5 Kỳ vọng điều kiện
5.2 Martingale và các quá trình liên hệ
Có nhiều lớp đặc biệt của các amart được định nghĩa một cách tự nhiên dựa vào kỳ vọng điều kiện. Kỳ vọng điều kiện đã được thảo luận nên chúng ta có thể xem xét các lớp này. Lớp quan trọng nhất là martingale.
Định nghĩa 5.4. Cho (Ω,F,P) là một không gian xác suất, cho J là một tập định hướng, cho (Ft)t∈J là một cơ sở ngẫu nhiên, và cho
(Xt)t∈J tương thích và khả tích. Khi đó ta nói
• (Xt) là một martingale nếu và chỉ nếu EFs[Xt] = Xs với s 6 t;
• (Xt) là một martingale dưới nếu và chỉ nếu EFs[Xt] > Xs với s 6 t;
• (Xt) là một martingale trên nếu và chỉ nếu EFs[Xt] 6 Xs với s 6 t.
Lưu ý việc sử dụng các thời điểm dừng sắp thứ tự trong các đặc trưng sau đây.
Định lí 5.5. Cho (Xt) là một quá trình tương thích và đo được. Khi đó
(i) (Xt) là một martingale dưới nếu và chỉ nếu lưới (E[Xσ])σ∈P0 tăng (theo nghĩa rằng E[Xσ] 6 E[Xτ] với σ 6 τ) nếu và chỉ nếu quá trình (Xτ)τ∈P0 là một martingale dưới [nghĩa là, EFσ [X] > Xσ với σ, τ ∈ P0
, σ 6τ].
(ii) (Xt) là một martingale trên nếu và chỉ nếu lưới (E[Xσ])σ∈P0 giảm nếu và chỉ nếu quá trình (Xτ)τ∈P0 là một martingale trên.
(iii) (Xt) là một martingale nếu và chỉ nếu lưới (E[Xτ])τ∈P0 là hằng số nếu và chỉ nếu lưới (E[Xτ])τ∈P là hằng số.
Chứng minh. (i) Cho (Xt) là một martingale dưới. Đầu tiên ta chứng minh EFσ [Xτ] >Xσ với σ, τ ∈ P0
, σ 6τ. Bởi định lý địa phương hóa
(5.3), ta chỉ cần chứng minh rằng EFs[Xτ] >Xs trên tập {σ = s}. Giả sử rằng τ nhận các giá trị t1 6 t2 6 ... 6 tm. Đối với mỗi giá trị cố định s của σ, chúng ta quy nạp theo chỉ số n nằm giữa 1 và m xác định bởi tn = max{τ (ω) : σ(ω) =s}.
Bởi vì σ 6 τ, nên chắc chắn tn > s.
Đối với tn = s, ta có τ = s trên {σ = s}, và do đó EFs[Xτ] = Xs trên
{σ = s}.
Đối với bước quy nạp, giả sử tn > s, và định nghĩa τ0 ∈ P0
bởi τ0 = τ (ω) nếu σ(ω) = s và τ (ω) < tn tn−1 nếu σ(ω) =s và τ (ω) = tn τ (ω) nếu σ(ω) 6= s
Khi đó τ > τ0 > σ . Bởi giả thiết quy nạp, EFs[Xτ0] > Xs trên
{σ = s}. Ngoài ra, {τ0 < τ}= {τ0 6 tn−1} ∩ {σ = s}. Bây giờ trên tập
{σ = s}, EFtn−1[Xτ] = EFtn−1 Xτ0 + Xtn −Xtn−11{τ0<τ} = EFtn−1 [Xτ0] +1{τ0<τ}EFtn−1 Xtn −Xtn−1 >EFtn−1 [Xτ0] + 0 = Xτ0 .
Vì vậy, do giả sử tn > s, trên {σ = s}, ta có
Điều này chỉ ra EFσ[Xτ] > Xσ và hoàn thành chứng minh của
EFσ[Xτ] > Xσ với σ, τ ∈ P0
, σ 6τ.
Lấy tích phân, ta thu được E[Xτ] = EEFσ [Xτ] > E[Xσ] với
σ 6 τ.
Tiếp theo giả sử rằng lưới (E[Xτ])τ∈P0 tăng. Ta phải chứng minh
EFs[Xt] >Xs nếu s6 t. Nếu A ∈ Fs. Khi đó
σ(ω) = s nếu ω /∈ A t nếu ω ∈ A là một thời điểm dừng sắp thứ tự, và σ > s. Do đó E[Xσ] > E[Xs]. Nghĩa là: E[Xt1A] +EXs1Ω\A > E[Xs1A] +EXs1Ω\A.
Do đó E[Xt1A] >E[Xs1A]. Điều này đúng cho tất cả A ∈ Fs, vì vậy
EFs[Xt]> Xs,
như đã yêu cầu.
(ii) Bởi vì (−Xt) là một martingale dưới nếu và chỉ nếu (Xt) là một martingale trên, (ii) có được từ (i).
(iii) Giả sử (Xt) là một martingale, σ ∈ P
cho trước. chọn t > σ. Khi đó E[Xσ] = X s6t EXs1{σ=s} = X s6t EXt1{σ=s} = E[Xt]
Chúng ta có thể thấy rằng giá tri này là độc lập với t bằng cách lấy tích phân phương trình EFs[Xt] = Xs; vì vậy thực sự (E[Xσ])σ∈P độc lập với σ.
Nếu (E[Xσ])σ∈P là hằng số, thì chắc chắn (E[Xσ])σ∈P0 cũng là hằng số.
Cuối cùng, nếu (E[Xσ])σ∈P0 là hằng số, thì nó vừa tăng vừa giảm, vì vậy bởi (i) và (ii) quá trình (Xt) vừa là martingale dưới vừa là martingale trên, do đó là một martingale.
Định nghĩa 5.6. Cho (Xt) là một quá trình khả tích. (Xt) được gọi là một quasimartingale nếu và chỉ nếu tồn tại một hằng số M sao cho
n−1 X i=1 EEXti+1|Fti −Xti 6 M
với tất cả các dãy tăng hữu hạn t1 < t2 < ... < tn trong J.
Định lí 5.7. Mỗi quasimartingale (Xt) là một amart sắp thứ tự. Chứng minh. Cho (Xt) là một quasimartingale:
(5.7a) M = sup n−1 P i=1 EEXti+1|Fti −Xti < ∞,
trong đó sup lấy trên tất cả các dãy hữu hạn t1 < t2 < ... < tn.
Chúng ta sẽ chỉ ra rằng (E[Xτ])τ∈P0 là lưới Cauchy. Với ε > 0 cho trước. Chọn s1 < s2 < ... < sm để (5.7b) m−1 P i=1 EEXsi+1|Fsi−Xsi > M −ε.
Bây giờ lấy τ ∈ P0
với τ > sm. Viết t1 < t2 < ... < tn cho tập các giá trị của τ. Bây giờ nếu chúng ta áp dụng (5.7a) với dãy hữu hạn s1 < ... < sm < t1 < ... < tn, sau đó trừ (5.7b), chúng ta thu được
n−1 X j=1 EXtj −EXtj+1|Ftj < ε.
|E[Xτ]−E[Xtn]| = n−1 X i=1 E(Xti −Xtn)1{τ=ti} = n−1 X i=1 n−1 X j=i E Xtj −Xtj+11{τ=ti} = n−1 X j=1 j X i=1 E Xtj −EXtj+1|Ftj 1{τ=ti} 6 n−1 X j=1 j X i=1 EXtj −EXtj+1|Ftj 1{τ=ti} 6 n−1 X j=1 EXtj −EXtj+1|Ftj < ε. Vì vậy nếu τ1, τ2 > sm, ta có |E[Xτ1]−E[Xτ2]| < 2ε. Do đó (Xt) là một amart sắp thứ tự. 5.3 Sự phân tích Riezs
Sự phân tích Riezs (5.9) cho một amart hoặc một amart sắp thứ tự chỉ ra rằng quá trình là "đóng" tới một martingale.
Đầu tiên hãy xem xét một thứ tự khác cho tập P0 của các thời điểm dừng sắp thứ tự. Nếu σ, τ ∈ P0
, ta viết σ < | < τ nếu và chỉ nếu tồn tại t ∈ J với σ 6 t và t 6τ. Chú ý rằng P0
được định hướng với thứ tự < | <, cũng tốt như thứ tự 6.
Đối với sự hội tụ của các lưới, sự khác nhau là không quan trọng. Thật vậy, σ < | < τ suy ra σ 6 τ, vì vậy nếu một lưới (aτ) hội tụ theo
6, khi đó hiển nhiên nó hội tụ theo < | <. Ngược lại, giả sử (aτ) hội tụ tới a theo < | <. Khi đó với ε > 0 cho trước luôn tồn tại σ ∈ P0
sao cho |aτ −a| < ε với mọi τ ∈ P0
mà σ < | < τ. Nhưng luôn có
t ∈ J với t > σ, và do đó |aτ −a| < ε với tất cả τ > t. Do đó aτ hội tụ tới a theo ≤.
Khi chúng ta đưa ra một giới hạn trên các cặp thời điểm dừng, nó là một sai phân cho dù chúng ta hạn chế tới cặp σ, τ với σ 6 τ hay
σ < | < τ. Thứ tự < |< sẽ xuất hiện trong các đặc trưng hữu ích sau đây.
Định lí 5.8. (Tính chất của sai phân) Cho J là một tập định hướng, và cho (Ft)t∈J là một cơ sở ngẫu nhiên. Cho (Xt)t∈J là một quá trình tương thích, khả tích.
(i) (Xt) là một amart sắp thứ tự nếu và chỉ nếu
(5.8a) lim σ < | < τ σ, τ ∈ P0 EFσ[Xτ]−Xσ 1 = 0
(ii) (Xt) là một amart nếu và chỉ nếu
(5.8b) lim σ ≤ τ σ, τ ∈ P EFσ [Xτ]−Xσ 1 = 0
Chứng minh. (i) Giả sử rằng tính chất sai phân (5.8a) cố định. Khi đó với σ < | < τ, |E[Xτ]−E[Xσ]|= EEFσ[Xτ]−Xσ 6 EEFσ[Xτ]−Xσ = EFσ[Xτ]−Xσ → 0 vì vậy (Xt) là một amart sắp thứ tự.
Ngược lại, cho ε > 0; chọn s ∈ J sao cho σ > s, τ > s và σ, τ ∈ P0
suy ra
|E[Xσ]−E[Xτ]| 6 ε.
Cho s 6 σ < | < τ; với bất kỳ A ∈ Fσ ta định nghĩa ρ = σ trên A, và
ρ = τ trên Ω\A. Khi đó ρ ∈ P0
. Hơn nữa
Bây giờ đặt A = Xσ > EFσ[Xτ] để thấy rằng E h Xσ −EFσ [Xτ]+ i 6 ε. Tương tự E h Xσ −EFσ [Xτ]− i 6 ε, vì vậy Xσ −EFσ [Xτ]
1 6 2ε. Điều này chứng minh tính chất sai phân (5.8a).
(ii) Làm tương tự như trên: thay thế "amart" cho "amart sắp thứ tự," "P
" cho "P0
," và "≤" cho "< | <".
Định lí 5.9. (Sự phân tích Riezs) Cho J là một tập định hướng, và cho (Ft)t∈J là một cơ sở ngẫu nhiên.
(i) Cho (Xt) là một amart sắp thứ tự. Khi đó Xt có thể được viết duy nhất dưới dạng Xt = Yt + Zt, trong đó Yt là một martingale và
(Zτ)τ∈P0 hội tụ tới 0 theo giá trị trung bình.
(ii) Cho (Xt) là một amart. Khi đó Xt có thể được viết duy nhất dưới dạng Xt = Yt +Zt, trong đó Yt là một amart và (Zτ)τ∈P hội tụ tới 0 theo giá trị trung bình.
Chứng minh. (i) với bất kỳ σ ∈ P0
, lưới EFσ[Xτ]τ∈P0 là Cauchy trong chuẩn L1 bởi tính chất sai phân. Viết Yσ là giới hạn của lưới. Các kỳ vọng điều kiện liên tục với chuẩn L1, vì vậy nếu σ1 < | < σ2
ta có
EFσ1 [Yσ2] = lim
τ EFσ1 EFσ2 [Xτ] = lim
τ EFσ1[Xτ] = Yσ1.
Vì vậy (Yt) là một martingale. Sai phân Zt = Xt −Yt là một amart sắp thứ tự, và bởi tính chất của sai phân kZτk1 → 0.
Đối với tính duy nhất, giả sử có một sự phân tích khác Xt =
∧ Yt−Z∧t. Với A∈ Ft, ta có E[1AYt] = lim τ E[1AYτ] = lim τ E[1AXτ] = lim τ E 1A ∧ Yτ = E 1AY∧τ
Do đó Yt =
∧
Yt. Vậy sự phân tích là duy nhất.
(ii) Chứng minh tương tự: thay thế "amart" cho "amart sắp thứ tự," "P
" cho "P0
," và "≤" cho "< | <".
5.4 Trường hợp thuộc dãy
Thiết lập quan trọng nhất của lý thuyết này hiển nhiên là trường hợp J = N. Khi đó một martingale dưới được định nghĩa bởi Xm 6
EFm[Xn] với m 6 n, một martingale trên bởi Xm > Em[Xn] với
m 6 n, và một martingale bởi Xm = EFm[Xn] với m 6 n. Bằng quy nạp ta dễ dàng thấy rằng các tính chất đó chỉ cần kiểm tra với
n = m+ 1. Một quasimartingale là một quá trình khả tích (Xn) mà ở đó tồn tại một hằng số C sao cho
n X i=1 EFi [Xi+1]−Xi 1 6C với mọi n.
Khi J = N, tất cả các thời điểm dừng là sắp thứ tự. Vì vậy các định lý (5.5) và (3.8) dẫn tới
Định lí 5.10. Cho (Xn)n∈
N là một martingale trên, martingale dưới, quasimartingale, hoặc martingale L1-bị chặn. Khi đó (Xn) là một amart, và hội tụ h.c.c. Nếu (Xn) khả tích đều, thì nó hội tụ theo giá trị trung bình.
KẾT LUẬN
Khóa luận đã xây dựng khái niệm thời điểm dừng và nghiên cứu các kết quả chính của nó. Dựa vào thời điểm dừng để xây dựng các khái niệm của amart, kỳ vọng điều kiện và lớp đặc biệt của amart là martingale. Tuy khóa luận chưa nghiên cứu được tất cả các kết quả cũng như ứng dụng của thời điểm dừng, nhưng nó đã đưa ra được những vấn đề và ứng dụng cơ bản của thời điểm dừng.
Thời điểm dừng là kỹ thuật có nhiều ứng dụng hữu ích và thú vị, trong khi đó tác giả chỉ nghiên cứu được một khía cạnh rất nhỏ. Vì vậy, tác giả xin đưa ra một số hướng nghiên cứu tiếp để mở rộng đề tài:
• P có thể được thay thế bởi một độ đo vô hạn, µ có thể có giá trị trong tập số phức, hoặc trong không gian vectơ hữu hạn chiều Rn.
• Nghiên cứu độ đo µ với giá trị trong không gian Banach.
Do thời gian, kiến thức và khuôn khổ của đề tài có hạn nên khóa luận không tránh khỏi những sai sót, nhiều phần chưa rõ ràng, rành mạch. Vì vậy mong nhận được góp ý của thầy cô và các bạn.
[1] Phạm Văn Kiều, Lý thuyết xác suất và thống kê toán học, NXBĐHQG Hà Nội, 1996.
[2] Văn Kiều, Giáo trình giải tích ngẫu nhiên, 2001.
[3] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên, Lý thuyết xác suất, NXBGD, 2003.