§· bÞ bỴ khãa N¨m häc 2010 - 2011 HƯ thèng kiÕn thøc c¬ b¶n M«n : H×nh Häc - THCS Website: http://quanghieu030778.violet.vn §iĨm - §êng th¼ng - Ngêi ta dïng c¸c ch÷ c¸i in hoa A, B, C, ®Ĩ ®Ỉt tªn cho ®iĨm - BÊt cø h×nh nµo còng lµ mét tËp hỵp c¸c ®iĨm Mét ®iĨm còng lµ mét h×nh - Ngêi ta dïng c¸c ch÷ c¸i thêng a, b, c, m, p, ®Ĩ ®Ỉt tªn cho c¸c ®êng th¼ng (hc dïng hai ch÷ c¸i in hoa hc dïng hai ch÷ c¸i thêng, vÝ dơ ®êng th¼ng AB, xy, ) - §iĨm C thc ®êng th¼ng a (®iĨm C n»m trªn ®êng th¼ng a hc ®êng th¼ng a ®i qua ®iĨm C), kÝ hiƯu lµ: C ∈ a - §iĨm M kh«ng thc ®êng th¼ng a (®iĨm M n»m ngoµi ®êng th¼ng a hc ®êng th¼ng a kh«ng ®i qua ®iĨm M), kÝ hiƯu lµ: M ∉ a Ba ®iĨm th¼ng hµng - Ba ®iĨm cïng thc mét ®êng th¼ng ta nãi chóng th¼ng hµng - Ba ®iĨm kh«ng cïng thc bÊt k× ®êng th¼ng nµo ta nãi chóng kh«ng th¼ng hµng §êng th¼ng trïng nhau, c¾t nhau, song song - Hai ®êng th¼ng AB vµ BC nh h×nh vÏ bªn lµ hai ®êng th¼ng trïng - Hai ®êng th¼ng chØ cã mét ®iĨm chung ta nãi chóng c¾t nhau, ®iĨm chung ®ã ®ỵc gäi lµ giao ®iĨm (®iĨm E lµ giao ®iĨm) - Hai ®êng th¼ng kh«ng cã ®iĨm chung nµo, ta nãi chóng song song víi nhau, kÝ hiƯu xy//zt Kh¸i niƯm vỊ tia, hai tia ®èi nhau, hai tia trïng Tµi liƯu ¤n thi vµo Trung häc Phỉ th«ng Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D ¬ng - H×nh gåm ®iĨm O vµ mét phÇn ®êng th¼ng bÞ chia bëi ®iĨm O ®ỵc gäi lµ mét tia gèc O (cã hai tia Ox vµ Oy nh h×nh vÏ) - Hai tia chung gèc t¹o thµnh ®êng th¼ng ®ỵc gäi lµ hai tia ®èi (hai tia Ox vµ Oy h×nh vÏ lµ hai tia ®èi nhau) - Hai tia chung gèc vµ tia nµy n»m trªn tia ®ỵc gäi lµ hai tia trïng - Hai tia AB vµ Ax lµ hai tia trïng §o¹n th¼ng, ®é dµi ®o¹n th¼ng - §o¹n th¼ng AB lµ h×nh gåm ®iĨm A, ®iĨm B vµ tÊt c¶ c¸c ®iĨm n»m gi÷a A vµ B - Hai ®iĨm A vµ B lµ hai mót - Mçi ®o¹n th¼ng cã mét ®é dµi §é (hc hai ®Çu) cđa ®o¹n th¼ng dµi ®o¹n th¼ng lµ mét sè d¬ng AB Khi nµo th× AM + MB = AB ? - NÕu ®iĨm M n»m gi÷a hai ®iĨm A vµ B th× AM + MB = AB Ngỵc l¹i, nÕu AM + MB = AB th× ®iĨm M n»m gi÷a hai ®iĨm A vµ B Trung ®iĨm cđa ®o¹n th¼ng - Trung ®iĨm M cđa ®o¹n th¼ng AB lµ ®iĨm n»m gi÷a A, B vµ c¸ch ®Ịu A, B (MA = MB) - Trung ®iĨm M cđa ®o¹n th¼ng AB cßn gäi lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cđa ®o¹n th¼ng AB Nưa mỈt ph¼ng bê a, hai nưa mỈt ph¼ng ®èi - H×nh gåm ®êng th¼ng a vµ mét phÇn mỈt ph¼ng bÞ chia bëi a ®ỵc gäi lµ mét nưa mỈt ph¼ng bê a - Hai nưa mỈt ph¼ng cã chung bê ®ỵc gäi lµ hai nưa mỈt ph¼ng ®èi (hai nưa mỈt ph¼ng (I) vµ (II) ®èi nhau) Gãc, gãc bĐt Ngườ i viết : Giá o viên Phạ m Văn Hiệ u §· bÞ bỴ khãa - Gãc lµ h×nh gåm hai tia chung gèc, gèc chung cđa hai tia gäi lµ ®Ønh cđa gãc, hai tia lµ hai c¹nh cđa gãc · µ - Gãc xOy kÝ hiƯu lµ xOy hc O hc ∠xOy - §iĨm O lµ ®Ønh cđa gãc - Hai c¹nh cđa gãc : Ox, Oy - Gãc bĐt lµ gãc cã hai c¹nh lµ hai tia ®èi 10 So s¸nh hai gãc, gãc vu«ng, gãc nhän, gãc tï - So s¸nh hai gãc b»ng c¸ch so s¸nh c¸c sè ®o cđa chóng - Hai gãc xOy vµ uIv b»ng ®· · ỵc kÝ hiƯu lµ: xOy = uIv - Gãc xOy nhá h¬n gãc uIv, ta viÕt: · · · · xOy < uIv uIv > xOy - Gãc cã sè ®o b»ng 90 = 1v, lµ gãc vu«ng - Gãc nhá h¬n gãc vu«ng lµ gãc nhän - Gãc lín h¬n gãc vu«ng nhng nhá h¬n gãc bĐt lµ gãc tï · · · 11 Khi nµo th× xOy + yOz = xOz - NÕu tia Oy n»m gi÷a hai tia Ox · · · vµ Oz th× xOy + yOz = xOz · · · - Ngỵc l¹i, nÕu xOy th× + yOz = xOz tia Oy n»m gi÷a hai tia Ox vµ Oz 12 Hai gãc kỊ nhau, phơ nhau, bï nhau, kỊ bï - Hai gãc kỊ lµ hai gãc cã mét c¹nh chung vµ hai c¹nh cßn l¹i n»m trªn hai nưa mỈt ph¼ng ®èi cã bê chøa c¹nh chung - Hai gãc phơ lµ hai gãc cã tỉng sè ®o b»ng 900 - Hai gãc bï lµ hai gãc cã tỉng sè ®o b»ng 1800 - Hai gãc võa kỊ nhau, võa bï ®ỵc gäi lµ hai gãc kỊ bï 13 Tia ph©n gi¸c cđa gãc Tµi liƯu ¤n thi vµo Trung häc Phỉ th«ng N¨m häc 2010 - 2011 Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D ¬ng - Tia ph©n gi¸c cđa mét gãc lµ tia n»m gi÷a hai c¹nh cđa gãc vµ t¹o víi hai c¹nh Êy hai gãc b»ng · · · · · - Khi: xOz + zOy = xOy vµ xOz = zOy => tia Oz lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc xOy - §êng th¼ng chøa tia ph©n gi¸c cđa mét gãc lµ ®êng ph©n gi¸c cđa gãc ®ã (®êng th¼ng mn lµ ®êng ph©n gi¸c cđa gãc xOy) 14 §êng trung trùc cđa ®o¹n th¼ng a) §Þnh nghÜa: §êng th¼ng vu«ng gãc víi mét ®o¹n th¼ng t¹i trung ®iĨm cđa nã ®ỵc gäi lµ ®êng trung trùc cđa ®o¹n th¼ng Êy b) Tỉng qu¸t: a lµ ®êng trung trùc cđa AB a ⊥ AB t¹i I IA =IB a B I A 15 C¸c gãc t¹o bëi mét ®êng th¼ng c¾t hai ®êng th¼ng a) C¸c cỈp gãc so le trong: µ vµ B µ ; A µ vµ B µ A b) C¸c cỈp gãc ®ång vÞ: µ vµ B µ ; A µ vµ B µ ; A 1 2 µ vµ B µ ; A µ vµ B µ A 3 4 c) Khi a//b th×: µ vµ B µ ; A µ vµ B µ gäi lµ c¸c cỈp A gãc cïng phÝa bï a A B 41 16 Hai ®êng th¼ng song song Ngườ i viết : Giá o viên Phạ m Văn Hiệ u b §· bÞ bỴ khãa a) DÊu hiƯu nhËn biÕt - NÕu ®êng th¼ng c c¾t hai ®êng th¼ng a, b vµ c¸c gãc t¹o thµnh cã mét cỈp gãc so le b»ng (hc mét cỈp gãc ®ång vÞ b»ng nhau) th× a vµ b song song víi N¨m häc 2010 - 2011 c a b b) Tiªn ®Ị ¥_clÝt - Qua mét ®iĨm ë ngoµi mét ®êng th¼ng chØ cã mét ®êng th¼ng song song víi ®êng th¼ng ®ã M b a c, TÝnh chÊt hai ®êng th¼ng song song - NÕu mét ®êng th¼ng c¾t hai ®êng th¼ng song song th×: Hai gãc so le b»ng nhau; Hai gãc ®ång vÞ b»ng nhau; Hai gãc cïng phÝa bï d) Quan hƯ gi÷a tÝnh vu«ng gãc víi tÝnh song song - Hai ®êng th¼ng ph©n biƯt cïng vu«ng c gãc víi ®êng th¼ng thø ba th× chóng song song víi a ⊥ c => a / / b b ⊥ c - Mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi mét hai ®êng th¼ng song song th× nã còng vu«ng gãc víi ®êng th¼ng b a c b c ⊥ b => c ⊥ a a / / b e) Ba ®êng th¼ng song song - Hai ®êng th¼ng ph©n biƯt cïng song song víi mét ®êng th¼ng thø ba th× chóng song song víi a//c vµ b//c => a//b 17 Gãc ngoµi cđa tam gi¸c Tµi liƯu ¤n thi vµo Trung häc Phỉ th«ng a a b c Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D ¬ng a) §Þnh nghÜa: Gãc ngoµi cđa mét tam gi¸c lµ gãc kỊ bï víi mét gãc cđa tam gi¸c Êy b) TÝnh chÊt: Mçi gãc ngoµi cđa tam gi¸c b»ng tỉng hai gãc kh«ng kỊ víi nã · µ +B µ ACx =A A B x C 18 Hai tam gi¸c b»ng a) §Þnh nghÜa: Hai tam gi¸c b»ng lµ hai tam gi¸c cã c¸c c¹nh t¬ng øng b»ng nhau, c¸c gãc t¬ng øng b»ng ∆ABC = ∆A 'B 'C ' AB = A 'B '; AC = A 'C '; BC = B 'C ' ⇔ µ =A µ '; B µ =B µ '; C µ = C' µ A B A' C C B' b) C¸c trêng hỵp b»ng cđa hai tam gi¸c *) Trêng hỵp 1: C¹nh - C¹nh - C¹nh A (c.c.c) - NÕu ba c¹nh cđa tam gi¸c nµy b»ng ba c¹nh cđa tam gi¸c th× hai tam gi¸c ®ã b»ng NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã: AB = A 'B ' AC = A 'C ' => ∆ABC = ∆A 'B 'C '(c.c.c ) BC = B 'C ' B A' B' Ngườ i viết : Giá o viên Phạ m Văn Hiệ u C C' ' §· bÞ bỴ khãa N¨m häc 2010 - 2011 A *) Trêng hỵp 2: C¹nh - Gãc - C¹nh (c.g.c) - NÕu hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a cđa tam gi¸c nµy b»ng hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a cđa tam gi¸c th× hai tam gi¸c ®ã b»ng B NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã: AB = A 'B ' µ =B µ ' => ∆ABC = ∆A 'B 'C '(c.g.c ) B BC = B 'C' C A' C' B' *) Trêng hỵp 3: Gãc - C¹nh - Gãc (g.c.g) A - NÕu mét c¹nh vµ hai gãc kỊ cđa tam gi¸c nµy b»ng mét c¹nh vµ hai gãc kỊ cđa tam gi¸c th× hai tam gi¸c ®ã b»ng NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã: µ =B µ' B BC = B 'C' => ∆ABC = ∆A 'B 'C'(g.c.g ) µ = C' µ C B C A' C' B' c) C¸c trêng hỵp b»ng cđa hai tam gi¸c vu«ng Trêng hỵp 1: NÕu hai c¹nh gãc vu«ng cđa tam gi¸c vu«ng nµy b»ng hai c¹nh gãc vu«ng cđa tam gi¸c vu«ng th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng B B' A C A' C' Trêng hỵp 2: NÕu mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc nhän kỊ c¹nh Êy cđa tam gi¸c vu«ng nµy b»ng mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc nhän kỊ c¹nh Êy cđa tam gi¸c vu«ng th× hai gi¸c vu«ng ®ã b»ng Tµi liƯu ¤n thi vµo Trung häc Phỉ th«ng Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D ¬ng B B' A C A' C' Trêng hỵp 3: NÕu c¹nh hun vµ mét gãc nhän cđa tam gi¸c vu«ng nµy b»ng c¹nh hun vµ mét gãc nhän cđa tam gi¸c vu«ng th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng B' B C A C' A' Trêng hỵp 4: NÕu c¹nh hun vµ mét c¹nh gãc vu«ng cđa tam gi¸c vu«ng nµy b»ng c¹nh hun vµ mét c¹nh gãc vu«ng cđa tam gi¸c vu«ng th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng B B' A C A' C' A 19 Quan hƯ gi÷a c¸c u tè tam gi¸c (quan hƯ gi÷a gãc vµ c¹nh ®èi diƯn tam gi¸c) - Trong mét tam gi¸c, gãc ®èi diƯn víi c¹nh lín h¬n lµ gãc lín h¬n µ >C µ ∆ABC : NÕu AC > AB th× B B C Trong mét tam gi¸c, c¹nh ®èi diƯn víi gãc lín h¬n th× lín h¬n µ >C µ th× AC > AB ∆ABC : NÕu B 20 Quan hƯ gi÷a ®êng vu«ng gãc vµ ®êng xiªn, ®êng xiªn vµ h×nh chiÕu Kh¸i niƯm ®êng vu«ng gãc, ®êng xiªn, h×nh chiÕu cđa ®êng xiªn - LÊy A ∉ d, kỴ AH ⊥ d, lÊy B ∈ d vµ B ≠ H Khi ®ã : Ngườ i viết : Giá o viên Phạ m Văn Hiệ u §· bÞ bỴ khãa - §o¹n th¼ng AH gäi lµ ®êng vu«ng gãc kỴ tõ A ®Õn ®êng th¼ng d - §iĨm H gäi lµ h×nh chiÕu cđa A trªn ®êng th¼ng d - §o¹n th¼ng AB gäi lµ mét ®êng xiªn kỴ tõ A ®Õn ®êng th¼ng d - §o¹n th¼ng HB gäi lµ h×nh chiÕu cđa ®êng xiªn AB trªn ®.th¼ng d N¨m häc 2010 - 2011 A B H d Quan hƯ gi÷a ®êng xiªn vµ ®êng vu«ng gãc: Trong c¸c ®êng xiªn vµ ®êng vu«ng gãc kỴ tõ mét ®iĨm ë ngoµi mét ®êng th¼ng ®Õn ®êng th¼ng ®ã, ®êng vu«ng gãc lµ ®êng ng¾n nhÊt Quan hƯ gi÷a ®êng xiªn vµ h×nh chiÕu: Trong hai ®êng xiªn kỴ tõ mét ®iĨm n»m ngoµi mét ®êng th¼ng ®Õn ®êng th¼ng ®ã, th×: §êng xiªn nµo cã h×nh chiÕu lín h¬n th× lín h¬n §êng xiªn nµo lín h¬n th× cã h×nh chiÕu lín h¬n NÕu hai ®êng xiªn b»ng th× hai h×nh chiÕu b»ng vµ ngỵc l¹i, nÕu hai h×nh chiÕu b»ng th× hai ®êng xiªn b»ng 21 Quan hƯ gi÷a ba c¹nh cđa mét tam gi¸c BÊt ®¼ng thøc tam gi¸c - Trong mét tam gi¸c, tỉng ®é dµi hai c¹nh bÊt k× bao giê còng lín h¬n ®é dµi c¹nh cßn l¹i A AB + AC > BC AB + BC > AC AC + BC > AB B C - Trong mét tam gi¸c, hiƯu ®é dµi hai c¹nh bÊt k× bao giê còng nhá h¬n ®é dµi c¹nh cßn l¹i AC - BC < AB AB - BC < AC AC - AB < BC - NhËn xÐt : Trong mét tam gi¸c, ®é dµi mét c¹nh bao giê còng lín h¬n hiƯu vµ nhá h¬n tỉng ®é dµi hai c¹nh cßn l¹i VD: AB - AC < BC < AB + AC Tµi liƯu ¤n thi vµo Trung häc Phỉ th«ng Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D ¬ng 21 TÝnh chÊt ba ®êng trung tun cđa tam gi¸c - Ba ®êng trung tun cđa mét tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iĨm §iĨm ®ã c¸ch mçi ®Ønh mét kho¶ng b»ng ®é dµi ®êng F trung tun ®i qua ®Ønh Êy: GA = GB = GC = DA EB FC G lµ träng t©m cđa tam gi¸c ABC A G B E C D 22 TÝnh chÊt ba ®êng ph©n gi¸c cđa tam gi¸c - Ba ®êng ph©n gi¸c cđa mét tam A gi¸c cïng ®i qua mét ®iĨm §iĨm nµy c¸ch ®Ịu ba c¹nh cđa tam gi¸c ®ã - §iĨm O lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC O C B 23 TÝnh chÊt ba ®êng trung trùc cđa tam gi¸c - Ba ®êng trung trùc cđa mét tam A gi¸c cïng ®i qua mét ®iĨm §iĨm nµy c¸ch ®Ịu ba ®Ønh cđa tam gi¸c ®ã - §iĨm O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC O B C 24 Ph¬ng ph¸p chøng minh mét sè bµi to¸n c¬ b¶n (sư dơng mét c¸c c¸ch sau ®©y) a) Chøng minh tam gi¸c c©n Chøng minh tam gi¸c cã hai c¹nh b»ng Chøng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®êng trung tun võa lµ ®êng cao Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®êng cao võa lµ ®êng ph©n gi¸c ë ®Ønh b) Chøng minh tam gi¸c ®Ịu Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba c¹nh b»ng Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba gãc b»ng Chøng minh tam gi¸c c©n cã mét gãc lµ 600 c) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh b×nh hµnh Tø gi¸c cã c¸c c¹nh ®èi song song lµ h×nh b×nh hµnh Tø gi¸c cã c¸c c¹nh ®èi b»ng lµ h×nh b×nh hµnh Tø gi¸c cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng lµ h×nh b×nh hµnh Tø gi¸c cã c¸c gãc ®èi b»ng lµ h×nh b×nh hµnh Tø gi¸c cã hai ®êng chÐo c¾t t¹i trung ®iĨm cđa mçi ®êng lµ h×nh b×nh hµnh Ngườ i viết : Giá o viên Phạ m Văn Hiệ u Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D ¬ng x= B A => hƯ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm nhÊt y = y(m ) D¹ng 4: T×m gi¸ trÞ cđa tham sè ®Ĩ hƯ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm nhÊt, v« nghiƯm, v« sè nghiƯm *) §iỊu kiƯn ®Ĩ hƯ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn cã nghiƯm nhÊt, cã v« sè nghiƯm, v« nghiƯm ax + by = c (a, b, c, a’, b’, c’ kh¸c 0) a' x + b' y = c ' a b c = = a' b' c ' a b c + HƯ v« nghiƯm nÕu = ≠ a' b ' c ' a b + HƯ cã mét nghiƯm nhÊt nÕu ≠ a' b' + HƯ cã v« sè nghiƯm nÕu D¹ng 5: T×m gi¸ trÞ tham sè biÕt dÊu cđa nghiƯm cđa hƯ ph¬ng tr×nh D¹ng 6: T×m gi¸ tham sè biÕt nghiƯm cđa hƯ ph¬ng tr×nh 6.1: T×m mét gi¸ trÞ tham sè biÕt nghiƯm cđa hƯ ph¬ng tr×nh ax + by = c a′x + b′y = c′ Cho hƯ ph¬ng tr×nh : (1) (2) x = x0 T×m gi¸ trÞ tham sè ®Ĩ hƯ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm y = y C¸ch 1: Thay x = x0; y = y0 lÇn lỵt vµo (1) vµ gi¶i Thay x = x0; y = y0 lÇn lỵt vµo (2) vµ gi¶i C¸ch 2: Thay x = x0; y = y0 vµo c¶ hai ph¬ng tr×nh vµ gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh chøa Èn lµ tham sè 6.2: T×m hai gi¸ trÞ tham sè biÕt nghiƯm cđa hƯ ph¬ng tr×nh ax + by = c a′x + b′y = c′ Cho hƯ ph¬ng tr×nh: x = x0 cã nghiƯm y = y Bíc 1: Thay x = x0; y = y0 vµo c¶ hai ph¬ng tr×nh cđa hƯ ph¬ng ax + by = c a′x0 + b′y = c′ tr×nh ta ®ỵc Bíc 2: Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh chøa Èn lµ tham sè D¹ng 7: T×m gi¸ trÞ tham sè biÕt hƯ thøc liªn hƯ gi÷a x vµ y ax + by = c a′x + b′y = c′ Cho hƯ ph¬ng tr×nh : (1) (I) (2) Cã nghiƯm (x; y) tho¶ m·n: px + qy = d (3) Bíc 1: Tríc hÕt cÇn t×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè ®Ĩ hƯ (I) cã nghiƯm nhÊt Ngườ i viết : Giá o viên Phạ m Văn Hiệ u §· bÞ bỴ khãa 45 N¨m häc 2010 - 2011 Bíc 2: Do (x; y) lµ nghiƯm cđa hƯ (I) vµ tho¶ m·n (3) ⇒ (x; y) lµ nghiƯm cđa (1), (2), (3) KÕt hỵp ph¬ng tr×nh ®¬n gi¶n nhÊt ®Ĩ ®ỵc mét hƯ ph¬ng tr×nh => Gi¶i hƯ t×m nghiƯm thay vµo ph¬ng tr×nh cßn l¹i Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn lµ tham sè D¹ng 8: T×m gi¸ trÞ tham sè m ®Ĩ hƯ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm nhÊt (x0 ; y0) lµ nh÷ng sè nguyªn Bíc 1: T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm nhÊt Bíc 2: Ph©n tÝch x0 ; y0 díi d¹ng b víi a, b ∈ Z A(m ) d y0 = c + víi c, d ∈ Z B(m ) b x ∈ Z ∈ Z A(m ) ∈¦ ( b) A(m ) => m = ? d ∈ Z B(m ) ∈¦ (d ) y ∈ Z B(m ) x0 = a + *) §Ỉc biƯt nÕu : b víi a, b ∈ Z A(m ) d y0 = c + víi c, d ∈ Z A(m ) => x0 ,y0 ∈ Z A(m ) ∈¦ C( b,d ) => m = ? x0 = a + D¹ng 9: T×m gi¸ trÞ tham sè ®Ĩ biĨu thøc liªn hƯ gi÷a x, y lµ P(x,y) = ax2 + bx + c nhËn gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt C¸ch 1: Bíc 1: Tríc hÕt t×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè ®Ĩ hƯ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm nhÊt Bíc 2: BiÕn ®ỉi biĨu thøc liªn hƯ gi÷a x vµ y lµ: P(x,y) = kA2(x) + d (d lµ h»ng sè) k < ⇒ kA2(x) ≤ ⇒ kA2(x) + d ≤ d ⇒ P(x,y) ≤ d Gi¸ trÞ lín nhÊt cđa P(x,y) b»ng d ®¹t ®ỵc A(x) = k > ⇒ kA2(x) ≥ ⇒ kA2(x) + d ≥ d ⇒ P(x,y) ≥ d Gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa P(x,y) b»ng d ®¹t ®ỵc A(x) = C¸ch 2: P(x,y) = ax2 + bx + c ⇔ ax2 + bx + c – P(x,y) = Bíc 1: TÝnh ∆ hc ∆ ' Bíc 2: §Ỉt ®iỊu kiƯn ∆ ≥ ( ∆ ' ≥ 0) ⇒ Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh chøa Èn P(x,y) P(x,y) ≥ e ⇒ Gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa P(x,y) b»ng e ®¹t ®ỵc ∆ =∆' = ⇔ x = −b −b ' = a 2a P(x,y) ≤ e ⇒ Gi¸ trÞ lín nhÊt cđa P(x,y) b»ng e ®¹t ®ỵc ∆ =∆' = ⇔ x = −b −b' = 2a a Tµi liƯu ¤n thi vµo Trung häc Phỉ 45 th«ng Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D ¬ng D¹ng 10: T×m hƯ thøc liªn hƯ gi÷a x vµ y kh«ng phơ thc vµo tham sè Ph¬ng ph¸p: ax + by = c ®ã a, b, c, a’, b’, c’ chøa tham a ' x + b ' y = c ' Cho hƯ ph¬ng tr×nh: sè m T×m hƯ thøc liªn hƯ gi÷a x vµ y kh«ng phơ thc vµo tham sè m? *) C¸ch 1: Bíc 1: Tõ mét ph¬ng tr×nh cđa hƯ ta rót m theo x vµ y lµ m = A(x,y) Bíc 2: Thay m = A(x,y) vµo ph¬ng tr×nh thø hai cđa hƯ ta ®ỵc hƯ thøc liªn hƯ gi÷a x vµ y kh«ng phơ thc vµo tham sè m *) C¸ch 2: Sư dơng ®èi víi hƯ ph¬ng tr×nh cã tham sè m díi d¹ng bËc nhÊt ax + by = c m = A( x, y ) => a ' x + b ' y = c ' m = B( x, y ) Bíc 1: Tõ hƯ ph¬ng tr×nh Bíc 2: Cho A(x,y) = B(x,y) §©y lµ hƯ thøc liªn hƯ gi÷a x vµ y kh«ng phơ thc vµo tham sè m Lu ý: Ta cÇn rót gän c¸c hƯ thøc cho ng¾n gän, ®¬n gi¶n nhÊt D¹ng 11: T×m gi¸ trÞ cđa tham sè ®Ĩ hai hƯ ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng - Hai hƯ ph¬ng tr×nh ®ỵc gäi lµ t¬ng ®¬ng nÕu chóng cã cïng mét tËp nghiƯm (tøc lµ mäi nghiƯm cđa hƯ nµy ®Ịu lµ nghiƯm cđa hƯ vµ ngỵc l¹i) D¹ng 12: Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh theo ph¬ng ph¸p ®Ỉt Èn phơ vµ gi¶i mét sè hƯ ph¬ng tr×nh kh«ng ë d¹ng hƯ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn (hƯ ®Ỉc biƯt) VI – Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn PhÇn I: Ph¬ng tr×nh kh«ng chøa tham sè I §Þnh nghÜa: Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn (nãi gän lµ ph¬ng tr×nh bËc hai) lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) Trong ®ã: x lµ Èn; a, b, c lµ nh÷ng sè cho tríc gäi lµ c¸c hƯ sè II Ph©n lo¹i Ph¬ng tr×nh khut c: ax2 + bx = (a ≠ 0) Ph¬ng ph¸p gi¶i: ax2 + bx = (a, b ≠ 0) x = ⇔ x(ax + b) = ⇔ x = −b a −b a Ph¬ng tr×nh khut b: ax2 + c = (a, c ≠ 0) Ph¬ng ph¸p gi¶i: Ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x1 = 0; x2 = Ngườ i viết : Giá o viên Phạ m Văn Hiệ u §· bÞ bỴ khãa N¨m häc 2010 - 2011 47 ax2 + c = (a ≠ 0) −c ⇔ x2 = a +) −c NÕu < ⇒ Ph¬ng tr×nh v« nghiƯm a +) NÕu − c > ⇒ Ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt: a x1 = −c ; x = − −c a a Ph¬ng tr×nh bËc hai ®Çy ®đ: ax2 + bx + c = (a , b, c ≠ 0) *) C«ng thøc nghiƯm: ∆ = b2 - 4ac +) ∆ < ⇒ Ph¬ng tr×nh v« nghiƯm +) ∆ > ⇒ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt: x1 = −b + ∆ ; x2 = −b − ∆ 2a 2a +) ∆ = ⇒ Ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp: x1 = x2 = −b 2a * ) C«ng thøc nghiƯm thu gän b NÕu b = 2b’ (b’ = )→ ta cã : ∆’ = b’2 - ac + NÕu ∆’ > → ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt lµ : x1 = −b '+ ∆ ' −b '− ∆ ' ; x2 = a a + NÕu ∆’ = → ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp x1 = x2 = −b ' a + NÕu ∆’ < → ph¬ng tr×nh v« nghiƯm PhÇn II – C¸c d¹ng ph¬ng tr×nh chøa tham sè D¹ng 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh biÕt gi¸ trÞ cđa tham sè Thay gi¸ trÞ cđa tham sè vµo ph¬ng tr×nh vµ gi¶i ph¬ng tr×nh D¹ng 2: Gi¶i vµ biƯn ph¬ng tr×nh theo tham sè Tỉng qu¸t: Víi a = 0: Ph¬ng tr×nh trë thµnh ph¬ng tr×nh bËc nhÊt bx + c = −c + NÕu b ≠ th× ph¬ng tr×nh cã nghiƯm x = b + NÕu b = vµ c ≠ th× ph¬ng tr×nh v« nghiƯm + NÕu b = vµ c = th× ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiƯm Víi a ≠ ph¬ng tr×nh trë thµnh ph¬ng tr×nh bËc hai cã biƯt sè: ∆ = b2 – 4ac ( hay ∆ ’ = b’2 – ac) + NÕu ∆ < ( ∆ ’ < 0) th× ph¬ng tr×nh v« nghiƯm + NÕu ∆ = ( ∆ ’ = 0) th× ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp : b x1 = x2 = = − b' 2a a + NÕu ∆ > ( ∆ ’ > 0) th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt: Tµi liƯu ¤n thi vµo Trung häc Phỉ 47 th«ng Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D ¬ng x1 = −b + ∆ = −b'+ ∆ ' ; x2 = −b − ∆ = −b'− ∆ ' 2a a 2a a D¹ng 3: T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm - XÐt hai trêng hỵp cđa hƯ sè a: Trêng hỵp 1: a = 0, ta t×m ®ỵc mét vµi gi¸ trÞ cđa m, sau ®ã thay trùc tiÕp vµo ph¬ng tr×nh råi kÕt ln víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cđa m th× ph¬ng tr×nh cã nghiƯm Trêng hỵp 2: a · 0, ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã nghiƯm ∆ ≥ ( ∆ ' ≥ 0) D¹ng 4: T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã hai nghiƯm ph©n biƯt a≠0 ∆ > 0( ∆ ' > ) D¹ng 5: T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp a≠0 Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã nghiƯm kÐp ∆ = 0( ∆ ' = 0) D¹ng 6: T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè ®Ĩ ph¬ng tr×nh v« nghiƯm - XÐt hai trêng hỵp cđa hƯ sè a: Trêng hỵp 1: a = 0, ta t×m ®ỵc mét vµi gi¸ trÞ cđa m, sau ®ã thay trùc tiÕp vµo ph¬ng tr×nh råi kÕt ln víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cđa m th× ph¬ng tr×nh v« nghiƯm Trêng hỵp 2: a · 0, ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn v« nghiƯm ∆ < ( ∆ ' < ) D¹ng 7: Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiƯm ph©n biƯt §Ĩ chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã hai nghiƯm ph©n biƯt: a≠0 C¸ch 1: Chøng minh: ac < a ≠ C¸ch 2: Chøng minh: ∆ > Chó ý: Cho tam thøc bËc hai ∆ = am2 + bm + c a > ∆m = b − 4ac < §Ĩ chøng minh ∆ > 0, ∀m ta cÇn chøng minh D¹ng 8: T×m ®iỊu kiƯn cđa m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm cïng dÊu, tr¸i dÊu, cã hai nghiƯm d¬ng, cã hai nghiƯm ©m, cã hai nghiƯm d¬ng ph©n biƯt, cã hai nghiƯm ©m ph©n biƯt, cã hai nghiƯm lµ hai sè ®èi nhau, cã hai nghiƯm lµ hai sè nghÞch ®¶o cđa Cho ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = ; ®ã a, b, c chøa tham sè Ngườ i viết : Giá o viên Phạ m Văn Hiệ u §· bÞ bỴ khãa 49 N¨m häc 2010 - 2011 S = x + x = − b a Theo ®Þnh lÝ Vi - Ðt, ta cã : P = x1 x2 = c a a ≠ a≠0 a) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm cïng dÊu ∆ ≥ hc ∆ ≥ P > ac > a ≠ a≠0 b) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm tr¸i dÊu hc P < ac < a ≠ ∆ ≥ c) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm d¬ng P > S > a ≠ ∆ ≥ d) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ©m P > S < a ≠ ∆ > e) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm d¬ng ph©n biƯt P > S > a ≠ ∆ > f) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ©m ph©n biƯt P > S < g) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm lµ hai sè ®èi a≠0 ∆ ≥ b =0 S = x1 + x2 = − a h) Ph¬ng tr×nh cã nghiƯm lµ hai sè nghÞch ®¶o cđa Tµi liƯu ¤n thi vµo Trung häc Phỉ 49 th«ng Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D ¬ng a≠0 ∆ ≥ c =1 P = x1 x2 = a D¹ng 9: TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc liªn hƯ gi÷a hai nghiƯm Bíc 1: T×m ®iỊu kiƯn ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm Bíc 2: TÝnh x1 + x1 = −b c vµ x1.x1 = a a Bíc 3: BiĨu thÞ ®ỵc c¸c biĨu thøc theo x1 + x1 vµ x1.x1 ; sau ®ã thay gi¸ trÞ cđa x1 + x1 vµ x1.x1 vµo ®Ĩ tÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc Chó ý: a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b) (a − b)2 = (a + b)2 − 4ab ( a + b)2 = (a + b) + a.b a4 + b4 = (a2 + b2 )2 − 2a2b2 (a,b ≥ 0) a3 + b3 = a a + b b = ( a + b)(a − ab + b) (a,b ≥ 0) D¹ng 10: T×m ®iỊu kiƯn cđa m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x1, x2 tháa m·n mét c¸c ®iỊu kiƯn sau: + =n a) α x1 + β x2 = γ b) c) x12 + x22 = k d) x13 + x23 = t , x1 x2 Bíc 1: T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm a ≠ x1, x2 Gi¶i hƯ §K: => m = ? ∆ ≥ S = x + x = − b a Bíc 2: Theo hƯ thøc Vi – Ðt, ta cã: P = x1 x2 = c a Bíc 3: BiÕn ®ỉi ®iỊu kiƯn cđa ®Ị bµi (lµ mét ®¼ng thøc hc bÊt ®¼ng thøc) ®Ĩ cã tỉng vµ tÝch hai nghiƯm, sau ®ã thay tỉng vµ tÝch hai nghiƯm cã ®ỵc ë bíc vµo ®iỊu kiƯn võa biÕn ®ỉi; tõ ®ã gi¶i ph¬ng tr×nh hc bÊt ph¬ng tr×nh víi biÕn lµ tham sè ®Ĩ t×m gi¸ trÞ cđa tham sè TiÕp theo kiĨm tra xem c¸c gi¸ trÞ tham sè t×m ®ỵc cã tháa m·n hƯ ®iỊu kiƯn ë bíc hay kh«ng ? Hc cã bµi to¸n ta kÕt hỵp ®iỊu kiƯn cđa ®Ị bµi víi mét hƯ thøc Vi - Ðt ®Ĩ t×m hai nghiƯm x1, x2 (gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh víi hai Èn lµ x1, x2); sau ®ã ta thay x1, x2 vµo hƯ thøc Vi – Ðt cßn l¹i ®Ĩ t×m tham sè Ngườ i viết : Giá o viên Phạ m Văn Hiệ u §· bÞ bỴ khãa N¨m häc 2010 - 2011 51 D¹ng 11: T×m ®iỊu kiƯn ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã mét nghiƯm x = x T×m nghiƯm cßn l¹i Bíc 1: Thay x = x1 vµo ph¬ng tr×nh, ta cã: ax12 + bx1 + c = => m = ? Bíc 2: §Ĩ t×m nghiƯm cßn l¹i x2 ta thùc hiƯn theo hai c¸ch: C¸ch 1: Thay gi¸ trÞ cđa m vµo ph¬ng tr×nh ban ®Çu Tõ ®ã cã ph¬ng tr×nh bËc hai vµ gi¶i ph¬ng tr×nh nµy ta t×m ®ỵc x2 C¸ch 2: TÝnh x2 nhê ®Þnh lÝ Vi - Ðt: x2 = S − x1 hc x2 = P : x1 D¹ng 12: T×m ph¬ng tr×nh bËc hai biÕt tríc hai nghiƯm sè Trêng hỵp 1: Cho tõng nghiƯm x1, x2 Ta cã ph¬ng tr×nh víi Èn x lµ : ( x − x1 ) ( x − x2 ) = x2 − ( x1 + x2 ) x + x1 x2 = Trêng hỵp 2: Kh«ng cã x1, x2 riªng Bíc 1: T×m S = x1 + x2 vµ P = x1 x2 Bíc 2: Ph¬ng tr×nh víi Èn x lµ x2 − Sx + P = Ph¬ng tr×nh cã nghiƯm S2 ≥ P D¹ng 13: LËp ph¬ng tr×nh bËc hai biÕt mèi liªn hƯ gi÷a hai nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh cÇn lËp víi hai nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh cho tríc Bíc 1: KiĨm tra §K cã nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh Bíc 2: TÝnh tỉng vµ tÝch hai nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh ®· cho x1 + x = −b c , x1.x = a a Bíc 3: TÝnh tỉng vµ tÝch hai nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh cÇn lËp x3 vµ x4 th«ng qua mèi liªn hƯ víi x1 , x2 Bíc 4: LËp ph¬ng tr×nh D¹ng 14: T×m ®¼ng thøc liªn hƯ gi÷a hai nghiƯm kh«ng phơ thc vµo tham sè C¸ch 1: Bíc 1: T×m ®iỊu kiƯn ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x1, x2 a ≠ Gi¶i hƯ ®iỊu kiƯn ∆ ≥ −b S = x1 + x = a Bíc 2: TÝnh hƯ thøc Vi - Ðt: P = x x = c a Bíc 3: Khư tham sè hƯ thøc Vi – Ðt, t×m hƯ thøc liªn hƯ gi÷a S vµ P §ã lµ hƯ thøc ®éc lËp víi tham sè gi÷a c¸c nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh C¸ch 2: Bíc 1: T×m ®iỊu kiƯn ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x1, x2 Tµi liƯu ¤n thi vµo Trung häc Phỉ 51 th«ng Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D ¬ng a ≠ Gi¶i hƯ ®iỊu kiƯn ∆ ≥ Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh t×m x1, x2 Bíc 3: T×m hƯ thøc (khư tham sè) D¹ng 15: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cđa tam thøc bËc hai y = ax + bx + c (a ≠ ) C¸ch 1: BiÕn ®ỉi y = kA2(x) + m (m lµ h»ng sè) k < ⇒ kA2(x) ≤ ⇒ kA2(x) + m ≤ m ⇒ y ≤ m Gi¸ trÞ lín nhÊt cđa y b»ng m ®¹t ®ỵc A(x) = k > ⇒ kA2(x) ≥ ⇒ kA2(x) + m ≥ m ⇒ y ≥ m Gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa y b»ng m ®¹t ®ỵc A(x) = C¸ch 2: y = ax2 + bx + c ⇔ ax2 + bx + c – y = + Bíc 1: TÝnh ∆ hc ∆ ' + Bíc 2: §Ỉt ®iỊu kiƯn ∆ ≥ ( ∆ ' ≥ 0) ⇒ Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh chøa Èn y y ≥ m ⇒ Gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa y b»ng m ®¹t ®ỵc ∆ =∆' = ⇔ x = −b −b ' = a 2a y ≤ m ⇒ Gi¸ trÞ lín nhÊt cđa y b»ng m ®¹t ®ỵc ∆ =∆' = ⇔ x = −b −b' = 2a a D¹ng 16: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cđa biĨu thøc liªn hƯ gi÷a hai nghiƯm Bíc 1: KiĨm tra sù cã nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh Bíc 2: TÝnh x1 + x = −b c , x1.x = a a Bíc 3: BiÕn ®ỉi biĨu thøc liªn hƯ gi÷a hai nghiƯm lµ A(x1; x2) vỊ d¹ng cã chøa x1+ x2 vµ x1.x2 Bíc 4: Thay x1 + x2 vµ x1.x2 vµo biĨu thøc A Khi ®ã A trë thµnh tam thøc bËc hai Èn lµ tham sè Bíc 5: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cđa A Chän gi¸ trÞ tham sè thÝch hỵp D¹ng 17: Chøng minh biĨu thøc liªn hƯ gi÷a hai nghiƯm kh«ng phơ thc vµo tham sè Bíc 1: T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x1 , x2 −b x1 + x = a Bíc 2: TÝnh hƯ thøc Vi- Ðt: x x = c a Ngườ i viết : Giá o viên Phạ m Văn Hiệ u §· bÞ bỴ khãa N¨m häc 2010 - 2011 53 Bíc 3: TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc theo x1+ x2 vµ x1.x2 ; thÊy kÕt qu¶ lµ mét h»ng sè => BiĨu thøc liªn hƯ gi÷u hai nghiƯm kh«ng phơ thc vµo tham sè D¹ng 18: T×m gi¸ trÞ cđa tham sè ®Ĩ hai nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh tháa m·n bÊt ®¼ng thøc ®· cho D¹ng 19: T×m hai sè biÕt tỉng vµ tÝch cđa chóng NÕu hai sè u vµ v tho¶ m·n u + v = S (S2 ≥ 4P) Th× u vµ v lµ u.v = P nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh x2 - Sx + P = (*) - NÕu ph¬ng tr×nh (*) cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1 , x2 Do x, y cã vai trß u = x1 u = x2 hc v = x2 v = x1 - NÕu ph¬ng tr×nh (*) cã nghiƯp kÐp x1 = x2 = a => u = v = a nh nªn cã hai cỈp sè tháa m·n lµ - NÕu ph¬ng tr×nh (*) v« nghiƯm => Kh«ng t×m ®ỵc cỈp gi¸ trÞ (u, v) nµo tháa m·n yªu cÇu ®Ị bµi D¹ng 20: T×m gi¸ trÞ cđa tham sè ®Ĩ hai ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã nghiƯm chung Cho hai ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = (a ≠ 0) vµ a ' x2 + b' x + c ' = (a ' ≠ 0) Trong ®ã a, b,c,a ', b',c ' chøa tham sè m *) C¸ch 1: Hai ph¬ng tr×nh trªn cã nghiƯm chung vµ chØ hƯ ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) cã nghiƯm a ' x + b ' x + c ' = (a ' ≠ 0) Trõ vÕ víi vÕ cđa hai ph¬ng tr×nh hƯ ta cã ph¬ng tr×nh d¹ng: A(m).x = B(m) +) NÕu A(m) = 0, tõ ®¼ng thøc nµy ta rót mét vµi gi¸ trÞ cđa m, sau ®ã thay trùc tiÕp vµo hai ph¬ng tr×nh → gi¶i hai ph¬ng tr×nh kh«ng chøa tham sè vµ xÐt xem øng víi gi¸ trÞ m ®ã hai ph¬ng tr×nh cã nghiƯm chung hay kh«ng ? +) NÕu A(m ) ≠ => x = B(m ) (chøa tham sè) Thay vµo mét A(m ) hai ph¬ng tr×nh ta rót mét vµi gi¸ trÞ cđa m, sau ®ã thay tõng gi¸ trÞ cđa m vµo hai ph¬ng tr×nh → gi¶i hai ph¬ng tr×nh kh«ng chøa tham sè vµ xÐt xem øng víi gi¸ trÞ m ®ã hai ph¬ng tr×nh cã nghiƯm chung hay kh«ng ? +) NÕu A(m ) ≠ => x = B(m ) (kh«ng chøa tham sè), kÕt ln A(m ) ®©y lµ nghiƯm chung cđa hai ph¬ng tr×nh Thay nghiƯm chung ®ã vµo mét hai ph¬ng tr×nh ta rót gi¸ trÞ cđa m Tµi liƯu ¤n thi vµo Trung häc Phỉ 53 th«ng Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D ¬ng KÕt ln: øng víi gi¸ trÞ m nµo th× hai ph¬ng tr×nh cã nghiƯm chung, nghiƯm chung lµ g× ? *) C¸ch 2: ChØ thùc hiƯn c¸ch gi¶i nµy ë mét sè bµi to¸n ®¬n gi¶n Tõ hai ph¬ng tr×nh ax + bx + c = => m = A(x) a ' x + b' x + c ' = => m = B(x) Ta cã: A(x) = B(x) Gi¶i ph¬ng tr×nh nµy ta ®ỵc nghiƯm chung cđa hai ph¬ng tr×nh, sau ®ã thay nghiƯm chung ®ã vµo mét hai ph¬ng tr×nh ta t×m ®ỵc gi¸ trÞ cđa tham sè m, nÕu cÇn thiÕt thư l¹i ®Ĩ kiĨm tra C¸ch 3: ChØ thùc hiƯn c¸ch gi¶i nµy ë mét sè bµi to¸n ®¬n gi¶n Tõ mét hai ph¬ng tr×nh ta rót m theo x vµ thÕ vµo ph¬ng tr×nh kia, ®ỵc ph¬ng tr×nh Èn x; tõ ph¬ng tr×nh nµy ta t×m ®ỵc nghiƯm chung, sau ®ã t×m m = ? D¹ng 21: Chøng minh hai ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã Ýt nhÊt mét ph¬ng tr×nh cã nghiƯm Cho hai ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = (a ≠ 0) vµ a ' x2 + b' x + c ' = (a ' ≠ 0) Trong ®ã a, b,c,a ', b',c ' chøa tham sè Chøng minh Ýt nhÊt mét hai ph¬ng tr×nh trªn cã nghiƯm Ph¬ng ph¸p: C¸ch 1: Gäi ∆1 , ∆2 lÇn lỵt lµ biƯt thøc cđa hai ph¬ng tr×nh Ta cÇn chøng minh +) ∆1 + ∆2 ≥ => ∆1 ≥ hc ∆2 ≥ hc ∆1 , ∆2 ≥ +) ∆1 ∆2 ≤ => ∆1 ≥ hc ∆2 ≥ VËy Ýt nhÊt mét hai ph¬ng tr×nh trªn cã nghiƯm C¸ch 2: Chøng minh b»ng ph¶n chøng Gi¶ sư c¶ hai ph¬ng tr×nh ®Ịu v« nghiƯm Khi ®ã ∆1 < 0, ∆2 < Ta lËp ln dÉn ®Õn ®iỊu v« lÝ => ph¶i cã Ýt nhÊt mét hai biƯt thøc kh«ng ©m VËy cã Ýt nhÊt mét hai ph¬ng tr×nh trªn cã nghiƯm D¹ng 22: T×m gi¸ trÞ cđa tham sè ®Ĩ hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng - LÝ thut chung: Hai ph¬ng tr×nh ®ỵc gäi lµ t¬ng ®¬ng nÕu chóng cã cïng mét tËp nghiƯm *) D¹ng 22.1: Hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt T×m nghiƯm cđa hai ph¬ng tr×nh theo tham sè vµ cho hai nghiƯm b»ng nhau, tõ ®ã t×m ®ỵc gi¸ trÞ cđa tham sè ®Ĩ hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng *) D¹ng 22.2: Hai ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn XÐt hai trêng hỵp Trêng hỵp1: Hai ph¬ng tr×nh cã nghiƯm chung Tríc hÕt t×m gi¸ trÞ cđa tham sè ®Ĩ hai ph¬ng tr×nh cã nghiƯm chung sau ®ã thay gi¸ trÞ cđa tham sè vµo hai ph¬ng tr×nh vµ t×m tËp nghiƯm cđa chóng NÕu tËp nghiƯm b»ng th× hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng => gi¸ trÞ cđa tham sè ∆1 < ∆2 < Trêng hỵp 2: Hai ph¬ng tr×nh cïng v« nghiƯm => Gi¸ trÞ cđa tham sè §Ỉc biƯt: NÕu nhËn thÊy mét hai ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm Ngườ i viết : Giá o viên Phạ m Văn Hiệ u §· bÞ bỴ khãa N¨m häc 2010 - 2011 55 ( ∆1 ≥ hc ∆2 ≥ ) => Hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng hai nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh nµy còng lµ hai nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh kia, ®ã ta cã thĨ ¸p dơng vi - Ðt cho c¶ hai ph¬ng tr×nh vµ t×m tham sè Cơ thĨ ta cã: x1 + x2 = − b = − b' ;x1 x2 = c = − c' => m = ? a a' a a' D¹ng 23: T×m gi¸ trÞ cđa tham sè biÕt nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh 23.1: T×m gi¸ trÞ cđa tham sè biÕt mét nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh Cho ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = (a ≠ 0) cã mét nghiƯm x = x1 C¸ch gi¶i: Bíc1: Thay x = x1 vµo ph¬ng tr×nh ax12 + bx1 + c = Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh cã Èn lµ tham sè 23.2: T×m gi¸ trÞ cđa tham sè biÕt hai nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh Cho ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = (1) (a ≠ 0) cã hai nghiƯm x = x1; x = x2 C¸ch 1: Bíc 1: Thay x = x1; x = x2 vµo ph¬ng tr×nh (1) ta cã hƯ ph¬ng tr×nh: ax12 + bx1 + c = ax + bx + c = Bíc 2: Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh cã Èn lµ tham sè C¸ch 2: Bíc 1: T×m ®iỊu kiƯn ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm −b x1 + x = a Bíc 2: Theo Vi - Ðt x x = c a Bíc 3: Thay x = x1; x = x2 vµo hƯ vµ gi¶i ta ®ỵc gi¸ trÞ cđa tham sè D¹ng 24: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ tham sè ®Ĩ tam thøc bËc hai lu«n lu«n d¬ng hc lu«n lu«n ©m víi mäi x Cho tam thøc bËc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) − ∆ ( ) ( ) a a 2a 4a +) NÕu ∆ < => ( x + b ) − ∆ > Khi ®ã f(x) cïng dÊu víi hƯ sè 2a 4a f(x) = a( x + b x + c ) = a x + b 2 − b − 4ac 4a b = a x + 2a 2 a, ta cã c¸c trêng hỵp sau a > ∆ < f(x) > 0, ∀x a < ∆ < f(x) < 0, ∀x a > ∆ ≤ f(x) ≥ 0, ∀x Tµi liƯu ¤n thi vµo Trung häc Phỉ 55 th«ng 2 Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D ¬ng a < ∆ ≤ +) NÕu ∆ = => f ( x ) = a( x + b ) 2a f(x) · 0, ∀x => f(x) cïng dÊu víi hƯ sè a, trõ trêng hỵp x = − b 2a Khi x = − b th× f(x) = 2a VII – Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph ¬ng tr×nh, lËp hƯ ph ¬ng tr×nh LÝ thut chung C¸c bíc gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh Bíc 1: LËp ph¬ng tr×nh - Chän Èn sè vµ x¸c ®Þnh ®iỊu kiƯn thÝch hỵp cho Èn sè; - BiĨu diƠn c¸c ®¹i lỵng cha biÕt theo Èn vµ c¸c ®¹i lỵng ®· biÕt; - LËp ph¬ng tr×nh biĨu thÞ mèi quan hƯ gi÷a c¸c ®¹i lỵng Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh Bíc 3: Tr¶ lêi: KiĨm tra xem c¸c nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh, nghiƯm nµo tho¶ m·n ®iỊu kiƯn cđa Èn, nghiƯm nµo kh«ng råi kÕt ln C¸c bíc gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp hƯ ph¬ng tr×nh Bíc 1: LËp hƯ ph¬ng tr×nh - Chän hai Èn sè vµ x¸c ®Þnh ®iỊu kiƯn thÝch hỵp cho chóng; - BiĨu diƠn c¸c ®¹i lỵng cha biÕt theo c¸c Èn vµ c¸c ®¹i lỵng ®· biÕt; - LËp hai ph¬ng tr×nh biĨu thÞ mèi quan hƯ gi÷a c¸c ®¹i lỵng Bíc 2: Gi¶i hƯ hai ph¬ng tr×nh nãi trªn Bíc 3: Tr¶ lêi: KiĨm tra xem c¸c nghiƯm cđa hƯ ph¬ng tr×nh, nghiƯm nµo tho¶ m·n ®iỊu kiƯn cđa Èn, nghiƯm nµo kh«ng råi kÕt ln Ph©n d¹ng bµi tËp chi tiÕt D¹ng 1: To¸n chun ®éng - Ba ®¹i lỵng: S, v, t S S - Quan hƯ: S = vt; t = ; v = (dïng c«ng thøc S = v.t tõ ®ã t×m v t mèi quan hƯ gi÷a S , v vµ t) - Chó ý bµi to¸n can« : Vxu«i dßng = Vthùc + Vníc ; Vngỵc dßng = Vthùc – Vníc *) To¸n ®i gỈp cÇn chó ý ®Õn tỉng qu·ng ®êng vµ thêi gian b¾t ®Çu khëi hµnh *) To¸n ®i kÞp chó ý ®Õn vËn tèc h¬n kÐm vµ qu·ng ®êng ®i ®ỵc cho ®Õn ®i kÞp D¹ng 2: To¸n vỊ quan hƯ gi÷a c¸c sè ab = 10a + b Ngườ i viết : Giá o viên Phạ m Văn Hiệ u §· bÞ bỴ khãa N¨m häc 2010 - 2011 57 abc = 100a + 10b + c §iỊu kiƯn: < a ≤ 9; ≤ b, c ≤ (a, b, c ∈ Z ) D¹ng 3: To¸n lµm chung, lµm riªng, n¨ng st *) Bµi to¸n lµm chung, lµm riªng: + Qui íc: C¶ c«ng viƯc lµ ®¬n vÞ + T×m ®v thêi gian ®èi tỵng tham gia bµi to¸n thùc hiƯn ®ỵc bao nhiªu phÇn c«ng viƯc + C«ng thøc: PhÇn c«ng viƯc = Thêi gian + Sè lỵng c«ng viƯc = Thêi gian N¨ng st *) Bµi to¸n n¨ng st: + Gåm ba ®¹i lỵng: Tỉng s¶n phÈm ; n¨ng st; thêi gian + Quan hƯ: Tỉng s¶n phÈm = N¨ng st Thêi gian; => Thêi gian = Tỉng s¶n phÈm Tỉng s¶n phÈm ; N¨ng st = N¨ng st Thêi gian D¹ng 4: To¸n diƯn tÝch D¹ng 5: To¸n cã quan hƯ h×nh häc D¹ng 6: To¸n cã néi dung lÝ, hãa D¹ng 7: To¸n d©n sè, to¸n phÇn tr¨m Thầy giáo : Phạm Văn Hiệu *) H·y gi÷ phÝm ctrl vµ nhÊn vµo ®êng link nµy - http://quanghieu030778.violet.vn Ghi chó NÕu mn tham kh¶o c¸c bµi tËp cđa tõng phÇn, tõng d¹ng Xin mêi c¸c q thÇy c« vµ c¸c em häc sinh h·y truy cËp vµo website cđa Quang HiƯu theo ®Þa chØ: http://quanghieu030778.violet.vn Tµi liƯu nµy ®ỵc viÕt víi rÊt nhiỊu t©m hut, ch¾c ch¾n cã nh÷ng sai sãt kh«ng mong mn VËy Quang HiƯu rÊt mong ®ỵc sù gãp ý cđa c¸c ®ång chÝ l·nh ®¹o, c¸c b¹n ®ång nghiƯp vµ c¸c em häc sinh trªn mäi miỊn tỉ qc ®Ĩ cho tµi liƯu nµy ®ỵc hoµn thiƯn h¬n, gãp phÇn nhá Tµi liƯu ¤n thi vµo Trung häc Phỉ 57 th«ng Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D ¬ng bÐ n©ng cao chÊt lỵng gi¶ng d¹y vµ häc tËp Bé gi¸o dơc vµ §µo t¹o ph¸t ®éng Quang HiƯu rÊt h©n h¹nh ®ỵc phơc vơ q thÇy c« vµ c¸c em häc sinh trªn mäi miỊn tỉ qc ! Ngườ i viết : Giá o viên Phạ m Văn Hiệ u [...]... Rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ c¸c biĨu thøc h÷u tØ - Khi thùc hiƯn rót gän mét biĨu thøc h÷u tØ ta ph¶i tu©n theo thø tù thùc hiƯn c¸c phÐp to¸n : Nh©n chia tríc, céng trõ sau Cßn nÕu biĨu Ngườ i viết : Giá o viên Phạ m Văn Hiệ u §· bÞ bỴ khãa N¨m häc 2010 - 2011 31 thøc cã c¸c dÊu ngc th× thùc hiƯn theo thø tù ngc trßn, ngc vu«ng, ngc nhän - Víi nh÷ng bµi to¸n t×m gi¸ trÞ cđa ph©n thøc th× ph¶i t×m ®iỊu... (víi T lµ mét ®iĨm thc ®êng th¼ng y = ax + b cã tung ®é d¬ng) - NÕu a > 0 th× gãc α t¹o bëi ®êng th¼ng y = ax + b víi trơc Ox ®ỵc tÝnh theo c«ng thøc nh sau: tgα = a (cÇn chøng minh míi ®ỵc dïng) - NÕu a < 0 th× gãc α t¹o bëi ®êng th¼ng y = ax + b víi trơc Ox ®ỵc tÝnh theo c«ng thøc nh sau: α = 1800 − β víi tgβ = a (cÇn chøng minh míi ®ỵc dïng) y y T T (a < 0) (a > 0) A α O x A Tµi liƯu ¤n thi vµo Trung... tam gi¸c ®ång d¹ng - TØ sè hai ®êng cao t¬ng øng cđa hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng tØ sè ®ång d¹ng - TØ s« diƯn tÝch cđa hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng b×nh ph¬ng tØ sè ®ång d¹ng - Cơ thĨ : ∆A 'B 'C ' ∆ABC theo tØ sè k S 2 => A 'H ' = k vµ A 'B 'C ' = k AH SABC 28 DiƯn tÝch c¸c h×nh h b a a S = a b h a 2 S=a a S = 1 ah 2 S = 1 ah 2 b h E a S = 1 ah 2 F h a S = 1 (a + b)h = EF.h 2 Tµi liƯu ¤n thi vµo Trung... ngoµi dÊu c¨n (nÕu cã) - Trơc c¨n thøc ë mÉu (nÕu cã) Tµi liƯu ¤n thi vµo Trung häc Phỉ 31 th«ng Trêng THCS Hång Hng - Gia Léc – h¶i D ¬ng - Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh lòy thõa, khai c¨n, nh©n, chia , … theo thø tù ®· biÕt ®Ĩ lµm xt hiƯn c¸c c¨n thøc ®ång d¹ng - Céng, trõ c¸c biĨu thøc ®ång d¹ng (c¸c c¨n thøc ®ång d¹ng) b) C¸c h»ng ®¼ng thøc quan träng, ®¸ng nhí: 1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ( a + b)2 =... ) - NÕu a > 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n ®ång biÕn trªn ¡ - NÕu a < 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n nghÞch biÕn trªn ¡ Hµm bËc hai mét Èn sè y = ax2 ( a ≠ 0 ) cã thĨ nhËn biÕt ®ång biÕn vµ nghÞch biÕn theo dÊu hiƯu sau: - NÕu a > 0 th× hµm ®ång biÕn khi x > 0, nghÞch biÕn khi x < 0 - NÕu a < 0 th× hµm ®ång biÕn khi x < 0, nghÞch biÕn khi x > 0 Kh¸i niƯm vỊ ®å thÞ hµm sè §å thÞ cđa hµm sè y = f(x) lµ... - Tr×nh bµy gän : A(x).B(x) = 0 B( x ) = 0 A( x ) = 0 - Më réng: A(x).B(x).C(x) = 0 B( x ) = 0 C( x ) = 0 3 Ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu - Gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu ta thùc hiƯn theo 4 bíc: Bíc 1: T×m §KX§ cđa ph¬ng tr×nh Bíc 2: Quy ®ång mÉu hai vÕ cđa ph¬ng tr×nh råi khư mÉu Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh võa nhËn ®ỵc Bíc 4: (kÕt ln) Trong c¸c gi¸ trÞ cđa Èn t×m ®ỵc ë bíc 3,... NÕu a > 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n ®ång biÕn trªn ¡ - NÕu a < 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n nghÞch biÕn trªn ¡ b) Hµm bËc hai mét Èn sè y = ax2 ( a ≠ 0 ) cã thĨ nhËn biÕt ®ång biÕn vµ nghÞch biÕn theo dÊu hiƯu sau: - NÕu a > 0 th× hµm ®ång biÕn khi x > 0, nghÞch biÕn khi x < 0 - NÕu a < 0 th× hµm ®ång biÕn khi x < 0, nghÞch biÕn khi x > 0 D¹ng 4: VÏ ®å thÞ hµm sè §å thÞ cđa hµm sè y = f(x) lµ tËp ... tham sè võa thu ®ỵc D¹ng 3: Gi¶i vµ biƯn ln hƯ ph¬ng tr×nh theo tham sè - Dïng ph¬ng ph¸p céng hc thÕ ®Ĩ t×m x theo tham sè m (hc y theo tham sè m), lµm xt hiƯn ph¬ng tr×nh cã d¹ng : Ax = B (1)... ax + b víi trơc Ox ®ỵc tÝnh theo c«ng thøc nh sau: tgα = a (cÇn chøng minh míi ®ỵc dïng) - NÕu a < th× gãc α t¹o bëi ®êng th¼ng y = ax + b víi trơc Ox ®ỵc tÝnh theo c«ng thøc nh sau: α = 1800... vµ tÝnh gi¸ trÞ c¸c biĨu thøc h÷u tØ - Khi thùc hiƯn rót gän mét biĨu thøc h÷u tØ ta ph¶i tu©n theo thø tù thùc hiƯn c¸c phÐp to¸n : Nh©n chia tríc, céng trõ sau Cßn nÕu biĨu Ngườ i viết : Giá