Nhóm Lie đại số Lie Nhóm Lie đại số Lie Bởi: Nguyễn Văn Hiệu Khi nghiên cứu nhóm SO(3) SU(2) thiết lập hệ thức giao hoán vi tử nhóm thấy vi tử tạo thành đại số Lie Bây mở rộng lý luận trình bày nghiên cứu nhóm SO(3) SU(2) cho trường hợp nhóm Lie G gồm phép biến đổi tuyến tính thỏa mãn điều kiện nhấy định không gian vectơ chứng minh vị tử nhóm tạo thành đại số Lie Trước hết ta giới thiệu khái niệm đại số Lie Đại số Lie Cho không gian vectơ V đường R số thức trường C số phức Ký hiệu yếu tố V X, Y, Z… yếu tố trường R C α,β,γ… Giả sử tập hợp V có quy tắc gọi phép nhân cho phép ta từ hai yếu tố X, Y V xác định yếu tố thứ ba V ký hiệu X ∙ Y gọi tích X Y, mà X ∙ ( αY) = ( αX) ∙ Y = α ∙ (XY), (X + Y) ∙ Z = X ∙ Z + Y ∙ Z, X ∙ (Y + Z) = X ∙ Y + X + Z (38) Không gian vectơ V với phép nhân hai yếu tố định nghĩa gọi đại số A Nếu phép nhân yếu tố đại số có tính chất kết hợp X ∙ (Y ∙ Z) = (X ∙ Y) ∙ Z đại số A gọi đại số kết hợp Một đại số A với phép nhân hai yếu tố {X,Y} → (X ∧ Y) thỏa mã điều kiện 1/5 Nhóm Lie đại số Lie (XY) = − (YX) (phản giao hoán) (39) (X ∧ (Y ∧ Z)) + (Y ∧ (Z ∧ X)) + (Z ∧ (X ∧ Y)) = (40) (đồng thức Jacobi) gọi đại số Lie Cho đại số kết hợp A với tích hai yếu tố X Y ký hiệu X ∙ Y Trên tập hợp A ta đưa định nghĩa khác phép nhân hai yếu tố {X,Y} → (X ∧ Y) ≡ [X,Y] = X ⋅ Y − Y ⋅ X (41) Với định nghĩa tích hai yếu tố đại số A trở thành đại số Lie L Thực vậy, dễ dàng thử lại định nghĩa (41) tích hai yếu tố thỏa mãn điều kiện (39) (40) Xem không gian vectơ đại số Lie có hệ vectơ sở Xi, i = 1, 2,…, s, mà yếu tố X L viết cách đơn giá dạng X = ∑si = αiXi (42) với hệ số αi trường số cho Xét hai yếu tố Xi Xjtùy ý hệ sở đại số Lie L tích (Xi ∧ Xj) chúng Vì (Xi ∧ Xj) yếu tố đại số L lại phải tổ hợp tuyến tính yếu tố hệ sơ, nghĩa phải có dạng (XiXj) = ∑si = γijkXk (43) Các hệ số γijk gọi số cấu trúc đại số Lie L Từ điều kiện (39) (40) suy số cấu trúc γijk thỏa mãn hệ thức sau đây: γjik = − γijk (44) γilmγikl + γjlmγkil + γklmγijl= (45) Cho hai đại số Lie L L’ với yếu tố ký hiệu X, Y, Z v.v X’, Y’, Z’ v.v Ta nói đại số Lie L đồng cấu với đại số Lie L’ có phép ánh xạ tuyến tính không gian vectơ L lên không gian vectơ L’, L → L’, có tính chất bảo toàn phép nhân đại số Lie, nghĩa từ 2/5 Nhóm Lie đại số Lie X → X ’, Y → Y ’ suy (X ∧ Y) → (X' ∧ Y') Nếu phép ánh xạ tuyến tính đại số Lie L lên đại số Lie L’ đơn giá theo hai chiều L↔L’ bảo toàn phép nhân đại số Lie, ta nói hai đại số lie L L’ đẳng cấp với Sau không phân biệt đại số Lie đẳng cấu Liên hệ nhóm Lie phép biến đổi đại số Lie Sau biết số khái niệm đại số Lie thiết lập mối liên hệ nhóm Lie phép biến đổi tuyến tính không gian vectơ đại số Lie tương ứng Trong không gian vectơ ta chọn hệ sở biểu diễn phép biến đổi T ma trận ký hiệu T đặt T = e - iX (46) Từ định nghĩa nhóm G suy điều kiện mà ma trận T phải thỏa mãn, từ điều kiện suy điều kiện mà ma trận X phải thỏa mãn Thí dụ G nhóm biến đổi trực giao không gian Euclide yếu tố phải ma trận trực giao O thỏa mãn điều kiện O T = O -1 ma trận X hệ thức O = e -iX phải ma trận phản giao hoán X T = -X Tương tự vậy, G nhóm biến đổi unita không gian phức yếu tố phải mà trận unita U thỏa mãn điều kiện U+=U- 3/5 Nhóm Lie đại số Lie ma trận X biểu thức U = e -iX phải ma trận tự liên hợp X+=X Ngoài ra, ma trận O U có định thức 1, nghĩa det O = det U = ma trận X phải có vết không, Tr X = Trong không gian vectơ ma trận X thỏa mãn điều kiện suy từ định nghĩa nhóm G cho ta chọn hệ sở gồm ma trận độc lập tuyến tính Xi, i = 1, 2, …, s, mà ma trận X xét biểu diễn dạng tổ hợp tuyến tính (42) ma trận Xi hệ sở với hệ số αi Ta xét trường hợp hệ số αi tham số thực Các ma trận X T tương ứng với tham số thực αi, i = 1, 2, …, s ký hiệu X( α1, α2,…, αs) T ( α1, α2,…, αs) Ta có X( α1, α2,…, αs) = ∑si = αiXi (42') theo công thức (46) T ( α1, α2,…, αs) = e − i∑i αiXi (47) Dễ thử lại i ∂ T(α1,α2, ,αs) ∣α = α = = α = 0= ∂ αi s Xi (48) Xi, i = 1, 2, …, s, vi tử nhóm biến đổi G xét Với giá trị vô bé tham số α1, α2,…, αsma trận T ( α1, α2,…, αs) gần ma trận đơn vị có dạng gần T ( α1, α2,…, αs) I - i∑j αjXi (49) 4/5 Nhóm Lie đại số Lie Cho hai ma trận T ( α1, α2,…, αs) T ( β1, β2,…, βs) hai yếu tố nhóm G thiết lập ma trận T ( α1, α2,…, αs) T ( β1, β2,…, βs) T ( α1, α2,…, αs)-1 T ( β1, β2,…, βs)-1 yếu tố nhóm G Bằng cách tính trực tiếp thử lại với tham số α1, ,αs β1, ,βs tất vô bé ta có biểu thức gần T ( α1, α2,…, αs) T ( β1, β2,…, βs) T ( α1, α2,…, αs)-1 T ( β1, β2,…, βs)-1I + (-i)2∑si,k = αjβi [Xj,Xk] (50) Vì ma trận yếu tố nhóm G gần ma trận đơn vị theo công thức (49) phải có dạng gần T ( α1, α2,…, αs) T ( β1, β2,…, βs) T ( α1, α2,…, αs)-1 T ( β1, β2,…, βs)-1 ≈ I − i∑sl = fl(α1,α1, ,αs;β1,β2, ,βs)Xl fl(α1,α1, ,αs;β1,β2, ,βs) hàm tham số α1, …, αs β1, …, βs triệt tiêu tham số α1, α2,…, αs β1, β2,…, βsđồng thời không Trong phép gần cấp thấp theo tham số vô bé α1, …, αs β1, …, βs ta viết biểu thức fl(α1,α1, ,αs;β1,β2, ,βs ) dạng tổng quát fl(α1,α1, ,αs;β1,β2, ,βs) ≈ − i∑sj,k = αjβkγjkl với hệ số không đổi γjkl, T ( α1, α2,…, αs) T ( β1, β2,…, βs) T ( α1, α2,…, αs)-1 T ( β1, β2,…, βs)-1 ≈ I − ∑sj,k,l = αjβkγjklXl (51) So sánh hai biểu thức vế phải hệ thức (50) (51), ta thu [Xj,Kk] = ∑sl = γiklXk (52) Công thức chứng tỏ vi tử Xi, i = 1, , …, s, nhóm biến đổi G tạo thành đại số Lie với định nghĩa tích hai yếu tố đại số giao hoán tử hai ma trận tương ứng 5/5 ... phân biệt đại số Lie đẳng cấu Liên hệ nhóm Lie phép biến đổi đại số Lie Sau biết số khái niệm đại số Lie thiết lập mối liên hệ nhóm Lie phép biến đổi tuyến tính không gian vectơ đại số Lie tương... đại số Lie X → X ’, Y → Y ’ suy (X ∧ Y) → (X' ∧ Y') Nếu phép ánh xạ tuyến tính đại số Lie L lên đại số Lie L’ đơn giá theo hai chiều L↔L’ bảo toàn phép nhân đại số Lie, ta nói hai đại số lie L... nói đại số Lie L đồng cấu với đại số Lie L’ có phép ánh xạ tuyến tính không gian vectơ L lên không gian vectơ L’, L → L’, có tính chất bảo toàn phép nhân đại số Lie, nghĩa từ 2/5 Nhóm Lie đại số