Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán chuyên Toán - Tin lần 2 năm học 2015-2016 trường THPT Chuyên Nguyễn Huệ, Hà Nội

TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 CHUYÊN THPT LẦN THỨ HAI NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (dùng cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán chuyên Tin) Bài I (3 điểm) 1) Chứng minh với số tự nhiên n n4 + 2015n2 chia hết cho 12 2  x  3xy  y  12 2) Giải hệ phương trình sau :  2  x  xy  3y  11 Bài II (2 điểm) 1) Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: 2y2 + 2xy + x + 3y – 13 = x2 3x 2) Giải phương trình:   1 Bài III (1 điểm) Cho x, y số thực không âm Tìm giá trị lớn biểu thức : ( x2  y2 )(1  x2 y2 ) P (1  x2 ) (1  y2 ) Bài IV (3 điểm) Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Kẻ tiếp tuyến chung CD (C, D tiếp điểm, C  (O), D  (O’)) Đường thẳng qua A song song với CD cắt (O) E, (O’) F Gọi M, N theo thứ tự giao điểm BD BC với EF Gọi I giao điểm EC với FD Chứng minh rằng: a) Chứng minh tứ giác BCID nội tiếp b) CD trung trực đoạn thẳng AI b) IA phân giác góc MIN Bài V (1điểm) Cho 1010 số tự nhiên phân biệt không vượt 2015 số gấp lần số khác Chứng minh số chọn tìm số cho tổng số số lại - Hết -(Giám thị không giải thích thêm) Họ tên thí sinh: .Số báo danh: Chữ ký giám thị số 1: Chữ ký giám thị số 2: TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ BÀI I HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ LẦN VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: TOÁN (Dành cho hệ chuyên Toán chuyên Tin) HƯỚNG DẪN CHẤM Ý ĐIỂM 3,0 Chứng minh với số tự nhiên n n + 2015n chia hết cho 12 2 Ta có: n + 2015n = n (n + 2015) Nếu n chẵn n2 chia hết cho Nếu n lẻ n2 + 2015 chia hết cho  n4 + 2015n2 chia hết cho Nếu n chia hết cho n4 + 2015n2 chia hết cho Nếu n chia dư dư n4 + 2015n2 chia hết cho Vậy n4 + 2015n2 chia hết cho Vì (4, 3) = nên n4 + 2015n2 chia hết cho 12 Giải hệ phương trình 1,5 0,25 0, 0, 0,25 1,5 22 x  33xy  11y  121  2 12 x  12 xy  36 y  121 Suy : 10 x2  45 xy  25 y2  0,25   x  y  x  5y   y  x     x  5 y Với x  x  y ta  y  0,  x  1 ;  y  2  5  x  x    3 Với x  5y ta  ; y  y    3 II 0,25 0, 2,0 Tìm cặp số nguyên (x, y)… (1,5 điểm) 1,0 2y + 2xy + x + 3y – 13 =  (2y + 1)(x + y + 1) = 14  2y + x + y + ước 14 Vì 2y + số lẻ nên ta có trường hợp sau: TH 1: 2y + = x + y + = 14  (x, y) = (13, 0) TH 2: 2y + = -1 x + y + = - 14  (x, y) = (-14, -1) TH 3: 2y + = x + y + =  (x, y) = (-2, 3) TH 4: 2y + = - x + y + = -  (x, y) = (1, - 4) 0, 0,25 0,25 Giải phương trình x2 3x (1,5 điểm)   1 1,0 Điều kiện: x  Ta có Do x2 3x   1  6x 0,25 x6 x2 6x  , suy   2x   x2  48  x  12 x  12 0,5   x  6   x6 Thử lại x  vào thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x  III Tìm GTLN …… (1,0 điểm) 0,25 1,0 ( a  b)  a.b a, b (1) Dấu ‘=’ xảy a=b x2  y2 1 x2 y2  a  b Đặt : (1  x )(1  y ) (1  x )(1  y ) Ta có : 0,25 Theo (1) ta có : P  ab   x  y   x y2  P   (1  x )(1  y2 )   ( x  1)(1  y2 )   P   (1  x )(1  y2 )    y2   P      y2    0,25 1 y   y    Ta có : Do : P max  (a  b) Suy ra: 1  y  0,25 a  b Dấu “=” xảy     y    1  y 2  x   y  IV Chứng minh tứ giác BCID nội tiếp ( điểm ) 0,25 3,0 1,0 B O' M O F A N D K E C I TH1: Điểm A đoạn thẳng CD nằm phía với đường OO’ Ta có ABC  AEC  ICD DBC  AED  IDC  DBA  DIC  ABC  DBC  DIC  ICD  IDC  DIC  1800  Tứ giác BCID nội tiếp 0,5 TH2: Điểm A đoạn thẳng CD nằm khác phía so với OO’ I C K D B E M O' O A F N Vì tứ giác ABCE nội tiếp (O) nên BCE  BAE  1800  BCE  BAF Tương tự BAF  BDI  BCE  BDI  BCI  BDI  BCI  BCE  1800  Tứ giác BCID nội tiếp  ∆ ICD = ∆ ACD  CA = CI DA = DI 0,5 0,5  CD trung trực AI b Chứng minh CD trung trực AI (1,0 điểm) (Hai trường hợp chứng minh nhau) 1,0 Ta có ICD  CEA  DCA  ICD  DCA Tương tự IDC  CDA 0,5  ∆ ICD = ∆ ACD  CA = CI DA = DI  CD trung trực AI c Chứng minh IA phân giác góc MIN ( điểm) (Hai trường hợp chứng minh nhau) 0,5 Ta có CD  AI  AI  MN Gọi K = AB  CD Ta chứng minh CK2 = KA.KB = KD2  KC = KD (1) Vì CD // MN nên 0,5 KC KD KB   AN AM AB Từ (1)  AN = AM Mà AI  MN  ∆ IMN cân I  IA phân giác góc MIN V 1,0 0,5 Chứng minh …(1điểm) Giả sử  a1  a2  a3   a1010  2015 1010 số tự nhiên chọn Xét 1009 số : bi  a1010  , i  1, 2, ,1009 suy ra: 1,0 0,5  b1009  b1008   b1  2015 Theo nguyên lý Dirichlet 2019 số , bi không vượt 2015 tồn số nhau, mà số bi nhau, suy tồn i,j cho: 0,5 bi  aj  a1010   aj  a1010   aj ( dpcm) (Chú ý i  j 1010 số chọn số lần số khác ) Các ý chấm: 1) Thí sinh phải lập luận đầy đủ cho điểm tối đa 2) Thí sinh có cách giải đúng, khác với hướng dẫn giám khảo chấm cho điểm theo số điểm quy định dành cho câu (hay ý) 3) Vận dụng hướng dẫn chấm chi tiết đến 0,25 điểm nên không làm tròn điểm thi ... (13, 0) TH 2: 2y + = -1 x + y + = - 14  (x, y) = (-1 4, -1 ) TH 3: 2y + = x + y + =  (x, y) = ( -2 , 3) TH 4: 2y + = - x + y + = -  (x, y) = (1, - 4) 0, 0 ,25 0 ,25 Giải phương trình x2 3x (1,5 điểm)... a2  a3   a1 010  20 15 101 0 số tự nhiên chọn Xét 100 9 số : bi  a1 010  , i  1, 2, ,100 9 suy ra: 1,0 0,5  b1009  b1008   b1  20 15 Theo nguyên lý Dirichlet 20 19 số , bi không vượt 20 15... dư n4 + 20 15n2 chia hết cho Vậy n4 + 20 15n2 chia hết cho Vì (4, 3) = nên n4 + 20 15n2 chia hết cho 12 Giải hệ phương trình 1,5 0 ,25 0, 0, 0 ,25 1,5  22 x  33xy  11y  121  2  12 x  12 xy 