Giải Gọi t là mức thuế ñịnh trên một ñơn vị sản phẩm và Q là mức sản lượng doanh nghiệp sản xuất ñể lợi nhuận của doanh nghiệp ñạt cực ñại... Ví dụ Cho một doanh nghiệp ñộc quyền nhập kh
Trang 1BÀI TOÁN ỨNG DỤNG CỰC TRỊ TRONG KINH TẾ
Phần 1 : Ứng dụng cực trị hàm một biến
I Bài toán tìm sản lượng ñể doanh nghiệp ñộc quyền có lợi nhuận cao nhất
Giả sử một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền một loại hàng, biết hàm cầu của doanh nghiệp ñối với mặt hàng
ñó là QD = D (P )
Hàm tổng chi phí C = C (Q )
Trong ñó :
• QD : Lượng cầu về hàng hoá của doanh nghiệp (Quantity Demand)
• P : Giá bán của hàng hoá (Price)
• C : Chi phí của doanh nghiệp (Cost)
• Q : Sản lượng sản phẩm ñược sản xuất trong một ñơn vị thời gian (Quantity)
Hãy xác ñịnh mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận cực ñại
Phương pháp giải
Gọi Q là mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận cực ñại
ðể doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì
D Q
Q =
=> Q = D (P ) (Q là hàm số theo biến P) => P = P (Q ) ( P là hàm số theo biến Q) Doanh thu của doanh nghiệp
Q Q P Q P
R = = ( ). (Doanh thu là hàm số theo biến Q) Chi phí
)
(Q
C
C = (Chi phí là hàm số theo biến Q) Lợi nhuận
) ( ).
( Q Q C Q P
C
=
π (Lợi nhuận là hàm số theo biến Q)
Bài toán trở thành tìm Q ñể hàm π ñạt cực ñại ( ðây là bài toán cực trị hàm một biến)
Ví dụ : Cho doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất một loại hàng với QD P
2
1
656 −
=
Hàm chi phí C ( Q ) = Q3− 77 Q2+ 1000 Q + 100 Tìm mức sản lượng Q ñể doanh nghiệp có lợi nhuận cao nhất Giải :
Gọi Q là mức sản lượng cần tìm
ðể doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì
Trang 2Q P
P D
Q Q
2 1312
2
1 656 ) (
−
=
⇒
−
=
=
Doanh thu của doanh nghiệp
2
2 1312 ).
2 1312 (
P
Chi phí
100 1000
77 2
C
Lợi nhuận
100 312
75 2
−
=
−
π
Bài toán trở thành tìm Q ñể hàm π ñạt cực ñại ( ðây là bài toán cực trị hàm một biến)
312 150
3 2+ +
−
=
π
52 2
0 ⇒ = ∨ =
=
π
150
6 +
−
=
π
• Tại ñiểm nghi ngờ Q = 2
0 138 150 2
6 + = >
−
=
′′
⇒ π
π
⇒ ñạt cực tiểu tại Q = 2 (ðây không phải là mức sản lượng cần tìm)
• Tại ñiểm nghi ngờ Q = 52
0 150 52
6 + <
−
=
′′
⇒ π π
⇒ ñạt cực ñại tại Q = 52 Vậy ñể có lợi nhuận cao nhất, doanh nghiệp phải sản xuất ở mức sản lượng Q = 52
II Bài toán xác ñịnh mức thuế ñể thu ñược tổng thuế tối ña
Giả sử một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền một loại hàng hóa biết hàm cầu của doanh nghiệp về loại hàng trên là QD = D (P )và hàm tổng chi phí C = C (Q )
Hãy xác ñịnh mức thuế t ñịnh trên một ñơn vị sản phẩm ñể thu ñược của doanh nghiệp nhiều thuế nhất Phương pháp giải
Gọi t là mức thuế ñịnh trên một ñơn vị sản phẩm và Q là mức sản lượng doanh nghiệp sản xuất ñể lợi nhuận của doanh nghiệp ñạt cực ñại
ðể doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì
D
Q
Q =
=> Q = D (P ) (Q là hàm số theo biến P) => P = P (Q ) ( P là hàm số theo biến Q) Doanh thu của doanh nghiệp
Q Q P Q P
R = = ( ). (Doanh thu là hàm số theo biến Q) Chi phí
)
(Q
C
C =
Tổng thuế doanh nghiệp phải nộp
Trang 3Q t
T =
Lợi nhuận
Q t Q C Q Q P T C
R − − = ( ) − ( ) −
=
Trước hết tìm Q = Q (t )ñể lợi nhuận của doanh nghiệp ñạt cực ñại Sau ñó tìm mức thuế t ñể tổng thuế T = t Q ( t )ñạt cực ñại
Ví dụ Cho QD = 2000 − P
50 1000 )
( Q = Q2+ Q +
C
Hãy xác ñịnh mức thuế t ñịnh trên một ñơn vị sản phẩm ñể thu ñược của doanh nghiệp nhiều thuế nhất
Giải
Gọi t là mức thuế ñịnh trên một ñơn vị sản phẩm và Q là mức sản lượng doanh nghiệp sản xuất ñể lợi nhuận của doanh nghiệp ñạt cực ñại
ðể doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì
D Q
Q =
=> Q = 2000 − P => P = 2000 − Q Doanh thu của doanh nghiệp
2
2000 ).
2000 (
P
Chi phí
50 1000
Tổng thuế doanh nghiệp phải nộp
Q t
T =
Lợi nhuận
50 ) 1000 (
−
=
−
−
π Trước hết tìm Q = Q (t )ñể lợi nhuận của doanh nghiệp ñạt cực ñại
t
Q + −
−
=
π
4
1000
0 ⇒ Q = − t
=
′ π
Vì π ′′ = − 4 < 0 nên
4
1000 t
Q = −
là mức sản lượng doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận cực ñại
Khi ñó
4
1000 Q t t t
) 2 1000 ( 4
1
t
T ′ = −
Trang 4500 2
1000
0 ⇒ = =
=
T
0 2
1
<
−
=
′′
T nên tổng thuế T sẽ ñạt cực ñại tại t = 500
Vậy t = 500chính là mức thuế cần tìm ñể thu ñược của doanh nghiệp nhiều thuế nhất
Khi ñó doanh nghiệp sẽ sản xuất với mức sản lượng 125
2
500 1000
=
−
=
Lưu ý
Nếu muốn doanh nghiệp sản xuất 200 ñơn vị sản phẩm , thì ta xác ñịnh mức thuế cần thu sao cho
200 4
1000
=
−
Q
200 800
1000 − =
=
⇒ t
III Bài toán xác ñịnh mức thuế hàng nhập khẩu
Cho hàm cung và hàm cầu cho sản xuất và tiêu dùng nội ñịa về một mặt hàng là
) (
) (
P D Q
P S Q
D
S
=
=
Giả sử nhà nước cho phép một doanh nghiệp ñộc quyền nhập khẩu mặt hàng trên, biết rằng ñơn giá trên thị trường quốc tế cộng với chi phí nhập khẩu (chưa kể thuế) cho một ñơn vị hàng là P0
Hãy tính mức thuế nhập khẩu t ñịnh trên một ñơn vị hàng nhập khẩu ñể tổng thuế nhập khẩu thu ñược là lớn nhất
Phương pháp giải :
Gọi t (t > 0) là mức thuế ñịnh trên một ñơn vị hàng nhập khẩu
Và Q là lượng hàng doanh nghiệp nhập khẩu Khi ñó ñể tiêu thụ hết lượng hàng nhập khẩu thì
S
D Q Q
Q = − (Chênh lệch cầu và cung trong thị trường nội ñịa, QD > QS)
) ( ) ( P S P D
Q = −
⇒ ( Sản lượng là hàm số theo biến P) Doanh thu
Q P Q P S P P
R = = − (Doanh thu là hàm số theo biến P) Chi phí
. 0
P
Tổng thuế nhập khẩu phải nộp
Q t D P S P t
Lợi nhuận
T C
π
Trước hết tìm P = P (t )ñể lợi nhuận của doanh nghiệp ñạt cực ñại Sau ñó tìm mức thuế t ñể tổng thuế T = t [ D ( P ( t )) − S ( P ( t )) ]ñạt cực ñại
Trang 5Ví dụ
Cho một doanh nghiệp ñộc quyền nhập khẩu một loại hàng hóa biết hàm cung và cầu của hàng hóa
ñó trong thị trường nội ñịa là QD = 4200 − P và QS = − 200 + P
Giá bán trên thị trường quốc tế + chi phí nhập khẩu của một ñơn vị hàng là P0 = 1600
Tìm mức thuế ñịnh trên một ñơn vị hàng nhập khẩu ñể thu ñược nhiều thuế nhập khẩu nhất Giải
Gọi t là mức thuế ñịnh trên một ñơn vị hàng nhập khẩu
Và Q là lượng hàng cần phải nhập khẩu
ðể tiêu thụ hết hàng nhập khẩu thì
P P
P Q
Q
Q = D− S = ( 4200 − ) − ( − 200 + ) = 4400 − 2 Doanh thu
) 2 4400 ( Q P P P
R = = − Chi phí
) 2 4400 ( 1600
P
Tổng thuế nhập khẩu phải nộp
) 2 4400 ( Q t P t
Lợi nhuận
P T
C
π
P t P
t
P 1600 ) ( 4400 2 ) 7600 2 4 (
−
=
′ π
0 4 2 7600
0 ⇒ + − =
=
π
2
1900 t
P = +
⇒
0
4 <
−
=
′′
π nên π ñạt lợi nhuận cực ñại tại mức giá
2
1900 t
P = +
Khi ñó tổng thuế
) 600 ( ) 2 1900 ( 2 4400 )
2 4400 (
t
T = = − = − + = −
t
T ′ = 600 − 2
300
0 ⇒ =
=
T
2
−
=
′′
T => hàm T ñạt cực ñại tại mức thuế t = 300
Giá bán trên thị trường nội ñịa lúc ñó sẽ là 2050
2
300
1900 + =
=
P
Lưu ý
Nếu muốn bảo trợ cho hàng sản xuất nội ñịa, nhà nước phải ñánh thuế sao cho giá bán không ñược thấp quá Ví dụ muốn giá bán tại thị trường nội ñịa không dưới 2100 thì mức thuế nhập khẩu là t sao
Trang 6cho 2100 400
2
1
1900 + ≥ ⇒ ≥
P , nghĩa là mức thuế nhập khẩu tối thiểu là 400 trên một ñơn vị hàng nhập khẩu
IV Bài toán xác ñịnh mức thuế xuất khẩu
Cho hàm cung và hàm cầu cho sản xuất và tiêu dùng nội ñịa về một mặt hàng là
) (
) (
P D Q
P S Q
D
S
=
=
Giả sử nhà nước cho phép một doanh nghiệp ñộc quyền xuất khẩu mặt hàng trên, biết rằng ñơn giá trên thị trường quốc tế trừ ñi chi phí xuất khẩu (chưa kể thuế) cho một ñơn vị hàng là P0
Hãy tính mức thuế xuất khẩu t ñịnh trên một ñơn vị hàng xuất khẩu ñể tổng thuế xuất khẩu thu ñược là lớn nhất
Phương pháp giải :
Gọi t (t > 0) là mức thuế ñịnh trên một ñơn vị hàng xuất khẩu
Và Q là lượng hàng doanh nghiệp xuất khẩu Khi ñó lượng hàng có thể xuất khẩu là
D
S Q Q
Q = − (Chênh lệch cầu và cung trong thị trường nội ñịa, QS > QD)
) ( ) ( P D P S
Q = −
⇒ ( Sản lượng là hàm số theo biến P) Doanh thu
. 0
P
R = = − (Doanh thu là hàm số theo biến P) Chi phí
Q P S P D P P
Tổng thuế nhập khẩu phải nộp
Q t S P D P t
Lợi nhuận
T C
π
Trước hết tìm P = P (t )ñể lợi nhuận của doanh nghiệp ñạt cực ñại Sau ñó tìm mức thuế t ñể tổng thuế T = t [ S ( P ( t )) − D ( P ( t )) ]ñạt cực ñại
Ví dụ
Cho một doanh nghiệp ñộc quyền nhập khẩu một loại hàng hóa biết hàm cung và cầu của hàng hóa
ñó trong thị trường nội ñịa là QD = 4200 − P và QS = − 200 + P
Giá bán trên thị trường quốc tế (không bao gồm chi phí xuất khẩu của một ñơn vị hàng) là
3200
P
Tìm mức thuế ñịnh trên một ñơn vị hàng xuất khẩu ñể thu ñược nhiều thuế xuất khẩu nhất Giải
Gọi t là mức thuế ñịnh trên một ñơn vị hàng xuất khẩu
Và Q là lượng hàng xuất khẩu
Trang 7P là giá doanh nghiệp thu mua mặt hàng ñó ñể xuất khẩu Khi ñó lượng hàng có thể xuất khẩu là
4400 2
) 4200 (
−
=
−
Doanh thu
) 4400 2
( 3200 )
4400 2
(
Chi phí
) 4400 2
( = −
C
Tổng thuế nhập khẩu phải nộp
) 4400 2
( = −
T
Lợi nhuận
P T C
π
P t P
t
P ) ( 2 4400 ) 10800 2 4 3200
(
=
′ π
0 4 2 10800
0 ⇒ − − =
=
π
2
2700 t
P = −
⇒
0
4 <
−
=
′′
π nên π ñạt lợi nhuận cực ñại tại mức giá
2
2700 t
P = −
Khi ñó tổng thuế
) 1000 ( 4400 ) 2 2700 ( 2 ) 4400 2
(
t
T = = − = − − = −
t
T ′ = 100 − 2
500
0 ⇒ =
=
T
2
−
=
′′
T => hàm T ñạt cực ñại tại mức thuế t = 500
Giá bán trên thị trường nội ñịa lúc ñó sẽ là 2450
2
500
2700 − =
=
P
Lưu ý
Nếu ta muốn giá tiêu dùng tại thị trường trong nước không vượt quá 2400 thì mức thuế xuất khẩu phải là bao nhiêu?
Gọi mức thuế là t thì ta có giá tiêu dùng tại thị trường nội ñịa là 2400 600
2
1
2700 − ≤ ⇒ ≥
nghĩa là mức thuế xuất khẩu tối thiểu là 600 trên một sản phẩm
Phần 2 : Ứng dụng cực trị hàm nhiều biến
I Bài toán tối ña hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất nhiều mặt hàng trong ñiều kiện cạnh tranh hoàn hảo
Trang 8Giả sử doanh nghiệp sản xuất n loại hàng hóa bán trong ñiều kiện cạnh tranh hoàn hảo với các mức giá
n
P P
P1, 2, ,
Hàm chi phí C = C ( Q1, Q2, , Qn) với Qi( i = 1 , n )là mức sản lượng thứ i mà doanh nghiệp sản xuất Tìm các mức sản lượng Q1, Q2, , Qnmà doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận cực ñại
Phương pháp giải
Gọi Q1, Q2, , Qn là các mức sản lượng cần tìm Doanh thu
∑
=
= + + +
i i i n
nQ P Q P
Q P Q P R
1 2
2 1
Chi phí
) , , , ( Q1 Q2 Qn C
C =
Lợi nhuận
) , , , ( 1 2
1
n n
i i
iQ C Q Q Q P
C
R − = −
= π
Bài toán trở thành tìm Q1, Q2, , Qn ñể hàm π ñạt cực ñại
Ví dụ
Cho doanh nghiệp sản xuất 2 mặt hàng trong ñiều kiện cạnh tranh hoàn hảo với giá
75
;
60 2
P Hàm chi phí C = Q12+ Q1Q2+ Q22 Tìm các mức sản lượng Q1,Q2 doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận ñạt cực ñại
Giải :
Gọi Q1,Q2 là các mức sản lượng cần tìm Doanh thu :
2 1 2
2 1
P
Chi phí :
2 2 2 1 2
Q
C = + +
Lợi nhuận ;
2 2 2 1 2 1 2
60 Q Q Q Q Q Q C
=
π ðiểm dừng là nghiệm của hệ :
=
=
⇒
=
−
−
=
−
−
⇒
=
∂
∂
=
∂
∂
30
15 0
2 75
0 2
60 0
0
2 1 2
1
2 1
2
1
Q
Q Q
Q
Q Q
Q
Q
π π
Xét các ñạo hàm riêng cấp hai
Trang 92 1 2
2 2 2
1 2 2
2 1 2
2 1 2
−
=
∂
∂
∂
∂
∂
=
−
=
∂
∂
∂
−
=
∂
∂
Q
Q Q Q
Q Q
π
π π
π
Khi ñó ma trận Hesse
−
−
−
−
=
2 1
1 2
H
0 3 2 1
1 2
0 2
2
1
>
=
−
−
−
−
=
<
−
=
H H
Vì ( − 1 )kHk > 0 ∀ k = 1 , n nên hàm π ñạt cực ñại tại mức sản lượng
30
15
2
1
=
=
Q Q
Vậy doanh nghiệp có lợi nhuận cực ñại nếu sản xuất 15 ñơn vị hàng hoá thứ nhất và 30 ñơn vị hàng hóa thứ 2
II Bài toán tối ña hoá lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất nhiều mặt hàng trong ñiều kiện ñộc quyền
Cho một doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất và kinh doanh n loại hàng hóa, biết hàm cầu của các hàng hóa trên
là QD Di( P1, P2, , Pn)
i = với i = 1 , n
Trong ñó
•
i D
Q : lượng cầu của hàng hoá thứ i
• P1, P2, , Pn : Giá bán của n loại hàng hóa
• Q1, Q2, , Qn : Sản lượng của n loại hàng hóa
Hàm tổng chi phí là C = C ( Q1, Q2, , Q2)
Tìm mức sản lượng Q1, Q2, , Qn mà doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận ñạt cực ñại
Phương pháp giải
Gọi Q1, Q2, , Qn là các mức sản lượng cần tìm
ðể doanh nghiệp bán hết hàng thì
=
=
=
⇒
=
=
=
⇒
=
=
=
) , , , (
) , , , (
) , , , (
) , , , (
) , , , (
) , , , (
.
2 1
2 1 2 2
2 1 1 1
2 1
2 1 2 2
2 1 1 1 2
1
2 1
n n
n
n n
n n
n
n n
D n
D D
Q Q Q P P
Q Q Q P P
Q Q Q P P
P P P D Q
P P P D Q
P P P D Q
Q Q
Q Q
Q Q
n
Doanh thu
Trang 10∑
=
=
=
= + + +
i
n i
i n
i i i n
nP Q P Q P Q Q Q Q
P Q P Q R
1
2 1 1
2 2 1
Chi phí
) , , , ( Q1 Q2 Qn C
C =
Lợi nhuận
) , , , ( ) , , , (
1
2
n
i
n i
i P Q Q Q C Q Q Q Q
C
= π
Bài toán trở thành tìm Q1, Q2, , Qn ñể hàm π ñạt cực ñại
Ví dụ :
Cho một doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất và kinh doanh 2 loại hàng , biết hàm cầu của 2 của 2 loại hàng hóa ñó như sau :
2 1
2 1
15
2 40
2
1
P P Q
P P Q
D
D
− +
=
+
−
=
Hàm chi phí C = Q12+ Q1Q2+ Q22
Tìm các mức sản lượng từng loại hàng mà doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận của doanh nghiệp ñạt cực ñại
Giải :
Gọi Q1,Q2 là các mức sản lượng cần tìm
ðể doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng
−
−
=
−
−
=
⇒
− +
=
+
−
=
⇒
=
=
2 1 2
2 1 1
2 1 2
2 1 1
2
1
2 70
55 15
2 40 2
1
Q Q P
Q Q P
P P Q
P P Q
Q Q
Q Q
D D
Doanh thu
2 1 2 1 2 2 2 1
2 1 2
2 1 1
2 2 1 1
70 55 2
2
) 2 70
( ) 55
(
Q Q Q Q Q Q R
Q Q Q
Q Q Q
P Q P Q R
+ +
−
−
−
=
⇒
−
− +
−
−
= +
=
Chi phí
2 2 2 1 2
Q
Lợi nhuận
2 2 2 1 2 1 2
C
=
π Bài toán trở thành tìm Q1,Q2 ñể hàm π ñạt cực ñại ðiểm dừng là nghiệm của hệ :
=
=
⇒
=
−
−
=
−
−
⇒
=
∂
∂
=
∂
∂
3 23
8 0
6 3 70
0 3
4 55 0
0
2
1
2 1
2 1
2
1
Q
Q Q
Q
Q Q Q
Q
π π
Xét các ñạo hàm riêng cấp hai
Trang 116 3 4
2 2 2
1 2 2
2 1 2
2 1 2
−
=
∂
∂
∂
∂
∂
=
−
=
∂
∂
∂
−
=
∂
∂
Q
Q Q Q
Q Q
π
π π
π
Khi ñó ma trận Hesse
−
−
−
−
=
6 3
3 4
H
0 15 6 3
3 4
0 4
2
1
>
=
−
−
−
−
=
<
−
=
H H
Vì ( − 1 )kHk > 0 ∀ k = 1 , n nên hàm π ñạt cực ñại tại mức sản lượng
=
=
3 23 8
2
1
Q Q
Vậy doanh nghiệp có lợi nhuận cực ñại nếu sản xuất 8 ñơn vị hàng hoá thứ nhất và
3
23 ñơn vị hàng
hóa thứ 2
III Bài toán tối ña hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất một mặt hàng nhưng bán trên nhiều thị trường
Một công ty sản xuất ñộc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ trên n thị trường tách biệt Giả sử hàm cầu trên
n thị trường như sau
) (
) (
) (
2 2
1 1
2 1
n n D
D D
P D Q
P D Q
P D Q
n =
=
=
Hàm tổng chi phí : C = C (Q ) với Q = Q1+ Q2+ + Qn
Trong ñó :
• Q là tổng sản lượng của doanh nghiệp
• Qi là lượng hàng phân phối trên thị trường thứ i ( ∀ i = 1 , n )
Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường ñể doanh nghiệp ñạt lợi nhuận cực ñại
Phương pháp giải :
Gọi Q1, Q2, , Qn là lượng hàng phân phối trên từng thị trường cần tìm
ðể doanh nghiệp bán hết hàng thì
Trang 12
=
=
=
⇒
=
=
=
⇒
=
=
=
) (
) (
) (
) (
) (
) (
.
2 2 2
1 1 1 2
2 2
1 1 1 2
1
2 1
n n n n
n n D
n
D D
Q P P
Q P P
Q P P
P D Q
P D Q
P D Q
Q Q
Q Q
Q Q
n
Doanh thu
∑
∑
=
=
=
= + + +
i
i i i n
i i i n
nP Q P Q P Q Q
P Q P Q R
1 1
2 2 1
Chi phí
) , , , ( ) ( Q C Q1 Q2 Qn C
C = = vì Q = Q1+ Q2+ + Qn
Lợi nhuận
) , , , ( ) (
1
n n
i
i i
iP Q C Q Q Q Q
C
= π
Bài toán trở thành tìm Q1, Q2, , Qn ñể hàm π ñạt cực ñại
Ví dụ
Cho một doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất và kinh doanh một loại hàng hóa bán trên 3 thị trường tách biệt với các hàm cầu
2
1
3 1230
2 840
2
1
P Q
P Q
D
D
−
=
−
=
Hàm chi phí C = 20 + 150 Q + Q2 với Q = Q1+ Q2
Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường ñể lợi nhuận cực ñại
Giải :
Gọi Q1,Q2 là lượng hàng phân phối trên từng thị trường cần tìm
ðể doanh nghiệp bán hết hàng thì
−
=
−
=
⇒
−
=
−
=
⇒
=
=
3 410 2 420 3
1230
2 840
3 2
1 1
2 2
1 1
2 1
2
1
Q P
Q P
P Q
P Q
Q Q
Q Q
D D
Doanh thu
3
410 2 420
) 3 410 ( ) 2 420 (
2 2 2
2 1 1
3 2
1 1
2 2 1 1
Q Q
Q Q R
Q Q
Q Q
P Q P Q R
− +
−
=
⇒
− +
−
= +
=
Chi phí
2 2 2 1 2 1 2 1
2 2 1 2 1 2
2 150
150 20
) (
) (
150 20 150
20
Q Q Q Q Q Q
C
Q Q Q Q Q
Q C
+ +
+ +
+
=
⇒
+ + + +
= + +
=
Lợi nhuận