Lớp CS môđun có hạng tử trực tiếp nội xạ

1 Mục lục Mục lục Lời nói đầu Danh mục ký hiệu Chơng 1: Kiến thức sở 1.1 Môđuncon cốt yếu, môđun đóng 1.2 Môđun nội xạ, tựa nội xạ 1.3 CS - môđun, 1- C1môđun Chơng 2: CS - môđun có hạng tử trực tiếp nội xạ 2.1 Tính chất môđun M- nội xạ 2.2 CS môđun có hạng tử trực tiếp nội xạ Kết luận Tài liệu tham khảo Trang 5 11 11 18 26 27 Lời nói đầu Khái niệm CS - môđun đợc Chatters Hajarnavis đa vào năm 1977 : Cho R vành có đơn vị, môđun phải M đợc gọi CS - môđun (Extending modunle) môđun M cốt yếu hạng trực tiếp M Kể từ khái niệm CS - môđun đời đến có nhiều công trình nghiên cứu lớp môđun Đặc biệt thập niên gần lớp CS- môđun đợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu rộng rãi theo nhiều hớng khác Kết số lợng lớn công trình, báo đợc công bố Trong kết đặc biệt quan tâm đến báo C.Santa- Clara có tên Extending modun with injective or semisiple summands, báo đợc đăng Journal of Pure and Applied Algebra 127(1998).Dựa báo tìm hiểu nghiên cứu với mục đích sau: Thứ trình bày cách chặt chẽ chi tiết số phép chứng minh kết lớp CS- môđun có hạng tử trực tiếp nội xạ đợc nêu lên báo Thứ hai tìm hiểu đa thêm số tính chất lớp CS - môđun có hạng tử trực tiếp nội xạ Với nội dung luận văn đợc chia thành hai chơng Chơng Kiến thức sở Dựa vào tài liệu tham khảo, chơng đa số kiến thức sở bao gồm: định nghĩa số tính chất môđun cốt yếu, môđun nội xạ, môđun đơn, môđun nửa đơn, CS - môđun, 1- C môđun Chơng 2: CS - Môđun có hạng tử trực tiếp nội xạ Trong chơng đa số tính chất môđun M- nội xạ, CS - môđun, 1- C1 môđun đồng thời chứng minh cách chi tiết chặt chẽ số kết lớp CS-môđun có hạng tử trực tiếp nội xạ báo C.Santa- Clara Luận văn đợc thực từ tháng năm 2008 hoàn thành Đại học Vinh dới hớng dẫn tận tình PGS.TS - Ngô Sỹ Tùng Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành đến thầy giáo hớng dẫn, ngời đặt vấn đề thờng xuyên giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn thầy cô giáo thuộc khoa Toán trờng Đại học Vinh trang bị cho kiến thức vững chắc, tạo điều kiện giúp đỡ để hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn đến bạn học viên cao học khoá 14, chuyên ngành Đại số, khoa sau Đại học, Đại học Vinh giúp đỡ trình hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng, song luận văn tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đợc đóng góp, bảo thầy cô giáo bạn đồng nghiệp Vinh, tháng 12 năm 2008 Tác giả Danh mục ký hiệu Trong luận văn ngoại trừ trờng hợp đặc biệt đợc nói rõ mục lại sử dụng ký hiệu sau: R phát biểu vành tổng quát có đơn vị M R- môđun phải N M : N môđun M N e M : N môđun cốt yếu M N C M : N môđun đóng M N d M : N hạng tử trực tiếp M Mi : Tổng trực tiếp môđun Mi (i I) E (M) : Bao nội xạ M Soc(M) : Socle M Chơng I KIếN THứC CƠ Sở 1.1 Môđun cốt yếu, môđun đóng Cho R vành có đơn vị M R- môđun phải, N môđun M 1.1.1 Định nghĩa Môđun N đợc gọi cốt yếu M kí hiệu Ne M với X M, N X Ngời ta quy ớc e M M=0 Hay nói cách khác, N đợc gọi cốt yếu M môđun A M mà N A = A = 1.1.2 Định nghĩa Nếu N cốt yếu M M đợc gọi mở rộng cốt yếu N 1.1.3 Định nghĩa Môđun N đợc gọi đóng M Kí hiệu N C M N mở rộng cốt yếu thực M Hay nói cách khác, N đợc gọi đóng M với môđun K M mà N cốt yếu K N = K 1.1.4 Định nghĩa Môđun K M đợc gọi bao đóng môđun N M K đóng M N cốt yếu K Hay nói cách khác, môđun K đợc gọi bao đóng N M K môđun tối đại M cho N cốt yếu K 1.1.5 Nhận xét Bao đóng môđun N M tồn 1.1.6 Mệnh đề.Giả sử M R-môđun phải A M Khi tồn B M cho A B e M Tức môđun tồn phần bù cốt yếu 1.2 Môđun nội xạ, tựa nội xạ 1.2.1 Định nghĩa Cho A, N R - môđun phải môđun N đợc gọi A - nội xạ với môđun X A Với đồng cấu : X N mở rộng thành đồng cấu : A N tức i = , với i phép nhúng đồng 1.2.2 Mệnh đề Cho N A - nội xạ, đơn cấu f: N A chẻ 1.2.3 Mệnh đề Cho môđun N A nội xạ B môđun A thì: (i) N B nội xạ (ii) N A/B nội xạ Chứng minh (i) Gọi X môđun B X môđun A Gọi : X N đồng cấu Do N A- nội xạ nên tồn mở rộng h: A N cho hk = Với k: X A phép nhúng đồng Lấy = h B mở cần tìm, tức i= Với i: X B phép nhúng đồng (ii) N A- nội xạ, ta chứng minh N A/B - nội xạ Gọi X/B môđun củaA/B : X/B N đồng cấu Gọi : M1 M1/X ' = X Do N A- nội xạ nên tồn đồng cấu : A N mở rộng ' Ta có: B = ' B = (0) = Suy ker ker nên tồn : A/B N cho = Với x X ta có: ( x + B) = ( x) = ( x) = ' ( x) = ( x + B) Hay mở rộng 1.2.4 Mệnh đề Môđun N A nội xạ N Ra- nội xạ với a A 1.2.5 Mệnh đề Một môđun N iI Ai nội xạ N Ai nội xạ với i I Chứng minh Điều kiện cần: Hiển nhiên Điều kiện đủ: Giả sử N Ai nội xạ với i I Đặt A = iI Ai, gọi X môđun A : X N đồng cấu Theo bổ đề Zooc tồn cặp tối đại (X; ) mà X X A mở rộng Suy X e A Ta chứng minh X = A Giả sử X A a 0; a A X,do A = iI Ai j I để a Aj Theo giả thiết N Aj nội xạ N Ra nội xạ,chọn K = { r R X '} Lấy : Ka N với (ra) = (ra) Do N Ra nội xạ nên tồn : Ra N mở rộng Lấy môđun X + Ra X môđun thực X + Ra Xét h : X + Ra N x + (x) + (ra) h đồng cấu Cặp (X + Ra , h) chứa thực (X, ), mâu thuẫn với tính tối đại (X, ) A = X Do N A nội xạ 1.2.6 Định nghĩa Một môđun Q đợc gọi nội xạ Q A- nội xạ với môđun A 1.2.7 Mệnh đề Hạng tử trực tiếp môđun nội xạ nội xạ Chứng minh Cho Q nội xạ A d Q ta chứng minh A nội xạ, A d Q nên ta có Q = A B Với môđun M X môđun M, với đồng cấu f: X A Lấy iA : A Q = A B a a+ Gọi = iAf : X Q Do Q nội xạ nên tồn *: M Q mở rộng ,lấy f* = pA * : M A Với pA : Q = A B A a+b a Thì f* mở rộng f hay A M nội xạ với M nên A nội xạ 1.2.8 Định lý Mọi môđun M nhúng vào đợc môđun nội xạ 1.2.9 Định lý Một môđun Q nội xạ Q hạng tử trực tiếp môđun chứa 1.2.10 Định lý I Qi nội xạ Qi nội xạ với i I 1.2.11 Định nghĩa Cho M môđun, ta gọi bao nội xạ môđun M môđun kí hiệu E(M) thoã mãn tồn đơn cấu f: M E(M) f(M) e E(M), E(M) nội xạ 1.2.12 Định nghĩa Môđun M đợc gọi tựa nội xạ M M - nội xạ 1.2.13 Định lý M1 M2 tựa nội xạ M i Mj nội xạ với i, j {1;2} i j 1.2.14 Hệ (i) Mn = M M tựa nội xạ M tựa nội xạ n (ii M i tựa nội xạ Mi tựa nội xạ Mi Mj nội xạ i =1 với i j 1.2.15 Định nghĩa Môđun M đợc gọi nửa đơn môđun M hạng trực tiếp M 1.2.16 Định nghĩa Môđun M đợc gọi môđun đơn môđun không tầm thờng Hay nói cách khác M có hai môđun M 1.2.17 Định nghĩa Môđun U đợc gọi U môđun khác không cốt yếu U 1.2.18 Định nghĩa Cho M môđun ta gọi tổng tất môđun đơn M đế môđun M, kí hiệu Soc(M) Nếu M môđun đơn quy ớc Soc(M) = 1.2.19 Nhận xét Soc(M) = E, E chạy khắp môđun cốt yếu M 1.3 CS - môđun, (1 - C1) môđun 1.3.1 Định nghĩa Môđun M đợc gọi CS-môđun (extending modunle) với môđun A M, tồn môđun X cho A cốt yếu X X hạng tử trực tiếp M Tức môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M 1.3.2 Mệnh đề Một môđun M CS-môđun môđun đóng M hạng tử trực tiếp M Chứng minh Giả sử M CS - môđun W môđun đóng M Theo định nghĩa CS - môđun W e K K d M, tính chất đóng W nên K = W Hay Wd M Ngợc lại môđun đóng hạng tử trực tiếp M Xét L môđun M gọi W bao đóng L W đóng W d M Vì L e W d M nên theo định nghĩa suy M CS - môđun 10 1.3.3 Mệnh đề Hạng tử trực tiếp CS - môđun CS - môđun Chứng minh Giả sử M CS - môđun N d M Ta chứng minh N CS - môđun Thật vậy, xét K môđun đóng N, K đóng M Vì M CS - môđun nên K d M, tức ta có : M = K X, với X M Theo luật môđular ta có: N = N I M = N I ( K X) = K ( N I X) Hay K d N Do ta có N CS- môđun 1.3.4 Định nghĩa Môđun M đợc gọi 1- C1 môđun (uniform extending module) môđun A M tồn môđun X cho A cốt yếu X X hạng tử trực tiếp M Hay nói cách khác, M đợc gọi - C1 môđun cốt yếu hạng tử trực tiếp M 1.3.5 Mệnh đề: Một môđun M C1 môđun môđun đóng M hạng tử trực tiếp M Chứng minh Giả sử M C1 môđun A môđun đóng M theo định nghĩa tồn môđun X M cho A e M X d M Do A đóng nên A mở rộng cốt yếu A = X Vậy A d M Ngợc lại giả sử A môđun đóng M Gọi L bao đóng A Do A nên L Suy L d M, nên M C1 môđun 1.3.6 Mệnh đề Hạng tử trực tiếp - C1 môđun - C1 môđun Chứng minh Giả sử M C1 môđun N hạng tử trực tiếp M Gọi X môđun đóng N, theo mệnh đề 1.3.5 X dM Suy M = X Y Theo luật môđular ta có: N = N M = N (X Y) = X (N Y) Hay X dN nên N C1 môđun 12 (iii) Với môđun (đóng) N M cho N I M2 = X N tồn môđun N M cho N N' M= N' M2 Chứng minh (ii) (iii) Hiển nhiên (i) (ii) Giả sử M2 (M1 / X) nội xạ N môđun M cho N I M2 = (1 (N) I X) N Xét ánh xạ : N M2 với a a (a) , : N M1 / X thỏa mãn a a (a) + X Do (N) I X M1 (N) I X N nên (N) I X N I M1 = ker0 Ta có đồng cấu môđun : N/(1 (N) I X ) M2 đợc xác định nh sau (a + ( ( N ) I X )) = (a ) Ta có ker ={ a N/1(a) X } nên (N) I X ker0 Bây ta chứng minh (N) I X = ker0 Thật vậy, với a ker0 , ta có (a) X Suy (a) 1(N) I X Do N I M2 = 0, với a ker0 N, ta có a = (a) + a) N M2 a -1 (a) = (a) = (do a N) Do a = (a) (N) I X, hay a (N) I X Vì 1(N) I X = ker0 Ta thấy ánh xạ : N /(1(N) I X ) M1/ X, với a + 1(N) I X a (a)+ X đơn cấu Theo giả thiết M2 M1/X nội xạ nên tồn ánh xạ : M1 / X M2 cho = Ta có sơ đồ sau: N/(1(N)X) Đặt N' = { a + (a+X) M2 M1/X a M1} Dễ thấy N' M N' I M2 = Với a M, ta có a = (a) + (a) 13 Do a = [ (a) + (1 (a) + X ) ] + [ (a) - (1 (a) + X ) ] N'+ M2 Vì M = N' M2 Nếu a N (a) = (a + 1(N) I X ) = (a+ (N) I X) = (1 (a) + X ) a = (a) + (a) = (a) + (1 (a)+ (1 (a)+X N' Nh N N' (iii) (i) Giả sử có điều kiện (iii), ta chứng minh M2 (M1 / X) - nội xạ Gọi L môđun M cho X L gọi : L / X M2 đồng cấu Đặt N = { a - (a + X ) a L } Dễ thấy N môđun M, N I M2 = X N Khi theo giả thiết tồn môđun N M cho N N' M=N' M2 Gọi : M M2 phép chiếu tắc với hạt nhân N X N' = ker Ta có đồng cấu : M1 / X M2 với a + X a (a) Với a L ta có : ( a + X ) = (a) = [ ( a -(a+X)+ (a+X)] = (a+X) Khi M2 M1 / X nội xạ L/X M1/X M2 M = M1 M2 , mệnh đề 2.1.6 Hệ Cho M1, M2 môđun sau tơng đơng : (i) M2 (M1 /Soc(M1)) - nội xạ (ii) Với môđun (đóng) N M cho N I M2 = Soc (1(N)) N, tồn môđun N M, cho N N' M=N' M2 (iii) Với môđun (đóng) N M cho N I M2 = Soc(N)= Soc(M1), tồn môđun N M, cho N N' M=N' M2 Chứng minh Ta áp dụng Bổ đề 2.1.5 X=Soc(M1) 14 2.1.7 Bổ đề Cho M1, M2, môđun M= M1 M2 Khi mệnh đề sau tơng đơng : (i) M2 gần nh M1 - nội xạ (ii) M2 (M1 / X) nội xạ với môđun X M1 (iii) Với môđun (đóng) N M cho N I M1 N I M2 = 0, tồn môđun N M, cho N N' M=N M2 Chứng minh (i) (ii) Giả sử M2 gần nh M1 - nội xạ, ta phải chứng minh M2 M1/X nội xạ Thật vậy, gọi N/X môđun M1/X gọi : N/X M2 đồng cấu Gọi : M1 M1 /X ' = N Do M2 gần nh M1 - nội xạ nên tồn đồng cấu : M1 M2 cho mở rộng ' Ta có X = 'X = (0) = Khi ta có ker ker Suy tồn : M1/X M2 cho = Với a N, ta có: (a + X) = (a) = (a) = '(a) = (a + X) Hay mở rộng N M1 M1/X N/X Vậy ta có M2 M1/X nội xạ M (ii) (i) Giả sử có (ii), gọi A môđun M Gọi : A M2 đồng cấu Ta có đồng cấu : A/ ker M2 với a + ker a (a) Gọi B phần bù A M1 ta có X= ker B Xét đồng cấu : A/ kerM1/X với a+ ker a a+X 15 Vì A I X = A I (ker B) = ker (A I B) = ker Suy ker = ker Do đơn cấu Hơn theo giả thiết M2 (M1/X) - nội xạ, nên tồn : M1/XM2, cho: (a + ker) = (a + ker) = (a+X) Ta có : M1 M2 với a a (a+ X ) Khi (a) = (a) với a A Vì M2 M1- nội xạ Theo Bổ đề 2.1.5 ta có (ii) tơng đơng với (iii) 2.1.8 Bổ đề Cho M1, M2, môđun M = M1 M2 Khi mệnh đề sau tơng đơng: (i) M2 cốt yếu M1 - nội xạ (ii) M2 (M1/X) - nội xạ với môđun cốt yếu X M1 (iii) Với môđun (đóng) N M cho N I M1 e M1 N I M2 = 0, tồn môđun N' M, cho N N' M=N' M2 (iv) Với môđun (đóng) N M cho N I M1 e M1 N I M2 = 0, M=N M2 (v) Với môđun (đóng) N M cho N I M1 e N tồn môđun N M, cho N N'và M=N' M2 Chứng minh (i) (ii) Rõ ràng (ii) (i) Giả sử có (ii), gọi A môđun M1 Gọi : A M2 đồng cấu cho kere A Ta có : A/ ker M2 với a + ker a (a) Gọi B phần bù A M1, ta có X= ker Be M1 Xét đồng cấu : A/ kerM1/X , với (a+ ker) = a+X Mặt khác, ta có: A I X = A I (ker B) = ker (A I B) = ker Suy ker = ker Do đơn cấu 16 Hơn theo giả thiết, M2 (M1/X) - nội xạ, nên tồn : M1/XM2 cho (a + ker) = (a + ker) = (a+X) Với a A, ta xét đồng cấu : M1M2, a (a+X) (a)= (a) với a A Vì M2 cốt yếu M1- nội xạ M1 A A/ker M1/X Từ Bổ đề 2.1.5 ta có (ii) tơng đơng với (iii) M2 kiện (iii) gọi N môđun M, cho (iii) (v) Giả sử có điều N I M1 e N Gọi L phần bù N I M1 M1 Khi ta có: (N L) I M1 = (N I M1) L e M1 Vì vậy: (N I M1 ) I [ N I (L M2)] =N I [ L (M1 I M2)] =N I L =0 Mặt khác, N I M1 e N nên N I (L M2) = Suy N I (L M2) = Theo giả thiết, tồn môđun N M cho N L N' M=N' M2 Tiếp đến, N môđun M cho N I M1 e M1 N I M2 = 0, với môđun L M cho N I M1 L L I M2 = 0, N I M1 = (N I M1) ( L I M2) = [(N I M1) M2] I L e L (v) (iii) (iv) (iii) Hiển nhiên (iii) (iv) Giả sử có điều kiện (iii) ta chứng minh (iv) Gọi K môđun đóng M cho K I M1 e M1 K I M2=0 Theo giả thiết tồn môđun K M cho K K' M =K' M2 Vì K e K' K đóng M nên K = K' Do M = K M2 2.1.9 Định nghĩa Cho M1, M2 môđun M = M1 M2, M2 đợc gọi u cốt yếu M1 nội xạ với môđun (đóng) N M cho N M1 tồn môđun N M cho N N M = N M2 17 Hai môđun M1 M2 đợc gọi u-cốt yếu nội xạ lẫn Mi ucốt yếu Mj nội xạ, với i,j {1,2}, i j 2.1.10 Nhận xét Theo Bổ đề 2.1.4 M2 cốt yếu M1 nội xạ M2 u cốt yếu M1 nội xạ.Bổ đề sau điều kiện để hai khái niệm trùng 2.1.11 Bổ đề Cho M1 tổng trực tiếp môđun M u cốt yếu M1 nội xạ cốt yếu M1 nội xạ Chứng minh Điều kiện cần : Hiển nhiên Điều kiện đủ: Giả sử M2 u cốt yếu M1 nội xạ với M1 = M i , với iI M1i môđun M1, với i I Với i I, ta chứng minh M2 cốt yếu M1i nội xạ Thật vậy, gọi N môđun khác không M 1i M cho N M1i e N N môđun Vì M2 u cốt yếu M1 nội xạ nên tồn môđun N M cho N N M = N M2 Vì vậy, ta có: M1i M2 = (M1i M2) (N M2) = [(M1i M2) N] M2 Với N (M1i M2) N Do theo Bổ đề 2.1.8 M2 cốt yếu M1i nội xạ Theo Bổ đề 1.2.5 M2 cốt yếu M1 nội xạ 2.2 CS môđun có hạng tử trực tiếp nội xạ Nh ta biết Mohammed - Muller, ta có kết sau điều kiện để tổng trực tiếp môđun extending(CS) extending 2.2.1 Định lý.(Mohammed-Muller) Nếu M = M1 M2 Mn tổng trực tiếp hữu hạn môđun nội xạ lẫn Khi M CS môđun Mi CS môđun với i = 1, n Trong mục trình bày số điều kiện đủ khác cho tổng trực tiếp hai môđun CS CS 2.2.2 Bổ đề Cho M1 CS - môđun, M2 môđun, M = M1 M2 Nếu M2 cốt yếu M1 - nội xạ, với môđun đóng K M cho K I M1 e K K hạng tử trực tiếp M 18 Chứng minh Giả sử M2 cốt yếu M1 - nội xạ K môđun đóng M cho K I M1 e K, theo Bổ đề 2.1.8 tồn mô đun K' môđun đóng M cho K K' M = K ' M2 mà M = M1 M2 Do K' đẳng cấu với M1 Do K ' mở rộng K K môđun đóng K' nên K hạng tử trực tiếp K', suy K hạng tử trực tiếp M Kết M1 uniform-extending môđun đợc chứng minh tơng tự 2.2.3 Bổ đề Cho M1 M2 hai CS - môđun M = M1 M2, mệnh đề sau tơng đơng: (i) M CS - môđun (ii) Với môđun đóng K M cho K I M1 = K I M2 = K hạng tử trực tiếp M (iii) Với môđun đóng K M cho K I M1 e K , K I M2 e K K I M1 = K I M2=0 K hạng tử trực tiếp M Chứng minh (i) (ii) Nếu M CS - Môđun theo Mệnh đề 1.3.2 môđun đóng K M ta có K d M (ii) (i) Ngợc lại, môđun đóng K M với K I M1 = K I M2 = hạng tử trực tiếp M Ta chứng minh M CS- môđun Thật vậy, xét L M môđun đóng M Đặt L1 = L I M2 H bao đóng L1, L, tức L1 d H d L Vì H đóng L, L đóng M nên H đóng M Mặt khác, H I M1 = nên H d M, tức M = H H' với H ' M Theo luật môđula ta có: L = L I M = L I (H H') = H (L I H') Dĩ nhiên L I H' đóng M ( L I H') I M2 =0 19 (L I H') d M, tức M = ( L I H') X Theo luật môđular, ta có: H' = (L I H') (H' I X) Do M = H H' = H (H I H') (H' I X ) = L (H' I X) Vì L hạng tử trực tiếp M Theo Mệnh đề 1.3.2 ta có M CS - môđun (ii) (iii) Hiển nhiên (iii) (iv) Giả sử M = K K' L I M = L I (K K')= K (L I K') Ta có (L I K') I M1 = (L I M1) I K' K I K' = 0, Và (L I K') I M2 L I M2 = Do L I K' đóng M, theo giả thiết L I K' hạng tử trực tiếp M nên L I K' hạng tử trực tiếp K' Do L = K (L I K') hạng tử trực tiếp K K' = M Vậy L hạng tử trực tiếp M 2.2.4 Định lý Cho M1 M2 CS - môđun gọi M=M1 M2 Nếu điều kiện sau thõa mãn M CS môđun: (i) M2 cốt yếu M1 nội xạ với môđun đóng K M cho K I M1 = K hạng tử trực tiếp M (ii) M1 M2 cốt yếu nội xạ lẫn với môđun đóng K N cho K I M1 = K I M2 = K hạng tử trực tiếp M (iii) M1 M2 - nội xạ M2 cốt yếu M1 - nội xạ (iv) M2 nửa đơn cốt yếu M1 - nội xạ Chứng minh (i) Theo Bổ đề 2.2.3 Với môđun đóng K M cho K I M1 = hạng tử trực tiếp M M CS - môđun (ii) Theo bổ đề 2.2.3 M CS - môđun 20 (iii) Theo Bổ đề 2.1.5 M1 M2 - nội xạ nên với môđun đóng K M cho K M1 = K hạng tử trực tiếp M M2 cốt yếu M1 - nội xạ nên theo (i) M CS- môđun (iv) Vì M2 nửa đơn, nên M1 M2 - nội xạ M2 cốt yếu M1- nội xạ nên theo (iii) M CS - môđun 2.2.5 Định nghĩa Môđun M đợc gọi có tính chuyển đổi hữu hạn với tập số hữu hạn I thoả mãn M N= iI Ai với N Ai i I môđun M N = M ( iI Bi) với Bi môđun Ai, i I 2.2.6 Bổ đề M = M1 M2 có tính chuyển đổi hữu hạn M1 M2 có tính chuyển đổi hữu hạn Chứng minh Xem [4] 2.2.7 Bổ đề Cho M1, M2 môđun, gọi M = M1 M2 K hạng tử trực tiếp M cho K I M1 cốt yếu K Nếu K có tính chuyển đổi hữu hạn M = K A M2 với A M1 Chứng minh Giả sử K có tính chuyển đổi hữu hạn K hạng tử trực tiếp M ta có: M = K A B với A M1 B M2 Theo luật môđular ta có: K I M1 I (A M2) = K I [A (M1 I M2)] = K I (A 0) = K I A Do K I M1 e K nên từ K I M1 I (A M2) = suy A M2 = Suy K I (A M2) = Vì (K A) I M2 = Do đó: M = K A M2 2.2.8 Bổ đề Cho K K môđun M = K K, gọi L môđun M L có tính chuyển đổi hữu hạn Nếu M = N L với N K K có tính chuyển đổi hữu hạn Chứng minh Giả sử M = N L với N K Khi theo luật môđular ta có: K = K I M = K I (N L) = N (K I L) M = K K = K N (K I L) L = L I M = L I [K N (K I L)] = [(K I N) I L] (K I L) 21 M = [(K N) I L] K Mặt khác, theo giả thiết M = K K nên K (K N) I L mà (K N) I L hạng tử trực tiếp L nên K hạng tử trực tiếp L mà L có tính chuyển đổi hữu hạn nên theo Bổ đề 2.2.6 K có tính chuyển đổi hữu hạn 2.2.9 Bổ đề Cho M1 môđun M2 môđun có tính chuyển đổi hữu hạn M = M1 M2 Nếu K hạng tử trực tiếp M K có tính chuyển đổi hữu hạn tồn môđun L M cho K L M = L M2 Chứng minh Giả sử K hạng tử trực tiếp M, ta có: M = M1 M2 = K K Do M2 có tính chuyển đổi hữu hạn nên theo định nghĩa ta có : M = N N M2 với N K N K Mặt khác K môđun nên N = K N = 0, đó: M = K N M2 M = N M2 - Trờng hợp thứ M = K N M2 đặt L = K N M = L M2 - Trờng hợp thứ hai M = N M2 theo Bổ đề 2.2.8 K có tính chuyển đổi hữu hạn 2.2.10 Mệnh đề Cho M1 môđun M2 môđun có tính chuyển đổi hữu hạn Nếu M1 M2 CS-môđun M1 cốt yếu M2- nội xạ Chứng minh Giả sử M = M1 M2 CS-môđun Và gọi K môđun đóng M cho K I M2 e K Do M CS-môđun K hạng tử trực tiếp M Giả sử M = M1 M2 = K K Vì M2 có tính chuyển đổi hữu hạn nên M = N N M2 với N K N K Khi ta có: (K I M2) I N = N I M2 = mà K I M2 e K nên N = M = N N M = N M Theo Bổ đề 2.2.8 K có tính chuyển đổi hữu hạn Theo Bổ đề 2.2.7 M = K M1 B, với B M2, theo Bổ đề 2.1.8 M1 cốt yếu M2- nội xạ 2.2.11 Hệ Cho M1 M2 môđun có tính chuyển đổi hữu hạn M = M1 M2 M CS môđun M M2 CS-môđun cốt yếu nội xạ lẫn với môđun đóng K M cho K I M1 = K I M2 = hạng tử trực tiếp M 22 Chứng minh Theo Định lý 2.2.4 M1, M2 CS- môđun, M1, M2 cốt yếu nội xạ lẫn với môđun đóng K M cho K I M1 = K I M2 = hạng tử trực tiếp M M = M1 M2 CS- mô đun Theo Mệnh đề 2.2.10 M2 có tính chuyển đổi hữu hạn M = M1 M2 CS- môđun nên M1 cốt yếu M2 nội xạ Và M1 có tính chất chuyển đổi hữu hạn M = M M2 CSmôđun nên M2 cốt yếu M1 nội xạ Vì theo định nghĩa M1, M2 cốt yếu nội xạ lẫn 2.2.12 Định lý M1 môđun có tính chuyển đổi hữu hạn M môđun nửa đơn M1 M2 CS- môđun M1 CS- môđun M2 cốt yếu M1 nội xạ Chứng minh Vì M2 nửa đơn M2 cốt yếu M1- nội xạ nên theo Định lý 2.2.4 M CS- môđun Ngợc lại M CS- môđun, M có tính chuyển đổi hữu hạn Theo Mệnh đề 2.2.10 M2 cốt yếu M1 nội xạ 2.2.13 Mệnh đề M1 môđun, M2 môđun có tính chuyển đổi hữu hạn Nếu M1 M2 1- C1 môđun M2 u cốt yếu M1 - nội xạ Chứng minh Giả sử M = M1 M2 C1 môđun K môđun đóng M cho K M1 Vì M C1 môđun, K môđun đóng M nên theo Mệnh đề 1.3.5 K hạng tử trực tiếp M Theo Bổ đề 2.2.9 K có tính chuyển đổi hữu hạn tồn môđun L M cho K L M = L M2 Trờng hợp thứ nhất: Nếu K có tính chuyển đổi hữu hạn, K K M1 nên K M1 e K Theo Bổ đề 2.2.7 M = K A M2 với A M1 Nh với môđun K M mà K M1= tồn N=K A để M = N M2 Vì M2 u cốt yếu M1 nội xạ 23 Trờng hợp thứ hai: Hiển nhiên theo Định nghĩa 2.1.9 M u- cốt yếu M1 nội xạ 2.2.14 Hệ Cho M1 tổng môđun M2 môđun có tính chuyển đổi hữu hạn Nếu M1 M2 1- C1 M2 cốt yếu M1- nội xạ Chứng minh Theo Mệnh đề 2.2.13 M2 môđun có tính chuyển đổi hữu hạn, M1 M2 1- C1 môđun nên M2 u- cốt yếu M1- nội xạ Theo Bổ đề 2.1.11, M1 tổng môđun M2 u- cốt yếu M1nội xạ nên M2 cốt yếu M1- nội xạ 2.2.15 Mệnh đề M1 môđun với socle không, M môđun với socle cốt yếu có tính chuyển đổi hữu hạn M1 M2 CS- môđun M1 M2 CS- môđun, M1 cốt yếu M2- nội xạ M2 M1 nội xạ Chứng minh Vì M1, M2 CS- môđun M1 cốt yếu M2- nội xạ, M2 M1- nội xạ nên theo Định lý 2.2.4 M = M1 M2 CS - môđun Ngợc lại M = M1 M2 CS- môđun M1, M2 hạng tử trực tiếp M nên M1, M2 CS- môđun Theo Mệnh đề 2.2.10, M CS môđun M có tính chuyển đổi hữu hạn nên M1 cốt yếu M2- nội xạ Ta chứng minh M2 M1- nội xạ Thật gọi K môđun đóng M cho K M2 = Soc(K) = Do M CS- môđun, K hạng tử trực tiếp M nên giả sử M = K K Vì M2 có socle cốt yếu nên Soc (K) = Soc (M) = Soc (M2) e M2 K M2eM2 , theo Bổ đề 2.2.7 M2 có tính chuyển đổi hữu hạn nên: M = K N M với N K Vì theo Hệ 2.1.6 M2 M1- nội xạ 24 25 Kết luận Luận văn đề cập giải đợc vấn đề sau Trên sở báo C Santa - Clara Extending modun with injective or semisiple summands, đã: Trình bày có hệ thống số tính chất lớp CS -môđun có hạng tử trực tiếp nội xạ Trình bày chứng minh chi tiết số điều kiện đủ để tổng trực tiếp hai môđun CS CS Tài liệu tham khảo [1] FW.Anderson, K.R Fuler (1992), Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York 26 [2] A Harmanci, P.F.Smith (1993), Finite direct sums of CS - modules, Houston J.Math 12, 523 532 [3] M.A Kamal, B.J Muller (1988), Extending modules over commutative domains, Osaka J.Math.25, 531- 538 [4] S.H.Mohamed, B.J Muller (1990), Continuous and discrete modules, London Math Soc, Lecture Notes 147, Cmabridge University Press, London [5] C Santa-Clara (1998), Extending modules with injective or semisimple summands, Journal of Pure and Applied Algegbra 127, 193 203 [6] R.Wisbauer (1991) Foundations of Module and Ring Theory, Gordon and Breach, Reading [...]... và M2 là CS- môđun, M1 là cốt yếu M2- nội xạ và M2 là M1 nội xạ Chứng minh Vì M1, M2 là CS- môđun và M1 là cốt yếu M2- nội xạ, M2 là M1- nội xạ nên theo Định lý 2.2.4 thì M = M1 M2 là CS - môđun Ngợc lại nếu M = M1 M2 là CS- môđun thì M1, M2 là hạng tử trực tiếp của M nên M1, M2 là CS- môđun Theo Mệnh đề 2.2.10, vì M là CS môđun và M 2 có tính chuyển đổi hữu hạn nên M1 là cốt yếu M2- nội xạ Ta sẽ... = 0 là hạng tử trực tiếp của M thì M là CS - môđun (ii) Theo bổ đề 2.2.3 thì M là CS - môđun 20 (iii) Theo Bổ đề 2.1.5 M1 là M2 - nội xạ nên với mọi môđun con đóng K của M sao cho K M1 = 0 thì K là hạng tử trực tiếp của M và do M2 là cốt yếu của M1 - nội xạ nên theo (i) thì M là CS- môđun (iv) Vì M2 là nửa đơn, nên M1 là M2 - nội xạ và M2 là cốt yếu M1- nội xạ nên theo (iii) thì M là CS - môđun 2.2.5... là hạng tử trực tiếp của L nên K là hạng tử trực tiếp của L mà do L có tính chuyển đổi hữu hạn nên theo Bổ đề 2.2.6 thì K có tính chuyển đổi hữu hạn 2.2.9 Bổ đề Cho M1 là một môđun M2 là môđun có tính chuyển đổi hữu hạn và M = M1 M2 Nếu K là hạng tử trực tiếp đều của M thì K có tính chuyển đổi hữu hạn hoặc tồn tại một môđun con L của M sao cho K L và M = L M2 Chứng minh Giả sử K là một hạng tử trực. .. là cốt yếu M1 nội xạ và với mọi môđun con đóng K của M sao cho K I M1 = 0 thì K là một hạng tử trực tiếp của M (ii) M1 và M2 là cốt yếu nội xạ lẫn nhau và với mọi môđun con đóng K của N sao cho K I M1 = K I M2 = 0 thì K là một hạng tử trực tiếp của M (iii) M1 là M2 - nội xạ và M2 là cốt yếu M1 - nội xạ (iv) M2 là nửa đơn và cốt yếu M1 - nội xạ Chứng minh (i) Theo Bổ đề 2.2.3 Với mọi môđun con đóng... K') Ta có (L I K') I M1 = (L I M1) I K' K I K' = 0, Và (L I K') I M2 L I M2 = 0 Do đó L I K' là đóng trong M, theo giả thiết L I K' là hạng tử trực tiếp của M nên L I K' hạng tử trực tiếp của K' Do đó L = K (L I K') là hạng tử trực tiếp của K K' = M Vậy L là hạng tử trực tiếp của M 2.2.4 Định lý Cho M1 và M2 là CS - môđun và gọi M=M1 M2 Nếu một trong các điều kiện sau thõa mãn thì M là CS môđun: ... cốt yếu nội xạ lẫn nhau 2.2.12 Định lý M1 là một môđun có tính chuyển đổi hữu hạn và M 2 là môđun nửa đơn thì M1 M2 là CS- môđun khi và chỉ khi M1 là CS- môđun và M2 là cốt yếu M1 nội xạ Chứng minh Vì M2 là nửa đơn và M2 là cốt yếu M1- nội xạ nên theo Định lý 2.2.4 thì M là CS- môđun Ngợc lại nếu M là CS- môđun, M 1 có tính chuyển đổi hữu hạn Theo Mệnh đề 2.2.10 thì M2 là cốt yếu M1 nội xạ 2.2.13... nếu M1, M2 là CS- môđun, M1, M2 là cốt yếu nội xạ lẫn nhau và với mọi môđun con đóng K của M sao cho K I M1 = K I M2 = 0 là một hạng tử trực tiếp của M thì M = M1 M2 là CS- mô đun Theo Mệnh đề 2.2.10 do M2 có tính chuyển đổi hữu hạn vì M = M1 M2 là CS- môđun nên M1 là cốt yếu M2 nội xạ Và cũng do M1 có tính chất chuyển đổi hữu hạn và M = M 1 M2 là CSmôđun nên M2 là cốt yếu M1 nội xạ Vì thế theo... K và K là môđun con đóng của K' nên K là hạng tử trực tiếp của K', suy ra K là hạng tử trực tiếp của M Kết quả đối với M1 là uniform-extending môđun cũng đợc chứng minh tơng tự 2.2.3 Bổ đề Cho M1 và M2 là hai CS - môđun và M = M1 M2, khi đó các mệnh đề sau là tơng đơng: (i) M là một CS - môđun (ii) Với mọi môđun con đóng K của M sao cho K I M1 = 0 hoặc K I M2 = 0 thì K là một hạng tử trực tiếp của... trực tiếp nội xạ Nh ta đã biết trong Mohammed - Muller, thì ta có kết quả sau đây về điều kiện để tổng trực tiếp các môđun extending (CS) là extending 2.2.1 Định lý.(Mohammed-Muller) Nếu M = M1 M2 Mn là một tổng trực tiếp hữu hạn các môđun nội xạ lẫn nhau Khi đó M là CS môđun khi và chỉ khi Mi là CS môđun với mọi i = 1, 2 n Trong mục này chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ khác cho tổng trực. .. đủ khác cho tổng trực tiếp của hai môđun CS là CS 2.2.2 Bổ đề Cho M1 là CS - môđun, M2 là một môđun, và M = M1 M2 Nếu M2 là cốt yếu M1 - nội xạ, với mọi môđun con đóng K của M sao cho K I M1 e K thì K là một hạng tử trực tiếp của M 18 Chứng minh Giả sử M2 là cốt yếu M1 - nội xạ và K là môđun con đóng của M sao cho K I M1 e K, theo Bổ đề 2.1.8 tồn tại mô đun con của K' là môđun con đóng của M sao ... chất môđun cốt yếu, môđun nội xạ, môđun đơn, môđun nửa đơn, CS - môđun, 1- C môđun Chơng 2: CS - Môđun có hạng tử trực tiếp nội xạ Trong chơng đa số tính chất môđun M- nội xạ, CS - môđun, 1- C1 môđun. .. 1.1 Môđuncon cốt yếu, môđun đóng 1.2 Môđun nội xạ, tựa nội xạ 1.3 CS - môđun, 1- C 1môđun Chơng 2: CS - môđun có hạng tử trực tiếp nội xạ 2.1 Tính chất môđun M- nội xạ. .. số phép chứng minh kết lớp CS- môđun có hạng tử trực tiếp nội xạ đợc nêu lên báo Thứ hai tìm hiểu đa thêm số tính chất lớp CS - môđun có hạng tử trực tiếp nội xạ Với nội dung luận văn đợc chia