Tổng hợp các bài toán hay về sắp xếp người và đồ vật chỉnh hợp tổ hợp hoán vị chương II đại số và giải tích 11 (có lời giải kèm theo), hữu ích cho học sinh lớp 11 và ôn thi đại học, cao đẳng chuyên đề xác suất tổ hợp.
Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG www.Moon.vn CÁC BÀI TOÁN CHỌN VÀ SẮP XẾP NGƯỜI, ĐỒ VẬT Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] Ví dụ [ĐVH]: Một học sinh có 12 sách đôi khác nhau, có sách Toán, sách Văn sách Anh Hỏi có cách xếp tất sách lên kể sách dài, sách môn xếp kề nhau? Đ/s: 207360 cách Lời giải: Hoán vị sách Toán với có 2! cách Hoán vị sách Văn với có 4! cách Hoán vị sách Anh với có 6! cách Hoán vị nhóm sách môn có 3! cách Vậy số cách xếp tất sách 2!.4!.6!.3! = 207360 Ví dụ [ĐVH]: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A học sinh trường B vào bàn nói Hỏi có cách xếp trường hợp sau: a) Bất học sinh ngồi cạnh đối diện khác trường với b) Bất học sinh ngồi đối diện khác trường với Đ/s: a) 1036800 cách b) 33177600 cách Lời giải: a) Xếp chỗ ngồi cho nhóm học sinh có cách xếp Trong nhóm học sinh trường A, có 6! cách xếp học sinh vào chỗ ngồi Trong nhóm học sinh trường B, có 6! cách xếp học sinh vào chỗ ngồi Vậy có 2.6!.6! = 1036800 cách xếp b) Học sinh thứ trường A có 12 cách chọn ghế Chọn học sinh trường B ngồi đối diện học sinh thứ trường A có cách Chọn học sinh thức hai trường A có 10 cách chọn ghế Chọn học sinh trường B ngồi đối diện học sinh thức hai trường A có cách Chọn học sinh thức ba trường A có cách chọn ghế Chọn học sinh trường B ngồi đối diện học sinh thức ba trường A có cách Chọn học sinh thức tư trường A có cách chọn ghế Chọn học sinh trường B ngồi đối diện học sinh thức tư trường A có cách Chọn học sinh thức năm trường A có cách chọn ghế Chọn học sinh trường B ngồi đối diện học sinh thức năm trường A có cách Chọn học sinh thức sáu trường A có cách chọn ghế Chọn học sinh trường B ngồi đối diện học sinh thức sáu trường A có cách Vậy có 12.6.10.5.8.4.6.3.4.2.2.1 = 33177600 cách xếp Ví dụ [ĐVH]: Xếp viên bi đỏ có bán kính khác viên bi xanh giống vào dãy ô trống Hỏi: a) Có cách xếp khác nhau? b) Có cách xếp khác cho viên bi đỏ xếp cạnh viên bi xanh xếp cạnh nhau? Đ/s: a) 840 cách b) 36 cách Lời giải: a) Xếp viên bi đỏ có bán kính khác vào ô trống có A73 cách Xếp viên bi xanh giống vào ô lại có C43 Vậy có A73 C43 = 840 cách xếp b) Xem viên bi đỏ bộ, viên bi xanh bộ, ô trống lại ⇒ có 3! cách xếp Mà viên bi đỏ có bán kính khác nên hoán bị viên bi đỏ có 3! Tham gia trọn vẹn khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG www.Moon.vn Vậy có 3!.3! = 36 cách xếp Ví dụ [ĐVH]: Một nhóm gồm 10 học sinh, có nam nữ Hỏi có cách xếp 10 học sinh thành hàng dài cho học sinh nam phải đứng liền nhau? Đ/s: 120960 cách Lời giải: Xem nam bộ, hoán vị nữ học sinh nam có 4! cách Hoán vị nam có 7! cách Vậy có 4!.7! = 120960 cách xếp Ví dụ [ĐVH]: Có học sinh nam học sinh nữ xếp thành hàng dọc Hỏi có cách xếp để có học sinh nam đứng xen kẽ học sinh nữ (Khi đổi chỗ học sinh cho ta cách xếp mới) Đ/s: 21600 cách Lời giải: Đánh số từ đến Để có học sinh nam đứng xen kẽ học sinh nữ học sinh nữ đứng cách tức học sinh nữ đứng vị trí (1,3,5 ) ; ( 2, 4, ) ; ( 3,5, ) ; ( 4, 6,8) ; ( 5, 7,9 ) Có cặp ba vị trí học sinh nữ suy cách xếp bạn nữ vào cặp vị trí bạn nữ 3! Cách xếp sáu bạn nam vào sáu vị trí lại 6! Vậy số cách xếp thỏa mãn 5.3!.6! = 21600 Ví dụ [ĐVH]: Một thầy giáo có 12 sách đôi mọt khác có sách Văn, sách Nhạc sách Hoạ Ông muốn lấy tặng cho học sinh A, B, C, D, E, F em a) Giả sử thầy giáo muốn tặng cho học sinh sách thuộc thể loại Văn Nhạc Hỏi có cách tặng? b) Giả sử thầy giáo muốn sau tặng sách xong, ba loại sách lại Hỏi có cách chọn? Đ/s: a) 60480 cách b) 579600 cách Lời giải: a) Số cách tặng số sách chọn sách từ có kể thứ tự, suy số cách tặng A96 = 60480 cách b) Tổng sách vượt cuốn, nên chọn cho hết loại sách Số cách chọn sách từ 12 A126 = 665280 Số cách chọn cho không sách Văn A65 = 5040 Số cách chọn cho không sách Nhạc A64 A82 = 20160 Số cách chọn cho không sách Họa A63 A93 = 60480 Số cách chọn cần tìm 665280 − 85680 = 579600 Ví dụ [ĐVH]: Một lớp có 18 nam 12 nữ Có cách chọn bạn làm ban cán lớp cho: a) Mọi người vui vẻ tham gia b) Bạn A B làm việc chung với c) Bạn C D từ chối tham gia Đ/s: a) 142506 cách b) 1139230 cách c) 98280 cách Lời giải: a) Chọn bạn làm ban cán lớp người vui vẻ tham gia có C305 = 142506 Tham gia trọn vẹn khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG www.Moon.vn b) Khi có bạn A, B làm việc chung với ta có C28 + 2.C294 = 145782 c) Khi C, D từ chối 28 người, số cách chọn C28 = 98280 Ví dụ [ĐVH]: Có nam nữ ngồi vào hai dãy ghế đối diện nhau, dãy có ghế Hỏi: a) Có cách xếp cho hai người đối diện khác phái? b) Có cách xếp mà nam nữ ngồi xen kẽ đối diện? Đ/s: a) 46080 cách b) 28800 cách Lời giải: a) Có 5! = 120 cách chia nam, nữ thành cặp nam – nữ Có 5! = 120 cách chọn cặp ghế đối diện cho cặp nam – nữ Có cách xếp cặp nam nữ vào cặp ghế chọn ⇒ Có 120.120.25 = 46080 cách b) Để nam nữ ngồi xen kẽ nam ngồi vào vị trí chẵn nữ ngồi vào vị trí lẻ mà người đối diện xen kẽ đổi chỗ cho nên có 2.5!.5! = 28800 Ví dụ [ĐVH]: Cần xếp nam nữ vào hàng ghế có chỗ ngồi cho nam ngồi kề nữ ngồi kề Hỏi có cách Đ/s: 72 cách Lời giải: Ta coi nam nữ ngồi nhóm a b Số cách xếp nhóm a 3! = nhóm b 2! = cách Trong chỗ ngồi gồm nam nữ nên số ghế trống 2, ta coi nam nữ ngồi cạnh nhóm riêng biệt số chỗ ngồi mặc định 4, từ số cách xếp nhóm a b vào chỗ ngồi C42 = cách Vậy số cách 3!.2! C 24 = 72 Ví dụ 10 [ĐVH]: Người ta xếp ngẫu nhiên phiếu từ đến cạnh a) Có cách xếp để phiếu số chẵn cạnh b) Có cách xếp để phiếu phân thành nhóm chẵn lẻ riêng biệt Đ/s: a) 48 cách b) 24 cách Lời giải: a) Coi phiếu chẵn cạnh phiếu : 24 42 ⇒ có cách chọn Khi coi phiếu chẵn cạnh phiếu từ phiếu cần xếp ta có phiếu để xếp nên số cách phiếu 4! = 24 Vậy nên số cách xếp 2.4! = 48 b) Coi phiếu chẵn cạnh (số 2,4) phiếu a phiếu lẻ cạnh (1,3,5) phiếu b Số cách tạo phiếu a 2! = Số cách tạo phiếu b 3! = Tham gia trọn vẹn khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG www.Moon.vn Khi ta coi từ việc xếp phiếu ta phải xếp phiếu a b nên số cách xếp 2! = Vậy số cách xếp 2!.3!.2! = 24 cách Ví dụ 11 [ĐVH]: Một lớp có 10 học sinh nam 10 học sinh nữ Cần chọn học sinh để làm công tác “Mùa hè xanh” Hỏi có cách chọn học sinh phải có nhất: a) Hai học sinh nữ hai học sinh nam b) Một học sinh nữ học sinh nam Đ/s: a) 10800 cách b) 15000 cách Lời giải: a) Các trường hợp xảy nữ nam nữ nam nên số cách chọn : C102 C103 + C103 C102 = 10800 b) Các trường hợp xảy là: nữ nam, nữ nam, nữ nam,4 nữ nam nên số cách chọn : C101 C104 + C102 C103 + C103 C102 + C104 C101 = 15000 Ví dụ 12 [ĐVH]: Trong môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) số câu hỏi dễ không Đ/s: 56875 đề Lời giải: Ta có đề có năm phải có đủ loại câu hỏi (khó , dễ, trung bình) nên đề với loại câu hỏi số câu tối đa mà số câu dễ không nên số câu dễ hoặc Trường hợp 1: Nếu số câu dễ số câu khó trung bình phải nên số cách đề C51 C101 C153 = 22750 Trường hợp : Nếu số câu dễ có khả xảy Hoặc số câu trung bình = số câu khó = số câu trung bình số câu khó nên số cách đề C152 (C102 C51 + C101 C52 ) = 34125 Như tổng số cách đề 22750 + 34125 = 56875 Ví dụ 13 [ĐVH]: Đội niên xung kích trường phổ thông có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ cho học sinh thuộc không lớp Hỏi có cách chọn vậy? Đ/s: 225 cách Lời giải: Số cách chọn học sinh từ 12 học sinh cho Số cách chọn học sinh mà lớp có em tính sau : Lớp A có học sinh, lớp B,C lớp có học sinh Số cách chọn Lớp B có học sinh, lớp A,C lớp có học sinh Số cách chọn Lớp C có học sinh, lớp A,B lớp có học sinh Số cách chọn theo quy tắc cộng có 120 + 90 + 60 = 270 cách chọn mà lớp có it học sinh theo đề số cách chọn : 495 − 270 = 225 cách chọn Ví dụ 14 [ĐVH]: Từ nhóm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, học sinh khối C, chọn 15 học sinh cho có học sinh khối A học sinh khối C Tính số cách chọn Tham gia trọn vẹn khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG www.Moon.vn Đ/s: 51836470 cách Lời giải: 13 Chọn 15 học sinh có học sinh khối C có: C52 C25 Ta xét khả chọn học sinh khối A sau: Chọn học sinh khối C, 10 học sinh khối B học sinh khối A có: C52 C1010 C153 Chọn học sinh khối C, học sinh khối B học sinh khối A có: C52 C109 C154 13 − C52 C1010 C153 − C52 C109 C154 = 51861950 Vậy có tổng cộng C52 C25 Ví dụ 15 [ĐVH]: Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng viên bi vàng Người ta chọn viên bi từ hộp Hỏi có cách chọn để số bi lấy đủ màu? Đ/s: 645 cách Lời giải: Số cách chọn viên bi 15 viên bi là: C15 Số cách chọn viên bi 15 viên bi có đủ màu là: TH1: viên bi đỏ, viên bi trắng viên bi vàng có: C42 C51.C61 = 180 cách TH2: viên bi đỏ, viên bi trắng viên bi vàng có: C41 C52 C61 = 240 cách TH3: viên bi đó, viên bi trắng viên bi vàng có: C41 C51.C62 = 300 cách Vậy có C154 − 180 − 240 − 300 = 645 cách Ví dụ 16 [ĐVH]: Có hai chuồng gà, chuồng nhốt gà trống gà mái, chuồng nhốt gà trống gà mái Hỏi có cách bắt lần gà từ hai chuồng cho, có hai gà trống gà mái? Đ/s: 42 cách Lời giải: TH1: Chuồng chọn chuồng 1: Số cách gà chuồng có hai gà trống gà mái là: C32 C41 = 12 Th2: Chuồng chọn chuồng 2: Số cách gà chuồng có hai gà trống gà mái là: C42 C51 = 30 Vậy theo quy tắc cộng có: 12 + 30 = 42 cách chọn Ví dụ 17 [ĐVH]: Một nhóm công nhân gồm 15 nam nữ Người ta muốn chọn từ nhóm người để lập thành tổ công tác cho phải có tổ trưởng nam, tổ phó nam có nữ Hỏi có cách lập tổ công tác Đ/s: 111300 cách Lời giải: Số cách chọn người để lập tổ công tác có tổ trưởng nam, tổ phó nam nữ là: C151 C141 C133 = 60060 Số cách chọn người để lập đội công tác có tổ trưởng nam, tổ phó nam là: C151 C141 C183 = 171360 Vậy số cách thoã mãn toán là: 171360 − 60060 = 111300 cách Tham gia trọn vẹn khóa Luyện thi môn Toán MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015