PHƯƠNG PHÁP DẢI HỮU HẠN TRONG PHÂN TÍCH KẾT CẤU Lê Văn Bình( * ) Tổng quan phương pháp dải hữu hạn Ðể giải tốn học vật rắn biến dạng tổng qt cần thiết phải tìm 15 ẩn hàm (gồm phương trình vi phân cân nội, phương trình liên tục - phương trình Cauchy, phương trình quan hệ ứng suất - biến dạng), đồng thời ẩn hàm phải thỏa mãn điều kiện biên động học tĩnh học Ðiều rõ ràng khơng thực tốn tổng qt khó khăn mặt tốn học Vì có nhiều Cuộc thi Quả táo vàng Khoa KT & CN phương pháp tính đời nhằm giải vấn đề Hiện phương pháp số ứng dụng nhiều phân tích kết cấu phương pháp phần tử hữu hạn (finite element method - FEM) FEM cơng cụ mạnh mẽ linh hoạt việc phân tích kết cấu phát triển nhanh chóng ứng dụng giải nhiều tốn học Tuy nhiên kết cấu có đặc tính hình học thơng thường điều kiện biên đơn giản, phân tích FEM cách đầy đủ khơng cần thiết thường dẫn đến việc phân tích tốn bậc cao để thu nghiệm tốt Chính tốn xác đòi hỏi nhiều cơng cụ máy móc hỗ trợ cho người thiết kế, tốn giải cách cứng nhắc phải thực nhiều bước tính tốn trung gian dài dòng tốn thời gian Ðiều thể rõ tốn phân tích kết cấu trạng thái tĩnh (static analysis) vật rắn chiều hay tốn phân tích dao động ổn định kết cấu khơng gian Do cần lựa chọn phương pháp tính giảm bớt khối lượng tính tốn cách sử dụng linh hoạt phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích loại kết cấu mong muốn Từ vấn đề nêu trên, gần phát triển phương pháp phân tích kết cấu thỏa mãn u cầu tốn phương pháp dải hữu hạn (finite strip method - FSM) Trong phương pháp này, kết cấu chia thành dải (strip) miền (subdomain) chiều lăng trụ (prism) lớp (layer) mà dải có cặp cạnh (2-D) hay nhiều mặt đối diện (3-D) trùng lặp với biên kết cấu Do đặc tính phương pháp, kết cấu thường có dạng hình học khơng thay đổi dọc theo hai trục tọa độ để kích thước mặt cắt ngang dải (hoặc lăng trụ hay lớp) khơng thay đổi từ đầu đến cuối Vì kết cấu dầm cầu dạng hộp (box girder bridge) loại mỏng (voided slab) dễ dàng chia thành dải lăng trụ, hay loại kết cấu vỏ dày nhiều lớp đẳng hướng thuận tiện chia thành layer để nghiên cứu Các dạng kết cấu sau minh họa cách chia phần tử theo dải áp dụng phương pháp tính tốn FSM (*) Thạc sĩ, GVCH Khoa Kỹ Thuật & Cơng Nghệ Ðại học Mở Bán cơng TP.HCM 1 12 13 (b) Tấm rỗng khoét lỗ tròn (a) Tấm phẳng (Plate Strips) (Quadrilateral Finite Prisms) 10 11 10 12 11 (c) Cầu dầm hộp cong (d) Tấm dày nhiều lớp (Shell Strips) (Finite Layers) Hình : Các loại kết cấu tính tốn FSM Lựa chọn hàm chuyển vị FSM xem trường hợp đặc biệt FEM cách sử dụng hàm gần chuyển vị (displacement approach) theo mơ hình tương thích Tuy nhiên, FEM sử dụng hàm xấp xỉ chuyển vị dạng đa thức tất chiều, FSM sử dụng đa thức đơn giản kết hợp với chuỗi hàm lượng giác chuỗi đạo hàm riêng liên tục với điều kiện chuỗi phải thỏa mãn điều kiện tiên (priori) điều kiện biên biên dải (lăng trụ, lớp) Cơng thức tổng qt hàm chuyển vị cho tích đa thức chuỗi Vì vậy, dải tốn chiều giảm xuống tốn chiều Hàm chuyển vị viết sau : r w = ∑ f m ( x)Ym m =1 (2.1a) Tương tự cho trường hợp "dải prism", tốn ba chiều giảm xuống thành tốn chiều : r w = ∑ f m ( x, z )Ym (2.1b) Ðối với "dải layer" tốn ba chiều phân tích tốn chiều : m =1 r w=∑ t ∑f mn ( z ) X m Yn (2.1c) Trong biểu thức trên, chuỗi cắt bớt bậc thứ r số hạng thứ t; m =1 n =1 f m ( x), f m ( x, z ), f mn ( z ) biểu thức đa thức với số khơng xác định cho số hạng thứ m n chuỗi X m , Ym tương ứng chuỗi thỏa mãn điều kiện biên theo phương x y rõ hàm độ võng phương Chính bậc tự hệ thống giảm nên số ẩn số cần tìm giảm Bài tốn trở nên đơn giản Thí dụ: Hàm độ võng dải chịu uốn xác định sau: (i) phần chuỗi hàm chuyển vị dẫn từ phương trình vi phân chủ đạo tốn dầm chịu uốn (đương nhiên, "dải" xem kết cấu dạng tốn chiều học vật rắn), cụ thể: Y ( 4) = μ4 a4 Y (2.2) Trong a chiều dài dầm (dải) μ thơng số Dạng tổng qt nghiệm phương trình (2.2) là: ⎛ μy ⎞ ⎛ μy ⎞ ⎛ μy ⎞ ⎛ μy ⎞ Y ( y ) = C1 sin ⎜ ⎟ + C cos⎜ ⎟ + C sinh ⎜ ⎟ + C cosh⎜ ⎟ ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ (2.3) với hệ số C1 C2 xác định từ điều kiện biên (ii) Phần đa thức hàm chuyển vị hay hàm dạng (shape function) đa thức liên kết với thơng số chuyển vị nút, mơ tả trường chuyển vị tương ứng bên mặt cắt ngang dải thơng số chuyển vị nút cho đơn vị Hàm dạng phụ thuộc vào hình dạng mặt cắt ngang strip số đường nút bên strip x (a) x b (b) (c) x b/2 b/2 (e) y b/2 (d) x b b/2 x b y η ξ x x (f) (g) Hình - Mặt cắt ngang dạng dải dạng lăng trụ ∂f ∂f ∂ f Kí hiệu = f ; = f, ∂x ; = f, ∂x , ∂x Hàm dạng phần tử dải chịu uốn hình 2b, ta có hàm dạng: [( [( )( ) ( )] ⎧⎪[C ] = − x + x , x − x + x ⎨ ⎪⎩[C ] = x − x , x x − x )] r Hàm chuyển vị w = [N ]{δ } = ∑ Ym [[C1 ][C ]]{δ }m m =1 Trong đó, thơng số đường nút là: {δ }Tm = {w1m θ 1m w2m θ 2m }T wm θm chuyển vị góc xoay cho số hạng thứ m chuỗi Ym xem ẩn số cần tìm theo FSM Tư tưởng chủ yếu phương pháp FSM tương tự FEM tìm dạng gần ẩn hàm miền Ve (hay gọi phần tử - element) thuộc miền V Tuy nhiên dạng Ve phương pháp FSM có tính chất khơng thay đổi tồn miền V áp dụng tốn nêu Các miền Ve liên kết với biên gọi đường nút (nodal line) Các thơng số đường nút gọi bậc tự phần tử xem ẩn số cần tìm Sau tính tốn thơng số chuyển vị đường nút {δ }m , thành phần chuyển vị, ứng suất, biến dạng phần tử "nội suy" ma trận hàm dạng thơng qua phép nội suy T Lagrange hay Hermitian Ðể rõ phương pháp này, ta xem bảng so sánh khác phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp dải hữu hạn Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) Có thể áp dụng phân tích kết cấu với dạng hình học, điều kiện biên vật liệu khác Là cơng cụ mạnh linh hoạt Thường có số lượng phương trình nhiều ma trận độ cứng có dải rộng (bandwith) tương đối lớn Có thể khơng tìm lời giải giới hạn cơng cụ tính tốn Phương pháp dải hữu hạn (FSM) Trong tốn tĩnh, thường áp dụng cho kết cấu với gối tựa đơn giản, có khơng có gối tựa đàn hồi trung gian, đặc biệt cầu Trong tốn động, thường sử dụng cho kết cấu với điều kiện biên khơng có gối tựa rời rạc Số lượng phương trình ma trận độ cứng có dải hẹp, đặc biệt cho tốn gối tựa đơn giản Do thời gian tính tốn nhiều để tìm lời giải xác Số lượng kiện đưa vào đường lưới việc giảm kích thước tốn phân tích Dễ dàng rõ chuyển vị ứng suất cần tìm xuất kết cách xác Số lượng kiện đưa vào lớn dễ gây lỗi lầm, đòi hỏi tự động hố việc phủ lưới phát sinh tải trọng Số lượng liệu xuất lớn bao gồm tất chuyển vị nút ứng suất phần tử Các phần tử bậc thấp khơng có ứng suất xác nút ứng suất trung bình nội suy Ðòi hỏi số lượng lớn yếu tố cốt lõi Cần số nhỏ yếu tố cốt lõi dễ khó khăn để lập trình Thơng thường lập trình Bởi cần vài trị cần có kỹ thuật tính tốn cao phải riêng thấp nên từ đến số hạng dùng đến phương pháp thu gọn khối chuỗi cho kết lượng hay phương pháp lặp để giảm xác, giải ma trận ma trận trị riêng chuẩn u cầu Một số kết tính tốn Khảo sát tốn ứng suất phẳng lý thuyết đàn hồi, giải theo phương pháp khác nhau: Sử dụng phương pháp giải tích lý thuyết đàn hồi Sử dụng FEM (phần mềm SAP2000 - hãng CSI, Mỹ) Sử dụng FSM với loại phần tử bậc thấp (LO2) bậc cao (HO2) (chương trình FSMISA - Lê Văn Bình - ÐH Mở BC TpHCM) BIỂU ĐỒ CHUYỂN VỊ (a=8, b=4; a/b=2) 0.E+00 1.E-03 2.E-03 GT 3.E-03 FEM 4.E-03 LO2 5.E-03 HO2 6.E-03 7.E-03 8.E-03 (m) 9.E-03 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 Nhận xét: Kết tính tốn cho thấy, dùng SAP2000 với lưới phần tử 8x8=64 phần tử, lời giải FEM cho kết khơng xác so với FSM với lưới strip (lời giải lý thuyết đàn hồi xem xác) Ðiều dễ dàng lý giải được, FEM tính tốn quy đổi tồn tải trọng độ cứng kết cấu nút, kết cấu bị "cứng hóa", lời giải chuyển vị đương nhiên nhỏ so với FSM lý thuyết đàn hồi Tương tự FEM, khả tự động hóa FSM cao, cần sử dụng chương trình với thư viện phần tử lập sẵn giải hầu hết tốn kết cấu nêu phần Sơ đồ giải thuật thực theo chương trình FSMISA sau: BẮT ĐẦU (Start) ĐỌC DỮ LIỆU NHẬP (Read Data Input) LẶP TRÊN TẤT CẢ CÁC SỐ HẠNG CỦA CHUỖI (Loop on Number of Terms) NHẬP CÁC HỆ SỐ TẢI TRỌNG CHUỖI (Read Fourier Load Coefficient) LẶP TRÊN TẤT CẢ CÁC PHẦN TỬ DẢI (Loop on Number of Strip) TÍNH TOÁN MA TRẬN ĐỘ CỨNG VÀ TẢI TRỌNG PHẦN TỬ (Form Siffness and Load Matrix for Strip) LẮP GHÉP VÀO MA TRẬN ĐỘ CỨNG VÀ TẢI TRỌNG TỔNG THỂ (Assemblage of Stiffness and Load Matrix) GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TÌM THÔNG SỐ ĐƯỜNG NÚT (Solution of Simultaneous Equation) XUẤT CÁC THÔNG SỐ CHUYỂN VỊ ĐƯỜNG NÚT (Output Displacement Parameters) TÍNH TOÁN CÁC THÀNH PHẦN ỨNG SUẤT, CHUYỂN VỊ (Output Internal Forces) KẾT THÚC (Stop) Kết luận FSM đặc biệt có hiệu giải kết cấu thỏa mãn điều kiện nêu phần Trong thực tế có nhiều kết cấu cầu dầm hộp (box girder bridge), cầu dây văng (cable-stayed bridge), kết cấu vỏ vật liệu phức tạp áp dụng FSM để tính tốn Ngồi ra, tốn phân tích kết cấu chịu tải di động FSM khẳng định ưu vượt trội so với FEM Các phần mềm phần tử hữu hạn có khả phân tích kết cấu chịu tải di động phần tử chiều (1-D element) (chẳng hạn SAP2000), hạn chế khả tính tốn Với FSM, hồn tồn phân tích tốn "dải layer" với phương pháp tính đơn giản, khả tự động hóa tính tốn độ xác cao TĨM TẮT Phương pháp dải hữu hạn (FSM) cơng cụ mạnh mẽ phân tích kết cấu có dạng hình học thơng thường điều kiện biên đơn giản, chẳng hạn cầu dầm hộp, cầu dây văng, kết cấu vỏ Ngồi ra, phương pháp tiện lợi để phân tích kết cấu chịu tải trọng di động, phân tích dao động ổn định kết cấu Bài báo trình bày ứng dụng phương pháp, từ phát triển thành phần mềm chun dùng để tính tốn cho cơng trình cầu chịu tải trọng di động SUMMARY Finite strip method (FSM) is a powerful tool for analyzing structures having regular geometric plans and simple boundary conditions, such as box girder bridges, cable-stayed bridges, plate and shell structures, etc Furthermore, this method is very convenient to analyze structures having moving load, and the vibration and stability of structures This article shows some basic applications of the FSM, thereon, specific software for FSM can be developed to compute for projects with bridges under moving load ... hay Hermitian Ðể rõ phương pháp này, ta xem bảng so sánh khác phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp dải hữu hạn Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) Có thể áp dụng phân tích kết cấu với dạng hình... cụ mạnh mẽ phân tích kết cấu có dạng hình học thơng thường điều kiện biên đơn giản, chẳng hạn cầu dầm hộp, cầu dây văng, kết cấu vỏ Ngồi ra, phương pháp tiện lợi để phân tích kết cấu chịu tải... element) (chẳng hạn SAP2000), hạn chế khả tính tốn Với FSM, hồn tồn phân tích tốn "dải layer" với phương pháp tính đơn giản, khả tự động hóa tính tốn độ xác cao TĨM TẮT Phương pháp dải hữu hạn (FSM)