sư dụng diện tích trong giải toán

Tờn ti: S dng Din tớch gii toỏn PHN M U Lí DO CHN TI Trong chng trỡnh toỏn ph thụng, hc sinh nhiu ln c lm quen vi khỏi nim din tớch T nhng nm tiu hc hc sinh ó bit dựng cụng thc din tớch gii cỏc bi toỏn hỡnh hc, vic s dng cụng thc tớnh din tớch ó gii cỏc bi toỏn tng i phc tp, khụng ớt cỏc bi toỏn lý thỳ m hc sinh bc tiu hc ó gii quyt c phi nh s dng n din tớch ! n cỏc lp bc THCS hc sinh ó bit suy din xõy dng cỏc cụng thc tớnh din tớch, nờu c cỏc mi liờn h gia din tớch vi cỏc yu t khỏc (cnh, gúc,cung, ) Nh ú m hc sinh cú th linh hot, sỏng to vic s dng cỏc cụng thc tớnh din tớch gii quyt hu ht cỏc dng toỏn chng trỡnh THCS t chng minh s bng ca cỏc yu t hỡnh hc, chng minh s thng hng ca cỏc im, chng minh s ng quy ca cỏc ng thng, n cỏc bi toỏn v ng thc, bt ng thc, cc tr v v ,v rt nhiu bi toỏn ó c n gin, d hiu hn nh gii nú bng cỏch s dng din tớch ! tụi ó c gng tỡm tũi, minh mt s bi toỏn cú c quỏ trỡnh tham gia dy hc v bi dng hc sinh gii m gii nú bng cỏch s dng din tớch Phng phỏp din tớch Rt mong c trao i, chia s vi cỏc ng nghip v cỏc em hc sinh yờu thớch b mụn toỏn ! PHN TH HAI - NI DUNG A.Nhng kin thc v din tớch c s dng + Cỏc cụng thc tớnh din tớch tam giỏc, t giỏc,ng trũn, cung trũn, + Cỏc bi toỏn c bn: Bi toỏn c bn 1: T s din tớch hai tam giỏc cú chung ng cao bng t s di hai cnh tng ng Bi toỏn c bn 2: T s din tớch hai tam giỏc cú chung mt cnh bng t s di hai ng cao tng ng Bi toỏn c bn 3: T s din tớch hai tam giỏc cú chung mt gúc bng t s tớch di hai cnh k cỳa hai gúc ú Bi toỏn c bn 3: T s din tớch hai tam giỏc ng dng bng bỡnh phng t s ng dng B Nhng bi toỏn minh I Cỏc bi toỏn v tớnh toỏn chng minh Bi toỏn 1: Chng minh: 1.Tam gỏc cõn hai ng cao ng vi hai cnh bờn bng 2.Trong mt tam giỏc cõn tng khong cỏch t mt im bt k trờn cnh ỏy n hai cnh bờn khụng thay i 3.Trong mt tam giỏc u tng khong cỏch t mt im bt k nm tam giỏc n ba cnh ca tam giỏc khụng thay i ( Tt c cỏc cỏc bi toỏn ny c chng minh bng cỏch s dng cụng thc tớnh din tớch rt gn gng, n gin ! ) Xin minh mt s bi toỏn dựng cho hc sinh cỏc lp 5, Ngi thc hin: Phm Quang Thng Trng THCS Cao Xuõn Huy Tờn ti: S dng Din tớch gii toỏn Bi toỏn 2: Cho tam giỏc ABC cú M l im chớnh gia cnh BC cũn im N trờn cnh AC cho NC gp ụi NA, hai on AM, BN ct ti O So sỏnh OA vi OM ? Hng lm: A N O B M C Nh quan h cỏc on NA vi NC; MB vi MC nờn ta cú c din tớch hai tam giỏc ABM v BMN bng (vỡ cựng bng 1/3 din tớch tam giỏc ABC) dn n O phi l im chớnh gia on AM hay hai on AO v OM bng Bi toỏn 3: Cho tam giỏc ABC cú M l trung im cnh AB, N l im trờn cnh AC cho NC gp ụi NA ng thng MN ct ng thng BC ti im D Chng minh hai on BC v BD bng Hng lm: A N M D B C Cng ging bi toỏn trờn nh v tớ c bit ca cỏc im M, N trờn cỏc on AB, AC nờn ta cú din tớch cỏc tam giỏc DAN v DBN bng nhau, m din tớch tam giỏc DAN bng 1/3 din tớch tam giỏc ABC S DAN = S DNB = S DNC 1 S DNC DB = DC DB = BC 2 Bi toỏn 4: Cho tam giỏc ABC, cú D l trung im cnh AB, trờn cnh AC ly im E cho AE = 2.CE Gi giao im ca BE vi CD l O Chng minh: OE = BE A D E N O M B C Ngi thc hin: Phm Quang Thng Trng THCS Cao Xuõn Huy Tờn ti: S dng Din tớch gii toỏn Hng chng minh : K AM , CN vuụng gúc vi BE T iu kin bi ta cú: S AOC = S BOC v S AOC = 3.S EOC suy S BOC = 3.S EOC hay S BOE = 4.S EOC Vy: OE = BE, (pcm) Bi toỏn 5: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, đờng thẳng song song với cạnh BC cắt cạnh AB, AC trung tuyến AM lần lợt D, E, F Chứng minh FD = FE Lu ý: Cỏc toỏn giải nhiều cách khác nhng xin phép trình by phơng pháp sử dụng diện tích dnh cho cỏc lp 5, 6, 7: Lời giải: Hạ DK EH vuông góc với AM (K, H AM) A K E D F H B M I N C Ta có SABM = SACM (1) (Vỡ có chung đờng cao hai đáy BM = MC) SDBM = SECM (2) (Có đờng cao DI = EN hai đáy nhau) Từ (1) (2) suy SABM - SDBM = SACM - SECM , hay SADM = SAEM mà tam giác ADM tam giác AEM có chung đáy AM nên hai đờng cao thuộc đáy AM tức là: DK = EH T õy ta li cú S ADF =S AEF (Cú chung ỏy AFv cú hai ng cao DK, EH bng nhau) m hai tam giỏc ny li cú chung ng cao k t nh A nờn hai cnh ỏy tng ng bng nhau, hay DF = FE Bi toỏn 6: Cho tam giác ABC, Trung tuyến AM Một đờng thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lợt D E Chứng minh BE CD cắt AM Lời giải: Gọi giao điểm AM với DE F A D F E I B M C Ngi thc hin: Phm Quang Thng Trng THCS Cao Xuõn Huy Tờn ti: S dng Din tớch gii toỏn Theo bi toỏn trc ta cú FD = FE Suy SBDFM = SBFD + SBFM = SCFE + SCFM = SCEFM (1) Gọi giao điểm BE CD I, nối IF, IM ta có : SDIF = SEIF, ( Vì FD = FE ) SBIM = SCIM , SBDI = SCEI ( Do SBDC = SCEB ) Suy SBDFIM = SCEFIM , Hay đờng gấp khúc FIM chia đôi diện tích hình thang BDEC (2) Từ (1) (2) suy ra: SFIM = , suy F, I, M thẳng hàng suy I thuộc FM Bi toỏn 7: Cho tam giác ABC , đờng thẳng song song với BC cắt cạnh AB, AC lần lợt D E Qua D, E lần lợt kẻ đờng thẳng song song với AC , AB cắt BE, DC lần lợt M N Chứng minh MN // BC Lời giải A E D I H M B N K C gọi I giao điểm BE CD EN // AB nên SBEN = SDEN (1), (Vì chung đáy EN có đờng cao thuộc EN nhau) mà SBIN = SBEN - SIEN (2) SDIE = SDEN - SIEN (3) Từ (1),(2)Và(3) SBIN = SDIE (4) Ttơng tự SCIM = SDIE (5) Từ (4) (5) SBIN = SCIM mặt khác SBMN = SBIN - SMIN , SCMN = SCIM - SMIN SBMN = SCMN hai đờng cao BH CK tơng ứng thuộc MN Nên BHKC hình chữ nhật MN // BC Bi toỏn 8: Cho tam giỏc u ABC v im O nm tam giỏc, gi M, N, P l hỡnh chiu ca O trờn cỏc ng cao AH, BI, CK Chng minh: AM + BN + CP khụng ph thuc vo v trớ im O tam giỏc Hng chng minh (Bng cỏch dựng din tớch) Ngi thc hin: Phm Quang Thng Trng THCS Cao Xuõn Huy Tờn ti: S dng Din tớch gii toỏn A F I N E K M O P C D B H Gi D, E, F l hỡnh chiu ca O trờn cỏc cnh BC, CA, AB Ta cú AH = AM + OD; BI = BN + OE; CK = CP + OF AH + BI + CK = (AM + BN + CP) + (OD + OE + OF), m t bi toỏn ta cú OD + OE + OF = h (h l ng cao tam giỏc khụng i) AM + BN + CO = 2h Khụng ph thuc vo v trớ im O Bi toỏn 9: Chng minh rng mt a giỏc cú tt c cỏc gúc bng tng di cỏc ng vuụng gúc h t mt im O bt k a giỏc xung cỏc cnh a giỏc khụng ph thuc vo v trớ im O Hng gii: Bi Ai Bi+1 O Ai+1 Do a giỏc cú tt c cỏc gúc bng nờn ta cú th t a giỏc ny nm mt a giỏc u cú cnh a v cỏc cnh tng ng song song vi cỏc cnh ca a giỏc ó cho (nh hỡnh v) Gi h i l khong cỏch t im O n cnh B i B i+1 ; d i l khong cỏch t im O n cnh A i A i+1 ; l i l khong cỏch gia hai cnh A i A i+1 v B i B i+1 thỡ l i khụng ph thuc vo v trớ im O, ( i = 1,2,3, ,n) Nờn tng d + d + d + + d n ch ph thuc vo tng h + h + h + + h n n M: S B B Bn = OB B i =1 i i +1 = a.( h + h + h + + h n ) H thc ny chng t tng: h + h + h + + h n khụng thay i Vy tng: d + d + d + + d n khụng ph thuc vo v trớ ca im O Ngi thc hin: Phm Quang Thng Trng THCS Cao Xuõn Huy Tờn ti: S dng Din tớch gii toỏn Khi xột mi liờn h gia ng thng song song vi cnh tam giỏc ta cú th s dng din tớch gii quyt cỏc nh lý sau: Bi toỏn 10: Cho tam giỏc ABC cú im M trờn cnh AB, im N trờncnhAC Chng minh MN // BC AM AN = , (nh lý Tha lets) AB AC Hng chng minh (Bng cỏch dựng din tớch) A M N C B S ( AMC ) S ( ANB ) T MN//BC S MBC = S NCB S AMC = S ANB S ( ABC ) = S ( ABC ) AM AN = AB AC T bi toỏn ny cú th cho hc sinh lm quen, tip cn v tham gia gii quyt cỏc bi toỏn liờn quan: Tớnh cht ng trung bỡnh ca tam giỏc, hỡnh thang, t giỏc, , ng thng song song cỏch u, nh lý Mờ nờ la uýt v nhiu bi toỏn liờn quan khỏc m chng trỡnh ch gii thiu vo nm lp ! Khi hc ng phõn giỏc ca tam giỏc ta cho hc sinh lm bi toỏn sau Bi toỏn 11: Cho tam giỏc ABC cú im D trờn cnh BC Chng minh rng: AD l phõn giỏc gúc BAC DB AB = DC AC Hng chng minh (Bng cỏch dựng din tớch) A B D C S ( ADB ) DB S ( ADB) AB Xột hai tam giỏc ADB v ADC cú chung ng cao k t A nờn S ( ADC ) = DC Cng hai tam giỏc ny cú cỏc ng cao k t D bng nờn S ( ADC ) = AC T hai kt qu ny ta cú iu cn chng minh Khi nghiờn cu cỏc ng ng quy tam giỏc (Lp 7), ta cú th tng quỏt lờn thnh bi toỏn (nh lý Xờ va) Bi toỏn 12: Cho tam giỏc ABC cú cỏc im M, N, P trờn cỏc cnh BC, CA, AB Ngi thc hin: Phm Quang Thng Trng THCS Cao Xuõn Huy Tờn ti: S dng Din tớch gii toỏn Chng minh rng: AM, BN, CP ng quy MB NC PA =1 MC NA PB Hng chng minh (Bng cỏch dựng din tớch) + vi AM, BN, CP ng quy ti O, ta cú: A P N O M B C MB S ( ABM ) S (OBM ) S ( AOB ) = = = (1) MC S ( ACM ) S (OCM ) S ( AOC ) NC S ( BOC ) PA S (COA) Tng t: NA = S ( BOA) (2), PB = S (COB (3) T cỏc kt qu (1), (2), (3) ta cú iu cn phi chng minh (Mnh ngc li chng minh bng phn chng) Sau gii xong bi toỏn ny ta minh li cho hc sinh hỡnh nh v tớnh cht ca ba ng phõn giỏc: Trong mt tam giỏc ba ng phõn giỏc ng quy ú l: Vi AM, BN, CP l cỏc ng phõn giỏc ca tam giỏc thỡ: MB NC PA AB BC CA = =1 MC NA PB AC BA CB Ba ng trung tuyn: Trong mt tam giỏc ba ng trung tuyn ng quy ú l: Vi AM, BN, CP l cỏc ng trung tuyn ca tam giỏc thỡ: MB NC PA =1 MC NA PB Qua ú cho hc sinh thy nhiu ng dng v s dng nh lý Xờ Va vic gii cỏc bi toỏn v ng ng quy m khụng ch n lp ! Bi toỏn 13: Cho tam giỏc ABC cú M, N trờn cnh BC MB.NB AB ã ã = Chng minh rng: BAM = CAN MC.NC AC Hng chng minh (Bng cỏch dựng din tớch) A B M N C S dng bi toỏn v t s din tớch hai tam giỏc cú mt cp gúc bng S ( ABM ) AB AM BM ã ã = = Ta cú: BAM = CAN (1) S ( ACN ) AC AN CN S ( ABN ) AB AN BN ã ã ã ã = = BAN Cng t: BAM = CAN = CAM (2) S ( ACM ) AC AM CM Ngi thc hin: Phm Quang Thng Trng THCS Cao Xuõn Huy Tờn ti: S dng Din tớch gii toỏn Nhõn hai v cỏc t s sau ca cỏc kt qu (1) v (2) ta c iu phi chng minh p dng cỏc bi toỏn 12 v bi toỏn 13 ta cú bi toỏn sau: Bi toỏn 14: Cho tam giỏc ABC, trờn cnh AC ly hai im M, N; Trờn cnh AB ly hai im E, F cho: gúc ABM bng gúc CBN v gúc ACE bng gúc BCF Gi I l giao im ca BM vi CE, K l giao im ca BN vi CF Chng minh hai gúc IAC v KAB cng bng õy l bi toỏn khỏ khú, cú li gii khỏ phc cun Mt s chuyờn nõng cao v phỏt trin toỏn ca tỏc gi V Hu Bỡnh Tụi xin phộp nờu cỏch gii bng Phng phỏp din tớch A N E F K M I B C P Q Li gii: Gi giao im ca AI,AK vi BC l P,Q, t bi toỏn 12 (nh lý Xờ va) ta cú: BM,CE,AP ng quy ti I, nờn: PB MC EA = (1) PC MA EB QB NC FA Tng t ta cng cú: QC NA FB = (2) QB PB MC NC EA FA = QC PC MA NA EB FB Nhõn hai v cỏc kt qu (1) v (2) ta c MC NC BC T kt qu bi 13 ta cú: = v MA NA BA QB PB AB ã ã QAB = PAC Suy ra: QC PC = , hay AC EA FA AC = EB FB BC ã ã = KAB (pcm) IAC Bi toỏn 15: Cho tam giỏc ABC cú AM,AD l cỏc ng trung tuyn, phõn giỏc k t nh A Gi AN l tia i xng ca AM qua AD (N BC) NB AB Chng minh: = ữ NC AC Hng chng minh: A B N D M C ã ã Do AD l phõn giỏc m AM i xng vi AN qua AD nờn: NAB = MAC Ngi thc hin: Phm Quang Thng Trng THCS Cao Xuõn Huy Tờn ti: S dng Din tớch gii toỏn MB.NB AB = p dng kt qu bi toỏn 13, ta cú: , m M l trung im cnh BC MC.NC AC NB AB Nờn MB = MC = ữ , (pcm) NC AC Bi toỏn 16: Cho tam giỏc ABC cú im M bt k tam giỏc, cỏc tia AM, BM, CM ct cỏc cnh BC, CA, AB ln lt ti A, B, C MA ' MB ' MC ' MA MB MC + + + + ; AA' BB ' CC ' AA' BB ' CC ' A ' B B 'C C ' A b Chứng minh : =1 A 'C B ' A C ' B a.Tớnh cỏc tng: c.Tỡm giỏ tr nh nht ca cỏc tng: MA MB MC MA ' MB ' MC ' + + + + ; MA ' MB ' MC ' MA MB MC MA MB MC + + MA ' MB ' MC ' d Chng minh: Hng chng minh (Bng cỏch dựng din tớch) A C' B' M B A' C Gi S, S , S , S ln lt l din tớch cỏc tam giỏc ABC, MBC, MCA, MAB S MA ' S MB ' S MC ' = 1; = ; = AA' S BB ' S CC ' S MA ' MB ' MC ' Nờn: + + =1 AA' BB ' CC ' MA S + S3 MB S1 + S3 MC S + S1 = = = V ; ; AA' S BB' S CC' S MA MB MC + + Nờn: =2 AA' BB ' CC ' A'B S3 B ' C S1 C ' A S b Ta cng cú: A'C = S ; B ' A = S ; C ' B = S A ' B B 'C C ' A =1 A 'C B ' A C ' B MA S + S3 MB S1 + S3 MC S + S1 c.Ta cng cú: MA ' = S ; MB ' = S ; MC ' = S MA MB MC + + (Du = xy M l trng tõm ca tam giỏc ABC) Nờn: MA ' MB ' MC ' a.Ta cú: Ngi thc hin: Phm Quang Thng Trng THCS Cao Xuõn Huy Tờn ti: S dng Din tớch gii toỏn MA MB MC + + l: MA ' MB ' MC ' a b c MA ' MB ' MC ' + + + + ) Cũn GTNN ca l: (Vỡ ta cú BT: MA MB MC b+c c+a a +b 2 MA y +z MA y2 + z2 2 = d t S = x ; S = y ; S = z , Ta cú: = MA ' x2 MA ' x2 z+x x+ y y2 + z2 y + z MB MC M: , tng t: ; x2 MB ' y MC ' z x GTNN ca Do ú: MA MB MC + + = MA ' MB ' MC ' y+z z+x x+ y + + ữ , (pcm) y z x T cõu a ca bi toỏn ny ta cú bi toỏn sau: Bi toỏn 17: Cỏc ng cao AA, BB, CC ca tam giỏc nhn ABC ct ng trũn ngoi tip tam giỏc ln lt ti M, N, P Tớnh tng: AM BN CP + + AA ' BB ' CC ' Hng gii: Gi H l trc tõm ca tam giỏc ABC N A B' P C' H B C A' M Ta cú: AH = AM ; BH = BN ; CH = CP, m theo cõu a ca bi toỏn trờn ta HA ' HB ' HC ' + + =1 AA' BB ' CC ' MA ' NB ' PC ' AM BN CP + + + + =1 =4 AA' BB ' CC ' AA ' BB ' CC ' cú: Bi toỏn 18: Chứng minh định lý Pi-ta-go: Trong mt tam giác vuông, bình phơng cạnh huyền tổng bình phơng cạnh góc vuông Có nhiều cách để chứng minh, ta dùng Phng phỏp diện tích: Ngi thc hin: Phm Quang Thng Trng THCS Cao Xuõn Huy Tờn ti: S dng Din tớch gii toỏn T: a - b = b - c a+c = 2b Gi G, O l trng tõm, tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC, r l bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc, k GE vuụng gúc vi BC Ta cú S(ABC) = 1/2 r.(a+b+c) = 1/2 r.3b = 3/2 br r = 2dt(ABC) (1) 3b m S(GBC) = 1/3 S(ABC) ; S(GBC) = 1/2 EG BC 3.EG.BC = 2.S(ABC) EG = dt(ABC) (2) 3b T (1) (2) suy EG = r hay OG // BC (Vỡ O v G cỏch u AC) Bi toỏn 25: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, ng phõn ghiỏc AD V DH vuụng gúc vi AB t DH = d, AB = c, AC = b Chng minh : = + A K H B C D Hng chng minh (Bng cỏch dựng din tớch) K DK AC, ta cú DK = DH = d vỡ AD l phõn giỏc ca gúc BAC Ta cú : SABC = SABD + SACD, m SABC = bc ; SACD = dc ; SACD = db => bc = dc + db bc = dc + db Chia hai v cho bcd ta c : = + Bi toỏn 26: Cho tam giỏc ABC cú h a , h b , h c l di cỏc ng cao; r l bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc, bit rng h a + h b + h c = 9r Chng minh tam giỏc ABC u Hng gii: A O C B Gi a, b, c l di ba cnh ca tam giỏc ABC, t cỏch tớnh din tớch tam giỏc Ta cú: ah a = bh b = ch c = r(a + b + c) = 2S, m h a + h b + h c = 9r 1 1 1 + + ) = 9, t BT (a + b + c)( + + ) vi du = xy a b c a b c nờn a = b = c Tam giỏc ABC u (a + b + c)( Ngi thc hin: Phm Quang Thng Trng THCS Cao Xuõn Huy Tờn ti: S dng Din tớch gii toỏn Bi toỏn 27: Cho tam giỏc ABC ngoi tip ng trũn tam O bỏn kớnh r, cỏc tip tuyn ca ng trũn (O,r) song song vi cnh tam giỏc ct cỏc cp cnh cũn li ti (P,Q), (I,K), (E,F) Gi r , r , r ln lt l bỏn kớnh ng trũn ni tip cỏc tam giỏc APQ, BIK, CEF Chng minh: r + r + r = r Hng gii: Gi: p, p , p , p ln lt l na chu vi cỏc tam giỏc ABC, APQ, BIK, CEF A Q P F O I C E K B Do hai tam giỏc ABC v APQ ng dng, nờn ta cú: r p1 r1 p r p S ( APQ) p1r1 p1 = , tng t nh vy ta c: = , = = = ữ p r p r p r S ( ABC ) pr p p + p2 + p3 p1 + p2 + p3 r1 + r2 + r3 r +r +r r + r + r = r = , m = p p r r Bi toỏn 28: Cho tam giỏc ABC, cỏc gúc B v C cú t l : 1; phõn giỏc ca gúc A chia din tớch tam giỏc theo t l : Tớnh cỏc gúc ca tam giỏc ABC ? Hng chng minh (Bng cỏch dựng din tớch):S dng nh lý v hm s sin Li gii A B D C Ta cú: = , m = , ú = Theo nh lý hm s sin tam giỏc ta cú : = => = = Ta cú Bà = Cà => sin3C = 2sinC (1) Nhõn hai v ca (1) vi cosC, ta c sin3C.cosC = 2sinC.cosC (do: 2sinC.cosC = sin2C ) Hay sin3C.cosC = sin2C Ta li cú: sin3C.cosC = [sin(3C + C) + sin(3C - C)] = (sin4C + sin2C) Ngi thc hin: Phm Quang Thng Trng THCS Cao Xuõn Huy Tờn ti: S dng Din tớch gii toỏn (sin4C + sin2C) = sin2C sin4C = sin2C Cos2C = C = 300 Do ú: Bà = 900 v àA = 600 Bi toỏn 29: Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB BC lần lợt lấy điểm E F Gọi M, N, K thứ tự trung điểm DE, DF EF Gọi O giao điểm AM CN Chứng minh điểm B, O, K thẳng hàng Hng chng minh (Bng cỏch dựng din tớch): E A B K M O F N C D Vì M trung điểm DE nên SOAE = SOAD (1) Vì N trung điểm DF nên SOCD = SOCF (2) Mặt khác, dễ thấy SOAB + SOCD = SOAD + SOBC (SOAE + SOBE) + SOCD = SOAD + (SOBF + SOCF) (3) Từ (1), (2), (3) suy SOBE = SOBF BO qua trung điểm K EF Vậy điểm O, B, K thẳng hàng Trong bi toỏn ny ta ó s dng mnh : Vi t giỏc ABCD cú im M trờn ng chộo AC thỡ S ABMD = S CBMD v ch M l trung im ca ng chộo AC Cựng loi ny ta cú bi toỏn sau: Bi toỏn 30: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú M, N, P, Q trờn cỏc cnh AB, BC, CD, DA cho: MP//AD; NQ//AB Gi O l giao im ca MP v NQ Chng minh: BQ, DM, OC ng quy Hng gii: B R K M E A C O P F H I S N Q D Qua giao im I ca CO v BQ k cỏc ng thng song song vi cỏc cnh hỡnh bỡnh hnh l EF,RS (hỡnh v) Xột hỡnh bỡnh hnh CFIS cú O thuc CI nờn ta cú S(IKPF) = S(ISNH), cng nh vy vi hỡnh bỡnh hnh ABNQ cú im I nm trờn BQ nờn S(ISNH) = S(IEAR), t ú ta cú: S(IKPF) = S(IEAR) m I li nm hỡnh bỡnh hnh AMPD I thuc ng chộo DM BQ, DM, OC ng quy ti I Trong bi toỏn ny ta ó s dung mnh : Ngi thc hin: Phm Quang Thng Trng THCS Cao Xuõn Huy Tờn ti: S dng Din tớch gii toỏn im I nm trờn ng chộo AC ca hỡnh bỡnh hnh ABCD v ch S BSIE = S CFIR , (vi cỏc yu t EF, SR ly bi toỏn ny) Bi toỏn 31: Cho lc giỏc ABCDEF cú cỏc ng chộo AD, BE, CF u chia lc giỏc hai phn cú din tớch bng Chng minh AD, BE, CF ng quy Hng gii: Gi s AD, BE, CF ụi mt ct ti P, Q, R (hỡnh v) B C R A Q P D F E Khi ú t: S ABRF + S BCR = S ABRF + S REF S BCR = S REF RB.RC = RE.RF PE.QF (1) Tng t ta cú: PD.PE RB.QA (2) v QA.QF RC.PD , T (1), (2), (3) RB.RC.PD.PE.QA.QF PE.QF.RB.QA.RC.PD PQ = QR = RP = AD, BE, CF ng quy Bi toỏn 32: Cho lc giỏc cú cỏc cp cnh i song song Chng minh rng: on thng ni trung im cỏc cp cnh i ca lc giỏc ng quy Hng gii: Gi lc giỏc l ABCDEF v trung im cỏc cnh AB, DE, BC, EF, CD, FA l M, N, P, Q, R, S (Hỡnh v) A M B P I F O K J C Q E N D gii bi toỏn ny ta s dng mnh sau: Mt hỡnh thang ABCD (AB//CD) cú O l giao im hai ng chộo M, N l trung im cỏc ỏy AB, CD Khi ú vi I l im nm gúc AOB hoc gúc COD thỡ I MN S IAC = S IBD + Nu lc giỏc ABCDEF cú cỏc ng chộo AD, BE, CF m ng quy ti O thỡ cỏc on MN, PQ, RS cng ng quy ti O (Vỡ hỡnh thang ABCD thỡ on MN luụn i qu giao im O ca hai ng chộo) Ngi thc hin: Phm Quang Thng Trng THCS Cao Xuõn Huy Tờn ti: S dng Din tớch gii toỏn +Ngc li nu AD, BE, CF m ụi mt ct ti I, J, K (Hỡnh trờn) Khi ú gi O l giao im ca MN v PQ thỡ O nm tam giỏc IJK Xột hỡnh thang ABDE cú O MN S OAD = S OBE (1) Xột hỡnh thang BCEF cú O PQ S OBE = S OCF (2) T (1),(2) ta cú S OAD = S OCF O RS (pcm) Cng nh vy vic s dng Phng phỏp din tớch ta cú bi toỏn chng minh cỏc ng ng quy sau: Bi toỏn 33: Cho tam giỏc ABC, v v phớa ngoi cỏc hỡnh vuụng cú cnh l cnh ca tam giỏc Gi A , B , C l trung im ca cnh hỡnh vuụng i din vi cỏc cnh BC, CA, AB Chng minh cỏc ng AA , BB , CC ng quy Hng gii: B1 A C1 B2 C2 B C A2 A1 Gi giao im ca cỏc ng AA , BB , CC vi cỏc cnh BC, CA, AB l: A2 , B2 , C2 A2 B BA.BA1.sin( B + ) BAA ã Ta cú: A C = S = CA.CA sin(C + ) ,(vi l s o ca CBA ) CAA S 1 AB BA.sin( B + ) = (1) A2C CA.sin(C + ) B2C C2 A CB.sin(C + ) CA.sin( A + ) Tng t ta cú: B A = BA.sin( A + ) (2) ; C B = CB.sin( B + ) (3) 2 A2 B B2C C2 A T (1),(2),(3) A C B A C B = AA , BB , CC ng quy 2 (Theo nh lý Xờ Va i vi tam giỏc ABC) (pcm) Bi toỏn 34: Cho lc giỏc ABCDEF ni tip, gi K l giao im ca AC vi BF; L l giao im ca CE vi FD cũn M l giao im ca AD vi BE Chng minh K,L,M thng hng (nh lý Paxcal) Hng gii: Ngi thc hin: Phm Quang Thng Trng THCS Cao Xuõn Huy Tờn ti: S dng Din tớch gii toỏn A K B F M C L E D Gi s M l giao im ca AD vi KL, t cỏch tớnh din tớch tam giỏc ta cú: ã KM S AKD AK AD.SinKAD AK CD = = = (1) LM S ALD DL.AF DA.DL.Sin ãADL Cũn M l giao im ca BE vi KL, tng t ta cú KM BK EF = (2) LM LE.BC Mt khỏc ta cỏc cp tam giỏc ng dng l: AKF : BKC ; CLD : FLE AK BK CD FE = = v (3) AF BC CL LE T (1),(2),(3) M M M hay K, L, M thng hng Nờn Bi toỏn 35: Cho t giỏc ABCD cú E l giao im ca AB vi CD, F l giao im ca AD vi BC Gi I, J, K l trung im cỏc on AC, BD, EF Chng minh I, J, K thng hng Hng gii: B J I A C D E K F Trc ht ta chng minh S EIJ = S FIJ (Vỡ cựng bng S ABCD ) IJ i qua trung im K ca EF hay I, J, K thng hng II Cỏc bi toỏn v bt ng thc cc tr Ngi thc hin: Phm Quang Thng Trng THCS Cao Xuõn Huy Tờn ti: S dng Din tớch gii toỏn Bi toỏn 36: Cho tam giỏc ABC cú AB AC, gi h b ,h c l cỏc di ng cao k t B v C Chng minh: a, h b h c b, b + h b c + h c Hng chng minh (Bng cỏch dựng din tớch) A c b hc hb B C b h c a,Gi S l din tớch tam giỏc ABC, t: b.h b = c.h c = 2S c = h m c b b hc b hb hc hb c b,Ta cng cú: (b + h b ) (c + h) = b + 2S 2S (b c)(bc S ) ữ c + ữ= b c bc (b c)(bc S ) hay: b + h b c + h c Do: b c v bc 2S bc Cựng loi vi bi toỏn ny ta cú bi toỏn sau: Bi toỏn 37: Cho tam giỏc ABC cú di cỏc cnh l a, b, c Gi h a , h b , h c l di cỏc ng cao cũn d a , d b , d c l khong cỏch t im M tam giỏc n cỏc cnh AB, BC, CA tng ng Chng minh: Min { , hb , hc } ad a + bd b + cd c max { , hb , hc } Hng gii: Gi S l din tớch tam giỏc ABC, gi s: a b c h a h b h c m: 2S = ad a + bd b + cd c , nờn: c.(d a + d b + d c ) 2S a.(d a + d b + d c ) 2S 2S , hay: h a d a + d b + d c h c , (pcm) da + db+ dc a c Bi toỏn 36: Cho tam giỏc ABC cú cỏc im M, N trờn cỏc cnh AB, AC Trờn on MN ly hai im E, F cho ME = EF = FN Gi I, K l giao im ca AE, AF vi cnh BC Chng minh: IK BC Hng gii: Ngi thc hin: Phm Quang Thng Trng THCS Cao Xuõn Huy Tờn ti: S dng Din tớch gii toỏn A N F E M B I K C Ta cú cỏc tam giỏc AME, AEF, AFN u cú cựng din tớch l S S AB AI S AB AI ABI Do: S = AM AE nờn: ABI = , tng t nh vy ta cú: S AM AE AME S ABC S ABI + S AIK + S AKC AB AI AI AK AK AC = 33 S S AM AE AE.AF AF.AN 2 S AI AK AB AC S ABC S S hay: ABC 3 3 AIK ữ ABC ữ S S AE.AF AM AN S 3S Lp phng hai v lờn ta c: S ABC S AIK BC IK hay IK BC (pcm) R Bi toỏn 38: Cho tam giỏc nhn ABC Chng minh: r ( Trong ú R,r l bỏn kớnh ng trũn ngoi tip v ng trũn ni tip tam giỏc ) Hng chng minh (Bng cỏch dựng din tớch) A c E b O da H B D a C Gi O l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC k OD, AH vuụng gúc vi BC t AH = ; OD = da Ta cú: R + da a.ha R.a + a.da Tng t ta cng cú: b.hb R.b + b.db ; c.hc R.c + c.dc m: a.ha = b.hb = c.hc = r.(a+b+c), a.da + b.db + c.dc = 2.S ABC = r.(a+b+c) Cho nờn: 3r.(a+b+c) R(a+b+c) + 2.S ABC hay: 3r(a+b+c) R(a+b+c) + r(a+b+c) 2r(a+b+c) R(a+b+c) r R Ngi thc hin: Phm Quang Thng Trng THCS Cao Xuõn Huy Tờn ti: S dng Din tớch gii toỏn T kt qu bi ny ta cú bi toỏn sau: Bi toỏn 39: Cho tam giỏc ABC vi O l im bt k tam giỏc, gi d a , d b , d c l khong cỏch t O n cỏc nh A, B, C cũn h a , h b , h c l khong cỏch t O n cỏc cnh BC, CA, AB Chng minh: d a + d b + d c 2.( h a + h b + h c ) Bi toỏn 40: Trong mt tam giỏc chng minh bt ng thc 1 1 < h +h < 2r r a b ( Vi r l bỏn kớnh ng trũn ni tip; h a , h b l di cỏc ng cao) Hng gii: A hb r C B 1 a+b a+b T cụng thc tớnh din tớch tam giỏc, ta cú: h + h = = (a + b + c).r 2S a b Mt khỏc vỡ: a + b + c < 2.(a + b) < 2.(a + b + c) a+b < < iu cn chng minh a+b+c Bi toỏn 41: Chng minh rng mt tam giỏc nhn di ng cao ln nht khụng nh hn tng cỏc bỏn kớnh ng trũn ni tip v ng trũn ngoi tip Hng gii: B K M O I H O' E A C L Gi , , l s o cỏc gúc A, B, C ca tam giỏc ABC Gi s , ú CH l ng cao ln nht Gi O l tõm ng trũn ngoi tip, I l tõm ng trũn ni tip; M, K, L l tip im trờn cỏc cnh AB, BC, CA Ngi thc hin: Phm Quang Thng Trng THCS Cao Xuõn Huy Tờn ti: S dng Din tớch gii toỏn ã ã Ta cú tõm O nm tam giỏc KIC ( Vỡ cú CK BK v BCO ) BCI ã Mt khỏc ta cng cú: BCO = (180 - ) = ãACH , nờn tia CO i xng vi tia CH qua phõn giỏc CI Khi ú vi O l im i xng ca O qua CI thỡ C thuc CH, vi E l giao im ca CH v IL thỡ CE CO = CO = R ã Cũn EH IM ( Vỡ MIL = 180 - 90) CH R + r (pcm) Bi toỏn 42: Cho tam giỏc ABC cú a, b, c l di ba cnh, p l na chu vi cũn r l bỏn kớnh ng trũn ni tip 1 1 Chng minh: p a + p b + p c r ( ) ( ) ( ) Hng gii: S dng cụng thc Hờ Rụng tớnh din tớch tam giỏc, ta cú: p ( p a) ( p b) ( p c) r = S(ABC) = pr = t: p a = x, p b = y, p c = z r2 = ( p a) ( p b) ( p c) p xyz , x+ y+z ú BT cn chng minh tr thnh: 1 1 1 x+ y+z 1 1 1 + 2+ 2 2+ 2+ + + , 2+ 2+ 2 x y z r x y z xyz x y z xy yz zx (õy l BT quen thuc) t õy ta cú iu phi chng minh Bi toỏn 43: Mt a giỏc ngoi tip ng trũn bỏn kớnh r c chia thnh nhiu tam giỏc bt k Chng minh rng tng bỏn kớnh cỏc ng trũn ni tip cỏc tam giỏc ny ln hn r Hng gii: Gi r , r , r , l bỏn kớnh ng trũn ni tip cỏc tam giỏc; p , p , p , l na chu vi cỏc tam giỏc ú v S , S , S , l din tớch ca chỳng, cũn S v p l din tớch v na chu vi a giỏc ó cho.Ta luụn cú: p i < p T cụng thc S = p.r r + r + r + + r n = n Si > i =1 pi n S Si p = p = r ,(pcm) i =1 Bi toỏn 44: Trong tt c cỏc tam giỏc cú chu vi bng 2p cho trc Tỡm tam giỏc cú bỏn kớnh ng trũn ni tip ln nht Hng gii: S dng cụng thc Hờ Rụng tớnh din tớch tam giỏc, ta cú: A O C B p4 ( p a ) + ( p b) + ( p c ) S = (pr) = p(p a)(p b)(p c) p = 27 2 Ngi thc hin: Phm Quang Thng Trng THCS Cao Xuõn Huy Tờn ti: S dng Din tớch gii toỏn r p (Du = xy p a = p b = p c, hay tam giỏc ABC u) 3 Võy tam giỏc cú bỏn kớnh ng trũn ni tip ln nht l tam giỏc u Bi toỏn 45: Cho M l im bt k tam giỏc ABC cú BC = a , AC = b , AB = c.T M k MA1 , MB1, MC1 ln lt vuụng gúc vi BC , CA , AB a b c Tỡm giỏ tr nh nht ca MA + MB + MC 1 A B1 C1 b M c B A1 a C Hng chng minh (Bng cỏch dựng din tớch): t : MA1 = x , MB1 = y , MC1 = z ta cú : 2S(ABC) = a x + by + cz a x b y c z x y y x y z z x z y z x a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc = (a+b+c)2 (Vỡ vi m > thỡ m + ) m a b c (a + b + c) a+b+c = Cho nờn MA + MB + MC (Vi S, r l din tớch v bỏn 2S r 1 2 m (a x + by + cz) ( + + ) = a + b + c + ab( + ) + bc( + ) + ca( + ) kớnh ng trũn ni tip tam giỏc ABC) a b c a+b+c + + l MA MB1 MC1 r GTTN ca Bi toỏn 46: Cho tam giác ABC (AB < AC), M điểm cạnh BC Vẽ BI AM , Vẽ CK AM Xác định vị trí M để tổng (BI + CK) nhỏ A I M B H C K Ngi thc hin: Phm Quang Thng Trng THCS Cao Xuõn Huy Tờn ti: S dng Din tớch gii toỏn Hng chng minh (Bng cỏch dựng din tớch): Vẽ đờng cao AH Ta cú: SABM + SACM = SABC 1 AM.BI + AM.CK = SABC 2 2S AM.(BI + CK) = SABC BI + CK = ABC AM Nờn (BI + CK) nhỏ AM lớn Vì AH AB < AC nên AM lớn M C Min(BI + CK) bng độ dài đờng cao kẻ từ B ABC T kt qu ny ta cng cú bi toỏn: Xỏc nh v trớ ca M (BI + CK) ln nht Ta cũn cú bi toỏn tng quỏt hn sau: Bi toỏn 47: Cho tam giỏc ABC nhn Tỡm im M tam giỏc cho: AM.BC + BM.CA + CM.AB nh nht Hng gii: A E M B D C F Gi D l giao im ca AM vi BC cũn E, F l hỡnh chiu ca B, C trờn AM v S, S , S , S l din tớch cỏc tam giỏc ABC, MBC, MCA, MAB Do: BE BD; CF CD nờn: BE + CF BC AM.(BE + CF) AM.BC AM.BC 2(S + S ), (Du = xy AM BC) Tng t nh vy ta s cú: AM.BC + BM.CA + CM.AB 4(S + S + S ) Hay: AM.BC + BM.CA + CM.AB 4.S (Khụng i),du bng xy M l trc tõm ca tam giỏc ABC GTNN ca AM.BC + BM.CA + CM.AB l 4S III.Mt s bi toỏn Ri rc sau Bi toỏn 48: Chng t rng khụng th dng c mt tam giỏc u vi nh l cỏc nỳt li ụ vuụng Hng gii: Gi s ta cú tam giỏc u ABC m cỏc nh A, B, C l cỏc nỳt li, ú ta bao tam giỏc ny bng mt hỡnh ch nht AMNP cú cỏc cnh cha cỏc im A, B, C (Nh hỡnh v) Ngi thc hin: Phm Quang Thng Trng THCS Cao Xuõn Huy Tờn ti: S dng Din tớch gii toỏn M B N P A C Khi ú di cỏc cnh hỡnh ch nht cú giỏ tr nguyờn nờn din tớch hỡnh ch nht cng nguyờn, m din tớch cỏc Tam giỏc biờn l s hu t nờn din tớch tam giỏc ABC l s hu t Mt khỏc nu di cnh tam giỏc u l a, thỡ S ABC = a2 l s vụ t - Vụ lý ! Vy khụng th cú tam giỏc u cú nh l cỏc nỳt li Bi toỏn 49: Trong ng trũn tõm O, bỏn kớnh R = cho 17 im bt k Chng minh rng: Luụn tỡm c hai im s 17 im ó cho cú khong cỏch nh hn Li gii: Gi s khong cỏch hai iờmg bt k u ln hn hoc bng Khi ú xột 17 ng trũn cú tõm l 17 im ó cho vi bỏn kớnh r = 2, thỡ c 17 ng trũn ny khụng cú hai ng trũn no cú chung v c 17 ng trũn ny u nm hỡnh trũn tõm O bỏn kớnh bng Tng din tớch ca c 17 hỡnh phi nh hn din tớch ca hỡnh trũn ln ! Vụ lý (Vỡ tng din tớch ca 17 hỡnh trũn l: S = 17 r = 68 , cũn din tớch hỡnh trũng ln l: S = R = 64 ) Tng t ta cú bi toỏn sau: Bi toỏn 50: Trong hỡnh vuụng cú cnh bng 15 t 20 tm bỡa hỡnh vuụng n v mt cỏch tựy ý Chng minh rng luụn t hỡnh vuụng ó cho mt hỡnh trũn cú bỏn kỡnh bng m khụng ct bt k tm bỡa no Hng gii: Ta phi chng t cú mt im O nm hỡnh vuụng m O cỏch mi im trờn cỏc tm bỡa mt khong ln hn 1, tc l O nm ngoi lõn cn bỏn kớnh ca mi tm bỡa, ng thi O phi nm cỏch cnh hỡnh vuụng mt khong khụng hn Tc l O nm hỡnh vuụng thu nh li cú cnh bng 13 ( ng trũn (O,1) nm hỡnh vuụng cnh 15) Ngi thc hin: Phm Quang Thng Trng THCS Cao Xuõn Huy Tờn ti: S dng Din tớch gii toỏn Tht vy: Din tớch mi lõn cn bỏn kớnh 1ca tm bỡa l: S i = + 20 ú tng din tớch ca 20 lõn cõn cỏc tm bỡa l: S i =1 i = 20.( + ) = 100 + Cũn hỡnh vuụng thu nh cnh 13 cú din tớch l: 13 = 169 Ta thy: 100 + < 169 nờn tn ti im O nm hỡnh vuụng cnh 15 tha cỏc iu kin bi Bi toỏn 51: Bờn hỡnh vuụng cú cnh 17, t 20 tm bỡa hỡnh ch nht kớch thc X Chng t rng tn ti mt hỡnh trũn bỏn kớnh chng lờn hai tm bỡa Hng gii: Ta cn ch im B, C mi im thuc mt tm bỡa loi X cho BC Mun vy ta chng t c im A thuc lõn cn bỏn kớnh ca hai tm bỡa X Do din tớch mi lõn cn bỏn kớnh ca mi tm bỡa X l: 16 + Nờn din tớch ca c 20 lõn cn cỏc tm bỡa X l: S = 20.(16 + ) Cũn din tớch hỡnh vuụng m rng cnh 19 ch l S = 19 = 361 (Lu ý cỏc lõn cn bỏn kớnh ca c 20 tm bỡa X nm hỡnh vuụng m rng bỏn kớnh 19) Do: S > S nờn tn ti hai lõn cn giao nhau, hay tn ti im A thuc c hai lõn cn bỏn kớnh ca tm bỡa X (pcm) Tng t ta cng cú bi toỏn sau Bi toỏn 52: Trong hỡnh trũn bỏn kớnh 16 cho 650 im Chng t rng tn ti mt hỡnh vnh khuyờn vi bỏn kớnh bỏn kớnh ngoi m hỡnh vnh khuyờn ny cha ớt nht 10 im ó cho Hng gii: Ta cú din tớch hỡnh vnh khuyờn tõm M i bỏn kớnh bỏn kớnh ngoi l: S M i = - = Ngi thc hin: Phm Quang Thng Trng THCS Cao Xuõn Huy Tờn ti: S dng Din tớch gii toỏn K M Xột 650 hỡnh vnh khuyờn cú tõm l 650 im M i ó cho (Cỏc hỡnh vnh khuyờn ny cú bỏn kớnh bỏn kớnh ngoi 3),thỡ tt c u nm hỡnh trũn tõm O bỏn kớnh 19 bao hỡnh trũn bỏn kớnh 16 ó cho, ú tng din tớch ca 650 hỡnh vnh khuyờn l 650 S i =1 Mi = 650.5 = 3250 > 9.( 19 ) Kt qu ny chng t tn ti mt im K nm hỡnh trũn tõm O m K thuc ớt nht 10 hỡnh vng khuyờn tõm l cỏc im M i , iu ny chng t 10 im M i ny cựng nm hỡnh vnh khuyờn tõm K cú bỏn kớnh bỏn kớnh ngoi (pcm) PHN TH BA - KấT LUN Trờn õy l nhng bi toỏn minh v vic s dng din tớch gii ng nhiờn mi bi toỏn nờu cũn cú nhng cỏch gii khỏc Vi mc ớch l s dng din tớch gii ng thi ỏp dng vi mc t cỏc lp 5,6 n lp v cao dn lờn Tụi mong mun cỏc ng nghip tham kho tỡm tũi, khỏm phỏ nhm giỳp cho cỏc em hc sinh ca chỳng ta hc mụn toỏn s cú thờm nim am mờ hn v t ú cng thy thỳ v hc t kt qu cao ! Tht s tụi mong mun c chia s, s gúp ý ca cỏc ng nghip, xin cm n ! Ngi thc hin: Phm Quang Thng Trng THCS Cao Xuõn Huy [...]... SBCDE = SABFG + SACMN (đpcm) Nhận xét Điểm mấu chốt trong cách giải trên là việc vẽ hình phụ: Vẽ thêm 3 hình vuông iều gì gợi ý cho ta cách vẽ ấy ? Hãy nhìn vào kết luận của định lí: Ta phi chng minh: BC2 = AB2 + AC2 mà BC2 , AB2 , AC2 chính là diện tích các hình vuông có cạnh lần lợt là BC, AB, AC Để chứng minh diện tích hình vuông BCDE bằng tổng diện tích của 2 hình vuông ABFG và ACMN ta đã vẽ đờng... tích hình vuông BCDE bằng tổng diện tích của 2 hình vuông ABFG và ACMN ta đã vẽ đờng cao AH rồi kéo dài để chia hình vuông BCDE thành 2 hình chữ nhật không có điểm trong chung rồi chứng minh 2 hình chữ nhật này có diện tích lần lợt bằng diện tích của 2 hình vuông kia Bi toỏn 19: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD, trờn cnh CD, CB ly cỏc im M, N sao cho: BM = DN, di I l giao im ca BM v DN Chng minh IA l phõn giỏc... 49: Trong ng trũn tõm O, bỏn kớnh R = 6 cho 17 im bt k Chng minh rng: Luụn tỡm c hai im trong s 17 im ó cho cú khong cỏch nh hn 4 Li gii: Gi s khong cỏch hai iờmg bt k u ln hn hoc bng 4 Khi ú xột 17 ng trũn cú tõm l 17 im ó cho vi bỏn kớnh r = 2, thỡ c 17 ng trũn ny khụng cú hai ng trũn no cú min chung trong v c 17 ng trũn ny u nm trong hỡnh trũn tõm O bỏn kớnh bng 8 Tng din tớch ca c 17 hỡnh trong. .. 50: Trong hỡnh vuụng cú cnh bng 15 t 20 tm bỡa hỡnh vuụng n v mt cỏch tựy ý Chng minh rng luụn t trong hỡnh vuụng ó cho mt hỡnh trũn cú bỏn kỡnh bng 1 m khụng ct bt k tm bỡa no Hng gii: Ta phi chng t cú mt im O nm trong hỡnh vuụng m O cỏch mi im trờn cỏc tm bỡa mt khong ln hn 1, tc l O nm ngoi lõn cn bỏn kớnh 1 ca mi tm bỡa, ng thi O phi nm cỏch cnh hỡnh vuụng mt khong khụng bộ hn 1 Tc l O nm trong. .. (Lu ý cỏc lõn cn bỏn kớnh 1 ca c 20 tm bỡa 2 X 3 nm trong hỡnh vuụng m rng bỏn kớnh 19) Do: S 1 > S 2 nờn tn ti hai lõn cn giao nhau, hay tn ti im A thuc c hai lõn cn bỏn kớnh 1 ca tm bỡa 2 X 3 (pcm) Tng t ta cng cú bi toỏn sau Bi toỏn 52: Trong hỡnh trũn bỏn kớnh 16 cho 650 im Chng t rng tn ti mt hỡnh vnh khuyờn vi bỏn kớnh trong 2 bỏn kớnh ngoi 3 m trong hỡnh vnh khuyờn ny cha ớt nht 10 im ó cho Hng... t ú ta cú: S(IKPF) = S(IEAR) m I li nm trong hỡnh bỡnh hnh AMPD I thuc ng chộo DM BQ, DM, OC ng quy ti I Trong bi toỏn ny ta ó s dung mnh : Ngi thc hin: Phm Quang Thng Trng THCS Cao Xuõn Huy Tờn ti: S dng Din tớch gii toỏn im I nm trờn ng chộo AC ca hỡnh bỡnh hnh ABCD khi v ch khi S BSIE = S CFIR , (vi cỏc yu t EF, SR ly trong bi toỏn ny) Bi toỏn 31: Cho lc giỏc... gii: Ta cú din tớch hỡnh vnh khuyờn tõm M i bỏn kớnh trong 2 bỏn kớnh ngoi 3 l: S M i = 9 - 4 = 5 Ngi thc hin: Phm Quang Thng Trng THCS Cao Xuõn Huy Tờn ti: S dng Din tớch gii toỏn K M Xột 650 hỡnh vnh khuyờn cú tõm l 650 im M i ó cho (Cỏc hỡnh vnh khuyờn ny cú bỏn kớnh trong 2 bỏn kớnh ngoi 3),thỡ tt c u nm trong hỡnh trũn tõm O bỏn kớnh 19 bao hỡnh trũn bỏn... cho, khi ú tng din tớch ca 650 hỡnh vnh khuyờn l 650 S i =1 Mi = 650.5 = 3250 > 9.( 19 2 ) Kt qu ny chng t tn ti mt im K nm trong hỡnh trũn tõm O m K thuc ớt nht 10 hỡnh vng khuyờn tõm l cỏc im M i , iu ny chng t 10 im M i ny cựng nm trong hỡnh vnh khuyờn tõm K cú bỏn kớnh trong 2 bỏn kớnh ngoi 3 (pcm) PHN TH BA - KấT LUN Trờn õy l nhng bi toỏn minh ha v vic s dng din tớch gii ng nhiờn mi bi toỏn... ny ta s dng mnh sau: Mt hỡnh thang ABCD (AB//CD) cú O l giao im hai ng chộo M, N l trung im cỏc ỏy AB, CD Khi ú vi I l im nm trong gúc AOB hoc gúc COD thỡ I MN S IAC = S IBD + Nu lc giỏc ABCDEF cú cỏc ng chộo AD, BE, CF m ng quy ti O thỡ cỏc on MN, PQ, RS cng ng quy ti O (Vỡ trong hỡnh thang ABCD thỡ on MN luụn i qu giao im O ca hai ng chộo) Ngi thc hin: Phm Quang Thng Trng THCS Cao... gii toỏn T kt qu bi ny ta cú bi toỏn sau: Bi toỏn 39: Cho tam giỏc ABC vi O l im bt k trong tam giỏc, gi d a , d b , d c l khong cỏch t O n cỏc nh A, B, C cũn h a , h b , h c l khong cỏch t O n cỏc cnh BC, CA, AB Chng minh: d a + d b + d c 2.( h a + h b + h c ) Bi toỏn 40: Trong mt tam giỏc chng minh bt ng thc 1 1 1 1 < h +h < 2r r a b ( Vi r l bỏn kớnh ng trũn ni tip; h a , h ... minh diện tích hình vuông BCDE tổng diện tích hình vuông ABFG ACMN ta vẽ đờng cao AH kéo dài để chia hình vuông BCDE thành hình chữ nhật điểm chung chứng minh hình chữ nhật có diện tích lần lợt diện. .. lợt D, E, F Chứng minh FD = FE Lu ý: Cỏc toỏn giải nhiều cách khác nhng xin phép trình by phơng pháp sử dụng diện tích dnh cho cỏc lp 5, 6, 7: Lời giải: Hạ DK EH vuông góc với AM (K, H AM) A... Điểm mấu chốt cách giải việc vẽ hình phụ: Vẽ thêm hình vuông iều gợi ý cho ta cách vẽ ? Hãy nhìn vào kết luận định lí: Ta phi chng minh: BC2 = AB2 + AC2 mà BC2 , AB2 , AC2 diện tích hình vuông có