Bài toán vận tải

Trong toán học, Bài toán vận tải (tiếng Anh: transportation problem) dạng toán quy hoạch tuyến tính Bài toán vận tải biểu diễn đồ thị hai phía, có hướng Nó ứng dụng vào nhiều vấn đề khác Giải thuật đơn hình toán vận tải đơn giản Biểu diễn đồ thị toán vận tải Mục lục [ẩn] • Bài toán o 1.1 Phương án vận chuyển o 1.2 Hệ ràng buộc o 1.3 Cân cung cầu Giải thuật o 2.1 Tìm phương án ban đầu  2.1.1 Quy tắc góc Tây Bắc (northwest corner rule)  2.1.2 Quy tắc cước phí nhỏ o 2.2 Tiêu chuẩn tối ưu điều chỉnh giảm giá  2.2.1 Ô sở ô tự  2.2.2 Chu trình bảng vận tải  2.2.3 Tiêu chuẩn tối ưu Các toán biến thể • Liên kết • • [sửa] Bài toán Giả sử có m kho hàng A1, ,Am chứa loại hàng hóa, kho Ai chứa hàng Cần vận chuyển số hàng đến n cửa hàng B1, ,Bn, cửa hàng Bi cần số hàng bi Cước phí vận chuyển hàng từ kho Ai đến cửa hàng Bj cij Hãy lập phương án vận chuyển cho tổng chi phí vận chuyển nhỏ Các kho hàng gọi điểm phát, cửa hàng gọi điểm thu Ví dụ: Có điểm phát điểm thu, số hàng điểm phát, nhu cầu điểm thu, cước phí vận chuyển cho bảng sau: Bảng liệu phương án X[i, j] toán vận tải Bảng gọi bảng vận tải [sửa] Phương án vận chuyển Mỗi phương án vận chuyển ma trận X = Ai đến Bj ( ) , xij số hàng hóa chuyển từ Chi phí vận chuyển phương án X là: [sửa] Hệ ràng buộc Để phương án thực chấp nhận cho toán vận tải, giá trị xi,j phải thỏa mãn ràng buộc điểm phát (ràng buộc dòng) với i=1, ,m ràng buộc với điểm thu (ràng buộc cột) với j=1, ,n Như toán vận tải toán QHTT dạng tắc với m n biến, hàm mục tiêu G(X) cần cực tiểu m+n ràng buộc [sửa] Cân cung cầu • Tổng số hàng dự trữ m điểm phát (cung) thu (cầu)là cầu , tổng số nhu cầu n điểm Nếu "cung" "cầu" ta nói cân cung • Nếu cung nhiều cầu số hàng hóa để lại điểm phát Ta biểu diễn việc cách bổ sung điểm thu giả Bn + với cước phí ci,n + = với i=1, ,n • Nếu cầu nhiều cung số hàng hóa thiếu cho điểm thu Ta biểu diễn việc cách bổ sung điểm phát giả Am + với cước phí cm + 1,j = với j=1, ,m • Như toán vận tải đưa toán thỏa mãn điều kiện cân cung cầu [sửa] Giải thuật Giải thuật giải toán vận tải thuật toán đơn hình Nó xuất phát từ việc chọn phương án cải tiến dần đạt tối ưu [sửa] Tìm phương án ban đầu Có số phương pháp tìm phương án ban đầu [sửa] Quy tắc góc Tây Bắc (northwest corner rule) Phương pháp trước hết phân phối lượng hàng lớn vào ô dầu tiên góc tây-bắc, nghĩa ô (1,1), cách đặt x11 = min(a1,b1) Khi điểm phát A1 hết hàng, điểm phát B1 hết nhu cầu, ta loại điểm phát A1 điểm B1 khỏi bảng, rối lại tiếp tục phân phối cho ô tây bắc phần lại bảng Với ví dụ cho ta có Phương án lập theo quy tắc góc tây bắc Các số nhỏ ghi góc ô cước phí vận chuyển đơn vị hàng hoá từ điểm phát thứ i đến điểm thu thứ j Khi tổng chi phí vận chuyển cho phương án là: 3×50+5×100+1×50+3×150+4×50+2×50=1450 Đây chưa phải phương án tối ưu [sửa] Quy tắc cước phí nhỏ Ta phân phối vào ô tiêu chuẩn ưu tiên cước phí nhỏ ô phân phối Trong ví dụ Phương án lập theo quy tắc ưu tiên cước phí nhỏ Tổng chi phí vận chuyển theo phương án là: 3×50+2×100+1×150+3×100+7×50=1150 [sửa] Tiêu chuẩn tối ưu điều chỉnh giảm giá [sửa] Ô sở ô tự Sau dùng phương pháp lập phương án ban đầu (ngoài hai phương pháp có số phương pháp khác), phương án nhận ta số ô (i, j) có giá trị xi,j > 0, ô gọi ô chọn số ô khác có xi,j = gọi ô tự Nếu viết lại hệ ràng buộc toán vận tải với toán quy hoạch tuyến tính tổng quát, ô chọn phương án ban đầu ứng với ẩn sở Nếu phương án không suy biến ô tự ứng với ẩn tự do, phương án suy biến có ô tự ứng với ẩn sở Khi viết toán vận tải dạng toán QHTT tổng quát, với điều kiện cân cung cầu, hạng hệ ràng buộc BTVT m điểm phát, n điểm thu r=m+n-1 Do không suy biến phương án (cơ sở) tạo từ phương pháp có m+n-1 ô chọn ô sở, ô lại ô tự [sửa] Chu trình bảng vận tải Ta xem xét việc điều chỉnh phương án sở mang lại "lợi" hay "hại" cho giá thành vận chuyển Giả sử điều chỉnh ô tự (i0,j0) tăng thêm lượng hàng h Khi dòng i0 phải có ô (i0,j1) giảm lượng h để tổng hàng hoá dòng không đổi, tiếp theo, hàng cột j1 giảm (i0,j1) phải tăng cột j1 dòng i1 cột ngiã ô (i1,j1), sau số hữu hạn bước, bước chuyển từ theo hàng sang theo cột ta quay gặp ô cột với ô đầu tiên, ô (ik,j0) để giảm lượng hàng lượng h, nghĩa ta có chu trình Định nghĩa Ví dụ hai chu trình bảng vận tải, chu trình đường khép kín rẽ góc vuông bước nó, ô nằm đường thẳng mà qua không nằm chu trình Một chu trình bảng vận tải dãy ô ô ô thứ hai nằm dòng, hai ô liên tiếp nằm dòng, nằm cột, ba ô liên tiếp không nằm hàng cột, ô ô cuối nằm cột Có thể viết dãy ô chu trình sau Có thể hình dung chu trình đường khép kín qua ô bảng vận tải lần qua ô lại rẽ góc 900 Tính chất Một phương án phương án sở tập ô chọn sở chu trình Mỗi ô tự phương án sở tạo với ô sở chu trình gọi chu trình điều chỉnh ô tự Khi điều chỉnh tăng số lượng hàng hoá h≥ vào ô tự lượng hàng hàng phân phối cho ô chu trình xen kẽ tăng giảm lượng h Lượng hàng h tối đa tăng thêm vào ô tự số nhỏ ô chu trình bị trừ Gọi giá ô tự tổng đại số cước phí với dấu cộng trừ xen kẽ tương ứng với ô cộng trừ chu trình điều chỉnh ô tự Khi với lượng điều chỉnh h thêm vào ô tự tổng chi phí vận chuyển tăng (hoặc giảm) tuỳ theo giá ô dương hay âm [sửa] Tiêu chuẩn tối ưu Phương án sở BTVT tối ưu ô tự với giá trị âm Phương pháp vị tính giá ô tự Giá ô tự tính nhờ phương pháp vị sau: Đưa thêm m+n ẩn Hệ m+n-1 phương trình pi + qj = ci,j với m+n-1 ô sở giải dễ dàng nhờ cho ẩn, chẳng hạn p1 = Khi giá ô tự (i, j) tính công thức vi,i = pi + qj  ... phát, nhu cầu điểm thu, cước phí vận chuyển cho bảng sau: Bảng liệu phương án X[i, j] toán vận tải Bảng gọi bảng vận tải [sửa] Phương án vận chuyển Mỗi phương án vận chuyển ma trận X = Ai đến Bj... với cước phí cm + 1,j = với j=1, ,m • Như toán vận tải đưa toán thỏa mãn điều kiện cân cung cầu [sửa] Giải thuật Giải thuật giải toán vận tải thuật toán đơn hình Nó xuất phát từ việc chọn phương... phát (ràng buộc dòng) với i=1, ,m ràng buộc với điểm thu (ràng buộc cột) với j=1, ,n Như toán vận tải toán QHTT dạng tắc với m n biến, hàm mục tiêu G(X) cần cực tiểu m+n ràng buộc [sửa] Cân