TNH TON TIN CY CA KT CU KHUNG PHNG THEO Lí THUYT TP M ASSESSING THE RELIABILITY OF THE PLANE FRAME USING THE FUZZY SET THEORY NGUYN èNH XN i hc Nng TểM TT Ngy nay, s phỏt trin mnh m ca khoa hc k thut ó mang li nhng thnh tu to ln nhiu lnh vc chuyờn mụn khỏc nhau, ú b mụn khoa hc v ỏnh giỏ tin cy ca cỏc sn phm núi chung v ca kt cu cụng trỡnh xõy dng núi riờng cng cú nhng bc tin ỏng k Trờn c s m rng mụ hỡnh tớnh toỏn tin cy ca kt cu t cỏc phng phỏp kinh in, chỳng ta cú th nõng cao hiu qu tớnh toỏn ca lnh vc ny hon chnh v thuyt phc hn theo mụ hỡnh toỏn hc hin i: Lý thuyt m Trong bi vit ny, tỏc gi trỡnh by cỏc khỏi nim, nhng kin thc c s v mụ hỡnh toỏn hc trờn chuyờn ngnh xõy dng; ỏp dng thc t vo bi toỏn ỏnh giỏ tin cy cho mt kt cu khung phng ABSTRACT This study proposes an engineering approach to estimate the distribution of the structure fuzzy stress by fuzzy linear regression analysis, which is applied to a typical plane frame The approach can also be used in the fuzzy reliability analysis of the structure The proposed approach can assess not only the randomness of the structure parameters but also the fuzziness of the structure parameters It also solves the problem where the structure stress is difficult to be expressed in a mathematical formular The analysis results show that the proposed approach has wide-ranging potential values mở ĐầU Hầu hết toán liên quan đến hoạt động nhận thức, trí tuệ người hàm chứa đại lượng, thông tin mà chất không chắn, không xác, không đầy đủ Chẳng hạn, lĩnh vực dự báo thời tiết, việc xây dựng mô hình toán học dựa vào thu thập thông tin, liệu hoàn toàn không khả thi người có thông tin đầy đủ xác cho hoạt động chọn định Để giải vấn đề trên, năm 1965, giáo sư Lofti A Zadeh trường Đại học California đưa khái niệm logic mờ (Fuzzy Logic) lý thuyết tập mờ (Fuzzy Set Theory) đặt móng cho việc xây dựng hàng loạt lý thuyết quan trọng khác dựa sở lý thuyết tập mờ logic mờ Khác hẳn với phép toán học kinh điển hoàn toàn dựa vào xác tuyệt đối thông tin, lý thuyết tập mờ ứng dụng phép toán mờ để xử lý thông tin không xác hay không đầy đủ, lý thuyết tập mờ cho công cụ toán học xác để mô tả xử lý thông tin không xác, mang tính nhập nhằng, mờ sở lý thuyết 2.1 Tập mờ Hàm lệ thuộc Tập mờ, tên gọi hàm ý, tập hợp khái niệm mức độ, tập hợp mà việc khoảng ước lượng (matter of degree) mang tính uyển chuyển (elasticity) Tập mờ mở rộng từ tập hợp kinh điển Tập hợp kinh điển có ranh giới rõ ràng, biểu thị hàm thị: IA(x) = x A (2.1) x A Ví dụ, A tập hợp người có chiều cao 1,75 mét tập hợp kinh điển Mỗi người (phần tử) có hai khả rõ ràng: thuộc không thuộc tập hợp A Tuy nhiên ta xét tập A gồm người cao, trường hợp ranh giới rõ ràng để khẳng định người có phần tử A hay không Ranh giới mờ ta nói người thuộc tập hợp A mức độ đó, diễn đạt thể hàm thuộc có giá trị khoảng từ đến Ta định nghĩa tập mờ sau: ~ Tập mờ A xác định tập kinh điển X tập mà phần tử cặp giá trị (x, A~ (x)), x X A~ ánh xạ [1, 2, 3]: A~ : X [0,1] (2.2) ~ ánh xạ A~ gọi hàm lệ thuộc với A~ (x) h[0,1] tập mờ A x phần tử miền xác định (tập hay vũ trụ) X Người ta biểu diễn tập mờ A định nghĩa tập X (hay vũ trụ U ) tập hợp tất cặp phần tử mức độ thuộc sau: ~ A = {(x, àA(x))| x X } (2.3) 2.2 tổng quát phương pháp tính toán Đặc điểm việc giải toán mờ (trong trường hợp tính toán độ tin cậy mờ) xác định hàm lệ thuộc xác định tập X nhận giá trị khoảng [0, 1] Vấn đề làm để xác định hàm lệ thuộc? để từ làm cho toán phân tích độ tin cậy mờ kết cấu Đối với toán đánh giá độ tin cậy kết cấu, ta sử dụng Phương pháp hồi qui tuyến tính mờ (Fuzzy linear regression), phần lớn trường hợp, phối hợp với Phương pháp phần tử hữu hạn để xác định giá trị trung bình, sai số hệ số hồi qui mờ (bằng thuật toán hồi qui tuyến tính tổng bình phương bé mờ (Fuzzy Least-Square Linear Regression)) đây, Phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng công cụ thực nghiệm số học để thu hàng loạt giá trị ứng suất kết cấu ta thay đổi giá trị tham số tính toán biên độ sai số quanh giá trị trung bình Khi phương pháp hồi qui tuyến tính mờ, ta thu hàm hồi qui mờ ứng suất kết cấu Các hệ số hồi qui hàm hồi qui thu ứng suất kết cấu phần tử mờ tam giác, ứng suất kết cấu phần tử mờ tam giác phần tử liên quan cho giá trị trung bình (giá trị trung tâm) Tương tự mô hình giao thoa ứng suất cường độ theo lý thuyết tính toán độ tin cậy kinh điển, trường hợp này, ta xét mô hình giao thoa ứng suất mờ cường độ ngẫu nhiên [6] Sử dụng phân phối chuẩn để tính gần phân phối xác suất cường độ vật liệu, ứng suất kết cấu theo phân phối tam giác, từ ta tính độ tin cậy ngẫu nhiên mờ kết cấu ứng suất àS(x) f(x) àS(x) Cường độ f(x) x Hình 2.1 Mô hình giao thoa ứng suất mờ - cường độ ngẫu nhiên 2.3 Hồi qui tuyến tính mờ Trong toán đánh giá độ tin cậy kết cấu, mà cụ thể tính không chắn tồn biến hiệu (biến đáp ứng (response variable) hay biến giải thích) biến hàm biến ngẫu nhiên khác, dạng tường minh không tường minh Vì biến ngẫu nhiên nên chúng có mối quan hệ tự nhiên xác suất, vậy, ta sử dụng thuật toán thống kê Phân tích hồi qui để nghiên cứu lập mô hình cho mối quan hệ xác suất Thông thường, toán phân tích độ tin cậy kết cấu, biến đáp ứng phụ thuộc vào nhiều tham số ngẫu nhiên, phép hồi qui tuyến tính bội thường sử dụng trường hợp Đây mối quan hệ toán học phức tạp, khó phân tích định tính dạng quan hệ Trong phương pháp hồi qui thông thường, sai lệch giá trị quan sát ước lượng liên quan đến không xác (imprecision) không rõ ràng (vagueness) cấu trúc hệ thống Theo Tanaka, sai lệch giá trị thực giá trị tính toán phụ thuộc vào tính mờ cấu trúc hệ thống, hay nói cách khác, tính mờ tham số hệ thống Nó phản ánh mô hình hồi qui tuyến tính mờ mà hệ số hồi qui hàm hồi qui phần tử mờ Việc mô hình hệ tuyến tính mờ biểu đạt phân tích hồi qui tuyến tính mờ Mô hình sau thể phụ thuộc biến đầu (output variable) từ biến đầu vào (input variables) [4, 5] %) A %x A %x A %x (2.4) Y% f ( x, A 1 2 n n ~ đó, Y đầu mờ, x =[x1, x2, , xn]T vectơ đầu vào xác định giá trị % A %, A % % tập hợp số mờ Trong viết này, tập hợp thực, A , , An điểm liệu tỏ cho loạt giá trị ứng suất giá trị yếu tố liên quan thu từ phương pháp phần tử hữu hạn xem mẫu liệu, mẫu liệu sử dụng để thiết lập hàm hồi qui ứng suất mờ phần tử liên quan X = [x1, x2, , xn ] phương pháp hồi qui tuyến tính mờ Khi mối quan hệ biến phụ thuộc Y biến độc lập X tuyến tính phức hợp, sử dụng phương pháp phân tích hồi qui tuyến tính bội để giải toán Khi sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn việc thay đổi giá trị tham số liên quan sai số quanh giá trị trung bình, ta thu hàng loạt giá trị ứng suất khác nhau, giá trị xem mẫu liệu sử dụng để thiết lập hàm hồi qui ứng suất mờ phần tử liên quan X = [x1, x2, , xn ] phương pháp hồi qui tuyến tính mờ Giả sử, tập hợp gồm n biến giải thích (các tham số liên quan đến ứng suất kết cấu) thể sau [6]: U = [ u1, u2, , un, un+1, , u2n] = [ x1, x2, , xn, x12, x22, , xn2 ] (2.5) Theo phương pháp hồi qui tuyến tính mờ, ta xác lập phương trình hồi qui dạng: y = A1u1 + A2u2 + + A2nu2n (2.6) Trong đó, hệ số hồi qui Aj số mờ Một cách tổng quát, Aj xác định phần tử mờ tam giác A(a,c), hàm lệ thuộc xác định sau: 1- àA(z) = Trong đó: za , c 0, a-c z a+c (2.7) trường hợp khác a giá trị trung tâm hệ số hồi qui mờ A, c (c > ) độ rộng hay sai số A Hình 2.2 Như vậy, vấn đề phải tìm tham số mờ Aj (j = 1, ,2n), nghĩa xác định cặp tham số mờ (aj, cj) Hàm tuyến tính mờ phù hợp liệu cho hàm mà tổng sai số (hay độ rộng) ci bé Các ma trận X Y sử dụng từ liệu quan sát để xác định giá trị ước lượng a hệ số phương trình hồi qui phương pháp Hồi qui tuyến tính bình phương bé mờ, ta có: (2.8) a [u T u]1[u T y] Trong đó: u ma trận biến số, cỡ Nx2n y ma trận ứng suất, cỡ Nx1 Ma trận c xác định từ điều kiện: tổng sai số ci bé nhất: N J = c T ui (2.9) i aT.ui - (1 - H) cT|ui| yi aT.ui + (1 - H) cT|ui| yi với tất liệu i = 1, , N đó: a ma trận hệ số, cỡ 2nx1 H gọi mức mờ có giá trị khoảng [0, 1] Thoả mãn: (2.10) 2.4 Tính toán độ tin cậy Từ mô hình giao thoa ứng suất mờ sức bền ngẫu nhiên ứng suất mô biến mờ với hàm lệ thuộc S~ ( x) , sức bền mô biến ngẫu nhiên với hàm phân phối f(x) Miền giao hai đường cong thể hư hỏng xảy ~ ~ sức bền nhỏ ứng suất S Kết cấu xảy hư hỏng < S , biến cố mờ, theo định nghĩa xác suất mờ Lofti A Zadeh, xác suất hư hỏng kết cấu tính toán hàm biểu diễn sau [7]: ~ (2.11) F S~ ( x) f ( x)dx ~ ~ Và độ tin cậy mờ xác định: R F S~ ( x) f ( x)dx (2.12) Trong phân tích hồi qui tuyến tính mờ, ứng suất kết cấu phần tử tam giác, ta thu hàm lệ thuộc ứng suất mờ: S~ ( x ) = 1- xm , n m-n x m+n (2.13) 0, trường hợp khác ~ ~ m giá trị trung tâm ứng suất mờ S n sai số S Khi phân phối sức bền theo qui luật phân phối chuẩn, hàm mật độ xác suất xác định sau: f S ( x) 1x exp (2.14) giá trị trung bình sức bền độ lệch chuẩn ứng dụng tính toán Đánh giá độ tin cậy cho hệ khung thép, tiết diện tròn, đường kính d = 0,12 mét; chiều cao h = mét; độ l = mét; chịu tải trọng tác dụng phân bố q = 25 kN/m trọng lượng thân hệ với trọng lượng riêng vật liệu thép w = 78,50 kN/m3 Sơ đồ hệ khung thể Hình (3.1) sau: q = 25 kN/m C D d d d A d = 12 cm h B Hình 3.1 Sơ đồ tính toán l Từ toán đặt ra, ta xác định tham số mờ ảnh hưởng đến ứng suất kết cấu gồm: tải trọng q kích thước hình học chiều dài l, chiều cao h, đường kính d Để thực phép phân tích hồi qui tuyến tính mờ, ta cần xây dựng liệt tham số mờ việc thay đổi giá trị ảnh hưởng biên độ khả dĩ, ta chọn biên độ thay đổi 5% so với giá trị trung bình thu ma trận biến số ứng dụng biểu thức (2.5): U = [ u1, u2, , un, un+1, , u2n] = [ x1, x2, , xn, x12, x22, , xn2 ] Ta có: = [ l, h, d, q, l2, h2, d2, q2 ] (3.1) Từ biểu thức (3.1), với thay đổi xen kẻ giá trị tham số mờ (l, h, d, q) biên độ 5% ta ma trận biến số có kích cỡ N x 2n Với: n số lượng biến ngẫu nhiên mờ N tổng phép thực thay đổi tham số Để xác định hàng loạt giá trị ứng suất, ta sử dụng Phương pháp phần tử hữu hạn với phần mềm SAP 2000 để xác định momen uốn MI ứng suất I tương ứng tiết diện nguy hiểm Ma trận biến số Ma trận ứng suất xác định từ pp PTHH (Bảng 3.1) sau: Ma trận biến số Ma trận ứ.s l h d q l2 h2 d2 q2 M 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 2,85 2,85 2,85 2,85 2,85 11,4 11,4 11,4 12,0 12,0 23,75 25,00 26,25 23,75 25,00 14,44 14,44 14,44 14,44 14,44 8,12 8,12 8,12 8,12 8,12 129,96 129,96 129,96 144,00 144,00 564,06 625,00 689,06 564,06 625,00 22.848 24.011 25174 22.930 24.094 157,08 165,08 173,08 135,16 142,02 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 2,85 2,85 2,85 2,85 3,00 3,00 3,00 3,00 3,00 3,00 12,0 12,6 12,6 12,6 11,4 11,4 11,4 12,0 12,0 12,0 26,25 23,75 25,00 26,25 23,75 25,00 26,25 23,75 25,00 26,25 14,44 14,44 14,44 14,44 14,44 14,44 14,44 14,44 14,44 14,44 8,12 8,12 8,12 8,12 9,00 9,00 9,00 9,00 9,00 9,00 144,00 158,76 158,76 158,76 129,96 129,96 129,96 144,00 144,00 144,00 689,06 564,06 625,00 689,06 564,06 625,00 689,06 564,06 625,00 689,06 25.257 23.017 24.181 25.344 23.150 24.329 25.507 23.234 24.412 25.591 148,88 117,20 123,13 129,05 159,16 167,27 175,37 136,95 143,90 150,85 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 3,8 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,2 4,2 4,2 4,2 4,2 4,2 4,2 3,00 3,00 3,00 3,15 3,15 3,15 3,15 3,15 3,15 3,15 3,15 3,15 2,85 2,85 2,85 2,85 2,85 2,85 2,85 2,85 3,15 3,15 3,15 3,15 3,15 3,15 3,15 12,6 12,6 12,6 11,4 11,4 11,4 12,0 12,0 12,0 12,6 12,6 12,6 11,4 11,4 11,4 12,0 12,0 12,0 12,6 12,6 11,4 12,0 12,0 12,0 12,6 12,6 12,6 23,75 25,00 26,25 23,75 25,00 26,25 23,75 25,00 26,25 23,75 25,00 26,25 23,75 25,00 26,25 23,75 25,00 26,25 23,75 25,00 26,25 23,75 25,00 26,25 23,75 25,00 26,25 14,44 14,44 14,44 14,44 14,44 14,44 14,44 14,44 14,44 14,44 14,44 14,44 16,00 16,00 16,00 16,00 16,00 16,00 16,00 16,00 17,64 17,64 17,64 17,64 17,64 17,64 17,64 9,00 9,00 9,00 9,92 9,92 9,92 9,92 9,92 9,92 9,92 9,92 9,92 8,12 8,12 8,12 8,12 8,12 8,12 8,12 8,12 9,92 9,92 9,92 9,92 9,92 9,92 9,92 158,76 158,76 158,76 129,96 129,96 129,96 144,00 144,00 144,00 158,76 158,76 158,76 129,96 129,96 129,96 144,00 144,00 144,00 158,76 158,76 129,96 144,00 144,00 144,00 158,76 158,76 158,76 564,06 625,00 689,06 564,06 625,00 689,06 564,06 625,00 689,06 564,06 625,00 689,06 564,06 625,00 689,06 564,06 625,00 689,06 564,06 625,00 689,06 564,06 625,00 689,06 564,06 625,00 689,06 23.321 24.500 25.679 23.444 24.638 25.832 23.520 24.722 25.916 23.617 24.811 26.055 24.987 26.259 27.531 25.077 26.349 27.621 25.172 26.444 30.748 28.007 29.428 30.849 28.113 29.534 30.955 118,75 124,76 130,76 161,18 169,39 177,60 138,69 145,73 152,77 120,26 126,34 132,42 171,79 180,53 189,28 147,82 155,32 162,82 128,17 134,65 211,40 165,09 173,47 181,84 143,15 150,39 157,62 Theo phương trình (2.6), phương trình hồi qui tuyến tính mờ thiết lập cho ứng suất lớn tiết diện nguy hiểm kết cấu biểu diễn sau: y = S%= A1 u1 + A2 u2 + A3 u3 + A4 u4 + A5 u5 + A6 u6 + A7 u7 + A8 u8 (3.2) = A1 l + A2 h + A3 d + A4 q + A5 l2 + A6 h2 + A7 d + A8 q2 (3.3) Trong đó, Aj xác định phần tử mờ tam giác mờ Aj(aj, cj), tổ hợp thành phần mờ từ phương trình hồi qui (3.3) ta hệ số hồi qui mờ A xác định phần tử tam giác mờ A(a, c) Trường hợp: Chọn mức mờ H = 0,5: Kết thu hệ số hồi qui Aj(aj, cj) thể Bảng 3.2 sau: j Aj aj 162,29 216,11 -143,79 29,59 -11,62 -33,75 4,38 -0,47 cj 0,0169 0,0003 0,044 0,0352 0,0012 0,2393 0,0113 0,0089 Từ kết Bảng 3.2, thay giá trị hệ số hồi qui Aj(aj, cj) giá trị l, h, d, q vào phương trình (3.3) ta được: S%= (159,30; 10,87) Vậy, hàm thuộc ứng suất mờ S%được xác định sau: 1à S%(x) = x 159,30 , 10,87 148,43 x 170,17 (3.4) 0, trường hợp khác Trong đó: m = 159,30 giá trị trung tâm ứng suất mờ S% n = 10,87 sai số ứng suất mờ S% Xem phân phối cường độ vật liệu thép theo qui luật phân phối chuẩn Từ sổ tay kết cấu, ta có giá trị trung bình cường độ thép = 210 MPa, chọn độ lệch chuẩn 10% giá trị trung bình, ta = 21 MPa ứng dụng Phương trình (2.11), Kết thu xác suất hư hỏng mờ: F%= 0,012412 %= - F%= 0,987588 Như vậy, xác suất an toàn mờ: R kết luận Từ mô hình toán học trình bày phần lý thuyết sở, diễn toán áp dụng cụ thể qua ví dụ tính toán kết thu nhận được, nhận thấy rằng, toán đánh giá độ tin cậy theo lý thuyết tập mờ, sai số ngẫu nhiên tham số tính toán thực đan xen hoán chuyển (alternative) với nhau, thể tính ngẫu nhiên mờ (fuzzy random) Sự phối hợp phương pháp phần tử hữu hạn công cụ toán học điều kiện thuận lợi giúp ta thu hàng loạt giá trị ứng suất phạm vi biên độ thay đổi, làm tiền đề cho việc thực phép phân tích hồi qui tuyến mờ, đồng thời giải pháp tối ưu giúp cho ứng dụng mô hình tính toán cách rộng rãi kết cấu phức tạp việc xác định ứng suất biểu diễn cụ thể công thức toán học trường hợp số lượng biến ngẫu nhiên không xác định rõ ràng tài liệu tham khảo [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] H J Zimmermann, Fuzzy Set Theory and Its applications, second edition, Kluwer Academic Puplishers, Boston/London, 1991 Nguyn Hong Phng, Bựi Cụng Cng, Nguyn Doón Phc, Phan Xuõn Minh, Chu Vn H, H m v ng dng, Nh xut bn Khoa hc v K thut, H ni, 1998 Bựi Cụng Cng, Nguyn Doón Phc, H m, Mng Ntron v ng dng, Nh xut bn Khoa hc v K thut, H ni, 2002 Palle Thoft - Christensen, Yoshisada Murotsu, Application of Structural Systems Reliability Theory, Japan, 1986 K.K Yen, S Ghoshray, G Roig, A linear regression model using triangular fuzzy number coefficients, Department of Electrical & Computer Engineering, Florida International University, Miami, USA, 1997 Libing, Zhu Meilin, Xukai, A practical engineering method for fuzzy reliabilityanalysis of mechanical structures, Huazhong University of Science & Technology, China, 1999 Quimi Jiang, Chun-Hsien Chen, A numerical algorithm of fuzzy reliability, School of Mechanical and Production Engineering, Nanyang Technological University, Singapore, 2003 ... xác định hàm lệ thuộc? để từ làm cho toán phân tích độ tin cậy mờ kết cấu Đối với toán đánh giá độ tin cậy kết cấu, ta sử dụng Phương pháp hồi qui tuyến tính mờ (Fuzzy linear regression), phần... toán kết thu nhận được, nhận thấy rằng, toán đánh giá độ tin cậy theo lý thuyết tập mờ, sai số ngẫu nhiên tham số tính toán thực đan xen hoán chuyển (alternative) với nhau, thể tính ngẫu nhiên mờ. .. Kết cấu xảy hư hỏng < S , biến cố mờ, theo định nghĩa xác suất mờ Lofti A Zadeh, xác suất hư hỏng kết cấu tính toán hàm biểu diễn sau [7]: ~ (2.11) F S~ ( x) f ( x)dx ~ ~ Và độ tin cậy mờ