Trường Đại học Bách khoa Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng Dạng hình học định lý Hahn-Banach - Bổ đề (dung lượng tập hợp lồi) Giả sử C tập hợp lồi, mở, chứa véctơ khơng khơng gian định chuẩn E (x E ) p (x ) inf{ 0, 1x C } Khi hàm p thỏa 1) p ( x ) p (x ), 2) p ( x y ) p ( x ) p ( y ) 3) tồ n M cho: a) (x E ) p ( x ) M || x || b ) C { x E : p (x ) 1} 41 Dạng hình học định lý Hahn-Banach - Chứng minh bổ đề 1) p ( x ) p (x ), Nế u vày x , ta có p ( y ) inf{ : inf{ ' : y x C } inf{ : C } y y ' C } inf{ : C } p (x ) ' ' vậ y p ( x ) p ( x ) 42 Dạng hình học định lý Hahn-Banach - 3b ) C { x E : p (x ) 1} x C , C mở(1 )x C , vớ i đủnhỏ Vậ y p (x ) 1 Ngược lại , nế u p (x ) 1, 1, cho 1x C Do , x ( -1)x (1 )0 C 43 Dạng hình học định lý Hahn-Banach - 2) p ( x y ) p ( x ) p ( y ) x , y E , Từ(1) và(3b), ta có x ) p (x ) p (x ) p (x ) y x C C p( y ) p(x ) p( Suy ra, (t [0,1]) chọn t tx (1- t ) y C p (x ) p ( y ) p (x ) xy ta có C p ( x ) p ( y ) 2 p ( x ) p ( y ) 2 p (x y ) p ( x ) p ( y ) 2 p ( x y ) p ( x ) p ( y ) 44 Dạng hình học định lý Hahn-Banach - Bổ đề Giả sử C tập hợp lồi, mở, khơng rỗng, x E \ C Khi tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục E cho (x C ) f (x ) f (x ) Đặ t biệ t siê u phẳ ng củ a phương trình [ f f (x )] tá ch { x 0} vàC theo nghóa rộ ng 45 ... Dạng hình học định lý Hahn-Banach - Chứng minh bổ đề 1) p ( x ) p (x ), Nế u vày x , ta có p ( y ) inf{ : inf{