Trường Đại học Bách khoa Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng Dạng hình học định lý Hahn-Banach - Định nghĩa Một siêu phẳng tập hợp có dạng H {x E | f ( x) R} f dạng tuyến tính ví dụ Cho phiếm hàm tuyến tính f thỏa: f (1,1,1) 1; f (1,0,1) 2; f (1,1,0) 1 Khi siêu phẳng H {x R | f ( x ) R} mặt phẳng 36 Dạng hình học định lý Hahn-Banach - Định nghĩa Một tập hợp C không gian tuyến tính X gọi lồi (0 1; x, y C ) x (1 ) y C Tập hợp điểm có dạng: a (1 )b; gọi đoạn thẳng nối hai điểm a b Một tập hợp gọi lồi chứa đoạn thẳng nối hai điểm 37 Dạng hình học định lý Hahn-Banach - ví dụ 1) Trong R3, hình tứ diện, hình lập phương, hình cầu tập hợp lồi 2) Trong không gian tuyến tính định chuẩn hình cầu tâm a, bán kính r tập hợp lồi Hướng dẫn (x , y B (a, r )) || x (1 ) y a || || (x a) (1 )( y a) || || x a || (1 ) || y a || r (1 )r r 38 Dạng hình học định lý Hahn-Banach - 3) Mỗi không gian không gian tuyến tính tập hợp lồi 4) Giao số tập hợp lồi tập hợp lồi 5) Nếu D, E hai tập lồi, a điểm, số thực tập hợp sau tập hợp lồi D a { x a, x D } D a { x a, x D } D E { x y ,x D , y E} D E { x y ,x D , y E} 39 Dạng hình học định lý Hahn-Banach - Định nghĩa Cho A B hai tập hợp không gian định chuẩn E Ta nói siêu phẳng H {x E | f ( x) R} tách A B theo nghĩa rộng, (x A )f (x ) (x B )f (x ) Định nghĩa Ta nói siêu phẳng H {x E | f ( x) R} tách A B theo nghĩa chặt, cho (x A )f ( x ) (x B )f ( x ) 40