Thời điểm dừng

Mục lục LỜI NÓI ĐẦU Các 1.1 1.2 1.3 4 kiến thức chuẩn bị Biến ngẫu nhiên Sự hội tụ biến ngẫu nhiên Một số kiến thức độ đo Thời điểm dừng 2.1 Tập định hướng 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Định lý đầy đủ cho dãy 2.2 Cơ sở ngẫu nhiên 2.3 Thời điểm dừng 2.3.1 Định nghĩa 2.3.2 Một vài tính chất 2.4 Tùy chọn dừng 2.4.1 Mệnh đề 2.4.2 Bất đẳng thức maximal 7 10 11 11 12 14 14 14 Amart 16 3.1 Định nghĩa 16 3.2 Tính chất 17 3.3 Sự hội tụ 19 Các trình định hướng định lý Radon-Nikodym 22 4.1 Các trình số tập định hướng 22 Kỳ vọng điều kiện 28 5.1 Định nghĩa tính chất 28 5.2 Martingale trình liên hệ 30 5.3 5.4 Sự phân tích Riezs Trường hợp thuộc dãy 34 37 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 LỜI NÓI ĐẦU Thời điểm dừng khái niệm quan trọng Trong giải tích xác suất, đặc biệt nghiên cứu trình ngẫu nhiên, thời điểm dừng dạng đặc biệt "biến ngẫu nhiên" Những lý thuyết thời điểm dừng nghiên cứu xác suất thống kê, đáng ý lý thuyết tùy chọn dừng Ngoài ra, thời điểm dừng công cụ để xây dựng nhiều khái niệm, kỹ thuật quan trọng nhiều phép chứng minh toán học Chính thế, chọn đề tài khóa luận "THỜI ĐIỂM DỪNG" Khóa luận cấu trúc gồm năm chương sau, Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Chương 2: Thời điểm dừng Chương 3: Amart Chương 4: Các trình định hướng định lý Radon-Nikodym Chương 5: Kỳ vọng điều kiện Do trình độ thời gian có hạn, khóa luận không tránh khỏi sai sót, tác giả mong muốn nhận góp ý quý thầy cô bạn để khóa luận hoàn thiện Cuối cho phép tác giả gửi lời cảm ơn chân thành tới quý thầy cô bạn đọc góp ý để khóa luận hoàn thiên Đặc biệt, tác giả xin gửi tới TH.S Lương Đức Trọng, người trực tiếp hướng dẫn tác giả lòng biết ơn chân thành sâu sắc Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Biến ngẫu nhiên Cho không gian xác suất (Ω, F, P) Định nghĩa 1.1 Ánh xạ X : Ω → R gọi biến ngẫu nhiên ( F -đo được) với x ∈ R tập {ω : X (ω) < x} ∈ F Định nghĩa 1.2 P [ω : X (ω) < x] gọi phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X Ký hiệu F (X) = P [ω : X (ω) < x] Định nghĩa 1.3 Cho X biến ngẫu nhiên (tức F -đo được) Xét {Fi }i∈I họ σ-đại số F cho X Fi -đo Khi σ (X) = Fi σ-đại số X σ (X)-đo Hơn i∈I σ (X) σ-đại số nhỏ cho X đo Ta gọi σ (X) σ-đại số sinh biến ngẫu nhiên X 1.2 Sự hội tụ biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.4 Dãy biến ngẫu nhiên Xn , n gọi hội tụ theo xác suất đại lượng ngẫu nhiên X n → ∞ với ∀ε > cho trước tùy ý tồn giới hạn lim P [|Xn − X| < ε] = Ký hiệu n→∞ P Xn − → X n → ∞ Định nghĩa 1.5 Ta nói dãy {Xn }+∞ n=1 hội tụ hầu chắn đại lượng ngẫu nhiên X n → ∞ P ω : lim Xn (ω) = X(ω) = n→∞ h.c.c Ký hiệu Xn −−→ X n → ∞ Chương Các kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.6 Dãy biến ngẫu nhiên (Xn ) gọi hội tụ theo trung bình bậc p (0 < p < ∞) đến biến ngẫu nhiên X E|Xn − X|p → 0, (n → ∞) Lp Ký hiệu Xn −→ X Sự hội tụ theo trung bình bậc p kéo theo hội tụ theo xác suất Một số định lý hội tụ h.c.c Định lí 1.7 Để Xn −−→ X ⇔ với ε > cho trước tùy ý ta có [ω : |Xk − X| P ε] → n → ∞ k P h.c.c → X điều ngược lại nói chung không Nếu Xn −−→ X Xn − P →X Định lí 1.8 Nếu dãy biến ngẫu nhiên đơn điệu tăng (giảm) Xn − h.c.c Xn −−→ X h.c.c Định lí 1.9 Xn −−→ X khi, với ε > bất kỳ, P sup |Xk − X| > ε → 0, n → ∞ k n Hệ 1.10 Nếu chuỗi ∞ P [|Xn − X| > ε] n=1 h.c.c hội tụ với ε > tùy ý Xn −−→ X 1.3 Một số kiến thức độ đo Định nghĩa 1.11 Cho (Ω, F, P) không gian xác suất, hàm tập µ : F → R gọi cộng tính đếm nếu, Thời điểm dừng Chương Các kiến thức chuẩn bị với dãy (An ) ⊆ F cặp rời đôi, ∞ µ ∞ An = n=1 µ (An ) n=1 Định nghĩa 1.12 Chúng ta nói µ liên tục tuyệt đối (đối với P) µ (A) = P (A) = Định nghĩa 1.13 Biến phân µ A ∈ F n |µ| (A) = sup |µ (Ci )|, i=1 supremum lấy tất dãy hữu hạn rời (Ci )ni=1 ⊆ F với (Ci ) ∈ A Định lí 1.14 (Tính cộng tính đếm được) Cho µ : F → R hàm cộng tính đếm Nếu An ∈ F A1 ⊇ A2 ⊇ , µ (∩An ) = lim µ (An ) Nếu A1 ⊆ A2 ⊆ , µ (∪An ) = lim µ (An ) Định lí 1.15 Một hàm tập cộng tính, đếm giá trị thực µ có biến phân hữu hạn Định lí 1.16 (tính liên tục tuyệt đối) Cho µ hàm tập cộng tính đếm liên tục tuyệt đối P Khi với ε > 0, tồn δ > cho A ∈ F P (A) < δ, |µ (A)| < ε Thời điểm dừng Chương Thời điểm dừng 2.1 2.1.1 Tập định hướng Định nghĩa Định nghĩa 2.1 Một tập định hướng tập hợp khác rỗng J, với quan hệ ≤ thỏa mãn: (1) t1 t2 t2 t3 , t1 t3 (2) t t với ∀t ∈ J (3) t1 , t2 ∈ J, tồn t3 ∈ J với t1 t3 t2 t3 Một tập định hướng gọi "lọc bên phải" Khi tập định hướng quy định cụ thể, có "hướng" thể cách thứ tự: t theo thứ tự lớn dần, t tiến gần đến mục tiêu quan tâm Ví dụ quen thuộc tập định hướng tập N số nguyên dương với thứ tự thông thường Định nghĩa 2.2 Một tập J với quan hệ ≤ gọi tập nửa định hướng (hoặc "lọc bên trái") mối quan hệ ngược lại xác định bởi: t1 t2 ⇔ t2 t1 làm cho J tập định hướng Khi xem xét tập nửa định hướng, quan tâm đến "hướng" quy định để t tiến gần tới mục tiêu nhỏ theo thứ tự ≤ Ví dụ: Chương Thời điểm dừng Tập N số nguyên dương tập định hướng Các số lớn coi "gần tới ∞"; cần quan tâm đến giới hạn hình thức lim n→∞ Tập −N tập nửa định hướng; sử dụng quan tâm tới giới hạn hình thức lim n→−∞ Định nghĩa 2.3 Một lưới (hay dãy tổng quát) hàm mà miền xác định tập định hướng Thông thường viết (at )t∈J cho lưới f xác định f (t) = at Sự hội tụ định nghĩa cho tập định hướng theo cách giống định nghĩa cho dãy số N Sự hội tụ lưới, hay dãy tổng quát, thường gọi "sự hội tụ Moore-Smith." Định nghĩa 2.4 Cho J tập định hướng, cho S không gian tôpô, cho (at )t∈J ⊆ S lưới S Chúng ta nói (at ) hội tụ đến điểm a ∈ S nếu, với lân cân U a, tồn t0 ∈ J cho với t t0 , ta có at ∈ U Nếu S không gian metric, với metric ρ, định nghĩa trình bày lại sau: lưới (at ) ⊆ S hội tụ tới a ∈ S nếu, với ε > 0, tồn t0 ∈ J cho ρ (at , a) < ε với t t0 Ký hiệu: lim at = a; t∈J định hướng J tự hiểu Định nghĩa 2.5 Một lưới (at )t∈J không gian metric (S, ρ) gọi lưới Cauchy nếu, với ε > 0, tồn t0 ∈ J cho với t ≥ t0 ta có ρ (at , at0 ) < ε Thời điểm dừng Chương Thời điểm dừng Ta thấy lưới hội tụ lưới Cauchy Điều ngược lại nói chung không Trong không gian metric số hữu tỷ có số dãy Cauchy không hội tụ Định nghĩa 2.6 Một không gian metric S gọi đầy dãy Cauchy hội tụ S 2.1.2 Định lý đầy đủ cho dãy Định lí 2.7 (Định lý đầy đủ cho dãy) Cho S không gian metric với metric ρ cho (at ) lưới S Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (1) (atn ) hội tụ S với dãy tăng (tn ) J; (2) tồn số sn ∈ J cho dãy (atn )n∈N hội tụ S với dãy (tn ) J với tn sn với n; (3) (at ) lưới Cauchy S đầy Khi lưới (at ) hội tụ Chứng minh Giả thiết (1) suy giả thiết (2), trường hợp (1) định lý suy từ trường hợp (2) Điều đủ để ta cần chứng minh trường hợp (2) (3) Bây ta (at ) thỏa mãn (2) lưới Cauchy Thật vậy, (at ) lưới Cauchy, tồn ε > với t0 ∈ J , tồn t t0 mà ρ (at0 , at ) 2ε Chúng ta rằng: tồn số t0 > s0 , t1 > s1 cho ρ (at0 , at1 ) > ε Thật vậy, tồn t1 với t1 t0 t1 s1 • ρ (at0 , at1 ) > ε, tập t1 = t1 hoàn thành • không ρ (at0 , at1 ) ε, tồn t1 > t1 (do t1 > s1 ) cho ρ (at1 , at1 ) > 2ε Khi ρ (at0 , at1 ) ρ (at1 , at1 ) − ρ (at0 , at1 ) 2ε − ε = ε Bởi tập số J định hướng, nên ∃t1 ∈ J cho t1 > t0 , t1 > s1 ρ (at0 , at1 ) ε Điều áp dụng đệ quy để xác định dãy t1 t2 cho tn sn ρ atn , atn+1 ε với n, mâu thuẫn với (2) Bây giả sử (at ) lưới thỏa mãn (2) (3) Thời điểm dừng Chương Thời điểm dừng Bởi (at ) lưới Cauchy, xây dựng đệ quy chuỗi t1 t2 cho với t tn , ta có ρ (atn , at ) < 2−n Trong trường hợp (2), lại J định hướng, nên ta chọn tn để tn sn Bây (atn )n∈N hội tụ S • Trong trường hợp (2) điều giả thiết • Trong trường hợp (3) điều (atn ) dãy Cauchy S đầy Gọi a giới hạn dãy (atn ) Ta lưới (at ) hội tụ tới a Để thấy điều này, lưu ý ρ (atm , atn ) < 2−m với n m Do ρ (atm , a) ρ (atm , atn ) + ρ (atn , a) Số hạng cuối làm nhỏ tùy ý, ρ (atm , a) < 2−m Như vậy, với ∀t tm , ta có ρ (a, at ) ρ (a, atm ) + ρ (atm , at ) < 2−m + 2−m = 2−m+1 Vậy ta có điều phải chứng minh 2.2 Cơ sở ngẫu nhiên Cho (Ω, F, P) không gian xác suất; đó: Ω tập khác rỗng, F σ-đại số tập Ω, P hàm cộng tính đếm được, không âm đo F với P(Ω) = Định nghĩa 2.8 Một dãy (Fn )n∈N σ-đại số F gọi sở ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện đơn điệu: m ≤ n Fm ⊆ Fn Ω gọi không gian mẫu, phần tử F gọi biến cố, số P(A) gọi xác suất biến cố A Trong thuật ngữ này, tập số N coi "thời gian," Fn tập biến cố "trước thời điểm n" (theo nghĩa rộng là:≤ n) Cho biến cố A ∈ Fn , cho tất Thời điểm dừng 10 Chương Các trình định hướng định lý Radon-Nikokym điểm dừng đơn giản Khi {σ = t} ∈ Ft với t, {σ = t} hợp tập A ∈ t Vì Xσ = Xt 1{σ=t} = t t∈J A∈t µ (A) 1A 1{σ=t} P (A) = t A∈t A ⊆ {σ = t} Do E [Xσ ] = t = t A∈t A ⊆ {σ = t}     µ    µ (A) 1A P (A) µ (A) P (A) P (A) A∈t A ⊆ {σ = t}     A    µ {σ = t} = µ (Ω) = t Điều (E [Xσ ]) số, hội tụ Vì vậy, (Xt ) amart Tiếp theo, phải chứng minh (Xt ) L1 -bị chặn Cho t ∈ J Khi E [|Xt |] = A∈t |µ (A)| P (A) P (A) |µ| (Ω) Nhưng µ có biến phân hữu hạn, định lý (1.15), (Xt ) L1 -bị chặn Tiếp theo yêu cầu (Xt )t∈J khả tích Cho ε > Khi µ liên tục tuyệt đối, theo định lý (1.16) tồn δ > cho |µ (A)| ε mà P (A) δ Đặt λ = |µ| (Ω)/δ Thời điểm dừng 25 Chương Các trình định hướng định lý Radon-Nikokym Với t ∈ J, E Xt 1{Xt >λ} = A∈t µ (A) > λP (A)     = µ    µ (A) P (A) P (A) A∈t µ (A) > λP (A)     A    ε Bởi      P       A    A∈t µ (A) > λP (A) λ µ (A) δ A∈t µ (A) > λP (A) Tương tự E |Xt | 1{Xt λ} ∩ {σ = ti } = EFn [X] > λ ∩ {σ = ti } ∈ Fti Hơn {Z > λ} ∈ Fσ ; điều Z Fσ -đo Tiếp theo, A ∈ Fσ , phải chứng minh E [X1A ] = E [Z1A ] Nhưng ta có A ∩ {σ = ti } ∈ Fti với ti , E [X1A ] = E EFti [X] 1A∩{σ=ti } = E [Z1A ] E X1A∩{σ=ti } = i i Vậy ta có điều phải chứng minh 5.2 Martingale trình liên hệ Có nhiều lớp đặc biệt amart định nghĩa cách tự nhiên dựa vào kỳ vọng điều kiện Kỳ vọng điều kiện thảo luận nên xem xét lớp Lớp quan trọng martingale Định nghĩa 5.4 Cho (Ω, F, P) không gian xác suất, cho J tập định hướng, cho (Ft )t∈J sở ngẫu nhiên, cho (Xt )t∈J tương thích khả tích Khi ta nói • (Xt ) martingale EFs [Xt ] = Xs với s t; • (Xt ) martingale EFs [Xt ] s t; Xs với • (Xt ) martingale EFs [Xt ] s t Xs với Lưu ý việc sử dụng thời điểm dừng thứ tự đặc trưng sau Thời điểm dừng 30 Chương Kỳ vọng điều kiện Định lí 5.5 Cho (Xt ) trình tương thích đo Khi (i) (Xt ) martingale lưới (E [Xσ ])σ∈ tăng (theo nghĩa E [Xσ ] E [Xτ ] với σ τ ) trình (Xτ )τ ∈ martingale [nghĩa là, EFσ [X] Xσ với σ, τ ∈ , σ τ ] (ii) (Xt ) martingale lưới (E [Xσ ])σ∈ trình (Xτ )τ ∈ martingale (iii) (Xt ) martingale lưới (E [Xτ ])τ ∈ số lưới (E [Xτ ])τ ∈ số 0 giảm Chứng minh (i) Cho (Xt ) martingale Đầu tiên ta chứng minh EFσ [Xτ ] Xσ với σ, τ ∈ , σ τ Bởi định lý địa phương hóa (5.3), ta cần chứng minh EFs [Xτ ] Xs tập {σ = s} Giả sử τ nhận giá trị t1 t2 tm Đối với giá trị cố định s σ, quy nạp theo số n nằm m xác định tn = max {τ (ω) : σ (ω) = s} Bởi σ τ , nên chắn tn s Đối với tn = s, ta có τ = s {σ = s}, EFs [Xτ ] = Xs {σ = s} Đối với bước quy nạp, giả sử tn > s, định nghĩa τ ∈   τ (ω) σ (ω) = s τ (ω) < tn τ = t σ (ω) = s τ (ω) = tn  n−1 τ (ω) σ (ω) = s Khi τ τ σ Bởi giả thiết quy nạp, EFs [Xτ ] Xs {σ = s} Ngoài ra, {τ < τ } = {τ tn−1 } ∩ {σ = s} Bây tập {σ = s}, EFtn−1 [Xτ ] = EFtn−1 Xτ + Xtn − Xtn−1 1{τ cho trước Chọn s1 < s2 < < sm để m−1 E E Xsi+1 |Fsi − Xsi (5.7b) > M − ε i=1 Bây lấy τ ∈ với τ > sm Viết t1 < t2 < < tn cho tập giá trị τ Bây áp dụng (5.7a) với dãy hữu hạn s1 < < sm < t1 < < tn , sau trừ (5.7b), thu n−1 E Xtj − E Xtj+1 |Ftj < ε j=1 Bây với ti tj ta có {τ = ti } ∈ Ftj , ta có Thời điểm dừng 33 Chương Kỳ vọng điều kiện n−1 |E [Xτ ] − E [Xtn ]| = E (Xti − Xtn ) 1{τ =ti } i=1 n−1 n−1 = E Xtj − Xtj+1 1{τ =ti } E Xtj − E Xtj+1 |Ftj i=1 j=i j n−1 = 1{τ =ti } j=1 i=1 n−1 j E Xtj − E Xtj+1 |Ftj 1{τ =ti } j=1 i=1 n−1 E Xtj − E Xtj+1 |Ftj < ε j=1 Vì τ1 , τ2 sm , ta có |E [Xτ1 ] − E [Xτ2 ]| < 2ε Do (Xt ) amart thứ tự 5.3 Sự phân tích Riezs Sự phân tích Riezs (5.9) cho amart amart thứ tự trình "đóng" tới martingale Đầu tiên xem xét thứ tự khác cho tập thời điểm dừng thứ tự Nếu σ, τ ∈ , ta viết σ < | < τ tồn t ∈ J với σ t t τ Chú ý định hướng với thứ tự < | cho trước tồn σ ∈ cho |aτ − a| < ε với τ ∈ mà σ < | < τ Nhưng có t ∈ J với t σ, |aτ − a| < ε với tất τ t Do aτ hội tụ tới a theo ≤ Thời điểm dừng 34 Chương Kỳ vọng điều kiện Khi đưa giới hạn cặp thời điểm dừng, sai phân cho dù hạn chế tới cặp σ, τ với σ τ hay σ < | < τ Thứ tự < | < xuất đặc trưng hữu ích sau Định lí 5.8 (Tính chất sai phân) Cho J tập định hướng, cho (Ft )t∈J sở ngẫu nhiên Cho (Xt )t∈J trình tương thích, khả tích (i) (Xt ) amart thứ tự lim EFσ [Xτ ] − Xσ σ[...]... đúng hay sai, nghĩa là, nó phải nói tại bất kỳ một thời gian nhất định nào đó, mà không biết tới tương lai, cho dù thời điểm σ đến hoặc là không Thời điểm dừng 11 Chương 2 Thời điểm dừng Định nghĩa 2.11 Chúng ta nói σ là một thời điểm dừng đơn giản nếu và chỉ nếu nó là một thời điểm dừng có hữu hạn giá trị và không nhận giá trị ∞ Tập tất cả các thời điểm dừng đơn giản đối với cơ sở ngẫu nhiên (Fn ) được... σ-đại số Fτ gồm "các biến cố tính đến thời điểm τ " có thể được xác định Một biến cố A xảy ra trước thời điểm τ nếu và chỉ nếu, khi thời điểm τ đến, ta biết được biến cố A đã xảy ra Về mặt công thức Fτ = A ∈ F : {τ = n} ∩ A ∈ Fn với ∀n ∈ N Rất dễ dàng để thấy được đó là một σ-đại số Thật vậy: • Ω ∈ Fτ , vì Ω ∩ {τ Thời điểm dừng n} = {τ n} ∈ Fn 12 Chương 2 Thời điểm dừng • Giả sử Ak ∈ Fτ , k = 1, 2 , tức... ∈ Fn Thời điểm dừng 13 Chương 2 Thời điểm dừng 2.4 Tùy chọn dừng Cho (Xn ) là một quá trình ngẫu nhiên tương thích Nếu σ là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong N, thì tinh thần để nói về Xσ , đó là, giá trị mà quá trình có được tại thời điểm σ Về mặt kỹ thuật, Xσ là biến ngẫu nhiên cho bởi (Xσ ) (ω) = Xσ(ω) (ω) Nếu Xn đại diện cho tài sản của một con bạc tại thời điểm n, và ông ta có sự lựa chọn dừng. .. kiểm tra rằng nếu τ bằng hằng số m, thì Fτ = Fm Ngoài ra, nếu σ τ , thì Fσ ⊆ Fτ Nếu cho trước hai thời điểm dừng σ, τ , với σ τ , thì một thời điểm dừng mới có thể được định nghĩa dựa vào biến cố A ∈ Fσ : đợi cho đến thời điểm σ, và dừng lại sau đó nếu A đã xảy ra, nếu không thì tiếp tục chờ cho đến thời điểm τ Bổ đề 2.13 (bổ đề waiting) Cho σ, τ ∈ A ∈ Fσ Nếu ρ được xác định bởi ρ (ω) = thì ρ ∈ ,σ... |Xn | > λ Khi n N đó rõ ràng AN ∈ FN Ta đặt τ (ω) = Thời điểm dừng min {n ∈ N : 1 n N, |Xn (ω)| > λ} nếu ω ∈ AN N nếu ω ∈ / AN 14 Chương 2 Thời điểm dừng Khi đó τ ∈ (2.4.2a) Ta có sup E [|Xσ |] E [|Xτ |] E [|Xτ | 1AN ] λP (AN ) σ∈ Cho N → ∞, tập AN đơn điệu tăng tới {supn |Xn | > λ}, vì vậy ta có được ĐPCM bởi Định lý hội tụ đơn điệu Thời điểm dừng 15 Chương 3 Amart 3.1 Định nghĩa Cho một không gian... một họ tương thích (Xt ) của các biến ngẫu nhiên khả tích sao cho (E [Xσ ])σ∈ hội tụ Định nghĩa 4.1 Một thời điểm dừng sắp thứ tự là một thời điểm dừng đơn giản τ sao cho các phần tử t1 , t2 , , tm thuộc vào τ sắp thứ tự tuyến tính, ta nói t1 < t2 < < tm Chúng ta ký hiệu 0 là tập chứa các thời điểm dừng sắp thứ tự Ta thấy 0 là một tập định hướng Định nghĩa 4.2 Một quá trình ngẫu nhiên khả tích (Xn )n∈N... Thời điểm dừng Định nghĩa Định nghĩa 2.10 Một hàm σ : Ω → N ∪ (∞) được gọi là một thời điểm dừng [đối với cơ sở ngẫu nhiên (Fn )] nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn {σ = n} ∈ Fn với mọi n ∈ N Một định nghĩa tương đương là: {σ n} ∈ Fn với mọi n ∈ N Để thấy được điều này là tương đương, chú ý rằng n {σ {σ = k} n} = k=1 {σ = n} = {σ n} \ {σ n − 1} Trong giải tích xác suất, ý tưởng được biết đến là tại thời điểm. .. supn |Xn | khả tích Đặt X ∗ = lim supn Xn và X∗ = lim inf n Xn Cả hai biến ngẫu nhiên này đều thỏa mãn các giả thiết của định lý về sự xấp xỉ của điểm tụ (3.7) Vì vậy tồn tại các thời điểm dừng đơn giản σ1 σ2 với σn → ∞ và Xσn → X ∗ h.c.c và các thời điểm dừng τ1 τ2 với τn → ∞ và Xτn → X∗ h.c.c Bây giờ theo tính chất xác định của một amart, limn E [Xσn ] = limn E [Xτn ] Cuối cùng, bởi định lý hội... một amart Khi đó (Xn ) là một semiamart Chứng minh Lưới E[Xσ ] hội tụ, vì vậy nó là một lưới Cauchy Tồn tại N ∈ N sao cho |E[XN ] − E[Xσ ] | < 1 với mọi σ ∈ mà σ N Nếu σ là thời điểm dừng đơn giản, thì σ ∨ N cũng là một thời điểm dừng đơn giản N Nhưng |E[Xσ∧N ]| E max |Xn | 1 n N và |E[Xσ∧N ] - E[XN ]| < 1, vì vậy |E [Xσ ] | = |E [Xσ∧N ] + E [Xσ∨N ] − E [XN ]| E max |Xn | + 1 < ∞ 1 n N nên supσ∈ |E... minh Cho trước σ, τ ∈ với σ τ , bởi bổ để waiting (bổ đề 2.13) với A = {Xσ > 0}, biến ngẫu nhiên ρ xác định bởi ρ (ω) = σ (ω) nếu Xσ (ω) > 0 τ (ω) nếu Xσ (ω) 0 là một thời điểm dừng Bởi (2.13a), ta có Xρ − Xτ = 1A (Xσ − Xτ ) Thời điểm dừng 17 Xσ+ − Xτ+ Chương 3 Amart Lấy kỳ vọng, ta được (3.4a) E [Xσ+ ] − E [Xτ+ ] E [Xρ ] − E [Xτ ] • Để chứng minh (1), cho σ ∈ τ σ,τ = m Khi đó E [Xσ+ ] E [Xρ ]+E [Xτ− ... đến thời điểm n dù σ = n hay sai, nghĩa là, phải nói thời gian định đó, mà tới tương lai, cho dù thời điểm σ đến không Thời điểm dừng 11 Chương Thời điểm dừng Định nghĩa 2.11 Chúng ta nói σ thời. .. này, tập số N coi "thời gian," Fn tập biến cố "trước thời điểm n" (theo nghĩa rộng là:≤ n) Cho biến cố A ∈ Fn , cho tất Thời điểm dừng 10 Chương Thời điểm dừng thứ biết đến thời điểm n, xác định... Fτ Nếu cho trước hai thời điểm dừng σ, τ , với σ τ , thời điểm dừng định nghĩa dựa vào biến cố A ∈ Fσ : đợi thời điểm σ, dừng lại sau A xảy ra, không tiếp tục chờ thời điểm τ Bổ đề 2.13 (bổ