Tìm hiểu về lý thuyết đồ thị

Lời cảm ơn Em xin chân thành cảm ơn cô: Hồ Thị Huyền Thơng Ngời cô trực tiếp hớng dẫn em, cô tận tình giúp đỡ em bớc cách giải vấn đề Cô phơng hớng để em hoàn thành tốt khoá luận Em hoàn thành đợc khoá luận nhờ nhiều vào giúp đỡ cô, lần em xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô Em xin chân thành cảm ơn đến toàn thể thầy cô khoa CNTT- Trờng đại học Vinh nhiệt tình truyền đạt cho em nhũng kiến thức, kinh nghiệm quí báu Nó làm tảng cho em có ngày hôm để hoàn thành khoá luận Cuối em xin chân thành cảm ơn đến tất ngời thân bạn bè xung quanh em, họ ngời động viên, đóng góp ý kiến giúp đỡ em suốt trình làm khoá luận Em chân thành biết ơn! Vinh, ngày 15 tháng năm 2005 Sinh viên thực Ngô Thị Thu Huyền lời nói đầu Trong giai đoạn nay, công nghệ thông tin ngành mũi nhọn, không bó hẹp phạm vi nhà trờng, viện nghiên cứu, trung trâm máy tính mà mở rộng quan, xí nghiệp nhà máy Chính điều việc đời ngôn ngữ lập trình đóng vai trò quan trọng đáng kể Một ngôn ngữ phổ dụng ngôn ngữ lập trình Visual Basic Có thể nói ngôn ngữ có cấu trúc chặt chẽ, hỗ trợ nhiều lập trình Với mục đích vừa làm công cụ giảng dạy cho sinh viên, học sinh vừa giải toán thực tiễn Dựa vào ngôn ngữ lập trình giải đợc hàng loạt vấn đề thực tế, điều chứng tỏ đợc tầm quan trọng sức sống mãnh liệt ngôn ngữ lập trình nói chung Visual Basic nói riêng Trong thực tế ngời ta thờng sử dụng mạng lới điện thoại, giao thông đặc (biệt mạng lới hàng không), mạng máy tính Chúng giữ vị trí quan trọng,việc nghiên cứu phát triển kỹ thuật đợc trọng, nhằm giải công việc lĩnh vực cách linh hoạt, ví dụ nh giảm chi phí, tốn thời gian nhiều hiệu khác Để giải tổn hao đó, việc nghiên cứu phải dựa nghành toán học lí thuyết đồ thị (Graph Thoery) hay nói cách chung lí thuyết đồ thị công cụ toán học xây dựng mô hình cho vấn đề Nh ta biết mạng điện thoại, mạng máy tính hay mạng thông tin nói chung thờng có cấu trúc chung điểm liên hệ với Để mô hình liên hệ này, toán học lí thuyết đồ thị biểu diễn đồ thị, đỉnh đồ thị điểm thông tin, số đợc gán cạch đồ thị biểu diễn khoảng cách hay chi phí nút thông tin Cùng với thực tiễn nh trên, dới hớng dẫn cô Hồ Thị Huyền Thơng với hiểu biết hôm nay, em làm đề tài với tên đề tài " Tìm hiểu lí thuyết đồ thị " Cụ thể em mô số giải thuật tìm đờng ngắn ngôn ngữ visual basic Mục đích đa đờng ngắn đỉnh xuất phát X, đến đỉnh đích Y đồ thị qua hai giải thuật đồ thị có trọng số đồ thị trọng số Nội dung đề tài em chia thành phần bản: + Phần 1: Lý thuyết đồ thị + Phần 2: Giải thuật tìm đờng ngắn đồ thị + Phần 3: Một số ứng dụng đồ thị Tuy cố gắng song thời gian nh điều kiện có hạn nên không tránh khỏi thiếu sót Rất mong đợc đóng góp chân thành thầy cô giáo toàn thể bạn sinh viên để đề tài ngày hoàn thiện Cuối cùng, em xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô Hồ Thị Huyền Thơng, thầy cô giáo khoa toàn thể bạn sinh viên giúp đỡ nhiệt tình tạo điều kiện tốt để em hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên: Ngô Thị Thu Huyền Phần I Lý thuyết đồ thị I Định nghĩa phân loại đồ thị A Định nghĩa đồ thị Định nghĩa 1: Một đơn đồ thị vô hớng G = (V, E) gồm tập không rỗng V mà phần tử gọi cấc đỉnh tập E mà phần tử gọi cạnh, cặp không thứ tự đỉnh phân biệt Định nghĩa 2: Một đa đồ thị vô hớng G = (V, E) gồm tập đỉnh V, tập cạnh E hàm f từ E tới {{u, v} / u, v V, u v} Các cạnh e1 e2 đợc gọi song song hay cạnh bội f(e1) = f(e2) Định nghĩa 3: Giả đồ thị vô hớng G=(V,E) gồm tập đỉnh V E họ cặp thứ tự gồm hai phần tử (không thiết phải khác nhau) V gọi cạnh, cạnh e đợc gọi khuyên có dạng e=(u,u) Định nghĩa 4: Đơn đồ thị có hớng G=(V,E) bao gồm tập đỉnh V tập cạnh E cặp có thứ tự phần tử thuộc V Định nghĩa Đa đồ thị có hớng G=(V,E) bao gồm V tập đỉnh E họ cặp có thứ tự gồm hai phần tử khac V gọi cung Hai cung e1 e2 tơng ứng với cặp đỉnh đợc gọi cung lặp B Phân loại đồ thị: a/ Đồ thị vô hớng đồ thị có hớng: Đồ thị vô hớng : Là đồ thị không phân biệt cạnh nối từ đỉnh A đến đỉnh B ngợc lại Ví dụ nh hình vẽ: B e g h A C f D m E A D F B l C H 10 k G 12 A F B 11 D C Đồ thị có hớng: Phân biệt cạnh nối từ đỉnh A đến đỉnh B từ đỉnh B đến đỉnh A khác Ví dụ nh hình vẽ: B g e A C h f D a c b b/ Đồ thị có trọng số:Là đồ thị cạnh đợc gán giá trị.Ví d dụ nh hình vẽ: a 5 c b d d/ Đồ thị trọng số: Ví dụ nh hình vẽ: II.Các thuật a ngữ đồ thị: c II.1 Những thuật ngữ sở A Các định nghĩa: 1.Định nghĩa d Hai đỉnh u v đồ thị vô hớng G đợc gọi liền kề (u,v) cạnh G Nếu e=(u,v) e đợc gọi cạnh liên thuộc với đỉnh u v Cạnh e đuợc gọi cạnh nối đỉnh u v Các đỉnh u v đợc gọi đỉnh đầu mút cạnh (u,v) Định nghĩa Bậc đỉnh đồ thị vô hớng số cạnh liên thuộc với nó, riêng khuyên đỉnh đựoc tính hai lần cho bậc Ngợc lại ký hiệu bậc đỉnh v deg(v) 3.Định nghĩa Khi (u,v) cạnh đồ thị có hớng G, u đợc gọi nối tới v, v đợc gọi nối tới u Đỉnh u gọi đỉnh đầu, đỉnh v gọi đỉnh cuối cạnh (u,v) Đỉnh đầu đỉnh cuối có khuyên trùng 4.Định nghĩa b Trong đồ thị có hớng bậc vào đỉnh v đợc kí hiệu deg-(v) số cạnh có đỉnh cuối v Bậc đỉnh v, ký hiệu deg+(v) số cạnh có đỉnh đầu v B.Các định lí: 1) Định lí 1: Định lí bắt tay: Cho G = (V,E) đồ thị vô hớng có e deg(v) cạnh Khi đó: e = vV ( Định lí tổng bậc tất đỉnh đò thị vô hớng số chẵn.) 2) Định lí 2: Một đồ thị vô hớng có đỉnh số chẵn bậc lẻ Chứng minh : Giả sử V1 V2 tơng ứng tập đỉnh bậc chẵn tập đỉnh bậc lẻ G = (V, E) Khi đó: deg(v) = deg(v) + deg(v) 2e = vV vV vV Vì v chẵn với v V1, nên tổng vế phải số chẵn Mặt khác vế trái (bằng 2e) số chẵn nên tổng lại vế phải số chẵn Vì tất số hạng tổng số lẻ, nên từ suy số hạng chẵn Hay số đỉnh bậc lẻ chẵn II.2 Những đồ thị đơn đặc biệt: Đồ thị đầy đủ: Đồ thị đầy đủ n đỉnh, kí hiệu Kn, đơn đồ thị chứa cạnh nối cặp đỉnh phân biệt Các đồ thị Kn, với n= 1, 2, 3, 4, đợc biểu diễn nh hình sau: K1 K2 K3 K4 K5 Chu trình (vòng) Chu trình Cn, n>=3 đồ thị có n đỉnh, v1, v2, ,vn cạnh { v1, v2},{ v2, v3}, { vn-1, vn}và { vn, v1} Các chu trình C3, C4, C5 đợc biểu diễn nh sau: C3 C4 C5 Ngoài số đồ thị khác nh : đồ thị bánh xe, khối n chiều II.3 Đồ thị phân đôi: Định nghĩa: Một đồ thị đơn G đợc gọi đồ thị phân đôi tập đỉnh V phân làm hai tập không rỗng rời V V2 cho cạnh đồ thị nối đỉnh V1 với đỉnh V2 Ví dụ: a b g c f e d III/ Đờng đi, chu trình, đồ thị liên thông, Sự đẳng cấu Định nghĩa Đờng độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, n số nguyên dơng, đồ thị vô hớng G=(V,E) dãy: x0,x1,,xn-1,xn Trong u=x0, v=xn, (xi,xi+1) thuộc E, i=0,1,,n-1 Đờng nói đợc biểu diễn dới dạng cạnh : (x0,x1),(x1,x2),,(xn-1,xn) Đỉnh u đợc gọi đỉnh đầu , đỉnh v đợc gọi đỉnh cuối đờng Đờng có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức u trùng với v ) đợc gọi chu trình Đờng hay chu trình đợc gọi đơn cạnh bị lặp lại Định nghĩa Đờng có độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, n số nguyên dơng, đồ thị có hớng G=(V,A) dãy: x0,x1,,xn-1,xn Tại thời điểm, tập S cha tất đỉnh mà khoảng cách nhỏ từ xuất phát(X) đến chúng đợc xác định Bắt đầu giải thuật với tập S chứa đỉnh nguồn(đỉnh xuất phát), giải thuật kết thúc tập S chứa tất đỉnh đồ thị toán đợc giải xong Tại bớc, ta chọn đỉnh tập C mà khoảng cách từ đỉnh nguồn đến đỉnh nhỏ đa đỉnh vào tập S Bắt đầu S = [X], C= V- [X] Chọn đỉnh Z C cho đờng từ X đến Z nhỏ S = S + [Z] C= C+[Z] Quay lại bớc (2) Z=y Đây giải thuật tìm đờng ngắn đồ thị có trọng số nối hai đỉnh X Y cho trớc với đặc tính tổng trọng số tất cạnh nhỏ tất đờng từ đỉnh X đến đỉnh Y Nếu tất trọng số toán trở thành toám tìm đờng có cạnh nối hai đỉnh X Y Ta dùng giải thuật Breadth First Search (Tìm kiếm theo chiều rộng) để giải toán ttrờng hợp Bắt đầu từ đỉnh X ta xét tất đờng nối từ X với độ dài cạnh ngắn nh gặp đợc đỉnh Y Nh vậy, đờng ngắn từ đỉnh X tới đỉnh Y có số cạnh nối ngắn Trong trờng hợp tổng quát, đờng từ đỉnh X tới đỉnh Y qua tất đỉnh đồ thị, ta xét toán tìm đờng ngắn nối từ đỉnh X cho trớc với tất đỉnh khác đồ thị Nh vậy, đờng từ đỉnh nguồn tới đỉnh khác riêng biệt tất đỉnh trung gian đờng nằm tập S Tại bớc giải thuật, mảng chiều dài L(gồm n phần tử) dùng để chứa chiều dài đ- ờng riêng biệt ngắn đến đỉnh đồ thị Mỗi lần ta đa đỉnh v vào tập S, đờng riêng biệt ngắn đến đỉnh v đờng ngắn tất đờng đến đỉnh v Khi giải thuật kết thúc ta đỉnh nằm đồ thị nằm tập S, tất đờng từ đỉnh nguồn đến tất đỉnh khác đờng riêng biệt Đồ thị đợc biểu diễn cách dùng danh sách cung(đồ thị vô hớng có trọng số): * Xét toán tìm độ dài đờng ngắn a z trrong đơn đồ thị liên thông vô hớng có trọng số Thuật toán Dijkstra đợc thực cách tìm độ dài đờng ngắn từ đỉnh a tới đỉnh đầu tiên, độ dài đờng ngắn từ đỉnh a tới đỉnh thứ hai, , tìm đợc độ dài đờng ngắn từ a tới z * Giải thuật Dijkstra nh sau: {G: đơn dồ thị liên thông có trọng số, với trọng số dơng G có đỉnh a= v0,v1, ,vn=z trọng số w(vi,vj), với w(vi,vj) = { vi,vj } không cạnh G} Gán đỉnh nhãn L(vi) = ; L(a)=0, S = {Tập S rỗng} Trong z S thực Gán u = đỉnh không thuộc S có nhãn L(u) nhỏ đa đỉnh u vào tập S S := S {u} Duyệt tất đỉnh v không thuộc S: Nếu L(u) + w(u,v) [...]... : Đồ thị vô hớng G=(V,E) đợc gọi là liên thông nếu luôn tìm đợc đờng đi giữa hai đỉnh bất kỳ của nó 4 Định nghĩa 4: Ta gọi đồ thị con của đồ thị G = (V,E) là đồ thị H = (W,F), trong đó W V và F E Trong trờng hợp là đồ thị không liên thông, nó sẽ rã ra thành một số đồ thị con liên thông đôi một không có đồ đỉnh chung Những đồ thị con liên thông nh vậy ta sẽ gọi là các thành phần liên thông của đồ thị. .. với nó khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thông của đồ thị Cạnh e đợc gọi là cầu nếu việc loại bỏ nó ra khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thông của đồ thị 6 Định nghĩa 6: Đồ thị có hớng G = (V, A) đợc gọi là liên thông mạnh nếu luôn tìm đợc đờng đi giữa hai đỉnh bất kỳ của nó 7 Định nghĩa 7: Đồ thị có hớng G = (V, A) đợc gọi là liên thông yếu nếu đồ thị tơng ứng với nó là đồ thị vô hớng... qua p-1 đỉnh trung gian Ma trận kề của đồ thị có hớng đợc định nghĩa một cách hoàn toàn tơng tự 2 Danh sách cung Trong trờng hợp đồ thị tha (đồ thị có số cạnh m thoả mãn bất đẳng thức m ... đỉnh đích Y đồ thị qua hai giải thuật đồ thị có trọng số đồ thị trọng số Nội dung đề tài em chia thành phần bản: + Phần 1: Lý thuyết đồ thị + Phần 2: Giải thuật tìm đờng ngắn đồ thị + Phần 3:... Đồ thị vô hớng G=(V,E) đợc gọi liên thông tìm đợc đờng hai đỉnh Định nghĩa 4: Ta gọi đồ thị đồ thị G = (V,E) đồ thị H = (W,F), W V F E Trong trờng hợp đồ thị không liên thông, rã thành số đồ. .. điều chứng minh số màu đồ thị n Trớc tiên phải chứng tỏ đồ thị đợc tô màu n màu Điều thực cách tô màu đồ thị Sau phải chứng tỏ tô màu đồ thị với số màu Ví dụ1: Tìm số màu đồ thị Kn a Đỏ b Lam c