Đề thi khảo sát chất lượng môn toán lớp 12 đề số 9

ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MÔN: TOÁN LỚP 12 Thời gian: 180 phút ĐỀ I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y= x − (2m + 1) x + (m + 2) x + 3 có đồ thị (Cm), m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho Gọi A A m=2 giao điểm (Cm) với trục tung Tìm m cho tiếp tuyến (Cm) tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích (2cos x − 1) cot x = Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: Câu (1,0 điểm) Tính tích phân: I= 2sin x + sin x cos x −  x − y − x + x + 11 =   y − y + y = x + 3x + (3 − x) − x − x − 11 π x − sin x + + cosx( x + sin x − 1) dx ∫ (1 − cos x)( x + cos x) π2 Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 2a AC = 2a Gọi M N trung điểm AB SA , hai mặt phẳng ( SAC ) ( SDM ) vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) Mặt phẳng ( SBD) hợp với đáy góc 45o Tính thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách hai đường thẳng SD BN theo a Câu (1,0 điểm) ): Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị lớn biểu thức P= a + b2 + c2 + − (a + 1)(b + 1)(c + 1) II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A.Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm) Cho tam giác ABC biết A(5;2) , đường trung trực cạnh BC có phương trình : x + y − = ; đường trung tuyến từ C có phương trình: x + y − = Tìm tọa độ đỉnh B C Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm đường thẳng (d ) : x −1 y − z = = 1 Viết phương trình đường thẳng góc với (d) khoảng cách từ B đến (∆) (∆) A(1;1;0) , B (2;1;1) qua A vuông Câu 9.a (1,0 điểm) Có học sinh nam học sinh nữ xếp thành hàng dọc cách ngẫu nhiên Tính xác suất để hai học sinh nữ đứng cạnh học sinh đứng đầu hàng nam Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C ) : ( x − 1) + ( y + 1) = 25 , điểm M (7;3) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt A, B cho MA = 3MB Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; − 1; 0), M cắt (C ) đường thẳng x − y + z −1 = = mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = Tìm tọa độ điểm A thuộc mặt −1 phẳng ( P) biết đường thẳng AM vuông góc với ∆ khoảng cách từ điểm A đến đường ∆: thẳng ∆ 33 Câu 9.b (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn z− =i z +1 Tính giá trị A = 1+ ( 1+ i) z Hết Họ tên thí sinh:…………………………………… Số báo danh:………… ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày Thang điểm I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH khảo sát vẽ đồ thị hàm số với • TXĐ: m=2 1,0 điểm x − 5x2 + 4x + 3 y= Với m=2, hàm số trở thành 7,0 điểm D=¡ Sự biến thiên: + Giới hạn: + Chiều biến thiên: 0,25 lim y = +∞,lim y = −∞ x →+∞ x →−∞  x=  y ' = x − 10 x = 4, y ' = ⇔  x = 2 Hàm số ĐB khoảng (−∞; ) & (2; +∞) 0,25 NB khoảng ( ;2) + Cực trị: Hàm số đạt cực đại Câu x= x = 2, yct = −1 ycd = ; cực tiểu • BBT −∞ x 1/ + y' − y −1 S N E P A J K M D I H O B + +∞ −∞ +∞ C 0,25 y O −1 x 0,25 Tìm m cho tiếp tuyến (Cm) A tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Ta có A(0; ) y ' = x − 2(2m + 1) x + m + Suy Tiếp tuyến đồ thị A Đường thẳng d cắt Ox B( d : y = (m + 2) x + −1 ;0) 3m + 1,0 điểm y '(0) = m + cắt t Oy A 0,25 0,25 Khi diện tích tam giác tạo d với hai trục tọa độ 1 −1 S = OA × OB = × × = 2 3m + 18 m + 0,25 Theo giả thiết ta có m=− 1 = ⇔ m + = ⇔ m = − 13 18 m + 6 11 Câu Giải phương trình: Điều kiện: (2cos x − 1) cot x = 2sin x + sin x cos x − 1,0 điểm sin x ≠ Với điều kiện phương trình cho 2cos x − cos x − 2sin x ⇔ = sin x cos x − ⇔ (2cos x − 3)sin x = −2sin x ⇔ sin x = cos x = Với: sin x = Với: cos x = 0,25 π ⇔ x = ± + k 2π 0,25 x=± π + k 2π,(k ∈ ¢ ) Giải hệ phương trình: Câu  x − y − x + x + 11 = (1)   y − y + y = x + 3x + (3 − x) − x − x − 11 ĐK: 1,0 điểm (2) ≤ x ≤1 Từ (1) Ta có: 0,25 0,25 (loại) Vậy phương trình có nghiệm: 0,25 0,25 x + x = x − y + 11 vào (2) y + y = (3 − x) − x ⇔ y + y = (1 − x)3 + − x (3) Xét hàm số: f (t ) = 2t + t ⇒ f '(t ) = 6t + ≥ 0, ∀t ⇒ f (t ) đồng biến R Từ (3) ta có: y = − x ⇔ x = − y , y ≥ vào (1) ta được: x + x − x + 3x + = 0,25 (4) x=0 không nghiêm 0,25   x+ =2 3 x x ≠ (4) ⇔ x + − x + + = ⇔   x x  x+ =4 x  Với +) Víi x+ =2 x +) víi x+ = ta x cã x = + 61, x = − 61 Vậy hệ có nghiệm (x;y) là: (1;0); Câu Tính tích phân: π 0,25 ta cã x =1 , x = I= (8 − 61; 61 − 7) π 1,0 điểm x − sin x + + cosx( x + sin x − 1) dx ∫ (1 − cos x)( x + cos x) π2 π 0,25 x − sin x I= ∫ dx + ∫ dx (1 − cos x) ( x + cos x) π2 π2 J= π − sin x ∫ ( x + cos x) dx = ln( x + cos x) | π π2 = ln π2 2π − π 0,25 K= = π π π π x x x x π x ∫π (1 − cos x) dx = π∫2 x dx = −π∫2 xd cot = − x cot |π + π∫2 cot dx 2sin 0,25 π x π + 2ln sin |ππ = − 2ln 2 2 Vậy I = ln 0,25 2π − π + − 2ln π 2 Tính thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách hai đường thẳng SD BN theo a Câu Gọi H = ( SAC ) ∩ ( SDM ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD) ⇒ SH đường cao hình chóp H trọng tâm ∆ABD Chứng minh ∆SHO vuông cân SH = HO = a AC = 1,0 điểm 0,25 VS ABCD 1a 2a 3 = SH S ABCD = 2a = 33 0,25 Goi E trung điểm AD ⇒ SD / /( BNE ) ⇒ d ( SD, NB) = d ( D,( BNE )) = d ( A,( BNE )) K trung điểm AH ⇒ NK ⊥ ( ABCD ) d ( A,( BNE )) = 2d ( K ,( BNE )) Gọi Gọi J hình chiếu K BE , P hình chiếu NJ Chứng minh KP ⊥ ( BNE ) ⇒ d ( K ,( BNE )) = KP Gọi I hình chiếu A 0,25 K 0,25 BE Ta có: BE = AB + AE − AB AE.cos120o = 7a S a a 21 KJ = AI = ∆ABE = = BE 14 2.a Ta có: 1 3 = + ⇒ KP = a ⇒ d ( SD, NB ) = a 2 KP KN KJ 136 34 O Cho các số thực dương a, b, c Tìm giá trị lớn biểu Câu thức P= a + b + c +1 2 − 1,0 điểm (a + 1)(b + 1)(c + 1) 0,25 Áp dụng BĐT Côsi ta có 1 a + b + c + ≥ (a + b)2 + (c + 1)2 ≥ (a + b + c + 1) , 2  a+b+c+3 (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≤  ÷   Suy Đặt P≤ 54 − a + b + c + ( a + b + c + 3)3 t = a + b + c + 1, t > Xét hàm f (t ) = f '(t ) = − Khi ta có 54 − t (t + 2)3 0,25 P≤ (1; + ∞) 54 − t (t + 2)3 0,25 Ta có t = 54.3 + = ⇔ 9t = (t + 2) ⇔  ; f '(t ) > ⇔ < t < t (t + 2) t = Suy BBT T +∞ f '(t ) + − f (t ) Dựa vào BBT suy P≤ Dấu đẳng thức xảy t = ⇔ a = b = c = Vậy giá trị lớn P , đạt 0,25 a = b = c = II PHẦN RIÊNG: Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) 3,0 điểm PHẦN A: Theo chương trình Chuẩn Cho tam giác ABC biết A(5;2) , đường trung trực cạnh BC có phương trình : x + y − = ; đường trung tuyến từ C có phương trình: x + y − = Tìm tọa độ đỉnh B C 1,0 điểm Câu 7.a Gọi M (m;5 − 2m) trung điểm Phương trình BC: x − y + 10 − 5m = Tọa độ C nghiệm hệ: ⇒ B( m − 14 − m ; ) 3 Gọi N trung điểm N∈ BC trung tuyến từ  x − y = 5m − 10 + 5m 16 − 5m ⇒ C( ; )  3 x + y = 13 + m 20 − 7m AB ⇒ N ( ; ) C⇒m=− 0,25 0,25 0,25 35 37 B (− ; ); C (− ; ) 6 6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm Câu 8.a đường thẳng (d ) : x −1 y − z = = 1 A(1;1;0) , B (2;1;1) Viết phương trình đường 1,0 điểm thẳng (∆) qua A vuông góc với (d) khoảng cách từ B đến (∆) Ta có uuur AB(1;0;1) ⇒ AB = = d ( B, ∆ ) ⇒ AB ⊥ ∆ A hình chiếu ∆ có véc tơ phương là: Phương trình ∆ : B (d ) : 0,25 ∆ ⇒ AB ⊥ ∆ 0,25 uu r uuur uu r u∆ = [ AB, ud ] = (−1;1;1) 0,25 x −1 y −1 z = = −1 1 Tính xác suất để hai học sinh nữ đứng cạnh người đứng đầu hàng nam Câu 9.a 0,25 Số phần tử không gian mẫu: Ω = 7! 0,25 1,0 điểm 0,25 Gọi A biến cố: " hai học sinh nữ đứng cạnh 0,25 người đứng đầu hàng nam." Tính ΩA Chọn học sinh nam đầu hàng có cách chọn Ta có cách xếp học sinh nữ không cạnh nhau: N N N N N N N Nx N Nx Nx N x Có 4.3! cách xếp học sinh nữ Sau có 3! cách xếp học sinh nam 0,25 ⇒ ΩA = 4.4.3!.3! P ( A) = ΩA 4.4.3!.3! = = Ω 7! 35 0,25 PHẦN B: Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C ) : ( x − 1) + ( y + 1) = 25 , điểm M (7;3) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt (C ) hai điểm phân biệt A, B cho MA = 3MB Đường tròn đường tròn Ta có Gọi H (C ) : I (1; −1); R = MI = 52 > ⇒ M 1,0 điểm nằm 0,25 MA.MB = MI − R = 27 ⇒ 3MB = 27 ⇒ MB = ⇒ MA = ⇒ AB = trung điểm AB ⇒ IH = R − AB =4 0,25 Gọi đường thẳng qua r M (7,3) có vtpt n( A, B ),( A + B ≠ 0) ⇒ ∆ : Ax + By − A − 3B = 2 d ( I , ∆) = IH = ⇔ A = ⇔  A = − 12 B  A − B − A − 3B A +B 2 Theo ta có : = ⇔ A2 + 12 AB = 0,25 + Với A= 0⇒ ∆: y =3 + Với 12 B ⇒ ∆ :12 x − y − 69 = A=− 0,25 Tìm tọa độ điểm A thuộc mặt phẳng Câu 8.b Gọi (Q) mặt phẳng quauM vuông góc với ∆ Khi pt ur uur (Q) : x − y + z − = Ta có nQ (2; − 1; 1), nP (1; 1; 1) Từ giả thiết suy A thuộc giao tuyến d (P) (Q) 0,25 Khi 0,25 uu r uur uur ud = [nP , nQ ] = (2; 1; − 3) Vì A ∈ d suy N (1; 0; 1) ∈ d Ta có Suy d ( A, ∆) = AH = A(−1; − 1; 4) mặt phẳng (Q) Suy ∆ 1 H (1; − ; ) 2 33 ⇔ 14t − 2t − 16 = ⇔ t = −1 ∨ t = A( Cho số phức z thỏa mãn Đặt nên pt  x = + 2t  d : y = t  z = − 3t  A(1 + 2t; t; − 3t ) Gọi H giao điểm Câu 9.b 1,0 điểm ( P) 0,25 0,25 23 17 ; ; − ) 7 z− =i z +1 Tính giá trị A = 1+ ( 1+ i) z 1,0 điểm z = a + bi a + b2 + b − = z− =i⇔ z +1  a = −2b Giải hệ ta được: a =  b = −1   a = −  b =  0,25 0,25 Với a = ⇒ A = + ( + i ) z = 17  b = −1   a = − 13 ⇒ A = 1+ ( 1+ i) z =  b =  Hết - 0,25 0,25 [...]...+ Với A= 0⇒ ∆: y =3 + Với 12 B 5 ⇒ ∆ :12 x − 5 y − 69 = 0 A=− 0,25 Tìm tọa độ điểm A thuộc mặt phẳng Câu 8.b Gọi (Q) là mặt phẳng quauM và vuông góc với ∆ Khi đó pt ur uur (Q) : 2 x − y + z − 3 = 0 Ta có nQ (2; − 1; 1), nP (1; 1; 1) Từ giả thi t suy ra A thuộc giao tuyến d của (P) và (Q) 0,25 Khi đó 0,25 uu r uur uur ud = [nP , nQ... ra d ( A, ∆) = AH = A(−1; − 1; 4) và mặt phẳng (Q) Suy ra ∆ 1 1 H (1; − ; ) 2 2 33 8 ⇔ 14t 2 − 2t − 16 = 0 ⇔ t = −1 ∨ t = 2 7 hoặc A( Cho số phức z thỏa mãn Đặt nên pt của  x = 1 + 2t  d : y = t  z = 1 − 3t  A(1 + 2t; t; 1 − 3t ) Gọi H là giao điểm của Câu 9. b 1,0 điểm ( P) 0,25 0,25 23 8 17 ; ; − ) 7 7 7 z− 4 =i z +1 Tính giá trị A = 1+ ( 1+ i) z 1,0 điểm z = a + bi a 2 + b2 + b − 4 = 0 4 z− ... 2 d ( I , ∆) = IH = ⇔ A = ⇔  A = − 12 B  A − B − A − 3B A +B 2 Theo ta có : = ⇔ A2 + 12 AB = 0,25 + Với A= 0⇒ ∆: y =3 + Với 12 B ⇒ ∆ :12 x − y − 69 = A=− 0,25 Tìm tọa độ điểm A thuộc mặt... THÍ SINH khảo sát vẽ đồ thi hàm số với • TXĐ: m=2 1,0 điểm x − 5x2 + 4x + 3 y= Với m=2, hàm số trở thành 7,0 điểm D=¡ Sự biến thi n: + Giới hạn: + Chiều biến thi n: 0,25 lim y = +∞,lim... đến đường ∆: thẳng ∆ 33 Câu 9. b (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn z− =i z +1 Tính giá trị A = 1+ ( 1+ i) z Hết Họ tên thí sinh:…………………………………… Số báo danh:………… ĐÁP ÁN: Câu