thi chuyên toán

T liu bi ging luyn thi vo lp 10 THPT chuyờn toỏn (09-10) Bi : (2 im) Cho biu thc P = S I: (22 04 2010) ( a b ) + ab a+ b : ab a bb a a/ Xỏc nh a ; b biu thc cú ngha v hóy rỳt gn P b/ Tớnh giỏ tr ca P a = 15 6 + 33 12 v b = 24 Hng dn: a) P cú ngha a > ; b > v a b P= a ab + b + ab a+ b ab ( a b) ab = ( b a+ b (3 ) b) Vi a = 15 6 + 33 12 = ) a 2 ( a + b) = a b (3 ) = = + = + = Vi b = 24 = Do ú P = a b = = Bi : (2 im) x + my = 3m a/ Cho h phng trỡnh mx y = m Tỡm m h cú nghim (x ; y) tha x2 2x y > b/ Gii phng trỡnh x2 x Hng dn: 1 + 10 = x x x + my = 3m Cho h phng trỡnh a) (1) mx y = m (2) T(1) ta cú x = 3m my (3) Thay (3) vo (2): m(3m my) y = m-2 3m2 m2y y = 2(m2 + 1) (m2 + 1)y = 2(m2 + 1) 2(m + 1) Vỡ m + > vi mi m nờn y = = m2 + Thay y = vo (3) ta cú x = 3m m.2 = m Vy nghim (x ; y) ca h phng trỡnh l (x = m ; y = 2) x2 2x y > thỡ m2 m > (m 1)2 ( )2 > (m ).(m 1+ ) > m m m m > 1+ > < + < m m m m >1+ > 1+ m < + hoc m < thỡ h phng trỡnh ó cho cú nghim (x ; y) tha x2 2x y > 1 + 10 = (1) iu kin x x x 1 1 Phng trỡnh (1) (x2 + ) (x + ) 10 = (x2 + + ) (x + ) 12 = x x x x b) Gii phng trỡnh x2 x Trang 1 x x (x + )2 (x + ) 12 = (*) x t y = x + Phng trỡnh (*) tr thnh : y2 y 12 = y1 = ; y2 = Vi y = x + Vi y = x + 3+ 5 = x2 + 3x + = x1 = ; x1 = x 2 = x2 4x + = x3 = + x ; x4 = Cỏc giỏ tr ca x va tỡm c tha x Vy nghim s ca (1) l : x1 = 3+ 5 ; x1 = ; x3 = + 2 ; x4 = Bi : (2 im) Mt ụ tụ i quóng ng AB di 80 km mt thi gian ó nh, ba phn t quóng ng u ụ tụ chy nhanh hn d nh 10 km/h, quóng ng cũn li ụ tụ chy chm hn d nh 15 km/h Bit rng ụ tụ n B ỳng gi quy nh Tớnh thi gian ụ tụ i ht quóng ng AB Hng dn : Gi x (km/h) l tc d nh ca ụ tụ i t A n B ( x> 15) Thi gian ụ tụ d nh i t A n B 80 (h) x Vn tc ụ tụ i ba phn t quóng ng AB l x + 10 (km/h) Thi gian ụ tụ i ba phn t quóng ng AB l 60 (h) x + 10 Vn tc ụ tụ i mt phn t quóng ng AB l x 15 (km/h) 20 (h) x 15 60 20 80 ễ tụ n B ỳng gi quy nh nờn ta cú phng trỡnh : + = x + 10 x 15 x Thi gian ụ tụ i mt phn t quóng ng AB l + = 3x(x 15) + x(x + 10) = 4(x + 10)(x 15) x + 10 x 15 x 4x2 35x = 4x2 20x 600 15x = 600 x = 40 (tha iu kin) Do ú tc d nh ca ụ tụ l 40 km/h Vy thi gian ụ tụ i ht quóng ng AB l 80 : 40 = (gi) Bi : (3 im) Gi C l mt im nm trờn on thng AB (C A, C B) Trờn cựng mt na mt phng cú b l ng thng AB, k tia Ax v By cựng vuụng gúc vi AB Trờn tia Ax ly im I (I A), tia vuụng gúc vi CI ti C ct tia By ti K ng trũn ng kớnh IC ct IK ti P 1/ Chng minh: a/ T giỏc CPKB ni tip c ng trũn Xỏc nh tõm ca ng trũn ú b/ AI.BK = AC.BC c/ APB vuụng 2/ Cho A, I, B c nh Tỡm v trớ ca im C cho din tớch ca t giỏc ABKI t giỏ tr ln nht Hng dn: a/ P nm trờn ng trũn tõm O1 Trang ng kớnh IC IPC = 900 M IPC + CPK = 1800 (gúc k bự) CPK = 900 Do ú CPK + CBK = 900 + 900 = 1800 Nờn CPKB ni tip ng trũn tõm O2 ng kớnh CK b/ Vỡ ICK = 900 C1 + C2 = 900 AIC vuụng ti A C1 + A1 = 900 A1 + C2 v cú A = B = 900 Nờn AIC BCK (g.g) y x K P I AI AC = AI BK = AC BC (1) BC BK O2 01 1 A C c/ Trong (O1) cú A1 = I2 (gnt cựng chn cung PC) Trong (O2) cú B1 = K1 (gnt cựng chn cung PC) M I2 + K1 = 900 (Vỡ ICK vuụng ti C) A1 + B1 = 900, nờn APB vuụng ti P 2/ Ta cú AI // BK ( vỡ cựng vuụng gúc vi AB, nờn ABKI l hỡnh thang vuụng Do ú SABKI = B AB.(AI + BK) Vỡ A, B, I c nh nờn AB, AI khụng i Suy SABKI ln nht BK ln nht T (1) cú AI BK = AC BC BK = AC BC AI Nờn BK ln nht AC BC ln nht Ta cú ( AC BC ) AC + BC AC BC AC BC AC + BC AB AB2 AC BC AB AB2 Vy AC BC ln nht AC BC = AC = BC = C l trung im ca AB AC BC Vy SABKI ln nht C l trung im ca AB Bi : (1 im) Tỡm x ; y nguyờn dng tha 1003x + 2y = 2008 Hng dn: Tỡm x ; y nguyờn dng tha : 1003x + 2y = 2008 Cỏch : T 1003x + 2y = 2008 2y = 2008 1003x y = 1004 1003x 1003x 2008 >0 x< 1003 2008 Suy < x < v x nguyờn x {1 ; 2} 1003 1003 Vi x = y = 1004 Z nờn x = loi 1003 Vi x = y = 1004 = Z+ nờn x = tha Vỡ y > 1004 Vy x ; y nguyờn dng phi tỡm l x = ; y =1 Cỏch : Vỡ x ; y l cỏc s dng tha 1003x + 2y = 2008 1003x < 2008 Trang x< 2008 < Do x Z+ x {1 ; 2} 1003 Vi x = 2y = 2008 1003 = 1005 y = 1005 Z+ nờn x = loi Vi x = 2y = 2008 2006 = y = Z+ nờn x = tha Vy x ; y nguyờn dng phi tỡm l x = ; y =1 S2 :(26 04 2010) Bi : (2 im) Cho Parabol (P) : y = x2 v ng thng (d) cú phng trỡnh y = 4mx + 10 a/ Chng minh rng vi mi m, (d) luụn ct (P) ti hai im phõn bit b/ Gi s (d) ct (P) ti hai im phõn bit cú honh x1 ; x2 Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = x12 + x22 + x1x2 m thay i Bi : (2 im) a/ Gii phng trỡnh : x + 15 + x + x + 3+ x = b/ Chng minh rng : Vi mi a ; b khụng õm ta cú a3 + b3 2ab ab Khi no xy du ng thc? Bi : (2 im) Mt phũng hp cú 360 gh ngi, c xp thnh tng hng v mi hng cú s gh ngi bng Nhng s ngi n d hp l 400 nờn ó phi kờ thờm mi hng mt gh ngi v thờm mt hng nh th na mi ch Tớnh xem lỳc u phũng hp cú bao nhiờu hng gh v mi hng cú bao nhiờu gh ngi Bi : (3 im) Cho tam giỏc nhn ABC ni tip ng trũn (O ; R) Gi H l giao im hai ng cao BD v CE ca tam giỏc ABC a/ Chng minh t giỏc BCDE ni tip v xỏc nh tõm I ca ng trũn ny b/ V ng kớnh AK ca ng trũn (O ; R) Chng minh ba im H , I , K thng hng c/ Gi s BC = AK Tớnh tng AE.CK + AC.BK theo R Bi : (1 im) Cho y = x2 x , Tỡm tt c giỏ tr x nguyờn y cú giỏ tr nguyờn x +1 Gi ý v cỏch gii: Bi 1: a/ Honh giao im ca Parabol (P): y = x v ng thng (d) : y = 4mx + 10 l nghim s ca phng trỡnh: x2 = 4mx + 10 x2 4mx 10 = (1) Phng trỡnh (1) cú = 4m2 + 10 > nờn phng trỡnh (1) luụn cú hai nghim phõn bit Do ú Parabol (P): y = x2 v ng thng (d) : y = 4mx + 10 luụn ct ti hai im phõn bit b/ Gi x1, x2 l hai nghim ca phng trỡnh (1), ta cú x1 + x2 = 4m ; x1,x2 = 10 F = x12 + x22 + x1x2 = [(x1 + x2)2 2x1x2] + x1x2 = (x1 + x2)2 x1x2 = 16m2 + 10 10 Du = xy v ch 16m2 = m = Vy GTNN ca F = 10 m = Bi 2: a/ Gii phng trỡnh: x + 15 + x + x + + x = iu kin x Trang x + x + 16 + x 1+ + x + x 1.2 + = ( x 1+ ) + ( x + x + = x + = x = x = x = (tha iu kin) Vy nghim ca phng trỡnh l x = b/ Vi a , b ta cú: a b a + b ab Ta cú a3 + b3 = (a + b)(a2 + b2 ab) = (a + b).[(a + b)2 3ab] ab [(2 ab )2 3ab] a3 + b3 ab (4ab 3ab) = ab ab = 2ab ab Du = xy v ch a = b Vy vi mi a, b khụng õm ta cú a3 + b3 2ab ab Bi 3: Gi x (hng) l s hng gh ban u phũng hp (x nguyờn, dng) ( Do ú ) 360 (gh) l s gh ban u ca mi hng x x + (hng) l s hng gh lỳc d hp phũng hp Do ú 400 (gh) l s gh lỳc d hp ca mi hng x +1 Khi d hp mi hng kờ thờm mt gh ngi, ta cú phng trỡnh : 400 360 = x2 39x + 360 = x +1 x Gii phng trỡnh c x1 = 24 ; x2 = 15 C hai giỏ tr ca x u tha iu kin Vy ban u phũng hp cú 24 hng gh, mi hng cú 15 gh ngi Hoc ban u phũng hp cú 15 hng gh, mi hng cú 24 gh ngi Bi 4: a/ Ta cú BD v CE l hai ng cao cua ABC A Nờn BEC = BDC = 900 D Suy BCDE ni tip ng trũn b/ Ta cú BH // CK (cựng vuụng gúc vi AC) E O V CH // BK (cựng vuụng gúc vi AB) H Nờn BHCK l hỡnh bỡnh hnh C F B I Do ú hai ng chộo BC v HK giao ti trung im ca mi ng K M I l trung im ca BC I cng l trung im caHK Nờn H, I, K thng hng c/ Gi F l giao im ca AH v BC AB BF Ta cú ABF AKC (g.g) AK = KC AB KC = AK BF (1) V ACF AKB (g.g) (2) AC CF = AC KB = AK CF AK KB Cng (1) v (2) theo v ta cú: AB KC + AC KB = AK BF + AK CF = AK.(BF + CF) = AK.BC M BC = 3 3 AK AB KC + AC KB = AK AK = AK2 = (2R)2 = 3R2 4 4 Bi 5: x2 x Vi x ta cú y = =x2+ x +1 x +1 Trang ) =6 Vi x Z thỡ x + Z y Z thỡ Z x + { ; 1} x +1 x + = x = (tha iu kin) x + = x = (tha iu kin) Vy y cú giỏ tr nguyờn x = ; x = s (28 04 2010) Cõu I: (3 im) 1) Gii cỏc phng trỡnh sau: a) 5.x 45 = b) x(x + 2) = x2 b) im M 2) Cho hm s y = f(x) = a) Tớnh f(-1) ; Cõu II: (2 im) 1) Rỳt gn biu thc ( ) 2;1 cú nm trờn th hm s khụng ? Vỡ ? a a +1 ữ vi a > v a a 2ữ a +2 P = ữ a Cõu III: (1 im) Tng s cụng nhõn ca hai i sn xut l 125 ngi Sau iu 13 ngi t i th nht sang i th hai thỡ s cụng nhõn ca i th nht bng s cụng nhõn ca i th hai Tớnh s cụng nhõn ca mi i lỳc u Cõu IV: (3 im) Cho ng trũn tõm O Ly im A ngoi ng trũn (O), ng thng AO ct ng trũn (O) ti im B, C (AB < AC) Qua A v ng thng khụng i qua O ct ng trũn (O) ti hai im phõn bit D, E (AD < AE) ng thng vuụng gúc vi AB ti A ct ng thng CE ti F 1) Chng minh t giỏc ABEF ni tip 2) Gi M l giao im th hai ca ng thng FB vi ng trũn (O) Chng minh DM AC 3) Chng minh CE.CF + AD.AE = AC2 Cõu V: (1 im)Cho biu thc : B = (4x5 + 4x4 5x3 + 5x 2)2 + 2008 Tớnh giỏ tr ca B x = 2 +1 P N V BI LM Cõu I: 1) a) 5.x 45 = 5.x = 45 x = 45 : x = b) x(x + 2) = x2 + 2x = = + = ' = Phng trỡnh cú hai nghim phõn bit : x1,2 = 2) a) Ta cú f(-1) = b) im M ( (1) = 2 ) x2 2;1 cú nm trờn th hm s y = f(x) = Vỡ f Cõu II: a a +1 a4 = ữ ữ a a a +2 1) Rỳt gn: P = ữ a ( ) ( ) ( )( a4 a ) ( a + 1) ( ( a 2) ( a + 2) a a a + a +3 a + a = = a = a ( 2) ( 2) = a Trang a = a +2 ) 2) K: > + 2m > m > 2 2 Theo bi : ( + x1 ) ( + x ) = + ( x1x ) + x1 + x = + ( x1x ) + ( x1 + x ) 2x1 x = Theo Vi-ột : x1 + x2 = ; x1.x2 = -2m + 4m2 + + 4m = 4m2 + 4m = 4m(m + 1) = m = hoc m = -1 i chiu vi K m = -1 (loi), m = (t/m) Vy m = Cõu III: Gi s cụng nhõn ca i th nht l x (ngi) K: x nguyờn, 125 > x > 13 S cụng nhõn ca i th hai l 125 x (ngi) Sau iu 13 ngi sang i th hai thỡ s cụng nhõn ca i th nht cũn li l x 13 (ngi) i th hai ú cú s cụng nhõn l 125 x + 13 = 138 x (ngi) Theo bi ta cú phng trỡnh : x 13 = (138 x) 3x 39 = 276 2x 5x = 315 x = 63 (tho món) Vy i th nht cú 63 ngi i th hai cú 125 63 = 62 (ngi) Cõu V: 1 = +1 Ta cú x = ( ( ) )( +1 ) = x2 = 2 ; x3 = x.x2 = ; x4 = (x2)2 = 17 12 ; x5 = x.x4 = 29 41 16 32 29 41 17 12 Xột 4x5 + 4x4 5x3 + 5x = + - + -2 32 16 29 41 + 34 24 25 + 35 + 20 20 16 ã = = -1 1) Ta cú FAB = 900 (Vỡ FA AB) ã BEC = 900 (gúc ni tip chn na ng Vy B = (4x5 + 4x4 5x3 + 5x 2)2 + 2008 = ã trũn (O)) BEF (-1)2 + 2008 = + 2008 = 2009 = 900 ã ã Cõu IV: FAB + FEB = 1800 F Vy t giỏc ABEF ni tip (vỡ cú tng hai gúc i bng 1800) 2) Vỡ t giỏc ABEF ni tip nờn ã ã ằ Trong ng trũn AFB = AEB = s AB ã ã ằ = BMD = s BD (O) ta cú AEB ã ã Do ú AFB M hai gúc ny v = BMD E D A O B C trớ so le nờn AF // DM Mt khỏc AF AC nờn DM AC M =E = 900 Do ú hai tam giỏc ACF v ECB ng dng 3) Xột hai tam giỏc ACF v ECB cú gúc C chung , A AC EC = CE.CF = AC.CB (1) CF CB Trang = ADB ã ã ã Tng t ABD v AEC ng dng (vỡ cú BAD chung, C ) = 1800 BDE AB AE = AD.AE = AC.AB (2) AD AC T (1) v (2) AD.AE + CE.CF = AC.AB + AC.CB = AC(AB + CB) = AC2 CHNH THC MễN THI: TON Trang Thi gian lm bi 150 phỳt (Khụng k thi gian giao ) Ngy thi: 25/06/2008 Bi 1: (2 im) x 2x + = x + x + x + 2x + 15 x y + y x = y 2) Gii h phng trỡnh: y x + x y = 4x Bi 2: (2 im) 1) Cho cỏc s dng a, b, c tha a2 + b2 + c2 = 20 v ab + bc + ca Chng minh rng: < a + b + c 2) Cho s nguyờn dng n Chng minh rng nu A = + 28n + l s nguyờn thỡ A l s chớnh phng Bi 3: (2 im) 1) Cho cỏc s thc x, y, z tha iu kin: x + y + 2z = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P = 2x2 + 2y2 z2 2) Cho phng trỡnh ax2 + bx + c = (a 0) cú hai nghim s l x v x2 tha ax1 + bx2 + c = Tớnh giỏ tr ca biu thc: A = a2c + ac2 + b3 3abc + Bi 4: (4 im) Cho hai ng trũn (O1; R1) v (O2; R2) vi R1>R2 ct ti hai im A v B cho s o gúc O1AO2 ln hn 900.Tip tuyn ca ng trũn (O1) ti A ct ng trũn (O2) ti C khỏc A, tip tuyn ca ng trũn (O2) ti A ct ng trũn (O 1) ti D khỏc A Gi M l giao im ca AB v CD BA BC AC = = 1) Chng minh: BD BA AD 2) Gi H, N ln lt l trung im ca AD, CD Chng minh tam giỏc AHN ng dng vi tam giỏc ABC MC 3) Tớnh t s theo R1 v R2 MD 4) T C k tip tuyn CE vi ng trũn (O 1) (E l tip im, E khỏc A) ng thng CO ct ng trũn (O1) ti F (O1 nm gia C v F) Gi I l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn ng thng EF v J l trung im ca AI Tia FJ ct ng trũn (O 1) ti K Chng minh ng thng CO1 l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip tam giỏc AKC 1) Gii phng trỡnh: gii ngy 1-05-2010 Bài 1: Rút gọn biểu thức sau : P= x +3 2x + x + 2x 2x + x + + Bài 2: Giải phơng trình hệ phơng trình sau: x y = a) xy + x = b) x + + x = Bài 3: Chứng minh : Trang ( 31+ + ) 5( 2+ + ) 7( 3+ ) ++ 2007 4015 2007 + 2008 2009 ( ) Bài : BC dây cung không đờng kính đờng tròn tâm O Một điểm A di động cung lớn BC cho tâm O nằm tam giác ABC, đờng cao AD, BE, CF tam giác ABC cắt H a) Chứng minh tam giác AEF ABC đồng dạng b) Gọi A' trung điểm BC, chứng minh AH = 2OA' c) Gọi A1 trung điểm EF, chứng minh : R.AA1 = AA'.OA' d) Chứng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC từ tìm vị trí A để tổng (EF + FD + DE) lớn Bài : Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh : a2 + b2 + c2 + 2abc < P N, HNG CHM Bài 1: (2,5 điểm) x +3 = Có : A = x + x A= Tơng tự có: ( ) ( +2 +2 ( )( ) = Ta có P = A+B = = (2 ( 2x ( )( x +3 x +3 ( )( 2+2 )( ) ( )( )( ) cho 0,25 điểm cho 0,25 điểm 2x + ) ( x x +3 + x +3 )( x +3 2+ )( 2) 2x x 2+ ) ) x cho 0,5 điểm x + x + x + + x x x + 18 = ( x + 9) ( + ( x 9) ( + ( x 9) ( + ) = x+9 2) x ) Cho 0,25 điểm Cho 0,25 điểm x+9 Với x x x9 Bài ( 4,5 điểm) x y = a, Từ hệ xy + x = Vậy cho 0,25 điểm cho 0,25 điểm 2x + x + + x +3 2+ Từ Tập xác định x x = ) x +3 2 +2 x 2x B= x x +3 P= Cho 0, 25 điểm Trang 10 15 Chứng minh giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 2a + 8y 6z + 15 = 16 Tìm giá trị lớn biểu thức : A = x 4x + 17 So sánh số thực sau (không dùng máy tính) : a) + 15 v b) 17 + + v c) 23 19 v d) 27 18 Hãy viết số hữu tỉ số vô tỉ lớn v 45 nhng nhỏ 19 Giải phơng trình : 3x + 6x + + 5x + 10x + 21 = 2x x 20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy = 1 1 + + + + + 1.1998 2.1997 k(1998 k + 1) 1998 1998 Hãy so sánh S 1999 21 Cho S = 22 Chứng minh : Nếu số tự nhiên a số phơng 23 Cho số x y dấu Chứng minh : x y + y x x y2 x y b) + ữ + ữ x y x y a) x y4 x y2 x y + ữ + ữ+ + ữ x y x y x y c) 24 Chứng minh số sau số vô tỉ : a) 1+ b) m + với m, n số hữu tỉ, n n 25 Có hai số vô tỉ dơng mà tổng số hữu tỉ không ? 26 Cho số x y khác Chứng minh : x y x y2 + + + ữ y x y x x y2 z2 x y z 27 Cho số x, y, z dơng Chứng minh : + + + + y z x y z x 28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ 29 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + + an)2 n(a12 + a22 + + an2) 30 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b 31 Chứng minh : [ x ] + [ y ] [ x + y ] 32 Tìm giá trị lớn biểu thức : A = x 6x + 17 Trang 14 a số vô tỉ 33 Tìm giá trị nhỏ : A = x y z + + với x, y, z > y z x 34 Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y = 35 Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ; x + y + z = 36 Xét xem số a b số vô tỉ không : a số vô tỉ b a b) a + b số hữu tỉ (a + b 0) b a) ab c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b 0) 37 Cho a, b, c > Chứng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c) a b c d + + + b+c c+d d+a a +b 39 Chứng minh [ 2x ] [ x ] [ x ] + 38 Cho a, b, c, d > Chứng minh : 40 Cho số nguyên dơng a Xét số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; ; a + 15n Chứng minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96 41 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A= x B= x + 4x C= x 2x D= 1 x2 E= x+ + 2x x G = 3x 5x + x + x + 42 a) Chứng minh : | A + B | | A | + | B | Dấu = xảy ? b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : M = x + 4x + + x 6x + c) Giải phơng trình : 4x + 20x + 25 + x 8x + 16 = x + 18x + 81 43 Giải phơng trình : 2x 8x x 4x = 12 44 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A = x2 + x + E= B= 2x + + x 1 3x G= C = 9x x + x2 x D= x 5x + H = x 2x + x 2 x 3x =0 45 Giải phơng trình : x 46 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = x + x 47 Tìm giá trị lớn biểu thức : B = x + x +1 b) 13 + v n+1 n (n số nguyên dơng) 48 So sánh : a) a = + v b= c) n + n + v 49 Với giá trị x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : A = 6x + 9x + (3x 1) 50 Tính : a) 42 b) d) A = m + 8m + 16 + m 8m + 16 11 + c) 27 10 e) B = n + n + n n (n 1) Trang 15 41 51 Rút gọn biểu thức : M = 45 + 41 + 45 41 52 Tìm số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : (2x y) + (y 2) + (x + y + z) = 53 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = 25x 20x + + 25x 30x + 54 Giải phơng trình sau : a) x x x = b) x + = x d) x x 2x + = c) x x + x + x = e) x + 4x + + x = h) x 2x + + x 6x + = g) x + x = i) x + + x = x 25 k) x + x + x + x = l) 8x + + 3x = 7x + + 2x 55 Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện : xy = x > y CMR: x + y2 2 xy 56 Rút gọn biểu thức : a) 13 + 30 + + b) m + m + m m 57 c) + + + + + + + + Chứng minh 2+ = 58 Rút gọn biểu thức : a) C = 6+2 ( d) 227 30 + 123 + 22 + 2 ) + 3+ 62 ( 3+ ) b) D = 96 59 So sánh : a) + 20 v 1+ b) 17 + 12 v +1 c) 28 16 v 60 Cho biểu thức : A = x x 4x + a) Tìm tập xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A 61 Rút gọn biểu thức sau : a) c) 11 10 b) 14 + 11 + + + + + 10 62 Cho a + b + c = ; a, b, c Chứng minh đẳng thức : 63 Giải bất phơng trình : 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c x 16x + 60 < x 64 Tìm x cho : x + x 65 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x + y2 , biết : x2(x2 + 2y2 3) + (y2 2)2 = (1) 66 Tìm x để biểu thức có nghĩa: a) A = x 2x Trang 16 16 x b) B = + x 8x + 2x + 67 Cho biểu thức : A = x + x 2x x x 2x x x 2x x + x 2x a) Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A < 68 Tìm 20 chữ số thập phân số : 0,9999 (20 chữ số 9) 69 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : A = | x - | + | y | với | x | + | y | = 70 Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx = 71 Trong hai số : n + n + v n+1 (n số nguyên dơng), số lớn ? 72 Cho biểu thức A = + + Tính giá trị A theo hai cách 73 Tính : ( + + 5)( + 5)( + 5)( + + 5) 74 Chứng minh số sau số vô tỉ : 3+ ; ; 2 +3 75 Hãy so sánh hai số : a = 3 v b=2 ; 76 So sánh + v +1 + số 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ 3+ 77 Rút gọn biểu thức : Q = 78 Cho P = 14 + 40 + 56 + 140 Hãy biểu diễn P dới dạng tổng thức bậc hai 79 Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biết : x y + y x = 80 Tìm giá trị nhỏ lớn : A = x + + x 81 Tìm giá trị lớn : M = ( a+ b ) với a, b > a + b 82 CMR số 2b + c ad ; 2c + d ab ; 2d + a bc ; 2a + b cd có hai số dơng (a, b, c, d > 0) 83 Rút gọn biểu thức : N = + + + 18 84 Cho x + y + z = xy + yz + zx , x, y, z > Chứng minh x = y = z 85 Cho a1, a2, , an > a1a2aan = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)(1 + an) 2n 86 Chứng minh : ( a+ b ) 2(a + b) ab (a, b 0) 87 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập đợc thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập đợc thành tam giác (x + 2) 8x ab b a B= 88 Rút gọn : a) A = b) x b b x a +2 Khi có đẳng thức ? 89 Chứng minh với số thực a, ta có : a2 +1 90 Tính : A = + + hai cách 91 So sánh : a) +5 v 6,9 b) 13 12 v Trang 17 92 Tính : P = 2+ + + 2+ 3 93 Giải phơng trình : x + + 2x + x 2x = 2 1.3.5 (2n 1) < 94 Chứng minh ta có : Pn = ; n Z+ 2.4.6 2n 2n + a2 b2 a+ b + b a 95 Chứng minh a, b > 96 Rút gọn biểu thức : A= x 4(x 1) + x + 4(x 1) ữ x x 4(x 1) a b +b a : =ab (a, b > ; a b) ab a b 14 a + a a a 15 b) + = c) + ữ: ữ1 ữ = a (a > 0) a + a 97 Chứng minh đẳng thức sau : a) 98 Tính : a) c) ; b) + 13 + 48 29 20 28 16 ữ + 48 b) + 15 v 12 + 99 So sánh : a) + v 15 16 c) 18 + 19 v d) v 25 + 48 100 Cho đẳng thức : a + a2 b a a b (a, b > a2 b > 0) a b = 2 áp dụng kết để rút gọn : a) c) 2+ + 2+ + ; b) 2 17 12 2 10 + 30 2 : 10 2 101 Xác định giá trị biểu thức sau : a) A = b) B = xy x y xy + x y a + bx + a bx a + bx a bx 102 Cho biểu thức P(x) = với x = với x = 1 1 a + ữ, y = b + ữ a b 2am , m < b ( + m2 ) 2x x 3x 4x + a) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) b) Chứng minh x > P(x).P(- x) < Trang 18 (a > ; b > 1) 3+ 2 17 + 12 103 Cho biểu thức A= x+24 x + x +2+4 x 4 + x2 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên 104 Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức sau: a) x b) x x (x > 0) e) 3x c) + x g) 2x 2x + 105 Rút gọn biểu thức : A = h) x + 2x + + 10 + + 10 + ( 109 Tìm x y cho : 2x x + 94 42 94 + 42 c) a + b a b = a a2 b 108 Rút gọn biểu thức : A = + 48 10 + 107 Chứng minh đẳng thức với b ; a a) i) x + 2x x 2x , ba cách ? 106 Rút gọn biểu thức sau : a) b) d) x ) b b) a b = a + a2 b a a2 b 2 x + 2x + x 2x x+y2 = x + y ( a + c) + ( b + d) 110 Chứng minh bất đẳng thức : a + b + c2 + d 111 Cho a, b, c > Chứng minh : a2 b2 c2 a+b+c + + b+c c+a a +b 2 112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh : a) a + + b + + c + < 3,5 113 CM : (a + c2 ) ( b2 + c2 ) + b) (a a +b + b+c + c+a + d ) ( b + d ) (a + b)(c + d) với a, b, c, d > 114 Tìm giá trị nhỏ : A = x + x 115 Tìm giá trị nhỏ : A = (x + a)(x + b) x 116 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x + 3y2 117 Tìm giá trị lớn A = x + x 118 Giải phơng trình : x 5x = 3x 119 Giải phơng trình : x + x + x x = 120 Giải phơng trình : 3x + 21x + 18 + x + 7x + = 121 Giải phơng trình : 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = 2x x 122 Chứng minh số sau số vô tỉ : ; 2+ 123 Chứng minh x + x 124 Chứng minh bất đẳng thức sau phơng pháp hình học : a + b b + c b(a + c) với a, b, c > 125 Chứng minh (a + b)(c + d) ac + bd với a, b, c, d > Trang 19 126 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập đợc thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập đợc thành tam giác (a + b) a + b + a b + b a với a, b a b c + + > với a, b, c > 128 Chứng minh b+c a+c a+b 127 Chứng minh 129 Cho x y + y x = Chứng minh x2 + y2 = 130 Tìm giá trị nhỏ A = x x + x + x 131 Tìm GTNN, GTLN A = x + + x 132 Tìm giá trị nhỏ A = x + + x 2x + 133 Tìm giá trị nhỏ A = x + 4x + 12 x + 2x + ( 134 Tìm GTNN, GTLN : a) A = 2x + x b) A = x 99 + 101 x 135 Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa mãn ) a b + = (a b số dơng) x y 136 Tìm GTNN A = (x + y)(x + z) với x, y, z > , xyz(x + y + z) = xy yz zx + + với x, y, z > , x + y + z = z x y x2 y2 z2 + + 138 Tìm GTNN A = biết x, y, z > , xy + yz + zx = x+y y+z z+x 137 Tìm GTNN A = 139 Tìm giá trị lớn : a) A = b) B = ( a+ b ) ( + a+ c ) ( + ( ) d) +( a+ b a+ với a, b > , a + b b+ c ) ( + b+ d ) ( + c+ d ) với a, b, c, d > a + b + c + d = 140 Tìm giá trị nhỏ A = 3x + 3y với x + y = 141 Tìm GTNN A = b c + c+d a+b với b + c a + d ; b, c > ; a, d 142 Giải phơng trình sau : a) x 5x 3x + 12 = d) x x + = b) x 4x = x e) x x x = h) x + x + x + x = g) x + 2x + x 2x = i) x + x + x = k) x x = x l) 2x + 8x + + x = 2x + m) x + = x x o) x + x + + c) 4x + 3x + = n) x + + x + 10 = x + + x + ( x 1) ( x 3x + ) = 2x p) 2x + + x + + 2x + x + = + x + q) 2x 9x + + 2x = 2x + 21x 11 ( 143 Rút gọn biểu thức : A = 2 + )( ) 18 20 + 2 Trang 20 144 Chứng minh rằng, n Z+ , ta có : + 1+ + 145 Trục thức mẫu : a) 146 Tính : a) 29 20 ( 147 Cho a = + 148 Cho b = 32 17 12 )( b) + 13 + 48 ( c) ( x) 17 + 12 ) x x + = 5x + x 29 12 c) ) 3+ 2 x + ( x 3) x ) 10 Chứng minh a số tự nhiên b có phải số tự nhiên không ? 149 Giải phơng trình sau : a) ( 1 + + + > n +1 n b) x + x +1 b) =2 150 Tính giá trị biểu thức : M = ( ) x = ( ) +1 x 3 d) x + x = 12 29 + 25 + 21 12 + 29 25 21 1 1 + + + + 1+ 2+ 3+ n + n 1 1 + + 152 Cho biểu thức : P = 3 4 2n 2n + 151 Rút gọn : A = a) Rút gọn P b) P có phải số hữu tỉ không ? 1 1 + + + + +1 + + 100 99 + 99 100 1 + + + > n 154 Chứng minh : + n 155 Cho a = 17 Hãy tính giá trị biểu thức: A = (a5 + 2a4 17a3 a2 + 18a 17)2000 156 Chứng minh : a a < a a (a 3) 157 Chứng minh : x x + > (x 0) 158 Tìm giá trị lớn S = x + y , biết x + y = 153 Tính : A = 159 Tính giá trị biểu thức sau với a = + 2a 2a : A= + + + 2a 2a 160 Chứng minh đẳng thức sau : ( ) ( 10 ) 15 = ( + ) ( 10 ) = d) a) + 15 c) b) + = + 48 = 2 ( 5+ 5 + 10 < 5 5+ +1 c) + + ữ 0, 1,01 > ữ + + + Trang 21 27 + > 48 b) ( +1 ) + e) 17 + = 161 Chứng minh bất đẳng thức sau : a) ) 2 + 3 3 + + + > ữ 2+ 6 2+ d) 2+2 e) h) ( 3+ + 5+ 2 ) ( > 1,9 g) ) 3+ 5+ + + 2 < 0,8 < n n Từ suy ra: n 1 2004 < + + + + < 2005 1006009 2+ 3+ b) 163 Trục thức mẫu : a) 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ + 3+ v y= 164 Cho x = Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2 3+ 2002 2003 + > 2002 + 2003 165 Chứng minh bất đẳng thức sau : 2003 2002 x 3xy + y 166 Tính giá trị biểu thức : A = với x = + v y = x+y+2 6x = + x x2 167 Giải phơng trình : x x b) 10x 14 c) + 2 + 2x 168 Giải bất pt : a) 3 + 5x 72 162 Chứng minh : n + n < 169 Rút gọn biểu thức sau : a) A = 29 12 c) C = b) B = a + a(a 1) + a x + + x2 a a x + 5x + + x x d) D = 2x + x 3x x + (x + 2) x 1 1 E= + 2 3 24 25 170 Tìm GTNN GTLN biểu thức A = x2 + 171 Tìm giá trị nhỏ A = với < x < 1 x x 172 Tìm GTLN : a) A = x + y biết x + y = ; b) B = y2 x + x y 173 Cho a = 1997 1996 ; b = 1998 1997 So sánh a với b, số lớn ? 174 Tìm GTNN, GTLN : a) A = 5+2 6x b) B = x + 2x + 175 Tìm giá trị lớn A = x x 176 Tìm giá trị lớn A = | x y | biết x2 + 4y2 = 177 Tìm GTNN, GTLN A = x3 + y3 biết x, y ; x2 + y2 = Trang 22 178 Tìm GTNN, GTLN A = x x + y y biết x + x 3x + + (x 2) 179 Giải phơng trình : x + y = x = x2 180 Giải phơng trình : x + 2x = + 4x + 2x 1 1 + + + + < 2 (n + 1) n 1 1 + + + + 182 Cho A = Hãy so sánh A 1,999 1.1999 2.1998 3.1997 1999.1 183 Cho số x, y x + y số hữu tỉ Chứng minh số x ; y số hữu tỉ 181 CMR, n Z+ , ta có : 3+ ; b = + 2 + CMR : a, b số hữu tỉ 2+ a a a a + a a 185 Rút gọn biểu thức : P = (a > ; a 1) ữ a a + a +1 a a +1 a 1 + a ữ a 186 Chứng minh : ữ = 4a (a > ; a 1) a a + a 184 Cho a = ( x + 2) 8x 187 Rút gọn : (0 < x < 2) x x b ab a b a+b + 188 Rút gọn : a + ữ: ữ a + b ab + b ab a ab 5a 2 189 Giải bất phơng trình : x + x + a (a 0) x2 + a2 a a + a a + a ữ a ữ + 190 Cho A = a : a + a ) ( ( ) a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A với a = c) Với giá trị a | A | = A 191 Cho biểu thức : B = a) Rút gọn biểu thức B c) So sánh B với -1 192 Cho A = a + b a b b b + + ữ a + ab ab a ab a + ab b) Tính giá trị B a = + a ab + a+b : + ữ ữ a + a+b ab a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm b biết | A | = -A c) Tính giá trị A a = + ; b = + a +1 a 1 + a ữ a ữ a +1 a a 193 Cho biểu thức A = a) Rút gọn biểu thức A Trang 23 b) Tìm giá trị A a = 2+ c) Tìm giá trị a để A > A a a a a + a ữ ữ a 2 a a + 194 Cho biểu thức A = a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị A để A = - 1+ a a 1+ a a + ữ: ữ 1+ a a 1+ a a 2+ 3 + 196 Thực phép tính : B = + 2+ 195 Thực phép tính : A = 197 Rút gọn biểu thức sau : x y 1 a) A = : + ữ + xy xy x y x + y + xy với x = ; y = + b) B = c) C = x + x y2 x x y2 2(x y) 2a + x 1+ x2 x d) D = (a + b) e) E = (a với x = + 1) ( b + 1) c +1 ) với x > y > a a ữ a a ; 0 y z x y z x 225 Cho a = 3 + 3 + 3 3 ; b = 3 Chứng minh : a < b n 226 a) Chứng minh với số nguyên dơng n, ta có : + ữ < n n b) Chứng minh số có dạng n (n số tự nhiên), số 3 có giá trị lớn 227 Tìm giá trị nhỏ A = x + x + + x x + 228 Tìm giá trị nhỏ A = x2(2 x) biết x 229 Tìm giá trị lớn A = x x 230 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x(x2 6) biết x 231 Một miếng bìa hình vuông có cạnh dm góc hình vuông lớn, ngời ta cắt hình vuông nhỏ gấp bìa để đợc hộp hình hộp chữ nhật không nắp Tính cạnh hình vuông nhỏ để thể tích hộp lớn 232 Giải phơng trình sau : a) + x 16 = x + b) x + + x = 5x e) h) (x + 1) + (x 1) + x = k) x2 + + x + x = x 3x ( x 1) x 233 Rút gọn A = g) i) l) a + ab + b x x =6x x + x = a + a 2b2 + b4 x + x = d) 2x = x + c) 3 x +1 + x + + x + = a x + b x = a + b 2x (a, b tham số) 234 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = x x + + x + x + 235 Xác định số nguyên a, b cho nghiệm phơng trình : 3x3 + ax2 + bx + 12 = + 236 Chứng minh 3 số vô tỉ 237 Làm phép tính : a) + 2 b) + 238 Tính : a = 20 + 14 + 20 14 239 Chứng minh : 240 Tính : A = ( + + = ) + 48 28 16 + 48 241 Hãy lập phơng trình f(x) = với hệ số nguyên có nghiệm : x = 3 + 242 Tính giá trị biểu thức : M = x3 + 3x 14 với x = + 243 Giải phơng trình : a) b) 3 7+5 x + + 25 x = x = (x 3) + 244 Tìm GTNN biểu thức : A = ( c) ) x + 32 x + 32 = ( ) x3 + + x3 + + x3 + x + Trang 26 245 Cho số dơng a, b, c, d Chứng minh : a + b + c + d 246 Rút gọn : P = 8x x x2 : + 2+ x 4 abcd 23 x x2 ữ+ x + ữ ữ x x + x ữ; x>0,x ữ 247 CMR : x = 17 + + 17 nghiệm phơng trình x3 6x 10 = 248 Cho x = 15 + 15 Tính giá trị biểu thức y = x3 3x + 1987 a + + 249 Chứng minh đẳng thức : 94 + a + a = a + + + ữ 2,1 < 250 Chứng minh bất đẳng thức : 251 Rút gọn biểu thức sau : 1+ 23 a + a b + b 4b b ữ a) A = 3 ữ 3 a + ab + b b + ữ b a a 2a b + a b a 2b ab C = + ữ c) 3 ữ a2 a b a ab 252 Cho M = 2 b b) b+8 ( ) ữ 24 ữ ữ b+8 ữ x 4a + + x 4x + Tính giá trị biểu thức M biết rằng: x 4x + x 4x + = 253 Tìm giá trị nhỏ : P = x 2ax + a + x 2bx + b (a < b) 254 Chứng minh rằng, a, b, c độ dài cạnh tam giác : abc (a + b c)(b + c a)(c + a b) 255 Tìm giá trị biểu thức | x y | biết x + y = xy = -1 256 Biết a b = + , b c = - 1, tìm giá trị biểu thức : A = a2 + b2 + c2 ab bc ca 257 Tìm x, y, z biết : x + y + z + = x + y + z 258 Cho y = x + x + x x CMR, x giá trị y số 259 Phân tích thành nhân tử : M = x x x + x (x 1) 260 Trong tất hình chữ nhật có đờng chéo , tìm hình chữ nhật có diện tích lớn 261 Cho tam giác vuông ABC có cạnh góc vuông a, b cạnh huyền c Chứng minh ta có : c a+b 262 Cho số dơng a, b, c, a, b, c Chứng minh : Nếu aa' + bb ' + cc' = (a + b + c)(a '+ b '+ c') thỡ a b c = = a' b ' c ' 263 Giải phơng trình : | x2 | + | x2 | = 264 Chứng minh giá trị biểu thức C không phụ thuộc vào x, y : Trang 27 C= ( x + y) x+y x+ y x+y x y ữ x+y x+ yữ 4xy với x > ; y > 265 Chứng minh giá trị biểu thức D không phụ thuộc vào a: 2+ a a a a + a a D= với a > ; a ữ a a + a +1 a c ac B= a + ữ 266 Cho biểu thức a c a +c a+ c + ac + c ac a ac a) Rút gọn biểu thức B b) Tính giá trị biểu thức B c = 54 ; a = 24 c) Với giá trị a c để B > ; B < 267 Cho biểu thức : A= m+ a) Rút gọn biểu thức A 2mn 2mn + m 1+ 2 ữ 1+n 1+ n n với m ; n b) Tìm giá trị A với m = 56 + 24 c) Tìm giá trị nhỏ A 1+ x x x x ữ ữ x x + x2 x + x x 1+ x x x x 269 Cho P = ữ: ữ với x ; x x x x + x x x +1 268 Rút gọn D = a) Rút gọn biểu thức P 270 Xét biểu thức y = b) Tìm x cho P < x + x 2x + x +1 x x +1 x a) Rút gọn y Tìm x để y = y-|y|=0 c) Tìm giá trị nhỏ y ? b) Giả sử x > Chứng minh P N CA 270 BI TP NY CC BN Cể TH THAM KHO TI T LIU BI GING P N 270 BI TON CHN LC HAY V KHể CA TC GI NGUYN ANH HONG C NG TRấN ViOLET.VN Trang 28 [...]... (a +b +c) 2 cho 0,5 điểm 2 2 2 2abc - 2(ab + ac + bc) + a + b + c +2(ab + ac + bc) 2 (cho 0,25 điểm) 2abc + a 2 + b 2 + c 2 2 (đpcm) cho 0,25 điểm EF + FD + DE = T GII 5-05-2010 MT S BI TON LUYN THI VO LP CHUYấN, CHN HAY V KHể 1 Chứng minh 7 là số vô tỉ 2 a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd) 2 (a2 + b2)(c2 + d2) 3 Cho x ... AD.AE + CE.CF = AC.AB + AC.CB = AC(AB + CB) = AC2 CHNH THC MễN THI: TON Trang Thi gian lm bi 150 phỳt (Khụng k thi gian giao ) Ngy thi: 25/06/2008 Bi 1: (2 im) x 2x + = x + x + x + 2x + 15 x y... : Gi x (km/h) l tc d nh ca ụ tụ i t A n B ( x> 15) Thi gian ụ tụ d nh i t A n B 80 (h) x Vn tc ụ tụ i ba phn t quóng ng AB l x + 10 (km/h) Thi gian ụ tụ i ba phn t quóng ng AB l 60 (h) x + 10... quóng ng AB di 80 km mt thi gian ó nh, ba phn t quóng ng u ụ tụ chy nhanh hn d nh 10 km/h, quóng ng cũn li ụ tụ chy chm hn d nh 15 km/h Bit rng ụ tụ n B ỳng gi quy nh Tớnh thi gian ụ tụ i ht quóng