Bài toán ứng dụng cực trị trong kinh tế ths trần thị tuấn anh

GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM -1- BÀI TOÁN ỨNG DỤNG CỰC TRỊ TRONG KINH TẾ Phần : Ứng dụng cực trị hàm biến I Bài toán tìm sản lượng ñể doanh nghiệp ñộc quyền có lợi nhuận cao Giả sử doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền loại hàng, biết hàm cầu doanh nghiệp ñối với mặt hàng ñó QD = D (P) C = C (Q) Hàm tổng chi phí Trong ñó : • QD : • P : Giá bán hàng hoá (Price) • C : • Q : Lượng cầu hàng hoá doanh nghiệp (Quantity Demand) Chi phí doanh nghiệp (Cost) Sản lượng sản phẩm ñược sản xuất ñơn vị thời gian (Quantity) Hãy xác ñịnh mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận cực ñại Phương pháp giải Gọi Q mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận cực ñại ðể doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng Q = QD => Q = D(P) (Q hàm số theo biến P) => P = P(Q) ( P hàm số theo biến Q) Doanh thu doanh nghiệp R = P.Q = P (Q).Q (Doanh thu hàm số theo biến Q) Chi phí C = C (Q) (Chi phí hàm số theo biến Q) π = R − C = P(Q ).Q − C (Q) (Lợi nhuận hàm số theo biến Q) Lợi nhuận Bài toán trở thành tìm Q ñể hàm π ñạt cực ñại ( ðây toán cực trị hàm biến) Ví dụ : Cho doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất loại hàng với Hàm chi phí QD = 656 − P C (Q) = Q − 77Q + 1000Q + 100 Tìm mức sản lượng Q ñể doanh nghiệp có lợi nhuận cao Giải : Gọi Q mức sản lượng cần tìm ðể doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM -2- Q = Q( D ) = 656 − P ⇒ P = 1312 − 2Q Doanh thu doanh nghiệp R = P.Q = (1312 − 2Q).Q = 1312Q − 2Q Chi phí C = Q − 77Q + 1000Q + 100 Lợi nhuận π = R − C = −Q + 75Q + 312Q − 100 Bài toán trở thành tìm Q ñể hàm π ñạt cực ñại ( ðây toán cực trị hàm biến) π ′ = −3Q + 150Q + 312 π ′ = ⇒ Q = ∨ Q = 52 π ′′ = −6Q + 150 • Tại ñiểm nghi ngờ Q = ⇒ π ′′ = −6.2 + 150 = 138 > ⇒ π ñạt cực tiểu Q = (ðây mức sản lượng cần tìm) • Tại ñiểm nghi ngờ Q = 52 ⇒ π ′′ = −6.52 + 150 < ⇒ π ñạt cực ñại Q = 52 Vậy ñể có lợi nhuận cao nhất, doanh nghiệp phải sản xuất mức sản lượng Q = 52 II Bài toán xác ñịnh mức thuế ñể thu ñược tổng thuế tối ña Giả sử doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền loại hàng hóa biết hàm cầu doanh nghiệp loại hàng QD = D (P) hàm tổng chi phí C = C (Q) Hãy xác ñịnh mức thuế t ñịnh ñơn vị sản phẩm ñể thu ñược doanh nghiệp nhiều thuế Phương pháp giải Gọi t mức thuế ñịnh ñơn vị sản phẩm Q mức sản lượng doanh nghiệp sản xuất ñể lợi nhuận doanh nghiệp ñạt cực ñại ðể doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng Q = QD => Q = D(P) (Q hàm số theo biến P) => P = P(Q) ( P hàm số theo biến Q) Doanh thu doanh nghiệp R = P.Q = P (Q).Q Chi phí C = C (Q) Tổng thuế doanh nghiệp phải nộp (Doanh thu hàm số theo biến Q) GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM -3- T = t.Q Lợi nhuận π = R − C − T = P(Q ).Q − C (Q) − t.Q Trước hết tìm Q = Q(t ) ñể lợi nhuận doanh nghiệp ñạt cực ñại Sau ñó tìm mức thuế t ñể tổng thuế Ví dụ Cho T = t.Q (t ) ñạt cực ñại QD = 2000 − P C (Q) = Q + 1000Q + 50 Hãy xác ñịnh mức thuế t ñịnh ñơn vị sản phẩm ñể thu ñược doanh nghiệp nhiều thuế Giải Gọi t mức thuế ñịnh ñơn vị sản phẩm Q mức sản lượng doanh nghiệp sản xuất ñể lợi nhuận doanh nghiệp ñạt cực ñại ðể doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng Q = QD => Q = 2000 − P => P = 2000 − Q Doanh thu doanh nghiệp R = P.Q = (2000 − Q ).Q = 2000Q − Q Chi phí C = Q + 1000Q + 50 Tổng thuế doanh nghiệp phải nộp T = t.Q Lợi nhuận π = R − C − T = −2Q + (1000 − t )Q − 50 Trước hết tìm Q = Q(t ) ñể lợi nhuận doanh nghiệp ñạt cực ñại π ′ = −4Q + 1000 − t π′ = ⇒ Q = Vì π ′′ = −4 < nên 1000 − t Q= 1000 − t mức sản lượng doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận cực ñại Khi ñó T = t.Q = t T′ = 1000 − t (1000 − 2t ) GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM T′ = ⇒ t = T ′′ = − Vậy -4- 1000 = 500 < nên tổng thuế T ñạt cực ñại t = 500 t = 500 mức thuế cần tìm ñể thu ñược doanh nghiệp nhiều thuế Khi ñó doanh nghiệp sản xuất với mức sản lượng Q= 1000 − 500 = 125 Lưu ý Nếu muốn doanh nghiệp sản xuất 200 ñơn vị sản phẩm , ta xác ñịnh mức thuế cần thu cho Q= 1000 − t = 200 ⇒ t = 1000 − 800 = 200 III Bài toán xác ñịnh mức thuế hàng nhập Cho hàm cung hàm cầu cho sản xuất tiêu dùng nội ñịa mặt hàng QS = S ( P) QD = D( P) Giả sử nhà nước cho phép doanh nghiệp ñộc quyền nhập mặt hàng trên, biết ñơn giá thị trường quốc tế cộng với chi phí nhập (chưa kể thuế) cho ñơn vị hàng P0 Hãy tính mức thuế nhập t ñịnh ñơn vị hàng nhập ñể tổng thuế nhập thu ñược lớn Phương pháp giải : Gọi t (t > 0) mức thuế ñịnh ñơn vị hàng nhập Và Q lượng hàng doanh nghiệp nhập Khi ñó ñể tiêu thụ hết lượng hàng nhập Q = QD − QS (Chênh lệch cầu cung thị trường nội ñịa, QD > QS ) ⇒ Q = D ( P ) − S ( P) ( Sản lượng hàm số theo biến P) Doanh thu R = P.Q = P[Q( P ) − S ( P)] (Doanh thu hàm số theo biến P) Chi phí C = P0 Q = P0 [D ( P) − S ( P )] Tổng thuế nhập phải nộp T = t.Q = t [D( P) − S ( P)] Lợi nhuận π = R − C − T = [D ( P ) − S ( P)](P − P0 − t ) Trước hết tìm P = P(t ) ñể lợi nhuận doanh nghiệp ñạt cực ñại Sau ñó tìm mức thuế t ñể tổng thuế T = t [D( P(t )) − S ( P(t ))] ñạt cực ñại GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM -5- Ví dụ Cho doanh nghiệp ñộc quyền nhập loại hàng hóa biết hàm cung cầu hàng hóa ñó thị trường nội ñịa QD = 4200 − P QS = −200 + P Giá bán thị trường quốc tế + chi phí nhập ñơn vị hàng P0 = 1600 Tìm mức thuế ñịnh ñơn vị hàng nhập ñể thu ñược nhiều thuế nhập Giải Gọi t mức thuế ñịnh ñơn vị hàng nhập Và Q lượng hàng cần phải nhập ðể tiêu thụ hết hàng nhập Q = QD − QS = (4200 − P) − (−200 + P) = 4400 − P Doanh thu R = P.Q = P(4400 − P) Chi phí C = P0 Q = 1600(4400 − P ) Tổng thuế nhập phải nộp T = t.Q = t (4400 − P) Lợi nhuận π = R − C − T = (4400 − P)(P − 1600 − t ) π ′ = −2( P − 1600 − t ) + (4400 − P) = 7600 + 2t − P π ′ = ⇒ 7600 + 2t − P = ⇒ P = 1900 + π ′′ = −4 < t nên π ñạt lợi nhuận cực ñại mức giá P = 1900 + t Khi ñó tổng thuế t   T = t.Q = t (4400 − P) = t 4400 − 2(1900 + ) = t (600 − t )   T ′ = 600 − 2t T ′ = ⇒ t = 300 T ′′ = −2 => hàm T ñạt cực ñại mức thuế t = 300 Giá bán thị trường nội ñịa lúc ñó P = 1900 + 300 = 2050 Lưu ý Nếu muốn bảo trợ cho hàng sản xuất nội ñịa, nhà nước phải ñánh thuế cho giá bán không ñược thấp Ví dụ muốn giá bán thị trường nội ñịa không 2100 mức thuế nhập t GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM cho -6- P = 1900 + t ≥ 2100 ⇒ t ≥ 400 , nghĩa mức thuế nhập tối thiểu 400 ñơn vị hàng nhập IV Bài toán xác ñịnh mức thuế xuất Cho hàm cung hàm cầu cho sản xuất tiêu dùng nội ñịa mặt hàng QS = S ( P) QD = D( P) Giả sử nhà nước cho phép doanh nghiệp ñộc quyền xuất mặt hàng trên, biết ñơn giá thị trường quốc tế trừ ñi chi phí xuất (chưa kể thuế) cho ñơn vị hàng P0 Hãy tính mức thuế xuất t ñịnh ñơn vị hàng xuất ñể tổng thuế xuất thu ñược lớn Phương pháp giải : Gọi t (t > 0) mức thuế ñịnh ñơn vị hàng xuất Và Q lượng hàng doanh nghiệp xuất Khi ñó lượng hàng xuất Q = QS − QD (Chênh lệch cầu cung thị trường nội ñịa, QS > QD ) ⇒ Q = S ( P) − D ( P) ( Sản lượng hàm số theo biến P) Doanh thu R = P0 Q = P0 [S ( P) − D( P)] (Doanh thu hàm số theo biến P) Chi phí C = P.Q = P.[S ( P) − D( P)] Tổng thuế nhập phải nộp T = t.Q = t [S ( P) − D ( P)] Lợi nhuận π = R − C − T = [S ( P) − D ( P)](P0 − P − t ) Trước hết tìm P = P(t ) ñể lợi nhuận doanh nghiệp ñạt cực ñại Sau ñó tìm mức thuế t ñể tổng thuế T = t [S ( P(t )) − D ( P (t ))] ñạt cực ñại Ví dụ Cho doanh nghiệp ñộc quyền nhập loại hàng hóa biết hàm cung cầu hàng hóa ñó thị trường nội ñịa QD = 4200 − P QS = −200 + P Giá bán thị trường quốc tế (không bao gồm chi phí xuất ñơn vị hàng) P0 = 3200 Tìm mức thuế ñịnh ñơn vị hàng xuất ñể thu ñược nhiều thuế xuất Giải Gọi t mức thuế ñịnh ñơn vị hàng xuất Và Q lượng hàng xuất GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM -7- P giá doanh nghiệp thu mua mặt hàng ñó ñể xuất Khi ñó lượng hàng xuất Q = QS − QD = −200 + P − (4200 − P ) = P − 4400 Doanh thu R = P0 Q = P0 (2 P − 4400) = 3200(2 P − 4400) Chi phí C = P.Q = P (2 P − 4400) Tổng thuế nhập phải nộp T = t.Q = t (2 P − 4400) Lợi nhuận π = R − C − T = (2 P − 4400)(3200 − P − t ) π ′ = 2(3200 − P − t ) − (2 P − 4400) = 10800 − 2t − P π ′ = ⇒ 10800 − 2t − P = ⇒ P = 2700 − π ′′ = −4 < t nên π ñạt lợi nhuận cực ñại mức giá P = 2700 − t Khi ñó tổng thuế t   T = t.Q = t (2 P − 4400) = t 2(2700 − ) − 4400 = t (1000 − t )   T ′ = 100 − 2t T ′ = ⇒ t = 500 T ′′ = −2 => hàm T ñạt cực ñại mức thuế t = 500 Giá bán thị trường nội ñịa lúc ñó P = 2700 − 500 = 2450 Lưu ý Nếu ta muốn giá tiêu dùng thị trường nước không vượt 2400 mức thuế xuất phải bao nhiêu? Gọi mức thuế t ta có giá tiêu dùng thị trường nội ñịa P = 2700 − t ≤ 2400 ⇒ t ≥ 600 , nghĩa mức thuế xuất tối thiểu 600 sản phẩm Phần : Ứng dụng cực trị hàm nhiều biến I Bài toán tối ña hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất nhiều mặt hàng ñiều kiện cạnh tranh hoàn hảo GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM -8- Giả sử doanh nghiệp sản xuất n loại hàng hóa bán ñiều kiện cạnh tranh hoàn hảo với mức giá P1 , P2 , , Pn Hàm chi phí C = C (Q1 , Q2 , , Qn ) với Qi (i = 1, n) mức sản lượng thứ i mà doanh nghiệp sản xuất Tìm mức sản lượng Q1 , Q2 , , Qn mà doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận cực ñại Phương pháp giải Gọi Q1 , Q2 , , Qn mức sản lượng cần tìm Doanh thu n R = P1Q1 + P2Q2 + + PnQn = ∑ Pi Qi i =1 Chi phí C = C (Q1 , Q2 , , Qn ) Lợi nhuận n π = R − C = ∑ PiQi − C (Q1 , Q2 , , Qn ) i =1 Bài toán trở thành tìm Q1 , Q2 , , Qn ñể hàm π ñạt cực ñại Ví dụ Cho doanh nghiệp sản xuất mặt hàng ñiều kiện cạnh tranh hoàn hảo với giá P1 = 60; P2 = 75 Hàm chi phí C = Q12 + Q1Q2 + Q22 Tìm mức sản lượng Q1 ,Q2 doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận ñạt cực ñại Giải : Gọi Q1 ,Q2 mức sản lượng cần tìm Doanh thu : R = P1Q1 + P2Q2 = 60Q1 + 75Q2 Chi phí : C = Q12 + Q1Q2 + Q22 Lợi nhuận ; π = R − C = 60Q1 + 75Q2 − Q12 − Q1Q2 − Q22 ðiểm dừng nghiệm hệ :  ∂π  ∂Q = 60 − 2Q1 − Q2 = Q1 = 15 ⇒ ⇒  ∂π1 75 − Q − Q = Q2 = 30   =0  ∂Q2 Xét ñạo hàm riêng cấp hai GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM -9- ∂ 2π = −2 ∂Q12 ∂ 2π ∂ 2π = −1 = ∂Q1∂Q2 ∂Q2∂Q1 ∂ 2π = −2 ∂Q22 Khi ñó ma trận Hesse − − 1 H =   − − 2 H = −2 < H2 = Vì − −1 =3>0 −1 − (−1) k H k > 0∀k = 1, n nên hàm π ñạt cực ñại mức sản lượng Q1= 15 Q2 = 30 Vậy doanh nghiệp có lợi nhuận cực ñại sản xuất 15 ñơn vị hàng hoá thứ 30 ñơn vị hàng hóa thứ II Bài toán tối ña hoá lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất nhiều mặt hàng ñiều kiện ñộc quyền Cho doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất kinh doanh n loại hàng hóa, biết hàm cầu hàng hóa QDi = Di ( P1 , P2 , , Pn ) với i = 1, n Trong ñó • QDi : lượng cầu hàng hoá thứ i • P1 , P2 , , Pn : Giá bán n loại hàng hóa • Q1 , Q2 , , Qn : Sản lượng n loại hàng hóa Hàm tổng chi phí Tìm mức sản lượng C = C (Q1 , Q2 , , Q2 ) Q1 , Q2 , , Qn mà doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận ñạt cực ñại Phương pháp giải Gọi Q1 , Q2 , , Qn mức sản lượng cần tìm ðể doanh nghiệp bán hết hàng Q1 = QD1 Q1 = D1 ( P1 , P2 , , Pn )  P1 = P1 (Q1 , Q2 , , Qn )    P = P (Q , Q , , Q ) Q2 = QD2 Q2 = D2 ( P1 , P2 , , Pn )  2 n ⇒ ⇒     Q = Q Qn = Dn ( P1 , P2 , , Pn )  Pn = Pn (Q1 , Q2 , , Qn ) Dn  n Doanh thu GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM - 10 - n n i =1 i =1 R = Q1 P1 + Q2 P2 + + Qn Pn = ∑ Qi Pi = ∑ Qi Pi (Q1 , Q2 , , Qn ) Chi phí C = C (Q1 , Q2 , , Qn ) Lợi nhuận n π = R − C = ∑ Qi Pi (Q1 , Q2 , , Qn ) − C (Q1 , Q2 , , Qn ) i =1 Bài toán trở thành tìm Q1 , Q2 , , Qn ñể hàm π ñạt cực ñại Ví dụ : Cho doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất kinh doanh loại hàng , biết hàm cầu của loại hàng hóa ñó sau : QD1 = 40 − P1 + P2 QD2 = 15 + P1 − P2 Hàm chi phí C = Q12 + Q1Q2 + Q22 Tìm mức sản lượng loại hàng mà doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận doanh nghiệp ñạt cực ñại Giải : Gọi Q1 ,Q2 mức sản lượng cần tìm ðể doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng Q1 = QD1 Q1 = 40 − P1 + P2  P1 = 55 − Q1 − Q2 ⇒ ⇒  Q2 = QD2 Q2 = 15 + P1 − P2  P2 = 70 − Q1 − 2Q2 Doanh thu R = Q1P1 + Q2 P2 = Q1 (55 − Q1 − Q2 ) + Q2 (70 − Q1 − 2Q2 ) ⇒ R = −Q12 − 2Q22 − 2Q1Q2 + 55Q1 + 70Q2 Chi phí C = Q12 + Q1Q2 + Q22 Lợi nhuận π = R − C = 55Q1 + 70Q2 − 2Q12 − 3Q1Q2 − 3Q22 Bài toán trở thành tìm Q1 ,Q2 ñể hàm π ñạt cực ñại ðiểm dừng nghiệm hệ :  ∂π  ∂ Q = ⇒  ∂π1  =0  ∂ Q  55 − 4Q1 − 3Q = ⇒  70 − Q − Q =   Xét ñạo hàm riêng cấp hai Q1 =   23 Q = GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM - 11 - ∂ 2π = −4 ∂Q12 ∂ 2π ∂ 2π = −3 = ∂Q1∂Q2 ∂Q2∂Q1 ∂ 2π = −6 ∂Q22 Khi ñó ma trận Hesse  − − 3 H =   − − 6 H = −4 < H2 = −4 −3 = 15 > −3 −6 Q1 =  Vì ( −1) H k > 0∀k = 1, n nên hàm π ñạt cực ñại mức sản lượng  23 Q2 = k Vậy doanh nghiệp có lợi nhuận cực ñại sản xuất ñơn vị hàng hoá thứ 23 ñơn vị hàng hóa thứ III Bài toán tối ña hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất mặt hàng bán nhiều thị trường Một công ty sản xuất ñộc quyền loại sản phẩm tiêu thụ n thị trường tách biệt Giả sử hàm cầu n thị trường sau QD1 = D1 ( P1 ) QD2 = D2 ( P2 ) QDn = Dn ( Pn ) Hàm tổng chi phí : C = C (Q) với Q = Q1 + Q2 + + Qn Trong ñó : • Q tổng sản lượng doanh nghiệp • Qi lượng hàng phân phối thị trường thứ i (∀i = 1, n) Tìm lượng hàng phân phối thị trường ñể doanh nghiệp ñạt lợi nhuận cực ñại Phương pháp giải : Gọi Q1 , Q2 , , Qn lượng hàng phân phối thị trường cần tìm ðể doanh nghiệp bán hết hàng GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM - 12 - Q1 = QD1 Q1 = D1 ( P1 )  P1 = P1 (Q1 )    P = P (Q ) Q2 = QD2 Q2 = D2 ( P2 )  2 ⇒ ⇒       Q = Q Qn = Dn ( Pn )  Pn = Pn (Qn ) Dn  n Doanh thu n n i =1 i =1 R = Q1P1 + Q2 P2 + + Qn Pn = ∑ Qi Pi = ∑ Qi Pi (Qi ) Chi phí C = C (Q ) = C (Q1 , Q2 , , Qn ) Q = Q1 + Q2 + + Qn Lợi nhuận n π = R − C = ∑ Qi Pi (Qi ) − C (Q1 , Q2 , , Qn ) i =1 Bài toán trở thành tìm Q1 , Q2 , , Qn ñể hàm π ñạt cực ñại Ví dụ Cho doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất kinh doanh loại hàng hóa bán thị trường tách biệt với hàm cầu QD1 = 840 − P1 QD2 = 1230 − 3P2 Hàm chi phí C = 20 + 150Q + Q với Q =Q1 +Q2 Tìm lượng hàng phân phối thị trường ñể lợi nhuận cực ñại Giải : Gọi Q1 ,Q2 lượng hàng phân phối thị trường cần tìm ðể doanh nghiệp bán hết hàng Q  P1 = 420 −  Q1 = QD1 Q1 = 840 − P1  ⇒ ⇒  Q2 = QD2 Q2 = 1230 − 3P2  P = 410 − Q3  Doanh thu Q1 Q ) + Q2 (410 − ) 2 Q Q ⇒ R = 420Q1 − + 410Q2 − 2 R = Q1 P1 + Q2 P2 = Q1 (420 − Chi phí C = 20 + 150Q + Q = 20 + 150(Q1 + Q2 ) + (Q1 + Q2 ) ⇒ C = 20 + 150Q1 + 150Q2 + Q12 + 2Q1Q2 + Q22 Lợi nhuận GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM - 13 - π = R − C = 270Q1 + 260Q2 − Q12 − Q22 − 2Q1Q2 − 20 Bài toán trở thành tìm Q1 ,Q2 ñể hàm π ñạt cực ñại ðiểm dừng nghiệm hệ :  ∂π  270 − 3Q1 − 2Q2 =  ∂Q = Q1 = 50  ⇒  ∂π 260 − Q − 2Q = ⇒  Q2 = 60  =   ∂Q2 Xét ñạo hàm riêng cấp hai ∂ 2π = −3 ∂Q12 ∂ 2π ∂ 2π = −2 = ∂Q1∂Q2 ∂Q2∂Q1 ∂ 2π =− ∂Q2 Khi ñó ma trận Hesse − −  H = − −  3  H = −3 < H2 = Vì −3 −2 =4>0 −2 − Q1 = 50 (−1) k H k > 0∀k = 1, n nên hàm π ñạt cực ñại mức sản lượng  Q2 = 60 Vậy doanh nghiệp có lợi nhuận cực ñại sản xuất 50 ñơn vị hàng hoá thứ 60 ñơn vị hàng hóa thứ Khi ñó tổng sản lượng doanh nghiệp Q = Q1 + Q2 = 50 + 60 = 110 Bài tập Bài Cho doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất kinh doanh loại hàng biết hàm cầu loại hàng ñó thị trường QD = 656 − P Hàm chi phí C = Q − 77Q + 1000Q + 100 Tìm mức sản lượng doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận ñạt cực ñại Bài Cho biết hàm cầu loại hàng hóa doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất kinh doanh loại hàng ñó QD = 300 − P Hàm chi phí sản xuất doanh nghiệp C = Q − 19Q + 333Q + 10 Tìm mức sản lượng doanh nghiệp cần sản xuất ñể có ñược lợi nhuận tối ña Bài Cho doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất kinh doanh loại hàng biết hàm cầu loại hàng ñó thị trường a QD = 2640 − P Hàm chi phí C = Q + 1000Q + 100 Hãy xác ñịnh mức thuế t ñơn vị sản phẩm ñể thu ñược doanh nghiệp nhiều thuế GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM b - 14 - Nếu ta muốn doanh nghiệp sản xuất 300 sản phẩm ta ñịnh mức thuế sản phẩm tối ña bao nhiêu? Tìm mức sản lượng doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận ñạt cực ñại Bài Biết hàm cung hàm cầu loại hàng hóa thị trường nội ñịa Qs = −40 + P QD = 420 − P Một công ty ñược ñộc quyền nhập loại hàng hóa ñó với giá nhập khẩu(bao gồm chi phí nhập khẩu) P0 = 180 Hãy xác ñịnh mức thuế nhập ñánh ñơn vị sản phẩm nhập ñể thu ñược doanh nghiệp nhiều thuế Bài Một công ty ñộc quyền nhập loại hàng, biết hàm cung hàm cầu loại hàng hóa thị trường nước Qs = −20 + P QD = 880 − P Biết giá bán loại hàng thị trường quốc tế P0 = 250 Tìm mức thuế ñịnh ñơn vị hàng nhập ñể thu ñược công ty nhiều thuế Bài Một công ty ñược ñộc quyền xuất mặt hàng biết hàm cung hàm cầu thị trường nội ñịa Qs = −20 + P QD = 400 − P Giá bán thị trường quốc tế P0 = 310 Tìm mức thuế ñịnh ñơn vị hàng xuất ñể thu ñược công ty nhiều thuế Bài Một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền hai loại sản phẩm Biết hàm cầu hai loại hàng QD1 = 400 − P1 + P2 QD2 = 480 + P1 − P2 Hàm tổng chi phí a Bài C = 160Q1 + 240Q2 + 150 Tìm mức sản lượng loại sản phẩm ñể doanh nghiệp có lợi nhuận tối ña Một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền hai loại sản phẩm Biết hàm cầu hai loại hàng QD1 = 800 − P1 + P2 QD2 = 960 + P1 − P2 Hàm tổng chi phí C = 320Q1 + 480Q2 + 150 Tìm mức sản lượng loại sản phẩm ñể doanh nghiệp có lợi nhuận tối ña Bài Một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền loại sản phẩm tiêu thụ hai thị trường tách biệt Biết hàm cầu hai thị trường Hàm tổng chi phí QD1 = 470 − P1 QD2 = 620 − P2 C = Q + 60Q + 20 Tìm lượng hàng phân phối cho thị trường ñể doanh nghiệp có lợi nhuận tối ña Từ ñó suy tổng sản lượng doanh nghiệp Bài 10 Một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền loại sản phẩm tiêu thụ hai thị trường tách biệt Biết hàm cầu hai thị trường Hàm tổng chi phí QD1 = 310 − P1 QD2 = 235 − P2 C = Q + 30 Q + 20 Tìm lượng hàng phân phối cho thị trường ñể doanh nghiệp có lợi nhuận tối ña Từ ñó suy tổng sản lượng doanh nghiệp GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM - 15 - Bài 11 Một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền loại sản phẩm tiêu thụ ba thị trường tách biệt Biết hàm cầu thị trường sau QD1 = 30 − P1 QD2 = 57,5 − P2 QD3 = 54 − P3 a Tìm lượng hàng cung cấp cho thị trường ñể doanh nghiệp có lợi nhuận tối ña biết hàm tổng chi phí doanh nghiệp C = 15 − 30Q b Tìm lượng hàng cung cấp cho thị trường ñể doanh nghiệp có lợi nhuận tối ña biết hàm tổng chi phí doanh nghiệp C = Q + 30Q + 15 Bài 12 Một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền hai loại sản phẩm Biết hàm cầu hai loại hàng (290 − 3P1 + P2 ) = (650 − 3P2 + P1 ) QD1 = QD2 a Tìm mức sản lượng loại sản phẩm mà doanh nghiệp cần sản xuất ñể có lợi nhuận tối ña biết hàm tổng chi phí doanh nghiệp b C = Q12 + Q1Q2 + Q22 Vẫn hỏi thuế suất ñịnh sản phẩm loại hàng thứ hàng thứ t1 = 26 loại t2 = 24 Hàm chi phí sản xuất C = Q + Q1Q2 + Q Bài 13 Cho biết hàm tổng chi phí ñể sản xuất loại sản phẩm 2 C (q ) = q + 2000q + 500 q a Tìm chi phí biên tế b Xác ñịnh q ñể chi phí trung bình nhỏ So sánh chi phí biên tế chi phí trung bình ñiểm [...]... loại sản phẩm và tiêu thụ trên hai thị trường tách biệt Biết hàm cầu trên hai thị trường là Hàm tổng chi phí 1 QD1 = 310 − P1 và QD2 = 235 − P2 2 C = Q 2 + 30 Q + 20 Tìm lượng hàng phân phối cho từng thị trường ñể doanh nghiệp có lợi nhuận tối ña Từ ñó suy ra tổng sản lượng của doanh nghiệp GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM - 15 - Bài 11 Một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền một... sản lượng của doanh nghiệp • Qi là lượng hàng phân phối trên thị trường thứ i (∀i = 1, n) Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường ñể doanh nghiệp ñạt lợi nhuận cực ñại Phương pháp giải : Gọi Q1 , Q2 , , Qn là lượng hàng phân phối trên từng thị trường cần tìm ðể doanh nghiệp bán hết hàng thì GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM - 12 - Q1 = QD1 Q1 = D1 ( P1 )  P1 = P1 (Q1 )... Tìm mức sản lượng doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận ñạt cực ñại Bài 2 Cho biết hàm cầu về một loại hàng hóa của doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất và kinh doanh loại hàng ñó là QD = 300 − P Hàm chi phí sản xuất của doanh nghiệp là C = Q 3 − 19Q 2 + 333Q + 10 Tìm mức sản lượng doanh nghiệp cần sản xuất ñể có ñược lợi nhuận tối ña Bài 3 Cho doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất và kinh doanh một loại hàng... loại hàng ñó trên thị trường là a QD = 2640 − P Hàm chi phí C = Q 2 + 1000Q + 100 Hãy xác ñịnh mức thuế t trên một ñơn vị sản phẩm ñể thu ñược của doanh nghiệp nhiều thuế nhất GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM b - 14 - Nếu ta muốn doanh nghiệp sản xuất ít nhất là 300 sản phẩm thì ta có thể ñịnh mức thuế trên một sản phẩm tối ña là bao nhiêu? Tìm mức sản lượng doanh nghiệp cần sản...GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM - 11 - ∂ 2π = −4 ∂Q12 ∂ 2π ∂ 2π = −3 = ∂Q1∂Q2 ∂Q2∂Q1 ∂ 2π = −6 ∂Q22 Khi ñó ma trận Hesse  − 4 − 3 H =   − 3 − 6 H 1 = −4 < 0 H2 = −4 −3 = 15 > 0 −3 −6 Q1 = 8  Vì ( −1) H k > 0∀k = 1, n nên hàm π ñạt cực ñại tại mức sản lượng  23 Q2 = 3 k Vậy doanh nghiệp có lợi nhuận cực ñại nếu sản xuất 8 ñơn vị hàng... phí C = 20 + 150Q + Q 2 = 20 + 150(Q1 + Q2 ) + (Q1 + Q2 ) 2 ⇒ C = 20 + 150Q1 + 150Q2 + Q12 + 2Q1Q2 + Q22 Lợi nhuận GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM - 13 - 3 2 4 3 π = R − C = 270Q1 + 260Q2 − Q12 − Q22 − 2Q1Q2 − 20 Bài toán trở thành tìm Q1 ,Q2 ñể hàm π ñạt cực ñại ðiểm dừng là nghiệm của hệ :  ∂π  270 − 3Q1 − 2Q2 = 0  ∂Q = 0 Q1 = 50  1 ⇒  ∂π 260 − 8 Q − 2Q = 0 ⇒  2... phẩm ñể doanh nghiệp có lợi nhuận tối ña Bài 9 Một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ trên hai thị trường tách biệt Biết hàm cầu trên hai thị trường là Hàm tổng chi phí 1 QD1 = 470 − P1 và QD2 = 620 − P2 2 C = Q 2 + 60Q + 20 Tìm lượng hàng phân phối cho từng thị trường ñể doanh nghiệp có lợi nhuận tối ña Từ ñó suy ra tổng sản lượng của doanh nghiệp Bài 10 Một doanh nghiệp... (−1) k H k > 0∀k = 1, n nên hàm π ñạt cực ñại tại mức sản lượng  Q2 = 60 Vậy doanh nghiệp có lợi nhuận cực ñại nếu sản xuất 50 ñơn vị hàng hoá thứ nhất và 60 ñơn vị hàng hóa thứ 2 Khi ñó tổng sản lượng của doanh nghiệp sẽ là Q = Q1 + Q2 = 50 + 60 = 110 Bài tập Bài 1 Cho doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất và kinh doanh một loại hàng biết hàm cầu của loại hàng ñó trên thị trường là 1 QD = 656 − P Hàm chi... ba thị trường tách biệt Biết hàm cầu trên từng thị trường như sau 1 QD1 = 30 − P1 3 QD2 = 57,5 − 1 P2 4 1 QD3 = 54 − P3 5 a Tìm lượng hàng cung cấp cho từng thị trường ñể doanh nghiệp có lợi nhuận tối ña biết hàm tổng chi phí của doanh nghiệp là C = 15 − 30Q b Tìm lượng hàng cung cấp cho từng thị trường ñể doanh nghiệp có lợi nhuận tối ña biết hàm tổng chi phí của doanh nghiệp là C = Q 2 + 30Q + 15 Bài. .. hóa thứ 2 III Bài toán tối ña hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất một mặt hàng nhưng bán trên nhiều thị trường Một công ty sản xuất ñộc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ trên n thị trường tách biệt Giả sử hàm cầu trên n thị trường như sau QD1 = D1 ( P1 ) QD2 = D2 ( P2 ) QDn = Dn ( Pn ) Hàm tổng chi phí : C = C (Q) với Q = Q1 + Q2 + + Qn Trong ñó : • Q là tổng sản lượng của doanh nghiệp • Qi ... Phần : Ứng dụng cực trị hàm nhiều biến I Bài toán tối ña hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất nhiều mặt hàng ñiều kiện cạnh tranh hoàn hảo GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM... nhuận doanh nghiệp ñạt cực ñại Sau ñó tìm mức thuế t ñể tổng thuế T = t [D( P(t )) − S ( P(t ))] ñạt cực ñại GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM -5- Ví dụ Cho doanh nghiệp... theo biến Q) Doanh thu doanh nghiệp R = P.Q = P (Q).Q Chi phí C = C (Q) Tổng thuế doanh nghiệp phải nộp (Doanh thu hàm số theo biến Q) GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM -3-