PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM CÓ GIÁ TRỊ VECTƠ

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP.H CH MINH Trn Vn Trớ PHNG TRèNH TCH PHN CA HM Cể GI TR VECT Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60.46.01 NGI HNG DN KHOA HC: PGS.TS.Lấ HON HểA Thnh ph H Chớ Minh-2009 LI CM N Trc tiờn tụi xin chõn thnh cm n thy PGS.TS Lờ Hon Húa ó tn tỡnh ch bo, gúp ý cho tụi sut quỏ trỡnh thc hin lun tt nghip ny Nhõn õy tụi cng xin gi li cm n n quý thy cụ, nhng ngi ó tn tỡnh truyn t kin thc cho tụi hai nm hc cao hc va qua Xin chõn thnh cm n Hc viờn Trn Vn Trớ DANH MC CC Kí HIU 1,2, 0; M U Trong lun ny tụi xột s tn ti nghim v tớnh cht compact, liờn thụng ca nghim ca phng trỡnh tớch phõn phi tuyn cú dng x t t t f t , s, x s ds t K t , s g s, x s ds ,t (*) ú i ,i : 0; 0; , i=1,2; f : 0; E E , g : 0; E E , K : 0; L( E , E ) E l khụng gian Banach thc vi chun , L(E,E) l khụng gian cỏc toỏn t tuyn tớnh liờn tc t E vo E Phng trỡnh (*) ó c khỏ nhiu nh toỏn hc quan tõm, bờn cnh vic chng minh s tn ti nghim vic kho cu cu trỳc ca nghim cng c cp chng hn nh: v hm f (t , s, x( s)) v( s, t ) x(1 ( s )) , Avramescu ó Trng hp E = chng minh s tn ti nghim ca phng trỡnh x t t t v( s, t ) x(1 ( s ))ds t K t , s g s, x s ds , t (**) Trng hp E l khụng gian Banach thc Húa, Ngc ó chng minh nghim ca phng trỡnh t t 0 x t t f t , s, x( s) ds g s, x s ds , t (***) l khỏc rng, compact, liờn thụng Vi cỏc k thut v ý tng t nh , tụi s chng minh nghim ca phng trỡnh (*) khỏc rng, compact liờn thụng vi cỏc gi thit ca hm f, g nh hn , , Kt qu chớnh ca lun ny c trỡnh by nh lớ 3.1, nh lớ 3.2 C th nh sau chng gm cỏc nh lớ m cỏc kt qu ca nú dựng cỏc chng minh chng v chng gm cỏc nh lớ 1.2, nh lớ 1.3, nh lớ 1.6, nh lớ 1.8, nh lớ 1.9 chng : cú hai Mt l s tn ti nghim ca phng trỡnh tớch phõn khụng gian Banach v kt qu chớnh l nh lớ 2.1.5 Hai l nh lớ Krasnoselskii-Perov núi v tớnh cht ca nghim chng chng minh nghim ca phng trỡnh (*) khỏc rng, compact, liờn thụng Vic chng minh da vo hai nh lớ 2.1.5 v nh lớ 2.2 Kt qu chớnh ca chng v ca lun l nh lớ 3.1 v nh lớ 3.2 Chng 1: KIN THC CHUN B nh ngha1.1: Cho X,Y l hai khụng gian Banach nh x f : X Y c gi l lipsit a phng nu: vi mi x0 X , tn ti lõn cn V ca x0 v mt hng s k (khụng ph thuc x0 ) cho f x f x , k x x , ,x, x , V nh lớ 1.2: Cho E, F l hai khụng gian Banach, D l m ca E v ỏnh x liờn tc f : D F Khi ú vi mi tn ti ỏnh x Lipschitz a phng f : D F cho f ( x) f ( x) , x D v f ( D) co f ( D) Chng minh: Vi x D ,t x y D / f ( x) f ( y ) thỡ D x xD Gi V , l ph m ca D, c gi l ph m hu hn a phng mn hn ca ph x , x D cho: + x D , tn ti lõn cn V(x) tha : V ( x) V ch vi mt s hu hn + Vi mi tn ti x D V x Vi xỏc nh al : D nh bi: ỡ0 x ẽ Vl ù a (x) = ù ớr(x, ảV ) x ẻ V l ù l ù l ợ ú r(x,A) = inf { x - y , y ẻ A} -1 ổ t fl (x) = ỗỗồ a m (x)ữữữ a l (x), x ẻ D ỗố mẻL ứ ỡù0 Ê x-y x, y ẽ Vl ùù Ta cú a l (x) -a l (y) = ù Ê x-y x ẻ Vl , y ẽ Vl ớr(x, ảVl ) ùù ùù r(x, ảVl ) - r(y, ảVl ) Ê x-y x,y ẻ Vl ợ Vy a l lipsitz trờn D Do V , l ph m hu hn a phng nờn ch cú hu hn m ẻ L cho x ẻ Vm v nh vy ch cú hu hn m ẻ L cho a m (x) > Vy fl (x) hon ton xỏc nh Hn na fl (x) =0 nu x ẽ Vm v fl lipsitz a phng.Vi mi l ẻ L , chn a l ẻ Vl ầ D nh ngha f x x f a Ta thy x 1, x nờn f x cof ( D) Khi ú f l lipsit a phng trờn D Vi mi x D , tn ti x V v tn ti x ' D V x , Khi ú x, a V x nờn f ( x) f a , Vy f x f x x f a f x x f a x f x x f a f x vi mi x D nh lớ 1.3: A l úng khỏc rng ca khụng gian mờtric X , Y l khụng gian nh chun Toỏn t f : A Y liờn tc Khi ú tn ti ỏnh x liờn tc F : X Y cho : a) F X cof A b) f ( x) F x , x A nh ngha 1.4: Xột , , l mt khụng gian o X,Y l hai khụng gian Hausdorff Hm f : X Y gi l hm Carathộodory nu tha cỏc iu kin sau: i) Vi mi x X hm t f t , x l , B(Y ) o c vi B(Y) l -i s Borel ca Y ii) Vi mi t hm x f t , x liờn tc t N g ( x)(t ) = g (t , x (t )) Nhn xột: Nu X l mt khụng gian metric kh li ( separable metrizable space) v Y l khụng gian metric thỡ hm z , x f ( z , x) l B X -o c Hn na f l ng o (sup-measurable), ngha l mi hm o c u : X thỡ hm z f ( z , u ( z )) l o c (Denkowski, Migorski & Papageorgiou) Trong mc sau, nu khụng cú chỳ thớch gỡ thỡ chỳng ta xột , , l mt khụng gian o nonatomic, -hu hn, y ( cỏc ỏp dng thng s dng l mt ca n vi o Lebesgue) v X,Y l hai khụng gian Banach kh li (separable Banach spaces) Mnh 1.5: Nu h : W X + l mt hm Carathộodory, tha cỏc iu kin sau: h ( z ,0) = "z ẻ W v N h (u ) L (W) Ê c r "u ẻ Lp (W, X ) ,vi c >0 thỡ r m ( Ek ) = " k ỡ ỹ õy Ek = ù z ẻ W : sup h ( z , x) = +Ơù ù x Êk ù ù ợ ù "k X Chng minh: Gi s tn ti k cho m ( Ek ) Bi vỡ khụng gian o nonatomic, s -hu hn, chỳng ta cú th ly Bk ẻ cho Bk Ek v < m ( Bk ) < +Ơ Vi mi z ẻ Bk , t ỡ ỹ ù 2c r ù ù ù S k ( z ) = x ẻ X : x X Ê k , h ( z , x) > ù ù m B ( ) k ù ù ợ Hin nhiờn S k ( z ) f "z ẻ Bk , v GrS k ẻ (ồầ Bk ) B ( X ) , vi B(X) l s -i s Borel ca X Chỳng ta ỏp dng nh lớ chn Yankov-von Neumann-Aumann v thu c mt ỏnh x (ồ, B ( X )) -o c uk : Bk X cho uk ( z ) ẻ Sk ( z ) "z ẻ Bk Chỳng ta m rng uk lờn W bng cỏch t uk ( z ) = nu z ẻ W \ Bk Vỡ h ( z ,0) = "z ẻ W v uk ẻ Lp (W, X ) , ta cú r r h ( z , uk ( z )) d m = ũ h ( z , uk ( z )) d m > 2c r ũ W Bk Mõu thun gi thit.Vy cú iu phi chng minh nh lớ 1.6: f : X Y l Nu mt hm Carathộodory, p,r 1; v N f : L p (, X ) Lr (, Y ) thỡ N f liờn tc, b chn (ngha l bin b chn thnh mt b chn) hn na tn ti a Lr (), a v c > cho f ( z , x) Y a( z ) c x p r X (hu khp ni z ) Chng minh: Ta chng minh N f liờn tc Ly u n n1 Lp (, X ) cho u n u Lp (, X ) t g : X nh ngha nh sau: r g ( z , x) f ( z , x u ( z )) f ( z , u ( z )) Y Chỳng ta ly dóy u n unk u p p L (, X ) k k ca u n n1 cho: , k 2k v unk ( z ) u ( z ) hu khp ni z t v k u nk u k Ta cú v k ( z ) hu khp ni z v g ( z , v k ( z )) hu khp ni z k Bi vỡ g ( z , x) ," ( z , x) ẻ W X v v k ( z ) hu khp ni z t t K t , s g s, xm ( s ) g s, x0 ( s) ds K t, s L E , E a K Ka g s, xm s g s, x0 s ds ds C xm C x0 n Vy C liờn tc Bc 2: C(x)(t) ng liờn tc Gi s l b chn X a t A= x(s ):x ,s 0;a , ú A l b chn E Vỡ g l hon ton liờn tc, nờn g 0; a A l compact tng i E Do ú g 0; a A l b chn E Khi ú t , t , 0; a : t t , , x ta cú C x t C x t t ' t , K t , s g s, x (s) ds t K t , s K (t , s) g ( s, x( , ( s ))) ds a K (t , s ) K (t , , s ) t K (t , , s ) g ( s, x( ( s ))) ds t , g s, x ( s ) ds t L E , E K t , , s g s, x ( s ) ds t, K (t , , s ) L E , E g s, x ( s ) ds Do s liờn tc u ca hm K (t , s ) , t v g 0; a A b chn nờn C ( x)(t ) ng liờn tc trờn 0; a Ta cú V co g 0; a A l compact E Suy V1 co K t , s V l compact E V ỡ K t , s g s, x s V1 , t , s 0; a , x t C t K t , s g s, x ( s ) ds : x t V1 , t 0; a theo kt qu Ambroseti thỡ C compact tng i trờn X a Do ú C l toỏn t hon ton liờn tc trờn X a v vỡ th C cng hon ton liờn tc trờn X B 3.1.4: lim C x n x x n Vỡ lim x g t, x n nờn 0, cho: x g s, x ( s ) x 2a vi mi x tha x v vi mi s 0; a Mt khỏc g l ỏnh x compact nờn x thỡ g s, x M , s 0; a chn : M 2a ; x X n : x n ,t I1 s 0; a : x ( s) , I 0; a \ I1 Ta cú C x t x n xn t K t , s g s, x ( s ) ds a K t, s xn0 L E ; F g s, x ( s ) ds g s, x ( s ) x K ds g s, x ( s) ds I x n I x Ma x K x x n n K , t 0; a Vy lim pa x pa C x pa x 0, x X a Chng minh nh lớ Bc Tp nghim ca phng trỡnh (*) trờn 0; a khỏc rng, compact , liờn thụng Do b 3.1.1( hoc 3.1.2), 3.1.3, 3.1.4, suy U, C tha gi thit ca nh lớ 2.1.5 vỡ vy toỏn t I U liờn tc u trờn X a Hn na tn ti m b chn D vi biờn D v bao úng D cho I U C D D v I U C cú im c nh D (nhng khụng nm trờn biờn) Khi ú D l li, úng, b chn X a t T I U C , nh th im c nh trờn D ca T cng l im c nh ca U+C v chớnh l nghim ca phng trỡnh (*) trờn D Do T l toỏn t hon ton liờn tc trờn X a , T khụng cú im c nh trờn D , T D D , D l li nờn deg(I-T,D,0) t A x s : s 0; a , x D ú A l b chn E theo nh lớ 1.3 tn ti hm liờn tc g l m rng ca g 0;a A trờn 0; a E cho g 0; a E cog 0; a A Theo nh lớ 1.2 tn ti hm Lipschitz a phng g ( s, x) trờn 0; a E cho s 0; a , x E ta cú g s, x g s, x 2aK v g 0; a E cog 0; a E cog 0; a A Do ú g hon ton liờn tc t C : X a X a vi C x t ( t ) K s, t g s, x s ds T b 3.1.3 ta cú T I U C hon ton liờn tc, hn na vỡ I U liờn tc u nờn C x t C x t t K s, t g s, x ( s ) ds t K s, t g s, x ( s ) ds K s, t g s, x ( s ) g s, x ( s ) ds a Ê K ũ0 a L E , E d ds 2aK Ka 2aK T x T x n K s, t t g s, x ( s ) g s, x ( s ) ds Tip theo ta chng minh : Vi mi h cho h n phng trỡnh x T x h cú nhiu nht mt nghim trờn D Gi s x(t),y(t) l hai nghim ca phng trỡnh (*) Do t , t tha gi thit V2 (hoc V3 ) nờn suy x(0)=y(0)=h(0) t b sup 0; a : x t y t ,0 t Khi ú b 0; a Ta cn chng minh a b Gi s trỏi li b0 cho g Lipschitz vi Br z E : z x(b) r hng Do s tớnh m trờn 0; a B liờn tc ca r ú suy x, y : b a, x t , y t Br vi mi t b; b Chỳ ý rng b; b 0; a nờn vi mi t b; b ta cú t x t y t f t , s, x(1 ( s )) f t , s, y (1 ( s )) ds b t K t , s g s, x ( s ) K t , s g s, y ( s ) ds b t k s h s K x ( s ) y ( s ) ds b t s k s h s K thỡ Lp 0; a nờn L1 0; a v ta cú t x t y t k s h s K ds 0, t 0; b b Bellman) Mõu thun gi thit Vy a b hay x(t)=y(t), t 0; a (bt ng thc Nh vy toỏn t T tha gi thit nh lớ 2.2 nờn bc ó c chng minh Bc 2: Tp nghim ca phng trỡnh (*) trờn 0; khỏc rng, compact, liờn thụng Trc ht chỳ ý rng nu x(t) l nghim ca phng trỡnh (*) trờn 0; thỡ x 0;a t cng l nghim ca (*) trờn 0; a Ngc li vi mi nghim xa t ca phng trỡnh (*) trờn 0; a u cú th m rng thnh nghim trờn 0; Tng t ta cú kt qu sau t S l nghim ca (*) trờn 0; theo nh lớ 2.1.5 thỡ S khỏc rng t Sa l nghim ca (*) trờn 0; a ta cú Sa compact liờn thụng trờn X a nờn S compact, liờn thụng trờn X nh lớ 3.2: Nu cỏc gi thit V1 ,V2 ,V4 ,V5i ,V7 (hoc V1 ,V3 , V4 , V5ii ,V7 ) tha v E l khụng gian Banach kh li thỡ nghim (*) khỏc rng, compact, liờn thụng Chng minh: B 3.2.1: Nu cỏc gi thit V2 ,V4 ,V7 tha v E l khụng gian Banach kh li thỡ t C x t X a , n Chng minh: C(x) liờn tc K s, t g s, x ( s ) ds l toỏn t hon ton liờn tc trờn Xột dóy x m m "e > 0, $m0 ẻ , "m m0 : Xa cho lim x x0 , m m ngha l xm - x0 n < d xm (q2 (t )) - x0 (q2 (t )) Ê xm - x0 n < d p xm (q2 (t )) - x0 (q2 (t )) < d p 1 ổa ửữ p p xm - x0 p = ỗỗ ũ xm (q2 (t )) - x0 (q2 (t )) dsữữ < a p d ỗố ứ Ta cú C xm t C x0 t t K s, t g s, xm ( s ) ds t t K s, t g s, x0 ( s) ds K s, t L E , E g s, xm ( s ) g s, x0 ( s ) ds p K s, t L E , E g s, xm s g s, x0 s ds a q , a q K N g xm N g x0 p a , t 0; a , 1 p q Vỡ g l hm Carathộodory nờn N g : Lp 0; a , E Lp 0; a , E liờn tc Vy C liờn tc C(x)(t) ng liờn tc Gi s l mt b chn X a Khi ú A x s : x , s 0; a l b chn E Vi mi t , t , 0; a : t t , , x : 1 ta cú p q C x t C x t t , t , K s, t g s, x (s) ds t K s, t , g s, x ( s ) ds K s, t K s, t , g s, x ( s ) ds t K s, t , g s, x ( s ) ds t a K s, t K s, t , , g s, x ( s ) ds ( t ) K s, t , t L E , E , p a p g s, x s ds K s, t K s, t , N g x p K s, t K s, t , q L E , E L E , E g s, x ( s ) ds q L E , E a K s, t , a K s, t , L E , E L E , E t t , q Do s liờn tc u ca hm K s, t , t v N g A b chn nờn C(x)(t) ng liờn tc trờn 0; a Theo nh lớ 1.8 chn h t 1, t 0; a ta cú x Lp 0; a ; E x(t )dt l compact E iu ny suy c C t l 0;a compact E (vỡ K s, t N g x Lp 0; a ; E ) Vy C l toỏn t hon ton liờn tc B 3.2.2: lim C x n x n x n Chng minh: Theo gi thit lim x g t, x x nờn 0, , x : g t, x x (t ) (t , ) q 2a x Khi theo nh lớ 1.6 ta Lp 0; a , s : g s, x s s c x s c (c l hng s) t s 0, a : x s , 0; a \ ta cú C x t t K s, t g s, x ( s ) ds K s, t K s, t a L ( E ,E ) g s, x s ds g s , x s ds g s , x s ds L E , E g s, x s x g s x s ds ds , L E , E x K s, t L E , E s c ds x K s, t 1 p p K s, t L E , E a q s ds c a x C x t K ( s, t ) L ( E , E ) a q xn p p s ds 0;a c a x xn x n x n Do K(s,t) b chn Lp 0; a , Chng minh nh lớ C x n x , x X a nờn xlim xn xn n cú Bc Tp nghim ca phng trỡnh (*) trờn 0;a : khỏc rng, compact, liờn thụng a) Tp nghim ca phng trỡnh (*) trờn 0;a l khỏc rng (tng t chng minh nh lớ 3.1) b) Tp nghim ca phng trỡnh (*) trờn 0;a l compact, liờn thụng A= xn s : s 0; a , xn D,lim xn x0 t ú A l compact E Vỡ g l hm Carathộodory theo nh lớ 1.9 tn ti compact 0;a cho g : E E l ỏnh x liờn tc Vỡ vy g : A E liờn tc Theo nh lớ 1.3 tn ti hm liờn tc g1 m rng ca hm g A trờn 0;a A v hm liờn tc g l m rng ca hm g1 0;a A trờn 0;a E cho: g 0; a E cog1 0; a A cog A Theo nh lớ 1.2 tn ti hm Lipschitz a phng g s, x s trờn 0;a E cho: g s, x ( s ) g s, x ( s ) 2aK v g 0; a E cog 0; a E cog A Do ú g hon ton liờn tc t C : X a X a c nh ngha t C x t K s, t g s, x ( s ) ds Theo b 3.1.3 ta cú T I U C hon ton liờn tc Hn na I U Ta cú liờn tc u C x t C x t t K s, t g s, x ( s ) ds t t K s, t g s, x ( s ) ds K s, t g s, x ( s ) K s, t g s, x ( s ) ds t K s, t L E , E g s, x ( s ) g s, x ( s ) ds a K g s, x s g s, x s ds K g s, x s g s, x s ds g s, x s g s, x s ds 0;a \ K ds g s, x s ds g s, x s ds 0;a \ 0;a \ 2aK 1 p q p K G g s, x s ds ds 2K 0;a\ 0;a\ p p K aG g s, x s ds q 2K 0;a\ , Trong ú G sup g 0; a E Chn cho p p 1q G g s, x s ds 2K 0;a\ Khi ú ta cú C x C x n iu ny suy T x T x n Tng t nh nh lớ 3.1 ta cú phng trỡnh x T ( x) h cú nhiu nht mt nghim trờn D h n Vy bc ó c chng minh Bc 2: Tp nghim ca phng trỡnh (*) trờn 0; : khỏc rng, compact, liờn thụng Chng minh tng t nh 3.1 Vy nh lớ c chng minh KT LUN V KIN NGH Sau mt thi gian tỡm hiu v ti Phng trỡnh tớch phõn ca hm cú giỏ tr vect vi s giỳp tn tỡnh ca thy Lờ Hon Húa Tụi ó tip cn sõu hn v mụn gii tớch phi tuyn Qua ú tỡm hiu cỏc nh lớ v im bt ng Krasnoselskii v cỏc cỏch thc m rng ca nú Mt m rng ca nú l nh lớ 2.1.5 Sau s dng kt qu ca nh lớ ny vo phng trỡnh tớch phõn (*) chỳng ta thu c nhng kt qu l s tn ti nghim cho phng trỡnh tớch phõn (*) Kt qu ny so vi cỏc kt qu trc ú mnh hn Vỡ phng trỡnh tớch phõn a cú biu thc phc hn v iu kin a cng tng i nh hn Cựng vi vic chng minh tn ti nghim cho phng trỡnh tớch phõn (*) thỡ lun ny tụi cng chng minh c nghim l compact, liờn thụng vi cỏc gi thit t tng ng So vi mc tiờu t t u lm cng, tụi ó hon thnh c ni dung ti t t u Nu cú iu kin tip tc hc tụi s c gng lm nh gi thit ca nh lớ t bit l gi thit t cho hm f, g nh hn cú th TI LIU THAM KHO Ting Vit [1] Lờ Hon Húa, Gii tớch phi tuyn [2] Lờ Hon Húa, Hoi V, Lờ Th Kim Anh (2008), Cu trỳc topo ca nghim ca phng trỡnh tớch phõn khụng gian Frộchet, Tp khoa hc HSP TP HCM,(14), tr.20-30 [3] Nguyn Bớch Huy, Vừ Duy Thng (2008), im bt ng ca ỏnh x dng thang cỏc khụng gian Banach, Tp khoa hc HSP TP HCM,(14), tr.32-34 Ting Anh A Ambrosetti, Un teorema di existenza per le equanzioni differenziali sugli spazi di Banach, Rend Sem Math.Univ Padua, 39 (1967), 349-361 [5] Andrzej Fryszkowski (2004), Fixed piont theory for decomposable sets, Kluwer Academic Publishers [6] C.Avramescu (2006), Some remarks on a fixed point theorem of Krasnoselskii, Electronic Journal of Qualitative theorem of Differetial Equation,No.5pp,1-14 [7] Le Hoan Hoa and Klaus Schimtt (1994), Fixed point theorems of Krasnosel,skii type in locally convex space and application, Results in Mathematics Vol.25pp.291-313 [8] Le Hoan Hoa, Le Thi Phuong Ngoc (2006), The conectiviy and compactness of solution set of an integral equation and weark solution set of an initial boundary value problem, Demonstratio Mathematica Vol.XXXIX No pp 357-376 [9] Leszek Gasinski, Nikolaos S.Papageorgiou (2005), Nolinear Analysis, Taylor Francis Group, LLC [10] J Dugundji (1951), An extension of Tietzes theorem, Pacific J.math, 353-363