rút gọn biểu thức bằng phương pháp khử liên tiếp

Toán học là một trong những môn học chiếm một vị trí rất quan trọng và then chốt trong nội dung chương trình các môn học bậc phổ thông. Môn toán góp phần rất quan trọng trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề. góp phần phát triển trí thông minh, cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt, sáng tạo, và đang giúp vào việc hình thành các phẩm chất cần thiết và quan trọng của người lao động như: cần cù, cẩn thận, có ý chí vượt khó khăn, làm việc có kế hoạch, có nề nếp và tác phong khoa học. Quá trình học môn toán phải nhằm mục đích đào tạo con người mà xã hội cần. Đất nước ta đang bước vào thời kì công nghiệp hóa hiện đại hóa, đòi hỏi mỗi chúng ta đều phải đầu tư và suy nghĩ để tìm ra những biện pháp tốt nhất làm cho học sinh nắm vững tri thức toán phổ thông, cơ bản thiết thực có kĩ năng thực hành toán, giúp cho học sinh phát triển năng lực tư duy lôgic, khả năng diễn đạt chính xác ý tưởng của mình, khả năng tưởng tượng và bước đầu hình thành nhân cách qua học môn toán. Hình thành ở học sinh các phẩm chất đạo đức và có năng lực cần thiết như giáo dục đề ra. Bắt đầu từ bậc học THCS học sinh được làm quen với dạng toán rút gọn biểu thức, dạng toán này tiếp tục được dạy kĩ hơn ở lớp 8, lớp 9. Nó có mặt hầu hết ở các đề thi học kì, thi học sinh giỏi, thi tốt nghiệp, tuyển sinh vào các trường THPT. Để giải quyết một bài toán rút gọn biểu thức đại số cách thông thường ta dựa vào quy tắc của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các biểu thức đại số. Nhưng có những biểu thức đại số ta không thể vận dụng trực tiếp quy tắc các phép toán để thực hiện được vì nhiều lí do khác nhau. Chẳng hạn, không thể quy đồng mẫu thức của hàng trăm phân thức có mẫu thức khác nhau để cộng, trừ chúng. Không thể tìm tích của hàng chục phân thức bằng cách nhân trực tiếp tử với tử, mẫu với mẫu được mà không tìm ra quy luật để rút gọn biểu thức… Gặp những trường hợp đó học sinh thường rất lúng túng không có phương pháp để giải dạng toán này. Về phía giáo viên lâu nay chúng ta đang tìm kiếm một phương pháp dạy học sinh giải các bài toán rút gọn dạng này làm sao đạt hiệu quả. Các tài liệu, các sách tham khảo, sách hướng dẫn cho giáo viên cũng chưa có sách nào đề cập đến phương pháp dạy kiểu bài toán này. Có chăng chỉ là gợi ý chung và sơ lược. Đặc biệt đi theo kết quả của bài toán rút gọn biểu thức còn có các dạng toán khác nữa. Vì vậy, nếu không rút gọn được biểu thức thì học sinh không thực hiện được các bước tiếp theo để giải quyết bài toán cần có kết quả rút gọn biểu thức. Trước thực trạng trên, bản thân Tôi là một giáo viên toán cấp THCS, cũng đã từng trăn trở nhiều về vấn đề trên. Với đề tài này Tôi không có tham vọng lớn để bàn về vấn đề: “Giải các bài toán” ở trường phổ thông. Tôi chỉ xin đề xuất một vài ý kiến về một phương pháp dùng để rút gọn biểu thức đại số có dạng đặc biệt đó là: “Rút gọn biểu thức bằng phương pháp khử liên tiếp đối với học sinh cấp THCS mà Tôi đã từng áp dụng thành công.

PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học môn học chiếm vị trí quan trọng then chốt nội dung chương trình môn học bậc phổ thông Môn toán góp phần quan trọng việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp giải vấn đề góp phần phát triển trí thông minh, cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt, sáng tạo, giúp vào việc hình thành phẩm chất cần thiết quan trọng người lao động như: cần cù, cẩn thận, có ý chí vượt khó khăn, làm việc có kế hoạch, có nề nếp tác phong khoa học Quá trình học môn toán phải nhằm mục đích đào tạo người mà xã hội cần Đất nước ta bước vào thời kì công nghiệp hóa đại hóa, đòi hỏi phải đầu tư suy nghĩ để tìm biện pháp tốt làm cho học sinh nắm vững tri thức toán phổ thông, thiết thực có kĩ thực hành toán, giúp cho học sinh phát triển lực tư lôgic, khả diễn đạt xác ý tưởng mình, khả tưởng tượng bước đầu hình thành nhân cách qua học môn toán Hình thành học sinh phẩm chất đạo đức có lực cần thiết giáo dục đề Bắt đầu từ bậc học THCS học sinh làm quen với dạng toán rút gọn biểu thức, dạng toán tiếp tục dạy kĩ lớp 8, lớp Nó có mặt hầu hết đề thi học kì, thi học sinh giỏi, thi tốt nghiệp, tuyển sinh vào trường THPT Để giải toán rút gọn biểu thức đại số cách thông thường ta dựa vào quy tắc phép toán cộng, trừ, nhân, chia biểu thức đại số Nhưng có biểu thức đại số ta vận dụng trực tiếp quy tắc phép toán để thực nhiều lí khác Chẳng hạn, quy đồng mẫu thức hàng trăm phân thức có mẫu thức khác để cộng, trừ chúng Không thể tìm tích hàng chục phân thức cách nhân trực tiếp tử với tử, mẫu với mẫu mà không tìm quy luật để rút gọn biểu thức… Gặp trường hợp học sinh thường lúng túng phương pháp để giải dạng toán Về phía giáo viên lâu tìm kiếm phương pháp dạy học sinh giải toán rút gọn dạng đạt hiệu Các tài liệu, sách tham khảo, sách hướng dẫn cho giáo viên chưa có sách đề cập đến phương pháp dạy kiểu toán Có gợi ý chung sơ lược Đặc biệt theo kết toán rút gọn biểu thức có dạng toán khác Vì vậy, không rút gọn biểu thức học sinh không thực bước để giải toán cần có kết rút gọn biểu thức Trước thực trạng trên, thân Tôi giáo viên toán cấp THCS, trăn trở nhiều vấn đề Với đề tài Tôi tham vọng lớn để bàn vấn đề: “Giải toán” trường phổ thông Tôi xin đề xuất vài ý kiến phương pháp dùng để rút gọn biểu thức đại số có dạng đặc biệt là: “Rút gọn biểu thức phương pháp khử liên tiếp" học sinh cấp THCS mà Tôi áp dụng thành công Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu rút gọn biểu thức vấn đề phân môn đại số, nhằm giúp cho học sinh hiểu rõ phương pháp tiếp cận cách giải toán rút gọn biểu thức Trên sở phát khó khăn học sinh tiếp cận toán rút gọn biểu thức có dạng đặc biệt, từ đưa phương pháp rút gọn biểu thức đại số Nhiệm vụ nghiên cứu - Điều tra sơ việc dạy học đồng nghiệp, em học sinh trường việc dạy học "Rút gọn biểu thức đại số" - Phát khó khăn, vướng mắc trình dạy học - Từ đề xuất số phương pháp nhằm nâng cao chất lượng dạy học rút gọn biểu thức đại số - Thực nghiệm giải pháp áp dụng trường đánh giá kết đạt Phạm vi đối tượng nghiên cứu - Đối tượng: Học sinh khối lớp cấp THCS đặc biệt học sinh giỏi khối - Giới hạn kiến thức: Chương trình đại số bậc THCS Phương pháp nghiên cứu Trong trình nghiên cứu để tìm phương pháp dạy có hiệu rút gọn biểu thức đại số Tôi sử dụng phương pháp sau: - Phương pháp điều tra, vấn: Nghiên cứu nắm tình hình khối lớp, học sinh để có phương pháp dạy học thích hợp - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu mục tiêu dạy học môn Toán, mục tiêu dạy học rút gọn biểu thức đại số - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Xây dựng kế hoạch dạy học, chuẩn bị kĩ cho tiết lên lớp, tiến hành dạy, thực kiểm tra đánh giá từ nắm tình hình học tập học sinh để từ điều chỉnh trình dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi, giúp đỡ học sinh yếu Tham khảo tài liệu đồng nghiệp, dự số lớp học, tham khảo ý kiến đồng nghiệp; thu thập tư liệu cho dạy tranh ảnh, toán, đố vui, trò chơi, sách báo có liên quan… PHẦN II: NỘI DUNG Chương 1: Cơ sở lý luận thực tiễn Cơ sở lý luận: - Căn Luật Giáo dục, Điều 27 Mục tiêu giáo dục phổ thông: Điều 27 Mục tiêu giáo dục phổ thông, cụ thể sau: Mục tiêu giáo dục phổ thông giúp học sinh phát triển tồn diện đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ kỹ bản, phát triển lực cá nhân, tính động sáng tạo, hình thành nhân cách người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên vào sống lao động, tham gia xây dựng bảo vệ Tổ quốc - Xuất phát từ mục tiêu chung giáo dục trung học sở: Giáo dục THCS nhằm giúp học sinh củng cố phát triển kết Tiểu học, có trình độ học vấn phổ thông sở hiểu biết ban đầu kĩ thuật hướng nghiệp học nghề vào sống lao động - Học hết chương trình THCS học sinh đạt yêu cầu sau: + Yêu nước, hiểu biết, có niềm tin vào lý tưởng độc lập dân tộc vào chủ nghĩa xã hội + Có kiến thức phổ thông bản, tính giản, thiết thực, cập nhật làm tảng từ chiếm lĩnh nội dung khác KHTN + Có kỹ bước đầu vận dụng vào kiến thức kinh nghiệm thu thân + Hình thành phát triển lực chủ yếu - Xuất phát từ mục tiêu môn toán trung học sở: Đào tạo người mà xã hội cần: + Làm cho học sinh nắm vững tri thức toán phổ thông thiết thực + Có kĩ thực hành toán + Hình thành học sinh phẩm chất đạo đức kĩ cần thiết mục tiêu giáo dục THCS đề Ngoài việc cung cấp cho học sinh số kiến thức Toán dạy cho học sinh biết tính toán, mục tiêu môn Toán đề cập đến phương pháp, kĩ phát triển lực trí tuệ học sinh phẩm chất đạo đức Cơ sở thực tiễn: Trong trình giảng dạy môn toán trường THCS thân nhận thấy đa số em học sinh tiếp cận giải toán có dạng khác dạng toán em thường lúng túng chưa tìm hướng giải thích hợp, sử dụng phương pháp trước, phương pháp sau, phương pháp phù hợp nhất, hướng tốt Và đặc biệt với dạng toán rút gọn biểu thức học sinh làm số thuộc dạng vận dụng quy tắc phép toán cộng, trừ, nhân, chia biểu thức đại số, với toán rút gọn biểu thức mà biểu thức cho có dạng đặc biệt học sinh thường không thực Để giúp học sinh nắm vững phương pháp rút gọn biểu thức giải số toán hay khó chương trình toán THCS từ phát triễn khả tư sáng tạo em Tôi đưa đề tài phương pháp rút gọn biểu thức đại số mà Tôi tìm hiểu, tập hợp thông qua thực tế giảng dạy Đề tài hướng dẫn học sinh THCS giải loại toán rút gọn biểu thức đại số phương pháp khử liên tiếp Với đề tài đề cập đến vấn đề sau: - Vấn đề 1: nêu cách rút gọn biểu thức phương pháp khử liên tiếp thông qua số ví dụ cụ thể - Vấn đề 2: dùng phương pháp rút gọn biểu thức phương pháp khử liên tiếp để giải số tập Chương 2: Các biện pháp để thực Để sử dụng phương pháp vào rút gọn biểu thức đại số phương pháp chung, ta thường tách hạng tử thành tổng hiệu biểu thức khác tách nhân tử thành tích hai hay nhiều biểu thức, để sau làm xuất số hạng đối thừa số giống tử mẫu Từ ta khử liên tiếp đưa kết gọn Với biểu thức đại số thông thường ta chia dạng biểu thức nguyên biểu thức phân, sau xin trình bày cách rút gọn biểu thức phương pháp khử liên tiếp thông qua số ví dụ hai dạng biểu thức A Đối với biểu thức nguyên Tổng quát: Giả sử ta cần tính tổng hữu hạn: Sn = a1 + a2 + an Ta biểu diễn (i = 1,2,3 ,n) qua hiệu hai số hạng liên tiếp dãy số khác, xác hơn, giả sử : a1 = b1 - b2 a2 = b2 - b3 an = bn – bn+ ta có : Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + + ( bn – bn + ) = b1 – bn + Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: A=1 + + 32 + 33 + … + 3k Hướng dẫn: Với ví dụ để rút gọn ta cần tách hạng tử để làm xuất số đối dùng phương pháp khử liên tiếp để rút gọn Bài ta thực theo cách sau: Cách 1: Vì 2=3-1 nên 2A=1(3-1) + 3(3-1) + 32(3-1) + 33(3-1) + … + 3k(3-1) =3 – +32 -3 + 33 – 32 +34 – 33 + … + 3k+1 – 3k = -1 + 3k+1 Vậy A= Cách 2: −1 + 3k +1 3A = + 32 + 33 + … + 3k + 33k+1 A = + + + 33 + … + k Trừ vế theo vế ta được: 2A=-1 + k+1 −1 + 3k +1 Suy ra: A= Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: B=1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n+1) Hướng dẫn: Đây dạng toán đặc biệt để rút gọn biểu thức ta cần tách hạng thích hợp để làm xuất số đối nhau, để có cách tách thích hợp ta chứng minh đẳng thức sau: k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)=3k(k+1) Ta có: VT = k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1) = (k2+k)(k+2) – k(k2-1) = k3+3k2+2k-k3+k = 3k2+3k = 3k(k+1) = VP (đpcm) +) Áp dụng rút gọn biểu thức: B=1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n+1) 3B = 3.1.2 + 3.2.3 + 3.3.4 + … + 3n(n+1) 3B = 1.2.3 – + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + … + n(n+1)(n+2) – (n-1)n(n+1) Bằng phương pháp khử liên tiếp ta được: 3B = n(n+1)(n+2) Vậy B = n(n + 1)(n + 2) Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức: C=1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + n(n+1)(n+2) Hướng dẫn: tương tự ví dụ ta dễ dàng chứng minh công thức sau: k(k+1)(k+2)(k+3) - (k-1)k(k+1)(k+2)=4k(k+1)(k+2) Áp dụng công thức vào ví dụ ta có: 4C = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + n(n+1)(n+2) = 4.1.2.3 + 4.2.3.4 + 4.3.4.5 + … + 4.n(n+1)(n+2) = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 1.2.3.4 + 3.4.5.6 – 2.3.4.5 + … + n(n+1)(n+2)(n+3) – (n-1)n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3) Vậy C= n ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) Ví dụ : Rút gọn biểu thức: Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + n n! (n! = 1.2.3 n ) Hướng dẫn: để rút gọn biểu thức ta thực theo phương pháp tổng quát tiến hành tách hạng tử: n.n! = (n+1)! – n! Ta có : 1! = 2! -1! 2.2! = 3! -2! 3.3! = 4! -3! n.n! = (n + 1)! –n! Vậy Sn = 2! - 1! +3! – ! + 4! - 3! + + ( n+1) ! – n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! – Ví dụ : Tính giá trị biểu thức: B = x15 – 8x14 + 8x13 – 8x12 + … - 8x2 + 8x – 5; Tại x = Hướng dẫn: Để thực tính giá trị biểu thức cách thay trực tiếp vào biểu thức B tính toán sẻ phức tạp Ở ta nghỉ đến cần phải biến đổi làm gọn biểu thức B tính giá trị biểu thức B qua biểu thức làm gọn Lời giải: Với x=7 => 8=x+1 thay vào biểu thức B ta có: B = x15 – (x+1)x14 + (x+1)x13 – (x+1)x12 + … - (x+1)x2 + (x+1)x - = x15 – x15 – x14 + x14 + x13 + … - x3 – x2 + x2 + x - Đến phương pháp khử liên tiếp ta B = x-5 Vậy giá trị biểu thức B x = là: B = – = B Đối với biểu thức phân Tổng quát: phương pháp chung ta thực tách hạng tử để làm xuất biểu thức đối tiến hành khử liên tiếp biểu thức nguyên Nhưng biểu thức phân phương pháp số tập ta đưa dạng tích biến đổi làm xuất thừa số chung tử mẫu để khử liên tiếp Sau số ví dụ cụ thể dạng Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức: 1 1 S= x( x + 1) + ( x + 1)( x + 2) + ( x + 2)( x + 3) + + ( x + 99)( x + 100) Hướng dẫn giải: Trong tập ta thực theo quy tắc phép tính với phân thức theo cách thông thường phức tạp Ta cần nghỉ đến việc tách hạng tử thành hiệu hai phân thức để làm xuất hạng tử đối từ khử liên tiếp hạng tử Để giải tập ta cần chứng minh công thức: 1 = − ( x + k )( x + k + 1) x + k x + k + ( x + k + 1) − ( x + k ) 1 Ta có: ( x + k )( x + k + 1) = ( x + k )( x + k + 1) = x + k − x + k + (đpcm) Cho k lấy giá trị từ đến 99 ta được:   1   1   1  S = − − − − ÷+  ÷+  ÷+ +  ÷  x x +1  x +1 x +   x + x +   x + 99 x + 100  Vì số trừ nhóm trước số bị trừ nhóm sau nên sau khử liên tiếp ta 1 x + 100 − x 100 được: S = x − ( x + 100) = x( x + 100) = x( x + 100) 1    1  1  Ví dụ 7: Tính tích: P = 1 + ÷ 1 + ÷ 1 + ÷ 1 + ÷ 15 n + 2n       Hướng dẫn: Đây tích gồm nhiều thừa số, để rút gọn dạng ta cần tách thừa số thành nhiều thừa số khác cho làm xuất thừa số chung tử mẫu từ khử liên tiếp để đưa biểu thức đơn giản k + 2k + (k + 1) = = Dạng tổng quát thừa số là: + k + 2k k + 2k k (k + 2) Áp dụng vào biểu thức P ta có: P = 22 32 42 (n + 1) 2.3.4 ( n + 1) 2.3.4 ( n + 1) = 1.3 2.4 3.5 n(n + 2) 1.2.3 n 3.4.5 (n + 2) Bằng cách khử liên tiếp thừa số giống tử mẫu ta thu kết quả: P = n +1 2( n + 1) = n+2 n+2 Ví dụ 8: Tính tổng S = x − yz y − zx z − xy + + ( x + y )( x + z ) ( y + z )( y + x) ( z + x)( z + y ) Hướng dẫn: Với tập tiến hành thực theo cách thông thường phức tạp, ta vận dụng phương pháp khử liên tiếp sẻ đơn giản nhiều Lời giải x − yz x + xy − xy − yz x ( x + y ) − y ( x + z ) x y = = = − Ta có: ( x + y )( x + z ) (x + y )(x + z ) (x + y )(x + z ) x+ z x + y y − zx y z z − xy z x = − ; = − Tương tự: ( y + z )( y + x ) y + x y + z ( z + x )( z + y ) z + x z + x x y y z z x Do đó: S = x + z − x + y + y + x − y + z + z + y − z + x =0 Ví dụ 9: Cho S = 1 1 + + + + Chứng minh < S < 2 9 Lời giải: Ta có 1 1 1 1 > ; 2> ; 2> ;…; > 2 2.3 3.4 4.5 9.10 Cộng vế với vế bất đẳng thức ta có: S= 1 1 1 1 + + + + > + + + + 2 2.3 3.4 4.5 9.10 S> 1 1 1 1 − + − + − + + − 3 4 10 S> 1 − = 10 Chứng minh tương tự ta có S < Vậy: [...]... đẳng thức ta có: VT = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − + + − = 1− ... dùng để rút gọn biểu thức đại số có dạng đặc biệt là: Rút gọn biểu thức phương pháp khử liên tiếp" học sinh cấp THCS mà Tôi áp dụng thành công Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu rút gọn biểu thức vấn... thường ta chia dạng biểu thức nguyên biểu thức phân, sau xin trình bày cách rút gọn biểu thức phương pháp khử liên tiếp thông qua số ví dụ hai dạng biểu thức A Đối với biểu thức nguyên Tổng quát:... sinh THCS giải loại toán rút gọn biểu thức đại số phương pháp khử liên tiếp Với đề tài đề cập đến vấn đề sau: - Vấn đề 1: nêu cách rút gọn biểu thức phương pháp khử liên tiếp thông qua số ví dụ