x dx + ∫ x ln xdx = e − 1 + ∫ x ln xdx 0.25 e Tính I1 = ∫ x ln xdx 0.25 du = x dx u = ln x Đặt ⇒ ⋅ x2 dv = xdx v= e e x2 e2 ⇒ I1 = ln x − xdx = + 4 1 21 ∫ 0.25 Vậy I = 8e + e − ⋅ 4 0.25 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB = 3a, BC = 5a; mặt phẳng ( SAC ) vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Biết SA = 2a SAC = 30o Tính theo a thể tích khối chóp S ABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) i Kẻ SH ⊥ AC ( H ∈ AC ) S Do ( SAC ) ⊥ ( ABC ) nên SH ⊥ ( ABC ) 2a Ta có SH = SA.sin SAC = 2a = a 0.25 30 o H A K C D 3a 5a Câu (1 điểm) B Thể tích khối chóp S ABC 1 VS ABC = S ABC SH = AB AC.SH = ⋅ 3a.4a.a = 2a3 3 6 i Kẻ HD ⊥ BC ( D ∈ BC ), HK ⊥ SD ( K ∈ SD ) Khi HK = d ( H ;( SBC )) 0.25 = 3a nên AC = HC ⇒ d ( A;( SBC )) = 4d ( H ;( SBC )) = HK 0.25 Vì AH = SA.cos SAC = 2a Ta có HD AB 3a = ⇒ HD = ⋅ HC BC Từ d ( A;( SBC )) = HK = Câu (1 điểm) 3a = 6a ⋅ = 2 SH + HD 9a 3a + 25 SH HD 4a 0.25 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có D(5; 4) Đường trung trực đoạn DC có phương trình d1 : 2x + y − = đường phân giác góc BAC tam giác ABC có phương trình d : x + y + 10 = Xác định tọa độ đỉnh lại hình bình hành Gọi M trung điểm DC , M ∈ d1 nên M (3m + 3; − 2m + 1), m ∈ ℝ Ta có u1.DM = (*), với u1 = (−3; 2) vectơ phương (VTCP) d1 DM = (3m − 2; − 2m − 3) Nên (*) ⇔ −3(3m − 2) + 2(−2m − 3) = ⇔ m = Vậy M (3; 1) , suy C (1; − 2) 0.25 Củng theo giả thiết A ∈ d nên A(a; − 10 − 5a), a ∈ ℝ xB − a = −4 x = a − ⇔ B yB + 10 + 5a = −6 yB = −16 − 5a Mặt khác ABCD HBH nên AB = DC ⇔ 0.25 ⇒ B(a − 4; − 16 − 5a ) Vì DA DC khơng phương nên a − −14 − 5a ≠ ⇔ a ≠ −1 −4 −6 Đường thẳng d phân giác góc BAC nhận u2 = (−1; 5) VTCP nên ( ) ( ) cos AB; u2 = cos AC ; u2 ⇔ ⇔ (−4)(−1) + (−6)5 (−4) + ( −6) = AB.u2 AC.u2 = AB u2 AC u2 (1 − a )(−1) + (8 + 5a )5 2 (1 − a) + (8 + 5a) ⇔− 0.25 26 26a + 39 = 52 (1 − a )2 + (8 + 5a ) ⇔ a = −2 (thỏa mãn) Vậy A(−2; 0), B(−6; − 6) 0.25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(–1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4) x = −t đường thẳng d : y = + t , t ∈ ℝ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) tìm tọa độ giao z = − t điểm d với mặt phẳng (ABC) Ta có AB = (1; 0; −1); AC = (2; −1; 2); AB, AC = ( −1; − 4; − 1) Câu (1 điểm) Mặt phẳng (ABC) nhận vectơ n = AB, AC làm vectơ pháp tuyến 0.25 0.25 Suy (ABC) : x + 4(y − 1) + z − = hay x + y + z − = x = −t Tọa độ giao điểm I d mp(ABC) nghiệm hệ y = + t z = − t x + y + z − = ⇒ −t + 4(2 + t ) + − t − = ⇒ t = −3 ⇒ I (3; − 1; 6) 0.25 0.25 Cho số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện Cnn + Cnn−1 + An2 = 821 Tìm hệ số x31 khai triển Niu-tơn x + n ( x ≠ 0) x2 Điều kiện n ≥ 2, n ∈ ℕ Câu (0,5 điểm) 2 ⇔ n + n − 1640 = ⇒ n = 40 Theo giả thiết Cnn + Cnn −1 + A 2n = 821 ⇔ + n + Ta có x + x2 40 n(n − 1) = 821 0.25 k 40 =∑ ⋅ = ∑ C k40 x 40 −3k x2 k =0 k =0 Yêu cầu tốn 40 − 3k = 31 ⇔ k = 40 C k40 x 40 − k 0.25 Vậy hệ số x 31 C340 = 9880 Câu 10 (1 điểm) Cho x, y số thực dương thỏa mãn x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2 + x + y2 + i Gọi M = x + x x y − + ⋅ y x +1 y +1 + y2 + y2 Ta có 2 2 1 2y + = x + y + + (Theo Cauchy-Schwarz) 2x + + x y x y 5 5 5 ≥ − xy (Theo BĐT AM-GM) xy + = xy + 5 xy 5 xy M≥ 0.25 3 xy ⋅ − = (do giả thiết) xy Suy M ≥ (1) x y i Gọi N = + ⋅ x +1 y +1 x y x y 4x 4y Ta có N = + ≤ + = + x + y + 4x + y + x + + y + + 4 4 4 4x 4y 4 Hơn nữa: + = − 3 + = − 3⋅ = ⋅ ≤ 2−3 4x + y + 4x + y + 10 4x + y + Do − N ≥ − (2) Từ (1) (2) suy P ≥ − ⋅ 4 Khi x = y = P = − ⋅ Vậy MinP = − ⋅ 5 ≥ -Hết 0.25 0.25 0.25 SỞ GD&ĐT HẢI PHÒNG TRƯỜNG THPT BẠCH ĐẰNG ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Mơn : TỐN Thời gian làm bài: 180 phút ,không kể thời gian giao đề Câu ( 2,0 điểm) Cho hàm số y x 3mx (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị A, B cho tam giác OAB vuông O ( với O gốc tọa độ ) Câu (1,0 điểm) Giải phương trình sin x 6sin x cos x Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình x3 ln x dx x2 52 x 1 6.5x b) Một tổ có học sinh nam học sinh nữ Giáo viên chọn ngẫu nhiên học sinh để làm trực nhật Tính xác suất để học sinh chọn có nam nữ Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A 4;1;3 đường x 1 y 1 z Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua A vng góc với 2 đường thẳng d Tìm tọa độ điểm B thuộc d cho AB 27 thẳng d : Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vng A , AB AC a , I trung điểm SC , hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ABC trung điểm H BC , mặt phẳng SAB tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp S ABC tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng SAB theo a Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A 1; , tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC D , đường phân giác ADB có phương trình x y , điểm M 4;1 thuộc cạnh AC Viết phương trình đường thẳng AB x xy x y y y Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình y x y x Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số dương a b c Tìm giá trị lớn biểu thức: P bc 3a bc ca 3b ca ab 3c ab …….Hết……… ĐÁP ÁN Câu Nội dung a.(1,0 điểm) Vơí m=1 hàm số trở thành : y x3 3x TXĐ: D R y ' 3x , y ' x 1 Điểm 0.25 Hàm số nghịch biến khoảng ; 1 1; , đồng biến khoảng 1;1 0.25 Hàm số đạt cực đại x , yCD , đạt cực tiểu x 1 , yCT 1 lim y , lim y x x * Bảng biến thiên x – y’ + y 0.25 + -1 – + + -1 - Đồ thị: 0.25 2 b.(1,0 điểm) y ' 3 x 3m 3 x m 0.25 y ' x m * Đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị PT (*) có nghiệm phân biệt m ** Khi điểm cực trị A m ;1 2m m , B m ;1 2m m Tam giác OAB vuông O OA.OB 4m3 m m ( TM (**) ) (1,0 điểm) Vậy m 0.25 0.25 0,25 sin x 6sin x cos x 0.25 (sin x 6sin x) (1 cos x) sin x cos x sin x 0 25 2sin x cos x sin x sin x sin x cos x 3(Vn) 25 x k Vậy nghiệm PT x k , k Z 0.25 (1,0 điểm) 2 2 ln x x2 ln x ln x I xdx dx 2 dx dx x x 1 x 1 0.25 ln x dx x2 Tính J Đặt u ln x, dv 0.25 1 dx Khi du dx, v x x x 2 1 Do J ln x dx x x 1 1 1 J ln ln x1 2 Vậy I ln 2 0.25 (1,0 điểm) a,(0,5điểm) 5 x 52 x 1 6.5x 5.52 x 6.5 x x 5 x Vậy nghiệm PT x x 1 x 1 b,(0,5điểm) n C113 165 Số cách chọn học sinh có nam nữ C52 C61 C51 C62 135 135 Do xác suất để học sinh chọn có nam nữ 165 11 0.25 (1,0 điểm) 0.25 0.25 0.25 0.25 Đường thẳng d có VTCP ud 2;1;3 Vì P d nên P nhận ud 2;1;3 làm VTPT 0.25 Vậy PT mặt phẳng P : 2 x y 1 z 3 2 x y 3z 18 0.25 0.25 Vì B d nên B 1 2t ;1 t ; 3 3t 2 AB 27 AB 27 2t t 6 3t 27 7t 24t t 13 10 12 Vậy B 7;4; B ; ; t 7 7 (1,0 điểm) Gọi K trung điểm AB HK AB (1) Sj Vì SH ABC nên SH AB (2) 0.25 0.25 Từ (1) (2) suy AB SK Do góc SAB với đáy góc 60 SK HK SKH M B H C Ta có SH HK tan SKH a K A 1 a3 Vậy VS ABC S ABC SH AB AC.SH 3 12 0.25 Vì IH / / SB nên IH / / SAB Do d I , SAB d H , SAB Từ H kẻ HM SK M HM SAB d H , SAB HM Ta có a a 1 16 Vậy d I , SAB HM 2 4 HM HK SH 3a (1,0 điểm) 0.25 0,25 Gọi AI phan giác BAC Ta có : AID ABC BAI A E M' K M I B C 0,25 CAD CAI IAD CAI , nên AID IAD ABC CAD Mà BAI DAI cân D DE AI D PT đường thẳng AI : x y 0,25 Goị M’ điểm đối xứng M qua AI PT đường thẳng MM’ : x y Gọi K AI MM ' K(0;5) M’(4;9) VTCP đường thẳng AB AM ' 3;5 VTPT đường thẳng AB n 5; 3 0,25 0,25 Vậy PT đường thẳng AB là: x 1 y 5x y (1,0 điểm) x xy x y y y 4(1) y x y x 1(2) 0.25 xy x y y Đk: y x y 1 Ta có (1) x y x y y 1 4( y 1) Đặt u x y , v y ( u 0, v ) u v Khi (1) trở thành : u 3uv 4v u 4v(vn) Với u v ta có x y 1, thay vào (2) ta : y y y 1 y 2 y2 y y y ( y2 y y y y 1 y2 y 2 y2 y y 1 y 1 1 y2 y y 0y ) y 1 Với y x Đối chiếu Đk ta nghiệm hệ PT 5; (1,0 điểm) 0.25 0 y 0.25 0.25 Vì a + b + c = ta có bc bc bc bc 1 ab a c 3a bc a(a b c) bc (a b)(a c) 1 Vì theo BĐT Cô-Si: , dấu đẳng thức xảy b = c ab ac (a b)( a c) Tương tự Suy P ca 3b ca ca ba bc ab 3c ab ab ca cb bc ca ab bc ab ca a b c , 2(a b) 2(c a) 2(b c) 2 Đẳng thức xảy a = b = c = Vậy max P = 0,25 0,25 0,25 a = b = c = 0,25 ... TRƯỜNG THPT GIA VIỄN A ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA ĐỢT I NĂM HỌC 2015 – 2016; Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu 1: (2,0 điểm) Cho hàm số y x x Khảo sát biến thi? ?n... SBD: (Cán coi thi khơng giải thích thêm) 1/1 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG NINH TRƯỜNG THCS - THPT NGUYỄN BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Bản hướng dẫn chấm có trang NỘI DUNG... NINH TRƯỜNG THPT NGUYỄN BÌNH ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x x 1 (C) a) Khảo sát biến thi? ?n vẽ