Đánh giá hiệu năng các hệ thống hàng đợi với các phương thức lập lịch trình khác nhau

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC BÁO CÁO MẠNG BĂNG RỘNG Đề tài: Đánh giá hiệu hệ thống hàng đợi với phương thức lập lịch trình khác Giảng viên hướng dẫn : TS Nguyễn Tài Hưng Học viên cao học : Chu Thế Huy Bùi Xuân Linh Nguyễn Văn Quân Lớp [Type text]Page : 11BKTTT1 MỤC LỤC I Tổng quan hàng đợi Mô hình hàng đợi 2 Ký hiệu Kendall 3 Các tham số quan trọng đánh giá hiệu hệ thống hàng đợi 4 Định lý Little II Đánh giá hiệu hệ thống hàng đợi Mô hình hàng đợi M/M/1/1 Hàng đợi M/M/1/  10 Hàng đợi M/M/1/K 15 Hàng đợi M/G/1/  19 Hàng đợi M/D/1/  20 Hàng đợi M/M/C 21 III Kết luận 26 Trang I Tổng quan hàng đợi Hàng đợi thành phần thiếu mô hình hóa để đánh giá hiệu hệ thống phục vụ nói chung hệ thống viễn thông nói riêng Ví dụ: -Các hệ thống điện thoại: số lượng lớn khách hàng quay số để kết nối đến đường hữu hạn tổng đài -Trong mạng máy tính: gói tin chuyển từ nguồn tới đích qua số lượng lớn nút trung gian Hệ thống hàng đợi xuất nút trình lưu tạm thông tin đệm -Hệ thống máy tính: công việc tính toán tuyến làm việc hệ thống yêu cầu dịch vụ từ xử lý trung tâm từ nguồn khác Mô hình hàng đợi Một hệ thống phục vụ mô tả hệ thống hàng đợi bao gồm thành phần: Trang Tiến trình tới -Được đặc trưng tốc độ trung bình  tới hệ thống: số yêu cầu / đơn vị thời gian -Phân bố ngẫu nhiên tiến trình tới: Poisson… Hàng đợi: đặc trưng khả chứa yêu cầu (N) Số trạm phục vụ: C (Server) Tiến trình phục vụ trạn phục vụ: -Tốc độ trung bình:  i (số yêu cầu đơn vị thời gian) -Phân bố xác suất thời gian phục vụ: Poisson… Quy tắc phục vụ: -FIFO -LIFO -RR (Round Robin) Ký hiệu Kendall Là hệ thống ký hiệu để mô tả hệ thống hàng đợi Gồm ký hiệu: A / S / C / [K] / [P] / [D] -A: mô tả tiến trình tới  M (Markov): tiến trình tới tuân theo phân bố Poisson  D (Deterministry): tốc độ yêu cầu đến hệ thống số  G (General): phân bố ngẫu nhiên -S: mô tả tiến trình phục vụ (M, D, G…) -C: số trạm phục vụ Trang -K: tổng số yêu cầu hệ thống chứa -P: số nguồn phát yêu cầu, mặc định  -D: thứ tự phục vụ yêu cầu Các tham số quan trọng đánh giá hiệu hệ thống hàng đợi Số yêu cầu trung bình nằm hệ thống: N Số yêu cầu trung bình nằm hàng đợi: N q Số yêu cầu trung bình phục vụ Server: N S N  Nq  NS Thời gian trung bình yêu cầu lưu lại hệ thống: TW Thời gian trung bình yêu cầu nằm hàng đợi: Tq Thời gian trung bình yêu cầu phục phụ Server: TS TW  Tq  TS Xác suất để yêu cầu nằm đợi hàng đợi với thời gian nhỏ t cho trước: P Tq  t Xác suất để yêu cầu nằm đợi hệ thống vơi thời gian nhỏ t cho trước: P TW  t Xác suất có i yêu cầu hệ thống: p  i  Xác suất để yêu cầu bị từ chối (xác suất tràn hàng đợi): e Định lý Little -Hệ thống hàng đợi có ranh giới đóng: hệ thống không tự tạo yêu cầu, không hủy yêu cầu, không thay đổi tính chất yêu cầu Trang -Xét hệ thống đóng: Gọi N (t ) số yêu cầu nằm hệ thống thời điểm t N t  t t0 t1 t2 t3 t4 -Xét khoảng thời gian t0 ; t f  N  t   - T : tổng thời gian đợi tất yêu cầu hệ thống: tf T   N  t  dt t0 -Số yêu cầu trung bình nằm hệ thống khoảng t0 ; t f  : NT  T T   T f  T0 T tf  NT   N  t  dt T t0 - a T  : tổng số yêu cầu trung bình vào hệ thống t0 ; t f  Trang  thời gian lưu lại hệ thống trung bình yêu cầu: t f T TW   N  t  dt a  t  a (t ) t0 a T  tf Suy ra: NT  N  t  dt T a T  t0 a T  T a T  T : tốc độ trung bình yêu cầu vào hệ thống t0 ; t f   T  NT  T TW -Nếu hệ thống hoạt động chế độ ổn định: lim N T  lim T lim TW T  T  T   N   T  Định lý Little  N q   Tq Tương tự:   N S   TS Mà: N  N q  N S  N Nq NS      NS : thời gian trung bình hệ thống phục vụ yêu cầu   c   N Nq     c  Trang N   Nq c  NS     c   N  Nq   -Nhận xét: để tính tham số đặc trưng cho hiệu hoạt động hệ thống định lý Little chưa đủ  cần biết tiến trình tới, phục vụ II Đánh giá hiệu hệ thống hàng đợi Mô hình hàng đợi M/M/1/1 -Tiến trình tới tiến trình Poisson -Tiến trình phục vụ tiến trình Poisson -Hệ thống có Server -Số yêu cầu tối đa 1(hệ thống hàng đợi)    Số yêu cầu nằm hệ thống: i  [0;1] -Tính xác suất để hệ thống có i yêu cầu thời điểm t bất kỳ: Pi (t ) , i  [0;1] -Xét khoảng thời gian:  0; t  ; t ; t  dt  Trang  Trường hợp i = -Gọi xác suất để có i yêu cầu vào hệ thống khoảng t1 ; t2  là: Pi in (t1 ; t2 ) -Gọi xác suất để có i yêu cầu phục vụ xong (đi khỏi hệ thống) t1 ; t2  là: Pi out (t1 ; t2 ) -Phải tính: P0 (t  dt ) P0 (t  dt )  P0 (t ) P0in (t ; t  dt )  P1 (t ) P1out (t; t  dt )  P0 (t  dt )  P0 (t ) P0in (dt )  P1 (t ) P1out (dt ) Theo định nghĩa tiến trình Poisson: P0in ( dt )    dt P1out ( dt )   dt Suy ra: P0 (t  dt )  P0 (t ) (1   dt )  P1 (t )  dt  P0 (t  dt )  P0 (t )   P0 (t )   P1 (t )  dt  d P0 (t )   P0 (t )   P1 (t ) dt Mặt khác: P0 (t )  P1 (t )  Trang -Nhận xét: hệ thống hoạt động ổn định, trạng thái dừng (không phụ thuộc thời gian): d P0 (t ) 0 dt Gọi P0  lim P0 (t ) t  P1  lim P1 (t ) t  Ta có hệ phương trình:  P0   P1    P0  P1    P     P       -Gọi PB xác suất để yêu cầu bị từ chối: PB  P1    -Số yêu cầu trung bình hệ thống: N  P1  P0  P1    -Thời gian trung bình yêu cầu lưu lại hệ thống: T  TS   Trang -Số yêu cầu trung bình nằm hàng đợi  N q   Pn ( n  1) n 1 ( (n-1) yêu cầu nằm hàng đợi, yêu cầu phục vụ)   N q   (1   )  n ( n  1) n 1   N q  N   (1   )  n n 1  Nq  2 1  -Xác suất để yêu cầu i phải đợi hàng đợi khoảng thời gian tq  t cho trước đến lượt phục vụ: P (tq  t ) Gọi thời gian yêu cầu j phục vụ Server S j ( j  1, 2, , i  1) , S j tuân theo Poisson i 1  tq   S j j 0 i 1 P (t q  t )  P (  S j  t ) j 0  P (tq  t )  P (tq  0)  P (t q  t N  0) N: Số yêu cầu hệ thống   P (tq  t )  P ( N  0)   P (tq  t N  j ) j 1 Trang 13 j   P (tq  t )  P0   P ( S k  t N  j ) j 1 k 1 j Phải tính P ( Sk  t N  j ) k 1 t P (t q  t N  j )    (  x) j 1   x e dx ( j  1)!  t (  x ) j 1   x  P (tq  t )  P0     e dx ( j  1)! j 1  P (tq  t )    e  (   )t -Xác suất để thời gian yêu cầu thứ i nằm hệ thống khoảng thời gian tn  t cho trước P (tn  t )   e  (   )t ( tw  t q  ts ) -Thời gian trung bình yêu cầu cần phải đợi hàng đợi:  Tq   t d [ P (tq  t )] dt dt -Nhận xét hệ M/M/1/  hệ thống đóng  theo định lí little: Tq  Nq   2 1   1    1  -Thời gian trung bình yêu cầu nằm hệ thống: T N  1    1    1  Trang 14  N , N q   Nhận xét:     T , Tq   Khi tải chiếm 100 %  Hệ thống hoạt động trạng thái ổn định Hàng đợi M/M/1/K -Tiến trình tới: Poisson, tham số  -Tiến trình phục vụ: Poisson,  -1 Server -Kích thước hàng đợi K-1 Trong hệ thống này, yêu cầu bị từ chối hàng đợi đầy    Tính toán tham số hiệu năng: -Tiến trình sinh tử:     Trang 15  P0   P1    Pk   Pk 1 (   ) P  .P   P (0  i  k )  i i 1 i 1  Pi   i P0   k  Pi   i 1 K    i P0  i0  P0   k  i 1    k 1 i 0 Pi   i 1    k 1 -Xác suất yêu cầu bị từ chối: PB  PK   k 1    k 1 -Số yêu cầu trung bình hệ thống: 1    k 1 N   i Pi   i    (k  1)   k 1     k 1 i 0 i0 k k i -Nhận xét: lim N   1 k ( Do lim Pi  lim P0   1  1 ) k 1 Trang 16 Khi tải  = 100% (    ) kích thước yêu cầu trung bình dung lượng hệ thống -Số yêu cầu trung bình hàng đợi: k N q   (i  1) Pi  N  (1  P0 )  i 1   ( k  1)  k 1  1    k 1 -Phân bố xác suất thời gian t q yêu cầu nằm hàng đợi: P (tq  t ) t : thời gian cho trước  -Gọi qn  P N  n n  k  1 : xác suất để hệ thống có n yêu cầu; n  k  qn  P( N  n) P (n  k  1)  qn  Pn (n  k  1)  Pk (1   )  n 1 k -Gọi xác suất để yêu cầu phải đợi hàng đợi thời gian tq  t điều kiện hệ thống có n yêu cầu (  n  k  ): P (tq  t ; N  n) P (tq  t ; N  n)  P (tq  t N  n ) P ( N  n n  k  1)  P  t q  t N  n  qn Tương tự M/M/1/  ta có: k 1 P tq  t  P (tq  0)   P (t q  t N  n) qn n 1 k 1 t  (  x )n 1   x e dx ( n  1)!  q0   q n  n 1 Trang 17 t   k 1 n x n1  x P tq  t     (n  1)! e dx   k n 0 -Thời gian đợi ( Tq ) trung bình yêu cầu hàng đợi :  Tq   t d P tq  t dt dt  Do n! n x x e dx  n ( n  1)! 0 ( n  1)! Suy : Tq  k 1 1  i qi  ( N  k Pk )  i 0   Pk  Tq  1 N q   Pk -Hệ thống M/M/1/k hệ thống đóng Để áp dụng Little phải quy hệ thống đóng: a   B B   PB   Pk a  .(1  PB )  .(1  Pk ) Trang 18 Tq  Nq a  Nq  (1  Pk ) -Tương tự theo Little : T N N  a (1  Pk )  Hàng đợi M/G/1/  -Tiến trình tới tiến trình Poisson với tốc độ trung bình:  -Tiến trình phục vụ: tuân theo phân bố ngẫu nhiên Tốc độ phục vụ trung bình:  Phương sai thời gian phục vụ trung bình:  Y Y : thời gian phục vụ trung bình; Y   -Chiều dài hàng đợi  -1 Server       Y N (1   )    T N      Y2      (1   ) -Phương sai thời gian phục vụ hệ thống chuyển mạch gói phụ thuộc chiều dài gói Trang 19 Thời gian phục vụ: Y  L C L : chiều dài gói trung bình C : dung lượng kênh truyền -Nếu L =const   Y2   hệ thống đạt N , T cực tiểu với tải Hàng đợi M/D/1/  -Tương tự M/G/1/  Tuy nhiên: Y =const  Y2  2  2 N 2(1   ) T     (1   ) Trang 20 Hàng đợi M/M/C 1  2 c -Tiến trình tới: Poisson, với tốc độ trung bình  -Hệ thống có C Server -Mỗi Server i có thời gian phục vụ tuân theo tiến trình Poisson, thời gian phục vụ trung bình  i ; i  1, c -Phân loại: M/M/C/  : hàng đợi có chiều dài  M/M/C/C: hệ thống hàng đợi 6.1 Hàng đợi M/M/C/    1 1  2   i  k 1 i 1 k  k k 1  c  k k 1  c  k k 1 Trang 21 -Giả thiết hệ thống trạng thái 0: yêu cầu vào  phục vụ Server thứ i -Gọi  k  i k 1 P0   P1 1 Pi 1 i 1   Pi 1  Pi ( i   ); i  c Pi 1   Pi 1 c  (  c ) Pi ; i  c Suy ra:  i P  P0  i i  k   k 1   Pi   i 0    2 i  P0 1        1 2 i  1 1 2  -Để đơn giản hóa, giả thiết 1   P0  Gọi i    c c 1 1        22 i! i c !  c  c 1 c ! c   a;   c P0  a a c 1 ac      i 2! (c  1)! c ! i  1 a  Trang 22  P0  c 1 n a ac   c!   n 0 n ! Pi  P0 ;  i  c i! Pi  a i n c  P0 ; i  c i! -Công thức Erlang C: Xác suất yêu cầu phải đợi hệ thống trước đến lượt phục vụ c 1 P tq  0  P n  c    Pn n 0 ac c ! (1   ) C  c, a   c 1 n a ac   c!   n 0 n ! -Tương tự tính được: P tq  0   C  c, a  -Số yêu cầu trung bình hàng đợi:  Nq    P (i  c)    C  c, a  i i c 1 -Số yêu cầu trung bình phục vụ Server: C N S   i Pi  i0    c P    a i i  c 1 Trang 23 -Số yêu cầu trung bình nằm hệ thống: N  Nq  NS   C  c, a   a 1  -Thời gian trung bình yêu cầu nằm hàng đợi: Tq  Nq   1 C  c, a  c    -Phân bố thời gian đợi hàng đợi: P tq  t  P tq  0  P 0  tq  t   P t q  t  P n  c   P tq  t N  n Pn n c  P t q  t   C  c, a  e   (c  a ) t 6.2 Hàng đợi M/M/C/C     Trang 24 -Mô tả hệ thống:       2 i (i  1)  c  P0   P1   i     Pi   Pi 1  (i  1)  Pi 1  P  c  P c 1 c  c P 1 i i 0 -Công thức Erlang B: xác suất yêu cầu bị từ chối c B  PC  c c ! i P  i 0 i ! -Công thức Erlang B công thức để tính xác suất gọi bị từ chối hệ thống viễn thông  tham số thể chất lượng hệ thống -Đặt a    c   -Xác suất để có n yêu cầu hệ thống: Pn  n a Po n! Với n  c Trang 25 -Xác suất để yêu cầu đến phải chờ hàng đợi: Công thức Erlang C  c 1 n  ac ac Pq   a   c ! (1   )  n0 n ! c ! (1   )  1 -Xác suất để yêu cầu nằm hàng đợi với thời gian nhỏ t cho trước: P Tq  t   Pq e   ( c  a )t III Kết luận Lý thuyết hàng đợi nghiên cứu từ chuyển mạch kênh, nhiên việc áp dụng mạng chuyển mạch kênh hạn chế, sau nghiên cứu sâu rộng mạng chuyển mạch gói với việc đóng gói liệu Các tín hiệu thoại truyền thống số hóa, đóng gói truyền tải mạng gói phần sở mạng liệu Các thông số hiệu hàng đợi xác định thông qua lý thuyết xác suất thống kê, định lý Little quan trọng tiến trình – đến khách hàng (là tiến trình Poisson với phân bố hàm mũ với thuật toán xếp hàng nó) Xác định thông số hiệu như: chiều dài hàng đợi thời điểm có khách hàng … qua đưa phương án điều khiển lưu lượng mạng cho phù hợp nhằm giảm thiểu cố mạng, đánh giá hiệu suất sử dụng tài nguyên, sở cho việc thiết kế mạng viễn thông sau Trang 26 Trang 27 [...]... mạng dữ liệu Các thông số hiệu năng của hàng đợi được xác định thông qua lý thuyết xác suất thống kê, định lý Little và quan trọng hơn cả là các tiến trình đi – đến của khách hàng (là các tiến trình Poisson với phân bố hàm mũ cùng với thuật toán xếp hàng của nó) Xác định các thông số hiệu năng như: chiều dài hàng đợi ở các thời điểm bất kỳ hoặc ngay cả khi có khách hàng … qua đó đưa ra các phương án điều...  N , N q   Nhận xét:   1   T , Tq   Khi tải chiếm 100 %  Hệ thống hoạt động ở trạng thái ổn định 3 Hàng đợi M/M/1/K -Tiến trình tới: Poisson, tham số  -Tiến trình phục vụ: Poisson,  -1 Server -Kích thước hàng đợi K-1 Trong hệ thống này, yêu cầu bị từ chối khi hàng đợi đầy    Tính toán các tham số hiệu năng: -Tiến trình sinh tử:     Trang 15  P0   P1    Pk   Pk 1 (... i 0 -Công thức Erlang B: xác suất 1 yêu cầu bị từ chối c B  PC  c c ! i P  i 0 i ! -Công thức Erlang B là công thức cơ bản để tính xác suất 1 cuộc gọi bị từ chối trong các hệ thống viễn thông  tham số thể hiện chất lượng hệ thống -Đặt a    c   -Xác suất để có n yêu cầu trong hệ thống: Pn  1 n a Po n! Với n  c Trang 25 -Xác suất để 1 yêu cầu đến phải chờ trong hàng đợi: Công thức Erlang... trình tới: Poisson, với tốc độ trung bình  -Hệ thống có C Server -Mỗi Server i có thời gian phục vụ tuân theo tiến trình Poisson, thời gian phục vụ trung bình  i ; i  1, c -Phân loại: M/M/C/  : hàng đợi có chiều dài  M/M/C/C: hệ thống không có hàng đợi 6.1 Hàng đợi M/M/C/    1 1  2   i  k 1 i 1 k  k k 1  c  k k 1  c  k k 1 Trang 21 -Giả thiết nếu hệ thống ở trạng thái... vụ trong các hệ thống chuyển mạch gói phụ thuộc chiều dài gói Trang 19 Thời gian phục vụ: Y  L C L : chiều dài gói trung bình C : dung lượng kênh truyền -Nếu L =const   Y2  0  hệ thống đạt được N , T cực tiểu với cùng 1 tải như nhau 5 Hàng đợi M/D/1/  -Tương tự M/G/1/  Tuy nhiên: Y =const  Y2  0 2  2 N 2(1   ) T 1    2  (1   ) Trang 20 6 Hàng đợi M/M/C 1  2 c -Tiến trình tới:.. .Hàng đợi M/M/1/  2 -Tiến trình tới: Poisson,  -Tiến trình phục vụ: Poisson,  -1 Server -Chiều dài hàng đợi:     Tính toán các tham số hiệu năng -Tính xác suất để tại thời điểm t, hệ thống có n yêu cầu Pn (t )  phải xác định Pn (t  dt ) n=0 P0 (t  dt )  Po (t ) P0in (t ; t  dt )  P1... bình nằm trong hệ thống: N  Nq  NS   C  c, a   a 1  -Thời gian trung bình 1 yêu cầu nằm trong hàng đợi: Tq  Nq   1 1 C  c, a  c  1   -Phân bố thời gian đợi trong hàng đợi: P tq  t  P tq  0  P 0  tq  t   P t q  t  P n  c   P tq  t N  n Pn n c  P t q  t  1  C  c, a  e   (c  a ) t 6.2 Hàng đợi M/M/C/C     Trang 24 -Mô tả hệ thống:    ... (1  Pk )  4 Hàng đợi M/G/1/  -Tiến trình tới là tiến trình Poisson với tốc độ trung bình:  -Tiến trình phục vụ: tuân theo phân bố ngẫu nhiên bất kỳ Tốc độ phục vụ trung bình:  Phương sai của thời gian phục vụ trung bình:  Y Y : thời gian phục vụ trung bình; Y  1  -Chiều dài hàng đợi  -1 Server 2    2   2  Y N 2 (1   )    T N 1      Y2     2  (1   ) -Phương sai của... gian yêu cầu thứ i nằm trong hệ thống một khoảng thời gian tn  t cho trước P (tn  t )  1  e  (   )t ( tw  t q  ts ) -Thời gian trung bình một yêu cầu cần phải đợi trong hàng đợi:  Tq   t 0 d [ P (tq  t )] dt dt -Nhận xét hệ M/M/1/  là hệ thống đóng  theo định lí little: Tq  Nq   2 1 1   1    1  -Thời gian trung bình một yêu cầu nằm trong hệ thống: T N  1 1 1    1... -Phân bố xác suất của thời gian t q một yêu cầu nằm trong hàng đợi: P (tq  t ) t : thời gian cho trước  -Gọi qn  P N  n n  k  1 : xác suất để hệ thống có n yêu cầu; n  k  1 qn  P( N  n) P (n  k  1)  qn  Pn (n  k  1) 1  Pk (1   )  n 1 k -Gọi xác suất để 1 yêu cầu phải đợi trong hàng đợi 1 thời gian tq  t và điều kiện hệ thống đang có n yêu cầu ( 0  n  k  1 ): P (tq  t ; N