rút gọn biểu thức bằng phương pháp khử liên tiếp

Toán học là một trong những môn học chiếm một vị trí rất quan trọng và then chốt trong nội dung chương trình các môn học bậc phổ thông. Môn toán góp phần rất quan trọng trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề. góp phần phát triển trí thông minh, cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt, sáng tạo, và đang giúp vào việc hình thành các phẩm chất cần thiết và quan trọng của người lao động như: cần cù, cẩn thận, có ý chí vượt khó khăn, làm việc có kế hoạch, có nề nếp và tác phong khoa học. Quá trình học môn toán phải nhằm mục đích đào tạo con người mà xã hội cần. Đất nước ta đang bước vào thời kì công nghiệp hóa hiện đại hóa, đòi hỏi mỗi chúng ta đều phải đầu tư và suy nghĩ để tìm ra những biện pháp tốt nhất làm cho học sinh nắm vững tri thức toán phổ thông, cơ bản thiết thực có kĩ năng thực hành toán, giúp cho học sinh phát triển năng lực tư duy lôgic, khả năng diễn đạt chính xác ý tưởng của mình, khả năng tưởng tượng và bước đầu hình thành nhân cách qua học môn toán. Hình thành ở học sinh các phẩm chất đạo đức và có năng lực cần thiết như giáo dục đề ra. Bắt đầu từ bậc học THCS học sinh được làm quen với dạng toán rút gọn biểu thức, dạng toán này tiếp tục được dạy kĩ hơn ở lớp 8, lớp 9. Nó có mặt hầu hết ở các đề thi học kì, thi học sinh giỏi, thi tốt nghiệp, tuyển sinh vào các trường THPT. Để giải quyết một bài toán rút gọn biểu thức đại số cách thông thường ta dựa vào quy tắc của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các biểu thức đại số. Nhưng có những biểu thức đại số ta không thể vận dụng trực tiếp quy tắc các phép toán để thực hiện được vì nhiều lí do khác nhau. Chẳng hạn, không thể quy đồng mẫu thức của hàng trăm phân thức có mẫu thức khác nhau để cộng, trừ chúng. Không thể tìm tích của hàng chục phân thức bằng cách nhân trực tiếp tử với tử, mẫu với mẫu được mà không tìm ra quy luật để rút gọn biểu thức… Gặp những trường hợp đó học sinh thường rất lúng túng không có phương pháp để giải dạng toán này. Về phía giáo viên lâu nay chúng ta đang tìm kiếm một phương pháp dạy học sinh giải các bài toán rút gọn dạng này làm sao đạt hiệu quả. Các tài liệu, các sách tham khảo, sách hướng dẫn cho giáo viên cũng chưa có sách nào đề cập đến phương pháp dạy kiểu bài toán này. Có chăng chỉ là gợi ý chung và sơ lược. Đặc biệt đi theo kết quả của bài toán rút gọn biểu thức còn có các dạng toán khác nữa. Vì vậy, nếu không rút gọn được biểu thức thì học sinh không thực hiện được các bước tiếp theo để giải quyết bài toán cần có kết quả rút gọn biểu thức. Trước thực trạng trên, bản thân Tôi là một giáo viên toán cấp THCS, cũng đã từng trăn trở nhiều về vấn đề trên. Với đề tài này Tôi không có tham vọng lớn để bàn về vấn đề: “Giải các bài toán” ở trường phổ thông. Tôi chỉ xin đề xuất một vài ý kiến về một phương pháp dùng để rút gọn biểu thức đại số có dạng đặc biệt đó là: “Rút gọn biểu thức bằng phương pháp khử liên tiếp đối với học sinh cấp THCS mà Tôi đã từng áp dụng thành công.

PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một trong những môn học chiếm một vị trí rất quan trọng và then chốt trong nội dung chương trình các môn học bậc phổ thông Môn toán góp phần rất quan trọng trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề góp phần phát triển trí thông minh, cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt, sáng tạo, và đang giúp vào việc hình thành các phẩm chất cần thiết và quan trọng của người lao động như: cần cù, cẩn thận, có ý chí vượt khó khăn, làm việc có kế hoạch, có nề nếp và tác phong khoa học Quá trình học môn toán phải nhằm mục đích đào tạo con người mà xã hội cần Đất nước ta đang bước vào thời kì công nghiệp hóa hiện đại hóa, đòi hỏi mỗi chúng ta đều phải đầu tư và suy nghĩ để tìm ra những biện pháp tốt nhất làm cho học sinh nắm vững tri thức toán phổ thông, cơ bản thiết thực có kĩ năng thực hành toán, giúp cho học sinh phát triển năng lực tư duy lôgic, khả năng diễn đạt chính xác ý tưởng của mình, khả năng tưởng tượng và bước đầu hình thành nhân cách qua học môn toán Hình thành ở học sinh các phẩm chất đạo đức và có năng lực cần thiết như giáo dục đề ra

Bắt đầu từ bậc học THCS học sinh được làm quen với dạng toán rút gọn biểu thức, dạng toán này tiếp tục được dạy kĩ hơn ở lớp 8, lớp 9 Nó có mặt hầu hết ở các đề thi học kì, thi học sinh giỏi, thi tốt nghiệp, tuyển sinh vào các trường THPT Để giải quyết một bài toán rút gọn biểu thức đại số cách thông thường ta dựa vào quy tắc của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các biểu thức đại số Nhưng có những biểu thức đại số ta không thể vận dụng trực tiếp quy tắc các phép toán để thực hiện được vì nhiều lí do khác nhau Chẳng hạn, không thể quy đồng mẫu thức của hàng trăm phân thức có mẫu thức khác nhau để cộng, trừ chúng Không thể tìm tích của hàng chục phân thức bằng cách nhân trực tiếp

tử với tử, mẫu với mẫu được mà không tìm ra quy luật để rút gọn biểu thức… Gặp những trường hợp đó học sinh thường rất lúng túng không có phương pháp

để giải dạng toán này Về phía giáo viên lâu nay chúng ta đang tìm kiếm một phương pháp dạy học sinh giải các bài toán rút gọn dạng này làm sao đạt hiệu

quả Các tài liệu, các sách tham khảo, sách hướng dẫn cho giáo viên cũng chưa

có sách nào đề cập đến phương pháp dạy kiểu bài toán này Có chăng chỉ là gợi

ý chung và sơ lược Đặc biệt đi theo kết quả của bài toán rút gọn biểu thức còn

có các dạng toán khác nữa Vì vậy, nếu không rút gọn được biểu thức thì học sinh không thực hiện được các bước tiếp theo để giải quyết bài toán cần có kết quả rút gọn biểu thức

Trước thực trạng trên, bản thân Tôi là một giáo viên toán cấp THCS, cũng

đã từng trăn trở nhiều về vấn đề trên Với đề tài này Tôi không có tham vọng lớn

để bàn về vấn đề: “Giải các bài toán” ở trường phổ thông Tôi chỉ xin đề xuất một vài ý kiến về một phương pháp dùng để rút gọn biểu thức đại số có dạng

đặc biệt đó là: “Rút gọn biểu thức bằng phương pháp khử liên tiếp" đối với

học sinh cấp THCS mà Tôi đã từng áp dụng thành công

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về rút gọn biểu thức là một trong những vấn đề cơ bản của phân môn đại số, nhằm giúp cho học sinh hiểu rõ phương pháp tiếp cận cách giải bài toán rút gọn biểu thức Trên cơ sở đã phát hiện những khó khăn khi học sinh tiếp cận những bài toán rút gọn biểu thức có dạng đặc biệt, từ đó đưa ra một phương pháp rút gọn biểu thức đại số

3 Nhiệm vụ nghiên cứu.

- Điều tra sơ bộ về việc dạy và học của các đồng nghiệp, các em học sinh ở trường về việc dạy và học "Rút gọn biểu thức đại số"

- Phát hiện những khó khăn, vướng mắc trong quá trình dạy và học

- Từ đó đề xuất một số phương pháp nhằm nâng cao chất lượng dạy và học về rút gọn biểu thức đại số

- Thực nghiệm những giải pháp đã áp dụng ở trường và đánh giá kết quả đạt được

4 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu

- Đối tượng: Học sinh các khối lớp cấp THCS và đặc biệt là học sinh giỏi ở các khối

- Giới hạn kiến thức: Chương trình đại số ở bậc THCS

5 Phương pháp nghiên cứu

Trong quá trình nghiên cứu để tìm ra phương pháp dạy có hiệu quả về rút gọn biểu thức đại số Tôi đã sử dụng các phương pháp sau:

- Phương pháp điều tra, phỏng vấn: Nghiên cứu nắm tình hình của các khối lớp, từng học sinh để có phương pháp dạy học thích hợp

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu mục tiêu dạy học môn Toán, mục tiêu dạy học các bài về rút gọn biểu thức đại số

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Xây dựng kế hoạch dạy học, chuẩn

bị kĩ cho từng tiết lên lớp, tiến hành giờ dạy, thực hiện kiểm tra đánh giá từ đó nắm tình hình học tập của học sinh để từ đó điều chỉnh quá trình dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi, giúp đỡ học sinh yếu kém Tham khảo tài liệu của các đồng nghiệp, dự giờ một số lớp học, tham khảo ý kiến đồng nghiệp; thu thập các tư liệu cho bài dạy như tranh ảnh, bài toán, bài đố vui, trò chơi, sách báo có liên quan…

PHẦN II: NỘI DUNG Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

1 Cơ sở lý luận:

- Căn cứ Luật Giáo dục, Điều 27 Mục tiêu của giáo dục phổ thông: Điều

27 Mục tiêu của giáo dục phổ thông, cụ thể như sau:

Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển tồn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc

- Xuất phát từ mục tiêu chung của giáo dục trung học cơ sở:

Giáo dục THCS nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả của Tiểu học, có trình độ học vấn phổ thông cơ sở và những hiểu biết ban đầu về

kĩ thuật và hướng nghiệp học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động

- Học hết chương trình THCS học sinh đạt yêu cầu sau:

+ Yêu nước, hiểu biết, có niềm tin vào lý tưởng độc lập dân tộc vào chủ nghĩa xã hội

+ Có kiến thức phổ thông cơ bản, tính giản, thiết thực, cập nhật làm nền tảng từ đó có thể chiếm lĩnh những nội dung khác của KHTN

+ Có kỹ năng bước đầu vận dụng vào những kiến thức và kinh nghiệm thu được của bản thân

+ Hình thành và phát triển các năng lực chủ yếu

- Xuất phát từ mục tiêu môn toán trung học cơ sở: Đào tạo con người mà

xã hội cần:

+ Làm cho học sinh nắm vững tri thức toán phổ thông cơ bản thiết thực + Có kĩ năng thực hành toán

+ Hình thành ở học sinh các phẩm chất đạo đức và các kĩ năng cần thiết như mục tiêu giáo dục THCS đã đề ra Ngoài việc cung cấp cho học sinh 1 số kiến thức Toán và dạy cho học sinh biết tính toán, mục tiêu của môn Toán còn

đề cập đến phương pháp, kĩ năng phát triển các năng lực trí tuệ của học sinh ở phẩm chất đạo đức

2 Cơ sở thực tiễn:

Trong quá trình giảng dạy môn toán ở trường THCS bản thân nhận thấy

đa số các em học sinh khi tiếp cận và giải một bài toán có dạng khác các dạng toán cơ bản thì các em thường lúng túng chưa tìm được hướng giải thích hợp, không biết sử dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào phù hợp nhất, hướng nào tốt nhất Và đặc biệt với dạng toán rút gọn biểu thức thì học sinh chỉ mới làm được một số bài thuộc dạng cơ bản vận dụng quy tắc của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các biểu thức đại số, còn với bài toán rút gọn biểu thức mà biểu thức cho có dạng đặc biệt thì học sinh thường không thực hiện được Để giúp học sinh nắm vững các phương pháp rút gọn biểu thức giải quyết một số bài toán hay và khó trong chương trình toán THCS từ đó phát triễn khả năng tư duy sáng tạo ở các em Tôi đưa ra một đề tài về một phương pháp rút gọn biểu thức đại số mà Tôi đã tìm hiểu, tập hợp được thông qua thực

tế giảng dạy Đề tài hướng dẫn học sinh THCS giải loại toán rút gọn biểu thức đại số bằng phương pháp khử liên tiếp Với đề tài này tôi đề cập đến 2 vấn đề chính như sau:

- Vấn đề 1: nêu cách rút gọn biểu thức bằng phương pháp khử liên tiếp thông qua một số ví dụ cụ thể

- Vấn đề 2: dùng phương pháp rút gọn biểu thức bằng phương pháp khử liên tiếp

để giải quyết một số bài tập

Chương 2: Các biện pháp chính để thực hiện

Để sử dụng phương pháp này vào rút gọn một biểu thức đại số về phương pháp chung, ta thường tách mỗi hạng tử thành tổng hoặc hiệu của các biểu thức khác hoặc tách mỗi nhân tử thành tích của hai hay nhiều biểu thức, để sau đó làm xuất hiện các số hạng đối nhau hoặc các thừa số giống nhau ở trên tử và dưới mẫu Từ đó ta có thể khử liên tiếp đưa về được một kết quả gọn hơn Với biểu thức đại số thông thường ta chia ra 2 dạng là biểu thức nguyên và biểu thức

phân, sau đây tôi xin trình bày cách rút gọn biểu thức bằng phương pháp khử liên tiếp thông qua một số ví dụ ở hai dạng biểu thức này

A Đối với biểu thức nguyên

Tổng quát: Giả sử ta cần tính tổng hữu hạn: Sn = a1 + a2 + an

Ta có thể biểu diễn ai (i = 1,2,3 ,n) qua hiệu hai số hạng liên tiếp của 1 dãy số khác, chính xác hơn, giả sử : a1 = b1 - b2

a2 = b2 - b3

an = bn – bn+ 1 khi đó ta có ngay :

Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + + ( bn – bn + 1 )

= b1 – bn + 1

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: A=1 + 3 + 32 + 33 + … + 3k

Hướng dẫn: Với ví dụ này để rút gọn ta cần tách các hạng tử để làm xuất hiện các số đối nhau rồi dùng phương pháp khử liên tiếp để rút gọn Bài này ta có thể thực hiện theo 2 cách như sau:

Cách 1: Vì 2=3-1 nên 2A=1(3-1) + 3(3-1) + 32(3-1) + 33(3-1) + … + 3k(3-1)

=3 – 1 +32 -3 + 33 – 32 +34 – 33 + … + 3k+1 – 3k = -1 + 3k+1

Vậy A= 1 3 1

2

k+

− +

Cách 2: 3A = 3 + 32 + 33 + … + 3k + 33k+1

A = 1 + 3 + 32 + 33 + … + 3k Trừ vế theo vế ta được: 2A=-1 + 3k+1 Suy ra: A= 1 3 1

2

k+

− +

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: B=1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n+1)

Hướng dẫn: Đây là dạng toán đặc biệt để rút gọn được biểu thức này ta cần tách các hạng thích hợp để làm xuất hiện các số đối nhau, để có cách tách thích hợp

ta đi chứng minh đẳng thức sau: k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)=3k(k+1)

Ta có: VT = k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1) = (k2+k)(k+2) – k(k2-1) = k3+3k2+2k-k3+k

= 3k2+3k = 3k(k+1) = VP (đpcm)

+) Áp dụng rút gọn biểu thức: B=1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n+1)

3B = 3.1.2 + 3.2.3 + 3.3.4 + … + 3n(n+1)

3B = 1.2.3 – 0 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + … + n(n+1)(n+2) – (n-1)n(n+1)

Bằng phương pháp khử liên tiếp ta được: 3B = n(n+1)(n+2)

Vậy B = ( 1)( 2)

3

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức: C=1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + n(n+1)(n+2)

Hướng dẫn: tương tự ví dụ 2 ta dễ dàng chứng minh công thức sau:

k(k+1)(k+2)(k+3) - (k-1)k(k+1)(k+2)=4k(k+1)(k+2)

Áp dụng công thức vào ví dụ ta có:

4C = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + n(n+1)(n+2)

= 4.1.2.3 + 4.2.3.4 + 4.3.4.5 + … + 4.n(n+1)(n+2)

= 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 1.2.3.4 + 3.4.5.6 – 2.3.4.5 + … + n(n+1)(n+2)(n+3)

– (n-1)n(n+1)(n+2)

= n(n+1)(n+2)(n+3)

Vậy C= ( ) ( 2) ( 3)

4

1

Ví dụ 4 : Rút gọn biểu thức: Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + n n!

(n! = 1.2.3 n ) Hướng dẫn: để rút gọn được biểu thức này về cơ bản ta thực hiện theo phương pháp tổng quát tiến hành tách hạng tử: n.n! = (n+1)! – n!

Ta có : 1! = 2! -1!

2.2! = 3! -2!

3.3! = 4! -3!

n.n! = (n + 1)! –n!

Vậy Sn = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! + + ( n+1) ! – n!

= ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! – 1

Ví dụ 5 : Tính giá trị biểu thức:

B = x15 – 8x14 + 8x13 – 8x12 + … - 8x2 + 8x – 5; Tại x = 7

Hướng dẫn: Để thực hiện tính giá trị biểu thức trên bằng cách thay trực tiếp vào biểu thức B thì tính toán sẻ rất phức tạp Ở đây ta nghỉ đến cần phải biến đổi làm sao có thể làm gọn được biểu thức B rồi tính giá trị biểu thức B qua biểu thức đã làm gọn

Lời giải:

Với x=7 => 8=x+1 thay vào biểu thức B ta có:

B = x15 – (x+1)x14 + (x+1)x13 – (x+1)x12 + … - (x+1)x2 + (x+1)x - 5

= x15 – x15 – x14 + x14 + x13 + … - x3 – x2 + x2 + x - 5

Đến đây bằng phương pháp khử liên tiếp ta được B = x-5

Vậy giá trị biểu thức B tại x = 7 là: B = 7 – 5 = 2

B Đối với biểu thức phân

Tổng quát: về phương pháp chung ta cũng thực hiện tách các hạng tử để làm xuất hiện các biểu thức đối nhau rồi tiến hành khử liên tiếp như đối với biểu thức nguyên Nhưng đối với biểu thức phân ngoài phương pháp trên trong một

số bài tập ta còn có thể đưa về dưới dạng tích rồi biến đổi làm xuất hiện thừa số chung trên tử và dưới mẫu để khử liên tiếp Sau đây là một số ví dụ cụ thể về dạng này

Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức:

Hướng dẫn giải: Trong bài tập này nếu ta thực hiện theo quy tắc của các phép tính với phân thức theo cách thông thường thì rất phức tạp Ta cần nghỉ đến việc tách mỗi hạng tử thành hiệu của hai phân thức để làm xuất hiện những hạng tử đối nhau từ đó có thể khử liên tiếp được các hạng tử đó

Để giải quyết bài tập này ta cần chứng minh công thức:

Ta có: (x k x k+ )(1+ +1)= ((x k x k x k+ + − ++ )(1) (+ +x k1))= x k1+ −x k+ +1 1 (đpcm)

Cho k lần lượt lấy các giá trị từ 0 đến 99 ta được:

S

Vì số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau nên sau khi khử liên tiếp ta được: S 1 ( 1100) x( 100100)x ( 100100)

Ví dụ 7: Tính tích: 2

P

+

Hướng dẫn: Đây là một tích gồm nhiều thừa số, để rút gọn dạng này ta cần tách các thừa số thành nhiều thừa số khác sao cho làm xuất hiện những thừa số chung

cả trên tử và dưới mẫu từ đó có thể khử liên tiếp được để đưa về biểu thức đơn giản hơn

Dạng tổng quát của mỗi thừa số là:

1

Áp dụng vào biểu thức P ta có:

P

Bằng cách khử liên tiếp các thừa số giống nhau trên tử và dưới mẫu ta thu được

kết quả: 1. 2 2( 1)

P

Ví dụ 8: Tính tổng

S

Hướng dẫn: Với bài tập này nếu chúng ta tiến hành thực hiện theo cách thông thường thì khá là phức tạp, ta có thể vận dụng phương pháp khử liên tiếp thì sẻ đơn giản hơn rất nhiều

Lời giải

Ta có:

Tương tự:

;

S = + + + + Chứng minh rằng 2 8

5 < <S 9

Lời giải:

Ta có 2

2 > 2.3; 12 1

3 > 3.4; 12 1

4 > 4.5;…; 12 1

9 > 9.10

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta có:

1 1 1 1 1 1 1 1

Chứng minh tương tự ta có 8

9

S<

Vậy: 2 8

5 < <S 9

Ví dụ 10: Cho n N∈ * , chứng minh rằng:

P

n n

+

Q

+

      có giá trị nhỏ hơn 3

Hướng dẫn: Ta tiến hành biến đổi biểu thức P như ví dụ 5 để tiến hành rút gọn biểu thức P và Q bằng phương pháp khử liên tiếp, từ đó ta suy ra điều phải chứng minh

a)

P

Vì 1 1

2

n

n+ <

+ nên P<2 (đpcm)

b) Dạng tổng quát của mỗi nhân tử là:

2

1

Áp dụng vào biểu thức Q ta có:

Q

Vì 1 1

3

n

n+ <

+ nên Q<3

Ví dụ 11: Chứng minh với mọi số nguyên dương n:

Lời giải:

Ta có hạng tử tổng quát của VT là:

1 1 1 1 1

+ −

Áp dụng vào vế trái của bất đẳng thức ta có:

+ + <1 (đpcm)

Ví dụ 12: Cho P= 2 1 3 2 4 3 25 24

Chứng minh rằng P<2

5

Hướng dẫn giải: Phương pháp chung để giải bài tập này ta tiến hành rút gọn biểu thức P nhưng để rút gọn biểu thức P ta cần tách được mỗi hạng tử của P thành những hạng tử mà có thể thực hiện khử liên tiếp được Từ liên hệ cách tách ở bài 6 ta có lời giải như sau:

Lời giải:

Áp dụng vào biểu thức P ta có:

C MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1 (Bài 2.6 (tr 8) SBT toán 7): Tính nhanh:

Lời giải:

1 1 49

1

Bài 2 Rút gọn các biểu thức:

1.2 2.3 3.4 + + + + (n 1)n

−

2.5 5.8 8.11 + + + + (3n 2)(3n 5)

1.2.3 2.3.4 3.4.5 + + + + (n 1) (n n 1)

Lời giải:

n

−

b)

n

+

c

Bài 3 Chứng minh rằng với mọi số tư nhiên n≥1:

2 + 4 + 6 + + (2 )n < 2

+

Lời giải:

a) Ta có: