Tính h-khả tích có dư có điều kiện

1 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Kiến thức sở 1.1 Các định nghĩa tính chất độc lập có điều kiện 1.2 Các định nghĩa tính chất phụ thuộc âm có điều kiện Tính h-khả tích có dư có điều kiện 2.1 Định nghĩa tính chất tính h-khả tích có dư có điều kiện 2.2 Định nghĩa tính chất strong-mixing 14 2.3 Định nghĩa tính chất strong-mixing không gian Banach 16 Tính h-khả tích mạnh có dư có điều kiện 19 3.1 Các định nghĩa tính h-khả tích mạnh có dư có điều kiện 19 3.2 Các tính chất tính h-khả tích mạnh có dư có điều kiện Kết luận Tài liệu tham khảo 20 25 27 LỜI NÓI ĐẦU Trong khoa học sống hàng ngày thường gặp biến cố ngẫu nhiên Đó tượng mà ta dự đoán cách chắn chúng xảy hay không xảy Tính ngẫu nhiên diện khắp nơi, lúc tác động đến chúng ta, phần tất yếu sống Lý thuyết xác suất môn toán học nghiên cứu tìm quy luật chi phối đưa phương pháp tính toán xác suất tượng ngẫu nhiên Ngày lý thuyết xác suất trở thành ngành toán học quan trọng phương diện lý thuyết ứng dụng Nó công cụ thiếu cần đánh giá may, nguy rủi ro Chúng quan tâm tới khái niệm độc lập có điều kiện, phụ thuộc âm có điều kiện biến ngẫu nhiên, strong-mixing Khái niệm phụ thuộc âm có điều kiện nghiên cứu E.L Lehmann năm 1996 Khái niệm strong-mixing cho dãy biến ngẫu nhiên giới thiệu M Rosenblatt năm 1956 Dựa kết có muốn nghiên cứu sâu cố gắng mở rộng cho trường hợp phần tử ngẫu nhiên không gian Banach Vì chọn đề tài "Về hội tụ có điều kiện cho tổng biến ngẫu nhiên phụ thuộc" Kết mà thu liên quan tới tính h-khả tích có dư có điều kiện, h-khả tích mạnh có dư có điều kiện, strong-mixing trường hợp có điều kiện Khóa luận chia làm chương: Chương Kiến thức sở Trong chương này, giới thiệu số khái niệm sở liên quan đến nội dung chương sau Cụ thể, trình bày khái niệm, ký hiệu tính chất khái niệm độc lập có điều kiện biến cố, biến ngẫu nhiên, phụ thuộc âm có điều kiện Chương Tính h-khả tích có dư có điều kiện Chúng trình bày khái niệm, tính chất tính h-khả tích có dư có điều kiện B -strong-mixing Các khái niệm đối tượng nghiên cứu khoá luận Các kết phong phú khoá luận trình bày, chứng minh cách chi tiết Chương Tính h-khả tích mạnh có dư có điều kiện Trong chương cuối này, đưa khái niệm, tính chất tính h-khả tích mạnh có dư có điều kiện Khái niệm mạnh khái niệm tính h-khả tích có dư có điều kiện đưa Chương Khoá luận hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm khắc thầy giáo PGS TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người dạy cho tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập, nghiên cứu khoa học sống Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ Xác suất Thống kê Toán ứng dụng, thầy cô Khoa Toán Tác giả xin cảm ơn thầy giáo ThS Dương Xuân Giáp anh chị nhóm Seminar "Xác suất thống kê " giúp đỡ tận tình cho tác giả Đồng thời, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình bạn bè quan tâm, động viên tạo điều kiện tốt để tác giả thực khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng, song khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy, cô giáo bạn đọc để khóa luận hoàn thiện Nghệ An, tháng 05 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương giới thiệu định nghĩa kiến thức liên quan đến khóa luận Trong suốt khóa luận này, tất biến cố biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, A, P) Giả sử B σ -đại số A Ta kí hiệu EB (X) kì vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên X B PB (A) xác suất có điều kiện biến cố A ∈ A B 1.1 Các định nghĩa tính chất độc lập có điều kiện 1.1.1 Định nghĩa Một dãy {Gn , n ≥ 1} gồm họ biến cố gọi độc lập có điều kiện B (viết tắt B -độc lập) ∀n ≥ với cách chọn k1 , k2 , , kn ∈ N cho ki = kj với i = j , cách chọn Ai ∈ Gki , ≤ i ≤ n thì: n n B P ( PB (Ai ) hầu chắn (viết tắt h.c.c) Ai ) = i=1 i=1 Một dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi độc lập có điều kiện B (viết tắt B -độc lập) dãy σ -đại số sinh chúng {σ(Xn ), n ≥ 1} B -độc lập Người ta chứng minh dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} B -độc lập với (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn : n B PB (Xi ≤ xi ) P (Xi ≤ xi , i = 1, 2, , n) = i=1 h.c.c Chứng minh xem [2], Định lí 2.1 Một dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi B -độc lập đôi cặp biến ngẫu nhiên dãy B -độc lập Nếu B = {∅, Ω} B -độc lập trở thành độc lập thông thường 1.1.2 Mệnh đề Nếu hai biến ngẫu nhiên X Y khả tích B -độc lập thì: EB (XY) = EB (X)EB (Y) h.c.c Ta có kết tương tự cho hữu hạn biến ngẫu nhiên Chứng minh xem [2], Mệnh đề 3.8 1.2 Các định nghĩa tính chất phụ thuộc âm có điều kiện 1.2.1 Định nghĩa Các biến ngẫu nhiên X Y gọi phụ thuộc âm có điều kiện ứng với σ -đại số B (viết tắt B -CLCND) với x, y ∈ R PB [X ≤ x, Y ≤ y] ≤ PB [X ≤ x].PB [Y ≤ y] h.c.c Một dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi đôi phụ thuộc âm có điều kiện ứng với σ -đại số B cặp biến ngẫu nhiên dãy B -CLCND Ta có tính chất sau phụ thuộc âm có điều kiện: 1.2.2 Bổ đề Cho {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên đôi B -CLCND có moment bậc hai hữu hạn Khi đó, ∀i, j ≥ 1, i = j ta có: EB (Xi Xj ) ≤ EB (Xi )EB (Xj ) h.c.c 1.2.3 Bổ đề Cho {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên đôi B -CLCND hai dãy số {an , n ≥ 1} {bn , n ≥ 1} thỏa mãn an < bn , ∀n ∈ N Khi đó, dãy {Yn , n ≥ 1} xác định Yn = Xn I[an ≤ X ≤ bn ] + an I[Xn < an ] + bn I[Xn > bn ], n ≥ dãy biến ngẫu nhiên đôi B -CLCND Chứng minh Mỗi cách chọn n, p ∈ N mà n = p, ta có:      B P (Yn ≤ yn ) = PB [Xn ≤ yn ]          B P (Yp ≤ yp ) = PB [Xp ≤ yp ]     yn < an an ≤ yn < bn yn ≥ bn , yp < ap ap ≤ yp < bp yp ≥ bp , PB [Yn ≤ yn , Yp ≤ yp ] = = PB [Yn ≤ yn ].P B [Yp ≤ yp ] yn < an yp < ap = PB [Yn ≤ yn ].P B [Yp ≤ yp ] yn ≥ bn yp ≥ bp , Ta xét trường hợp lại sau : (1) Nếu an ≤ yn < bn ap ≤ yp < bp thì: PB [Yn ≤ yn , Yp ≤ yp ] = PB [Xn ≤ yn , Xp ≤ yp ] ≤ PB [Xn ≤ yn ].PB [Xp ≤ yp ], (2) Nếu an ≤ yn < bn yp ≥ bp thì: PB [Yn ≤ yn , Yp ≤ yp ] = PB [Yn ≤ yn ] = PB [Yn ≤ yn ].PB [Yp ≤ yp ], PB [Yp ≤ yp ] = (3) Nếu yn ≥ bn ap ≤ yp < bp thì: PB [Yn ≤ yn , Yp ≤ yp ] = PB [Yp ≤ yp ] = PB [Yn ≤ yn ].PB [Yp ≤ yp ], PB [Yn ≤ yn ] = Do {Yn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên đôi B -CLCND CHƯƠNG TÍNH H-KHẢ TÍCH CÓ DƯ CÓ ĐIỀU KIỆN 2.1 Định nghĩa tính chất tính h-khả tích có dư có điều kiện Lưu ý lại chương tất biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, A, P) B , Bn , n ≥ σ -đại số A Trong chương này, ta chọn {un , n ≥ 1} {vn , n ≥ 1} hai dãy số nguyên (không cần dương hay hữu hạn, mà cần điều kiện > un , ∀n ≥ − un → ∞ n → ∞) Hơn nữa, {h(n), n ≥ 1} dãy số dương thỏa mãn h(n) ↑ ∞ n → ∞ Khi ta có định nghĩa tính h-khả tích có dư có điều kiện dãy {Bn } sau: 2.1.1 Định nghĩa Giả sử {Xnk , un ≤ k ≤ , n ≥ 1} {Ank , un ≤ k ≤ , n ≥ } hai mảng biến ngẫu nhiên Mảng {Xnk } gọi h-khả tích có dư có điều kiện Bn (viết tắt Bn -CR-h-khả tích) liên quan đến mảng {Ank } điều kiện sau thỏa mãn: |Ank |EBn |Xnk | < ∞ (a) sup n≥1 h.c.c k=un |Ank |EBn (|Xnk | − h(n)) I[|Xnk | > h(n)] = h.c.c (b) lim n→∞ k=un 2.1.2 Định nghĩa Cho {Xnk , un ≤ k ≤ , n ≥ 1} mảng biến ngẫu nhiên {ank , un ≤ k ≤ , n ≥ 1} mảng số Mảng {Xnk } gọi h-khả tích có dư (viết tắt R-h-khả tích) liên quan tới mảng số {ank } thỏa mãn điều kiện sau: |ank |E|Xnk | < ∞, (a) sup n≥1 k=un |ank |E (|Xnk | − h(n)) I [|Xnk | > h(n)] = (b) lim n→∞ k=un Sau xin giới thiệu số định lí hội tụ trung bình có điều kiện mảng biến ngẫu nhiên B -CR-h-khả tích có trọng số ngẫu nhiên số điều kiện phụ thuộc có điều kiện Cụ thể xem xét phụ thuộc có điều kiện theo hàng mảng sau đây: phụ thuộc âm có điều kiện, liên kết không dương có điều kiện, strong-mixing có điều kiện Trong định lí này, với mảng biến ngẫu nhiên đôi phụ thuộc âm có điều kiện, việc chứng minh ta sử dụng kỹ thuật chặt cụt - kỹ thuật dùng riêng cho mảng phụ thuộc âm có điều kiện, dùng để thu số định lý hội tụ trung bình có điều kiện 2.1.3 Định lý Cho {Xnk , un ≤ k ≤ , n ≥ 1} mảng biến ngẫu nhiên đôi Bn -CLCND Cho {Ank , un ≤ k ≤ , n ≥ 1} mảng biến ngẫu nhiên không âm cho với n ∈ N, mảng {Ank , un ≤ k ≤ } Bn -đo Giả sử rằng: (a) {Xnk } Bn -CR-h-khả tích liên quan tới mảng {Ank }, (b) h(n)( sup Ank ) → h.c.c n → ∞ un ≤k≤vn Ank (Xnk − EBn Xnk ), n ≥ EBn |Sn | → h.c.c n → ∞ Đặt Sn = k=un Chứng minh Với n ∈ N un ≤ k ≤ ta xác định: Ynk = Xnk I[|Xnk | ≤ h(n)] − h(n)I[Xnk < −h(n)] + h(n)I[Xnk > h(n)] Vì {Xnk } dãy biến ngẫu nhiên đôi B -CLCND nên {Ynk } dãy biến ngẫu nhiên đôi B -CLCND Sử dụng phương pháp chặt cụt ta có: Đặt: S1n = Ank (Xnk − Ynk ) (2.1) Ank (Ynk − EBn Ynk ) (2.2) Ank EBn (Ynk − Xnk ) (2.3) k=un S2n = k=un S3n = k=un (+) Nếu un , hữu hạn ta có : Ank (Xnk − Ynk + Ynk − EBn Ynk + EBn Ynk − EBn Xnk ) S1n + S2n + S3n = k=un Ank (Xnk − EBn Xnk ) = Sn , n ≥ = k=un (+) Nếu un , vô hạn, kỳ vọng có điều kiện tương ứng chuỗi S1n , S2n , S3n hội tụ tuyệt đối nên ta có Sn = S1n + S2n + S3n , n ≥ Vậy ta viết Sn = S1n + S2n + S3n , n ≥ Ta chứng minh EBn Sn → n → ∞ hay EBn (S1n + S2n + S3n ) → n → ∞, nghĩa (EBn S1n + EBn S2n + EBn S3n ) → n → ∞ Với n ≥ 1: |EBn S1n | = |EBn EBn Ank (Xnk − Ynk )| Ank (Xnk − Ynk )| = | k=un k=un vn Bn =| Bn EBn Ank EBn (Xnk − Ynk )| E E Ank (Xnk − Ynk )| = | k=un k=un vn Ank EBn (Xnk − Ynk )| = | =| k=un Ank EBn (Ynk − Xnk )| k=un (2.4) 10 |EBn S3n | = |EBn Ank EBn (Ynk − Xnk )| = | k=un EBn Ank EBn (Ynk − Xnk )| k=un vn EBn (Ynk − Xnk )EBn Ank | = | =| Ank EBn (Ynk − Xnk )| (2.5) k=un k=un (Ta có EBn Ank = Ank Ank Bn -đo được.) Từ (2.3), (2.4), (2.5) ta được: Bn Bn |Ank EBn (Xnk − Ynk )| ≤ |E S1n | = |E S3n | = |S3n | ≤ k=un Ank EBn |Xnk − Ynk | = (2.6) k=un Mặt khác ta lại có ∀n ∈ N thì:      |Xnk − Ynk | = |Xnk + h(n)|     |Xnk − h(n)|      = −Xnk − h(n)     Xnk − h(n) |Xnk | ≤ h(n) Xnk < −h(n) Xnk > h(n), |Xnk | ≤ h(n) Xnk < −h(n) Xnk > h(n), |Xnk | ≤ h(n) = |Xnk | − h(n) vn Bn ⇒ |Xnk | > h(n), Ank EBn (|Xnk | − h(n)) I[|Xnk | > h(n)] Ank E |Xnk − Ynk | = k=un k=un → h.c.c n → ∞ (2.7) Từ (2.6) (2.7) ⇒ EBn S1n → h.c.c n → ∞ EBn S3n → h.c.c n → ∞ (2.8) 13 Chứng minh Chứng minh tương tự Định lý 2.1.3 Với n ∈ N un ≤ k ≤ ta đặt : Ynk = Xnk I[Xnk ≤ h(n)] + h(n)I[Xnk > h(n)] S1n , S2n , S3n định nghĩa phần chứng minh Định lí 2.1.3 Trong trường hợp này, Xnk − Ynk = (Xnk − h(n))I[Xnk > h(n)] vậy: Bn Bn Ank EBn (Xnk − h(n))I[Xnk > h(n)] → h.c.c E |S1n | = E S1n = −S3n ≤ k=un n → ∞ Với S2n , ta chứng minh EBn S22n → h.c.c n → ∞ Lưu ý EBn S22n = B1n + B2n Định lý 2.1.3, B1n → h.c.c n → ∞ cách chứng minh Định lý 2.1.3 Tiếp theo, đủ để chứng tỏ lim sup B2n ≤ h.c.c suy từ tính không âm n→∞ biến ngẫu nhiên Xnk Ank giả thiết không dương tương quan có điều kiện Chúng ta có: Anj Ank EBn (Ynj Ynk ) − EBn Ynj EBn Ynk B2n = j=k Anj Ank EBn (Xnj Xnk ) − EBn Ynj EBn Ynk ≤ j=k Anj Ank EBn Xnj EBn Xnk − EBn Ynj EBn Ynk ≤ j=k ≤ Anj Ank (EBn Xnj − EBn Ynj )EBn Xnk + (EBn Xnk − EBn Ynk )EBn Ynj j,k=un vn Anj Ank EBn (Xnj − Ynj ).EBn Xnk = j=un k=un vn Anj Ank EBn (Xnk − Ynk ).EBn Ynj + j=un k=un 14 vn Bn Ank EBn Xnk Anj E (Xnj − Ynj ) = j=un k=un vn Bn + Anj Ank EBn (Xnk − Ynk ) Anj E Ynj j=un k=un vn Anj EBn (Xnj − h(n)I[Xnj > h(n)] = j=un k=un vn Bn + Ank EBn (Xnk − h(n))I[Xnk > h(n)] Anj E (Ynj ) j=un j=un vn Anj EBn Xnj ≤2 Ank EBn (Xnk ) j=un Ank EBn (Xnk − h(n))I[Xnk > h(n)] → h.c.c j=un n → ∞ 2.2 Định nghĩa tính chất strong-mixing 2.2.1 Định nghĩa Một dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi strongmixing tồn dãy không âm {αi } hội tụ đến thỏa mãn |P(A ∩ B) − P(A)P(B)| ≤ αi , với A ∈ σ(X1 , X2 , , Xk ), B ∈ σ(Xk+i , Xk+i+1 , ) k ≥ 1, i ≥ Sau xin giới thiệu khái niệm strong-mixing cho trường hợp có điều kiện mở rộng khái niệm 2.2.2 Định nghĩa Cho không gian xác suất (Ω, A, P) B σ -đại số A Cho {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên xác định (Ω, A, P) Dãy {Xn , n ≥ 1} gọi strong-mixing có điều kiện (B -strong-mixing) tồn dãy biến ngẫu nhiên B -đo được, không âm αiB hội tụ đến hầu chắn i → ∞ thỏa mãn: |PB (A ∩ B) − PB (A)PB (B)| ≤ αiB h.c.c ∀A ∈ σ(X1 , X2 , , Xk ), ∀B ∈ σ(Xk+i , Xk+i+1 , ) với k ≥ 1, i ≥ 15 Ta có bất đẳng thức hiệp phương sai biến ngẫu nhiên B -strongmixing sau: 2.2.3 Bổ đề Cho {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên B -strong-mixing với hệ số mixing αnB xác định không gian xác suất (Ω, A, P) Giả sử biến ngẫu nhiên Y đo σ(X1 , X2 , , Xk ) bị chặn hàm B -đo C, Z đo σ(Xk+i , Xk+i+1 , ) bị chặn hàm B -đo D Khi ta có: |EB (YZ) − EB (Y).EB (Z)| ≤ 4CDαiB h.c.c Sau định lí hội tụ trung bình cho dãy biến ngẫu nhiên B strong-mixing có trọng số ngẫu nhiên: 2.2.4 Định lý Cho {Xnk , un ≤ k ≤ , n ≥ 1} mảng biến ngẫu nhiên thỏa mãn với n ≥ hàng {Xnk , un ≤ k ≤ } dãy biến ngẫu nhiên B -strong-mixing với −un αiBn < ∞ h.c.c lim sup n→∞ i=1 Cho {Ank , un ≤ k ≤ } mảng biến ngẫu nhiên không âm cho với n ∈ N {Ank , un ≤ k ≤ } Bn -đo Giả sử với n ∈ N {Ank } dãy không tăng theo hàng h.c.c, nghĩa Anj ≤ Ani h.c.c i ≤ j Giả sử thêm rằng: (a) {Xnk } dãy Bn -CR-h-khả tích liên quan tới dãy {Ank }, (b) A2nk → h.c.c n → ∞ h (n) k=un Ank (Xnk − EBn Xnk ), n ≥ EBn |Sn | → h.c.c n → ∞ Đặt Sn = k=un Chứng minh Chứng minh tương tự Định lý 2.1.4 S1n , S3n 16 B1n Vì ta cần chứng tỏ: Anj Ank [EBn (Ynj Ynk ) − EBn Ynj EBn Ynk ] ≤ h.c.c lim sup n→∞ k,j=un k h(n)] < ∞ h.c.c (b) n=1 k=un Như ta thấy khái niệm Bn -CSR-h-khả tích mạnh khái niệm Bn -CR-h-khả tích Cũng giống khái niệm SR-h-khả tích mạnh khái niệm R-h-khả tích 3.2 Các tính chất tính h-khả tích mạnh có dư có điều kiện Bây thiết lập loại mạnh Định lí 2.1.3 (trong Chương 2) trường hợp B -CSR-h-khả tích, nghĩa Bn , B σ -đại số A, ∀n ∈ N 3.2.1 Định lý Cho {Xnk , un ≤ k ≤ , n ≥ 1} mảng biến ngẫu nhiên B -CLCND theo hàng Cho {Ank , un ≤ k ≤ , n ≥ 1} mảng biến ngẫu nhiên B -đo được, không âm Giả sử rằng: (a) {Xnk } mảng B -CSR-h-khả tích liên quan tới mảng {Ank }, ∞ h(n)( sup Ank ) < ∞ h.c.c (b) n=1 un ≤k≤vn Ank (Xnk − E B Xnk ) → h.c.c n → ∞ Khi ta có Sn = k=un Chứng minh Với n ∈ N, un ≤ k ≤ ta đặt Ynk , S1n , S2n , S3n chứng minh Định lý 2.1.3 với việc đặt Bn ≡ B Khi với n ∈ N, viết Sn = S1n + S2n + S3n đánh giá riêng lẻ số hạng 21 Thật vậy, {Xnk } mảng B -CSR-h-khả tích liên quan tới mảng {Ank } nên ta có: ∞ |Ank |EB [(|Xnk | − h(n)) I[Xnk > h(n)]] < ∞ h.c.c n=1 k=un ∞ B ⇒E |Ank | (|Xnk | − h(n)) I[|Xnk | > h(n)] < ∞ h.c.c n=1 k=un (Do Ank B -đo không âm) ∞ |Ank |(|Xnk − Ynk |) Điều suy : n=1 k=un ∞ Ank (|Xnk | − h(n))I[|Xnk | > h(n)] < ∞ h.c.c = n=1 k=un ⇒ |S1n | ≤ Ank |Xnk − Ynk | → h.c.c n → ∞ k=un Nên S1n → h.c.c n → ∞ Tiếp theo, áp dụng điều kiện (a) lần nữa, có: Ank EB |Ynk − Xnk | → h.c.c n → ∞ |S3n | ≤ k=un Như ta có S3n → h.c.c n → ∞ Bây giờ, ta chứng minh S2n → h.c.c n → ∞, áp dụng bất đẳng thức Markov cho trường hợp có điều kiện, ta có: ∀ε > PB [|S2n | > ε] = PB [|S2n |2 > ε2 ] ≤ ∞ ⇒ P [|S2n | > ε] ≤ ε n=1 ∞ B = ε2 ∞ B E |S2n |2 , ε ∀n ≥ EB |S2n |2 n=1 ( A2nk EB (Ynk − EB Ynk )2 n=1 k=un Ani Anj (EB (Yni Ynj ) − EB Yni EB Ynj )) h.c.c + i=j 22 Theo Bổ đề 1.2.2 EB (Yni Ynj ) ≤ EB Yni EB Ynj h.c.c ∀i, j, n ≥ 1, i = j ⇒ EB (Yni Ynj ) − EB Yni EB Ynj ≤ h.c.c ∀i, j ≥ 1, i = j ∞ ⇒0≤ P [|S2n | > ε] ≤ ε n=1 ∞ B Tiếp theo ta chứng minh ∞ A2nk EB (Ynk − EB Ynk )2 n=1 k=un ∞ A2nk EB (Ynk n=1 k=un − EB Ynk )2 < ∞ h.c.c ∞ A2nk EB (Ynk Thật vậy, ta có: B A2nk EB Y2nk − E Ynk ) ≤ n=1 k=un ∞ (3.1) n=1 k=un A2nk EB X2nk I[|Xnk | ≤ h(n)] + h2 (n)I[|Xnk | > h(n)] = n=1 k=un ∞ ∞ A2nk EB (h(n)|Xnk |) ≤ n=1 k=un ≤ Ank EB |Xnk | < ∞ h.c.c h(n)( sup Ank ) un ≤k≤vn n=1 ∞ k=un A2nk EB |Xnk | < ∞ h.c.c) h(n)( sup Ank ) < ∞ h.c.c (Do theo n=1 un ≤k≤vn k=un ∞ PB [|S2n | > ε] < ∞ h.c.c Do kết hợp với (3.1) ta được: ≤ n=1 áp dụng bổ đề Borel-Cantelli cho trường hợp có điều kiện ta có: PB (lim sup[|S2n | > ε]) = h.c.c ⇒ S2n → h.c.c n → ∞ (Sử dụng tính chất hội tụ hầu chắn tính chất với P với PB ) Như Sn = S1n + S2n + S3n → h.c.c n → ∞ Định lý chứng minh Một trường hợp đặc biệt biến ngẫu nhiên đôi B -CLCND trường hợp biến ngẫu nhiên đôi B -độc lập Vì suy hệ Định lý 3.2.1 sau: 3.2.2 Hệ Cho {Xnk , un ≤ k ≤ , n ≥ 1} mảng biến ngẫu nhiên đôi B -độc lập theo hàng Cho {Ank , un ≤ k ≤ , n ≥ 1} mảng 23 biến ngẫu nhiên B -đo được, không âm Giả sử rằng: (a) {Xnk } mảng B -CSR-h-khả tích liên quan tới mảng {Ank }, ∞ h(n)( sup Ank ) < ∞ (b) h.c.c un ≤k≤vn n=1 Ank (Xnk − E B Xnk ) → h.c.c n → ∞ Khi Sn = k=un Như phát biểu trên, Định lý 3.2.1 mở rộng Định lý 2.1.3, nhiên ta ý đọc chứng minh ta thấy điều rằng: ∞ A2nk EB (Ynk − EB Ynk )2 < ∞ h.c.c n=1 k=un ta chứng minh cách thay điều kiện (b) điều kiện Ank EB |Xnk | < ∞ h.c.c sup n≥1 k=un (trong định nghĩa B -CSR-h-khả tích) điều kiện đơn giản sau: ∞ A2nk EB |Xnk | < ∞ h.c.c h(n) n≥1 k=un Rõ ràng điều kiện yếu hai điều kiện Vì đưa dạng mạnh Định lý 3.2.1 sau: 3.2.3 Định lý Cho {Xnk , un ≤ k ≤ , n ≥ 1} mảng biến ngẫu nhiên đôi B -CLCND theo hàng {Ank , un ≤ k ≤ , n ≥ 1} mảng biến 24 ngẫu nhiên B -đo được, không âm Giả sử rằng: ∞ Ank EB (|Xnk | − h(n))I[|Xnk | > h(n)] < ∞ h.c.c (a) n=1 k=un ∞ (b) A2nk EB |Xnk | < ∞ h.c.c h(n) n=1 k=un Ank (Xnk − EB Xnk ) → h.c.c n → ∞ Khi Sn = k=un Từ định lý ta có dạng tương tự Hệ 3.2.2 cho Định lý 3.2.3 25 KẾT LUẬN Sau thời gian làm việc nghiêm túc, hướng dẫn thầy giáo PGS TS Nguyễn Văn Quảng, luận văn hoàn thành, giải vấn đề sau đây: Hệ thống số khái niệm tính chất độc lập có điều kiện phụ thuộc âm có điều kiện dãy biến ngẫu nhiên Trình bày khái niệm, tính chất, định lý, hệ tính h-khả tích có dư có điều kiện, strong-mixing có điều kiện, tính h-khả tích mạnh có dư có điều kiện Đây phần luận văn, phần cung cấp kỹ thuật chặt cụt dùng cho chứng minh định lý liên quan tới độc lập có điều kiện dãy biến ngẫu nhiên Chúng định nghĩa mở rộng Bổ đề 2.2.3 cho trường hợp phần tử ngẫu nhiên không gian Banach, chìa khoá để thiết lập hội tụ trung bình cho dãy phần tử ngẫu nhiên B -strong-mixing với trọng số có tính chất ngẫu nhiên không gian Banach Một số hướng nghiên cứu luận văn: - Mở rộng kết hội tụ cho trường hợp phần tử ngẫu nhiên không gian Banach - Mở rộng kết hội tụ cho biến ngẫu nhiên đa trị với dạng hội tụ khác nhau, chẳng hạn hội tụ Mosco, hội tụ Wijsman, hội tụ theo khoảng cách Hausdorff, 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO tiếng việt [1] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội tiếng anh [2] G.G Roussas (2008), On conditional independence, mixing, and association, Stoch Anal Appl., 26, 1274-1309 [3] E.L Lehmann (1996), Some concepts of dependence, Ann Math Statist.,37, 1137-1153 [4] D Yuan, B Tao (2008), Mean convergence theorems for weighted sums of arrays of residually h-integrable random variables concerning the weights under dependence assumptions, Acta Appl Math., 103, 221-234 [5] T.K Chandra, A Goswami (2006), Cesafro α-integrability and laws of large numbers-II, J Theoret Probab.,19, 789-816 [6] M Ordonez Cabrera, A.I Volodin (2005), Mean convergence theorems and weak laws of large numbers for weighted sums of random variables under a condition of weighted integrability, J Math Anal Appl., 305, 644-658 [7] B.L.S Prakasa Rao(2009), Conditional independence, conditional mixing and conditional association, Ann Inst Statist Math., 61, 441-460 [8] M Rosenblatt (1956), A central limit theorem and a strong mixing condition, Proc Nat Acad Sci U.S.A., 42 43-47 27 [9] T.K Chandra, A Goswami (1999), Cesfaro α-integrability and laws of large numbers- I , J Theoret Probab 16, 655-669 [10] Y.S Chow, H Teicher(1997), Probability Theory: Independence, Interchangeability, Martingales , xxii+488 pp, 3rd ed Springer-Verlag, New York [11] M Ordonez Cabrera(1994), Convergence of weighted sums of random variables and uniform integrability concerning the weights , Collect Math., 45, 121-132 [...]... h.c.c ηj dij ≤ ξi j u,v∈{−1,1} Định lý được chứng minh 19 CHƯƠNG 3 TÍNH H-KHẢ TÍCH MẠNH CÓ DƯ CÓ ĐIỀU KIỆN Để có được kết quả về hội tụ mạnh có điều kiện, sau đây chúng tôi sẽ giới thiệu khái niệm về tính h-khả tích mạnh có dư có điều kiện đối với dãy {Bn }, với 0 < h(n) ↑ ∞ 3.1 Các định nghĩa về tính h-khả tích mạnh có dư có điều kiện 3.1.1 Định nghĩa Cho {Xnk , un ≤ k ≤ vn , n ≥ 1} và {Ank , un ≤... các biến ngẫu nhiên 2 Trình bày các khái niệm, tính chất, các định lý, hệ quả về tính h-khả tích có dư có điều kiện, strong-mixing có điều kiện, tính h-khả tích mạnh có dư có điều kiện Đây là phần chính của luận văn, phần này chúng tôi cung cấp kỹ thuật chặt cụt dùng cho chứng minh các định lý liên quan tới độc lập có điều kiện của dãy các biến ngẫu nhiên 3 Chúng tôi định nghĩa và mở rộng Bổ đề 2.2.3... (b) n=1 k=un Như vậy ta thấy rằng khái niệm Bn -CSR -h-khả tích là mạnh hơn khái niệm Bn -CR -h-khả tích Cũng giống như vậy khái niệm SR -h-khả tích là mạnh hơn khái niệm R -h-khả tích 3.2 Các tính chất về tính h-khả tích mạnh có dư có điều kiện Bây giờ chúng ta sẽ thiết lập một loại mạnh hơn Định lí 2.1.3 (trong Chương 2) trong trường hợp B -CSR -h-khả tích, nghĩa là khi Bn , B là các σ -đại số con của... là h-khả tích mạnh có dư có điều kiện đối với Bn (viết tắt là Bn -CSR -h-khả tích) liên quan với mảng {Ank } nếu thỏa mãn các điều kiện sau: vn (a) |Ank |EBn |Xnk | < ∞ h.c.c, sup n≥1 ∞ k=un vn |Ank |EBn (|Xnk | − h(n))I[Xnk > h(n)] < ∞ h.c.c (b) n=1 k=un Khi Ank ≡ ank là các dãy hằng số và Bn = {∅, Ω}, ∀n ∈ N thì tương tự định nghĩa trên ta có được định nghĩa mới về tính h-khả tích mạnh có dư có điều. .. mới về tính h-khả tích mạnh có dư có điều kiện liên quan tới mảng các hằng số {ank } như sau: 3.1.2 Định nghĩa Giả sử {Xnk , un ≤ k ≤ vn , n ≥ 1} là mảng các biến ngẫu nhiên và {ank , un ≤ k ≤ vn , n ≥ 1} là mảng các hằng số Mảng {Xnk } được gọi là h-khả tích mạnh có dư có điều kiện (viết tắt là SR -h-khả tích) liên quan tới mảng 20 hằng số ank nếu các điều kiện sau thỏa mãn: vn (a) |ank |E|Xnk | 0 PB [|S2n | > ε] = PB [|S2n |2 > ε2 ] ≤ ∞ 1 ⇒ P [|S2n | > ε] ≤ 2 ε... -CSR -h-khả tích liên quan tới mảng {Ank }, ∞ h(n)( sup Ank ) < ∞ (b) h.c.c un ≤k≤vn n=1 vn Ank (Xnk − E B Xnk ) → 0 h.c.c khi n → ∞ Khi đó Sn = k=un Như đã phát biểu ở trên, Định lý 3.2.1 là mở rộng của Định lý 2.1.3, tuy nhiên khi ta chú ý đọc chứng minh của nó ta sẽ thấy một điều rằng: ∞ vn A2nk EB (Ynk − EB Ynk )2 < ∞ h.c.c n=1 k=un ta có thể chứng minh bằng cách thay thế điều kiện (b) và điều kiện. .. trong Định lý 2.1.3, và B1n → 0 h.c.c khi n → ∞ như cách đã chứng minh ở Định lý 2.1.3 Tiếp theo, đủ để chứng tỏ rằng lim sup B2n ≤ 0 h.c.c suy từ tính không âm của các n→∞ biến ngẫu nhiên Xnk và Ank và giả thiết không dư ng của tương quan có điều kiện Chúng ta có: Anj Ank EBn (Ynj Ynk ) − EBn Ynj EBn Ynk B2n = j=k Anj Ank EBn (Xnj Xnk ) − EBn Ynj EBn Ynk ≤ j=k Anj Ank EBn Xnj EBn Xnk − EBn Ynj EBn Ynk