phương pháp số

tụng cụng ty bu chinh viờn thụng viờt nam hoc viờn cụng nghờ bu chinh viờn thụng Giao trinh PHNG PHaP Sụ Biờn soan TS Phan ng Cõu ThS Phan Thi Ha Ha nụi, thang 10 / 2005 Li noi õu Giao trinh "Phng phap sụ" c biờn soan cho sinh viờn hoc nm th hai cac chuyờn nganh Cụng nghờ thụng tin (CNTT) va Viờn thụng(VT) thuục Hoc Viờn Cụng nghờ Bu chinh Viờn thụng vi thi lng 30 tiờt ly thuyờt va 15 tiờt thc hanh Tng t nh cac giao trinh vờ phng phap sụ cua cac trng hoc khac, giao trinh bao gụm cac kiờn thc c ban nhõt vờ phng phap sụ nh sụ xõp xi va sai sụ, cac phng phap sụ sụ tuyờn tinh, phep nụi suy va hụi quy, tinh gõn ung nghiờm cua phng trinh phi tuyờn, tinh gõn ung ao ham va tich phõn xac inh, giai gõn ung phng trinh vi phõn Nh mụt phõn sinh viờn t tim hiờu, chung tụi bụ sung thờm chng gii thiờu s lc vờ phng phap Monte-carlo hay thc la phng phap th ngõu nhiờn tinh toan xõp xi cac lng tõt inh, la mụt linh vc quan va co nhiờu ng dung thc tờ, o co nghanh Bu chinh Viờn thụng Hiờn tai liờu vờ "Phng phap sụ" rõt phong phu va cach trinh bay cung rõt a dang Nhiờu tai liờu chi gii thiờu thuõt toan, phõn thc hanh trờn may sinh viờn t thc hiờn Cung co nhng tai liờu gii thiờu chi tiờt cac thuõt toan cung cac chng trinh cai t trờn may tinh, giup cho sinh viờn co thờ thc hanh trờn may dờ dang hn Chung tụi theo hng th hai, nghia la sau gi i thiờu cac thuõt toan, chung tụi gii thiờu luụn ca chng trinh cai t iờm khac biờt cua giao trinh so vi cac tai liờu a co la thay vi ngụn ng Pascal quen thuục, chung tụi viờt cac chng trinh bng C++ va co thờm phõn ụ thi minh hoa Chung tụi nghi rng xem cac bang sụ, nhiờu rõt kho nhin mụi quan hờ gia cac lng Vi du bai toan hụi quy chng han, ta cõn xac inh mụt a thc thich hp xõp xi tụt nhõt tõp sụ liờu a cho Nờu chi nhin vao cac bang vi chi chit cac sụ ta rõt kho phõn biờt Con nờu biờu diờn bng ụ thi, va thờm chc nng la chon tng giam bõc cua a thc, ta co thờ nhin thõy rõt ro a thc nao xõp xi tõp sụ liờu tụt hn Lõp trinh cai t cac thuõt toan vờ phng phap sụ vi mụt vai yờu cõu vờ chõ t lng khụng phai la mụt viờc qua n gian, nhõt la ụi vi sinh viờn nm th hai, kiờn thc vờ lõp trinh may tinh kha han chờ va cac em phai danh thi gian cho nhiờu mụn hoc khac Phõn ln cac thuõt toan trinh bay giao trinh ờu co chng trinh cai t kem theo cung vi ụ thi minh hoa nờn noi chung kha dai Trong trinh bay cac thuõt toan chung tụi chi gii thiờu oan chinh cua chng trinh, ban oc co thờ tham khao liờt kờ toan cac chng trinh phõn phu luc Chung tụi cung lai mụt sụ thuõt toan nh tinh gia tri riờng va vec t riờng cua ma trõn, nụi suy bng phng phap lam trn, cac thuõt toan Monte-carlo cac ban co thờ t ren luyờn thờm ky nng lõp trinh cua minh Cac ban co thờ t viờt chng trinh cho minh vi mụt cach trinh bay khac (vi du khụng dung tro ham mụ ta cac ham ma nhõp ham trc tiờp t man hinh chng han) va chi xem nhng chng trinh co sn la ap an Va cung co thờ so sanh vi ap an cac ban lai thõy chng trinh cua minh co nhiờu iờm hay hn chng trinh mõu Trong nhng trng hp o chung tụi rõt vui mng nghe y kiờn ong gop cua cac ban Trong pham vi cua mụt giao trinh giang day vi thi lng han chờ, tai liờu chi co kha nng gii thiờu mụt sụ thuõt toan quen thuục, chu yờu mc ụ gii thiờu thuõt toan ma cha i sõu vao ly thuyờt Mụt sụ chi tiờt vờ thuõt toan va chng trinh se c giai thich ro rang hn bai giang ly thuyờt va thc hanh Vi trinh ụ han chờ, tai liờu chc chn cha nhiờu thiờu sot, chung tụi mong nhõn c y kiờn phờ binh ong gop cua ban oc Chung tụi xin chõn cam n Lanh ao Hoc Viờn Cụng nghờ Bu chinh Viờn thụng va Phong ao tao a tao iờu kiờn thuõn li chung tụi biờn soan tai liờu Chung tụi cung xin chõn cam n cac ụng nghiờp Hoc Viờn Cụng nghờ Bu chinh Viờn thụng va cac Viờn hoc trng hoc khac vờ nhng s khich lờ va giup nhiờt tinh ma chung tụi a nhõn c qua trinh biờn soan giao trinh Ha Tõy 25 thang 10 nm 2005 Nhom tac gia muc luc Chng Sụxõp xi vasai sụ .1 1.1 Tụng quan vờphng phap sụ 1.1.1 Phng phap sụlagi? 1.1.2 Nhng dang sai sụthng gp 1.2 Sai sụtuyờt ụi vasai sụtng ụi 1.2.1 Sai sụtuyờt ụi 1.2.2 Sai sụtng ụi .4 1.3 Cach viờt sụxõp xi. 1.3.1 Chsụconghia 1.3.2 Chsụang tin 1.3.3 Cach viờt sụxõp xi 1.3.4 Sai sụquy tron .6 1.4 Cac quy tc tinh sai sụ .7 1.4.1 M õu .7 1.4.2 Sai sụcua tụng .7 1.4.3 Sai sụcua tich 1.4.4 Sai sụcua thng 1.4.5 Sai sụcua ham bõt ky 1.5 Sai sụtinh toan vasai sụphng phap 10 1.6 S ụn inh cua mụt quatrinh tinh toan 10 1.7 Mụt vai iờu vờmụi quan hờ gia thc tờvamụ hinh 11 Chng 13 Cac phng phap sụtrong sụtuyờn tinh .13 2.1 M õu 13 2.2 Ma trõn vainh thc .13 2.2.1 Ma trõn 13 2.2.2 inh thc cua ma trõn vuụng 14 2.2.3 Tinh chõt cua inh thc 16 2.2.4 Cac phng phap tinh inh thc 17 2.2.5 Ma trõn nghich ao 21 2.3 Hờ phng trinh sụtuyờn tinh 22 2.3.1 Phng phap trc tiờp giai hờ phng trinh tuyờn tinh 23 2.3.2 ap dung phng phap kh Gauss-Jordan tinh ma trõn nghich ao 28 2.3.3 S khụng ụn inh cua hờ phng trinh sụtuyờn tinh 32 2.3.4 Phng phap lp giai hờ phng trinh tuyờn tinh 33 2.4 Tinh giatri riờng vavec t riờng cua ma trõn 46 2.4.1 Phng phap luy tha tim tri riờng trụi va vec t riờng gõn ung 47 2.4.2 Phng phap xuụng thang tim tri riờng trụi tiờp theo .56 2.4.3 Trng hp ma trõn A ụi xng vaxac inh dng 58 Chng 63 Phep nụi suy vahụi quy 63 3.1 M õu 63 3.2 Nụi suy a thc .65 3.2.1 S nhõt cua a thc nụi suy 65 3.2.2 Tinh giatri a thc bng phng phap Horner .66 3.2.3 Sai sụcua a thc nụi suy .66 3.2.4 Phng phap nụi suy Lagrange .68 3.2.5 Sai phõn 69 3.2.5 Phng phap sai phõn Newton 71 3.2.7 Phep nụi suy ngc 77 3.3 Khp ng cong - nụi suy spline 80 3.4 Phng phap binh phng cc tiờu 82 3.4.1 Trng hp ham nụi suy laa thc hay y phu thuục cac tham sụmụt cach tuyờn tinh 82 3.4.2 Trng hp y phu thuục cac tham sụmụt cach phi tuyờn .86 Chng 90 Tinh gõn ung nghiờm cua phng trinh phi tuyờn 90 4.1 M õu 90 4.2 Nghiờm vakhoang phõn ly nghiờm 90 4.2.1 Nghiờm cua phng trinh mụt õn 90 4.2.2 S tụn tai nghiờm cua phng trinh 90 4.2.3 Khoang phõn ly nghiờm 90 4.2.4 Vờvõn ờanh giasai sụnghiờm xõp xi 91 4.3 Mụt sụphng phap lp giai phng trinh 94 4.3.1 M õu .94 4.3.2 Phng phap chia ụi 94 4.3.3 Phng phap dõy cung 98 4.3.4 Phng phap lp n 105 4.3.5 Phng phap Newton-Rapson hay goi la phng phap tiờp tuyờn 108 Chng .114 Tinh gõn ung ao ham vatich phõn xac inh 114 5.1 M õu 114 5.2 Tinh ao ham 114 5.2.1 ap dung a thc nụi suy 114 5.2.2 ap dung cụng thc Taylor 114 5.3 Tinh gõn ung tich phõn xac inh 117 5.3.1 Mụ ta bai toan 117 5.3.2 Cụng thc hinh thang 117 5.2.3 Cụng thc parabol (Simpson) 122 Chng .126 Giai gõn ung phng trinh vi phõn 126 6.1 M õu 126 6.2 Phng phap Euler 127 6.3 Phng phap Euler cai tiờn 135 6.4 Phng phap Euler-cauchy 137 6.5 Phng phap Runge - Kutta 139 Chng .143 Phng phap Monte-Carlo 143 7.1 M õu 143 7.2 Sai sụcua phng phap 143 7.2.1 Mụt vai khai niờm xac suõt 143 7.2.2 Sai sụcua phng phap 144 7.3 Tao cac sụngõu nhiờn, cac biờn cụvacac phõn bụxac suõt .148 7.3.1 Tao cac sụgia ngõu nhiờn (pseudo-random number) cophõn bụ ờu 148 7.3.2 Mụ phong phõn bụbõt ky .150 7.4 Tich xõp xi tich phõn xac inh .152 7.4.1 Mụ ta bai toan 152 7.4.2 Phng phap tach riờng phõn chinh .154 7.4.3 ụi xng hoa ham di dõu tich phõn 155 7.4.4 Phng phap cac biờn cophng sai cc tiờu 155 7.4.5 Phng phap phõn chia khoang .156 7.4.6 Mụt sụnhõn xet 158 7.5 Nhõn xet vờphng phap Monte-carlo .158 Cõu hoi vabai tõp 159 Chng Sụxõp xi vasai sụ .159 Chng Cac phng phap sụtrong sụtuyờn tinh 159 Chng Phep nụi suy vahụi quy 161 Chng Tinh gõn ung nghiờm phng trinh phi tuyờn 161 Chng Tinh gõn ung ao ham vatich phõn xac inh 162 Chng Tinh gõn ung phng trinh vi phõn 163 Chng Phng phap Monte-carlo 163 Phu luc 164 Cac chng trinh C++ cai t cac thuõt toan 164 Cac chng trinh tiờn ich chung 164 Cac phng phap sụtrong sụtuyờn tinh 169 Nhõp sụliờu cho ma trõn chnhõt cõp m x n: NHAPMTCN.CPP 169 Nhõp sụliờu cho ma trõn vuụng cõp n: NHAPMTV.CPP 173 Tinh inh thc trc tiờp bng inh nghia: DTHUCTT.CPP 176 Tinh inh thc cua ma trõn bng cach biờn ụi ma trõn vờdang tam giac trờn: DINHTHUC.CPP 178 Tinh ao ma trõn bng phng phap trc tiờp: DAOMTTT.CPP 182 Giai hờ phng trinh tuyờn tinh dung kh Gauss: KHUGAUSS.CPP .185 Giai hờ phng trinh tuyờn tinh dung kh Gauss-Jordan: 189 GJORDAN.CPP 189 Tinh ma trõn ao bng kh Gauss-Jordan: DAOMTRAN.CPP 193 Phng phap lp Gauss - Seidel: GSEIDEL.CPP .197 Phep nụi suy vahụi quy .203 Cac phng phap nụi suy: NOISUY.CPP 203 Phng phap binh phng cc tiờu: HOIQUY.CPP 214 Tinh gõn ung nghiờm cua phng trinh phi tuyờn 224 Phng phap chia ụi tim nghiờm: CHIADOI.CPP 224 Phng phap dõy cung: DAYCUNG.CPP 229 Phng phap Newton: TTUYEN.CPP 234 Tinh gõn ung ao ham vatich phõn xac inh .239 Tinh xõp xi ao ham: DAOHAM.CPP .239 Phng phap hinh thang tinh tich phõn xac inh: HTHANG.CPP 246 Tinh tich phõn bng phng phap Simson: SIMSON.CPP .250 Tai liờu tham khao 256 Chng Sụ xõp xi va sai sụ 1.1 Tụng quan vờ phng phap sụ 1.1.1 Phng phap sụ la gi? Phng phap sụ (numerical method) hay ụi c goi la Phng phap tinh (Computational method), Toan hoc tinh toan (Computational mathematics) hoc Giai tich sụ (Numerical analysis) la mụt linh vc cua toan hoc chuyờn nghiờn cu cac phng phap giai gõn ung cac bai toan bng cach da trờn nhng d liờu sụ cu thờ va cho kờt qua cung di dang sụ Noi gon hn, phng phap sụ nh ban thõn tờn goi cua no, co nghia la phng phap giai cac bai toan bng nhng sụ cu thờ Trong phng phap sụ ta thng quan tõm ờn hai võn ờ: Phng phap giai bai toan Mụi liờn hờ gia li giai sụ gõn ung va li giai ung, hay võn sai sụ cua li giai Giai gõn ung nghia la li giai cua ta so vi li giai ung co mụt sai sụ nao o Thụng thng sai sụ rõt nhiờu nguụn tao nờn va nhiờu luc rõt kho tinh toan chinh xac la bao nhiờu, thõm chi ca viờc a mụt c lng gõn sat vi thc tờ cung kho co thờ at c Khi ap dung mụt cụng thc ly thuyờt vao thc tờ, vi du ap dung cụng thc tinh diờn tich hinh tron r2 tinh diờn tich ay cua mụt bờ cha nc chng han, ta khụng thờ co c sụ chinh xac Tuy thuục vao yờu cõu cua bai toan cu thờ , co ta chon sụ xõp xi bng 3.14, co la 3.14159, hay chinh xac hn na 3.141595360 Co thờ noi rng co rõt nhiờu ngi a ap dung cach tinh gõn ung giai quyờt mụt võn thc tờ nao o, mc dõu cha c trang bi nhng kiờn thc cõn thiờt vờ phng phap sụ Mụt nha kinh tờ hoach inh chinh sach, thc hiờn tinh toan d bao vờ xu thờ phat triờn cua mụt nganh kinh tờ nao o chng han, cung thc hiờn rõt nhiờu tinh toan gõn ung, va co thờ noi rng phõn ln cac trng hp ho khụng a c mụt c lng la sai sụ khoang bao nhiờu; hay mụt ky s xõy dng tinh toan xõy dng mụt ngụi nha, thc hiờn rõ t nhiờu phep tinh, co chi bng may tinh bo tui, rõt kho xac inh sai sụ tich luy qua trinh tinh toan Võy ma võn hoan cụng viờc, va ngụi nha xõy xong co ve at tiờu chuõn ky thuõt Co nghia la thc tờ nhiờu ta phai giai quyờt nhng võn ma ta biờt la co sai sụ, nhng bng kinh nghiờm nghờ nghiờp ta co cam giac la sai sụ nh võy chõp nhõn c hay khụng, va chõp nhõn li giai ma khụng hờ co mụt anh gia vờ sai sụ Võy thi mụn hoc phng phap sụ co thc s cõn thiờt khụng? Hoc no ta se thu c li ich gi? Co thc s cõn thiờt cho cụng viờc Phơng pháp số - Chơng Số xấp xỉ sai số chuyờn mụn cua ta sau khụng? Cõu tra li cua chung tụi la co, nhõt la ta phai tinh toan giai mụt bai toan ky thuõt oi hoi ụ chinh xac cao Ta biờt rng may tinh cac sụ co thờ biờu diờn di nhiờu dang khac nhau, vi du sụ thc co thờ biờu diờn vi ụ chinh xac binh thng (single), ụ chinh xac gõp ụi (double) hay ụ chinh xac m rụng (extended) Nờu ta biờt c mụi liờn hờ gia li giai sụ vi li giai ung, se biờt nờn chon ụ chinh xac nao kờt qua ap ng c yờu cõu thc tờ Ngay ca nhng linh vc ma ta cam thõy rng khụng cõn tinh toan chinh xac nh iờu tra nghiờn cu cac võn xa hụi chng han, cac kờt qua co cn c khoa hoc, ta phai tiờn hanh tinh toan cac khoang tin cõy, o cõn tinh toan xõp xi tich phõn cac ham sụ phc tap nh ham Gama ((x)), ham Bờta ((x)), nghia la ta cõn ờn cụng cu phng phap sụ co thờ thõy ro thờm s la chon mụ hinh, va sau o la la chon phng phap tinh toan, ụi co anh hng ln nh thờ nao ờn kờt qua thu c, ta xet mụt vi du n gian sau õy: Gia s bai toan cua ta co viờc phai tinh biờu thc ( - 1)10 ap dung cụng thc nhi thc Newton ta co cụng thc ung: ( - 1)10 = 3363 - 2378 (1.1) Gia tri cua vờ cua (1.1) vao khoang 0.000148676 Trong thc tờ, ta khụng tinh c gia tri chinh xac cua (khoang 1.41421356240), ma chi tinh c gia tri gõn ung Bang sau õy cho cac kờt qua cua vờ trai va vờ phai cua (1.1) ng vi cac gia tri gõn ung cua 1.4 1.41 1.414 1.41421 1.414213563 Vờ trai Vờ phai 0.0001048576 0.00013422659 0.000147912 0.00014866399 0.00014867678 33.8 10.02 0.508 0.00862 0.0001472 Ta co thờ thõy rng cach tinh trc tiờp co kờt qua kha ụn inh, khụng bi tac ụng nhiờu bi sai sụ tinh Trong luc o cach tinh dung nhi thc Newton lai bi tac ụng rõt ln sai sụ thay ụi Ngay ca ta lõy 1.41421, tc la sai sụ tinh nho hn 0.000005 thi kờt qua cua vờ phai võn khac rõt xa so vi gia tri thõt Võy ro rang cõn tinh biờu thc trờn ta nờn chon phng phap trc tiờp thi se nhõn c kờt qua chinh xac hn Con nờu a chon phng phap dung khai triờn nhi thc Newton thi ta phai chon gia tri xõp xi cua vi ụ chinh xac kha cao, nờu khụng thi kờt qua se bi sai lờch rõt nhiờu 1.1.2 Nhng dang sai sụ thng gp Trong thc hanh co bai toan cua ta la tim cach tinh toan xõp xi mụt mụ hinh Phơng pháp số - Chơng Số xấp xỉ sai số toan hoc a biờt, vi du tim nghiờm cua mụt phng trinh a biờt, tinh tich phõn xac inh cua mụt ham sụ nao o trờn khoang [a,b] cho trc Tuy võy ta gp cang nhiờu nhng bai toan thc tờ ma ca mụ hinh toan hoc cung cha biờt Vi du, ta phai d bao vờ sụ lng thuờ bao iờn thoai mụt vai nm ti, sụ ngi truy nhõp internet, Trong nhng trng hp ta phai bt õu t viờc thu thõp sụ liờu, xõy dng mụ hinh rụi tim phng phap tinh toan Noi chung thc hiờn mụt bai toan bng phng phap sụ ta thng gp nhng loai sai sụ sau õy: Sai sụ viờc mụ hinh hoa bai toan, ta khụng thờ tinh c hờt nhng yờu tụ anh hng ờn bai toan, hoc ta biờt c nhng yờu tụ anh hng nhng phai n gian hoa mụ hinh co thờ tinh toan c Vi du cõn tinh dung lng cua bờ cha nc hinh tru, ta biờt rng ay cua hinh tru khụng phai la mụt hinh tron chin h xac, nhng võn gia thiờt la hinh tron viờc tinh toan c dờ dang hn Hoc cõn lõp mụt mụ hinh biờu diờn cac quan hờ kinh tờ, ta biờt rng cac mụi quan hờ o noi chung rõt phc tap, vi du khụng phai la tuyờn tinh, nhng khụng thờ xac inh c cac yờu tụ o anh hng nh thờ nao nờn nhiờu trng hp ta võn chõp nhõn mụ hinh tuyờn tinh Sai sụ phng phap la sai sụ cua mụi phng phap dung tim li giai gõn ung Trong vi du tinh nhi thc Newton trờn õy ta thõy rng cung mụt gia tri xõp xi cua nhng phng phap tinh trc tiờp cho kờt qua chinh xac hn phng phap dung khai triờn nhi thc Newton Sai sụ cua sụ liờu Khi o ac bng may moc hoc bng cac dung cu chuyờn dung ta chi at c ụ chinh xac nhõt inh May moc hiờn thng cho kờt qua o chinh xac hn Sai sụ tinh toan sai sụ ta lam tron tinh toan Nhng sai sụ trờn õy tụng hp lai nhiờu dõn ờn nhng li giai qua cach xa so vi li giai ung va vi võy khụng thờ dung c Chinh vi võy viờc tim nhng thuõt toan hu hiờu giai cac bai toan thc tờ la iờu rõt cõn thiờt Cac phng phap sụ a c s dung co rõt nhiờu, va nhiờu võn hiờn võn bo ngo ch s nghiờn cu phat triờn cua cac chuyờn gia Trong tai liờu chu ng tụi chi gii thiờu mụt sụ thuõt toan thụng dung ban oc lam quen dõn vi chuyờn nghanh Chung tụi cung chi cõp ờn mụt sụ loai sai sụ nh sai sụ sụ liờu hay sai sụ tinh toan, va ụi ta co khao sat vờ sai sụ phng phap, sai sụ mụ hi nh hoa thi nm ngoai khuụn khụ tai liờu giup ban oc co thờ thc hanh trờn may tinh va nm sõu hn bai giang, chung tụi gii thiờu cac chng trinh cai t kem theo viờt bng ngụn ng C++, la ngụn ng kha thụng dung hiờn 1.2 Sai sụ tuyờt ụi va sai sụ tng ụi Co rõt nhiờu cụng thc võt ly, toan hoc ma ap dung vao thc tờ ta chi co c cac gia tri xõp xi Co thờ noi rng phõn ln cac võn thc tờ ta chi lam viờc vi cac lng gõn ung ma thụi Sai sụ gia lng thõt va lng xõp xi nhiờu rõt khac biờt ụ dai mụt ng, ụ cao cua mụt ngon nui hay chiờu Phơng pháp số -Phụ lục Các chơng trình C++ cài đặt thuật toán //Xac dinh bac cua da thuc noi suy Newton itoa(i,ordst,10);//Chuyen sang dang ky tu char ftitle[]="Da thuc noi suy Newton bac "; strcat(ftitle,ordst);//ftitle se la dong chu co them bac cua da thuc cleardevice(); setbkcolor(GREEN); setcolor(BLUE); gocx=gocy=0;//De chhuong trinh tu xac dinh n=200;//200 diem chia //Ve thi ham f(x) vedothi(f,a,b,n,gocx,gocy,scalex,scaley,RED,1); //Ve thi dao ham f'(x)=f1(x) vedothi(f1,a,b,n,gocx,gocy,scalex,scaley,MAGENTA,1); double aa=xqs[0],bb=xqs[nqs]; //Ve thi da thuc noi suy vedothi(poli,aa,bb,n,gocx,gocy,scalex,scaley,WHITE,0); //Ve thi dao ham da thuc noi suy vedothi(poli1,aa,bb,n,gocx,gocy,scalex,scaley,YELLOW,0); setcolor(BLUE); settextstyle(TRIPLEX_FONT,HORIZ_DIR,1); outtextxy(0,getmaxy()-gocy-40,kieuham); outtextxy(0,getmaxy()-gocy-20,ftitle); //Ve cac moc noi suy double x,y; for(i=0;i[...]... vuụng A c goi la ma trõn tam giac trờn, nờu A co dang a11 0 A= 0 a12 a 22 0 a1n a 2 n a nn Tng t, ma trõn vuụng A c goi la ma trõn tam giac di, nờu A co dang Phơng pháp số - Chơng 2 Các phơng pháp số trong đại số tuyến tính a 11 a 21 A= a n1 0 a 22 a n2 0 0 a nn Ma trõn ch nhõt A T c n x m c goi la ma trõn chuyờn vi cua ma trõn A c nxm nờu: a 11 a 12 T A = a 1n a 21... ma trõn vuụng cõp n: xem chng trinh NHAPMTV.CPP trong phõn phu luc 2.2.2 inh thc cua ma trõn vuụng Trc khi a ra inh nghia inh thc cua ma trõn, chung tụi gii thiờu khai 14 Phơng pháp số - Chơng 2 Các phơng pháp số trong đại số tuyến tính niờm hoan vi chn, hoan vi le cua mụt tõp hp n sụ nguyờn {1, 2, , n} Cho = (i1, i2, , in) la mụt hoan vi cua tõp {1,2, ,n} Ta xet tõt ca cac cp (i k, ih), trong o... hang cua ma trõn A Cac phep biờn ụi s cõp sau õy khụng lam biờn ụi hang cua ma trõn: ụi chụ 2 hang hoc 2 cụt bõt ky Nhõn mụt hang hay mụt cụt bõt ky vi mụt sụ khac khụng 15 Phơng pháp số - Chơng 2 Các phơng pháp số trong đại số tuyến tính Cụng vao mụt hang mụt tụ hp tuyờn tinh cua mụt sụ hang khac Cac phep biờn ụi s cõp se c s dung ờ tinh inh thc cua ma trõn va tim nghiờm cua hờ phng trinh tuyờn tinh... thc khụng thay ụi gia tri nờu ta cụng vao mụt hang tụ hp tuyờn tinh cua mụt sụ hang khac Mụt trng hp c biờt thng gp la tụ hp tuyờn tinh o la tich cua mụt sụ vi mụt hang: 16 Phơng pháp số - Chơng 2 Các phơng pháp số trong đại số tuyến tính a 11 a i1 + a h1 a n1 a 12 a i2 + a h2 a n2 a 1n a 11 a in + a hn = a i1 a nn a n1 a 12 a i2 a n2 a 1n a in a nn Cac tinh chõt trờn õy võn ung... trõn vuụng cõp n : Nờu n = 1 : A11 = 1; det A = a11 A11 n n > 1: det A = j=1 a1j A1j Tuy nhiờn, cung nh cach tinh trc tiờp, cach tinh nay cõn khoang c*n! phep tinh, va 17 Phơng pháp số - Chơng 2 Các phơng pháp số trong đại số tuyến tính nh võy khụng thờ thc hiờn c trờn may tinh hiờn ai nhõt hiờn nay du chi vi n khụng ln lm Ro rang viờc phõn tinh thuõt toan giup ta anh gia c thi gian tinh toan trờn... co gia tri tuyờt ụi ln nhõt ờ thay thờ cho hang th nhõt Tc la ta chon hang r sao cho | ar1 | = max {| ak1 | / k=1,2, ,n} Sau o ta ụi hang r cho hang 1 va inh thc ụi dõu 18 Phơng pháp số - Chơng 2 Các phơng pháp số trong đại số tuyến tính (2) Bõy gi ta xet ma trõn con cua A co cõp n-1 co phõn t goc trai trờn cung la a22 nh sau: a 11 0 A= 0 a 12 a 22 a n2 a 1n a 2n a nn Va thc hiờn cac... no, nờu phõn t a ii khụng phai la cc ai trong sụ cac phõn t aki , k= i,i+1,i+2) Ghi chu Trong thuõt toan trờn õy thc ra cac gia tri a kj luụn thay ụi tng bc, nghia la 19 Phơng pháp số - Chơng 2 Các phơng pháp số trong đại số tuyến tính bc i thi cac phõn t cua ma trõn co dang a kj(i) tuy nhiờn, chung tụi nghi rng ban oc a lam quen vi ngụn ng lõp trinh, nghia la quen vi cach x ly la lu phõn t mi vao... lai hang thu k ta chi can tinh tu j=i+1,i+2, n, cac he so a[k][j] = a[k][j] - p[i]*a[i][i],trong do p[i]=a[k][i]/a[i][i] vi truoc do a[k][j] = 0 */ for(k=i+1;k