Các ví dụ nhóm Các ví dụ nhóm Bởi: Nguyễn Văn Hiệu Tập hợp R số thực tạo thành nhóm với phép nhân nhóm phép cộng thông thường: tổng x + y hai số thực x y xem tích hai yếu tố x y nhóm Ta biết phép cộng số thực có tính chất kết hợp Yếu tố đơn vị nhóm số Nghịch đảo yếu tố x yếu tố -x Vì phép cộng số thực có tính chất giao hoán nên R nhóm giao hoán Tương tự vậy, tập hợp Rn vectơ không gian vectơ thực n chiều tạo thành nhóm với phép nhân nhóm phép cộng vectơ: tổng x+y hai vectơ xem tích hay yếu tố x y, yếu tố đơn vị vectơ (tất thành phần không), nghịch đảo yếu tố x yếu tố -x Đây nhóm giao hoán Nhóm số nguyên nhóm nhóm số thực phép cộng Tập hợp R – {0} số thực khác không tập hợp C – {0} số phức khác không tạo thành nhóm phép nhân nhóm phép nhân thông thường có tính kết hợp Yếu tố đơn vị nhóm số Nghịch đảo x 1x Các nhóm nhóm giao hoán Nhóm số dương khác không nhóm nhóm số thực khác không phép nhân, nhóm số thực khác không nhóm nhóm số phức khác không phép nhân Tập hợp ma trận n x n có nghịch đảo tạo thành nhóm phép nhân ma trận Ta nhắc lại A B hai ma trận với yếu tố ma trận Aij Bij, i, j = 1, 2, …, n, AB ma trận với yếu tố ma trận (AB)ik = ∑nk = AikBkj ≡ AikBkj Phép nhân ma trận có tính chất kết hợp, nói chung không giao hoán Yếu tố đơn vị nhóm ma trận đơn vị I mà yếu tố ma trận Iij = δij Yếu tố nghịch đảo ma trận A ma trận nghịch đảo A − A − 1A = AA − = I 1/8 Các ví dụ nhóm Chú ý ma trận tích AB có nghịch đảo (AB) − = B − 1A − Tùy theo yếu tố ma trận số thực hay số phức mà nhóm ký hiệu GL(n, R) hay GL (n, C) Vì ma trận thay đổi liên tục nhóm nhóm liên tục Khi không cần rõ yếu tố ma trận số thực hay số phức ta viết GL(n) Nhóm GL (n, R) nhóm nhóm GL (n, C) Tập hợp ma trận n x n với định thức tạo thành nhóm phép nhân ma trận, A có định thức A-1 vậy, detA − = detA =1 A B có định thức tích AB vậy, det (AB) = (det A) (det B) = Tùy theo yếu tố ma trận số thực hay số phức mà ta ký hiệu nhóm SL (n, R) hay SL (n, C), không cần rõ số thực hay số phức ta ký hiệu SL (n) Nhóm SL (n) nhóm nhóm GL (n) Tập hợn ma trận trực giao n x n tạo thành nhóm phép nhân ma trận Ta nhắc lại ma trận chuyển vị AT ma trận A có yếu tố ma trận sau (AT)ij= Aij Từ định nghĩa suy (A B)T = BT AT Ma trận thực n x n, ký hiệu O, có tính chất OT O = O O T = I gọi ma trận trực giao Từ ta có (O-1)T = O = (O-1)-1, Nghĩa O-1 ma trận trực giao Dễ thử lại O1 O2 hai ma trận trực giao 2/8 Các ví dụ nhóm OT = O − 1, OT = O − 1 2 Thì tích O1O2 ma trận trực giao (O1O2)T = OT OT = O − O − = (O1O2)-1 2 Quả thật ma trận trực giao n x n tạo thành nhóm, ký hiệu O(n) Tương tự, ma trận trực giao n x n với định thức tạo thành nhóm ký hiệu SO(i) Tập hợp ma trận unita n x n tạo thành nhóm phép nhân ma trận Ta nhắc lại ma trận liên hợp hermitic A+ ma trận A có yếu tố ma trận sau (A+)ij = (Aji)*, nghĩa A + = (A T ) * Từ định nghĩa suy (A B) + = B + A + Ma trận phức n x n, ký hiệu U, có tính chất U+ U = UU+ = I nghĩa U+ =U-1 gọi ma trận unita Từ ta có (U-1)+ = U = (U-1)-1, Nghĩa U-1 mà trạn unita Dễ thử lại U1 U2 hai ma trận unita, U+=U ,U+=U −1 , −1 tích U1U2 ma trận unita, 3/8 Các ví dụ nhóm (U1U2)+ = U + U + = U U −1 −1 = (U1U2)-1 Quả thật ma trận unita n x n tạo thành nhóm, gọi nhóm U(n) Tương tự, ma trận unita n x n với định thức tạo thành nhóm, gọi nhóm SU(n) Nhóm SU(n) nhóm nhóm U(n) Tập hợp phép tịnh tiến không gian thực n chiều tạo thành nhóm phép nhân nhóm định nghĩa sau: thực liên tiếp hai phép tịnh tiến, ta phép tịnh tiến gọi tích chúng Ký hiệu Ta Tb hai phép tịnh tính không gian điểm r chuyển thành r + a r + b, Ta: r → r + a, Tb: r → r + b Thực liên tiếp hai phép tịnh tiến này, ta có Tb ∙Ta : r → r + a → r + b + a Hai phép tịnh tiến cho kết tương đương với phép tịnh tiến Tb+a Tb+a: r → r + b + a Vậy ta có T b+a = T b ∙ T a Yếu tố đơn vị nhóm T0=I Dễ thử lại T -a = (T a ) -1 Các nhóm tịnh tiến không gian thực n chiều tạo thành nhóm tịnh tiến T(n) Đó nhóm giao hoán Nhóm tịnh tiến đẳng cấu với nhóm vectơ không gian mà phép nhân nhóm phép cộng vectơ Tập hợp phép biến đổi tuyến tính không kỳ dị không gian vectơ n chiều tạo thành nhóm phép nhân nhóm định nghĩa sau: thực liên tiếp hai phép biến đổi tuyến tính không kỳ dị A đến B, ta kết tương đương với thực 4/8 Các ví dụ nhóm phép biến đổi tuyến tính không kỳ dị ký hiệu BA coi tích A B Xét hệ vectơ sở độc lập tuyến tính e1, e2, …, en không gian n chiều cho Biến đổi tuyến tính A chuyển vectơ thành vectơ e' , e' , , e' n Aei = e' i gọi không kỳ dị có biến đổi tuyến tính ký hiệu A-1 chuyển ngược lại vectơ e' thành ei, i A-1e' = ei i Định nghĩa tích hai phép biến đổi mà ta phát biểu vắn tắt cụ thể hóa sau Xét vectơ r không gian vectơ n chiều cho Phép biến đổi tuyến tính không kỳ dị A chuyển vectơ thành vectơ r’: ’ r→ A r = Ar Tiếp theo sau phép biến đổi A ta thực phép biến đổi tuyến tính không kỳ dị B Phép biến đổi chuyển thành vectơ r’ thành vectơ r’’ ’’ ’ r’ → B r = Br = B (Ar) Kết ta thu phép biến đổi tuyến tính chuyển vectơ r thành vectơ r’’ ký hiệu (BA): ’’ ’ r’ → AB r = Br = B (Ar) = (BAr) Ta coi biến đổi (BA) tích hai biến đổi A B ký hiệu BA Yếu tố đơn vị nhóm phép đồng I: Iei = ei Vì vectơ sở e1, e2, …, en độc lập tuyến tính tất vectơ e' có i thể biểu diễn dạng tổ hợp tuyến tính vectơ sở e'i = ej Aji Ma trận với yếu tố ma trận Aij hoàn toàn xác định phép biến đổi A Ae i = e j A ji 5/8 Các ví dụ nhóm Ta ký hiệu ma trận A Tương tự vậy, phép biến đổi B diễn tả ma trận B với yếu tố ma trận Bkj, Bej= ek Bkj Tác dụng liên tiếp hai phép biến đổi A B, ta có B Ae i = B (e j A ji ) = (Be j ) A ji = e k B kj A ji = e k (B A) ki Vậy biến đổi tích B A có ma trận tích hai ma trận hai phép biến đổi B A Biến đổi đồng có ma trận ma trận đơn vị Biến đổi nghịch đảo có ma trận ma trận nghịch đảo Vậy nhóm biến đổi tuyến tính không kỳ dị không gian vectơ n chiều đẳng cấu với nhóm GL(n) ma trận n x n có nghịch đảo mà ta xét Ta gọi nhóm GL (n) Tập hợp phép quay không gian Euclide thực n chiều quanh gốc tọa độ tạo thành nhóm phép nhân nhóm định nghĩa sau: thực hai phép quay liên tiếp ta phép quay thứ ba tích chúng Phép biến đổi đồng (không quay tí cả) yếu tố đơn vị Phép quay ngược lại yếu tố nghịch đảo Ta nhắc lại không gian Euclide thực n chiều ta chọn hệ vectơ đơn vị sở e1, e2, …, en trực giao chuẩn hóa, nghĩa thỏa mãn điều kiện (ei, ej) = δij, i, j = 1, 2, …, n Trong phép quay O vectơ chuyển thành e' , e' , , e' trực giao chuẩn hóa n (e' , e' ) = δij Thay vào biểu thức viết biểu diễn e'i qua ej dùng tính chất trực giao chuẩn hóa vectơ ei , ta thu hệ thức Oki Okj = δij Vậy ma trận O với yếu tố ma trận Oij thỏa mãn điều kiện OT O = I Nhân từ bên phải hai vế với O-1, ta có OT = O-1 6/8 Các ví dụ nhóm nghĩa ma trận phép quay phải ma trận trực giao Từ điều kiện ma trận trực giao suy det OT ∙ det O = (det O)2 = nghĩa det O = ± Vì mà trận phép biến đổi đồng có định thức bẳng +1, mà phép quay lại phép biến đổi liên tục, định thức nhảy từ +1 sang -1 Vậy ta phải có det O = Tóm lại, nhóm phép quay không gian Eucide thực n chiều đẳng cấu với nhóm SO(n) Ta gọi nhóm quay nhóm SO(n) Trong không gian Euclide phức n chiều với tích vô hướng xác định dương có tính chất sau (b, a1 + a2) = (b, a1) + (b, a2) (b1 + b2, a) = (b1, a) + (b2, a) (b, a) = (a, b)*, (b, λa) = λ(b, a) với số phức λ ( λb, a) = λ* (b, a) tập hợp phép biến đổi tuyến tính từ u bảo toàn tích vô hướng hai vectơ (ua, ub) = (a, b) Tạo thành nhóm phép nhân hai phép biến đổi định nghĩa thực liên tiếp hai phép biến đổi Trong không gian vectơ xét ta chọn hệ vectơ đơn vị sở trực giao chuẩn hóa e1, e2, …, en, 7/8 Các ví dụ nhóm (ei, ej) = δij, i, j = 1, 2, …, n Phép biến đổi từ U chuyển vectơ thành vectơ đơn vị e' , e' , , e' n e' = Uei= ejuji i Vì biến đổi U bảo toàn tính vô hướng (e ' e ' ) = ( U ei , U ej )= (e k , e i ) U U ij = U U kj = U + u kj = δ ij i j ki ki ik Trong U + ma trận liên hợp hermitic U Do ta có hệ thức U +U = I U + = U -1 Ma trận phép biến đổi U bảo toàn tích vô hướng không gian Euclide phức n chiều ma trận unita n x n Vậy nhóm phép biến đổi tuyến tính bảo toàn tích vô hướng không gian Euclide phức n chiều đẳng cấu với nhóm U (n) Ta gọi nhosmm U (n) Nếu ta đặt thêm điều kiện định thức phép biến đổi phải ta có nhóm SU(n) 8/8 ... Các ví dụ nhóm (U1U2)+ = U + U + = U U −1 −1 = (U1U2)-1 Quả thật ma trận unita n x n tạo thành nhóm, gọi nhóm U(n) Tương tự, ma trận unita n x n với định thức tạo thành nhóm, gọi nhóm SU(n) Nhóm. . .Các ví dụ nhóm Chú ý ma trận tích AB có nghịch đảo (AB) − = B − 1A − Tùy theo yếu tố ma trận số thực hay số phức mà nhóm ký hiệu GL(n, R) hay GL (n, C) Vì ma trận thay đổi liên tục nhóm nhóm... T a Yếu tố đơn vị nhóm T0=I Dễ thử lại T -a = (T a ) -1 Các nhóm tịnh tiến không gian thực n chiều tạo thành nhóm tịnh tiến T(n) Đó nhóm giao hoán Nhóm tịnh tiến đẳng cấu với nhóm vectơ không