THI KHO ST CHT LNG MễN: TON LP 12 Thi gian: 180 phỳt 13 I PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 im) Cõu I (2,0 im) Cho hm s y = x 2mx + 2m2 (Cm ) (m l tham s thc) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s vi m = Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m th hm s (Cm ) cú im cc tr to thnh mt tam giỏc cú din tớch bng Cõu II (2,0 im) Gii phng trỡnh: cos2x + = 2(2- cosx)(sinx - cosx) Gii bt phng trỡnh: x x x Cõu III (1,0 im) Gii h phng trỡnh: y + x y = x y x y + = ( x, y Ă ) Cõu IV (1,0 im) Cho hỡnh lng tr ABC A ' B ' C ' cú A ' ABC l hỡnh chúp tam giỏc u, AC = a , A ' B = a Tớnh theo a th tớch ca chúp A '.BB ' C ' C Cõu V (1,0 im) Cho ba s thc a, b, c chng minh: a2 + (1- b)2 + b2 + (1- c)2 + c2 + (1- a)2 II.PHN RIấNG (3,0 im): Thớ sinh ch c lm mt hai phn (phn A hoc B) A.Theo chng trỡnh Chun Cõu VI.a (1,0 im) Trong mt phng vi h trc ta Oxy, cho im B(3; 2) Tam giỏc ABC cú din tớch bng , trng tõm G ca tam giỏc A(2; 3) , ABC nm trờn ng thng ( d ) : 3x y = Tớnh bỏn kớnh ca ng trũn ni tip tam giỏc Cõu VII.a (1,0 im) Tỡm tt c cỏc giỏ tr n nguyờn dng tha món: Cn1 + 3Cn2 + 7Cn3 + + (2k 1)Cnk + + (2n 1)Cnn = 32n 2n 6480 Cõu VIII.a (1,0 im) Tớnh gii hn: L = lim xđ1 - x3 - x2 + x2 - ABC B Theo chng trỡnh Nõng cao Cõu VI.b (1,0 im) Trong mt phng vi h trc ta Oxy, cho ng trũn (C) cú phng trỡnh: x + y x + y = v ng thng ( ): x + y 11 = Lp phng trỡnh tip tuyn ca (C), bit tip tuyn to vi ( ) mt gúc bng 45o Cõu VII.b (1,0 im) Tớnh tng: 2010 2011 S = 2012C2011 + 2011C2011 + 2010C2011 + + 2C2011 + C2011 Cõu VIII.b (1,0 im) Tớnh gii hn: I = lim x 2x +1 x sin 2012 x - Ht -Chỳ ý: Thớ sinh khụng c s dng ti liu Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm HNG DN CHM Cõu Ni dung i m I Kho sỏt hm s m = 1,0 (2,0) Vi m = y = x4 2x2 , y ' = x3 x Cho y = ta TX: c: 0,25 D=Ă x = hoc x = - Hm s ng bin trờn cỏc khong ( 1;0 ) v - Hm s nghch bin trờn cỏc khong - Hm s t cc i ti x = 1, yct = - Gii hn: x = 0, ycd = lim y = +; x (; 1) (1; +) ; v ( 0;1) 0,25 Hm s t cc tiu ti lim y = + x + BBT: x + y -1 - 0 + - 0,25 + + -3 - -2 + y -3 th y - th ct Ox ti hai im ( + 3;0) ct Oy ti (0; -2) - th nhn Oy lm trc i xng O -5 -2 -4 x 0,25 Tỡm m Ta cú: 1,0 y ' = x 4mx 0,25 x=0 y' = x = m m>0 - th hm s cú ba cc tr (*) Khi ú cỏc im cc tr ca th l: C ( m ; m 4) - Ta thy B,C i xng qua trc cõn ti A Phng trỡnh cnh BC: A(0; 2m 4) , B ( m ; m 4) , Oy v A Oy 0,25 nờn tam giỏc ABC 0,25 ym +4 = Gi h l di ng cao t nh A ca tam giỏc ABC, ta cú: h = d ( A, BC ) = m SABC = = m xB Vy m= = 2m m m = h.BC (tha *) 0,25 l giỏ tr cn tỡm II Gii phng trỡnh lng giỏc 1,0 (2,0) PT 0,25 (cosx sin x)2 - 4(cosx sin x) = ộ(cosx sin x) = - ờ(cosx sin x) = (l ) 0,25 Vi p (cosx sin x) = - cos(x + ) = 0,25 ộ ờx = p + k2p , k ẻ Â x = p + k p Vy PT cúhai h nghim: 0,25 p x = + k2p ; x = p + k2p, k ẻ Â 2 Gii bt phng trỡnh 1,0 k: x Bt phng trỡnh ó cho tng ng vi 0,25 x + x x 0,25 (2 x)( x 1) x 4(2 + x x ) x x + x 5x 14x + x 0,25 Kt hp vi iu kin, nghim ca bt phng trỡnh l T = {1} [ III Gii h phng trỡnh t: x y H ó cho x + y + x y = y x y + = (*) a2 + b a = x y x = b = x + y a y = ba H (*) tr thnh b + 2a = (1) b a2 a + = (2) Th (1) vo (2) c: x = a =3b =3 y = 0,25 1,0 (1,0) iu kin: ; 2] a + 2a 9a 18 = (a + 2)(a 9) = a = Vy nghim ca h l: ( x; y ) = ( 6; 3) 0,25 0,25 0,25 0,25 IV Tớnh th tớch chúp 1,0 (1,0) Gi E l trung im ca BC, H l tõm ca tam giỏc u ABC A ' H mp(ABC) Ta cú AE = a a , AH = A ' H = A ' A2 AH = S ABC = 0,25 6a a2 a3 VABC A ' B 'C ' = A ' H S ABC = VA ' BB ' CC ' = VABC A ' B 'C ' VA ' ABC = V (1,0) 0,25 0,25 2 a3 A ' H S ABC = VABC A ' B ' C ' = 3 (vtt) Chng minh BT Ta cú: a2 + (1- b)2 0,25 1,0 | a + 1- b | Du = a = b b2 + (1- c)2 | b + 1- c | Du = b = c c2 + (1- a)2 | c + 1- a | Du = c = a 0,25 Cng v vi v ta c a2 + (1- b)2 + b2 + (1- c)2 + c2 + (1- a)2 0,25 2 | a + 1- b | + | b + 1- c | + | c + 1- a | 2 2 | a + 1- b + b + 1- c + c + 1- a |= 2 Du = 0,25 (a + b)(b + c) 0; (a + b)(c + a) 0;(c + a)(b + c) Du = xy a =b=c = Suy iu phi chng minh 0,25 Chng trỡnh chun VI.a Tớnh bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc (1,0) Gi C(a; b), (AB): x y = 0; AB = d(C; AB) = a - b- = 1,0 0,25 2SDABC AB ộa - b = 8(1) a - b- = ờa - b = 2(2) Trng tõm G ổ a + b - 5ử ữ ỗ ữ ; ỗ ữ ỗ ữ ứ ố (d) 3a b = T (1), (3) C(2; 10) r = T (2), (3) C(1; 1) Vy cú hai giỏ tr r= 0,25 r= (3) 0,25 S = p + 65 + 89 S = p 2+2 + 65 + 89 v r= 0,25 2+2 VII.a Tỡm giỏ tr n 1,0 Cn1 + 3Cn2 + 7Cn3 + + (2n 1)Cnn = 32 n n 6480 (*) iu kin: n ẻ N* n Xột khai trin nh thc : ( + x ) = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + Cn3 x3 + + Cnn x n 0,25 Vi x = ta cú: 3n = Cn0 + 2Cn1 + 4Cn2 + 8Cn3 + + n Cnn Vi x = ta cú: 2n = Cn0 + Cn1 + Cn2 + Cn3 + + Cnn Ly (1) (2) ta c: Cn1 + 3Cn2 + 7Cn3 + + ( 2n 1) Cnn = 3n 2n PT (*) (1) (2) 0,25 3n 2n = 32 n 2n 6480 32 n 3n 6480 = 3n = 81 n = (t/m) VIII Tớnh gii hn a L = lim( xđ1 0,25 ( ) - x2 + x + - x3 - - x3 - - L1 = lim = lim = lim = xđ1 xđ1 xđ1 x - x2 - - x3 + ( x + 1) - x3 + )( ( L = lim xđ1 xđ1 Vy x2 + = lim xđ1 x2 - ( ( ) 0,25 1- x2 ( ổ 2ử 2 ữ x2 - ỗ ỗ4 + 23 x + + x + ữ ữ ữ ỗ ố ứ ) ) + 23 x2 + + x2 + L= ) - = lim 0,25 1,0 - x3 - 2 - x2 + + ) x2 - x2 - 2- 0,25 =- ( ) 12 0,25 11 = 12 24 0,25 Chng trỡnh nõng cao VI.b Vit phng trỡnh tip tuyn 1,0 Theo bi (C) cú tõm I ( 1; 1) , bỏn kớnh R = 10 Gi s tip tuyn cú phng trỡnh ( ') : ax + by + c = 0, (a + b 0) Theo bi ta cú: cos45 = | 4a + 2b | 20(a + b ) = 2 a = 3b 3a 3b + 8ab = b = 3a TH1 a = -3b Ta cú ( ') : 3x + y + c = 0,25 0,25 c = 14 ( ') : x + y = v c = Cú: d ( I , ') = 10 ( ') : x + y + 14 = 0,25 TH2 b = 3a Ta cú ( ') : x + y + c = c = 12 c = Cú: d ( I , ') = 10 ( ') : x + y = ( ') : x + y + 12 = v Vy cú tip tuyn tha món: 3x + y = 0; 3x + y + 14 = ; x + y + 12 = ; 0,25 x + 3y = VII.b Tớnh tng 1,0 Xột khai trin sau: 2010 2011 ( x + 1) 2011 = C2011 x 2011 + C2011 x 2010 + C2011 x 2009 + + C2011 x + C2011 0,25 Nhõn c hai v vi x ta c 2010 2011 x( x + 1) 2011 = C2011 x 2012 + C2011 x 2011 + C2011 x 2010 + + C2011 x + C2011 x 0,25 Ly o hm hai v ta c 2010 2011 (2012 x + 1)( x + 1) 2010 = 2012C2011 x 2011 + 2011C2011 x 2010 + 2010C2011 x 2009 + + 2C2011 x + C2011 Thay x =1 vo ta c tng S = 2013.22010 VIII Tớnh gii hn b 2x +1 1 + Ta cú: I = lim( x sin 2012 x I1 = lim x0 x ) sin 2012 x 1,0 0,25 2x +1 2x = lim sin 2012 x x0 sin 2012 x (2 x + 1) + x + + 2012 x 1 lim = x sin 2012 x x 1006 (2 x + 1) + x + + 3018 x0 0,25 = lim I = lim 0,25 1 x x = lim x sin 2012 x sin 2012 x 1+ x 2012 x 1 lim = x sin 2012 x x 2012 1+ x 4024 = lim 0,25 0,25 I = I1 + I = 1 + = 3018 4024 12072 (Hc sinh lm cỏch khỏc ỳng cho im ti a) HT - 0,25 ... 2 013. 22010 VIII Tớnh gii hn b 2x +1 1 + Ta cú: I = lim( x sin 2 012 x I1 = lim x0 x ) sin 2 012 x 1,0 0,25 2x +1 2x = lim sin 2 012 x x0 sin 2 012 x (2 x + 1) + x + + 2 012 x 1 lim = x sin 2 012. .. lim I = lim 0,25 1 x x = lim x sin 2 012 x sin 2 012 x 1+ x 2 012 x 1 lim = x sin 2 012 x x 2 012 1+ x 4024 = lim 0,25 0,25 I = I1 + I = 1 + = 3018 4024 120 72 (Hc sinh lm cỏch khỏc ỳng cho im... 2010 2011 x( x + 1) 2011 = C2011 x 2 012 + C2011 x 2011 + C2011 x 2010 + + C2011 x + C2011 x 0,25 Ly o hm hai v ta c 2010 2011 (2 012 x + 1)( x + 1) 2010 = 2012C2011 x 2011 + 2011C2011 x 2010 +