de thi mon toan truong thcs vinh tuong

Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán SỐ I Thời gian làm 120 phút Câu : (2 điểm) Cho biểu thức A = a + 2a − a + 2a + a + a, Rút gọn biểu thức b, Chứng minh a số nguyên giá trị biểu thức tìm câu a, phân số tối giản Câu 2: (1 điểm) Tìm tất số tự nhiên có chữ số abc cho abc = n − cba = (n − 2) Câu 3: (2 điểm) a Tìm n để n2 + 2006 số phương b Cho n số nguyên tố lớn Hỏi n2 + 2006 số nguyên tố hợp số Câu 4: (2 điểm) a+n a b+n b 10 10 + B = 11 So sánh A B 10 + a Cho a, b, n ∈ N* Hãy so sánh b Cho A = 1011 − ; 1012 − Câu 5: (2 điểm) Cho 10 số tự nhiên : a 1, a2, ., a10 Chứng minh có số tổng số số liên tiếp dãy chia hết cho 10 Câu 6: (1 điểm) Cho 2006 đường thẳng đườngthẳng cắt Khơng có đường thẳng đồng qui Tính số giao điểm chúng ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ I Câu 1: Ta có: A = (a + 1)(a + a − 1) a + a − a + 2a − = = (a + 1)(a + a + 1) a + a + a + 2a + a + Điều kiện a ≠ -1 ( 0,25 điểm) Rút gọn cho 0,75 điểm b.Gọi d ước chung lớn a2 + a – a2+a +1 ( 0,25 điểm) Vì a2 + a – = a(a+1) – số lẻ nên d số lẻ Mặt khác, = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ]  d Nên d = tức a2 + a + a2 + a – nguyên tố ( 0, điểm) Vậy biểu thức A phân số tối giản ( 0,25 điểm) Câu 2: (1) abc = 100a + 10 b + c = n2-1 (2) (0,25 điểm) cba = 100c + 10 b + a = n – 4n + Từ (1) (2) ⇒ 99(a-c) = n – ⇒ 4n –  99 (3) (0,25 điểm) Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán Mt khác: 100 [ n2-1 [ 999 ⇔ 101 [ n2 [ 1000 ⇔ 11 [n[31 ⇔ 39 [4n – [ 119 (4) ( 0, 25 điẻm) Từ (3) (4) ⇒ 4n – = 99 ⇒ n = 26 Vậy: abc = 675 ( , 25 điểm) Câu 3: (2 điểm) a) Giả sử n2 + 2006 số phương ta đặt n + 2006 = a2 ( a∈ Z) ⇔ a2 – n2 = 2006⇔ (a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,25 điểm) + Thấy : Nếu a,n khác tính chất chẵn lẻ vế trái (*) số lẻ nên khơng thỏa mãn (*) ( 0,25 điểm) + Nếu a,n tính chẵn lẻ (a-n) 2 (a+n) 2 nên vế trái chia hết cho vế phải không chia hết không thỏa mãn (*) (0,25 điểm) Vậy không tồn n để n2 + 2006 số phương (0,25 điểm) b) n số nguyên tố > nên không chia hết cho Vậy n chia hết cho dư n2 + 2006 = 3m + + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho Vậy n2 + 2006 hợp số ( điểm) Bài 4: Mỗi câu cho điểm a Ta xét trường hợp b =1 a b >1 TH1: b = ⇔ a=b b + n b + n = a TH1: b > ⇔ a>b ⇔ a+m > b+n a a+n a+n a b a b < (0,5 điểm) =1 (0 , ,5 điểm) a −b a+n Mà b + n có phần thừa so với b + n a b có phần thừa so với a −b , b a −b b +n < a −b b nên b −a bb + n nên b + n > b (0,25 a+n b+ n < a b (0,25 điểm) a TH3: b y=17 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9 (0,25đ) (x,y) = (0,17); (1,9) (0,25đ) b.(1đ) Tun chän ®Ị thi häc sinh giái to¸n Ta có 4n-5 = 2( 2n-1)-3 (0,25đ) để 4n-5 chia hết cho2n-1 => chia hết cho2n-1 (0,25đ) =>* 2n-1=1 => n=1 *2n-1=3=>n=2 (0,25đ) n=1;2 (0,25đ) c (1đ) Ta có 99=11.9 B chia hết cho 99 => B chia hết cho 11và B chia hết cho 99 (0,25đ) *B chia hết cho => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia hết cho  (x+y+3) chia hết cho 9=> x+y=6 x+y =15 • B chia hết cho 11=> (7+4+x+6-2-2-y) chia hết cho11=> (13+x-y)chia hết cho 11 x-y=9 (loại) y-x=2 (0,25đ) y-x=2 x+y=6 => y=4; x=2 (0,25đ) y-x=2 x+y=15 (loại) B=6224427 (0,25đ) Câu2: a Gọi dlà ước ching 12n+1và 30n+2 ta có 5(12n+1)-2(30n+2)=1 chia hết cho d (0,5đ) d=1 nên 12n+1 30n+2 nguyên tố 12n + phân số tối giản 30n + 1 1 b Ta có < = 2.1 2 1 1 = < 2.3 3 (0,5đ) 1 1 = < 99.100 99 100 100 Vậy (0,5đ) 1 1 1 1 + - + + + + + < 99 100 100 2 1 99 = nên p có dạng: + p = 3k +1 > p – = 3k + – = 3k  > p4 –  + p = 3k + > p + = 3k + + = 3k +3  > p4 -1  (0,25đ) - Mặt khác, p dạng: + P = 5k +1 > p – = 5k + - = 5k  > p4 -  + p = k+ > p2 + = (5k +2)2 +1 = 25k2 + 20k +5  > p4 -  (0,25 đ) + p = 5k +3 > p2 +1 = 25k2 + 30k +10  > p4 –1  + p = 5k +4 > p + = 5k +5  > p4 –  (0,25đ) Vậy p4 –  hay p4 –  240 Tương tự ta có q4 -  240 (0,25đ) Vậy: (p4 - 1) – (q4 –1) = p4 – q4  240 Câu 2: (2đ) 8n + 193 2(4n + 3) + 187 187 = = 2+ 4n + 4n + 4n + ∈ Để A N 187  4n + => 4n +3 ∈ {17;11;187} (0,5đ) a A = + 4n + = 11 -> n = + 4n +3 = 187 > n = 46 + 4n + = 17 -> 4n = 14 -> khơng có n ∈ N (0,5đ) Vậy n = 2; 46 b.A tối giản 187 4n + có UCLN -> n ≠ 11k + (k ∈ N) -> n ≠ 17m + 12 (m ∈ N) (0,5đ) 77 ; 19 89 n = 165 -> A = 39 139 n = 167 -> A = (0,5đ) 61 c) n = 156 -> A = Câu 3: (2đ) Do –4 = 12 (- 4) = 22.(-1) nê có trường hợp sau: ( x − 2) =  x − =  x = ⇒ ⇒ a  (0,5đ)  y = −1  y = −1  y − = −4  x − = −1  x = ⇒   y = −1  y = −1 ( x − 2) = 2 x − = x = ⇒ ⇒ b  y = y =  y − = −1  x − = −2  x = ⇒  y = y = (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) 39 Tun chän ®Ị thi häc sinh giái to¸n A Câu 4: (3đ) a M, B thuộc tia đối CB CM -> C nằm B M ->BM = BC + CM = (cm) (0,5đ) M B x K C y b C nằm B,M -> Tia AC nằm tia AB, AM -> ∠ CAM = ∠ BAM - ∠ BAC = 200 (0,75đ) 1 ∠ BAC + ∠ CAM 2 1 = ( ∠ BAC + ∠ CAM) = ∠ BAM = 80 = 400 (0,75đ) 2 d + Nếu K ∈ tia CM -> C nằm B K1 c Có ∠ xAy = ∠ x AC + ∠ CAy = -> BK1 = BC + CK1 = (cm) (0,5đ) + Nếu K ∈ tia CB -> K2 nằm B C -> BK2 = BC = CK2 =4 (cm) (0,5 đ) Câu 5: (1đ) Ta có 1 1 2 1 2 1 2 1 = ( − )⇒ = ( − )⇒ = ( − ); = ( − ); 1.4 1.4 4.7 7.10 10 2 1 = ( − ) (0,5đ) 97.100 99 100 1 1 1 1 ⇒ B= ( − + − + − + + − ) 4 7 10 99 100 1 99 33 ⇒ B= ( − )= = (0,5đ) 100 100 50 ; -ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ XX Câu a) Để 510* ; 61*16 chia hết cho thì: + + + * chia hết cho 3; từ tìm * = 0; 3; 6; (1đ) b) Để 261* chia hết cho chia dư thì: * chẵn + + + * chia dư 1; từ tìm * = (1đ) Câu S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 3.S = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100).3 (0,5đ) = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + 99.100.3 = 1.2.3 +2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + + 99.100.(101 - 98) (0,5đ) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - - 98.99.100 + 99.100.101 S = 99.100.101: = 33 100 101 = 333300 (0,5đ) 40 TuyÓn chän ®Ị thi häc sinh giái to¸n Câu Thời gian từ A đến C Hùng là: 11 - = (giờ) Thời gian từ B đến C Dũng là: 11 - = (giờ) 0,5đ Quãng đường AB 30 km khoảng cách Hùng Dũng bớt 10 km Vì lúc Hùng cịn cách Dũng 20 km, lúc Ninh gặp Dũng nên Ninh cách Hùng 20 km đlà: Đến 24 phút, Ninh gặp Hùng tổng vận tốc Ninh Hùng 24 20.60 1đ = = 50( km / h) 20 : 60 24 Do vận tốc Ninh 1/4 vận tốc Hùng nên vận tốc Hùng là: [50 : (1 + 4)] = 40 (km/h) 0,5đ Từ suy quãng đường BC là: 40 - 30 = 90 (km) 0,5đ Đáp số: BC = 90 km Câu 4: (2đ) Trên đoạn thẳng AB có điểm A; A 1; A2; A3; ; A2004 ; B đó, tổng số điểm AB 2006 điểm suy có 2006 đoạn thẳng nối từ M đến điểm Mỗi đoạn thẳng (ví dụ MA) kết hợp với 2005 đoạn thẳng lại đoạn thẳng tương ứng AB để tạo thành 2005 tam giác Do 2006 đoạn thẳng tạo thành 2005 2006 = 4022030 tam giác (nhưng lưu ý MA kết hợp với MA để tam giác MA kết hợp với MA tam giác hai tam giác 1) Do số tam giác thực có là: 4022030 : = 2011015 Câu 5: (1đ) 56 Thêm đơn vị vào phân số thứ tích 15 15 56 48 suy tích tích cũ = lần phân số thứ hai Suy 15 15 15 48 12 phân số thứ hai :4= = 15 15 Từ suy phân số thứ là: : = 15 Tích hai phân số ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ XXI Câu 1: 2525 25.101 25 = = 5353 53.101 53 252525 25.10101 25 = = 535353 53.10101 53 (0.5đ) (0.5đ) 41 Tun chän ®Ị thi häc sinh giái to¸n Vậy 25 2525 252525 = = 53 5353 535353 (0.5đ) Câu 2: 300 300 300 30 30 300 > = ⇒ > mà 670 677 670 67 67 677 37 30 377 300 = Ta có : − = − 67 67 677 677 377 37 > Từ (1) (2) ⇒ 677 67 (1) (0.5đ) (2) (0.5đ) (0.5đ) Câu 4: Giả sử đội văn nghệ có n người Tổng số tuổi đội văn nghệ trừ người huy m m + 17 m = 11 (1) = 10 (2) n n −1 Từ (1) ⇒ m = 11n – 17 (3) (2) ⇒ m = 10n – 10 (4) Từ (3) (4) ⇒ 11n – 17 = 10n –10 n =7 Ta có: Đáp số: Số người đội văn nghệ là: Câu 5: a.Tính ∠yOn = 150 ; ∠mOy = 750 Chỉ cách vẽ vẽ b.Tính ∠mOn = 900 (1đ) (1đ) (1đ) (1đ) (0.5đ) (0.5đ) m y x O ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ XXII n z CÂU I : 1) 1,5đ 636363.37 − 373737.63 63.(10101.37) − 37.(10101.63) 37.63.(10101 − 10101) = = = + + + + 2006 + + + + 2006 + + + + 2006 12 12 12 4   12 + − − 4+ + +   124242423  19 37 53 17 19 2006  : 2) B = 3 5  237373735 41  − 5+ + +  3+ −  37 53 17 19 2006     1 1  1   12.1 + − −  41 + + +  47   19 37 53   17 19 2006   41.3.1010101 : =  1 1 1   47.5.1010101 41   −  51 − − +   31 + −  17 19 2006     19 37 53  47 41.3 (4 ) = = (1,5đ) 41 47.5 A= CÂU 2: 2đ - b=0 => 9+a  => a = 42 TuyÓn chọn đề thi học sinh giỏi toán - B =5 => 14+a 9 => a = CÂU III: đ a) A = 31 +32+33 + .+ 32006 ⇒ 3A =32+33 +34+ .+ 32007 ⇒ 3A – A = 32007 -3 ⇒ A = 2007 − b) Ta có : (1đ) 2007 − +3 = 3x => 32007 -3 +3 = 3x => 32007 = 3x => x = 2007 (1đ) CÂU IV: 1đ A= 2004 + 1) 2005 2004 + 2005 2005 + 2005 2005 + + 2004 2005(2005 < = = = B Vậy A < B 2005 + 1) 2005 2005 + 2005 2006 + 2005 2006 + + 2004 2005(2005 CÂU V : 2đ Gọi x số trang sách, x ∈ N x trang Số trang lại x- x = x trang 5 3 x trang Ngày đọc x = 5 25 x = x trang Số trang lại x 25 25 24x x 80% +30 = Ngày thứ đọc : + 30 25 125 24x x+ Hay : x + + 30 =x => x =625 trang 25 125 Ngày đọc ĐS 625 trang ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ XXIII Bài (1,5đ): a 308; b 380 c 803 Bài (2đ): a) (1đ) (0,5đ) (0,5đ)   - 33 3 x  00 { { { - 1÷= 33 300 = 333 { 50 chu so 50 chu so 50 chu so 50 chu so A  − = 380; 830 830 33 33 00 00 33 33 33 { 32 66 36 49 chu so b) (1 đ) 50 chu so (0,5đ)  { 32 66 36 (0,25đ) (0,25đ) Vậy A = 33 49 chu so 49 chu so 49 chu so B = + 32 + 33 + + 399 + 3100 (1) 43 Tun chän ®Ị thi häc sinh giái to¸n 3B = 32 + 33 + + 3100 + 3101 Lấy (2) trừ (1) ta được: 2B = 3101 - Do đó: 2B + = 3101 Theo đề 3B + = 3n Vậy n = 101 Bài (1,5đ): a) (0,75đ) C= (2) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) 101 + 100 + 99 + 98 + + + + 101 − 100 + 99 − 98 + + − + Ta có: *, 101 + (100 + 99 + + + + 1) =101 + 101.100 : = 101 + 5050 = 5151 *, 101 - 100 + 99 - 98 + + - + (0,25đ) (101 - 100) + (99 - 98) + + (3 - 2) + = 4 4 4502cap4 4 4 = 50 + = 51 Vậy C = 5151 = 101 51 b) (0,75đ) B= Ta có: (0,25đ) (0,25đ) 3737.43 − 4343.37 + + + + 100 3737.43 - 4343.37 = 34.43.101 - 43.101.37 = (0,5đ) Vậy B = ( = + + + 100 ≠ 0) (0,25đ) Bài ( 1,5đ): Ta có: 210 = 1024 (0,25đ) 10 2100 = ( 210 ) = 102410 = ( 10242 ) (0,75đ) =( 76)5 = 76 (0,5đ) 100 Vậy hai chữ số tận 76 Bài (1,5đ): Nếu từ A đến D đường a1: a1 b1 c1; a1 b1 c2; a1 b1 c3; a1 b2 c1; a1 b2 c2; a1 b2 c3; (0,5đ) Đi từ A đến D đường a2: a2 b1 c1; a2 b1 c2; a2 b1 c3; a2 b2 c1; a2 b2 c2; a2 b2 c3; (0,5đ) Đi từ A đến D đường a3: a3 b1 c1; a3 b1 c2; a3 b1 c3; a3 b2 c1; a3 b2 c2; a3 b2 c3; (0,5đ) Vậy tập hợp M: M = { a1 b1 c1; a1 b1 c2; a1 b1 c3; a1 b2 c1; a1 b2 c2; a1 b2 c3; a2 b1 c1; a2 b1 c2; a2 b1 c3; a2 b2 c1; a2 b2 c2; a2 b2 c3; a3 b1 c1; a3 b1 c2; a3 b1 c3; a3 b2 c1; a3 b2 c2; a3 b2 c3;} Bài ( 2đ): Chọn điểm Qua điểm điểm 99 điểm lại, ta vẽ 99 đường thằng (0,5đ) Làm với 100 điểm ta 99.100 đường thẳng (0,5đ) 44 Tun chän ®Ị thi häc sinh giái to¸n Nhưng đường thẳng tính lần, tất có 99.100 : = 4950 đường thẳng (1đ) ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ XXIV Bài 270.450 + 270.550 270(450 + 550) 270000 = = = 3000 (2 + 18).9 a S = 90 90 a a a+n 20062006 + 20062006 + + 2005 (n ∈ N * ) A = < b Ta có < < b b b+n 20062007 + 20062007 + 2005 + 20062006 + 2006 2006(20062005 + 1) 20062005 + = = = =B 20062007 + 2006 2006(20062006 + 1) 20062006 + Vậy A < B Bài a C = + 22 + 23 + …… + 299 + 2100 = 2(1 +2 + 22+ 23+ 24) + 26(1 + + 22+ 23+ 24)+…+ (1 + + 22+ 23+ 24).296 = 31 + 26 31 + … + 296 31 = 31(2 + 26 +…+296) Vậy C chia hết cho 31 b C = + 22 + 23 + …… + 299 + 2100  2C = 22 + 23 + 24 + …+ 2100 + 2101 Ta có 2C – C = 2101 –  2101 = 22x-1 2x – = 101  2x = 102  x = 51 Bài 3: Gọi số cần tìm A: A = 4q1 + = 17q2 + = 19q3 + 13 (q1, q2, q3 thuộc N)  A + 25 = 4(q1 +7) = 17(q2 +2) = 19(q3 + 2)  A + 25 chia hết cho 4; 17; 19  A + 25 =1292k  A = 1292k – 25 = 1292(k + 1) + 1267 chia A cho 1292 dư 1267 Bài Tổng số điểm 10 lớp 6A (42 - 39) + (39 - 14) + (14 - 5) + = 100(điểm 10) Bài 5: Có 24 × 25 n(n − 1) = 300 đường thẳng Với n điểm có đường thẳng 2 -ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ XXV Câu : Tính giá trị biểu thức : a) Tổng : S =1 +2 +3 + +100 có 100 số hạng S = ( 1+ 100) + (2 +99) + (3 + 98) + + 950 + 51) có 50 cặp = 50 10 = 5050 45 Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 3 4 − − ) 4+ + + 37 53 : 17 19 2003 b) A = − 3 5 5 (3 + − − ) 5+ + + 37 53 17 19 2003 1 4(1 + + + ) 6 4 4.5 17 19 2003 : =− = −6 Ta có : A = - : = 1 5 5 5(1 + + + ) 17 19 2003 1 1 c) B = + + + + + 2.3 3.4 4.5 5.6 99.100 1 1 1 1 99 Ta có : B = - + - + - + + =1= 2 3 99 100 100 100 4(3 + 2) Câu2 So sánh a) Ta có : 3200 =(32)100 = 9100 2300 =(23)100 =8100 Vì 9100 > 8100 Nên 3200 > 2300 121212 404 121212 : 10101 404 : 101 12 12 + − + − + + − ⇒ A= + − = 171717 17 1717 171717 : 10101 17 1717 : 101 17 17 17 17 10 10 Vậy A = hay A =B = 17 17 b) A = 3) Bài Để số có chử số *26* , 4chữ số khác mà chữ số *26* chia hết cho số 2; 5;3;9 Ta cần thoả mản : Số đảm bảo chia hết số số chẳn Số chia hết số phải có chữ số tận số 5.Số vừa chia hết cho và9 Nên số phải có tổng chữ số chia hết cho Vậy : Chữ số tận số ⇒ *260 Chữ số đầu số Do số cho 1260 ) Bài Tìm số tự nhiên n Mà 1! +2!+3! + +n! bình phương số tự nhiên Xét : n = 1! = 12 n = ⇒ 1! +2! = n=3 ⇒ 1! + 2! + 3! = =32 n = ⇒ 1!+ 2! +3! + 4! =33 Với n >4 n! = 1.2.3 .n mội số chẳn Nên 1!+2!+ +n! =33 cộng với số chẳn sốcó chữ số tận tổng chữ số Nên khơng phải số phương Vậy có hai giá trị n=1 n=3 1! +2! + 3! +4! + .+n!là số phương 5) Giải xe thứ đươc quảng đường AB quảng đường AB 1 xe + = quảng đương AB xe thứ 46 Tun chän ®Ị thi häc sinh giái to¸n Sau 10 phút = : Xe thứ 1 = quảng đường AB 12 Quảng đường lại là: 1- = 12 11 12 (của AB) Thời gian hai xe quảng đường lại là: 11 11 : = = phút 12 10 Hai xe gặp lúc 10 phút + phút = 16 phút Đáp án : 16 phút (0,25đ) 6) Hình học (tự vẽ hình) (2đ) · · Vì : xOy = 1200 , AOy = 750, điểm A nằm góc xOy nên tia OA nằm hai tia Ox Oy · · · = xOy - AOy =1200 - 750 = 450 Ta có : xOA Điểm B có ’ thể hai vị trí : B B (0,75đ) · · +, Tại B tia OB nằm ngồi hai tia Ox, OA nên BOx + xOA = 1350 + 450 = 1800 Do ·BOA = BOx · · + xOA =1800 Nên điểm A,O,B thẳng hàng (0,75đ) · · · · +, Cịn B’ : xOB' = 1350 < 1800, AOB' = xOB' - xOA = 1350 - 450 = 900 Nên điểm A,O, B’ không thẳng hàng.(0,5đ) HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ XXVI Câu 1: Ta có 3A = + 1/3 + 1/32 + + 1/399 vậy: 3A-A = (1 + 1/3 + 1/32 + + 1/399)-(1/3 + 1/32 + + 1/3100) 2A= 1-1/3100 = (3100-1)/ 3100 suy A= (3100-1) )/ 2.3100 Câu 2: Ta có 12/21= 4/7, phân số 3/5, 4/5, 6/11 tối giãn nên tồn số tự nhiên k, l, m cho a=3k, b=5k, b=4n, c=7n, c= 6m, d=11m Từ đẳng thức 5k=4n, 7k = 6m ta có 4n∶5 7n∶ mà (4,5)=1; (7,6)=1 nên n∶5, n∶ mặt khác (5,6) =1 n∶ 30 để số tự nhiên a, b, c, d nhỏ phải khác , ta chọn n nhỏ 30 suy ra: k =24, m=35 a=72, b=120, c=210, d=385 câu 3: Gọi a b hai số thuộc dãy 1, 2, 3, , 50 Giả sử a>b a.Gọi d thuộc ƯC(a,b) a-b∶ d ta chứng minh d ≤ 25 giả sử d>25 b>25 ta có a ≤ 50 mà b>25 nên 0< a-b < 25, xảy a-b∶ d ; d=25 xảy a=50; b=25 hai số có ƯCLN đạt giá trị lớn 50 25 b BCNN(a,b) ≤ a.b ≤ 50.49=2450 hai số có BCNN đạt giá trị lớn 50 49 câu 4: (Học sinh tự vẽ hình) 47 Tun chọn đề thi học sinh giỏi toán à à · Ta thấy : AOB + BOC + AOD >1800 · trái lại góc AOD có điểm chung với ba góc Đặt AOB =ỏ 0 · · · · ta có: AOB + BOC + AOD + COD = 360 ⇒ ỏ +3ỏ+5ỏ+6ỏ=360 ⇒ ỏ = 24 · · · · = 240 ; BOC =72 ; COD = 120 ; DOA = 1440 Vậy: AOB -ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ XXVII Câu 1: (3đ) a Vẽ sơ đồ cho (1,5đ) - Số học sinh thích mơn bóng đá bơi: 14 – 10 = (hs) - Số học sinh thích hai mơn bơi bóng chuyền: 13 – 10 = (hs) - Số học sinh thích hai mơn bóng đá bóng chuyền: 15 – 10 = (hs) - Số học sinh thích bóng đá: 20 – (4 + 10 + 5) = (hs) - Số học sinh thích bơi: 17 – (4 + 10 + 3) = (hs) - Số học sinh thích bóng chuyền: 36 – (5 + 10 + 3) = 18 (hs) Vậy: Số học sinh lớp là: + + 18 + + 10 + + + 12 + = 53 (hs) b (1,5 đ) A = 10 11 12 …… 58 59 60 * Từ đến có : chữ số Từ 10 đến 60 có: 51 = 102 chữ số Vậy: Số A có + 102 = 111 chữ số (0,5đ) * Nếu xóa 100 chữ số số A số A cịn 11 chữ số Trong số A có chữ số có chữ số đứng trước chữ số 51 52 53 … 58 59 60 ⇒ Trong số nhỏ có chữ số đứng trước ⇒ số nhỏ số có chữ số ⇒ Số nhỏ 00000123450 = 123450 (0,5đ) * Trong số A có chữ số Nếu số lớn có chữ số đứng liền số là: 99999960 ⇒ Số có chữ só khơng thỏa mãn ⇒ Số lớn có chữ số liền số có dạng 99999… ⇒ Các chữ số cịn lại 78 59 60 Vậy số lớn nhất: 99999785860 Câu 2: (2,5đ) a.(1,5đ) ⇒ A = + 52 + …… + 596 ⇒ 5A =52 + 53 + …… + 596 + 597 ⇒ 5A – A = 597 - ⇒ A = 597 - Tacó: 597 có chữ số tận → 597 – có chữ số tận Vậy: Chữ số tận A b (1đ) Có: 6n + = 2(3n + 6) – ⇒ 6n + chia hết 3n + 48 Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 2(3n + 6) – chia hết 3n + ⇒ chia hết 3n + ⇒3n + = ±1 ; ± ; ±9 3n + -9 -3 -1 n -5 -3 - 7/3 - 5/3 -1 Vậy; Với n = 6n + chia hết cho 3n + Câu 3: (2,5đ) a (1đ) Gọi số tự nhiên cần tìm a (a > 0, a ∈ N) Theo ta có: - a chia cho dư ⇒ a – chia hết cho - a chia cho dư ⇒ a – chia hết cho - a chia cho dư ⇒ a – chia hết cho - a chia cho 10 dư ⇒ a – chia hết cho 10 ⇒ a = BCNN(3, 4, 5, 10) = 60 b.(1,5đ) 11n + + 122n + = 121 11n + 12 144n =(133 – 12) 11n + 12 144n = 133 11n + (144n – 11n) 12 Tacó: 133 11n chia hết 133; 144n – 11n chia hết (144 – 11) ⇒ 144n – 11n chia hết 133 ⇒ 11n + + 122n + Câu 4: (2đ) Số đường thẳng vẽ qua n điểm: n ( n − 1) = 105 ⇒ n (n – 1) = 210 = = 10 14 ⇒ n (n – 1) = 35 = 15 14 Vì n n – số tự nhiên liên tiếp nên: n = 14 Vậy n = 14 ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ XXVIII Bài 1:(2,25 điểm) a) x= − = ; 25 25 b) x= 45 + 44 89 − = = ; 11 99 99 c) x = 32 Bài 2:(2,25 điểm) Tính tổng sau cách hợp lý nhất: a) A = (11 + 20) + (12 + 19) + (13 + 18) + (14 + 17) + (15+ 16) = 31 + 31 + 31 +31+ 31 = 31.5= 155 b) B = (11+25)+(13+23)+(15 + 21)+(17 +19) = 36.4 = 144 c) C = (12 +26)+(14+24)+(16 +22)+(18 +20) = 38.4 = 152 Bài 3:(2,25 điểm) Tính: a) A= 1 1 1 1 1 − + − + − + + − = − = 11 16 16 21 21 26 61 66 11 66 66 49 Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán b) c) 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 2006 − + + − = 1− = C = − + − + + 2 1989 1990 2006 2007 2007 2007 B= − + − + − + − + − + − = − = Bài 4:(1 điểm) 102002 + 10 = + 2002 (1) 2002 10 + 10 + 102003 + 10 = + 2003 Tương tự: 10B = 2003 (2) 10 + 10 + 9 Từ (1) (2) ta thấy : 2002 > 2003 ⇒ 10A > 10B ⇒ A > B 10 + 10 + Ta có: 10A = Bài 5:(2,25 điểm) A a) Trên tia BA ta có BK = cm BA = 7cm nên BK< BA điểm K nằm A B Suy AK + KB = AB hay AK + = ⇒ AK = cm Trên tia AB có điểm I K mà AI < AK (và n+2 ∈ ( 18) = {1;2;3;6;9;18} B= (0,25 điểm ) (0,25 điểm) +, n + 2= ⇔ n= - (loại) +, n + 2= ⇔ n= +, n + 2= ⇔ n= +, n + 2= ⇔ n= +, n + 2= ⇔ n= +, n + 2= 18 ⇔ n= 16 50 Tun chän ®Ị thi häc sinh giái to¸n Vậy n ∈ { 0;1;4;7;16} B ∈ N c (1 điểm) Ta có 55 =5.11 mà (5 ;1) = (0,25điểm ) (0,25 điểm)  C 5 Do C = x1995 y  55  C 11  ( 1) ( 2) (0.25 điểm) (1) => y = y = +, y= : (2) => x+ 9+5 – ( 1+9 +0) 11 => x = +, y =5 : (2) = > x+9 +5 – (1+9+5 )  11 => x = (0,25 điểm) (0,25 điểm) Baì (2 điểm) a( 1điểm) 10 10 10 10 5 5 + + + + + + + + = (0,25 điểm) 56 140 260 1400 4.7 7.10 10.13 25.28 1 1 1 1  =  − + − + − + + −  ( 0, 25 điểm)  7 10 10 13 25 28  1  =  −  = = ( 0,5 điểm)  28  28 14 M= b (1 điểm) 3 3 3 3 3 15 + + + + > + + + + => S > = (1) ( 0,5điểm) S= 10 11 12 13 14 15 15 15 15 15 15 3 3 3 3 3 15 20 + + + + < + + + + < = (2) ( 0,5 điểm) => S < 10 11 12 13 14 10 10 10 10 10 10 10 S= Từ (1) (2) => < S < Bài 3: Gọi giá gạo nếp a (đồng/kg) ; khối lượng gạo nếp mua b (kg) (0,25 điểm) Suy giá gạo tẻ 80 120 a ; khối lượng gạo tẻ mua b 10 100 Số tiền người thứ phải trả a.b (đồng) Số tiềng người thứ hai phải trả 80 120 96 a .b = a.b 100 100 100 ( 0,25 điểm) (0,25 điểm) (0.75điểm) Vậy người thứ hai trả tiền người thứ Tỉ lệ % là: 96   a.b  : a.b = 4%  a.b − 100   (0,5 điểm) BÀI Vẽ hình xác (0,5 điểm) a Bốn điểm A,B, M, N thẳng hàng chúng nằm đường thẳng MN (0,5 điểm) b (1 điểm) BM = AB – AM = (cm) M,N ∈ tia AB mà BM > BN ( > 1) => N năm B M MN = BM – BN = cm = BN.=> N đường trung điểm BM (0,25điểm) ( 0,25 điểm) (0,5 điểm) 51 ... ) ∶ 11 abc deg ∶ 11 b Chứng minh rằng: 10 28 + ∶ 72 Câu Hai lớp 6A;6B thu nhặt số giấy vụn Lớp 6A có bạn thu 26 Kg lại bạn thu 11 Kg ; Lớp 6B có bạn thu 25 Kg cịn lại Tun chän ®Ị thi häc sinh... ab + cd + eg ) M11 : abc deg M11 b.Cho A = + 22 + 23 + + 260 Chứng minh : A M3 ; ; 15 Bài 3(2 điểm) Chứng minh : 1 1 + + + + n < 2 2 Bài 4(2 điểm) 11 Tun chän ®Ị thi häc sinh giái to¸n a.Cho... kết đợt thi đua kỷ niệm ngày nhà giáo Việt Nam 20/11, lớp 6A có 43 bạn từ điểm 10 trở lên; 39 bạn từ điểm 10 trở lên; 14 bạn từ điểm 10 trở lên; bạn điểm 10, khơng có điểm 10 Tính xem đợt thi đua